Con. Frustum

Suprafata conica numită suprafaţa formată din toate liniile drepte care trec prin fiecare punct al curbei date şi un punct în afara curbei (Fig. 32).

Această curbă se numește ghid , direct - generatoare , punct - vârf suprafata conica.

Suprafață conică circulară dreaptă numită suprafața formată din toate dreptele care trec prin fiecare punct al cercului dat și un punct de pe dreapta care este perpendicular pe planul cercului și trece prin centrul acestuia. În cele ce urmează, această suprafață va fi denumită pe scurt suprafata conica (fig.33).

con (con circular drept ) se numește corp geometric delimitat de o suprafață conică și un plan care este paralel cu planul cercului de ghidare (fig. 34).

Orez. 32 Fig. 33 Fig. 34

Un con poate fi considerat ca un corp obținut prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei axe care conține unul dintre catetele triunghiului.

Cercul care delimitează conul se numește bază . Vârful unei suprafețe conice se numește vârf con. Segmentul de linie care leagă vârful unui con de centrul bazei sale se numește înalt con. Segmentele care formează o suprafață conică se numesc generatoare con. axă a unui con este o linie dreaptă care trece prin vârful conului și centrul bazei acestuia. Secțiune axială numită secțiunea care trece prin axa conului. Dezvoltarea laterală a suprafeței Un con este un sector a cărui rază este egală cu lungimea generatricei conului, iar lungimea arcului sectorului este egală cu circumferința bazei conului.

Pentru un con, următoarele formule sunt adevărate:

Unde R este raza bazei;

H- inaltime;

l- lungimea generatricei;

S principal- suprafata de baza;

partea S

S plin

V este volumul conului.

trunchi de con numită porțiunea conului cuprinsă între bază și planul de tăiere paralel cu baza conului (Fig. 35).

Un trunchi de con poate fi considerat ca un corp obtinut prin rotirea unui trapez dreptunghiular in jurul unei axe care contine latura laterala a trapezului, perpendiculara pe baze.

Cele două cercuri care delimitau conul se numesc sale temeiuri . Înălţime a unui trunchi de con este distanța dintre bazele sale. Segmentele care formează suprafața conică a unui trunchi de con se numesc generatoare . Linia dreaptă care trece prin centrele bazelor se numește axă trunchi de con. Secțiune axială numită secţiunea care trece prin axa trunchiului de con.

Pentru un trunchi de con, următoarele formule sunt adevărate:

(8)

Unde R este raza bazei inferioare;

r este raza bazei superioare;

H este înălțimea, l este lungimea generatricei;

partea S este aria suprafeței laterale;

S plin este suprafața totală;

V este volumul trunchiului de con.

Exemplul 1 Secțiunea conului paralelă cu baza împarte înălțimea într-un raport de 1:3, numărând de sus. Aflați aria suprafeței laterale a unui trunchi de con dacă raza bazei și înălțimea conului sunt de 9 cm și 12 cm.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 36).

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unui trunchi de con, folosim formula (8). Aflați razele bazelor Cam 1 Ași Aproximativ 1 Vși generatoare AB.

Luați în considerare triunghiuri similare SO 2 Bși SO 1 A, coeficient de asemănare , atunci

De aici

De atunci

Aria suprafeței laterale a unui trunchi de con este egală cu:

Răspuns: .

Exemplul2. Un sfert de cerc de rază este pliat într-o suprafață conică. Aflați raza bazei și înălțimea conului.

Soluţie. Cvadruplu de cerc este o dezvoltare a suprafeței laterale a conului. Denota r este raza bazei sale, H-înălţime. Suprafața laterală se calculează prin formula: . Este egal cu aria unui sfert de cerc: . Obținem o ecuație cu două necunoscute rși l(generator al unui con). În acest caz, generatoarea este egală cu raza unui sfert de cerc R, deci obținem următoarea ecuație: , de unde Cunoscând raza bazei și a generatricei, aflăm înălțimea conului:

Răspuns: 2 cm, .

Exemplul 3 Un trapez dreptunghiular cu un unghi ascuțit de 45 O, o bază mai mică de 3 cm și o latură înclinată egală cu , se rotește în jurul laturii perpendiculare pe baze. Aflați volumul corpului de revoluție obținut.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 37).

Ca rezultat al rotației, obținem un trunchi de con; pentru a-i găsi volumul, calculăm raza bazei mai mari și înălțimea. într-un trapez O 1 O 2 AB vom cheltui AC^O 1 B. În avem: deci acest triunghi este isoscel AC=î.Hr\u003d 3 cm.

Răspuns:

Exemplul 4 Un triunghi cu laturile de 13 cm, 37 cm și 40 cm se rotește în jurul unei axe externe care este paralelă cu latura mai mare și se află la 3 cm distanță de aceasta (axa este situată în planul triunghiului). Găsiți aria suprafeței corpului de revoluție rezultat.

Soluţie . Să facem un desen (Fig. 38).

Suprafața corpului de revoluție rezultat este formată din suprafețele laterale a două trunchiuri de con și suprafața laterală a cilindrului. Pentru a calcula aceste suprafețe este necesar să se cunoască razele bazelor conurilor și ale cilindrului ( FIși OC) formând conuri ( î.Hrși AC) și înălțimea cilindrului ( AB). Necunoscutul este doar CO. este distanța de la latura triunghiului la axa de rotație. Sa gasim DC. Aria triunghiului ABC pe o latură este egală cu produsul dintre jumătatea laturii AB și înălțimea trasă pe aceasta DC, pe de altă parte, cunoscând toate laturile triunghiului, calculăm aria lui folosind formula lui Heron.

Una dintre cele mai eficiente metode de determinare a caracteristicilor metrice ale figurilor plane este rotirea în jurul unei axe, care este de obicei folosită ca linie de nivel sau ca linie de proiectare.

Reguli de bază de construcție

1. Raza de rotație a punctului este egală cu distanța dintre punct și linia de nivel care acționează ca axă. Valoarea naturală a razei este determinată prin metoda triunghiului dreptunghic.
2. Când se rotește în jurul orizontalei h, punctul se mișcă de-a lungul unui cerc, care este proiectat pe planul orizontal într-un segment de linie dreaptă perpendicular pe proiecția orizontală a orizontalei h. „În planul frontal, cercul de-a lungul căruia se mișcă punctul este proiectat într-o elipsă.Nu este nevoie să o construim.
3. Când se rotește în jurul frontalului f, punctul se mișcă de-a lungul unui cerc, care este proiectat pe planul frontal într-un segment de linie dreaptă perpendicular pe proiecția frontală a frontalului f"". În același timp, proiecția orizontală a liniei de deplasare este o elipsă, care nu este necesar să se construiască.

Să luăm în considerare modul de determinare a valorii efective a unghiului dintre liniile a și b care se intersectează în punctul A. Construcțiile sunt prezentate în figură și sunt realizate conform algoritmului descris mai jos.

Algoritm de rezolvare

1. Efectuăm proiecția frontală h"" a h orizontalei. Intersectează liniile a"" și b"" în punctele 1"" și 2"". Determinăm proiecțiile orizontale 1 „și 2” și desenăm h prin ele.
2. Aflați centrul de rotație O. Proiecția sa orizontală O" se află la intersecția dreptei h" cu perpendiculara trasată de la A" la h".
3. Determinăm valoarea naturală a razei de rotație R = O"A" 0 . Pentru a face acest lucru, construim un triunghi dreptunghic O"A"A" 0 , al cărui catet A"A" 0 este egal cu distanța de la A"" la h"".
4. Desenăm un arc de cerc cu raza R până când se intersectează cu dreapta O"A" în punctul A" 1. Conectați A" 1 cu punctele 1" și 2". Unghiul dorit ϕ a fost construit.

După cum se știe; când un punct se rotește în jurul unei axe, se mișcă într-un plan perpendicular pe axa de rotație și descrie un cerc. Pentru a aplica metoda rotației în vederea transformării desenului, notăm următoarele patru elemente (Fig. 5.8):

axa de rotație (MN);

planul de rotație a punctului(pl. S este perpendicular (MN));

centrul de rotație;

raza de rotație (R; R= |OA|).

Ca axa de rotatie se folosesc de obicei linii drepte, perpendiculare sau paralele pe planurile de proiectie. Luați în considerare rotația în jurul axelor perpendiculare pe planurile de proiecție.

Rotația punctului A pe desenul despre ax MN, perpendicular pe plan H, prezentat în figura 5.9. Planul de rotație S este paralelă cu planul H și este reprezentată pe proiecția frontală după cum urmează S v. Proiecție orizontală despre centrul de rotație despre coincide cu proiecția tp axele și proiecția orizontală oa raza de rotatie OA este valoarea sa naturală. rotirea punctului DAR din figura 5.9 se face printr-un unghi φ în sens invers acelor de ceasornic astfel încât în ​​noua poziţie a punctului cu proiecţii a1", a1 raza de rotație era paralelă cu planulV Când un punct se rotește în jurul axei verticale, proiecția sa orizontală se deplasează de-a lungul cercului, iar proiecția frontală se deplasează paralel cu axa x și perpendicular pe axa de rotație.

Dacă un punct este rotit în jurul unei axe perpendiculare pe planul V, atunci proiecția sa frontală se va deplasa într-un cerc, iar proiecția orizontală se va deplasa paralel cu axa x.

Rotirea unui punct în jurul unei linii proiectante este utilizată în rezolvarea unor probleme, de exemplu, în determinarea dimensiunii naturale a unui segment de dreaptă. Pentru aceasta (Fig. 5.10), este suficientă o axă de rotație cu proiecții t „p”, tp alegeți astfel încât să treacă prin unul dintre punctele extreme ale segmentului, de exemplu, un punct cu proiecții b", b. Apoi, la întoarcerea punctului DAR unghiul φ în poziție A1 (OA1 || pătratul V, oa, || axa x) segment AB se mută în poziție A1B, paralel cu planul V și, prin urmare, este proiectat pe el la dimensiune completă. În același timp, unghiul a al pantei segmentului va fi proiectat în dimensiune completă AB la avionul H.

Rotirea (rotația) unui punct cu proiecții b", b faţă de axa cu proiecţii t"p", tp, perpendicular pe plan V, prezentat în Figura 5.11. La rotirea punctului LA deplasat în planul de rotație T (Th) a poziționa cu proiecțiile b1", b1 astfel încât raza de rotaţie OV devin paralele cu planul H (o „b” || axa x).

Aplicarea metodei rotației fără a indica pe desen axele de rotație perpendiculare pe planurile de proiecție.Dacă rotiți o figură geometrică în jurul unei axe perpendiculare pe planul de proiecție, atunci proiecția pe acest plan nu se schimbă nici ca aspect, nici ca dimensiune (se schimbă doar poziția proiecției față de axa de proiecție). Proiecțiile punctelor unei figuri geometrice pe un plan paralel cu axa de rotație se deplasează de-a lungul liniilor drepte paralele cu axa de proiecție (cu excepția proiecțiilor punctelor situate pe axa de rotație), iar proiecția în ansamblu se modifică în formă și dimensiune. Prin urmare, este posibil să se aplice metoda de rotație fără a specifica reprezentarea axei de rotație. În aia

În cazul în care, fără a modifica dimensiunea și forma uneia dintre proiecțiile imaginii geometrice, mutați această proiecție în poziția dorită și apoi construiți o altă proiecție așa cum este indicat mai sus.

Figura 5.12 arată utilizarea metodei de rotație fără a specifica axele pentru a determina dimensiunea reală a triunghiului abc, dat de proiecţii a"b"c", abc. Pentru a face acest lucru, se efectuează două rotații ale planului în poziție generală, în care se află triunghiul, astfel încât după prima rotație acest plan să devină perpendicular pe plan. V, iar după a doua - paralelă cu planul H. Prima rotație în jurul axei perpendiculare pe planul H, fără a preciza poziția acestuia, a fost efectuată folosind o orizontală cu proiecții. s"1", s-1 în planul triunghiului. În acest caz, proiecția orizontală aс rotit pentru a se potrivi cu direcția de proiecție. Proiecția orizontală a triunghiului își păstrează forma și dimensiunea, doar poziția sa se schimbă. puncte A, B și C cu o astfel de rotaţie se deplasează în planuri paralele cu planul H. Proiecţii a1", c1, b1" a"a1", b"b1" și c"c1". Proiecția frontală a triunghiului în noua poziție este segmentul a1"b1"c1".

A doua rotatie, care aduce triunghiul intr-o pozitie paralela cu planul H, se face in jurul axei de rotatie perpendiculara pe planul H (nu este indicata nici pozitia axei). Proiecția frontală la a doua rotație păstrează aspectul și dimensiunea obținute după prima rotație. puncte A1, D1 și C1 se deplasează în planuri paralele cu planul V Proiecții a 2 , b 2 , c 2 sunt pe linii orizontale de comunicare a, a 2, blb2, c1c2. Proiecția a2b2c 2 este dimensiunea reală a triunghiului dat.

La efectuarea rotațiilor considerate în jurul axelor perpendiculare pe planurile de proiecție, aceste axe nu sunt indicate, dar pot fi găsite cu ușurință. De exemplu, dacă desenați segmente aa1, b1b2 și trageți perpendiculare prin punctele lor medii, atunci punctul de intersecție rezultat al acestor perpendiculare va fi proiecția orizontală a axei de rotație perpendiculară pe planul H.

Utilizarea metodei de rotație fără specificarea axelor simplifică oarecum construcția, nu există o suprapunere a uneia

secțiune pe alta, dar desenul ocupă o suprafață mare. (Cazul considerat de rotație fără a reprezenta axele de rotație este un caz special al metodei de mișcare plan-paralel.)

O metodă de rotație în jurul liniilor drepte paralele cu planurile de proiecție.Mărimea naturală a unei figuri plate poate fi determinată prin rotirea în jurul unei axe paralele cu planul de proiecție, aducând figura într-o poziție paralelă cu planul de proiecție cu o tură.

Figura 5.13 prezintă definiția mărimii unui triunghi cu proiecții a"b"c", abc rotație în jurul orizontalei.În acest caz, toate punctele triunghiului(cu excepția celor situate pe axa de rotație)se rotesc în jurul unei axe în cercuri în planuri perpendiculare pe axa.Dacă triunghiul ia o poziție paralelă cu planul proiecțiilor, razele de rotație ale punctelor sale vor fi paralele cu acest plan, adică vor fi proiectate pe plan. H marime adevarata.

Orizontala cu proiecții a fost luată ca axă de rotație s"1", s-1.

Punctul C de pe axa de rotație rămâne fix. Pentru a imagina proiecția orizontală a triunghiului după rotație, este necesar să găsiți poziția proiecțiilor celorlalte două vârfuri ale sale. Noduri cu proiecții a", a și b", b triunghi de deplasare-

sunt in avioane P și Q deplasarea acestor puncte. Proiecție orizontală despre centru de rotație a vârfurilor DAR este punctul de intersecție al proiecției orizontale s-1 axele de rotație cu proiecție orizontală Ph.h. Pe ea este marcată proiecția sa frontală. o. Segmente oa - orizontală, o "a" - proiecția frontală a razei de rotație a punctului DAR. mărime naturală oA raza de rotație a punctului DAR definită în modul discutat în 2.3 (vezi Fig. 2.9), adică prin construirea unui triunghi dreptunghic. Pe picioare oa și aA \u003d o „2” se construiește un triunghi oaa, ipotenuza sa este egală cu raza de rotație a punctului DAR.

Dintr-o proiecție despre punct de pivot DAR în direcția urmei Ph a planului mișcării sale, lăsăm deoparte valoarea naturală a razei de rotație. Marcarea proiecției orizontale a, punctele A, rotit la poziţia unui triunghi paralel cu planul N. Proiecție orizontală punct bt LA în poziţia rotită găsim ca punct de intersecţie al proiecţiei orizontale 1-аt cu urma Q h . Proiecție orizontală a1cb1 exprimă valoarea naturală a lui A ABC, întrucât după rotaţie planul triunghiului este paralel cu planul N. Proiecția frontală a triunghiului rotit coincide cu proiecția frontală a orizontalei 1"s", adică este un segment de linie dreaptă.

Dacă doriți să rotiți o imagine geometrică plată într-o poziție paralelă cu planul V, apoi se alege frontalul pentru axa de rotatie.

Rotiți planul în jurul urmei sale până când acesta coincide cu planul de proiecție corespunzător(acest caz se mai numește și metoda combinației). Dacă planul este rotit în jurul urmei sale până când coincide cu planul de proiecție în care se află această urmă, atunci imaginile geometrice situate în plan vor fi afișate fără distorsiuni. Această metodă este un caz special de rotație în jurul unei orizontale sau frontale, deoarece urma orizontală a planului poate fi considerată ca orizontală „zero” a planului orizontal, iar urma frontală ca frontală „zero”.

Figura 5.14 prezintă o reprezentare vizuală a rotației planului de poziție generală R în jurul pistei orizontale p h în direcția dinspre avion V către privitor până când este aliniat cu planul N. În poziție de aliniere plană R cu avion

H linie dreaptă P Uq este o urmă R și, aliniat cu planul N. Trace Ph cum axa de rotație nu își schimbă poziția. Punct Rx intersecția urmelor, de asemenea, nu își schimbă poziția. Pentru a construi o poziție combinată P L , o urmă P v este suficient să mai găsim un punct, de exemplu punctul N, această urmă (cu excepția punctului R x) într-o poziţie aliniată cu planul N.

Punctul N descrie un arc într-un plan Q, perpendicular pe axa de rotatie. Centru O acest arc este punctul de intersecție al planului Q cu urma Ph h . Punctul N 0 pe planul H este punctul de intersecție al arcului de rază ON in planul Q cu urma Q h . Trasând o dreaptă prin P x și N 0, obținem P U0 . Segmentul P X N nu își schimbă lungimea atunci când avionul se rotește; deci punct N0 se poate obtine prin incrucisare Qh cu un arc descris într-un plan H, din punctul Р x cu raza P X N.

Să execute construcţiile considerate pe desen (Fig. 5.15) pe urmă R și punct arbitrar selectat N (coincide cu proiecția sa P"). Prin proiecția sa orizontală P direct pe, perpendicular pe axa de rotație – trasare Ph.h. Un punct se găsește pe această linie N 0 , adică punctul N după alinierea cu planul N. A fost găsită în depărtare P X N 0 \u003d P x n "din punctul P x sau la distanta oN 0 din punctul o, egală cu raza de rotație a punctului N. Lungimea razei oN 0 = oN definit, de exemplu, ca ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catete pe și nN (nN=nn"). Linie dreaptă P U0 , trecând prin puncte P x și N 0, - poziție combinată a căii R i.

Poziția combinată a punctului C0 este construită în mod similar C. Raza de rotatie oC găsită ca ipotenuză a unui dreptunghiular

triunghi cu un picior oc, celălalt picior cc = s „1. A doua versiune a construcției este realizată folosind planul orizontal P cu proiecțiile c"2", c -2. Folosind raza arcului R x 2" poziția potrivită găsită 2o puncte 2 pe linia Pv0, iar în poziţia combinată 20C0 o linie orizontală printr-un punct 2 0 paralel cu urma Ph.

Dacă este necesară combinarea planului cu planul frontal al proiecțiilor, atunci planul trebuie rotit în jurul urmei sale frontale.

§ 24. Corpurile revoluţiei.

Cilindru, con și trunchi de con.

1. Patrat cu latura A se învârte în jurul unei perpendiculare pe diagonală prin capătul acesteia. Determinați volumul și suprafața corpului rezultat.

2. Patrat cu latura A se rotește în jurul unei axe externe care este paralelă cu latura sa și separată de aceasta de lungimea laturii. Necesar: 1) determinați volumul și suprafața corpului rezultat; 2) determinați în ce raport volumul format prin rotația pătratului va fi împărțit la suprafața pe care o va descrie diagonala acestuia.

3. Un triunghi echilateral se rotește în jurul unei perpendiculare pe latura trasă prin capătul său. Cum se leagă între ele suprafețele descrise de laturile triunghiului?

4. Un triunghi echilateral se rotește mai întâi în jurul laturii și apoi în jurul paralelei cu latura trasată prin vârf. A doua oară se obține volumul și suprafața, de două ori mai mari decât prima dată. Dovedi.

5. Un triunghi echilateral cu o latură A se rotește în jurul unei axe exterioare care este paralelă cu latura și îndepărtată de aceasta cu o distanță egală cu apotema triunghiului. Determinați volumul și suprafața corpului rezultat.

6. O parte A a unui triunghi echilateral este extins la lungimea sa și o perpendiculară pe acesta este trasă prin capătul prelungirii. Determinați volumul și suprafața corpului care se va obține dacă triunghiul este rotit în jurul acestei perpendiculare.

7. Înălțimea unui triunghi echilateral este extinsă dincolo de vârf până la lungimea sa și o perpendiculară pe acesta este trasă prin capătul extensiei. Langa A determinați volumul și suprafața corpului format prin rotirea triunghiului în jurul acestei perpendiculare.

8. Laturile pătratului servesc ca laturile triunghiurilor echilaterale construite în exterior, iar figura rezultată se rotește în jurul unei linii drepte care leagă vârfurile exterioare a două triunghiuri opuse. Latura pătratului este A . Determinați volumul și suprafața corpului rezultat.

9. Langa A a unui hexagon regulat, determinați volumul și suprafața corpurilor formate prin rotirea acestuia: 1) în jurul diametrului; 2) în jurul apotemului.

10. Langa A a unui hexagon regulat determină volumul și suprafața corpului format prin rotirea acestuia în jurul lateralului.

11. A se rotește în jurul unei axe care trece prin vârful său perpendicular pe raza trasată pe acest vârf. Determinați volumul și suprafața corpului de revoluție.

12. Hexagon regulat cu lateral A se rotește în jurul unei axe externe care este paralelă cu latura și separată de aceasta de lungimea apotemului. Determinați volumul și suprafața corpului rezultat.

13. Un triunghi dreptunghic cu catete de 5 cm și 12 cm se rotește în jurul axei exterioare, care este paralelă cu piciorul mai mare și la 3 cm distanță de acesta.Determinați volumul și suprafața corpului de revoluție.

14. Un triunghi dreptunghic cu catete de 15 cm și 20 cm se rotește în jurul unei perpendiculare pe ipotenuză, trasă prin vârful unui unghi ascuțit mai mare. Determinați volumul și suprafața corpului de revoluție.

15. Un triunghi cu laturile de 9 cm, 10 cm și 17 cm se rotește în jurul înălțimii trasate de la vârful unghiului său mai mic. Determinați volumul și suprafața corpului rezultat.

16. Un triunghi cu laturile de 8 cm și 5 cm care cuprinde un unghi de 60° se rotește în jurul unei axe care trece prin vârful acestui unghi perpendicular pe cea mai mică dintre laturile sale. Determinați volumul și suprafața corpului de revoluție.

17. Volumele formate prin rotirea secvenţială a unui paralelogram în jurul a două laturi adiacente sunt invers proporţionale cu aceste laturi. Dovedi.

18. Un romb a cărui zonă este Q se rotește în jurul unei laturi. Determinați suprafața corpului rezultat.

19. 1) Romb cu o latură A iar un unghi ascuțit de 60° se rotește în jurul unei axe trasate prin vârful acestui unghi perpendicular pe latură. Determinați volumul și suprafața corpului de revoluție.

2) Aceeași problemă pentru un unghi de 45°.

20. Un trapez isoscel, în care unghiul ascuțit este de 45 ° și latura este egală cu baza mai mică, se rotește în jurul laturii. Pe lungimea sa A determinați volumul și suprafața unui corp de revoluție.

21. Un trapez este înscris într-un semicerc cu raza R în așa fel încât baza sa inferioară să fie diametrul acestui cerc, iar latura laterală subtinde arcul cu 30°. Determinați volumul și suprafața corpului format prin rotația acestui trapez în jurul unei raze perpendiculare pe baza acestuia.

22. AB este diametrul unui semicerc dat de raza R; Arc BC care conține 60°. Se desenează o coardă AC și o tangentă CD, unde D este un punct pe continuarea diametrului AB. Determinați volumul și suprafața corpului obținute prin rotirea triunghiului ACD în jurul axei AD.

Mingea și părțile sale.

23. Pe un semicerc cu raza R de la capătul diametrului său AB, este așezat un arc DIU de 60 °, iar punctul C este legat de A. Determinați volumul și suprafața corpului care se formează dacă rotim în jurul AB o figură mărginită. după diametrul AB, coarda AC și arcul DIU.

24. Pe un semicerc de raza R de la capătul diametrului său AB se trasează un arc BMC de 45°, din punctul C se trasează o tangentă care intersectează continuarea diametrului AB în punctul D. Figura mărginită de drepte BD și CD și arcul BMC se rotește în jurul BD. Determinați volumul și suprafața corpului rezultat.

25. O este centrul arcului AMC cu raza R; Punctul B pe continuarea razei OA; BC-tangent la arc AMC; CD - perpendicular pe raza OA. Figura se rotește în jurul axei OB. Determinați distanța OD dacă suprafața formată prin rotația arcului AMC traversează volumul format prin rotația triunghiului OSV în jurul axei OB.

26. AMC, CND și DPB sunt treimi consecutive de semicerc cu diametrul AB și centru O. Sunt desenate razele OS și OD și coardele AC și AD, iar figura se învârte în jurul diametrului AB. Demonstrați că cifrele ACND și OCND descriu volume egale, fiecare alcătuind jumătate din volumul mingii.

27. Un segment circular se rotește în jurul unui diametru paralel cu coarda. Demonstrați că volumul rezultat este egal cu volumul unei sfere cu diametrul egal cu coarda segmentului.

28. 1) AOB - cadran cu centrul O și raza R; AMC - arc care conține 60°; AD- tangentă, iar D este punctul de intersecție cu continuarea razei OS. Figura delimitată de segmentele AD și CD și arcul AMC se rotește în jurul razei OB. Determinați volumul și suprafața corpului rezultat.

2) Aceeași problemă pentru arcul AMC egal cu 45°.

teoremele lui Gulden.

29. Verificați ambele teoreme ale lui Hulden pentru cazurile de rotație:

1) un dreptunghi în jurul uneia dintre laturile sale;

2) romb cu o latură A si inaltime h în jurul uneia dintre laturile sale;

3) un triunghi regulat cu o latură A în jurul unei axe care trece prin partea superioară paralelă cu baza;

4) un triunghi dreptunghic în jurul unuia dintre catete;

5) un triunghi dreptunghic în jurul ipotenuzei.

30. Secțiune transversală a unui inel de fier - un pătrat cu o latură A = 4 cm; diametrul mediu al inelului d = 80 cm și greutatea sa specifică este 8,6. Găsiți greutatea inelului.

31. Un colac de salvare, a cărui secțiune transversală este un cerc, poate fi considerat ca un corp rezultat din rotirea unui cerc în jurul unei axe. Diametrul secțiunii d =12 cm; diametrul exterior al colacului de salvare D = 75 cm.Calculați suprafața colacului de salvare și volumul acestuia.

32. Depoul de locomotive are forma unui semicerc în plan (Fig. 44), al cărui diametru interior este de 20 m; lățimea semicercului 9 m; în secțiune transversală, depozitul are forma unui trapez dreptunghiular ABCD, ale cărui laturi paralele au 4,25 m și 6,5 m. Aflați volumul depozitului.

33. Laturile triunghiului sunt de 9 cm, 10 cm și 17 cm. Triunghiul se rotește în jurul înălțimii sale mai mari. Determinați volumul suprafeței corpului de revoluție.

34. Demonstrați că volumele obținute prin rotirea unui triunghi în jurul bazei și în jurul unei drepte paralele cu baza care trece prin vârful triunghiului sunt în raport 1:2.

Când studiați materialul subiectului, trebuie să învățați:

tipuri de corpuri de revoluție;

definiții ale corpurilor de revoluție;

definiții ale elementelor corpurilor de revoluție;

concepte de dezvoltare a unui cilindru și a unui con;

definirea și calculul suprafeței laterale și complete a cilindrului și conului;

definirea planului tangent la sferă și proprietățile acesteia;

conceptul de suprafață a unei sfere;

definirea unui poliedru înscris într-o sferă și descris în jurul acesteia.

În procesul de rezolvare a problemelor, sunt testate următoarele abilități:

înfățișează corpurile revoluției;

Calculați elemente ale corpurilor de revoluție;

descrieți secțiuni de corpuri;

Calculați aria suprafeței laterale și complete a cilindrului și a conului;

Scrieți o ecuație pentru o sferă.

Întrebări ale testului teoretic

Opțiunea 1

1. Conceptul de suprafață cilindrică și elementele acesteia. Formulați definiția unui cilindru și a elementelor acestuia.

2. Deduceți o formulă pentru calcularea suprafeței unei sfere.

3. Aflați raportul dintre suprafața laterală și secțiunea axială a conului.

Opțiunea 2

1. Conceptul de suprafață conică. Formulați definiția unui con și a elementelor sale.

2. Determinați poziția centrului sferei circumscris unei piramide patruunghiulare regulate. Dovediți afirmația dvs.

3. Găsiți raportul dintre aria suprafeței laterale și secțiunea axială a cilindrului.

Opțiunea 3

1. Formulați definiția unui trunchi de con și a elementelor acestuia.

2. Determinați poziția centrului sferei înscris într-o piramidă triunghiulară regulată. Dovediți afirmația dvs.

3. Demonstrați că suprafața totală a unui con echilateral este egală cu suprafața unei mingi cu diametrul înălțimii conului.

Opțiunea 4

1. Formulați definițiile unei sfere și ale unei mingi. Scrieți ecuațiile unei sfere de rază R centrată în punctul O(0; 0; 0) și în punctul A(x0; y0; z0).

2. Deduceți o formulă pentru calcularea suprafeței laterale a unui con.

3. Demonstrați că aria suprafeței întregi a unui cilindru este egală cu aria suprafeței laterale a altui cilindru de aceeași rază, a cărui înălțime este egală cu suma razei și înălțimea acestui cilindru .

Munca independentă 17

Opțiunea 1

1. Aria secțiunii axiale a cilindrului este 16. Găsiți aria secțiunii acestui cilindru, care este paralelă cu axa și situată la o distanță de aceasta egală cu jumătate din raza bazei cilindrul.

2. Semicercul este pliat într-o suprafață conică. Aflați unghiul dintre generatoare și înălțimea conului.

3. Razele a două bile sunt de 16 și 20 dm, distanța dintre centrele lor este de 25 dm. Aflați circumferința cercului în care se intersectează suprafețele lor.

Opțiunea 2

1. Raza bazei cilindrului este de 26 cm, formând 4,8 dm. La ce distanță de axa cilindrului trebuie trasată o secțiune paralelă cu axa și care are forma unui pătrat?

2. Raza sectorului este de 3 m, unghiul acestuia este de 120°. Sectorul este pliat într-o suprafață conică. Aflați raza bazei conului.

3. Diagonalele rombului sunt de 30 si 40 cm.Suprafata sferica atinge toate laturile rombului. Aflați distanța de la centrul sferei la planul rombului dacă raza sferei este de 13 cm.

Opțiunea 3

1. Raza bazei cilindrului este de 12 cm.Aflați distanța dintre secțiunea axială și secțiunea cu jumătate din suprafață.

2. Unghiul de dezvoltare al suprafeței laterale a conului este de 120°. Generatoarea conului este de 15 cm.Calculează diametrul bazei conului.

3. Pe o minge cu raza de 10 cm se suprapune un romb astfel incat fiecare latura a acesteia, egala cu 12,5 cm, sa atinga mingea. Planul rombului este la 8 cm distanță de centrul mingii.Găsiți aria rombului.

Opțiunea 4

1. Prin generatoarea cilindrului sunt trasate două secțiuni reciproc perpendiculare, ale căror zone sunt egale cu 60 și 80 dm. Găsiți aria secțiunii axiale.

2. Raza bazei conului este de 12 cm, formând 40 cm.Calculează unghiul de măturare al acestui con.

3. Laturile triunghiului sunt de 10 dm, 10 dm si 12 dm. Aflați distanța de la planul triunghiului la centrul bilei tangentă la laturile triunghiului. Raza mingii este de 5 dm.

Munca independentă 18

Opțiunea 1

1. Diagonala secțiunii axiale a cilindrului este cu 25% mai mare decât diametrul bazei acestuia. Aflați aria totală a cilindrului dacă distanța dintre centrele acestuia este de 15 cm.

2. Dezvoltarea suprafeței laterale a cilindrului - un pătrat cu latura de 4 dm. Aflați volumul cilindrului.

3. Diagonalele secțiunii axiale a trunchiului de con sunt reciproc perpendiculare, înălțimea conului este H, formând l. Aflați suprafața laterală a conului.

4. Raza bazei conului este de 12 cm, formând 40 cm.Aflați unghiul de dezvoltare al suprafeței laterale a conului.

5. Generator de trunchi de con 10 cm, diferența de bază 6 cm, aria secțiunii axiale 112 cm2. Aflați suprafața laterală a conului.

6. Un paralelogram ale cărui laturi sunt de 21 cm și 89 cm și a cărui diagonală este de 100 cm se învârte în jurul laturii mai mici. Aflați volumul corpului de revoluție.

7. Un triunghi dreptunghic cu catetele de 16 și 12 cm se învârte în jurul ipotenuzei. Găsiți volumul și aria de rotație.

Opțiunea 2

1. Suprafața laterală a cilindrului este jumătate din suprafața totală. Aflați suprafața totală a cilindrului dacă diagonala secțiunii axiale este de 10 inchi.

2. Suprafața totală a cilindrului este de 500 p cm2, diametrul bazei acestuia este de 20 cm. Aflați volumul cilindrului.

3. Generatoarea unui trunchi de con se referă la înălțimea sa ca 41:40. Razele bazei sunt de 24 și 6 cm.Aflați suprafața laterală a conului.

4. Unghiul de dezvoltare al suprafeței laterale a conului este de 120°. Generatoarea conului este de 15 cm.Aflați suprafața totală a conului.

5. Aflați înălțimea unui trunchi de con dacă suprafața sa laterală este egală cu suma ariilor bazelor, iar razele bazelor sunt R și r.

6. Un trapez isoscel cu baze de 12 și 18 cm și un unghi ascuțit de 60 ° se rotește în jurul unei baze mai mici. Aflați suprafața și volumul corpului de revoluție.

7. Un triunghi cu două laturi egale cu 5 cm și 8 cm, face un unghi de 60 °, se rotește în jurul celei mai mari laturi. Aflați suprafața și volumul corpului de revoluție.

Munca independentă 19

Opțiunea 1

1. Un triunghi dreptunghic cu catetele 16 și 12 cm se învârte în jurul ipotenuzei. Găsiți suprafața corpului de revoluție.

2. Razele bazelor centurii sferice sunt de 63 si 39 cm, inaltimea acesteia este de 36 cm.Aflati suprafata centurii sferice.

3. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate h. Coastele laterale sunt reciproc perpendiculare. Aflați raza sferei circumscrise.

4. Într-o piramidă trunchiată triunghiulară regulată, înălțimea este de 17 cm, razele cercurilor descrise în jurul bazelor sunt de 5 și 12 cm.Aflați raza bilei circumscrise.

5. Un pătrat cu latura egală cu a se rotește în jurul unei perpendiculare pe diagonală, trasă prin capătul său. Găsiți suprafața corpului rezultat.

Opțiunea 2

1. Un triunghi ale cărui două laturi sunt de 5 și 8 cm, formează un unghi de 60 °, se rotește în jurul celei mai mari laturi. Găsiți suprafața corpului de revoluție.

2. Suprafața totală a segmentului sferic este egală cu S. Determinați înălțimea segmentului dacă raza bilei este R.

3. Baza piramidei este un triunghi regulat, a cărui latură este de 3 dm. Una dintre marginile laterale are 2 dm si perpendiculara pe baza. Aflați raza sferei circumscrise.

4. Laturile bazelor unei piramide trunchiate patruunghiulare regulate sunt de 7 și 1 dm. Marginea laterală este înclinată față de bază la un unghi de 45° Aflați raza sferei circumscrise.

5. Un hexagon regulat cu latura a se rotește în jurul axei externe, care este paralelă cu latura și distanțată de aceasta de lungimea apotemului. Găsiți suprafața corpului rezultat.

Munca independentă 20

Opțiunea 1

1. Muchia laterală a unei piramide triunghiulare regulate este egală cu b și formează un unghi a cu planul bazei. Un cilindru echilateral este înscris într-o piramidă, astfel încât planul bazei se află în planul bazei piramidei. Aflați volumul cilindrului.

2. Baza piramidei este un triunghi regulat. O margine laterală este perpendiculară pe planul de bază și este egală cu l, iar celelalte două formează un unghi a cu planul de bază. În piramidă este înscrisă o prismă dreaptă, dintre care trei vârfuri se află pe marginile laterale ale piramidei, iar celelalte trei se află pe baza piramidei, diagonala feței laterale a prismei este cu planul bazei. Ð b. Aflați înălțimea prismei.

3. Într-o prismă patruunghiulară obișnuită, aria feței laterale este egală cu q. Găsiți aria secțiunii diagonale.

4. Un plan perpendicular pe diametrul mingii o împarte în părți de 3 și 9 cm.În ce părți este împărțit volumul mingii?

Opțiunea 2

1. Unghiul din partea superioară a secțiunii axiale a conului este 2b. Circumferința bazei este de c. Determinați aria suprafeței laterale a conului.

2. Diagonalele secțiunii axiale a unui trunchi de con se împart la punctul de intersecție în raport de 2: 1, numărând de la baza mare. Unghiul dintre diagonalele orientate spre bază este a. Diagonala este l. Aflați volumul conului.

3. Marginea laterală a unui paralelipiped drept este de 5 cm, laturile bazei sunt de 6 și 8 cm, una dintre diagonalele bazei este de 12 cm. Aflați diagonalele paralelipipedului.

4. Ce parte din volumul mingii este volumul unui segment sferic cu o înălțime de 0,1 din diametrul mingii?

Opțiunea 3

1. Generatoarea conului este egală cu l și este înclinată față de planul bazei la un unghi a. Determinați suprafața totală a cubului înscris.

2. În baza conului este înscris un pătrat, a cărui latură este a. Planul care trece prin una dintre laturile acestui pătrat și vârful conului, la intersectarea cu suprafața conului, formează un triunghi isoscel cu un unghi la vârf egal cu a. Aflați volumul conului.

3. Latura bazei unei prisme patrulatere obișnuite este de 15 cm, iar înălțimea este de 20 cm. Aflați distanța cea mai scurtă de la latura bazei la diagonala prismei care nu o intersectează.

4. Două bile egale sunt aranjate astfel încât centrul uneia să se afle pe suprafața celeilalte. Cum este raportat volumul părții totale a mingii cu volumul întregii mingi?

Opțiunea 4

1. Într-un con este înscrisă o prismă triunghiulară dreptunghiulară cu nervuri egale, a cărei generatoare este înclinată pe planul bazei sub un unghi a. Aflați volumul prismei dacă raza bazei conului este R.

2. Volumul conului este V. În con este înscrisă o piramidă, la baza căreia se află un triunghi isoscel cu un unghi a între laturi. Aflați volumul piramidei.

3. Într-un paralelipiped drept, muchia laterală este de 1 m, laturile bazei sunt de 23 dm și 11 dm, diagonalele bazei sunt 2: 3. Aflați ariile secțiunilor diagonale.

4. Pe partea bazei a și pe muchia laterală b, găsiți suprafața completă a unei prisme hexagonale regulate.