Primul nivel

Cel mai mare multiplu comun și cel mai mic divizor comun. Criterii de divizibilitate și metode de grupare (2019)

Pentru a-ți simplifica MULT viața când trebuie să calculezi ceva, să câștigi timp prețios la OGE sau la USE, să faci mai puține greșeli stupide - citește această secțiune!

Iată ce vei învăța:

• cum să calculezi mai rapid, mai ușor și mai precis folosindgruparea numerelorla adunare si scadere,
• cum să înmulțiți și să împărțiți rapid fără erori folosind regulile de multiplicare și criteriile de divizibilitate,
• cum să accelerezi semnificativ calculele folosind cel mai mic multiplu comun(NOC) și cel mai mare divizor comun(GCD).

Posesia tehnicilor acestei secțiuni poate înclina balanța într-o direcție sau alta... indiferent dacă intri la universitatea visurilor tale sau nu, tu sau părinții tăi vei trebui să plătești mulți bani pentru educație sau vei intra în buget. .

Să ne scufundăm chiar în... (Hai să mergem!)

Notă importantă!Dacă, în loc de formule, vedeți farfurie, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac)

Multe numere întregi constă din 3 părți:

1. numere întregi(le vom analiza mai detaliat mai jos);
2. numere opuse numerelor naturale(totul se va pune la punct de îndată ce vei ști ce sunt numerele naturale);
3. zero - " " (unde fara el?)

litera Z.

numere întregi

„Dumnezeu a creat numerele naturale, orice altceva este opera mâinilor omului” (c) matematicianul german Kronecker.

Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim pentru a număra obiectele și pe aceasta se bazează istoricul apariției lor - necesitatea numărării săgeților, skin-urilor etc.

1, 2, 3, 4...n

litera N.

În consecință, această definiție nu include (nu poți număra ceea ce nu există?) și cu atât mai mult nu include valori negative (există un măr?).

În plus, nu sunt incluse toate numerele fracționale (nu putem spune nici „am un laptop” sau „am vândut mașini”)

Orice numar natural poate fi scris folosind 10 cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Deci 14 nu este un număr. Acesta este un număr. Din ce numere constă? Așa e, din cifre și.

Plus. Gruparea la adăugare pentru o numărare mai rapidă și mai puține greșeli

Ce lucruri interesante poți spune despre această procedură? Desigur, acum vei răspunde „valoarea sumei nu se schimbă din rearanjarea termenilor”. S-ar părea că o regulă primitivă familiară din prima clasă, totuși, atunci când rezolvăm exemple mari, aceasta uitat instantaneu!

Nu uita de elutilizați gruparea, pentru a facilita procesul de numărare și a reduce probabilitatea erorilor, deoarece nu veți avea un calculator pentru examen.

Vedeți singur ce expresie este mai ușor de adăugat?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

Bineînțeles că al doilea! Deși rezultatul este același. Dar! Avand in vedere a doua cale, este mai putin probabil sa gresesti si vei face totul mai repede!

Deci, în mintea ta, gândești așa:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Scădere. Gruparea la scădere pentru o numărare mai rapidă și mai puține erori

Când scădem, putem grupa și numerele scăzute, de exemplu:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Ce se întâmplă dacă scăderea este intercalată cu adunarea în exemplu? Poți și grupa, vei răspunde și pe bună dreptate. Doar vă rog, nu uitați de semnele din fața numerelor, de exemplu: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Amintiți-vă: semnele aplicate incorect vor duce la un rezultat eronat.

Multiplicare. Cum să te înmulți în mintea ta

Este evident că nici valoarea produsului nu se va schimba de la schimbarea locurilor factorilor:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Nu îți voi spune să „folosești asta atunci când rezolvi probleme” (ai înțeles tu însuți ideea, nu?), ci mai degrabă să-ți spun cum să înmulți rapid unele numere din cap. Deci, uitați-vă cu atenție la tabel:

Și mai multe despre înmulțire. Desigur, îți amintești două ocazii speciale... Ghici ce vreau să spun? Iată despre asta:

Da, hai să aruncăm o privire semne de divizibilitate. În total, sunt 7 reguli pentru semnele de divizibilitate, dintre care primele 3 le știi deja cu siguranță!

Dar restul nu este deloc greu de reținut.

7 semne de divizibilitate a numerelor care te vor ajuta să numeri rapid în capul tău!

• Cunoașteți, desigur, primele trei reguli.
• Al patrulea și al cincilea sunt ușor de reținut - atunci când împărțim cu și ne uităm să vedem dacă suma cifrelor care alcătuiesc numărul este divizibilă cu aceasta.
• Când împărțim cu, acordăm atenție ultimelor două cifre ale numărului - numărul pe care îl alcătuiesc este divizibil cu?
• Când se împarte la un număr, acesta trebuie să fie divizibil cu și cu în același timp. Asta e toată înțelepciunea.

Acum te gândești – „de ce am nevoie de toate astea”?

În primul rând, examenul este fara calculator iar aceste reguli vă vor ajuta să navigați printre exemple.

Și în al doilea rând, ați auzit despre sarcini GCDși NOC? Abreviere cunoscută? Să începem să ne amintim și să înțelegem.

Cel mai mare divizor comun (mcd) - necesar pentru reducerea fracțiilor și calcule rapide

Să presupunem că aveți două numere: și. Care este cel mai mare număr divizibil cu ambele numere? Vei răspunde fără ezitare, pentru că știi că:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Ce numere din expansiune sunt comune? Așa este, 2 * 2 = 4. Acesta a fost răspunsul tău. Ținând cont de acest exemplu simplu, nu veți uita algoritmul de găsire GCD. Încearcă să-l „construiești” în capul tău. S-a întâmplat?

Pentru a găsi NOD-ul aveți nevoie de:

1. Descompuneți numerele în factori primi (în numere care nu pot fi împărțite cu nimic altceva decât el însuși sau cu, de exemplu, 3, 7, 11, 13 etc.).
2. Înmulțiți-le.

Înțelegi de ce aveam nevoie de semne de divizibilitate? Astfel încât să vă uitați la număr și să puteți începe să împărțiți fără rest.

De exemplu, să găsim GCD-ul numerelor 290 și 485

Primul număr -.

Privind-o, puteți spune imediat prin ce este divizibil, să scriem:

nu o poți împărți în altceva, dar poți - și obținem:

290 = 29 * 5 * 2

Să luăm un alt număr - 485.

Conform semnelor de divizibilitate, trebuie să fie divizibil cu fără rest, deoarece se termină cu. Noi impartim:

Să analizăm numărul inițial.

• Nu poate fi împărțit la (ultima cifră este impară),
• - nu este divizibil cu, deci și numărul nu este divizibil cu,
• de asemenea, nu este divizibil cu și (suma cifrelor din număr nu este divizibil cu și cu)
• de asemenea, nu este divizibil, deoarece nu este divizibil cu și,
• nu este de asemenea divizibil cu și pentru că nu este divizibil cu și.
• nu poate fi divizat complet

Deci numărul poate fi descompus doar în și.

Și acum să găsim GCD aceste numere (și). Ce este acest numar? Corect, .

Să exersăm?

Sarcina numărul 1. Găsiți GCD al numerelor 6240 și 6800

1) Împărțim imediat la, deoarece ambele numere sunt divizibile 100% cu:

2) Voi împărți la numerele mari rămase (e), deoarece sunt împărțite la fără rest (în același timp, nu voi descompune - este deja un divizor comun):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Voi pleca singur și voi începe să iau în considerare numerele și. Ambele numere sunt exact divizibile cu (se termină în cifre pare (în acest caz, prezentăm ca, dar pot fi împărțite cu)):

4) Lucrăm cu numere și. Au divizori comuni? Este la fel de ușor ca în pașii anteriori și nu puteți spune, așa că îi vom descompune în factori simpli:

5) După cum putem vedea, am avut dreptate: și nu avem divizori comuni, iar acum trebuie să ne înmulțim.
GCD

Sarcina numărul 2. Găsiți GCD al numerelor 345 și 324

Nu pot găsi rapid cel puțin un divizor comun aici, așa că doar descompun în factori primi (cât mai puțini posibil):

Exact, GCD, dar nu am verificat inițial criteriul de divizibilitate și, poate, nu ar trebui să fac atâtea acțiuni. Dar ai verificat, nu? Bine făcut! După cum puteți vedea, este destul de ușor.

Cel mai mic multiplu comun (LCM) - economisește timp, ajută la rezolvarea problemelor în afara casetei

Să presupunem că aveți două numere - și. Care este cel mai mic număr care este divizibil cu fără urmă(adică complet)? E greu de imaginat? Iată un indiciu vizual pentru tine:

Îți amintești ce înseamnă scrisoarea? Așa este, doar numere întregi. Deci, care este cel mai mic număr care se potrivește cu x? :

În acest caz.

Din acest exemplu simplu decurg mai multe reguli.

Reguli pentru găsirea rapidă a NOC

Regula 1. Dacă unul dintre cele două numere naturale este divizibil cu un alt număr, atunci cel mai mare dintre aceste două numere este cel mai mic multiplu comun al lor.

Găsiți următoarele numere:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Desigur, ai făcut față cu ușurință acestei sarcini și ai primit răspunsurile - și.

Rețineți că în regulă vorbim despre DOUĂ numere, dacă sunt mai multe numere, atunci regula nu funcționează.

De exemplu, LCM (7;14;21) nu este egal cu 21, deoarece nu poate fi împărțit fără un rest la.

Regula 2. Dacă două (sau mai multe) numere sunt între prime, atunci cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul lor.

găsi NOC pentru următoarele numere:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

ai numarat? Iată răspunsurile - , ; .

După cum înțelegeți, nu este întotdeauna atât de ușor să luați și să luați același x, așa că pentru numere puțin mai complexe există următorul algoritm:

Să exersăm?

Găsește cel mai mic multiplu comun - LCM (345; 234)

Să defalcăm fiecare număr:

De ce am scris doar? Amintiți-vă semnele de divizibilitate cu: divizibil cu (ultima cifră este pară) și suma cifrelor este divizibil cu. În consecință, putem împărți imediat prin, scriindu-l ca.

Acum scriem cea mai lungă expansiune într-o linie - a doua:

Să adăugăm la el numerele din prima expansiune, care nu sunt în ceea ce am scris:

Notă: am scris totul, cu excepția faptului că îl avem deja.

Acum trebuie să înmulțim toate aceste numere!

Găsiți singur cel mai mic multiplu comun (LCM).

Ce răspunsuri ai primit?

Iată ce mi s-a întâmplat:

Cât timp ți-a luat să găsești NOC? Timpul meu este de 2 minute, chiar știu un truc, pe care vă sugerez să-l deschideți chiar acum!

Dacă sunteți foarte atent, atunci probabil ați observat că pentru numerele date am căutat deja GCDși ai putea lua factorizarea acestor numere din acel exemplu, simplificându-ți astfel sarcina, dar acest lucru este departe de tot.

Uită-te la poză, poate îți vor veni și alte gânduri:

Bine? Vă dau un indiciu: încercați să vă înmulțiți NOCși GCDîntre ele și notează toți factorii care vor fi la înmulțire. Ai reușit? Ar trebui să ajungi cu un lanț ca acesta:

Aruncați o privire mai atentă: comparați factorii cu modul în care sunt descompuse.

Ce concluzie poți trage din asta? Corect! Dacă înmulțim valorile NOCși GCDîntre ele, atunci obținem produsul acestor numere.

În consecință, având numere și semnificație GCD(sau NOC), noi putem gasi NOC(sau GCD) în felul următor:

1. Găsiți produsul numerelor:

2. Împărțim produsul rezultat la nostru GCD (6240; 6800) = 80:

Asta e tot.

Să scriem regula în formă generală:

Încerca să găsească GCD daca se stie ca:

Ai reușit? .

Numerele negative - „numere false” și recunoașterea lor de către omenire.

După cum ați înțeles deja, acestea sunt numere opuse celor naturale, adică:

Numerele negative pot fi adunate, scăzute, înmulțite și împărțite - la fel ca numerele naturale. S-ar părea că sunt atât de speciali? Dar adevărul este că numerele negative și-au „câștigat” locul de drept în matematică până în secolul al XIX-lea (până în acel moment a existat o mare controversă dacă există sau nu).

Numărul negativ însuși a apărut din cauza unei astfel de operații cu numere naturale ca „scădere”. Într-adevăr, scădeți din - acesta este un număr negativ. De aceea, mulțimea numerelor negative este adesea numită „o extensie a mulțimii numere naturale».

Numerele negative nu au fost recunoscute de oameni pentru o lungă perioadă de timp. Deci, Egiptul Antic, Babilonul și Grecia Antică - luminile vremii lor, nu au recunoscut numerele negative, iar în cazul obținerii rădăcinilor negative în ecuație (de exemplu, așa cum avem noi), rădăcinile au fost respinse ca imposibile.

Pentru prima dată numerele negative au primit dreptul de a exista în China, iar apoi în secolul al VII-lea în India. Ce părere ai despre această mărturisire? Așa este, numerele negative au început să desemneze datorii (altfel - lipsuri). Se credea că numerele negative sunt o valoare temporară, care, ca urmare, se va schimba în pozitivă (adică banii vor fi în continuare returnați creditorului). Cu toate acestea, matematicianul indian Brahmagupta considera deja atunci numerele negative pe picior de egalitate cu cele pozitive.

În Europa, utilitatea numerelor negative, precum și faptul că pot denota datorii, a venit mult mai târziu, adică un mileniu. Prima mențiune a fost văzută în 1202 în „Cartea Abacului” a lui Leonard de Pisa (spun imediat că autorul cărții nu are nicio legătură cu Turnul din Pisa, dar numerele Fibonacci sunt opera lui ( porecla lui Leonardo din Pisa este Fibonacci). În plus, europenii au ajuns la concluzia că numerele negative pot însemna nu numai datorii, ci și lipsa a ceva, cu toate acestea, nu toată lumea a recunoscut acest lucru.

Deci, în secolul al XVII-lea, Pascal a crezut că. Cum crezi că a justificat-o? Așa e, „nimic nu poate fi mai puțin decât NIMIC”. Un ecou al acelor timpuri rămâne faptul că un număr negativ și operația de scădere sunt notate cu același simbol - minus „-”. Și adevărat: . Numărul „ ” este pozitiv, din care se scade, sau negativ, căruia i se adaugă?... Ceva din seria „care vine primul: găina sau oul?” Iată un asemenea fel de filozofie matematică.

Numerele negative și-au asigurat dreptul de a exista odată cu apariția geometriei analitice, cu alte cuvinte, când matematicienii au introdus așa ceva ca o axă reală.

Din acest moment a venit egalitatea. Cu toate acestea, au existat încă mai multe întrebări decât răspunsuri, de exemplu:

proporţie

Această proporție se numește paradoxul Arno. Gândește-te la asta, ce este îndoielnic la asta?

Să vorbim împreună " " mai mult decât " " nu? Astfel, conform logicii, partea stângă a proporției ar trebui să fie mai mare decât partea dreaptă, dar sunt egale... Aici este paradoxul.

Drept urmare, matematicienii au fost de acord că Karl Gauss (da, da, acesta este cel care a considerat că suma (sau) numerelor) în 1831 a pus capăt acesteia - a spus că numerele negative au aceleași drepturi ca și cele pozitive și faptul că nu se aplică tuturor lucrurilor nu înseamnă nimic, întrucât nici fracțiile nu se aplică la multe lucruri (nu se întâmplă ca un săpător să sape o groapă, nu poți cumpăra un bilet de film etc.).

Matematicienii s-au calmat abia în secolul al XIX-lea, când teoria numerelor negative a fost creată de William Hamilton și Hermann Grassmann.

Atât de controversate sunt, aceste numere negative.

Apariția „golului” sau biografia lui zero.

La matematică, un număr special. La prima vedere, acest lucru nu este nimic: adăugați, scădeți - nimic nu se va schimba, dar trebuie doar să-l atribuiți dreptului „”, iar numărul rezultat va fi de multe ori mai mare decât cel inițial. Înmulțind cu zero, transformăm totul în nimic, dar nu putem împărți cu „nimic”. Într-un cuvânt, numărul magic)

Istoria lui zero este lungă și complicată. O urmă de zero se găsește în scrierile chinezilor din 2000 d.Hr. și chiar mai devreme cu Maya. Prima utilizare a simbolului zero, așa cum este astăzi, a fost văzută printre astronomii greci.

Există multe versiuni ale motivului pentru care a fost aleasă o astfel de denumire „nimic”. Unii istorici sunt înclinați să creadă că acesta este un omicron, adică. Prima literă a cuvântului grecesc pentru nimic este ouden. Potrivit unei alte versiuni, cuvântul „obol” (o monedă aproape deloc valoare) a dat viață simbolului zero.

Zero (sau zero) ca simbol matematic apare pentru prima dată printre indieni (rețineți că numerele negative au început să se „dezvolte” acolo). Prima dovadă sigură a scrierii zero datează din 876, iar în ele „” este o componentă a numărului.

Zero a venit și în Europa cu întârziere - abia în 1600 și, la fel ca numerele negative, a înfruntat rezistență (ce poți face, sunt europeni).

„Zero a fost adesea urât, temut sau chiar interzis din timpuri imemoriale”, scrie matematicianul american Charles Seif. Deci, sultanul turc Abdul-Hamid al II-lea la sfârșitul secolului al XIX-lea. le-a ordonat cenzorilor săi să șteargă formula de apă H2O din toate manualele de chimie, luând litera „O” drept zero și nu dorind ca inițialele lui să fie defăimate de apropierea de josnicul zero.

Pe Internet puteți găsi fraza: „Zero este cea mai puternică forță din Univers, poate face orice! Zero creează ordine în matematică și, de asemenea, aduce haos în ea. Punct absolut corect :)

Rezumatul secțiunii și formulele de bază

Setul de numere întregi este format din 3 părți:

• numere naturale (le vom analiza mai detaliat mai jos);
• numere opuse celor naturale;
• zero - " "

Se notează mulțimea numerelor întregi litera Z.

1. Numerele naturale

Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim pentru a număra obiectele.

Se notează mulțimea numerelor naturale litera N.

În operațiunile cu numere întregi, veți avea nevoie de capacitatea de a găsi GCD și LCM.

Cel mai mare divizor comun (GCD)

Pentru a găsi NOD-ul aveți nevoie de:

1. Descompuneți numerele în factori primi (în numere care nu pot fi împărțite cu nimic altceva decât el însuși sau prin, de exemplu, etc.).
2. Notați factorii care fac parte din ambele numere.
3. Înmulțiți-le.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Pentru a găsi NOC aveți nevoie de:

1. Factorizează numerele în factori primi (știi deja să faci asta foarte bine).
2. Scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere (este mai bine să luați cel mai lung lanț).
3. Adaugă la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase.
4. Aflați produsul factorilor rezultați.

2. Numerele negative

Acestea sunt numere care sunt opuse numerelor naturale, adică:

Acum vreau să aud de la tine...

Sper că ați apreciat „trucurile” super-utile ale acestei secțiuni și ați înțeles cum vă vor ajuta la examen.

Și mai important, în viață. Nu vorbesc despre asta, dar crede-mă, asta este. Abilitatea de a număra rapid și fără erori salvează în multe situații de viață.

Acum e rândul tău!

Scrieți, veți folosi metode de grupare, criterii de divizibilitate, GCD și LCM în calcule?

Poate le-ai mai folosit? Unde si cum?

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii cum vă place articolul.

Și mult succes la examene!

Proprietăți algebrice

Legături

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Sărutând polițiști
• Lucruri întregi

Vedeți ce sunt „numere întregi” în alte dicționare:

numere întregi gaussiene- (numere gaussiene, numere întregi complexe) acestea sunt numere complexe în care atât părțile reale, cât și cele imaginare sunt numere întregi. Introdus de Gauss în 1825. Cuprins 1 Definiție și operații 2 Teoria divizibilității ... Wikipedia

COMPLETARE NUMERE- în mecanică cuantică și statistică cuantică, numere care indică gradul de umplere cuantică. afirmă h tsami mecanică cuantică. sisteme de multe particule identice. Pentru sistemele h c cu spin semiîntreg (fermioni) Ch. poate lua doar două valori... Enciclopedia fizică

numerele Zuckerman- Numerele Zuckerman sunt astfel de numere naturale care sunt divizibile prin produsul cifrelor lor. Exemplul 212 este numărul Zuckerman, deoarece și. Secvență Toate numerele întregi de la 1 la 9 sunt numere Zuckerman. Toate numerele, inclusiv zero, nu sunt ... ... Wikipedia

Numerele algebrice întregi- Numerele algebrice întregi se numesc rădăcini complexe (și în special reale) de polinoame cu coeficienți întregi și cu un coeficient de conducere egal cu unu. În legătură cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe, numere întregi algebrice ... ... Wikipedia

Numere complexe întregi- numere gaussiene, numere de forma a + bi, unde a și b sunt numere întregi (de exemplu, 4 7i). Ele sunt reprezentate geometric prin puncte ale planului complex având coordonate întregi. C. to. h. au fost introduse de K. Gauss în 1831 în legătură cu cercetările asupra teoriei ... ...

numerele Cullen- La matematică, numerele Cullen sunt numere naturale de forma n 2n + 1 (scris Cn). Numerele Cullen au fost studiate pentru prima dată de James Cullen în 1905. Numerele Cullen sunt un tip special de numere Proth. Proprietăți În 1976, Christopher Huley (Christopher ...... Wikipedia

Numere cu punct fix- Format de număr în virgulă fixă ​​pentru reprezentarea unui număr real în memoria computerului ca număr întreg. Mai mult, numărul x însuși și reprezentarea sa întreagă x′ sunt legate prin formula, unde z este valoarea cifrei celei mai puțin semnificative. Cel mai simplu exemplu de aritmetică cu ...... Wikipedia

Completați numerele- în mecanică cuantică și statistică cuantică, numere care indică gradul de umplere a stărilor cuantice de către particulele unui sistem mecanic cuantic de multe particule identice (vezi Particule de identitate). Pentru un sistem de particule cu un Spin pe jumătate întreg ...... Marea Enciclopedie Sovietică

numere Leyland- Numărul Leyland este un număr natural exprimat ca xy + yx, unde x și y sunt numere întregi mai mari decât 1. Primele 15 numere Leyland sunt: ​​8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368 , 512, 593, 945, 1124, 1649 secvența A076980 în OEIS. ... ... Wikipedia

Numerele algebrice întregi- numere care sunt rădăcini ale ecuațiilor de forma xn + a1xn ​​​​1 +... + an = 0, unde a1,..., an sunt numere întregi raționale. De exemplu, x1 = 2 + C. a. ore, deoarece x12 4x1 + 1 = 0. Teoria lui C. a. ore au apărut în 30 40 x ani. secolul al 19-lea în legătură cu cercetările lui K. ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Cărți

• Aritmetică: numere întregi. Despre divizibilitatea numerelor. Măsurarea cantităților. Sistem metric de măsuri. Obișnuit, Kiselev, Andrey Petrovici. Cititorii sunt invitați la cartea remarcabilului profesor și matematician rus A.P. Kiselev (1852-1940), care conține un curs sistematic de aritmetică. Cartea cuprinde șase secțiuni...

La numere întregi includ numere naturale, zero și numere opuse numerelor naturale.

numere întregi sunt numere întregi pozitive.

De exemplu: 1, 3, 7, 19, 23 etc. Folosim astfel de numere pentru numărare (pe masă sunt 5 mere, mașina are 4 roți etc.)

Litera latină \mathbb(N) - notată set de numere naturale.

Numerele naturale nu pot include numere negative (un scaun nu poate avea un număr negativ de picioare) și numere fracționale (Ivan nu a putut vinde 3,5 biciclete).

Numerele opuse numerelor naturale sunt numere întregi negative: -8, -148, -981, ....

Operații aritmetice cu numere întregi

Ce poți face cu numerele întregi? Ele pot fi înmulțite, adunate și scăzute unul de celălalt. Să analizăm fiecare operație pe un exemplu specific.

Adunarea întregului

Două numere întregi cu aceleași semne se adună după cum urmează: se adună modulele acestor numere și suma rezultată este precedată de semnul final:

(+11) + (+9) = +20

Scăderea numerelor întregi

Două numere întregi cu semne diferite se adaugă după cum urmează: modulul numărului mai mic este scăzut din modulul numărului mai mare, iar semnul numărului mai mare modulo este pus în fața răspunsului:

(-7) + (+8) = +1

Înmulțirea întregului

Pentru a înmulți un număr întreg cu altul, trebuie să înmulți modulele acestor numere și să puneți semnul „+” în fața răspunsului primit dacă numerele originale erau cu aceleași semne și semnul „-” dacă numerele originale erau cu semne diferite:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Ar trebui să vă amintiți următoarele regula înmulțirii numerelor întregi:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Există o regulă pentru înmulțirea mai multor numere întregi. Să ne amintim:

Semnul produsului va fi „+” dacă numărul de factori cu semn negativ este par și „-” dacă numărul de factori cu semn negativ este impar.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Împărțirea numerelor întregi

Împărțirea a două numere întregi se efectuează după cum urmează: modulul unui număr este împărțit la modulul celuilalt, iar dacă semnele numerelor sunt aceleași, atunci semnul „+” este plasat în fața coeficientului rezultat. , iar dacă semnele numerelor originale sunt diferite, atunci se pune semnul „-”.

(-25) : (+5) = -5

Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor întregi

Să analizăm proprietățile de bază ale adunării și înmulțirii pentru orice numere întregi a, b și c:

1. a + b = b + a - proprietatea comutativă a adunării;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - proprietatea asociativă a adunării;
3. a \cdot b = b \cdot a - proprietatea comutativă a înmulțirii;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- proprietăţile asociative ale înmulţirii;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c este proprietatea distributivă a înmulțirii.

În acest articol, vom defini mulțimea numerelor întregi, luând în considerare care numere întregi sunt numite pozitive și care sunt negative. Vom arăta, de asemenea, cum sunt folosite numerele întregi pentru a descrie modificarea unor cantități. Să începem cu definiția și exemplele numerelor întregi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numere întregi. Definiție, exemple

Mai întâi, să ne amintim numerele naturale ℕ. Numele în sine sugerează că acestea sunt numere care au fost folosite în mod natural pentru numărare din timpuri imemoriale. Pentru a acoperi conceptul de numere întregi, trebuie să extindem definiția numerelor naturale.

Definiție 1. Numere întregi

Numerele întregi sunt numerele naturale, contrariile lor și numărul zero.

Mulțimea numerelor întregi se notează cu litera ℤ .

Mulțimea numerelor naturale ℕ este o submulțime de numere întregi ℤ. Fiecare număr natural este un număr întreg, dar nu orice număr întreg este un număr natural.

Din definiție rezultă că oricare dintre numerele 1 , 2 , 3 este un număr întreg. . , numărul 0 , precum și numerele - 1 , - 2 , - 3 , . .

În consecință, dăm exemple. Numerele 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 sunt numere întregi.

Lăsați linia de coordonate să fie desenată orizontal și îndreptată spre dreapta. Să aruncăm o privire la el pentru a vizualiza locația numerelor întregi pe o linie dreaptă.

Originea liniei de coordonate corespunde numărului 0, iar punctele situate de ambele părți ale lui zero corespund numerelor întregi pozitive și negative. Fiecare punct corespunde unui singur întreg.

Orice punct de pe o linie dreaptă a cărui coordonată este un număr întreg poate fi atins lăsând deoparte un anumit număr de segmente unitare de la origine.

Numerele întregi pozitive și negative

Dintre toate numerele întregi, este logic să se facă distincția între numerele întregi pozitive și negative. Să dăm definițiile lor.

Definiție 2. Numere întregi pozitive

Numerele întregi pozitive sunt numere întregi cu semnul plus.

De exemplu, numărul 7 este un număr întreg cu semnul plus, adică un număr întreg pozitiv. Pe linia de coordonate, acest număr se află în dreapta punctului de referință, pentru care se ia numărul 0. Alte exemple de numere întregi pozitive: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definiție 3. Numere întregi negative

Numerele întregi negative sunt numere întregi cu semnul minus.

Exemple de numere întregi negative: - 528 , - 2568 , - 1 .

Numărul 0 separă numerele întregi pozitive și negative și nu este el însuși nici pozitiv, nici negativ.

Orice număr care este opusul unui număr întreg pozitiv este, prin definiție, un număr întreg negativ. Este adevărat și invers. Reciproca oricărui număr întreg negativ este un număr întreg pozitiv.

Este posibil să se ofere și alte formulări ale definițiilor numerelor întregi negative și pozitive, folosind compararea lor cu zero.

Definiție 4. Numere întregi pozitive

Numerele întregi pozitive sunt numere întregi mai mari decât zero.

Definiție 5. Numere întregi negative

Numerele întregi negative sunt numere întregi mai mici decât zero.

În consecință, numerele pozitive se află la dreapta originii pe linia de coordonate, iar numerele întregi negative se află la stânga lui zero.

Mai devreme am spus că numerele naturale sunt o submulțime de numere întregi. Să lămurim acest punct. Mulțimea numerelor naturale sunt numere întregi pozitive. La rândul său, mulțimea numerelor întregi negative este mulțimea numerelor opuse celor naturale.

Important!

Orice număr natural poate fi numit număr întreg, dar orice număr întreg nu poate fi numit număr natural. Răspunzând la întrebarea dacă numerele negative sunt naturale, trebuie să spunem cu îndrăzneală - nu, nu sunt.

Numerele întregi nepozitive și nenegative

Să dăm definiții.

Definiție 6. Numere întregi nenegative

Numerele întregi nenegative sunt numere întregi pozitive și numărul zero.

Definiție 7. Numere întregi nepozitive

Numerele întregi nepozitive sunt numere întregi negative și numărul zero.

După cum puteți vedea, numărul zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Exemple de numere întregi nenegative: 52 , 128 , 0 .

Exemple de numere întregi nepozitive: - 52 , - 128 , 0 .

Un număr nenegativ este un număr mai mare sau egal cu zero. În consecință, un număr întreg nepozitiv este un număr mai mic sau egal cu zero.

Termenii „număr nepozitiv” și „număr nenegativ” sunt folosiți pentru concizie. De exemplu, în loc să spuneți că numărul a este un număr întreg mai mare sau egal cu zero, puteți spune: a este un număr întreg nenegativ.

Utilizarea numerelor întregi la descrierea modificărilor valorilor

Pentru ce sunt folosite numerele întregi? În primul rând, cu ajutorul lor, este convenabil să descrieți și să determinați schimbarea numărului oricăror obiecte. Să luăm un exemplu.

Lăsați un anumit număr de arbori cotit să fie depozitat în depozit. Dacă în depozit vor fi aduse încă 500 de arbori cotiți, numărul acestora va crește. Numărul 500 exprimă doar modificarea (creșterea) numărului de părți. Dacă apoi 200 de piese sunt luate din depozit, atunci acest număr va caracteriza și schimbarea numărului de arbori cotit. De data aceasta, în direcția reducerii.

Dacă nu se ia nimic din depozit și nu se aduce nimic, atunci numărul 0 va indica invarianța numărului de piese.

Comoditatea evidentă a utilizării numerelor întregi, spre deosebire de numerele naturale, este că semnul lor indică în mod clar direcția schimbării în mărime (creștere sau scădere).

O scădere a temperaturii cu 30 de grade poate fi caracterizată printr-un număr negativ - 30, iar o creștere cu 2 grade - printr-un număr întreg pozitiv 2.

Iată un alt exemplu folosind numere întregi. De data aceasta, să ne imaginăm că trebuie să dăm cuiva 5 monede. Apoi, putem spune că avem - 5 monede. Numărul 5 descrie suma datoriei, iar semnul minus indică faptul că trebuie să dăm înapoi monedele.

Dacă datorăm 2 monede unei persoane și 3 alteia, atunci datoria totală (5 monede) poate fi calculată prin regula adunării numerelor negative:

2 + (- 3) = - 5

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Numărul este o abstractizare folosită pentru cuantificarea obiectelor. Cifrele au apărut în societatea primitivă în legătură cu nevoia oamenilor de a număra obiectele. De-a lungul timpului, odată cu dezvoltarea științei, numărul a devenit cel mai important concept matematic.

Pentru a rezolva probleme și a demonstra diverse teoreme, trebuie să înțelegeți ce tipuri de numere sunt. Principalele tipuri de numere includ: numere naturale, numere întregi, numere raționale, numere reale.

numere întregi- acestea sunt numerele obținute prin numărarea naturală a obiectelor, sau mai bine zis, cu numerotarea lor („primul”, „al doilea”, „al treilea” ...). Mulțimea numerelor naturale se notează cu litera latină N (poate fi amintit pe baza cuvântului englezesc natural). Se poate spune că N ={1,2,3,....}

Numere întregi sunt numere din mulțime (0, 1, -1, 2, -2, ....). Această mulțime este formată din trei părți - numere naturale, numere întregi negative (opusul numerelor naturale) și numărul 0 (zero). Numerele întregi sunt notate cu o literă latină Z . Se poate spune că Z ={1,2,3,....}.

Numere rationale sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Litera latină este folosită pentru a desemna numerele raționale Q . Toate numerele naturale și întregi sunt raționale. De asemenea, ca exemple de numere raționale, puteți da: ,,.

Numerele reale (reale). sunt numere care sunt folosite pentru a măsura mărimi continue. Mulțimea numerelor reale se notează cu litera latină R. Numerele reale includ numerele raționale și numerele iraționale. Numerele iraționale sunt numere care se obțin prin efectuarea diferitelor operații asupra numerelor raționale (de exemplu, extragerea unei rădăcini, calcularea logaritmilor), dar nu sunt raționale. Exemple de numere iraționale sunt ,,.

Pe linia numerică poate fi afișat orice număr real:

Pentru seturile de numere enumerate mai sus, următoarea afirmație este adevărată:

Adică, mulțimea numerelor naturale este inclusă în mulțimea numerelor întregi. Mulțimea numerelor întregi este inclusă în mulțimea numerelor raționale. Și mulțimea numerelor raționale este inclusă în mulțimea numerelor reale. Această afirmație poate fi ilustrată folosind cercuri Euler.