Galaeva Ekaterina, elevă a clasei a XI-a a școlii gimnaziale MAOU nr. 149, Nijni Novgorod
Lucrarea este atât aplicată, cât și de cercetare în natură. Pentru a fi complet, au fost luate în considerare următoarele întrebări:
– Cum se reflectă proprietățile unei funcții atunci când rezolvăm ecuații și inegalități?
– Ce ecuații și inegalități se rezolvă prin definirea proprietăților domeniului definiției, mulțimii de valori, invarianței?
– Care este algoritmul de soluție?
- S-au luat în considerare sarcinile cu parametrul propus în materialele KIM în pregătirea examenului.
În munca sa, Ekaterina a explorat o gamă largă de sarcini și le-a sistematizat în funcție de aspectul lor.
Descarca:
Previzualizare:
https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Rezolvați soluția inegalității. Funcția f (x) = crește monoton pe întreaga linie reală, iar funcția g (x) = descrește monoton pe întregul domeniu de definiție. Prin urmare, inegalitatea f (x) > g (x) este satisfăcută dacă x >
Vă mulțumim pentru atenție!
Previzualizare:
Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Aplicarea proprietăților funcției la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților A finalizat lucrarea: Galaeva Ekaterina MBOU Școala Gimnazială Nr. 149 din raionul Moskovsky Elevi de 11 clase „A” Conducător: Fadeeva I. A. Profesor de matematică
Direcții principale: Studierea proprietăților unei funcții: monotonitate, mărginire, domeniul de definiție și invarianță Învățați principalele enunțuri care sunt cel mai des folosite în rezolvarea ecuațiilor, inegalităților și sistemelor Rezolvarea problemelor din materiale KIM pentru pregătirea examenului
Monotonitatea O funcție crește dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Funcția este în scădere dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2
Afirmația 1. Dacă funcția y \u003d f (x) este monotonă, atunci ecuația f (x) \u003d c are cel mult o rădăcină. x =2 f(x) = - monoton descrescand, deci nu exista alte solutii. Răspuns: x=2
Afirmația 2. Dacă funcția y \u003d f (x) este monoton în creștere, iar funcția y \u003d g (x) este monoton în scădere, atunci ecuația f (x) \u003d g (x) are cel mult o rădăcină. 2 - x \u003d lg (x + 11) + 1 g (x) \u003d 2 - x scade monoton, iar funcția f (x) \u003d log (x + 11) + 1 crește monoton pe domeniu, ceea ce înseamnă că ecuația f (x ) = g (x) are cel mult o rădăcină. Prin selecție, determinăm că x \u003d -1. Afirmația de mai sus susține unicitatea soluției.
a) f (x) ≤ g (x) dacă și numai dacă x ϵ (- ∞ ; x 0 ]; b) f (x) ≥ g (x) dacă și numai dacă x ϵ [x 0; +∞). Semnificația vizuală a acestei afirmații este evidentă. Afirmația 3. Dacă funcția y \u003d f (x) crește monoton pe întreaga linie reală, funcția y \u003d g (x) scade monoton pe întreaga linie reală și f (x 0) \u003d g (x 0), atunci următoarele afirmații sunt adevărate:
Rezolvați soluția inegalității. Funcția f (x) = crește monoton pe întreaga linie reală, iar funcția g (x) = descrește monoton pe întregul domeniu de definiție. Prin urmare, inegalitatea f (x) > g (x) este satisfăcută dacă x > 2. Să adăugăm domeniul inegalității. Astfel, obținem sistemul Răspuns: (2; 5).
Afirmația 4. Dacă funcția y \u003d f (x) crește monoton, atunci ecuațiile f (x) \u003d x și f (f (x)) \u003d x au același set de rădăcini, indiferent de numărul de investitii. Consecinţă. Dacă n este un număr natural, iar funcția y \u003d f (x) crește monoton, atunci ecuațiile f (x) \u003d x și n ori au același set de rădăcini.
Rezolvați ecuația. Răspuns: Decizie. Pentru x ≥1, partea dreaptă a ecuației nu este mai mică de 1, iar partea stângă este mai mică decât 1. Prin urmare, dacă ecuația are rădăcini, atunci oricare dintre ele este mai mică decât 1. Pentru x ≤0, dreapta partea ecuației este nepozitivă, iar partea stângă este pozitivă, datorită faptului că . Astfel, orice rădăcină a acestei ecuații aparține intervalului (0; 1) Înmulțind ambele părți ale acestei ecuații cu x și împărțind numărătorul și numitorul părții stângi la x, obținem
Unde = . Notând prin t, unde t 0, obținem ecuația = t. Se consideră o funcție f (t)= 1+ crescând pe domeniul ei de definiție. Ecuația rezultată poate fi scrisă ca f (f (f (f (t))))= t , iar după corolarul afirmației 4, are același set de soluții ca și ecuația f (t)= t , adică. ecuația 1 + = t, de unde. Singura rădăcină pozitivă a acestei ecuații pătratice este . Deci, unde, adică , sau. Răspuns:
Afirmația 1. Dacă max f (x) = c și min g (x) = c, atunci ecuația f (x) = g (x) are același set de soluții ca și sistemul Delimitare Valoarea maximă a părții stângi este 1 și valoarea minimă din partea dreaptă 1 , ceea ce înseamnă că soluția ecuației poate fi redusă la sistemul de ecuații: , din a doua ecuație găsim un posibil candidat x=0 , și ne asigurăm că este un soluție la prima ecuație. Răspuns: x=1 .
Rezolvați ecuația Soluție. Deoarece sin3x≤1 și cos4x≤1, partea stângă a acestei ecuații nu depășește 7. Poate fi egală cu 7 dacă și numai dacă de unde k , n ϵ Z . Rămâne de stabilit dacă există astfel de numere întregi k și n pentru care sistemul din urmă are soluții. Raspuns: Z
În problemele cu x necunoscut și parametrul a, domeniul de definiție este înțeles ca mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere (x ; a), fiecare dintre acestea fiind astfel încât, după înlocuirea valorilor corespunzătoare ale lui x și a în toate relațiile incluse în problemă, acestea vor fi determinate. Exemplul 1. Pentru fiecare valoare a parametrului a, rezolvați inegalitatea Soluție. Să găsim domeniul de definire al acestei inegalități. Din care reiese clar că sistemul nu are soluții. Aceasta înseamnă că domeniul de definire al inegalității nu conține nicio pereche de numere x și a și, prin urmare, inegalitatea nu are soluții. Scopul Răspuns:
Invarianța, adică invarianța unei ecuații sau inegalități în raport cu înlocuirea unei variabile cu o expresie algebrică a acestei variabile. Cel mai simplu exemplu de invarianță este paritatea: dacă este o funcție pară, atunci ecuația este invariantă sub schimbarea lui x și – x, deoarece = 0. Invarianță
Găsiți rădăcinile ecuației. Soluţie. Rețineți că perechea este invariantă la înlocuire. Înlocuind în egalitate, obținem. Înmulțind ambele părți ale acestei egalități cu 2 și scăzând termenul de egalitate cu termen din egalitatea rezultată, găsim 3, de unde. Acum rămâne de rezolvat ecuația, de unde rădăcinile ecuației sunt numere. Răspuns: .
Găsiți toate valorile lui a pentru fiecare dintre care ecuația are mai mult de trei soluții diferite. Rezolvarea problemelor cu parametrul proprietății Monotonicitate
|x|= pozitiv X= |x|= Pentru ca două rădăcini să existe, numărătorul trebuie să fie pozitiv. Prin urmare, atunci când rădăcinile primei și celei de-a doua ecuații coincid, ceea ce nu îndeplinește cerința condiției: prezența a mai mult de trei rădăcini. Răspuns: .
Găsiți toate valorile lui a pentru fiecare dintre care ecuația are două rădăcini. Să transformăm ecuația în forma ȘI să considerăm funcția f(x)= definită și continuă pe întreaga dreaptă reală. Graficul acestei funcții este o linie întreruptă, constând din segmente de linie și raze, fiecare legătură fiind parte a unei linii drepte de forma y= kt+l . f(x)= Pentru orice extindere a modulului primei expresii, k nu depășește 8, deci creșterea și scăderea funcției f(x) vor depinde de extinderea celui de-al doilea modul. La x, f(x) va scădea, iar la x, va crește. Adică la x=3 funcția va lua cea mai mare valoare. Pentru ca ecuația să aibă două rădăcini, este necesar ca f(3) proprietatea de monotonitate
f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Răspuns: a
Găsiți toate valorile parametrului a, pentru fiecare dintre care, pentru orice valoare reală x, inegalitatea este satisfăcută Să rescriem inegalitatea în forma, introducem o nouă variabilă t = și luăm în considerare funcția f (t) = , definită şi continuă pe întreaga linie reală. Graficul acestei funcții este o linie întreruptă, constând din segmente de linie și raze, fiecare legătură fiind parte a unei linii drepte, unde să
Deoarece, atunci t ϵ [-1; unu]. Datorită scăderii monotone a funcției y = f (t), este suficientă verificarea marginii stângi a acestui segment. Z. A este adevărat Înseamnă că este posibil numai dacă numerele u și v au același semn sau oricare dintre ele este egal cu zero. , = () () 0. Factorizând trinoamele pătrate, obținem inegalitatea (, din care aflăm că a ϵ (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞). Răspuns: (-∞). -1]U(2)U)
