Care s-au săturat deja. Și simt că a venit momentul în care este timpul să extragem noi conserve din rezervele strategice ale teoriei. Este posibil să extinzi funcția într-o serie într-un alt mod? De exemplu, pentru a exprima un segment de dreaptă în termeni de sinusuri și cosinusuri? Pare incredibil, dar funcții atât de îndepărtate se pretează
"reuniune". Pe lângă gradele familiare în teorie și practică, există și alte abordări pentru extinderea unei funcții într-o serie.

În această lecție, ne vom familiariza cu seria Fourier trigonometrică, vom aborda problema convergenței și a sumei sale și, desigur, vom analiza numeroase exemple pentru extinderea funcțiilor într-o serie Fourier. Am vrut sincer să numesc articolul „Seria Fourier pentru manechin”, dar ar fi viclean, deoarece rezolvarea problemelor va necesita cunoașterea altor secțiuni de analiză matematică și ceva experiență practică. Prin urmare, preambulul va semăna cu pregătirea astronauților =)

În primul rând, studiul materialelor paginii ar trebui abordat într-o formă excelentă. Somnoros, odihnit si treaz. Fără emoții puternice despre laba ruptă a unui hamster și gânduri obsesive despre greutățile vieții peștilor de acvariu. Seria Fourier nu este dificilă din punct de vedere al înțelegerii, cu toate acestea, sarcinile practice necesită pur și simplu o concentrare sporită a atenției - în mod ideal, ar trebui să abandonați complet stimulii externi. Situația este agravată de faptul că nu există o modalitate ușoară de a verifica soluția și răspunsul. Astfel, dacă sănătatea ta este sub medie, atunci este mai bine să faci ceva mai simplu. Adevăr.

În al doilea rând, înainte de a zbura în spațiu, este necesar să se studieze panoul de instrumente al navei spațiale. Să începem cu valorile funcțiilor pe care trebuie să faceți clic pe mașină:

Pentru orice valoare naturală:

unu) . Și, de fapt, sinusoidul „clipește” axa x prin fiecare „pi”:
. În cazul valorilor negative ale argumentului, rezultatul, desigur, va fi același: .

2). Dar nu toată lumea știa asta. Cosinusul „pi en” este echivalentul unei „lumini intermitente”:

Un argument negativ nu schimbă cazul: .

Poate suficient.

Și în al treilea rând, dragi corp de cosmonauți, trebuie să fiți capabil să... integra.
În special, sigur aduce o funcție sub semn diferențial, integra pe părțiși fii în relații bune cu formula Newton-Leibniz. Să începem exercițiile importante înainte de zbor. Nu recomand să o săriți peste el, astfel încât mai târziu să nu vă aplatizați în gravitate zero:

Exemplul 1

Calculați integrale definite

unde ia valori naturale.

Decizie: integrarea se realizează peste variabila „x” iar în această etapă variabila discretă „en” este considerată constantă. În toate integralele aduceți funcția sub semnul diferenţialului:

O versiune scurtă a soluției, la care ar fi bine să trageți, arată astfel:

A se obisnui cu:

Cele patru puncte rămase sunt singure. Încercați să tratați sarcina cu conștiință și aranjați integralele într-un mod scurt. Exemple de soluții la sfârșitul lecției.

După un exercițiu de CALITATE, ne îmbrăcăm costume spațiale
și pregătiți-vă să începeți!

Expansiunea unei funcții într-o serie Fourier pe interval

Să considerăm o funcție care definit cel puțin pe interval (și, eventual, pe un interval mai mare). Dacă această funcție este integrabilă pe segmentul , atunci poate fi extinsă într-un trigonometric Seria Fourier:
, unde sunt așa-zișii Coeficienții Fourier.

În acest caz, numărul este apelat perioada de descompunere, iar numărul este descompunerea timpului de înjumătățire.

Evident, în cazul general, seria Fourier este formată din sinusuri și cosinus:

Într-adevăr, să o scriem în detaliu:

Termenul zero al seriei este de obicei scris ca .

Coeficienții Fourier se calculează folosind următoarele formule:

Înțeleg perfect că termenii noi sunt încă obscuși pentru începătorii să studieze subiectul: perioada de descompunere, jumătate de ciclu, Coeficienții Fourierși altele.Nu intrați în panică, nu este comparabil cu entuziasmul dinaintea unei plimbări în spațiu. Să ne dăm seama totul în cel mai apropiat exemplu, înainte de a executa ceea ce este logic să punem întrebări practice stringente:

Ce trebuie să faci în următoarele sarcini?

Extindeți funcția într-o serie Fourier. În plus, este adesea necesar să desenați un grafic al unei funcții, un grafic al sumei unei serii, o sumă parțială și, în cazul fanteziilor profesorale sofisticate, să faceți altceva.

Cum se extinde o funcție într-o serie Fourier?

În esență, trebuie să găsești Coeficienții Fourier, adică compuneți și calculați trei integrale definite.

Vă rugăm să copiați în caiet forma generală a seriei Fourier și cele trei formule de lucru. Sunt foarte bucuros că unii dintre vizitatorii site-ului au un vis din copilărie de a deveni astronaut care se împlinește chiar în fața ochilor mei =)

Exemplul 2

Extindeți funcția într-o serie Fourier pe intervalul . Construiți un grafic, un grafic al sumei unei serii și a unei sume parțiale.

Decizie: prima parte a sarcinii este de a extinde funcția într-o serie Fourier.

Începutul este standard, asigurați-vă că notați:

În această problemă , perioada de expansiune , jumătate de perioadă .

Extindem funcția într-o serie Fourier pe intervalul:

Folosind formulele adecvate, găsim Coeficienții Fourier. Acum trebuie să compunem și să calculăm trei integrale definite. Pentru comoditate, voi numerota punctele:

1) Prima integrală este cea mai simplă, cu toate acestea, necesită deja un ochi și un ochi:

2) Folosim a doua formulă:

Această integrală este bine cunoscută și o ia pe bucată:

Când este găsit folosit metoda de a aduce o functie sub semn diferential.

În sarcina luată în considerare, este mai convenabil să se utilizeze imediat formula de integrare pe părți într-o integrală definită :

Câteva note tehnice. În primul rând, după aplicarea formulei întreaga expresie trebuie cuprinsă între paranteze mari, deoarece există o constantă în fața integralei originale. Să nu-l pierdem! Parantezele pot fi deschise la orice pas, am făcut-o chiar la ultima tură. În prima „piesă” arătăm o acuratețe extremă în înlocuire, după cum puteți vedea, constanta nu mai este, iar limitele integrării sunt înlocuite în produs. Această acțiune este marcată cu paranteze drepte. Ei bine, integrala celei de-a doua „piese” a formulei vă este bine cunoscută din sarcina de antrenament ;-)

Și cel mai important - concentrarea supremă a atenției!

3) Căutăm al treilea coeficient Fourier:

Se obține o relativă a integralei anterioare, care este de asemenea integrat prin piese:

Această instanță este puțin mai complicată, voi comenta pașii următori pas cu pas:

(1) Întreaga expresie este cuprinsă între paranteze mari.. Nu am vrut să par plictisitoare, pierd constanta prea des.

(2) În acest caz, am extins imediat acele paranteze mari. Atentie speciala ne dedicăm primei „piese”: constanta fumează pe margine și nu participă la substituirea limitelor integrării ( și ) în produs . Având în vedere dezordinea înregistrării, este din nou recomandabil să evidențiezi această acțiune între paranteze drepte. Cu a doua „piesă” totul este mai simplu: aici fracția a apărut după deschiderea parantezelor mari, iar constanta - ca urmare a integrării integralei familiare ;-)

(3) Între paranteze pătrate, efectuăm transformări, iar în integrala dreaptă, înlocuim limitele integrării.

(4) Scoatem „fulgerul” din parantezele pătrate: , după care deschidem parantezele interioare: .

(5) Anulăm 1 și -1 în paranteze, facem simplificări finale.

În cele din urmă, am găsit toți cei trei coeficienți Fourier:

Înlocuiți-le în formulă :

Nu uitați să împărțiți în jumătate. La ultimul pas, constanta ("minus doi"), care nu depinde de "en", este scoasă din sumă.

Astfel, am obținut expansiunea funcției într-o serie Fourier pe intervalul:

Să studiem problema convergenței seriei Fourier. Voi explica în special teoria Teorema lui Dirichlet, literalmente „pe degete”, așa că dacă aveți nevoie de formulări stricte, vă rugăm să consultați un manual despre calcul (de exemplu, al 2-lea volum din Bohan; sau al 3-lea volum din Fichtenholtz, dar este mai dificil în el).

În a doua parte a sarcinii, este necesar să desenați un grafic, un grafic cu sumă în serie și un grafic cu sumă parțială.

Graficul funcției este cel obișnuit linie dreaptă pe plan, care este desenat cu o linie punctată neagră:

Ne ocupăm de suma seriei. După cum știți, seriile funcționale converg către funcții. În cazul nostru, seria Fourier construită pentru orice valoare a lui "x" converge către funcția prezentată în roșu. Această funcție este supusă pauze de primul felîn puncte, dar și definite în ele (puncte roșii în desen)

Prin urmare: . Este ușor de observat că diferă semnificativ de funcția originală, motiv pentru care în notație se folosește o tildă în loc de semnul egal.

Să studiem un algoritm prin care este convenabil să construim suma unei serii.

Pe intervalul central, seria Fourier converge către funcția în sine (segmentul roșu central coincide cu linia punctată neagră a funcției liniare).

Acum să vorbim puțin despre natura expansiunii trigonometrice considerate. Seria Fourier include doar funcții periodice (constante, sinusuri și cosinus), deci suma seriei este și o funcție periodică.

Ce înseamnă acest lucru în exemplul nostru particular? Și asta înseamnă că suma seriei –neapărat periodic iar segmentul roșu al intervalului trebuie repetat la infinit la stânga și la dreapta.

Cred că acum sensul expresiei „perioada de descompunere” a devenit în sfârșit clar. Mai simplu spus, de fiecare dată când situația se repetă din nou și din nou.

În practică, este de obicei suficient să descrii trei perioade de descompunere, așa cum se face în desen. Ei bine, și mai multe „cioturi” ale perioadelor învecinate - pentru a face clar că graficul continuă.

De un interes deosebit sunt puncte de discontinuitate de primul fel. În astfel de puncte, seria Fourier converge către valori izolate, care sunt situate exact în mijlocul „săritului” de discontinuitate (puncte roșii în desen). Cum să găsiți ordonata acestor puncte? Mai întâi, să găsim ordonata „etajului superior”: pentru aceasta, calculăm valoarea funcției în punctul cel mai din dreapta al perioadei de expansiune centrală: . Pentru a calcula ordonata „etajului inferior”, cel mai simplu mod este să luați valoarea cea mai din stânga a aceleiași perioade: . Ordonata valorii medii este media aritmetică a sumei „de sus și de jos”: . Frumos este faptul că atunci când construiești un desen, vei vedea imediat dacă mijlocul este calculat corect sau incorect.

Să construim o sumă parțială a seriei și, în același timp, să repetăm ​​sensul termenului „convergență”. Motivul este cunoscut din lecția despre suma seriei numerice. Să descriem bogăția noastră în detaliu:

Pentru a face o sumă parțială, trebuie să scrieți zero + încă doi termeni ai seriei. adica

În desen, graficul funcției este afișat în verde și, după cum puteți vedea, se înfășoară destul de strâns în jurul sumei totale. Dacă luăm în considerare o sumă parțială a cinci termeni ai seriei, atunci graficul acestei funcții va aproxima liniile roșii și mai precis, dacă există o sută de termeni, atunci „șarpele verde” se va contopi complet cu segmentele roșii, etc. Astfel, seria Fourier converge către suma sa.

Este interesant de observat că orice sumă parțială este functie continua, dar suma totală a seriei este încă discontinuă.

În practică, nu este neobișnuit să construiești un grafic cu sumă parțială. Cum să o facă? În cazul nostru, este necesar să luăm în considerare funcția pe segment, să calculați valorile acesteia la capetele segmentului și în punctele intermediare (cu cât luați în considerare mai multe puncte, cu atât graficul va fi mai precis). Apoi ar trebui să marcați aceste puncte pe desen și să desenați cu atenție un grafic al perioadei, apoi să îl „replicați” în intervale adiacente. Cum altfel? La urma urmei, aproximarea este și o funcție periodică ... ... graficul său îmi amintește cumva de un ritm cardiac uniform pe afișajul unui dispozitiv medical.

Desigur, nu este foarte convenabil să efectuați construcția, deoarece trebuie să fiți extrem de atenți, menținând o precizie de nu mai puțin de jumătate de milimetru. Cu toate acestea, voi mulțumi cititorii care sunt în dezacord cu desenul - într-o sarcină „adevărată”, este departe de a fi întotdeauna necesar să efectuați un desen, undeva în 50% din cazuri este necesară extinderea funcției într-o serie Fourier și asta este aceasta.

După finalizarea desenului, finalizam sarcina:

Răspuns:

În multe sarcini, funcția are de suferit ruptura de primul fel chiar în perioada de descompunere:

Exemplul 3

Extindeți într-o serie Fourier funcția dată pe intervalul . Desenați un grafic al funcției și al sumei totale a seriei.

Funcția propusă este dată pe bucăți (și, atenție, doar pe segment) si indura ruptura de primul fel la punctul . Este posibil să se calculeze coeficienții Fourier? Nici o problema. Ambele părți din stânga și dreapta ale funcției sunt integrabile pe intervalele lor, astfel încât integralele din fiecare dintre cele trei formule ar trebui reprezentate ca suma a două integrale. Să vedem, de exemplu, cum se face acest lucru pentru un coeficient zero:

A doua integrală s-a dovedit a fi egală cu zero, ceea ce a redus munca, dar nu este întotdeauna cazul.

Alți doi coeficienți Fourier sunt scrieți în mod similar.

Cum se afișează suma unei serii? Pe intervalul din stânga desenăm un segment de linie dreaptă, iar pe interval - un segment de linie dreaptă (evidențiați secțiunea axei cu aldine-aldine). Adică, pe intervalul de expansiune, suma seriei coincide cu funcția peste tot, cu excepția a trei puncte „rele”. În punctul de discontinuitate al funcției, seria Fourier converge către o valoare izolată, care se află exact în mijlocul „saltului” discontinuității. Nu este greu să-l vezi oral: limită stânga:, limită dreapta: și, evident, ordonata punctului mijlociu este 0,5.

Datorită periodicității sumei, imaginea trebuie „înmulțită” în perioade învecinate, în special, să descrie același lucru pe intervale și . În acest caz, în puncte, seria Fourier converge către valorile mediane.

De fapt, nu este nimic nou aici.

Încercați să rezolvați singur această problemă. O mostră aproximativă de design fin și desen la sfârșitul lecției.

Extinderea unei funcții într-o serie Fourier pe o perioadă arbitrară

Pentru o perioadă de expansiune arbitrară, unde „el” este orice număr pozitiv, formulele pentru seria Fourier și coeficienții Fourier diferă într-un argument sinus și cosinus ușor complicat:

Dacă , atunci obținem formulele pentru intervalul cu care am început.

Algoritmul și principiile pentru rezolvarea problemei sunt complet păstrate, dar complexitatea tehnică a calculelor crește:

Exemplul 4

Extindeți funcția într-o serie Fourier și trasați suma.

Decizie: de fapt, un analog al Exemplului nr. 3 cu ruptura de primul fel la punctul . În această problemă , perioada de expansiune , jumătate de perioadă . Funcția este definită numai pe jumătate de interval, dar acest lucru nu schimbă lucrurile - este important ca ambele părți ale funcției să fie integrabile.

Să extindem funcția într-o serie Fourier:

Deoarece funcția este discontinuă la origine, fiecare coeficient Fourier ar trebui în mod evident scris ca suma a două integrale:

1) Voi scrie prima integrală cât mai detaliată posibil:

2) Privește cu atenție suprafața lunii:

A doua integrală ia în părți:

La ce ar trebui să fii atent după ce deschidem continuarea soluției cu un asterisc?

În primul rând, nu pierdem prima integrală , unde executăm imediat aducând sub semnul diferenţialului. În al doilea rând, nu uita de constanta nefericita dinaintea parantezelor mari și nu te confunda cu semne la utilizarea formulei . Parantezele mari, la urma urmei, este mai convenabil să se deschidă imediat în pasul următor.

Restul este o chestiune de tehnică, doar o experiență insuficientă în rezolvarea integralelor poate provoca dificultăți.

Da, nu în zadar s-au indignat colegii eminenti ai matematicianului francez Fourier - cum a îndrăznit el să descompună funcțiile în serii trigonometrice?! =) Apropo, probabil că toată lumea este interesată de sensul practic al sarcinii în cauză. Fourier însuși a lucrat la un model matematic de conducție a căldurii și, ulterior, seria numită după el a început să fie folosită pentru a studia multe procese periodice, care sunt aparent invizibile în lumea exterioară. Acum, apropo, m-am surprins gândindu-mă că nu întâmplător am comparat graficul celui de-al doilea exemplu cu un ritm cardiac periodic. Cei interesați se pot familiariza cu aplicația practică Transformate Fourier din surse terțe. ... Deși este mai bine să nu o faci - va fi amintit ca Prima dragoste =)

3) Având în vedere verigile slabe menționate în mod repetat, ne ocupăm de al treilea coeficient:

Integrarea pe părți:

Înlocuim coeficienții Fourier găsiți în formulă , fără a uita să împărțiți coeficientul zero la jumătate:

Să reprezentăm suma seriei. Să repetăm ​​pe scurt procedura: pe interval construim o linie, iar pe interval - o linie. Cu o valoare zero a „x”, punem un punct în mijlocul „sariturii” decalajului și „replicam” graficul pentru perioadele învecinate:


La „joncțiunile” perioadelor, suma va fi, de asemenea, egală cu punctele de mijloc ale „sariturii” decalajului.

Gata. Vă reamintesc că funcția în sine este definită condiționat doar pe jumătate de interval și, evident, coincide cu suma seriei pe intervale

Răspuns:

Uneori, o funcție dată pe bucăți este, de asemenea, continuă în perioada de expansiune. Cel mai simplu exemplu: . Decizie (Vezi Bohan volumul 2) este la fel ca în cele două exemple precedente: în ciuda continuitatea functieiîn punctul , fiecare coeficient Fourier este exprimat ca suma a două integrale.

În intervalul de despărțire puncte de discontinuitate de primul felși/sau punctele de „joncțiune” ale graficului pot fi mai multe (două, trei și, în general, oricare final Cantitate). Dacă o funcție este integrabilă în fiecare parte, atunci este și extensibilă într-o serie Fourier. Dar din experiența practică, nu-mi amintesc o astfel de cutie. Cu toate acestea, există sarcini mai dificile decât doar luate în considerare, iar la sfârșitul articolului pentru toată lumea există legături către seria Fourier de complexitate crescută.

Între timp, să ne relaxăm, lăsându-ne pe spate în scaunele noastre și contemplând întinderile nesfârșite de stele:

Exemplul 5

Extindeți funcția într-o serie Fourier pe interval și trasați suma seriei.

În această sarcină, funcția continuu asupra semiintervalului de descompunere, ceea ce simplifică soluția. Totul este foarte asemănător cu Exemplul #2. Nu există nicio scăpare din nava spațială - va trebui să vă decideți =) O mostră de design aproximativă la sfârșitul lecției, programul este atașat.

Extinderea seriei Fourier a funcțiilor pare și impare

Cu funcțiile pare și impare, procesul de rezolvare a problemei este simplificat considerabil. Si de aceea. Să revenim la expansiunea funcției într-o serie Fourier pe o perioadă de „doi pi” și perioada arbitrară „două ale” .

Să presupunem că funcția noastră este pară. Termenul general al seriei, după cum puteți vedea, conține cosinusuri pare și sinusuri impare. Și dacă descompunem o funcție PAR, atunci de ce avem nevoie de sinusuri impare?! Să resetăm coeficientul inutil: .

Prin urmare, o funcție pară se extinde într-o serie Fourier numai în cosinus:

În măsura în care integrale ale funcțiilor pare peste un segment de integrare care este simetric față de zero poate fi dublat, apoi coeficienții Fourier rămași sunt de asemenea simplificați.

Pentru interval:

Pentru un interval arbitrar:

Exemplele de manuale care se găsesc în aproape orice manual de calcul includ expansiuni ale funcțiilor pare . În plus, s-au întâlnit în mod repetat în cabinetul meu personal:

Exemplul 6

Dată o funcție. Necesar:

1) extindeți funcția într-o serie Fourier cu perioada , unde este un număr pozitiv arbitrar;

2) notează expansiunea pe interval, construiește o funcție și grafică suma totală a seriei.

Decizie: în primul paragraf, se propune rezolvarea problemei într-un mod general, iar acest lucru este foarte convenabil! Va fi nevoie - doar înlocuiți-vă valoarea.

1) În această problemă, perioada de expansiune, jumătate de perioadă. În cursul acțiunilor ulterioare, în special în timpul integrării, „el” este considerat o constantă

Funcția este pară, ceea ce înseamnă că se extinde într-o serie Fourier numai în cosinus: .

Coeficienții Fourier sunt căutați prin formule . Acordați atenție avantajelor lor absolute. În primul rând, integrarea se realizează pe segmentul pozitiv al expansiunii, ceea ce înseamnă că scăpăm în siguranță de modul , luând în considerare doar „x” din două piese. Și, în al doilea rând, integrarea este simplificată considerabil.

Două:

Integrarea pe părți:

Prin urmare:
, în timp ce constanta , care nu depinde de „en”, este scoasă din sumă.

Răspuns:

2) Să scriem expansiunea pe interval, pentru aceasta înlocuim valoarea dorită a semiperioadei în formula generală:

o serie în cosinus și sinusuri de arce multiple, adică o serie de formă

sau în formă complexă

Unde un k,b k sau, respectiv, c k numit coeficienții lui T. r.
Pentru prima dată T. r. se întâlnesc la L. Euler (L. Euler, 1744). A primit expansiuni

Toate R. secolul al 18-lea În legătură cu studiul problemei vibraţiei libere a unei coarde, s-a pus problema posibilităţii de a reprezenta funcţia care caracterizează poziţia iniţială a coardei ca sumă a lui T. r. Această întrebare a provocat o dezbatere aprinsă care a durat câteva decenii, cei mai buni analiști ai vremii - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Litigii legate de conținutul conceptului de funcție. La acea vreme, funcțiile erau de obicei asociate cu analiza lor. atribuire, care a condus la luarea în considerare numai a funcțiilor analitice sau pe bucăți. Și aici a devenit necesar ca o funcție al cărei grafic este o curbă suficient de arbitrară să construiască un T. r. reprezentând această funcție. Dar semnificația acestor dispute este mai mare. De fapt, au discutat sau au apărut în legătură cu întrebări legate de multe concepte și idei fundamental importante ale matematicii. analiza în general – reprezentarea funcţiilor prin serie Taylor şi analitică. continuarea funcţiilor, folosirea seriilor divergente, permutarea limitelor, sisteme infinite de ecuaţii, interpolarea funcţiilor prin polinoame etc.
Și în viitor, ca și în această perioadă inițială, teoria lui T. r. a servit ca sursă de idei noi în matematică. Întrebarea care a dus la controverse în rândul matematicienilor în secolul al XVIII-lea a fost rezolvată în 1807 de J. Fourier, care a indicat formule de calcul al coeficienților lui T. r. (1), care trebuie. reprezentați pe funcția f(x):

și le-a aplicat în rezolvarea problemelor de conducere a căldurii. Formulele (2) sunt numite formule Fourier, deși au fost întâlnite mai devreme de A. Clairaut (1754), iar L. Euler (1777) a ajuns la ele folosind integrarea termen cu termen. T. r. (1), ai căror coeficienți sunt determinați prin formulele (2), numite. lângă funcția Fourier f și numerele a k , b k- coeficienții Fourier.
Natura rezultatelor obținute depinde de modul în care reprezentarea unei funcții este înțeleasă ca o serie, de modul în care este înțeleasă integrala din formulele (2). Viziunea modernă a teoriei râului T.. dobândit după apariţia integralei Lebesgue.
Teoria lui T. r. poate fi împărțit condiționat în două mari secțiuni - teoria seria Fourier,în care se presupune că seria (1) este seria Fourier a unei anumite funcții, iar teoria generalului T. R., unde nu se face o astfel de presupunere. Mai jos sunt principalele rezultate obținute în teoria generalului T. r. (în acest caz, măsura mulțimilor și măsurabilitatea funcțiilor sunt înțelese după Lebesgue).
Primul sistematic cercetarea T. r., în care nu se presupunea că aceste serii sunt serii Fourier, a fost disertația lui V. Riemann (V. Riemann, 1853). Prin urmare, teoria generalului T. r. numit uneori teoria riemanniană a termodinamicii.
Pentru a studia proprietățile T. r arbitrare. (1) cu coeficienți care tind spre zero B. Riemann a considerat funcția continuă F(x) , care este suma unei serii uniform convergente

obţinută după integrarea de două ori termen cu termen a seriei (1). Dacă seria (1) converge într-un punct x către un număr s, atunci în acest punct există a doua simetrică și este egală cu s. derivata functiei F:

atunci aceasta duce la însumarea seriei (1) generate de factori numit prin metoda însumării Riemann. Folosind funcția F se formulează principiul de localizare Riemann, conform căruia comportamentul seriei (1) în punctul x depinde doar de comportamentul funcției F într-o vecinătate arbitrar mică a acestui punct.
Dacă T. r. converge spre un set de măsură pozitivă, apoi coeficienții săi tind spre zero (teorema Cantor-Lebesgue). Tendința la zero coeficienți T. r. rezultă şi din convergenţa sa pe un set de a doua categorie (W. Young, W. Young, 1909).
Una dintre problemele centrale ale teoriei termodinamicii generale este problema reprezentării unei funcţii arbitrare T. r. Consolidând rezultatele lui N. N. Luzin (1915) privind reprezentarea funcțiilor lui T. R. de către Abel-Poisson și Riemann metode însumabile aproape peste tot, D. E. Men'shov a demonstrat (1940) următoarea teoremă, care se referă la cel mai important caz când reprezentarea lui funcţia f este înţeleasă ca convergenţa lui T. r. la f(x) aproape peste tot. Pentru fiecare funcție măsurabilă și finită aproape pretutindeni f, există un T. R. care converge către ea aproape peste tot (teorema lui Menshov). De remarcat că, chiar dacă funcția f este integrabilă, atunci, în general, nu se poate lua seria Fourier a funcției f ca o astfel de serie, deoarece există serii Fourier care diverg peste tot.
Teorema lui Menshov permite următoarea rafinare: dacă o funcție f este măsurabilă și finită aproape peste tot, atunci există o funcție continuă astfel încât aproape peste tot și seria Fourier diferențiată termen cu termen a funcției j converge către f(x) aproape peste tot (N. K. Bari, 1952).
Nu se știe (1984) dacă este posibil să se omite condiția de finititate pentru funcția f aproape peste tot în teorema lui Men’shov. În special, nu se știe (1984) dacă T. r. converg aproape peste tot
Prin urmare, problema reprezentării funcțiilor care pot lua valori infinite pe un set de măsură pozitivă a fost luată în considerare pentru cazul în care convergența aproape peste tot este înlocuită cu o cerință mai slabă, convergența în măsură. Convergența în măsură la funcții care pot lua valori infinite este definită astfel: o succesiune de sume parțiale T. p. s n(x) converge în măsură la funcția f(x) . dacă unde f n(x) converg la / (x) aproape peste tot, iar succesiunea converge la zero ca măsură. În acest cadru, problema reprezentării funcțiilor a fost rezolvată până la capăt: pentru fiecare funcție măsurabilă, există un T. R. care converge către ea în măsură (D. E. Men'shov, 1948).
Multe cercetări au fost dedicate problemei unicității T. r.: Pot două T. diferite să diverge către aceeași funcție? într-o formulare diferită: dacă T. r. converge la zero, rezultă că toți coeficienții seriei sunt egali cu zero. Aici se poate însemna convergență în toate punctele sau în toate punctele din afara unui anumit set. Răspunsul la aceste întrebări depinde în esență de proprietățile mulțimii în afara căreia nu se presupune convergența.
S-a stabilit următoarea terminologie. Multe nume. set de unicitate sau U- se stabilește dacă, din convergența lui T. r. la zero peste tot, cu excepția, poate, a punctelor setului E, rezultă că toţi coeficienţii acestei serii sunt egali cu zero. Altfel Enaz. M-set.
După cum a arătat G. Cantor (1872), mulțimea goală, precum și orice mulțime finită, sunt mulțimi în U. O mulțime numărabilă arbitrară este, de asemenea, o mulțime U (W. Jung, 1909). Pe de altă parte, fiecare set de măsură pozitivă este un M-set.
Existența M-urilor de măsură zero a fost stabilită de D. E. Men'shov (1916), care a construit primul exemplu de mulțime perfectă cu aceste proprietăți. Acest rezultat este de o importanță fundamentală în problema unicității. Din existența M-urilor de măsură zero rezultă că, în reprezentarea funcțiilor lui T. R. care converg aproape peste tot, aceste serii sunt definite invariabil ambiguu.
Seturile perfecte pot fi și seturi U (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Caracteristicile foarte subtile ale seturilor de măsură zero joacă un rol esențial în problema unicității. Întrebarea generală despre clasificarea seturilor de măsură zero pe M- iar U-seturile rămân deschise (1984). Nu se rezolva nici macar pentru seturi perfecte.
Următoarea problemă este legată de problema unicității. Dacă T. r. converge către funcția atunci dacă această serie trebuie să fie seria Fourier a funcției /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) a dat un răspuns pozitiv la această întrebare dacă f este integrabil în sensul lui Riemann și seria converge către f(x) în toate punctele. Din rezultate III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) presupune că răspunsul este pozitiv chiar dacă seria converge peste tot, cu excepția unui set numărabil de puncte și suma sa este finită.
Dacă un T. p converge absolut într-un punct x 0, atunci punctele de convergență ale acestei serii, precum și punctele de convergență absolută a acesteia, sunt situate simetric față de punctul x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Conform Denjoy - Teorema Luzin din convergenţa absolută a lui T. r. (1) pe un set de măsură pozitivă, seria converge și, în consecință, convergența absolută a seriei (1) pentru toți X. Această proprietate este deținută și de mulțimile din a doua categorie, precum și de anumite mulțimi de măsură zero.
Acest sondaj acoperă doar unidimensional T. r. (unu). Există rezultate separate legate de generalul T. p. din mai multe variabile. Aici, în multe cazuri, este încă necesar să găsiți enunțuri naturale ale problemei.

Lit.: Bari N. K., Seria trigonometrică, M., 1961; Sigmund A., Seria trigonometrică, trad. din engleză, vol. 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Seria integrală şi trigonometrică, M.-L., 1951; Riemann B., Opere, trad. din germană, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Teliakovsky.

• - suma trigonometrică finală, - o expresie a formei cu coeficienți reali a 0, și k, bk, k=l, . . ., n; numărul n numit. comanda T. 0)...

  Enciclopedie matematică

• - o serie în cosinus și sinusuri de arce multiple, adică o serie de formă sau în formă complexă unde se numesc ak, bk sau, respectiv, ck. coeficienții lui T. r. Pentru prima dată T. r. ne întâlnim la L. Euler...

  Enciclopedie matematică

• - punct de triangulație, - punct geodezic, a cărui poziție pe suprafața pământului este determinată prin metoda triangulației ...

  Marele dicționar politehnic enciclopedic

• - vezi Triunghiulare...

  Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Euphron

• - în geodezie, o structură instalată pe sol în puncte trigonometrice. T. h. constă din două părți - exterioară și subterană...

  Marea Enciclopedie Sovietică

• - o serie funcțională a formei, adică o serie situată de-a lungul sinusurilor și cosinusurilor arcelor multiple. Adesea T. r. scris într-o formă complexă.

Să fie dată o serie trigonometrică

Pentru a afla dacă converge, este firesc să luăm în considerare seria de numere

(2)

seria majorizantă, după cum se spune, (1). Membrii săi depășesc, respectiv, valorile absolute ale membrilor seriei (1):

.

Rezultă că dacă seria (2) converge, atunci seria (1) converge pentru toate și, în plus, absolut și uniform (vezi cartea noastră Matematică superioară. Calcul diferențial și integral, § 9.8, Teorema 1). Dar seria (1) poate converge fără ca seria (2) să convergă. La urma urmei, termenii săi pentru fiecare semn de schimbare (oscilează) de un număr infinit de ori atunci când se schimbă și se poate dovedi a converge datorită compensării termenilor pozitivi cu cei negativi. În teoria generală a seriilor, există semne de convergență a unor serii similare. Astfel de teste sunt testele Dirichlet și Abel (vezi § 9.9, Teoremele 3 și 4 din aceeași carte), care sunt bine adaptate studiului serii trigonometrice.

Într-un fel sau altul, dacă se stabilește că seria (1) converge uniform, atunci din faptul că termenii săi sunt funcții continue ale perioadei rezultă că suma sa

(3)

este o funcție de perioadă continuă (vezi § 9.8, Teorema 2 și § 9.9, Teorema 2 din aceeași carte) și seria (3) poate fi integrată termen cu termen.

Seria (3) poate fi diferențiată formal prin:

(4)

și compune seria sa majoritară

(5)

Din nou, dacă seria (5) converge, atunci seria (4) converge uniform. Mai mult, pe baza binecunoscutei teoreme din teoria seriei uniform convergente, atunci suma seriei (4) este derivata sumei seriei (3), i.e.

.

În general, dacă o serie

converge pentru un număr natural, atunci seria (3) poate fi diferențiată legal termen cu termen.

Totuși, trebuie să ne amintim că este posibil ca seria (3) să poată fi diferențiată în mod legitim încă o dată (adică, ori).

Exemplu. Aflați de câte ori o serie poate fi diferențiată termen cu termen

Numerele un n, b n sau c n se numesc coeficienţii lui T. r.

T. r. joacă un rol foarte important în matematică și în aplicațiile sale. În primul rând, T. r. oferă mijloace pentru înfățișarea și studierea funcțiilor și sunt, prin urmare, unul dintre principalele aparate ale teoriei funcțiilor. Mai departe, radiația termică apare în mod natural în soluționarea unui număr de probleme de fizică matematică, printre care se remarcă problema vibrației unei coarde, problema propagării căldurii și altele. În sfârșit, teoria radiației termice. . a contribuit la clarificarea conceptelor de bază ale analizei matematice (funcție, integrală), a adus la viață o serie de secțiuni importante ale matematicii (teoria integralelor Fourier, teoria funcțiilor aproape periodice), a servit drept unul dintre punctele de plecare pentru dezvoltarea teoriei mulțimilor, teoria funcțiilor unei variabile reale și a analizei funcționale, și pune începutul analizei armonice generale.

Euler a subliniat legătura dintre seria de putere și T. R.: dacă c n sunt reale, atunci

și anume:

Lit.: Luzin N. N., Seria integrală şi trigonometrică, M. - L., 1951; Barin. K., Seria trigonometrică, Moscova, 1961; Sigmund A., Seria trigonometrică, trad. din engleză, ed. a II-a, vol. 1-2, M., 1965.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este „Seria trigonometrică” în alte dicționare:

O serie de cosinus și sinusuri de arce multiple, adică o serie de formă sau în formă complexă unde se numesc ak, bk sau, respectiv, ck. coeficienții lui T. r. Pentru prima dată T. r. se întâlnesc la L. Euler (L. Euler, 1744). A primit expansiuni în ser. secolul al 18-lea in conexiune cu…… Enciclopedie matematică

O serie de forma în care coeficienții a0, a1, b1, a2, b2 ... nu depind de variabila x ... Dicţionar enciclopedic mare

În matematică, o serie trigonometrică este orice serie de forma: O serie trigonometrică se numește serie Fourier a unei funcții dacă coeficienții și sunt definiți după cum urmează... Wikipedia

O serie de forma în care coeficientul a0, a1, b1, a2, b2, ... nu depind de variabila x. * * * SERIA TRIGONOMETRICA SERIA TRIGONOMETRICA, o serie de forma in care coeficientii a0, a1, b1, a2, b2 ... nu depind de variabila x ... Dicţionar enciclopedic

Seria trigonometrică Fourier este o reprezentare a unei funcții arbitrare cu o perioadă sub forma unei serii (1) sau, folosind notația complexă, sub forma unei serii: . Cuprins... Wikipedia

serie Fourier trigonometrică infinită- - Subiecte de telecomunicații, concepte de bază EN seria Fourier ... Manualul Traducătorului Tehnic

Serii de tip Seria de tip (1) K. Weierstrass a introdus în 1872 o funcție continuă nicăieri diferențiabilă. J. Hadamard în 1892 a aplicat seria (1), numindu-le lacunare, la studiul analiticului. continuarea funcției. Sistematic… Enciclopedie matematică

Spre serie de serie Aceste serii sunt, respectiv, părțile reale și imaginare ale seriei la z=eix. Formula pentru sumele parțiale ale funcției j(x) conjugată cu seria Fourier trigonometrică. seria unde este nucleul conjugat Dirichlet. Dacă f(x) este o funcție a variației mărginite... ... Enciclopedie matematică

Adăugarea termenilor din seria Fourier... Wikipedia

I este o sumă infinită, de exemplu, de forma u1 + u2 + u3 + ... + un + ... sau, pe scurt, Unul dintre cele mai simple exemple de R., întâlnit deja în matematica elementară, este un infinit infinit. sumă descrescătoare ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Remarci introductive

În această secțiune, vom lua în considerare reprezentarea semnalelor periodice folosind o serie Fourier. Seriile Fourier stau la baza teoriei analizei spectrale, deoarece, așa cum vom vedea mai târziu, transformata Fourier a unui semnal neperiodic poate fi obținută ca tranziție limită a seriei Fourier cu o perioadă de repetiție infinită. Ca urmare, proprietățile seriei Fourier sunt valabile și pentru transformata Fourier a semnalelor neperiodice.

Vom lua în considerare expresiile pentru seria Fourier în forme trigonometrice și complexe și, de asemenea, vom acorda atenție condițiilor Dirichlet pentru convergența seriei Fourier. În plus, ne vom opri în detaliu asupra explicației unui astfel de concept, cum ar fi frecvența negativă a spectrului de semnal, care provoacă adesea dificultăți atunci când se familiarizează cu teoria analizei spectrale.

Semnal periodic. Seria Fourier trigonometrică

Să existe un semnal periodic în timp continuu, care se repetă cu o perioadă c, adică. , unde este un întreg arbitrar.

Ca exemplu, Figura 1 prezintă o secvență de impulsuri dreptunghiulare de durata c, care se repetă cu o perioadă de c.

Figura 1. Succesiunea periodică

Impulsuri dreptunghiulare

Din cursul analizei matematice se știe că sistemul de funcții trigonometrice

cu frecvențe multiple, unde rad/s este un număr întreg, formează o bază ortonormală pentru expansiunea semnalelor periodice cu o perioadă care satisface condițiile Dirichlet.

Condițiile Dirichlet pentru convergența seriei Fourier necesită ca un semnal periodic să fie dat pe segmentul , în timp ce sunt îndeplinite următoarele condiții:

De exemplu, funcția periodică nu satisface conditiile Dirichlet, deoarece functia are discontinuități de al doilea fel și ia valori infinite pentru , unde este un întreg arbitrar. Deci funcția nu poate fi reprezentat printr-o serie Fourier. De asemenea, puteți da un exemplu de funcție , care este mărginit, dar nici nu îndeplinește condițiile Dirichlet, deoarece are un număr infinit de puncte extreme pe măsură ce se apropie de zero. Graficul funcției prezentat în figura 2.

Figura 2. Graficul funcției :

A - două perioade de repetare; b - în vecinătate

Figura 2a prezintă două perioade de repetare ale funcției , iar în figura 2b este zona din vecinătatea . Se poate observa că la apropierea de zero, frecvența de oscilație crește la infinit, iar o astfel de funcție nu poate fi reprezentată printr-o serie Fourier, deoarece nu este monotonă pe bucăți.

Trebuie remarcat faptul că în practică nu există semnale cu valori infinite de curent sau tensiune. Funcții cu un număr infinit de extreme de tip nu se regăsesc nici în problemele aplicate. Toate semnalele periodice reale satisfac condițiile Dirichlet și pot fi reprezentate printr-o serie Fourier trigonometrică infinită de forma:

În expresia (2), coeficientul specifică componenta constantă a semnalului periodic .

În toate punctele în care semnalul este continuu, seria Fourier (2) converge către valorile semnalului dat, iar în punctele de discontinuitate de primul fel, la valoarea medie, unde și sunt limitele la stânga și la dreapta a punctului de discontinuitate, respectiv.

De asemenea, se știe din cursul analizei matematice că utilizarea unei serii Fourier trunchiate care conține doar primii termeni în loc de o sumă infinită duce la o reprezentare aproximativă a semnalului:

care asigură eroarea pătratică medie minimă. Figura 3 ilustrează aproximarea unui tren periodic de unde pătrate și a unui semnal periodic cu dinți de ferăstrău folosind numere diferite de termeni din seria Fourier.

Figura 3. Aproximarea semnalelor printr-o serie Fourier trunchiată:

A - impulsuri dreptunghiulare; b - semnal din dinți de ferăstrău

Seria Fourier în formă complexă

În paragraful anterior, am luat în considerare seria Fourier trigonometrică pentru extinderea unui semnal periodic arbitrar care satisface condițiile Dirichlet. Folosind formula lui Euler, putem arăta:
Apoi seria Fourier trigonometrică (2) ținând cont de (4):

Astfel, un semnal periodic poate fi reprezentat prin suma unei componente DC și a exponenților complecși care se rotesc la frecvențe cu coeficienți pentru frecvențe pozitive și pentru exponenți complecși care se rotesc la frecvențe negative.

Luați în considerare coeficienții exponenților complecși care se rotesc cu frecvențe pozitive:

Expresiile (6) și (7) coincid, în plus, componenta constantă poate fi scrisă și în termenii exponențialului complex la frecvență zero:

Astfel, (5), ținând cont de (6)-(8), poate fi reprezentată ca o singură sumă atunci când este indexată de la minus infinit la infinit:

Expresia (9) este o serie Fourier în formă complexă. Coeficienții seriei Fourier în formă complexă sunt legați de coeficienții și ai seriei în formă trigonometrică și sunt definiți atât pentru frecvențe pozitive, cât și pentru cele negative. Indicele din notația de frecvență indică numărul armonicii discrete, cu indici negativi corespunzători frecvențelor negative.

Din expresia (2) rezultă că pentru un semnal real coeficienții și ai seriei (2) sunt de asemenea reali. Totuși, (9) atribuie unui semnal real, un set de coeficienți conjugați complecși, relaționați atât cu frecvențele pozitive, cât și cu cele negative.

Câteva explicații pentru seria Fourier în formă complexă

În secțiunea anterioară, am făcut trecerea de la seria Fourier trigonometrică (2) la seria Fourier în formă complexă (9). Drept urmare, în loc să extindem semnalele periodice pe baza funcțiilor trigonometrice reale, am obținut o expansiune pe bază de exponențiale complexe, cu coeficienți complexi, și chiar și frecvențe negative au apărut în expansiune! Deoarece această problemă este adesea înțeleasă greșit, este necesar să se ofere câteva lămuriri.

În primul rând, lucrul cu exponenți complecși este în cele mai multe cazuri mai ușor decât lucrul cu funcții trigonometrice. De exemplu, atunci când înmulțiți și împărțiți exponențiale complexe, este suficient doar să adăugați (scădeți) exponenții, în timp ce formulele de înmulțire și împărțire a funcțiilor trigonometrice sunt mai greoaie.

Diferențierea și integrarea exponenților, chiar și a celor complecși, este, de asemenea, mai ușoară decât funcțiile trigonometrice, care se schimbă constant la diferențiere și integrare (sinusul devine cosinus și invers).

Dacă semnalul este periodic și real, atunci seria Fourier trigonometrică (2) pare mai ilustrativă, deoarece toți coeficienții de expansiune , și rămân reali. Cu toate acestea, de multe ori trebuie să se ocupe de semnale periodice complexe (de exemplu, modularea și demodularea folosesc o reprezentare în cuadratura a anvelopei complexe). În acest caz, atunci când se utilizează seria Fourier trigonometrică, toți coeficienții și expansiunile (2) vor deveni complexe, în timp ce când se utilizează seria Fourier în formă complexă (9), aceiași coeficienți de expansiune vor fi utilizați atât pentru semnalele de intrare reale, cât și pentru cele complexe. .

Și în sfârșit, este necesar să ne oprim asupra explicației frecvențelor negative care au apărut în (9). Această întrebare este adesea greșit înțeleasă. În viața de zi cu zi, nu întâlnim frecvențe negative. De exemplu, nu ne acordăm niciodată radioul la o frecvență negativă. Să luăm în considerare următoarea analogie din mecanică. Să existe un pendul cu arc mecanic care oscilează liber cu o anumită frecvență. Poate un pendul să oscileze cu o frecvență negativă? Desigur că nu. Așa cum nu există posturi de radio care să emită frecvențe negative, la fel și frecvența pendulului nu poate fi negativă. Dar un pendul cu arc este un obiect unidimensional (pendulul oscilează de-a lungul unei linii drepte).

Mai putem da o altă analogie din mecanică: o roată care se rotește la o frecvență de . Roata, spre deosebire de pendul, se rotește, adică. un punct de pe suprafața roții se mișcă într-un plan și nu doar oscilează de-a lungul unei singure linii drepte. Prin urmare, pentru a seta în mod unic rotația roții, nu este suficient să setați frecvența de rotație, deoarece este și necesar să setați direcția de rotație. Exact pentru asta putem folosi semnul de frecvență.

Deci, dacă roata se rotește la o frecvență de rad / s în sens invers acelor de ceasornic, atunci considerăm că roata se rotește cu o frecvență pozitivă, iar dacă se rotește în sensul acelor de ceasornic, atunci frecvența de rotație va fi negativă. Astfel, pentru a specifica o rotație, o frecvență negativă încetează să mai fie un nonsens și indică direcția de rotație.

Și acum cel mai important lucru pe care trebuie să-l înțelegem. Oscilația unui obiect unidimensional (de exemplu, un pendul cu arc) poate fi reprezentată ca suma rotațiilor celor doi vectori prezentați în Figura 4.

Figura 4. Oscilația unui pendul cu arc

Ca sumă de rotații a doi vectori

pe plan complex

Pendulul oscilează de-a lungul axei reale a planului complex cu o frecvență conform legii armonice. Mișcarea pendulului este prezentată ca un vector orizontal. Vectorul de sus se rotește în planul complex la o frecvență pozitivă (în sens invers acelor de ceasornic), iar vectorul de jos se rotește la o frecvență negativă (în sensul acelor de ceasornic). Figura 4 ilustrează clar relația binecunoscută de la cursul de trigonometrie:

Astfel, seria Fourier în formă complexă (9) reprezintă semnale periodice unidimensionale ca sumă de vectori pe planul complex care se rotesc cu frecvențe pozitive și negative. În același timp, observăm că în cazul unui semnal real, conform (9), coeficienții de expansiune pentru frecvențele negative sunt complex conjugați cu coeficienții corespunzători pentru frecvențele pozitive. În cazul unui semnal complex, această proprietate a coeficienților nu este valabilă din cauza faptului că și sunt, de asemenea, complexi.

Spectrul de semnale periodice

Seria Fourier în formă complexă este descompunerea unui semnal periodic într-o sumă de exponențiale complexe care se rotesc cu frecvențe pozitive și negative în multipli de rad/s cu coeficienții complexi corespunzători, care determină spectrul semnalului. Coeficienții complecși pot fi reprezentați prin formula Euler ca , unde este spectrul de amplitudine și a este spectrul de fază.

Deoarece semnalele periodice sunt descompuse într-o serie numai pe o grilă de frecvență fixă, spectrul semnalelor periodice este linie (discret).

Figura 5. Spectrul unei secvențe periodice

Impulsuri dreptunghiulare:

A este spectrul de amplitudine; b - spectrul de fază

Figura 5 prezintă un exemplu de amplitudine și spectru de fază al unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare (vezi Figura 1) pentru c, durata impulsului c și amplitudinea impulsului B.

Spectrul de amplitudine al semnalului real original este simetric în raport cu frecvența zero, în timp ce spectrul de fază este antisimetric. În același timp, observăm că valorile spectrului de fază și corespund aceluiaşi punct din planul complex.

Se poate concluziona că toți coeficienții de expansiune ai semnalului redus sunt pur reali, iar spectrul de fază corespunde coeficienților negativi .

Rețineți că dimensiunea spectrului de amplitudine coincide cu dimensiunea semnalului. Dacă se descrie modificarea tensiunii în timp, măsurată în volți, atunci amplitudinile armonicilor din spectru vor avea și dimensiunea volților.

constatări

În această secțiune, luăm în considerare reprezentarea semnalelor periodice folosind seria Fourier. Sunt date expresii pentru seria Fourier în forme trigonometrice și complexe. Am acordat o atenție deosebită condițiilor Dirichlet pentru convergența seriei Fourier și am dat exemple de funcții pentru care seria Fourier diverge.

Ne-am oprit în detaliu asupra expresiei seriei Fourier în formă complexă și am arătat că semnalele periodice, atât reale, cât și complexe, sunt reprezentate de o serie de exponențiale complexe cu frecvențe pozitive și negative. În acest caz, coeficienții de expansiune sunt de asemenea complecși și caracterizează spectrul de amplitudine și fază al unui semnal periodic.

În secțiunea următoare, vom analiza mai detaliat proprietățile spectrelor semnalelor periodice.

Implementare software în biblioteca DSPL

Dech, G. Ghid pentru aplicarea practică a transformării Laplace. Moscova, Nauka, 1965, 288 p.