1. Colțuri adiacente.

Dacă continuăm latura unui unghi dincolo de vârful său, obținem două unghiuri (Fig. 72): ∠ABC și ∠CBD, în care o latură a lui BC este comună, iar celelalte două, AB și BD, formează o linie dreaptă. .

Două unghiuri care au o latură în comun și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.

Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), atunci obținem unghiuri adiacente.

De exemplu, ∠ADF și ∠FDВ sunt unghiuri adiacente (Fig. 73).

Colțurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adaugă la un unghi drept, deci suma a două unghiuri adiacente este de 180°

Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând valoarea unuia dintre unghiurile adiacente, putem afla valoarea celuilalt unghi adiacent.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este de 54°, atunci al doilea unghi va fi:

180° - 54° = l26°.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile unui unghi dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În Figura 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt prelungiri ale laturilor celuilalt unghi.

Fie ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 76). ∠2 adiacent acestuia va fi egal cu 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, adică 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

În același mod, puteți calcula ce sunt ∠3 și ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).

Vedem că ∠1 = ∠3 și ∠2 = ∠4.

Puteți rezolva mai multe probleme din aceleași, și de fiecare dată obțineți același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din exemple particulare pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietății unghiurilor verticale prin demonstrație.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

∠un +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°).

∠un +∠c = ∠b+∠c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este de 180°, iar partea dreaptă este de asemenea 180°).

Această egalitate include același unghi cu.

Dacă scadem în mod egal din valori egale, atunci va rămâne egal. Rezultatul va fi: ∠A = ∠b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

În desenul 79, ∠1, ∠2, ∠3 și ∠4 sunt situate pe aceeași parte a dreptei și au un vârf comun pe această linie. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

În desenul 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 și ∠5 au un vârf comun. Aceste unghiuri se adună până la un unghi complet, adică ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Alte materiale

Geometria este o știință cu multe fațete. Ea dezvoltă logica, imaginația și inteligența. Desigur, din cauza complexității sale și a numărului mare de teoreme și axiome, școlarilor nu le place întotdeauna. În plus, este nevoie să-și dovedească în mod constant concluziile folosind standarde și reguli general acceptate.

Unghiurile adiacente și verticale sunt parte integrantă a geometriei. Cu siguranță mulți școlari le adoră pur și simplu pentru că proprietățile lor sunt clare și ușor de dovedit.

Formarea colțurilor

Orice unghi se formează prin intersecția a două drepte sau prin trasarea a două raze dintr-un punct. Ele pot fi numite fie o literă, fie trei, care desemnează succesiv punctele de construcție ale colțului.

Unghiurile sunt măsurate în grade și pot fi numite diferit (în funcție de valoarea lor). Deci, există un unghi drept, acut, obtuz și desfășurat. Fiecare dintre nume corespunde unei anumite măsurători de grad sau intervalului acesteia.

Un unghi ascuțit este un unghi a cărui măsură nu depășește 90 de grade.

Un unghi obtuz este un unghi mai mare de 90 de grade.

Un unghi se numește drept când măsura lui este de 90.

În cazul în care este format dintr-o linie dreaptă continuă, iar gradul său este 180, se numește desfășurat.

Unghiurile care au o latură comună, a cărei latură a doua se continuă între ele, se numesc adiacente. Ele pot fi fie ascuțite, fie contondente. Intersecția dreptei formează unghiuri adiacente. Proprietățile lor sunt după cum urmează:

1. Suma acestor unghiuri va fi egală cu 180 de grade (există o teoremă care demonstrează acest lucru). Prin urmare, unul dintre ele poate fi ușor de calculat dacă celălalt este cunoscut.
2. Din primul punct rezultă că unghiurile adiacente nu pot fi formate din două unghiuri obtuze sau două unghiuri acute.

Datorită acestor proprietăți, se poate calcula întotdeauna măsura gradului unui unghi având în vedere valoarea altui unghi, sau cel puțin raportul dintre ele.

Unghiuri verticale

Unghiurile ale căror laturi sunt o continuare una a celeilalte se numesc verticale. Oricare dintre soiurile lor poate acționa ca o astfel de pereche. Unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele.

Ele se formează atunci când liniile se intersectează. Împreună cu acestea, colțurile adiacente sunt întotdeauna prezente. Un unghi poate fi atât adiacent pentru unul, cât și vertical pentru celălalt.

Când traversați o linie arbitrară, sunt luate în considerare și mai multe tipuri de unghiuri. O astfel de linie se numește secantă și formează unghiurile corespunzătoare, unilaterale și încrucișate. Sunt egali unul cu altul. Ele pot fi vizualizate în lumina proprietăților pe care le au unghiurile verticale și adiacente.

Astfel, subiectul colțurilor pare a fi destul de simplu și de înțeles. Toate proprietățile lor sunt ușor de reținut și de dovedit. Rezolvarea problemelor nu este dificilă atâta timp cât unghiurile corespund unei valori numerice. Deja mai departe, când începe studiul păcatului și cosului, va trebui să memorezi multe formule complexe, concluziile și consecințele acestora. Până atunci, vă puteți bucura de puzzle-uri ușoare în care trebuie să găsiți colțuri adiacente.

2) Câte puncte comune pot avea 2 drepte?
3) Explicați ce este un segment?
4) Explicați ce este o rază Cum sunt desemnate razele?
5) Ce figură se numește unghi?Explică ce sunt un vârf și laturile unui unghi?
6) Ce unghi se numește desfășurat?
7) Ce cifre se numesc egale?
8) Explicați cum să comparați 2 segmente
9) Ce punct se numește mijlocul segmentului?
10) Explicați cum să comparați 2 unghiuri.
11) Care rază se numește bisectoarea unghiului?
12) Punctul C împarte segmentul AB în 2 segmente.Cum se află lungimea segmentului AB dacă se cunosc lungimile segmentelor AC și CB?
13) Ce instrumente sunt folosite pentru măsurarea distanțelor?
14) Care este măsura gradului unui unghi?
15) Ray OS împarte unghiul AOB în 2 unghiuri. Cum să găsiți gradul de măsură a unghiului AOB dacă sunt cunoscute măsurile de grad ale unghiurilor AOC și COB?
16) Ce unghi se numește acut?Drept?Obtuz?
17) Ce unghiuri se numesc adiacente?Care este suma unghiurilor adiacente?
18) Ce unghiuri se numesc verticale?Ce proprietate au unghiurile verticale?
19) Ce drepte se numesc perpendiculare?
20) Explicați de ce 2 drepte perpendiculare pe a 3-a nu se intersectează?
21) Ce instrumente sunt folosite pentru a construi unghiuri drepte pe sol?

Câte linii pot fi trase prin două puncte?

Câte puncte comune pot avea două drepte?
3 Explicați ce este un segment
4explicați ce este o rază Cum sunt desemnate razele?
Ce figură se numește unghi? Explicați ce sunt un vârf și laturile unui unghi
6ce unghi se numește desfășurat
7 ce cifre se numesc egale
8explicați cum să comparați două segmente
Ce punct se numește punctul de mijloc al unui segment
10 explicați cum să comparați două unghiuri
11 care rază se numește bisectoarea unghiului
12punctul c împarte segmentul ab în două segmente.Cum se află lungimea segmentului ab dacă se cunosc lungimile segmentelor ac și sb
13Ce instrumente sunt folosite pentru a măsura distanțe
14 care este gradul de măsură a unui unghi
Raza os împarte unghiul aob în două unghiuri Cum să găsiți măsura gradului unghiului aob dacă măsurile unghiurilor aos
Ce unghi se numește acut?, nu?, obtuz?.
17Ce unghiuri se numesc adiacente?Care este suma unghiurilor adiacente?
18ce fel de unghiuri se numesc verticale?ce proprietate au unghiurile verticale
19 care drepte se numesc perpendiculare
20explicați de ce două drepte perpendiculare pe o treime nu se intersectează
21 Ce instrumente sunt folosite pentru a construi unghiuri drepte pe sol?

1) care este gradul de măsură a unui unghi? 2) ce cifre se numesc egale 3) ce unghiuri se numesc adiacente, care este suma unghiurilor adiacente 4) ce unghiuri se numesc

verticală ce proprietate au unghiurile verticale 5)

Ajutor va rog!! plzz=**

7. Demonstrați că dacă două drepte paralele sunt intersectate de o a treia dreaptă, atunci unghiurile interioare încrucișate sunt egale, iar suma unghiurilor interioare unilaterale este de 180 de grade.

8. Demonstrați că două drepte perpendiculare pe a treia sunt paralele. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.

9. Demonstrați că suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade.

10. Demonstrați că orice triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite.

11. Care este unghiul exterior al unui triunghi?

12. Demonstrați că unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

13. Demonstrați că unghiul extern al unui triunghi este mai mare decât orice unghi intern care nu este adiacent acestuia.

14. Ce triunghi se numește triunghi dreptunghic?

15. Care este suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic?

16. Care latură a unui triunghi dreptunghic se numește ipotenuză? Ce laturi se numesc picioare?

17. Formulați un semn de egalitate a triunghiurilor dreptunghic de-a lungul ipotenuzei și catetei.

18. Demonstrați că din orice punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate lăsa o perpendiculară pe această dreaptă și numai una.

19. Cum se numește distanța de la un punct la o dreaptă?

20. Explicați care este distanța dintre drepte paralele.

Ce este un unghi adiacent

Injecţie- este o figură geometrică (Fig. 1), formată din două raze OA și OB (laturile de colț), emanând dintr-un punct O (apexul colțului).

COLTURI ADJACENTE sunt două unghiuri a căror sumă este 180°. Fiecare dintre aceste unghiuri se completează pe celălalt la un unghi complet.

Colțuri adiacente- (Agles adjacets) cele care au un vârf comun și o latură comună. În mod predominant, acest nume se referă la astfel de unghiuri, dintre care celelalte două laturi se află în direcții opuse ale unei linii drepte trasate.

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt semilinii complementare.

orez. 2

În figura 2, unghiurile a1b și a2b sunt adiacente. Au o latură comună b, iar laturile a1, a2 sunt semilinii suplimentare.

orez. 3

Figura 3 arată linia AB, punctul C este situat între punctele A și B. Punctul D este un punct care nu se află pe dreapta AB. Se pare că unghiurile BCD și ACD sunt adiacente. Au o latură comună CD, iar laturile CA și CB sunt semi-linii suplimentare ale dreptei AB, deoarece punctele A, B sunt separate de punctul inițial C.

Teorema unghiului adiacent

Teorema: suma unghiurilor adiacente este de 180°

Dovada:
Unghiurile a1b și a2b sunt adiacente (vezi fig. 2) Grinda b trece între laturile a1 și a2 ale unui unghi îndreptat. Prin urmare, suma unghiurilor a1b și a2b este egală cu unghiul drept, adică 180°. Teorema a fost demonstrată.

Un unghi egal cu 90° se numește unghi drept. Din teorema privind suma unghiurilor adiacente rezultă că unghiul adiacent unui unghi drept este, de asemenea, un unghi drept. Un unghi mai mic de 90° se numește acut, iar un unghi mai mare de 90° se numește obtuz. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°, atunci unghiul adiacent unui unghi ascuțit este un unghi obtuz. Un unghi adiacent unui unghi obtuz este un unghi ascuțit.

Colțuri adiacente- două unghiuri cu un vârf comun, una dintre laturile cărora este comună, iar laturile rămase se află pe aceeași linie dreaptă (nu coincide). Suma unghiurilor adiacente este de 180°.

Definiția 1. Un unghi este o parte a unui plan delimitată de două raze cu o origine comună.

Definiție 1.1. Un unghi este o figură formată dintr-un punct - vârful unghiului - și două semi-linii diferite care emană din acest punct - laturile unghiului.
De exemplu, unghiul BOS din Fig. 1 Luați în considerare primele două linii care se intersectează. Când se intersectează, liniile formează unghiuri. Există cazuri speciale:

Definiția 2. Dacă laturile unui unghi sunt semi-linii complementare ale unei drepte, atunci unghiul se numește unghi drept.

Definiția 3. Un unghi drept este un unghi de 90 de grade.

Definiția 4. Un unghi mai mic de 90 de grade se numește unghi ascuțit.

Definiția 5. Un unghi mai mare de 90 de grade și mai mic de 180 de grade se numește unghi obtuz.
linii de intersectare.

Definiția 6. Două unghiuri, dintre care o latură este comună, iar celelalte laturi se află pe aceeași linie dreaptă, sunt numite adiacente.

Definiția 7. Unghiurile ale căror laturi se extind unele pe altele se numesc unghiuri verticale.
Figura 1:
adiacente: 1 si 2; 2 și 3; 3 și 4; 4 și 1
verticală: 1 și 3; 2 și 4
Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180 de grade.
Pentru demonstrație, luați în considerare fig. 4 colțuri adiacente AOB și BOC. Suma lor este unghiul dezvoltat AOC. Prin urmare, suma acestor unghiuri adiacente este de 180 de grade.

orez. 4

Relația dintre matematică și muzică

„Gândindu-mă la artă și știință, la legăturile și contradicțiile lor reciproce, am ajuns la concluzia că matematica și muzica se află la polii extremi ai spiritului uman, că acești doi antipozi limitează și determină toată activitatea spirituală creatoare a unei persoane și că totul este pus între ei, ceea ce omenirea a creat în domeniul științei și artei”.
G. Neuhaus
S-ar părea că arta este o zonă foarte abstractă din matematică. Cu toate acestea, legătura dintre matematică și muzică este condiționată atât istoric, cât și intern, în ciuda faptului că matematica este cea mai abstractă dintre științe, iar muzica este cea mai abstractă formă de artă.
Consonanța determină sunetul unei coarde care este plăcut urechii.
Acest sistem muzical se baza pe două legi, care poartă numele a doi mari oameni de știință - Pitagora și Archytas. Acestea sunt legile:
1. Două șiruri de sunet determină consonanța dacă lungimile lor sunt legate ca numere întregi formând un număr triunghiular 10=1+2+3+4, adică. cum ar fi 1:2, 2:3, 3:4. Mai mult, cu cât numărul n este mai mic în raport cu n:(n+1) (n=1,2,3), cu atât intervalul rezultat este mai consonant.
2. Frecvența de oscilație w a unei coarde care sună este invers proporțională cu lungimea sa l.
w = a:l,
unde a este un coeficient care caracterizează proprietățile fizice ale șirului.

Îți voi oferi atenției și o parodie amuzantă despre o dispută între doi matematicieni =)

Geometria din jurul nostru

Geometria joacă un rol important în viața noastră. Datorita faptului ca atunci cand te uiti in jur, nu va fi greu sa observi ca suntem inconjurati de diverse forme geometrice. Îi întâlnim peste tot: pe stradă, în clasă, acasă, în parc, în sală, în cantina școlii, în principiu, oriunde ne-am afla. Dar subiectul lecției de astăzi este cărbunii adiacente. Deci, să ne uităm în jur și să încercăm să găsim colțuri în acest mediu. Dacă te uiți cu atenție pe fereastră, poți vedea că unele ramuri ale copacului formează colțuri adiacente și poți vedea multe colțuri verticale în pereții despărțitori de pe poartă. Dați exemplele dvs. de unghiuri adiacente pe care le vedeți în mediu.

Exercitiul 1.

1. Există o carte pe masă pe un suport de cărți. Ce unghi formeaza?
2. Dar studentul lucrează la un laptop. Ce unghi vezi aici?
3. Care este unghiul ramei foto pe suport?
4. Crezi că este posibil ca două unghiuri adiacente să fie egale?

Sarcina 2.

În fața ta este o figură geometrică. Care este această figură, numește-o? Numiți acum toate unghiurile adiacente pe care le puteți vedea pe această figură geometrică.

Sarcina 3.

Iată o imagine a unui desen și a unui tablou. Privește-le cu atenție și spune ce tipuri de captură vezi în imagine și ce unghiuri în imagine.

Rezolvarea problemelor

1) Sunt date două unghiuri, legate între ele ca 1: 2 și adiacente lor - ca 7: 5. Trebuie să găsiți aceste unghiuri.
2) Se știe că unul dintre unghiurile adiacente este de 4 ori mai mare decât celălalt. Care sunt unghiurile adiacente?
3) Este necesar să se găsească unghiuri adiacente, cu condiția ca unul dintre ele să fie cu 10 grade mai mare decât al doilea.

Dictare matematică pentru repetarea materialului învățat anterior

1) Desenați o imagine: liniile a I b se intersectează în punctul A. Marcați cel mai mic dintre colțurile formate cu numărul 1, iar unghiurile rămase - succesiv cu numerele 2,3,4; razele complementare ale dreptei a - prin a1 și a2, iar dreapta b - prin b1 și b2.
2) Folosind desenul completat, introduceți valorile și explicațiile necesare în golurile din text:
a) unghiul 1 și unghiul .... legat pentru ca...
b) unghiul 1 și unghiul .... verticală pentru că...
c) dacă unghiul 1 = 60°, atunci unghiul 2 = ..., deoarece ...
d) dacă unghiul 1 = 60°, atunci unghiul 3 = ..., deoarece ...

Rezolva probleme:

1. Suma a 3 unghiuri formate la intersecția a 2 drepte poate fi egală cu 100°? 370°?
2. În figură, găsiți toate perechile de colțuri adiacente. Și acum colțurile verticale. Numiți aceste unghiuri.

3. Trebuie să găsiți un unghi când este de trei ori mai mare decât cel alăturat acestuia.
4. Două linii se intersectează. Ca urmare a acestei intersectii s-au format patru colturi. Determinați valoarea oricăruia dintre ele, cu condiția ca:

a) suma a 2 unghiuri din patru 84 °;
b) diferența a 2 unghiuri dintre ele este de 45°;
c) un unghi este de 4 ori mai mic decât al doilea;
d) suma a trei dintre aceste unghiuri este de 290°.

Rezumatul lecției

1. numiți unghiurile care se formează la intersecția a 2 drepte?
2. Numiți toate perechile posibile de unghiuri din figură și determinați tipul acestora.

Teme pentru acasă:

1. Aflați raportul măsurilor de grade ale unghiurilor adiacente când unul dintre ele este cu 54 ° mai mult decât al doilea.
2. Aflați unghiurile care se formează atunci când 2 drepte se intersectează, cu condiția ca unul dintre unghiuri să fie egal cu suma celorlalte 2 unghiuri adiacente acestuia.
3. Este necesar să găsiți unghiuri adiacente atunci când bisectoarea unuia dintre ele formează un unghi cu latura celui de-al doilea, care este cu 60 ° mai mare decât al doilea unghi.
4. Diferența a 2 unghiuri adiacente este egală cu o treime din suma acestor două unghiuri. Determinați valorile a 2 unghiuri adiacente.
5. Diferența și suma a 2 unghiuri adiacente sunt legate ca 1: 5, respectiv. Găsiți colțuri adiacente.
6. Diferența dintre două adiacente este de 25% din suma lor. Cum sunt legate valorile a 2 unghiuri adiacente? Determinați valorile a 2 unghiuri adiacente.

Întrebări:

1. Ce este un unghi?
2. Care sunt tipurile de colțuri?
3. Care este caracteristica colțurilor adiacente?

Subiecte > Matematică > Matematică Clasa a VII-a

Două unghiuri sunt numite adiacente dacă au o latură în comun, iar celelalte laturi ale acestor unghiuri sunt raze complementare. În figura 20, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente.

Suma unghiurilor adiacente este de 180°

Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este 180°.

Dovada. Fasciculul OB (vezi Fig. 1) trece între laturile unghiului dezvoltat. Asa de ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Din teorema 1 rezultă că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente lor sunt egale.

Unghiurile verticale sunt egale

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt raze complementare ale laturilor celuilalt. Unghiurile AOB și COD, BOD și AOC, formate la intersecția a două drepte, sunt verticale (Fig. 2).

Teorema 2. Unghiurile verticale sunt egale.

Dovada. Luați în considerare unghiurile verticale AOB și COD (vezi Fig. 2). Unghiul BOD este adiacent fiecărui unghi AOB și COD. Prin teorema 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Prin urmare, concluzionăm că ∠ AOB = ∠ COD.

Corolarul 1. Un unghi adiacent unui unghi drept este un unghi drept.

Luați în considerare două drepte care se intersectează AC și BD (Fig. 3). Ele formează patru colțuri. Dacă unul dintre ele este drept (unghiul 1 în Fig. 3), atunci și celelalte unghiuri sunt drepte (unghiurile 1 și 2, 1 și 4 sunt adiacente, unghiurile 1 și 3 sunt verticale). În acest caz, se spune că aceste drepte se intersectează în unghi drept și se numesc perpendiculare (sau reciproc perpendiculare). Perpendicularitatea dreptelor AC și BD se notează astfel: AC ⊥ BD.

Bisectoarea perpendiculară a unui segment este o dreaptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin punctul său de mijloc.

AN - perpendicular pe linie

Luați în considerare o dreaptă a și un punct A care nu se află pe ea (Fig. 4). Conectați punctul A cu un segment de punctul H cu o dreaptă a. Un segment AH se numește perpendiculară trasată din punctul A pe linia a dacă dreptele AN și a sunt perpendiculare. Punctul H se numește baza perpendicularei.

Pătrat de desen

Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 3. Din orice punct care nu se află pe o dreaptă, se poate trasa o perpendiculară pe această dreaptă și, în plus, doar una.

Pentru a desena o perpendiculară de la un punct la o linie dreaptă din desen, se folosește un pătrat de desen (Fig. 5).

Cometariu. Enunțul teoremei constă de obicei din două părți. O parte vorbește despre ceea ce este dat. Această parte se numește condiția teoremei. Cealaltă parte vorbește despre ceea ce trebuie dovedit. Această parte se numește concluzia teoremei. De exemplu, condiția teoremei 2 este unghiurile verticale; concluzie - aceste unghiuri sunt egale.

Orice teoremă poate fi exprimată în detaliu în cuvinte, astfel încât starea sa va începe cu cuvântul „dacă”, iar concluzia cu cuvântul „atunci”. De exemplu, teorema 2 poate fi formulată în detaliu după cum urmează: „Dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale”.

Exemplul 1 Unul dintre unghiurile adiacente este de 44°. Cu ce ​​este egal celălalt?

Decizie. Notați măsura în grade a altui unghi cu x, apoi conform teoremei 1.
44° + x = 180°.
Rezolvând ecuația rezultată, aflăm că x \u003d 136 °. Prin urmare, celălalt unghi este de 136°.

Exemplul 2 Fie ca unghiul COD din figura 21 să fie de 45°. Care sunt unghiurile AOB și AOC?

Decizie. Unghiurile COD și AOB sunt verticale, prin urmare, prin teorema 1.2, ele sunt egale, adică ∠ AOB = 45°. Unghiul AOC este adiacent unghiului COD, prin urmare, prin teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Exemplul 3 Găsiți unghiuri adiacente dacă unul dintre ele este de 3 ori celălalt.

Decizie. Notați măsura gradului unghiului mai mic cu x. Apoi măsura gradului unghiului mai mare va fi Zx. Deoarece suma unghiurilor adiacente este 180° (Teorema 1), atunci x + 3x = 180°, de unde x = 45°.
Deci unghiurile adiacente sunt 45° și 135°.

Exemplul 4 Suma a două unghiuri verticale este de 100°. Aflați valoarea fiecăruia dintre cele patru unghiuri.

Decizie. Fie că figura 2 corespunde condiției problemei.Unghiurile verticale COD față de AOB sunt egale (Teorema 2), ceea ce înseamnă că și măsurile gradelor lor sunt egale. Prin urmare, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (suma lor este 100° după condiție). Unghiul BOD (de asemenea unghiul AOC) este adiacent unghiului COD și, prin urmare, prin teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.