Lucrări terminate

ACESTE LUCRĂRI

Multe au rămas deja în urmă și acum ești absolvent, dacă, bineînțeles, îți scrii teza la timp. Dar viața este așa ceva încât abia acum îți devine clar că, după ce ai încetat să mai fii student, vei pierde toate bucuriile studențești, multe dintre care nu le-ai încercat, amânând totul și amânând pentru mai târziu. Și acum, în loc să te atingă din urmă, îți schimbi teza? Există o ieșire grozavă: descărcați teza de care aveți nevoie de pe site-ul nostru - și veți avea instantaneu mult timp liber!
Lucrările de diplomă au fost susținute cu succes în principalele universități din Republica Kazahstan.
Costul lucrării de la 20 000 tenge

LUCRĂRI DE CURS

Proiectul de curs este prima lucrare practică serioasă. Pregătirea pentru dezvoltarea proiectelor de absolvire începe odată cu scrierea unei lucrări. Dacă un student învață să enunțe corect conținutul subiectului într-un proiect de curs și să îl redacteze corect, atunci în viitor nu va avea probleme nici cu redactarea rapoartelor, nici cu alcătuirea tezelor, nici cu îndeplinirea altor sarcini practice. Pentru a-i ajuta pe elevi în redactarea acestui tip de lucrare a studenților și pentru a clarifica întrebările care apar în cursul pregătirii sale, de fapt, a fost creată această secțiune de informare.
Costul lucrării de la 2 500 tenge

TEZE DE MAESTRO

În prezent, în instituțiile de învățământ superior din Kazahstan și țările CSI, etapa de învățământ profesional superior, care urmează după diplomă de licență - master, este foarte frecventă. În magistratură, studenții studiază cu scopul de a obține o diplomă de master, care este recunoscută în majoritatea țărilor lumii mai mult decât o diplomă de licență, și este recunoscută și de angajatorii străini. Rezultatul pregătirii în magistratură este susținerea unei lucrări de master.
Vă vom oferi material analitic și textual la zi, prețul include 2 articole științifice și un rezumat.
Costul lucrării de la 35 000 tenge

RAPOARTE DE PRACTICĂ

După finalizarea oricărui tip de practică studentească (educațional, industrial, universitar) este necesar un raport. Acest document va fi o confirmare a muncii practice a studentului și baza pentru formarea evaluării pentru practică. De obicei, pentru a întocmi un raport de stagiu, trebuie să colectați și să analizați informații despre întreprindere, să luați în considerare structura și programul de lucru al organizației în care are loc stagiul, să întocmiți un plan calendaristic și să vă descrieți activitățile practice.
Vă vom ajuta să scrieți un raport despre stagiu, ținând cont de specificul activităților unei anumite întreprinderi.

clasa a 8-a

Data:

Lecția numărul 9.

Subiect: calcule aproximative ale rădăcinii pătrate.

Obiective: 1. Să-i învețe pe elevi să găsească aproximativ rădăcini pătrate.

2. Dezvoltați observația, capacitatea de a analiza, compara, trage concluzii.

Cultivați o atitudine pozitivă față de învățare

Tip de lecție: combinată.

Forme de organizare a lecției: individuală, colectivă

Echipament: tablă de proiect, carduri de reflecție a stării de spirit, microcalculator

Trei căi duc la cunoaștere: calea reflecției

Acesta este cel mai nobil mod

calea imitației este cea mai ușoară cale

iar calea experienței este cea mai amară cale.

Confucius

În timpul orelor.

Organizarea timpului

Pasul de verificare a temelor

Nr. 60 - 1 elev efectuează la tablă, un alt elev verifică pe loc corectitudinea temei

Lucrare orală: proiectată pe tablă

a) Aflați valoarea rădăcinii:

b) Are sens expresia:

c) Aflați un număr a cărui rădăcină pătrată aritmetică este 0; unu; 3; zece; 0,6

Etapa explicării noului material

Pentru a calcula valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate, trebuie să utilizați un microcalculator. Pentru a face acest lucru, introduceți expresia radicală în calculator și apăsați tasta cu semnul radical. Dar nu există întotdeauna un calculator la îndemână, așa că puteți găsi valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate după cum urmează:

Să găsim valoarea.

De atunci . Acum, dintre numerele situate pe intervalul de la 1 la 2, luăm numerele vecine 1.4 și 1.5, obținem: , apoi luăm numerele 1.41 și 1.42, aceste numere satisfac inegalitatea . Dacă continuăm acest proces de pătrare a numerelor învecinate, obținem următorul sistem de inegalități:

Proiectat pe tablă.

Din acest sistem, comparând numerele după virgulă, obținem:

Valorile aproximative ale rădăcinilor pătrate pot fi luate în termeni de exces și deficiență, adică prin deficiență cu o precizie de 0,0001 și prin exces.

Consolidarea materialului studiat.

Nivelul „A”

0,2664 0,2 - prin deficit

№93 (se folosește calculatorul)

5. Pauza valeologica: exercitii pentru ochi.

Nivelul „B”

6. Context istoric privind necesitatea de a găsi valoarea rădăcinilor pătrate

(Studentul dornic este invitat în prealabil să pregătească un mesaj pe această temă folosind Internetul)

Este propusă o formulă pentru găsirea valorii aproximative a rădăcinii pătrate a unui număr irațional:

Nivelul „C” nr. 105

7. Reflecție.

Rezumatul lecției.

Tema pentru acasă: nr. 102,

Subiect: „Găsirea
valorile aproximative ale rădăcinii pătrate"

Tipul de lecție: ONZ, R

Obiective de bază:

• învață să găsești valori aproximative ale rădăcinii pătrate,
• învață metode de calcul al rădăcinilor.

În timpul orelor

1. Autodeterminare la activitățile de învățare

Scopul etapei: 1) include elevii în activitățile de învățare;

2) determinați conținutul lecției: continuăm să lucrăm la rădăcini pătrate

Organizarea procesului educațional la etapa 1:

Ce studiem acum la lecțiile de algebră? (Rădăcini pătrate)

Ce sunt rădăcinile pătrate?

- Bine făcut! Pentru o muncă de succes, vom îndeplini următoarele sarcini.

2. Actualizarea cunoștințelor și fixarea dificultăților în activități

Scopul etapei: 1) actualizarea conținutului educațional necesar și suficient pentru perceperea materialului nou: găsirea valorilor rădăcinii pătrate;

2) să actualizeze operaţiile mentale necesare şi suficiente pentru perceperea materialului nou: comparaţie, analiză, generalizare;

3) remediați toate conceptele și algoritmii repeți sub formă de scheme și simboluri;

4) remediați o dificultate individuală în activitate, demonstrând lipsa cunoștințelor existente la un nivel personal semnificativ: găsiți sensul expresiei.

Organizarea procesului educațional la etapa 2:

1. Calculați: , , , ,

4. Sarcina individuală.

Găsiți valoarea unei expresii..

3. Identificarea cauzei dificultății și stabilirea scopului activității

Scopul etapei: 1) organizează interacțiunea comunicativă, în timpul căreia se dezvăluie și se fixează o proprietate distinctivă a sarcinii care a cauzat dificultăți în activitățile educaționale: capacitatea de a găsi valoarea rădăcinii pătrate;

2) cădeți de acord asupra scopului și temei lecției.

Organizarea procesului educațional la etapa 3:

– ce trebuia sa faci?

– Ce ai primit? (Elevii își arată opțiunile)

- Care a fost problema?

Este √2 extras complet?

Nu.

Cum vom găsi?

Care sunt modalitățile de a găsi rădăcini?

Băieți, vedeți, nu avem întotdeauna de-a face cu numere care sunt ușor de reprezentat ca un pătrat al unui număr, care sunt extrase complet de sub rădăcină.

- Care este scopul nostru?

- Formulați subiectul lecției.

- Scrieți subiectul în caiet.

4. Construirea unui proiect pentru iesirea dintr-o dificultate

Scopul etapei: 1) organizarea interacțiunii comunicative pentru a construi un nou mod de acțiune care să elimine cauza dificultății identificate;

2) fixați un nou mod de acțiune într-un semn, formă verbală.

Organizarea procesului educațional la etapa 4:

1 METODA pentru a calcula √2 precisă cu două zecimaleVom argumenta după cum urmează.

Numărul √2 este mai mare decât 1 deoarece 1 2 2 mai mare decât 2. Prin urmare, notația zecimală a numărului va începe după cum urmează: 1, ... Adică rădăcina lui doi, aceasta este o unitate cu ceva.

Acum să încercăm să găsim numărul de zecimi.

Pentru a face acest lucru, vom pătrata fracții de la unu la doi până când obținem un număr mai mare de doi.

Să luăm un pas de împărțire de 0,1, deoarece căutăm numărul de zecimi.

Cu alte cuvinte, vom pătrata numerele: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Am primit un număr mai mare de doi, numerele rămase nu mai trebuie să fie pătrate. Numărul 1.4 2 este mai mic decât 2 și 1,5 este 2 este deja mai mare de doi, atunci numărul √2 trebuie să aparțină intervalului de la 1,4 la 1,5. Prin urmare, notația zecimală a numărului √2 pe locul al zecelea trebuie să conțină 4. √2=1,4….

Cu alte cuvinte, 1.4

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Deja la 1,42 obținem că pătratul său este mai mare decât doi, alte numere la pătrat nu au sens.

De aici rezultă că numărul √2 va aparține intervalului de la 1,41 la 1,42 (1,41

Deoarece trebuie să scriem √2 cu o precizie de două zecimale, putem deja să ne oprim și să nu continuăm calculul.

√2 ≈ 1,41. Acesta va fi răspunsul. Dacă ar fi necesar să se calculeze o valoare și mai precisă, ar trebui să se continue calculele, repetând lanțul de raționament iar și iar.

Exercițiu

Calculați cu două zecimale

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Concluzie Această tehnică vă permite să extrageți rădăcina cu orice precizie predeterminată.

2 METODA Pentru a afla partea întreagă a rădăcinii pătrate a unui număr, puteți, scăzând din aceasta toate numerele impare în ordine, până când restul este mai mic decât următorul număr scăzut sau egal cu zero, să numărați numărul de acțiuni efectuate.

De exemplu, să găsim √16 astfel:

1. 16 - 1 = 15
2. 15 - 3 = 12
3. 12 - 5 = 7
4. 7 - 7 =0

• 4 pași finalizați, deci √16 = 4

Sarcina Calculați

√1 = √6 =

√2 = √7 =

√3 = √8 =

√4 = √9 =

√5 = √10 =

Concluzie Această tehnică este convenabilă atunci când rădăcina este complet îndepărtată.

3 METODA Babilonienii antici au folosit următoarea metodă pentru a găsi valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a numărului lor x. Ei au reprezentat numărul x ca sumă a lui a 2+b,

unde un 2 - pătratul exact al numărului natural a cel mai apropiat de numărul x și a folosit formula.

Extragem rădăcina pătrată folosind formula,

De exemplu de la numărul 28:

Concluzie Metoda babiloniană oferă o bună aproximare a valorii exacte a rădăcinii.

5. Consolidarea primară în vorbirea externă

Scopul etapei: fixează conținutul educațional studiat în vorbirea externă.

Organizarea procesului educațional la etapa 5:

din manual: nr. 336, 337, 338.339, 343.345

6. Lucru independent cu autotestare conform standardului.

Scopul etapei: testați-vă capacitatea de a aplica algoritmul de adunare și scădere în condiții tipice, comparând soluția dvs. cu un standard pentru autotestare.

Organizarea procesului educațional la etapa 6:

nr. 338 (a), 339 (c, d)

După verificarea față de standard, erorile sunt analizate și corectate.

7. Includerea în sistemul de cunoștințe și repetiție

Scopul etapei: 1) antrenați abilitățile de utilizare a conținutului nou împreună cu conținutul învățat anterior;

Organizarea procesului educațional la etapa 7:

1 grup (mediu) „Nr. ______________

Grupa 2 (înaltă) №№ _________________

8. Reflectarea activităților din lecție

1) remediați noul conținut învățat în lecție;

2) își evaluează propriile activități în lecție;

3) multumesc colegilor care au ajutat la obtinerea rezultatului lectiei;

4) remediază dificultățile nerezolvate ca direcții pentru activitățile viitoare de învățare;

5) Discutați și scrieți temele pentru acasă.

Organizarea procesului educațional la etapa 8:

– Ce am învățat astăzi în clasă?

– Ce am învățat să facem astăzi?

– Analizează-ți activitățile din lecție și evaluează-ți munca.

Teme pentru acasă №№ 344 , 346, 351

Acum întrebarea este: cum să ridici un număr la o putere irațională? De exemplu, vrem să știm ce este 10 √2. Răspunsul este, în principiu, foarte simplu. Să luăm în loc de √2 aproximarea sa sub forma unei zecimale finite drdbi - acesta este un număr rațional. Putem ridica într-un grad rațional; se rezumă la ridicarea la o putere întreagă și extragerea rădăcinii. Vom obține valoarea aproximativă a numărului. Puteți lua o fracție zecimală mai lungă (acesta este din nou un număr rațional). Apoi trebuie să extragi rădăcina de un grad mai mare; la urma urmei, numitorul unei fracții raționale va crește, dar vom obține o aproximare mai precisă. Desigur, dacă luăm valoarea aproximativă a lui √2 ca o fracție foarte lungă, atunci exponențiarea va fi foarte dificilă. Cum să faci față acestei sarcini?

Calculul rădăcinilor pătrate, rădăcinilor cubice și a altor rădăcini de grad scăzut este un proces aritmetic care ne este destul de accesibil; calculând, secvenţial, una după alta, scriem zecimale. Dar pentru a ridica la o putere irațională sau a lua un logaritm (pentru a rezolva problema inversă), este nevoie de o astfel de muncă încât să nu mai fie ușor de aplicat procedura anterioară. Mesele vin în ajutor. Ele sunt numite tabele de logaritmi sau tabele de puteri, în funcție de ceea ce sunt destinate. Ele economisesc timp: pentru a ridica un număr la o putere irațională, nu calculăm, ci doar întoarcem paginile.

Deși calculul valorilor colectate în tabele este o procedură pur tehnică, este totuși o chestiune interesantă și are o istorie lungă. Deci, să vedem cum se face. Vom calcula nu numai x \u003d 10 √2, dar vom rezolva și o altă problemă: 10 x \u003d 2, sau x \u003d log 10 2. Când rezolvăm aceste probleme, nu vom descoperi numere noi; acestea sunt doar probleme de calcul. Soluția va fi numere iraționale, fracții zecimale infinite și este cumva incomod să le declarăm un nou tip de numere.

Să ne gândim cum să ne rezolvăm ecuațiile. Ideea generală este foarte simplă. Dacă calculăm 10 1 și 10 1/10 , și 10 1/100 , și 10 1/1000 , etc., și apoi înmulțim rezultatele, obținem 10 1,414 ... sau l0 √ 2 Făcând aceasta, vom rezolva orice problema de acest gen. Totuși, în loc de 10 1/10 etc., vom calcula 10 1/2 și 10 1/4 etc. Înainte de a începe, să explicăm de ce ne referim la numărul 10 mai des decât la alte numere. Știm că semnificația tabelelor de logaritmi depășește cu mult problema matematică a calculării rădăcinilor, deoarece

Acest lucru este bine cunoscut de oricine a folosit tabelul de logaritmi pentru a înmulți numere. Pe ce bază b să luăm logaritmi? Nu contează; căci astfel de calcule se bazează numai pe principiul, proprietatea generală a funcției logaritmice. După ce ați calculat logaritmii o dată pentru o bază arbitrară, puteți merge la logaritmii pentru o altă bază folosind înmulțirea. Dacă înmulțiți ecuația (22.3) cu 61, atunci va rămâne adevărată, deci dacă înmulțiți toate numerele din tabelul de logaritmi la baza b cu 61, atunci un astfel de tabel poate fi, de asemenea, utilizat. Să presupunem că cunoaștem logaritmii tuturor numerelor la baza b. Cu alte cuvinte, putem rezolva ecuația b a = c pentru orice c; există o masă pentru asta. Problema este cum să găsiți logaritmul aceluiași număr c într-o bază diferită, cum ar fi x. Trebuie să rezolvăm ecuația x a’ = c. Acest lucru este ușor de făcut deoarece x poate fi întotdeauna reprezentat ca: x = b t . Găsirea lui t dat x și b este simplă: t = log b x. Să substituim acum x = b t în ecuația x a’ = c; va intra în această ecuație: (b t) a’ = b ta’ = c. Cu alte cuvinte, produsul ta' este logaritmul lui c la baza b. Deci a' = a/t. Astfel, logaritmii la baza x sunt egali cu produsele logaritmilor la baza b și numărul constant l/t. Prin urmare, toate tabelele de logaritmi sunt echivalente până la înmulțirea cu numărul l/log b x. Acest lucru ne permite să alegem orice bază pentru tabulare, dar am decis că este cel mai convenabil să folosim ca bază numărul 10. (Poate apărea întrebarea: există încă o bază naturală care face ca totul să pară mai simplu? Noi Vom încerca pentru a răspunde la această întrebare mai târziu, în timp ce toți logaritmii vor fi calculați în baza 10.)

Acum să vedem cum este compilat tabelul de logaritmi. Lucrarea începe cu extrageri succesive ale rădăcinii pătrate a lui 10. Rezultatul poate fi văzut în tabel. 22.1. Exponenții sunt înscriși în prima sa coloană, iar numerele 10 s sunt în a treia. Este clar că 10 1 \u003d 10. Este ușor să ridici 10 la jumătate de putere - aceasta este rădăcina pătrată a lui 10 și toată lumea știe cum să ia rădăcina pătrată a oricărui număr. (Rădăcina pătrată este cel mai bine luată nu în modul în care se predă de obicei la școală, ci puțin diferit. Pentru a extrage rădăcina pătrată a numărului N, alegem numărul a suficient de apropiat de răspuns, calculăm N / a și medie a' = 1/2; aceasta media va fi un nou număr a, o nouă aproximare a rădăcinii lui N. Acest proces duce foarte repede la obiectiv: numărul de cifre semnificative se dublează după fiecare pas.) Deci avem a găsit prima rădăcină pătrată; este egal cu 3,16228. Ce dă? Oferă ceva. Putem deja spune ce este 10 0,5 și cunoaștem cel puțin un logaritm.

Logaritmul de 3,16228 este foarte aproape de 0,50000. Totuși, mai trebuie să facem un mic efort: avem nevoie de un tabel mai detaliat. Să luăm o altă rădăcină pătrată și să găsim 10 1/4, care este egal cu 1,77828. Acum cunoaștem un alt logaritm: 1,250 este logaritmul lui 17,78; în plus, putem spune cu ce este 10 0,75: la urma urmei, acesta este 10 (0,5 + 0,25), adică produsul numerelor al doilea și al treilea din a treia coloană a tabelului. 22.1. Dacă faceți prima coloană a tabelului suficient de lungă, atunci tabelul va conține aproape toate numerele; înmulțind numerele din a treia coloană, obținem 10 la aproape orice putere. Aceasta este ideea de bază a tabelelor. Tabelul nostru conține zece rădăcini consecutive din 10; munca principală de întocmire a tabelului este investită în calcularea acestor rădăcini.

De ce nu continuăm să îmbunătățim acuratețea tabelelor? Pentru că deja am observat ceva. Prin creșterea 10 la o putere foarte mică, obținem o unitate cu un mic adaos. Acest lucru, desigur, se întâmplă pentru că dacă ridicăm, de exemplu, 10 1/1000 la puterea a 1000-a, atunci obținem din nou 10; este clar că 10 1/1000 nu poate fi un număr mare: este foarte aproape de unu. Mai mult, micile adăugiri la unitate se comportă ca și cum ar fi împărțite la 2 de fiecare dată; aruncați o privire mai atentă la tabel: 1815 merge la 903, apoi la 450, 225 etc. Astfel, dacă mai calculăm o rădăcină pătrată, a unsprezecea, va fi egală cu 1,00112 cu mare precizie și am ghicit acest rezultat chiar și înainte de calcul. Puteți spune care va fi adăugarea la unu dacă ridicați 10 la puterea lui ∆/1024 deoarece ∆ tinde spre zero? Poate sa. Adunarea va fi aproximativ egală cu 0,0022511∆. Desigur, nu tocmai 0,0022511∆; pentru a calcula această adunare mai precis, ei fac următorul truc: scădeți unul din 10 s și împărțiți diferența la exponentul s. Abaterile coeficientului astfel obținut de la valoarea lui exactă sunt aceleași pentru orice putere a lui s. Se poate observa că aceste rapoarte (Tabelul 22.1) sunt aproximativ egale. La început diferă foarte mult, dar apoi se apropie unul de celălalt, luptă în mod clar pentru un număr. Ce este acest numar? Să vedem cum se schimbă numerele coloanei a patra dacă coborâm pe coloană. În primul rând, diferența dintre două numere adiacente este 0,0211, apoi 0,0104, apoi 0,0053 și în final 0,0026. Diferența scade de fiecare dată la jumătate. Făcând încă un pas, îl vom aduce la 0,0013, apoi la 0,0007, 0,0003, 0,0002 și în final la aproximativ 0,0001; trebuie să împărțim secvențial 26 la 2. Astfel, vom coborî încă 26 de unități și vom găsi pentru limita 2,3025. (Mai târziu vom vedea că 2,3026 ar fi mai corect, dar să luăm ceea ce avem.) Folosind acest tabel, puteți ridica 10 la orice putere, dacă exponentul său este exprimat în vreun fel prin I / I024.

Acum este ușor să faceți un tabel de logaritmi, deoarece am salvat deja tot ce este necesar pentru aceasta. Procedura pentru aceasta este prezentată în tabel. 22.2, iar numerele necesare sunt preluate din a doua și a treia coloană a tabelului. 22.1.

Să presupunem că vrem să cunoaștem logaritmul lui 2. Aceasta înseamnă că vrem să știm la ce putere trebuie ridicat 10 pentru a obține 2. Poate crește 10 la puterea 1/2? Nu, e prea mare. Privind Tabelul 22.1, putem spune că numărul de care avem nevoie se află între 1/4 și 1/2. Să începem să-l căutăm cu 1/4; împărțim 2 la 1,778…, obținem 1,124…; la împărțire, am scăzut 0,250000 din logaritmul lui doi, iar acum ne interesează logaritmul lui 1,124 .... După ce l-am găsit, vom adăuga 1/4 = 256/1024 la rezultat. Să găsim în tabelul 22.1 numărul care, atunci când se deplasează de-a lungul celei de-a treia coloane de sus în jos, ar sta imediat în spatele lui 1,124 .... Acesta este 1,074607. Raportul de 1,124... la 1,074607 este 1,046598. În final, vom reprezenta 2 ca produs al numerelor din tabel. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Pentru ultimul factor (1,000573) nu a fost loc în tabelul nostru; pentru a-i găsi logaritmul, este necesar să reprezentăm acest număr ca 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024. De aici este ușor de găsit că ∆ = 0,254. Astfel, produsul nostru poate fi reprezentat ca un zece ridicat la puterea de 1/1024 (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254). Adunând și împărțind, obținem logaritmul dorit: log 10 2 = 0,30103; acest rezultat este corect până la a cincea zecimală!

Am calculat logaritmii exact în același mod ca și domnul Briggs din Halifax în 1620. Când a terminat, a spus: „Am calculat succesiv 54 de rădăcini pătrate din 10”. De fapt, a calculat doar primele 27 de rădăcini, apoi a făcut un truc cu ∆. Calcularea de 27 de ori rădăcina pătrată a lui 10 este de fapt puțin mai dificilă decât
De 10 ori ca noi. Totuși, domnul Briggs a făcut mult mai mult: a calculat rădăcinile până la a șaisprezecea zecimală, iar când și-a publicat tabelele, le-a lăsat doar 14 zecimale pentru a rotunji erorile. A compila tabele de logaritmi până la a paisprezecea zecimală prin această metodă este foarte dificil. Dar până la 300 de ani mai târziu, compilatorii de tabele de logaritmi erau ocupați să reducă tabelele domnului Briggs, aruncând un număr diferit de zecimale de fiecare dată. Numai în ultimul timp a fost posibil, cu ajutorul calculatoarelor electronice, să alcătuiască tabele de logaritmi independent de domnul Briggs. În acest caz, a fost folosită o metodă de calcul mai eficientă, bazată pe extinderea logaritmului într-o serie.

În timpul alcătuirii tabelelor, am dat peste un fapt interesant; dacă exponentul ε este foarte mic, atunci se calculează foarte ușor 10 ε ; este doar 1+2,3025ε. Aceasta înseamnă că 10 n/2,3025 = 1 + n pentru n foarte mic. În plus, am spus de la bun început că calculăm baza 10 logaritmi doar pentru că avem 10 degete pe mâini și ne este mai convenabil să numărăm în zeci. Logaritmii la orice altă bază se obțin de la logaritmi la baza 10 prin înmulțire simplă. Acum este timpul să aflăm dacă există o bază de logaritmi distinsă matematic, distinsă din motive care nu au nicio legătură cu numărul degetelor de pe mână. În această scară naturală, formulele cu logaritmi ar trebui să arate mai simple. Să facem un nou tabel de logaritmi înmulțind toți logaritmii de bază 10 cu 2,3025... Aceasta corespunde tranziției la o nouă bază - naturală sau baza e. Rețineți că log e (l + n) ≈ n sau e n ≈ 1 + n, când n → 0.

Este ușor să găsiți numărul e în sine; este egal cu 101/ 2,3025 sau 10 0,4342294... Adică 10 la puterea irațională. Pentru a calcula e, puteți folosi tabelul rădăcinilor lui 10. Să reprezentăm 0,434294 ... mai întâi ca 444,73 / 1024, iar numărătorul acestei fracții ca sumă 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0,73 . Numărul e este deci egal cu produsul numerelor
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Numărul 0,73 nu este în tabelul nostru, dar rezultatul corespunzător poate fi reprezentat ca 1 + 2,3025∆/1024 și calculat cu ∆ = 0,73.) Înmulțind toți cei 7 factori, obținem 2,7184 (cu ar trebui să fie de fapt 2,7183, dar acest rezultat este bun). Folosind astfel de tabele, puteți ridica un număr la o putere irațională și puteți calcula logaritmii numerelor iraționale. Așa se face față iraționalității!

Înainte de apariția calculatoarelor, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul rădăcinii în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul rădăcinii, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi luată întreaga rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. Mai întâi, încercați să factorizați numărul rădăcinii în factori pătrați.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (manual). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțirea a 400 la 25 dă 16. Numărul 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factori pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă și luați rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

   • În exemplul nostru, luați rădăcina pătrată a lui 25 și 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Dacă numărul rădăcinii nu se împarte în doi factori pătrați (și o face în majoritatea cazurilor), nu veți putea găsi răspunsul exact sub forma unui număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului rădăcinii într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului obișnuit.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, evaluați valoarea rădăcinii. Acum puteți evalua valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul rădăcinii. Veți obține valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcinii.

   • Să revenim la exemplul nostru. Numărul rădăcină este 3. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 se află între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Dacă faceți calculele pe un calculator, obțineți 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul rădăcină este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 se află între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (deoarece 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem afirma că √35 este puțin mai mic decât 6. Verificarea cu calculatorul ne dă răspunsul 5.92 – am avut dreptate.

4. O altă modalitate este de a descompune numărul rădăcină în factori primi. Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi pe rând și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Descompunem numărul rădăcinii în factori primi: 45 \u003d 9 x 5 și 9 \u003d 3 x 3. Astfel, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 poate fi scos din semnul rădăcinii: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
   • Luați în considerare un alt exemplu: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai trei multiplicatori 2; ia câteva dintre ele și scoate-le din semnul rădăcinii.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum putem evalua √2 și √11 și găsim un răspuns aproximativ.

   Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

   Folosind împărțirea coloanelor

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi trageți o linie orizontală la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii până la linia verticală. Acum împărțiți numărul rădăcină în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul din stânga sus ca „7 80, 14”. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Răspunsul (rădăcina numărului dat) va fi scris în dreapta sus.

   2. Având în vedere prima pereche de numere (sau un număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai aproape de, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n găsit în dreapta sus și notați pătratul n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi numărul 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un număr) din stânga. Scrieți rezultatul calculului sub subtraend (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 pentru a obține 3.

   4. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_×_=" atașat.

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublarea numărului din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" din dreapta jos.

   5. Completați spațiile libere din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă punem numărul 8 în loc de liniuțe, atunci 48 x 8 \u003d 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 este bine. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 \u003d 329. Scrieți 7 din dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub cel scăzut.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere demolată este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți separatorul (virgulă) dintre părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată dorită din dreapta sus. În stânga, duceți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_×_=" atașat.

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi demolată va fi partea fracțională a numărului 780,14, așa că puneți separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată necesară din dreapta sus. Demolați 14 și scrieți în stânga jos. Dublul din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr în locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți o pereche de zerouri lângă numărul curent din stânga și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți exactitatea răspunsului de care aveți nevoie (număr de zecimale).

      Înțelegerea procesului

      1. Pentru a stăpâni această metodă, imaginați-vă numărul a cărui rădăcină pătrată trebuie să o găsiți ca aria pătratului S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculați valoarea lui L pentru care L² = S.

         Introduceți o literă pentru fiecare cifră din răspunsul dvs. Notați cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

         Specificați o literă pentru fiecare pereche de cifre de început. Notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

         Explicați legătura acestei metode cu diviziunea lungă. Ca și în operația de împărțire, unde de fiecare dată ne interesează doar o cifră următoare a numărului divizibil, atunci când calculăm rădăcina pătrată, lucrăm cu o pereche de cifre în succesiune (pentru a obține următoarea cifră din valoarea rădăcinii pătrate) .

      2. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți-i rădăcina pătrată.În acest caz, prima cifră A a valorii căutate a rădăcinii pătrate va fi o astfel de cifră, al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un astfel de A care să satisfacă inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Imaginează-ți mental pătratul a cărui zonă trebuie să o calculezi. Cauți L, adică lungimea laturii unui pătrat a cărui zonă este S. A, B, C sunt numere din numărul L. Îl poți scrie diferit: 10A + B \u003d L (pentru două -număr de cifre) sau 100A + 10B + C \u003d L (pentru un număr din trei cifre) și așa mai departe.

         • Lăsa (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Amintiți-vă că 10A+B este un număr al cărui B reprezintă unități și A reprezintă zeci. De exemplu, dacă A=1 și B=2, atunci 10A+B este egal cu numărul 12. (10A+B)² este aria întregului pătrat, 100A² este aria pătratului interior mare, B² este aria pătratului interior mic, 10A×B este aria fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri. Adăugând zonele figurilor descrise, veți găsi aria pătratului original.