Pe această pagină veți găsi toate formulele trigonometrice de bază care vă vor ajuta să rezolvați multe exerciții, simplificând foarte mult expresia în sine.
Formulele trigonometrice sunt egalități matematice pentru funcțiile trigonometrice care sunt valabile pentru toate valorile argumentelor valide.
Formulele stabilesc relația dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.
Sinusul unui unghi este coordonata y a unui punct (ordonata) pe cercul unitar. Cosinusul unui unghi este coordonata x a unui punct (abscisa).
Tangenta și cotangenta sunt, respectiv, raportul dintre sinus și cosinus și invers.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
Și două care sunt folosite mai rar - secante, cosecante. Ele denotă rapoarte de 1 la cosinus și sinus.
`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Din definițiile funcțiilor trigonometrice, puteți vedea ce semne au acestea în fiecare trimestru. Semnul funcției depinde doar de cadranul în care se află argumentul.
Când se schimbă semnul argumentului de la „+” la „-”, doar funcția cosinus nu își schimbă valoarea. Se numește chiar. Graficul său este simetric față de axa y.
Funcțiile rămase (sinus, tangentă, cotangentă) sunt impare. Când semnul argumentului este schimbat de la „+” la „-”, valoarea lor se schimbă și în negativă. Graficele lor sunt simetrice față de origine.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Identități trigonometrice de bază
Identitățile trigonometrice de bază sunt formule care stabilesc o relație între funcțiile trigonometrice ale unui unghi (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) și care vă permit să găsiți valoarea fiecăreia dintre aceste funcții prin oricare alta cunoscută.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Formule pentru suma și diferența de unghiuri ale funcțiilor trigonometrice
Formulele de adunare și scădere a argumentelor exprimă funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri în funcție de funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Formule cu unghi dublu
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Formule cu unghi triplu
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Formule cu jumătate de unghi
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
Formulele cu jumătate, dublu și triplu argument exprimă funcțiile „sin, \cos, \tg, \ctg” ale acelor argumente (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) în termenii acelorași funcții argument `\alpha`.
Rezultatele lor pot fi obținute din grupul anterior (adunarea și scăderea argumentelor). De exemplu, identitățile cu unghi dublu sunt ușor de obținut prin înlocuirea `\beta` cu `\alpha`.
Formule de reducere
Formulele de pătrate (cuburi etc.) ale funcțiilor trigonometrice vă permit să treceți de la 2,3, ... grade la funcții trigonometrice de gradul întâi, dar unghiuri multiple (`\alpha, \ 3\alpha, \... ` sau `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
Formulele sunt transformări ale sumei și diferenței funcțiilor trigonometrice ale diferitelor argumente într-un produs.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \\beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Aici adunarea și scăderea funcțiilor unui argument sunt convertite într-un produs.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
Următoarele formule convertesc suma și diferența unei unități și a unei funcții trigonometrice într-un produs.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
Formule de conversie a funcțiilor
Formule pentru conversia produsului funcțiilor trigonometrice cu argumente `\alpha` și `\beta` în suma (diferența) acestor argumente.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`
Substituție trigonometrică universală
Aceste formule exprimă funcții trigonometrice în termenii tangentei unui jumătate de unghi.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Formule turnate
Formulele de reducere pot fi obținute folosind astfel de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice precum periodicitatea, simetria, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Acestea permit convertirea funcțiilor unghiulare arbitrare în funcții al căror unghi este între 0 și 90 de grade.
Pentru unghiul (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) sau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;`` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`\pi \pm \alpha`) sau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pentru unghiul (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) sau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;`` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`2\pi \pm \alpha`) sau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;`` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Exprimarea unor funcții trigonometrice în termenii altora
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`
Trigonometria se traduce literal prin „măsurarea triunghiurilor”. Începe să fie studiat la școală și continuă mai detaliat la universități. Prin urmare, sunt necesare formulele de bază pentru trigonometrie, începând din clasa a X-a, precum și pentru promovarea examenului. Ele denotă conexiuni între funcții și, deoarece există multe dintre aceste conexiuni, există destul de multe formule în sine. A-i aminti pe toate nu este ușor și nu este necesar - dacă este necesar, toate pot fi deduse.
Formulele trigonometrice sunt utilizate în calculul integral, precum și în simplificări, calcule și transformări trigonometrice.
Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!
O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tg x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică și vom lua în considerare formulele lor în continuare.
Cele mai simple ecuații sunt `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să scriem formulele rădăcină pentru fiecare dintre ele.
1. Ecuația `sin x=a`.
Pentru `|a|>1` nu are soluții.
Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.
Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Ecuația `cos x=a`
Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, nu exista solutii intre numerele reale.
Cu `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.
Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice. 
3. Ecuația `tg x=a`
Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.
Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Ecuația `ctg x=a`
De asemenea, are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.
Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel
Pentru sinusuri: 
Pentru cosinus: 
Pentru tangentă și cotangentă: 
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:
Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice
Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:
- folosind pentru a-l converti în cel mai simplu;
- rezolvați ecuația simplă rezultată folosind formulele de mai sus pentru rădăcini și tabele.
Să luăm în considerare principalele metode de soluție folosind exemple.
metoda algebrică.
În această metodă, se face înlocuirea unei variabile și înlocuirea acesteia în egalitate.
Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,
găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Factorizarea.
Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.
Soluţie. Mutați la stânga toți termenii de egalitate: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Reducerea la o ecuație omogenă
Mai întâi, trebuie să aduceți această ecuație trigonometrică într-una dintre cele două forme:
`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).
Apoi împărțiți ambele părți prin `cos x \ne 0` pentru primul caz și cu `cos^2 x \ne 0` pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.
Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Soluţie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțind părțile din stânga și din dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, ca rezultat `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Du-te la Half Corner
Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Soluţie. Aplicând formulele unghiului dublu, rezultatul este: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Introducerea unui unghi auxiliar
În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțim ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.
Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume, suma pătratelor lor este 1 și modulul lor este cel mult 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , apoi:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:
Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.
Soluţie. Împărțind ambele părți ale ecuației la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Se notează `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, luăm `\varphi=arcsin 4/5` ca unghi auxiliar. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ecuații trigonometrice fracționale-raționale
Acestea sunt egalități cu fracții, în numărătorii și numitorii cărora există funcții trigonometrice.
Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Soluţie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a ecuației cu `(1+cos x)`. Ca rezultat, obținem:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Având în vedere că numitorul nu poate fi zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Echivalează numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt utilizate în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examen, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță la îndemână!
Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să puteți deduce. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.
Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!
Formulele cu unghi dublu fac posibilă exprimarea funcțiilor trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă, cotangentă) ale unghiului `2\alpha` în ceea ce privește tocmai aceste funcții ale unghiului `\alpha`.
Lista de mai jos este formulele de bază cu unghi dublu care sunt cel mai frecvent utilizate în trigonometrie. Sunt trei pentru cosinus, toate sunt echivalente și la fel de importante.
`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`
Următoarele identități exprimă toate funcțiile trigonometrice ale unghiului `2\alpha` în termenii funcțiilor tangente și cotangente ale unghiului `\alpha`.
`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Formulele pentru cosinusul și sinusul unui unghi dublu sunt valabile pentru orice unghi `\alpha`. Formulele pentru tangentei unui unghi dublu sunt valabile pentru acele `\alpha` pentru care este definit `tg \ 2\alpha`, adică pentru ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \in Z`. În mod similar, pentru cotangentă, ele sunt valabile pentru acele `\alpha` pentru care este definită `ctg \ 2\alpha`, adică pentru ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \n \in Z`.
Dovada formulelor cu unghi dublu
Toate formulele unghiului dublu sunt derivate din formulele pentru suma și diferența unghiurilor funcțiilor trigonometrice.
Să luăm două formule pentru suma unghiurilor sinusului și cosinusului:
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` și `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Luați `\beta=\alpha`, apoi `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, similar cu `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, care și demonstrează formulele unghiului dublu pentru sinus și cosinus.
Celelalte două egalități pentru cosinusul ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` și `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` se reduc la ceea ce a fost deja demonstrat dacă înlocuim 1 în ele cu `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Deci `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` și ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.
Pentru a demonstra formulele pentru tangentei unui unghi dublu și cotangentei, folosim definiția acestor funcții. Scrieți `tg \ 2\alpha` și `ctg \ 2\alpha` ca `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` și `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Aplicând formulele deja dovedite cu unghi dublu pentru sinus și cosinus, obținem `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` și `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\\alpha)`.
În cazul tangentei, împărțim numărătorul și numitorul fracției finale la `cos^2 \alpha`, pentru cotangente, la rândul său, la `sin^2 \alpha`.
`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`.
`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`.
Vă sugerăm și vizionarea videoclipului pentru a consolida mai bine materialul teoretic:
Exemple de utilizare a formulelor în rezolvarea problemelor
Formulele cu unghi dublu sunt utilizate în majoritatea cazurilor pentru a converti expresii trigonometrice. Să luăm în considerare câteva dintre cazuri, cum le puteți aplica în practică atunci când rezolvați probleme specifice.
Exemplul 1. Verificați validitatea identităților unghiului dublu pentru `\alpha=30^\circ`.
Soluţie. Formulele noastre folosesc două unghiuri `\alpha` și `2\alpha`. Valoarea primului unghi este dată în condiția, al doilea va fi `2\alpha=60^\circ` în mod corespunzător. De asemenea, cunoaștem valorile numerice pentru toate funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri. Să le scriem:
`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` și
`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.
Atunci vom avea
`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,
`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,
`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,
`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.
Ceea ce demonstrează validitatea egalităților pentru unghiul dat în condiție.
Exemplul 2. Exprimați `sin \frac (2\alpha)3` în termenii funcțiilor trigonometrice ale unghiului `\frac (\alpha)6`.
Soluţie. Scriem unghiul sinusoidal după cum urmează ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Apoi, aplicând de două ori formula unghiului dublu, ne putem rezolva problema.
În primul rând, folosim ecuația sinusului cu unghi dublu: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3`, acum aplicăm formulele noastre pentru sinus și, respectiv, cosinus din nou. Ca rezultat, obținem:
` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Răspuns. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Formule cu unghi triplu
Aceste formule, asemănător celor anterioare, fac posibilă exprimarea funcțiilor unghiului `3\alpha` în ceea ce privește tocmai aceste funcții ale unghiului `\alpha`.
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Le puteți demonstra folosind egalitățile sumei și diferenței unghiurilor, precum și binecunoscutele formule de unghi dublu.
`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.
În formula rezultată, înlocuiți `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` cu `1-sin^2\alpha` și obțineți `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.
De asemenea, pentru cosinusul unghiului triplu:
`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.
Înlocuind `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` cu `1-cos^2\alpha` în ecuația finală, obținem `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.
Folosind identitățile dovedite pentru sinus și cosinus, se poate dovedi pentru tangentă și cotangentă:
`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alfa)(1-3tg^2 \alpha)`;
`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha) cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3) sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha) -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.
Pentru a demonstra formulele pentru unghiul ` 4\alpha`, îl puteți reprezenta ca ` 2 \cdot 2\alpha` și încercați formulele unghiului dublu de două ori.
Pentru a obține egalități similare pentru unghiul `5\alpha`, îl puteți scrie ca `3\alpha + 2\alpha` și aplicați identitățile sumei și diferenței unghiurilor și unghiului dublu și triplu.
În mod similar, toate formulele pentru alte unghiuri multiple sunt derivate, deci sunt rareori necesare în practică.
Trigonometrie, formule trigonometrice
Sunt date relațiile dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă formule trigonometrice. Și din moment ce există destul de multe conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică și abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcțiile trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcțiile unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.
În acest articol, enumeram în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa în funcție de scopul lor și le vom introduce în tabele.
Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi. Ele decurg din definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și a conceptului de cerc unitar. Vă permit să exprimați o funcție trigonometrică prin oricare alta.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicații, consultați articolul identități trigonometrice de bază.
Începutul paginii
Formule turnate
Formule turnate rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei și, de asemenea, proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Motivul pentru aceste formule, o regulă mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a lor pot fi găsite în articolul despre formulele de reducere.
Începutul paginii
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Pentru mai multe informații, consultați Formule de adunare.
Începutul paginii
Formule pentru dublu, triplu etc. colţ
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (se mai numesc și formule cu unghiuri multiple) arată modul în care funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt colectate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. unghi.
Începutul paginii
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați cum funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.
Derivarea lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articolul formulele semiunghiului.
Începutul paginii
Formule de reducere
Formule trigonometrice pentru grade descrescătoare sunt concepute pentru a facilita trecerea de la puterile naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele permit reducerea puterilor funcțiilor trigonometrice la prima.
Începutul paginii
Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice
destinatia principala formule de sumă și diferență pentru funcțiile trigonometrice constă în trecerea la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util la simplificarea expresiilor trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece permit factorizarea sumei și diferențelor sinusurilor și cosinusurilor.
Pentru derivarea formulelor, precum și exemple de aplicare a acestora, consultați formulele articolului pentru suma și diferența dintre sinus și cosinus.
Începutul paginii
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează prin formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Începutul paginii
Substituție trigonometrică universală
Terminăm trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor se numește substituție trigonometrică universală. Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.
Pentru mai multe informații, consultați articolul substituție trigonometrică universală.
Începutul paginii
- Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. — M.: Iluminismul, 1993. — 351 p.: ill. — ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.
Formule trigonometrice- sunt cele mai necesare formule în trigonometrie, necesare pentru exprimarea funcţiilor trigonometrice care se execută pentru orice valoare a argumentului.
Formule de adunare.
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
Formule cu unghi dublu.
cos 2α = cos²α — păcat²α
cos 2α = 2cos²α — 1
cos 2α = 1 - 2sin²α
păcatul 2α = 2sinα cosα
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2ctgα )
Formule cu trei unghiuri.
sin3α = 3sinα - 4sin³α
cos 3α = 4cos³α — 3cosα
tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Formule cu jumătate de unghi.
Formule de turnare.
|
Funcție / unghi în rad. |
π/2 - α |
π/2 + α |
3π/2 - α |
3π/2 + α |
2π - α |
2π + α |
||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Funcție / unghi în ° |
90° - α |
90° + α |
180° - α |
180° + α |
270° - α |
270° + α |
360° - α |
360° + α |
Descrierea detaliată a formulelor de reducere.
Formule trigonometrice de bază.
Identitatea trigonometrică de bază:
sin2α+cos2α=1
Această identitate este rezultatul aplicării teoremei lui Pitagora unui triunghi dintr-un cerc trigonometric unitar.
Relația dintre cosinus și tangentă:
1/cos 2 α−tan 2 α=1 sau sec 2 α−tan 2 α=1.
Această formulă este o consecință a identității trigonometrice de bază și se obține din ea prin împărțirea părților din stânga și din dreapta la cos2α. Se presupune că α≠π/2+πn,n∈Z.
Relația dintre sinus și cotangent:
1/sin 2 α−cot 2 α=1 sau csc 2 α−cot 2 α=1.
Această formulă decurge și din identitatea trigonometrică de bază (obținută din ea prin împărțirea părților stânga și dreaptă la sin2α. Aici se presupune că α≠πn,n∈Z.
Definiția tangentei:
tanα=sinα/cosα,
Unde α≠π/2+πn,n∈Z.
Definiția cotangentei:
cotα=cosα/sinα,
Unde α≠πn,n∈Z.
Consecința din definițiile tangentei și cotangentei:
tanα⋅ cotα=1,
Unde α≠πn/2,n∈Z.
Definiția secantei:
secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z
Definiție cosecant:
cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z
Inegalități trigonometrice.
Cele mai simple inegalități trigonometrice:
sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,
cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,
tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,
cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.
Patratele functiilor trigonometrice.
Formule de cuburi de funcții trigonometrice.
Trigonometrie Matematică. Trigonometrie. Formule. Geometrie. Teorie
Am luat în considerare cele mai de bază funcții trigonometrice (nu vă lăsați păcăliți, pe lângă sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, există o mulțime de alte funcții, dar mai multe despre ele mai târziu), dar deocamdată vom lua în considerare câteva dintre proprietăţile de bază ale funcţiilor deja studiate.
Funcții trigonometrice ale unui argument numeric
Oricare ar fi numărul real t, i se poate atribui un număr definit în mod unic sin(t).
Adevărat, regula corespondenței este destul de complicată și constă în următoarele.
Pentru a găsi valoarea sin (t) cu numărul t, aveți nevoie de:
- poziționați cercul numeric pe planul de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea, iar punctul de plecare A al cercului să lovească punctul (1; 0);
- găsiți un punct pe cerc corespunzător numărului t;
- găsiți ordonata acestui punct.
- această ordonată este păcatul dorit(t).
De fapt, vorbim despre funcția s = sin(t), unde t este orice număr real. Știm cum să calculăm unele valori ale acestei funcții (de exemplu, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), etc.) , cunoaștem unele dintre proprietățile sale.
Conectarea funcțiilor trigonometrice
După cum, sper, ghiciți că toate funcțiile trigonometrice sunt interconectate și chiar și fără a cunoaște valoarea uneia, aceasta poate fi găsită prin cealaltă.
De exemplu, cea mai importantă formulă a tuturor trigonometriei este identitate trigonometrică de bază:
\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]
După cum puteți vedea, cunoscând valoarea sinusului, puteți găsi valoarea cosinusului și invers.
Formule de trigonometrie
De asemenea, formule foarte comune care relaționează sinusul și cosinusul cu tangenta și cotangenta:
\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]
Din ultimele două formule mai poate fi dedusă o identitate trigometrică, conectând de data aceasta tangenta și cotangenta:
\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]
Acum să vedem cum funcționează aceste formule în practică.
EXEMPLU 1. Simplificați expresia: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)
a) În primul rând scriem tangenta, păstrând pătratul:
\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
Acum introducem totul sub un numitor comun și obținem:
\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]
Și în sfârșit, după cum vedem, numărătorul poate fi redus la unu conform identității trigonometrice de bază, ca rezultat obținem: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]
b) Cu cotangenta, efectuam toate aceleasi actiuni, doar numitorul nu va mai avea cosinus, ci sinus, iar raspunsul va iesi astfel:
\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]
După ce am finalizat această sarcină, am obținut încă două formule foarte importante care conectează funcțiile noastre, pe care trebuie să le cunoașteți ca dosul mâinii:
\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]
Trebuie să cunoașteți pe de rost toate formulele prezentate în cadru, altfel studiul suplimentar al trigonometriei fără ele este pur și simplu imposibil. Pe viitor vor fi mai multe formule și vor fi multe și vă asigur că cu siguranță le veți aminti multă vreme pe toate, sau poate nu le veți aminti, dar TOȚI ar trebui să știe aceste șase piese. !
Un tabel complet cu toate formulele de reducere trigonometrice de bază și rare.
Aici puteți găsi formule trigonometrice într-o formă convenabilă. Iar formulele de reducere trigonometrică pot fi vizualizate pe altă pagină.
Identități trigonometrice de bază
sunt expresii matematice pentru funcții trigonometrice care sunt executate pentru fiecare valoare a argumentului.
- sin² α + cos² α = 1
- tgα ctgα = 1
- tan α = sin α ÷ cos α
- ctg α = cos α ÷ sin α
- 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
- 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
Formule de adunare
- sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
- sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
- cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
- cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
- tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
- tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
- ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
- ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org
Formule cu unghi dublu
- cos 2α = cos² α - sin² α
- cos2α = 2cos²α - 1
- cos 2α = 1 - 2sin² α
- sin2α = 2sinα cosα
- tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
- ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
Formule cu unghi triplu
- sin3α = 3sinα - 4sin³α
- cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
- tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
- ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Formule de reducere
- sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
- sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
- cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
- cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
- sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
- sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
Trecerea de la produs la sumă
- sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
- sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
- cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))
Am enumerat destul de multe formule trigonometrice, dar dacă lipsește ceva, scrieți.
Toate pentru studiu » Matematică la școală » Formule trigonometrice - cheat sheet
Pentru a marca o pagină, apăsați Ctrl+D.
Un grup cu o grămadă de informații utile (abonează-te dacă ai un examen sau un examen):
Întreaga bază de rezumate, referate, teze și alte materiale educaționale este oferită gratuit. Folosind materialele site-ului confirmați că ați citit acordul de utilizare și sunteți de acord cu toate clauzele acestuia în totalitate.
se ia în considerare în detaliu transformarea grupurilor de soluţii generale ale ecuaţiilor trigonometrice. A treia secțiune tratează ecuațiile trigonometrice non-standard, ale căror soluții se bazează pe abordarea funcțională.
Toate formulele de trigonometrie (ecuațiile): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)
A patra secțiune tratează inegalitățile trigonometrice. Metodele de rezolvare a inegalităților trigonometrice elementare sunt luate în considerare în detaliu, atât pe cercul unitar, cât și pe ...
… unghi 1800-α= de-a lungul ipotenuzei și unghiului ascuțit: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Deci, la cursul de geometrie scolara, conceptul de functie trigonometrica este introdus prin mijloace geometrice datorita disponibilitatii lor mai mari. Schema metodologică tradițională pentru studierea funcțiilor trigonometrice este următoarea: 1) în primul rând, funcțiile trigonometrice sunt determinate pentru un unghi ascuțit al unui dreptunghiular ...
… Tema pentru acasă 19(3,6), 20(2,4) Stabilirea obiectivelor Actualizarea cunoştinţelor de referinţă Proprietăţile funcţiilor trigonometrice Formule de reducere Material nou Valorile funcţiilor trigonometrice Rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice simple Consolidarea Rezolvarea problemelor Scopul lecţiei: astăzi vom calculați valorile funcțiilor trigonometrice și rezolvați...
... ipoteza formulată trebuia să rezolve următoarele sarcini: 1. Să identifice rolul ecuațiilor și inegalităților trigonometrice în predarea matematicii; 2. Să elaboreze o metodologie de formare a deprinderilor de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, vizând dezvoltarea reprezentărilor trigonometrice; 3. Verificați experimental eficacitatea metodologiei dezvoltate. Pentru solutii...
Formule trigonometrice
Formule trigonometrice
Vă prezentăm atenției diverse formule legate de trigonometrie.
| ctg(2α) = | ctg 2 (α) - 1 2ctg(α) |
Formule generale
- versiune tipărită
Definiții Sinusul unghiului α (desemnare păcat(α)) este raportul catetului opus unghiului α față de ipotenuză. Cosinusul unghiului α (desemnare cos(α)) este raportul dintre catetul adiacent unghiului α și ipotenuză. Tangenta unghiului α (desemnare tg(α)) este raportul piciorului opus unghiului α față de catetul adiacent. O definiție echivalentă este raportul dintre sinusul unui unghi α și cosinusul aceluiași unghi, sin(α)/cos(α). Cotangenta unghiului α (desemnare ctg(α)) este raportul dintre latura adiacentă unghiului α și latura opusă. O definiție echivalentă este raportul dintre cosinusul unghiului α și sinusul aceluiași unghi - cos(α)/sin(α). Alte funcții trigonometrice: secantă — sec(α) = 1/cos(α); cosecant cosec(α) = 1/sin(α). Notă În mod specific nu scriem semnul * (înmulțire), - unde două funcții sunt scrise pe rând, fără spațiu, este subînțeles. Cheie Pentru a obține formule pentru cosinusul, sinusul, tangenta sau cotangenta unghiurilor multiple (4+), este suficient să le scrieți conform formulelor respectiv. cosinus, sinus, tangentă sau cotangentă a sumei, sau se reduce la cazurile anterioare, reducând la formulele unghiurilor triple și duble. Plus Tabel de derivate© elev. Matematică (susținut de Branch Tree) 2009—2016
