Informații din istoria apariției derivatului: Sloganul multor matematicieni ai secolului al XVII-lea. a fost: „Mergeți înainte și aveți încredere în corectitudinea rezultatelor
va veni."
Termenul „derivat” - ​​(derivare franceză - în spate, în spate) a fost introdus în 1797 de J. Lagrange. A prezentat și el
denumirile moderne y ", f'.
denumirea lim este o abreviere a cuvântului latin limes (bord, hotar). Termenul „limită” a fost introdus de I. Newton.
I. Newton a numit derivata un flux, iar funcția în sine - un fluent.
G. Leibniz a vorbit despre relația diferențială și a notat derivata astfel:
Lagrange Joseph Louis (1736-1813)
matematician și mecanic francez

Newton:

„Această lume a fost învăluită în întuneric adânc. Să fie lumină! Așadar
A apărut Newton. A. Pogue.
Isaac Newton (1643-1727) unul dintre fondatori
calcul diferenţial.
Lucrarea sa principală este „Principii matematice
filozofia naturală „-avea un colosal
influența asupra dezvoltării științelor naturale
moment de cotitură în istoria științelor naturale.
Newton a introdus conceptul de derivată în timp ce studia legile
mecanică, dezvăluind astfel mecanica sa
sens.

Care este derivata unei functii?

Derivata unei functii intr-un punct dat se numeste limita
raportul dintre incrementul funcției în acest punct la
argument increment când argument increment
tinde spre zero.

Sensul fizic al derivatului.

Viteza este derivata distantei in raport cu timpul:
v(t) = S′(t)
Accelerația este un derivat
viteza in timp:
a(t) = v′(t) = S′′(t)

Semnificația geometrică a derivatei:

Panta tangentei la grafic
funcția este egală cu derivata acestei funcții,
calculat la punctul de contact.
f′(x) = k = tga

Derivat în inginerie electrică:

În casele noastre, în transport, în fabrici: funcționează peste tot
electricitate. Prin curent electric se înțelege
mișcarea direcționată a încărcat electric liber
particule.
Caracteristica cantitativă a curentului electric este forța
actual.
LA
circuite de curent electric sarcina electrică se modifică din
în timp conform legii q=q (t). Puterea curentă I este un derivat
încărcați q în timp.
În inginerie electrică, funcționarea AC este utilizată în principal.
Un curent electric care se modifică în timp se numește
variabile. Un circuit AC poate conține diverse
elemente: încălzitoare, bobine, condensatoare.
Obținerea unui curent electric alternativ se bazează pe lege
inducție electromagnetică, a cărei formulă conține
derivat al fluxului magnetic.

Derivat în chimie:

◦ Și în chimie, diferențială
calcul pentru construirea de modele matematice de chimie
reacții și descrierea ulterioară a proprietăților acestora.
◦ Chimia este știința substanțelor, a transformărilor chimice
substante.
◦ Chimia studiază tiparele diferitelor reacții.
◦ Viteza unei reacții chimice este modificarea
concentrația reactanților pe unitatea de timp.
◦ Deoarece viteza de reacție v se modifică continuu în timpul
proces, este de obicei exprimat ca un derivat al concentrației
reactanți în timp.

Derivată în geografie:

Ideea modelului sociologic al lui Thomas Malthus este că creșterea populației
proporțional cu populația la un moment dat t prin N(t), . Model
Malthus a făcut o treabă bună în a descrie populația SUA din 1790 până în 1860.
ani. Acest model nu mai este valabil în majoritatea țărilor.

Integrala și aplicarea ei:

Un pic de istorie:

Istoria conceptului de integrală se întoarce la
la matematicienii Greciei antice şi antice
Roma.
Lucrările omului de știință din Grecia Antică, Eudoxus din Knidos (c. 408-c. 355 î.Hr.), sunt cunoscute pe
găsirea volumelor de corpuri și calcule
zonele figurilor plane.

Calculul integral a devenit larg răspândit în secolul al XVII-lea. Oameni de stiinta:
G. Leibniz (1646-1716) și I. Newton (1643-1727) au descoperit în mod independent
prieten și aproape simultan formula, numită mai târziu formulă
Newton - Leibniz, pe care îl folosim. Că formula matematică
adus filozof și fizician nu surprinde pe nimeni, pentru că matematica este limbajul în care
natura însăși vorbește.

Simbol introdus
Leibniz (1675). Acest semn este
schimbarea literei latine S
(prima literă a cuvântului sumă). Însuși cuvântul integrală
inventat
J. Bernoulli (1690). Probabil provine de la
latină integero, care se traduce ca
readuce la starea inițială.
Limitele integrării au fost deja indicate de L. Euler
(1707-1783). În 1697 a apărut numele
noua ramura a matematicii - integrala
calcul. A fost introdus de Bernoulli.

În analiza matematică, se numește integrala unei funcții
extinderea conceptului de sumă. Procesul de găsire a integralei
se numeste integrare. Acest proces este de obicei folosit pentru
găsirea unor mărimi precum aria, volumul, masa, deplasarea etc.
când este dată rata sau distribuția modificărilor acestei cantități
în raport cu o altă cantitate (poziție, timp etc.).

Ce este o integrală?

Integrala este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice, care
apare la rezolvarea problemelor de găsire a ariei de sub curbă, distanța parcursă când
mișcarea neuniformă, masa unui corp neomogen etc., precum și în problema de
restabilirea unei funcţii din derivata ei

Oamenii de știință încearcă totul fizic
fenomene de exprimat în formă
formula matematica. Cum
doar noi avem o formulă, mai departe
deja posibil cu el
numără orice. Și integrala
este una dintre principalele
instrumente cu care se lucrează
funcții.

Metode de integrare:

1.Tabular.
2. Reducerea la transformarea tabulară a integrandului
expresii la suma sau la diferență.
3.Integrare folosind o schimbare de variabilă (substituție).
4. Integrare pe părți.

Aplicarea integralei:

◦ Matematică
◦ Calculați formele S.
◦ Lungimea arcului curbei.
◦ V corpuri pe S paralel
secțiuni.
◦ V corpuri de revoluție etc.
Fizică
Munca O forță variabilă.
S - (cale) de mișcare.
Calculul masei.
Calculul momentului de inerție al liniei,
cerc, cilindru.
◦ Calculați coordonatele centrului
gravitatie.
◦ Cantitatea de căldură etc.
◦
◦
◦
◦

Nu există încă o versiune HTML a lucrării.

Documente similare

Cunoașterea istoriei conceptului de integrală. Distribuția calculului integral, descoperirea formulei Newton-Leibniz. Simbolul sumei; extinderea conceptului de sumă. Descrierea necesității de a exprima toate fenomenele fizice sub forma unei formule matematice.

prezentare, adaugat 26.01.2015


Idei de calcul integral în lucrările matematicienilor antici. Caracteristicile metodei de epuizare. Istoria găsirii formulei volumului torusului Kepler. Fundamentarea teoretică a principiului calculului integral (principiul lui Cavalieri). Conceptul de integrală definită.

prezentare, adaugat 07.05.2016


Istoria calculului integral. Definiția și proprietățile integralei duble. Interpretarea sa geometrică, calculul în coordonate carteziene și polare, reducerea lui la repetat. Aplicație în economie și geometrie pentru a calcula volume și suprafețe.

lucrare de termen, adăugată 16.10.2013


Definirea unei integrale curbilinii peste coordonate, principalele sale proprietăți și calcul. Condiția de independență a integralei curbilinii față de calea integrării. Calcularea ariilor figurilor folosind integrala dublă. Folosind formula lui Green.

test, adaugat 23.02.2011


Condiții pentru existența unei integrale definite. Aplicarea calculului integral. Calcul integral în geometrie. Aplicarea mecanică a integralei definite. Calcul integral în biologie. Calcul integral în economie.

lucrare de termen, adăugată 21.01.2008


Istoria calculului integral și diferențial. Aplicatii ale integralei definite la rezolvarea unor probleme de mecanica si fizica. Momentele și centrele de masă ale curbelor plane, teorema lui Gulden. Ecuatii diferentiale. Exemple de rezolvare a problemelor în MatLab.

rezumat, adăugat 09.07.2009


Conceptul de integrală Stieltjes. Condiții generale de existență a integralei Stieltjes, clase de cazuri ale existenței sale și trecerea la limita sub semnul său. Reducerea integralei Stieltjes la integrala Riemann. Aplicație în teoria probabilităților și mecanica cuantică.

teză, adăugată 20.07.2009


Definiția integralei nedefinite, antiderivată a unei funcții continue, diferențială a integralei nedefinite. Derivarea formulei de înlocuire a unei variabile într-o integrală nedefinită și integrare pe părți. Definiția unei funcții raționale fracționale.

cheat sheet, adăugată la 21.08.2009


Cunoașterea conceptului și proprietăților de bază ale unei integrale definite. Reprezentarea formulei de calcul a sumei integrale pentru funcția y=f(x) pe segmentul [a, b]. Egalitatea la zero a integralei cu condiția ca limitele inferioare și superioare ale integrării să fie egale.

prezentare, adaugat 18.09.2013


Unele aplicații ale derivatului. Utilizarea teoremelor de bază ale calculului diferențial pentru a demonstra inegalitățile. Antiderivată și integrală în probleme de matematică elementară. Monotonitatea integralei. Câteva inegalități clasice.

Subiect de cercetare

Aplicarea calculului integral în planificarea cheltuielilor familiale

Relevanța problemei

Din ce în ce mai mult, în sfera socială și economică, la calcularea gradului de inegalitate în distribuția venitului se folosește matematica și anume calculul integral. Studiind aplicarea practică a integralei, învățăm:

• Cum ajută integrala și calculul suprafeței folosind integrala în alocarea costurilor materialelor?

• Cum va ajuta integrala la economisirea banilor pentru vacanță.

Ţintă

planificați cheltuielile familiei folosind calculul integral

Sarcini

• Învață semnificația geometrică a integralei.
• Luați în considerare metode de integrare în sferele sociale și economice ale vieții.
• Faceți o prognoză a costurilor materiale ale familiei atunci când reparați un apartament folosind integrala.
• Calculați volumul consumului de energie al familiei pe un an, ținând cont de calculul integral.
• Calculați suma unui depozit de economii în Sberbank pentru vacanță.

Ipoteză

calculul integral ajută la calculele economice atunci când planificați veniturile și cheltuielile familiei.

Etapele cercetării

• Am studiat sensul geometric al integralei și metodele de integrare în sferele sociale și economice ale vieții.
• Am calculat costurile materiale necesare pentru repararea unui apartament folosind integrala.
• Am calculat volumul consumului de energie electrică în apartament și costul energiei electrice pentru familie timp de un an.
• Am luat în considerare una dintre opțiunile de colectare a veniturilor familiei prin depozite în Sberbank folosind integrala.

Obiect de studiu

calcul integral în sfera socială și economică a vieții.

Metode

• Analiza literaturii de specialitate pe tema „Aplicarea practică a calculului integral”
• Studiul metodelor de integrare în rezolvarea problemelor privind calculul suprafețelor și volumelor cifrelor folosind integrala.
• Analiza cheltuielilor și veniturilor familiei folosind calcul integral.

Proces de lucru

• Revizuire a literaturii pe tema „Aplicarea practică a calculului integral”
• Rezolvarea unui sistem de probleme pentru calcularea ariilor și volumelor figurilor folosind integrala.
• Calculul cheltuielilor și veniturilor familiei folosind un calcul integral: renovarea camerei, volumul de energie electrică, depozite în Sberbank pentru vacanță.

Rezultatele noastre

Cum ajută integrala și calcularea volumului cu ajutorul integralei la prezicerea volumului consumului de energie electrică?

constatări

• Calculul economic al fondurilor necesare pentru repararea unui apartament poate fi efectuat mai rapid și mai precis folosind un calcul integral.

• Este mai ușor și mai rapid să calculezi consumul de energie electrică al familiei folosind un calcul integral și Microsoft Office Excel, ceea ce înseamnă previziunea costurilor de energie electrică ale familiei pe un an.

• Profitul din depozitele în Sberbank poate fi calculat folosind un calcul integral, ceea ce înseamnă planificarea unei vacanțe în familie.

Lista resurselor

Ediții tipărite:

• Manual. Algebra și începutul analizei clasa 10-11. A.G. Mordkovici. Mnemosyne. M: 2007
• Manual. Algebra și începutul analizei clasa 10-11. A. Kolmogorov Iluminismul. M: 2007
• Matematică pentru sociologi și economiști. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 p.
• Calcul integral.Manual de matematică superioară de M. Ya. Vygodsky, Enlightenment, 2000

Motto-ul lecției: „Matematica este limba pe care o vorbesc toate științele exacte” N.I. Lobaciovski

Scopul lecției: generalizarea cunoștințelor elevilor pe tema „Integral”, „Aplicarea integralei”;să lărgească orizonturile, cunoștințe despre posibila aplicare a integralei la calculul diverselor mărimi; consolidarea abilităților de utilizare a integralei pentru a rezolva probleme aplicate; insufla un interes cognitiv pentru matematică, dezvoltă o cultură a comunicării și o cultură a vorbirii matematice; să poată învăța să vorbească elevilor și profesorilor.

Tip de lecție: iterativ-generalizant.

Tip de lecție: lecție - susținerea proiectului „Aplicarea integralei”.

Echipament: tablă magnetică, afișe „Aplicarea integralei”, cartonașe cu formule și sarcini pentru lucru independent.

Planul lecției:

1. Protecția proiectului:

1. din istoria calculului integral;
2. proprietăți integrale;
3. aplicarea integralei în matematică;
4. aplicarea integralei în fizică;

2. Rezolvarea exercițiilor.

În timpul orelor

Profesor: Un instrument puternic de cercetare în matematică, fizică, mecanică și alte discipline este o integrală definitivă - unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice. Sensul geometric al integralei este aria unui trapez curbiliniu. Semnificația fizică a integralei este 1) masa unei tije neomogene cu densitate, 2) deplasarea unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză pe o perioadă de timp.

Profesor: Băieții din clasa noastră au făcut o treabă grozavă, au preluat sarcini în care se aplică o anumită integrală. Au un cuvânt.

2 elev: Proprietăţile integralei

3 elev: Aplicarea integralei (tabel pe tabla magnetică).

Student 4: Luăm în considerare utilizarea integralei în matematică pentru a calcula aria figurilor.

Aria oricărei figuri plane, considerată într-un sistem de coordonate dreptunghiular, poate fi compusă din zonele de trapeze curbilinii adiacente axei Ohși topoare OU. Aria unui trapez curbiliniu delimitată de o curbă y = f(x), axă Ohși două drepte x=ași x=b, Unde a x b, f(x) 0 calculate prin formula cm. orez. Dacă trapezul curbiliniu este adiacent axei OU, atunci aria sa este calculată prin formula , cm. orez. La calcularea ariilor figurilor, pot apărea următoarele cazuri: a) Figura este situată deasupra axei Ox și este limitată de axa Ox, curba y \u003d f (x) și două linii drepte x \u003d a și x \u003d b. (Vezi. orez.) Aria acestei figuri se găsește prin formula 1 sau 2. b) Figura este situată sub axa Ox și este limitată de axa Ox, curba y \u003d f (x) și două linii drepte x \u003d a și x \u003d b (vezi. orez.). Zona se găsește după formula . c) Figura este situată deasupra și sub axa Ox și este limitată de axa Ox, curba y \u003d f (x) și două linii drepte x \u003d a și x \u003d b ( orez.). d) Aria este delimitată de două curbe care se intersectează y \u003d f (x) și y \u003d (x) ( orez.)

5 elev: Rezolvați problema

x-2y+4=0 și x+y-5+0 și y=0

7 student: O integrală utilizată pe scară largă în fizică. Un cuvânt către fizicieni.

1. CALCULUL CALCULUI PARCURS DE UN PUNCT

Calea parcursă de un punct în timpul mișcării neuniforme într-o linie dreaptă cu o viteză variabilă pentru un interval de timp de la până la este calculată prin formula.

Exemple:

1. Viteza de deplasare a punctului Domnișoară. Găsiți calea parcursă de punct în 4 secunde.

Soluție: conform condiției, . Prin urmare,

2. Două corpuri au început să se miște simultan din același punct în aceeași direcție într-o linie dreaptă. Primul corp se mișcă cu o viteză m / s, al doilea - cu o viteză v = (4t+5) Domnișoară. Cât de departe vor fi după 5 secunde?

Soluție: este evident că valoarea dorită este diferența dintre distanțele parcurse de primul și al doilea corp în 5 s:

3. Un corp este aruncat vertical în sus de la suprafața pământului cu viteza u = (39,2-9,8^) m/s. Găsiți înălțimea maximă a corpului.

Rezolvare: corpul va atinge cea mai mare înălțime de ridicare la un moment t când v = 0, adică. 39,2- 9,8t = 0, de unde I= 4 s. Prin formula (1), găsim

2. CALCULUL FORȚEI DE MUNCĂ

Lucrul efectuat de forța variabilă f(x) atunci când se deplasează de-a lungul axei Oh punct material din x = A inainte de x=b, se gaseste dupa formula La rezolvarea problemelor pentru calcularea muncii unei forțe, se folosește adesea legea G y k a: F=kx, (3) unde F - forta N; X-alungirea absoluta a arcului, m, cauzata de forta F, A k- coeficient de proporţionalitate, N/m.

Exemplu:

1. Un arc în repaus are lungimea de 0,2 m. O forță de 50 N întinde arcul cu 0,01 m. Ce lucru trebuie făcut pentru a-l întinde de la 0,22 la 0,32 m?

Rezolvare: folosind egalitatea (3), avem 50=0,01k, adică kK = 5000 N/m. Găsim limitele integrării: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b = 0,32- 0,2 = 0,12(m). Acum, conform formulei (2), obținem

3. CALCULUL LUCRĂRII EFECTUATE LA RIDICAREA ÎNCĂRCĂRII

Sarcină. Un rezervor cilindric cu o rază de bază de 0,5 m și o înălțime de 2 m este umplut cu apă. Calculați munca care trebuie făcută pentru a pompa apa din rezervor.

Soluție: selectați un strat orizontal la adâncimea x cu înălțimea dx ( orez.). Lucrul A care trebuie făcut pentru a ridica un strat de apă cu greutatea P la o înălțime x este egală cu Px.

O modificare a adâncimii x cu o cantitate mică dx va determina o modificare a volumului V cu dV = pr 2 dx și modificarea greutății Р cu * dР = 9807 r 2 dх; în acest caz, munca efectuată A se va modifica cu valoarea dА=9807пr 2 xdх. Integrând această egalitate pe măsură ce x se schimbă de la 0 la H, obținem

4. CALCULUL FORȚEI DE PRESIUNE A LICHIDULUI

Sensul puterii R presiunea lichidului pe o platformă orizontală depinde de adâncimea de scufundare X acest loc, adică de la distanța locului până la suprafața lichidului.

Forța de presiune (N) pe o platformă orizontală se calculează prin formula P = 9807S x,

Unde - densitatea lichidului, kg/m 3 ; S - suprafata amplasamentului, m 2; X - adâncimea de scufundare a platformei, m

Dacă zona sub presiunea fluidului nu este orizontală, atunci presiunea asupra acesteia este diferită la adâncimi diferite, prin urmare, forța de presiune asupra zonei este o funcție de adâncimea imersiei sale. P(x).

5. Lungimea arcului

Lasă o curbă plată AB(orez.) dat de ecuaţie y \u003d f (x) (aXb)și f(x)și f ?(x) sunt funcții continue în intervalul [а,b]. Apoi diferenţialul dl lungimea arcului AB se exprimă prin formula sau , și lungimea arcului AB calculat prin formula (4)

unde a și b sunt valorile variabilei independente Xîn punctele A şi B. Dacă curba este dată de ecuaţie x =(y)(cu yd) atunci lungimea arcului AB se calculează prin formula (5) unde cuși d valori ale variabilelor independente la la puncte DARși V.

6. CENTRU DE MASĂ

La găsirea centrului de masă, se folosesc următoarele reguli:

1) coordonata x ? centrul de masă al sistemului de puncte materiale А 1 , А 2 ,..., А n cu mase m 1 , m 2 , ..., m n situat pe o dreaptă în puncte cu coordonatele x 1 , x 2 , ..., x n , se găsesc prin formula

(*); 2) La calcularea coordonatei centrului de masă, orice parte a figurii poate fi înlocuită cu un punct material, plasându-l în centrul de masă al acestei piese și atribuindu-i o masă egală cu masa piesei luate în considerare a figurii. Exemplu. Fie de-a lungul tijei-segment [a;b] al axei Ox - masa este distribuită cu densitatea (x), unde (x) este o funcție continuă. Să arătăm asta a) masa totală M a tijei este egală cu; b) coordonata centrului de masă x " este egal cu .

Să împărțim segmentul [a; b] în n părți egale cu punctele a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (orez.). Pe fiecare dintre aceste n segmente, densitatea poate fi considerată constantă pentru n mare și aproximativ egală cu (x k - 1) pe al-lea segment (datorită continuității lui (x). Apoi masa k-lea segment este aproximativ egal cu iar masa intregii tije este

Conceptul de integrală este aplicabil pe scară largă în viață. Integralele sunt utilizate în diferite domenii ale științei și tehnologiei. Principalele sarcini calculate folosind integrale sunt sarcini pentru:

1. Aflarea volumului corpului

2. Găsirea centrului de masă al corpului.

Să luăm în considerare fiecare dintre ele mai detaliat. Aici și mai jos, pentru a desemna o integrală definită a unei funcții f(x), cu limite de integrare de la a la b, vom folosi următoarea notație ∫ a b f(x).

Aflarea volumului unui corp

Luați în considerare următoarea figură. Să presupunem că există un corp al cărui volum este egal cu V. Există și o dreaptă astfel încât dacă luăm un anumit plan perpendicular pe această dreaptă, aria secțiunii transversale S a acestui corp după acest plan va fi cunoscută.

Fiecare astfel de plan va fi perpendicular pe axa x și, prin urmare, îl va intersecta într-un punct x. Adică, fiecărui punct x din segment i se va atribui numărul S (x) - aria secțiunii transversale a corpului, planul care trece prin acest punct.

Rezultă că o anumită funcție S(x) va fi dată pe segment. Dacă această funcție este continuă pe acest segment, atunci următoarea formulă va fi valabilă:

V = ∫ a b S(x)dx.

Dovada acestei afirmații depășește domeniul de aplicare al curriculum-ului școlar.

Calcularea centrului de masă al unui corp

Centrul de masă este cel mai des folosit în fizică. De exemplu, există un corp care se mișcă cu orice viteză. Dar este incomod să considerăm un corp mare și, prin urmare, în fizică acest corp este considerat ca mișcarea unui punct, presupunând că acest punct are aceeași masă ca întregul corp.

Iar sarcina de a calcula centrul de masă al corpului este principala în această chestiune. Pentru că corpul este mare și care punct ar trebui luat ca centru de masă? Poate cel din mijlocul corpului? Sau poate cel mai apropiat punct de marginea anterioară? Aici intervine integrarea.

Următoarele două reguli sunt folosite pentru a găsi centrul de masă:

1. Coordonata x’ a centrului de masă al unui sistem de puncte materiale A1, A2,A3, … An cu mase m1, m2, m3, … mn, respectiv, situate pe o dreaptă în puncte cu coordonatele x1, x2, x3, … xn se găsește prin următoarea formulă:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Când se calculează coordonatele centrului de masă, orice parte a figurii luate în considerare poate fi înlocuită cu un punct material, în timp ce o plasează în centrul de masă al acestei părți separate a figurii, iar masa poate fi luată egală. la masa acestei părți a figurii.

De exemplu, dacă o masă de densitate p(x) este distribuită de-a lungul tijei - un segment al axei Ox, unde p(x) este o funcție continuă, atunci coordonata centrului de masă x' va fi egală cu.