Teoreme ale adunării și înmulțirii probabilităților.

Teorema adunării probabilităților a două evenimente. Probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune.:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Teorema adunării probabilităților a două evenimente incompatibile. Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Exemplul 2.16. Tragatorul trage intr-o tinta impartita in 3 zone. Probabilitatea de a lovi prima zonă este de 0,45, a doua - 0,35. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească fie prima, fie a doua zonă cu o singură lovitură.

Soluţie.

Evoluții DAR- „trăgătorul a lovit prima zonă” și LA- „trăgătorul a lovit a doua zonă” - sunt inconsistente (lovirea într-o zonă exclude intrarea în alta), deci se aplică teorema adunării.

Probabilitatea dorită este egală cu:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Teorema adunării P evenimente incompatibile. Probabilitatea sumei a n evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor:

P (A 1 + A 2 + ... + A p) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A p).

Suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu:

Probabilitatea evenimentului LA presupunând că a avut loc un eveniment DAR, se numește probabilitatea condiționată a evenimentului LA si este marcat astfel: P(B/A), sau RA (B).

. Probabilitatea produsului a două evenimente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, cu condiția ca primul eveniment să fi avut loc:

P(AB)=P(A)P A(B).

Eveniment LA nu depinde de eveniment DAR, dacă

PA (B) \u003d P (B),

acestea. probabilitatea evenimentului LA nu depinde dacă evenimentul a avut loc DAR.

Teorema înmulțirii probabilităților a două evenimente independente.Probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților lor:

P(AB)=P(A)P(B).

Exemplul 2.17. Probabilitățile de a lovi ținta la tragerea cu primul și respectiv al doilea tun sunt egale: p 1 = 0,7; p 2= 0,8. Găsiți probabilitatea de a lovi cu o salvă (de la ambele arme) de cel puțin una dintre arme.

Soluţie.

Probabilitatea de a lovi ținta de către fiecare dintre arme nu depinde de rezultatul tragerii de la cealaltă armă, deci evenimentele DAR- „Prima lovitură de armă” și LA– „a doua lovitură de armă” sunt independente.

Probabilitatea evenimentului AB- „ambele arme au lovit”:

Probabilitatea dorită

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Teorema înmulțirii probabilităților P evenimente.Probabilitatea unui produs de n evenimente este egală cu produsul unuia dintre ele cu probabilitățile condiționate ale tuturor celorlalte, calculată presupunând că toate evenimentele anterioare au avut loc:

Exemplul 2.18. O urna contine 5 bile albe, 4 negre si 3 albastre. Fiecare test constă în faptul că o minge este extrasă la întâmplare fără a o întoarce înapoi. Găsiți probabilitatea ca o bilă albă să apară la prima încercare (evenimentul A), o bilă neagră la a doua încercare (evenimentul B) și o bilă albastră la a treia încercare (evenimentul C).

Soluţie.

Probabilitatea ca o minge albă să apară în prima încercare:

Probabilitatea ca o minge neagră să apară în a doua încercare, calculată presupunând că o minge albă a apărut în prima încercare, adică probabilitatea condiționată:

Probabilitatea ca o minge albastră să apară în a treia încercare, calculată presupunând că o minge albă a apărut în prima încercare și una neagră în a doua, adică probabilitatea condiționată:

Probabilitatea dorită este egală cu:

Teorema înmulțirii probabilităților P evenimente independente.Probabilitatea unui produs de n evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestora:

P (A 1 A 2 ... A p) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A p).

Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimente să se producă. Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre evenimentele A 1 , A 2 , ..., A p, independent în agregat, este egală cu diferența dintre unitate și produsul probabilităților de evenimente opuse:

.

Exemplul 2.19. Probabilitățile de a lovi ținta atunci când trageți cu trei arme sunt următoarele: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;p 3= 0,9. Găsiți probabilitatea de a obține cel puțin o lovitură (eveniment DAR) cu o salvă de la toate armele.

Soluţie.

Probabilitatea de a lovi ținta de către fiecare dintre arme nu depinde de rezultatele tragerii de la alte arme, astfel încât evenimentele luate în considerare A 1(lovit de prima armă), A 2(lovit de a doua armă) și A 3(lovitura celei de-a treia arme) sunt independente în total.

Probabilități de evenimente opuse evenimentelor A 1, A 2și A 3(adică probabilitățile de ratare), respectiv, sunt egale cu:

, , .

Probabilitatea dorită este egală cu:

Dacă evenimente independente A 1, A 2, ..., A p au aceeasi probabilitate R, atunci probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre aceste evenimente este exprimată prin formula:

Р(А)= 1 – q n ,

Unde q=1-p

2.7. Formula probabilității totale. Formula Bayes.

Lasă evenimentul DAR poate apărea dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile N 1, N 2, ..., N p, formând un grup complet de evenimente. Deoarece nu se știe dinainte care dintre aceste evenimente va avea loc, ele sunt numite ipoteze.

Probabilitatea apariției unui eveniment DAR calculat de formula probabilitatii totale:

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p).

Să presupunem că a fost efectuat un experiment, în urma căruia evenimentul DAR s-a întâmplat. Probabilități de evenimente condiționate N 1, N 2, ..., N p referitor la eveniment DAR determinat Formule Bayes:

,

Exemplul 2.20. Într-un grup de 20 de elevi care au venit la examen, 6 sunt excelenți, 8 buni, 4 satisfăcători și 2 slab pregătiți. În lucrările de examen sunt 30 de întrebări. Un elev bine pregătit poate răspunde la toate cele 30 de întrebări, un elev bine pregătit poate răspunde la 24, un elev satisfăcător poate răspunde la 15, iar un elev sărac poate răspunde la 7.

Un elev selectat aleatoriu a răspuns la trei întrebări aleatorii. Aflați probabilitatea ca acest elev să fie pregătit: a) excelent; b) rău.

Soluţie.

Ipoteze – „elevul este bine pregătit”;

– „elevul este bine pregătit”;

– „elevul este pregătit satisfăcător”;

- „elevul este slab pregătit”.

Înainte de experiență:

; ; ; ;

7. Ce se numește un grup complet de evenimente?

8. Ce evenimente sunt numite la fel de probabil? Dați exemple de astfel de evenimente.

9. Ce se numește un rezultat elementar?

10. Ce rezultate numesc favorabile acestui eveniment?

11. Ce operații pot fi efectuate pe evenimente? Dați-le definiții. Cum sunt desemnate? Dă exemple.

12. Ce se numește probabilitate?

13. Care este probabilitatea unui anumit eveniment?

14. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?

15. Care sunt limitele probabilității?

16. Cum se determină probabilitatea geometrică pe plan?

17. Cum este definită probabilitatea în spațiu?

18. Cum se determină probabilitatea pe o linie dreaptă?

19. Care este probabilitatea sumei a două evenimente?

20. Care este probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile?

21. Care este probabilitatea sumei a n evenimente incompatibile?

22. Care este probabilitatea condiționată? Dă un exemplu.

23. Formulați teorema înmulțirii probabilităților.

24. Cum se află probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre evenimente?

25. Ce evenimente se numesc ipoteze?

26. Când se aplică formula probabilității totale și formulele Bayes?

Teorema adunării

Luați în considerare evenimente aleatoare incompatibile.

Se știe că evenimentele aleatoare incompatibile $A$ și $B$ din aceeași încercare au probabilități $P\left(A\right)$ și, respectiv, $P\left(B\right)$. Să găsim probabilitatea sumei $A+B$ a acestor evenimente, adică probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre ele.

Să presupunem că în acest test numărul tuturor evenimentelor elementare la fel de posibile este $n$. Dintre acestea, evenimentele $A$ și $B$ sunt favorizate de evenimentele elementare $m_(A)$ și, respectiv, $m_(B)$. Deoarece evenimentele $A$ și $B$ sunt incompatibile, evenimentul $A+B$ este favorizat de evenimentele elementare $m_(A) +m_(B)$. Avem $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\stanga(A\dreapta)+P\stanga(B\dreapta)$.

Teorema 1

Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestora.

Nota 1

Consecința 1. Probabilitatea sumei oricărui număr de evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Consecința 2. Suma probabilităților unui grup complet de evenimente incompatibile (suma probabilităților tuturor evenimentelor elementare) este egală cu unu.

Consecința 3. Suma probabilităților evenimentelor opuse este egală cu unu, deoarece acestea formează un grup complet de evenimente incompatibile.

Exemplul 1

Probabilitatea ca în oraș să nu plouă vreodată este $p=0,7$. Aflați probabilitatea $q$ ca în același timp să plouă în oraș cel puțin o dată.

Evenimentele „de ceva vreme nu a plouat niciodată în oraș” și „de ceva vreme a plouat măcar o dată în oraș” sunt opuse. Prin urmare $p+q=1$, de unde $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Luați în considerare evenimentele aleatoare comune.

Se știe că evenimentele aleatoare comune $A$ și $B$ din aceeași încercare au probabilități $P\left(A\right)$ și, respectiv, $P\left(B\right)$. Să găsim probabilitatea sumei $A+B$ a acestor evenimente, adică probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre ele.

Să presupunem că în acest test numărul tuturor evenimentelor elementare la fel de posibile este $n$. Dintre acestea, evenimentele $A$ și $B$ sunt favorizate de evenimentele elementare $m_(A)$ și, respectiv, $m_(B)$. Deoarece evenimentele $A$ și $B$ sunt comune, atunci din numărul total de evenimente elementare $m_(A) +m_(B)$, un anumit număr $m_(AB)$ favorizează atât evenimentul $A$ și evenimentul $B$, adică apariția lor comună (produsul evenimentelor $A\cdot B$). Această cantitate $m_(AB)$ a introdus atât $m_(A)$ cât și $m_(B)$. Deci evenimentul $A+B$ este favorizat de $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ evenimente elementare. Avem: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\stanga(A\dreapta)+P\stanga(B\dreapta)-P\stanga(A\cdot B\ corect)$.

Teorema 2

Probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente minus probabilitatea produsului lor.

Cometariu. Dacă evenimentele $A$ și $B$ sunt incompatibile, atunci produsul lor $A\cdot B$ este un eveniment imposibil a cărui probabilitate este $P\left(A\cdot B\right)=0$. Prin urmare, formula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile este un caz special al formulei de adunare a probabilităților de evenimente comune.

Exemplul 2

Găsiți probabilitatea ca atunci când două zaruri sunt aruncate în același timp, numărul 5 să apară cel puțin o dată.

Când aruncați două zaruri în același timp, numărul tuturor evenimentelor elementare la fel de posibile este egal cu $n=36$, deoarece șase cifre ale celui de-al doilea zar pot cădea pe fiecare cifră a primului zar. Dintre acestea, evenimentul $A$ - numărul 5 aruncat pe primul zar - are loc de 6 ori, evenimentul $B$ - numărul 5 aruncat pe al doilea zar - are loc și el de 6 ori. Din toate cele douăsprezece ori, numărul 5 apare o dată pe ambele zaruri. Deci $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Teorema înmulțirii probabilităților

Luați în considerare evenimente independente.

Evenimentele $A$ și $B$ care apar în două încercări succesive sunt numite independente dacă probabilitatea de apariție a evenimentului $B$ nu depinde de faptul dacă evenimentul $A$ a avut loc sau nu.

De exemplu, să presupunem că într-o urnă există 2 bile albe și 2 negre. Testul este de a extrage mingea. Evenimentul $A$ este „o bilă albă este extrasă în prima încercare”. Probabilitatea $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. După prima încercare, mingea a fost pusă înapoi și a fost efectuat un al doilea test. Evenimentul $B$ -- ``minge albă extrasă în a doua probă''. Probabilitatea $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Probabilitatea $P\left(B\right)$ nu depinde dacă evenimentul $A$ a avut loc sau nu, prin urmare evenimentele $A$ și $B$ sunt independente.

Se știe că evenimentele aleatoare independente $A$ și $B$ a două încercări consecutive au probabilități $P\left(A\right)$ și, respectiv, $P\left(B\right)$. Să găsim probabilitatea produsului $A\cdot B$ al acestor evenimente, adică probabilitatea apariției lor comune.

Să presupunem că în prima încercare numărul tuturor evenimentelor elementare la fel de posibile este $n_(1) $. Dintre acestea, $A$ este favorizată de evenimentele elementare $m_(1)$. Să presupunem, de asemenea, că în al doilea test numărul tuturor evenimentelor elementare la fel de posibile este $n_(2) $. Dintre acestea, evenimentul $B$ este favorizat de evenimentele elementare $m_(2)$. Luați în considerare acum un nou eveniment elementar, care constă în apariția succesivă a evenimentelor din prima și a doua încercare. Numărul total de astfel de evenimente elementare la fel de probabile este egal cu $n_(1) \cdot n_(2) $. Deoarece evenimentele $A$ și $B$ sunt independente, atunci din acest număr apariția comună a evenimentului $A$ și a evenimentului $B$ (produsul evenimentelor $A\cdot B$) este favorizată de $m_ (1) \cdot m_(2) $ evenimente . Avem: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Teorema 3

Probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Luați în considerare evenimentele dependente.

În două încercări consecutive, apar evenimentele $A$ și $B$. Se spune că un eveniment $B$ este dependent de evenimentul $A$ dacă probabilitatea de apariție a evenimentului $B$ depinde dacă evenimentul $A$ a avut loc sau nu. Atunci probabilitatea evenimentului $B$, care a fost calculată cu condiția ca evenimentul $A$ să aibă loc, se numește probabilitatea condiționată a evenimentului $B$ în condiția $A$ și se notează cu $P\left (B/A\dreapta)$.

De exemplu, să presupunem că într-o urnă există 2 bile albe și 2 negre. Testul este extragerea mingii. Evenimentul $A$ este „o bilă albă este extrasă în prima încercare”. Probabilitatea $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. După prima probă, mingea nu se pune înapoi și se efectuează a doua probă. Evenimentul $B$ -- ``minge albă extrasă în a doua probă''. Dacă o bilă albă a fost extrasă în prima încercare, atunci probabilitatea este $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Dacă o bilă neagră a fost extrasă în prima încercare, atunci probabilitatea este $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Astfel, probabilitatea evenimentului $B$ depinde dacă evenimentul $A$ a avut loc sau nu, prin urmare, evenimentul $B$ depinde de evenimentul $A$.

Să presupunem că evenimentele $A$ și $B$ apar în două încercări consecutive. Se știe că evenimentul $A$ are probabilitatea de apariție $P\left(A\right)$. De asemenea, se știe că evenimentul $B$ este dependent de evenimentul $A$ și probabilitatea sa condiționată în condiția $A$ este egală cu $P\left(B/A\right)$.

Teorema 4

Probabilitatea produsului evenimentului $A$ și evenimentului $B$ dependent de acesta, adică probabilitatea apariției lor comune, poate fi găsită prin formula $P\left(A\cdot B\right)= P\stanga(A\dreapta)\cdot P\stanga(B/A\dreapta)$.

Formula simetrică $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ este de asemenea valabilă, unde evenimentul $A$ este considerat depinde de eveniment $ B$.

Pentru condițiile ultimului exemplu, găsim probabilitatea ca mingea albă să fie extrasă în ambele încercări. Un astfel de eveniment este un produs al evenimentelor $A$ și $B$. Probabilitatea sa este $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Instituția de învățământ „Statul Belarus

Academia Agricolă"

Catedra de Matematică Superioară

ADUAREA SI MULTIPLICAREA PROBABILITATILOR. TESTE INDEPENDENTE REPETE

Prelegere pentru studenții Facultății de Gospodărire Funciară

învățământ la distanță

Gorki, 2012

Adunarea și înmulțirea probabilităților. Repetat

teste independente

Adunarea probabilităților

Suma a două evenimente comune DARși LA numit eveniment DIN, constând în producerea a cel puţin unuia dintre evenimente DAR sau LA. În mod similar, suma mai multor evenimente comune este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

Suma a două evenimente disjunctive DARși LA numit eveniment DIN, constând în producerea sau evenimentul DAR, sau evenimente LA. În mod similar, suma mai multor evenimente incompatibile este un eveniment constând în apariția oricăruia dintre aceste evenimente.

Teorema adunării probabilităților evenimentelor incompatibile este valabilă: probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente , adică . Această teoremă poate fi extinsă la orice număr finit de evenimente incompatibile.

Din această teoremă rezultă:

suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu;

suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu, adică.
.

Exemplul 1 . O cutie conține 2 bile albe, 3 roșii și 5 albastre. Bilele sunt amestecate și una este extrasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca mingea să fie colorată?

Soluţie . Să notăm evenimentele:

A=(bilul de culoare eliminat);

B=(minge albă trasă);

C=(minge roșie extrasă);

D=(minge albastră eliminată).

Apoi A= C+ D. De la evenimente C, D sunt incompatibile, atunci folosim teorema de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile: .

Exemplul 2 . O urnă conține 4 bile albe și 6 bile negre. Se extrag la întâmplare 3 bile din urnă. Care este probabilitatea ca toate să fie de aceeași culoare?

Soluţie . Să notăm evenimentele:

A\u003d (se scot bile de aceeași culoare);

B\u003d (se scot bile albe);

C= (se scot bile negre).

pentru că A= B+ C si evenimente LAși DIN sunt incompatibile, apoi prin teorema de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile
. Probabilitatea evenimentului LA este egal cu
, Unde
4,

. Substitui kși nîn formulă și obține
În mod similar, găsim probabilitatea unui eveniment DIN:
, Unde
,
, adică
. Apoi
.

Exemplul 3 . Dintr-un pachet de 36 de cărți, 4 cărți sunt extrase la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca printre ei să fie cel puțin trei ași.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

A\u003d (printre cărțile trase există cel puțin trei ași);

B\u003d (printre cărțile trase există trei ași);

C= (printre cărțile extrase sunt patru ași).

pentru că A= B+ C, și evenimentele LAși DIN inconsecventă, atunci
. Să găsim probabilitățile evenimentelor LAși DIN:

,
. Prin urmare, probabilitatea ca printre cărțile extrase să fie cel puțin trei ași este egală cu

0.0022.

Înmulțirea probabilității

muncă două evenimente DARși LA numit eveniment DIN, constând în producerea în comun a acestor evenimente:
. Această definiție se extinde la orice număr finit de evenimente.

Cele două evenimente sunt numite independent dacă probabilitatea de apariţie a unuia dintre ele nu depinde de faptul dacă celălalt eveniment a avut loc sau nu. Evoluții ,, … ,numit colectiv independent , dacă probabilitatea de apariție a fiecăruia dintre ele nu depinde de dacă alte evenimente au avut loc sau nu.

Exemplul 4 . Două săgeți trag într-o țintă. Să notăm evenimentele:

A=(primul trăgător a lovit ținta);

B= (al doilea trăgător a lovit ținta).

Evident, probabilitatea de a lovi ținta de către primul trăgător nu depinde de dacă al doilea trăgător a lovit sau a ratat și invers. Prin urmare, evenimentele DARși LA independent.

Teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor independente este valabilă: probabilitatea produsului a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente : .

Această teoremă este valabilă și pentru n evenimente care sunt independente în agregat: .

Exemplul 5 . Doi trăgători trag în aceeași țintă. Probabilitatea de a lovi primul trăgător este de 0,9, iar al doilea este de 0,7. Ambii trăgători trag o singură lovitură în același timp. Determinați probabilitatea ca țintă să fie două lovituri.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

A

B

C=(ambele săgeți vor atinge ținta).

pentru că
, și evenimentele DARși LA independent, atunci
, adica...

Evoluții DARși LA numit dependent dacă probabilitatea de apariţie a unuia dintre ele depinde dacă celălalt eveniment a avut loc sau nu. Probabilitatea unui eveniment DAR cu condiția ca evenimentul LA este deja aici, se cheamă probabilitate condițională și notat
sau
.

Exemplul 6 . O urna contine 4 bile albe si 7 negre. Din urnă se scot bile. Să notăm evenimentele:

A=(minge albă eliminată);

B=(minge neagră eliminată).

Înainte de a începe să trageți bile din urnă
. Din urnă se extrage o minge și se dovedește a fi neagră. Apoi probabilitatea evenimentului DAR după eveniment LA va fi diferit, egal . Aceasta înseamnă că probabilitatea unui eveniment DAR dependent de eveniment LA, adică aceste evenimente vor fi dependente.

Teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor dependente este valabilă: probabilitatea produsului a două evenimente dependente este egală cu produsul probabilității unuia dintre ele cu probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată din ipoteza că primul eveniment a avut deja loc, adică sau.

Exemplul 7 . O urnă conține 4 bile albe și 8 bile roșii. Două bile sunt extrase la întâmplare din el. Găsiți probabilitatea ca ambele bile să fie negre.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

A=(minge neagră trasă prima);

B=(o bilă neagră este extrasă secundă).

Evoluții DARși LA dependent deoarece
, A
. Apoi
.

Exemplul 8 . Trei săgeți trage spre țintă independent una de cealaltă. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,5, pentru al doilea - 0,6 și pentru al treilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca două lovituri să aibă loc dacă fiecare trăgător trage o singură lovitură.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

A=(vor fi două lovituri pe țintă);

B=(primul trăgător lovește ținta);

C=(al doilea trăgător va lovi ținta);

D=(al treilea trăgător va lovi ținta);

=(primul trăgător nu va lovi ținta);

=(al doilea trăgător nu va lovi ținta);

=(al treilea trăgător nu va lovi ținta).

Conform exemplului
,
,
,

,
,
. Deoarece, folosind teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile și teorema de înmulțire a probabilităților de evenimente independente, obținem:

Lasă evenimentele
alcătuiește un grup complet de evenimente ale unei încercări și evenimentele DAR poate avea loc numai cu unul dintre aceste evenimente. Dacă se cunosc probabilitățile și probabilitățile condiționate ale evenimentului DAR, atunci probabilitatea evenimentului A se calculează cu formula:

sau
. Această formulă se numește formula probabilității totale , și evenimentele
ipoteze .

Exemplul 9 . Linia de asamblare primește 700 de piese de la prima mașină și 300 de piese din a doua. Prima mașină dă 0,5% rebuturi, iar a doua - 0,7%. Găsiți probabilitatea ca articolul luat să fie defect.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

A=(articolul luat va fi defect);

= (piesa este realizată la prima mașină);

= (piesa este realizată pe a doua mașină).

Probabilitatea ca piesa să fi fost realizată pe prima mașină este
. Pentru a doua mașină
. După condiție, probabilitatea de a obține o piesă defectă realizată la prima mașină este egală cu
. Pentru a doua mașină, această probabilitate este egală cu
. Apoi probabilitatea ca piesa luată să fie defectă se calculează prin formula probabilității totale

Dacă se știe că un eveniment a avut loc în urma unui test DAR, apoi probabilitatea ca acest eveniment să se fi produs cu ipoteza
, este egal cu
, Unde
- probabilitatea totală a evenimentului DAR. Această formulă se numește Formula Bayes și vă permite să calculați probabilitățile evenimentelor
după ce s-a aflat că evenimentul DAR a sosit deja.

Exemplul 10 . Piesele de același tip pentru mașini sunt produse la două fabrici și merg la magazin. Prima fabrică produce 80% din numărul total de piese, iar a doua - 20%. Producția primei fabrici conține 90% din piese standard, iar a doua - 95%. Cumpărătorul a cumpărat o piesă și s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fie făcută în a doua fabrică.

Soluţie . Să notăm evenimentele:

A=(achizitionat o piesa standard);

= (piesa este realizată la prima fabrică);

= (piesa este realizată la a doua fabrică).

Conform exemplului
,
,
și
. Calculați probabilitatea totală a unui eveniment DAR: 0,91. Probabilitatea ca piesa să fie fabricată la a doua fabrică este calculată folosind formula Bayes:

.

Sarcini pentru munca independenta

Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,8, pentru al doilea - 0,7 și pentru al treilea - 0,9. Trăgătorii au tras o singură lovitură. Găsiți probabilitatea ca ținta să aibă cel puțin două lovituri.

Atelierul a primit 15 tractoare. Se știe că 6 dintre ele trebuie să înlocuiască motorul, iar restul - să înlocuiască componente individuale. Trei tractoare sunt selectate aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca nu mai mult de două tractoare selectate să necesite înlocuirea motorului.

Fabrica de betoane produce panouri, dintre care 80% sunt de cea mai buna calitate. Găsiți probabilitatea ca din trei panouri alese aleatoriu, cel puțin două să fie de cea mai bună nota.

Trei lucrători asamblează rulmenți. Probabilitatea ca rulmentul asamblat de primul muncitor să fie de cea mai bună calitate este de 0,7, al doilea - 0,8 și al treilea - 0,6. Pentru control s-a luat la întâmplare câte un rulment din cei asamblați de fiecare muncitor. Găsiți probabilitatea ca cel puțin două dintre ele să fie de cea mai bună calitate.

Probabilitatea de a câștiga la un bilet de loterie din prima emisiune este de 0,2, a doua - 0,3 și a treia - 0,25. Există un bilet pentru fiecare număr. Găsiți probabilitatea ca cel puțin două bilete să câștige.

Contabilul efectuează calcule folosind trei cărți de referință. Probabilitatea ca datele care îl interesează să fie în primul director este de 0,6, în al doilea - 0,7 și în al treilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca datele de interes pentru contabil să fie conținute în cel mult două directoare.

Trei mașini produc piese. Primul automat produce o parte de cea mai înaltă calitate cu o probabilitate de 0,9, al doilea cu o probabilitate de 0,7 și al treilea cu o probabilitate de 0,6. Un articol este luat la întâmplare de la fiecare mașină. Găsiți probabilitatea ca cel puțin două dintre ele să fie de cea mai bună calitate.

Același tip de piese sunt prelucrate pe două mașini. Probabilitatea de a produce o piesă non-standard pentru prima mașină este de 0,03, pentru a doua - 0,02. Piesele prelucrate sunt stivuite într-un singur loc. Dintre aceștia, 67% sunt de la primul aparat, iar restul de la al doilea. O parte luată la întâmplare s-a dovedit a fi standard. Găsiți probabilitatea ca acesta să fi fost realizat pe prima mașină.

Atelierul a primit două cutii de același tip de condensatoare. Prima cutie conținea 20 de condensatoare, dintre care 2 erau defecte. În a doua cutie sunt 10 condensatoare, dintre care 3 sunt defecte. Condensatorii au fost transferați într-o cutie. Găsiți probabilitatea ca un condensator luat la întâmplare din cutie să fie bun.

Pe trei mașini se realizează același tip de piese, care sunt alimentate la un transportor comun. Dintre toate detaliile, 20% de la prima mașină, 30% de la a doua și 505 de la a treia. Probabilitatea de a produce o piesă standard pe prima mașină este de 0,8, pe a doua - 0,6 și pe a treia - 0,7. Partea luată a fost standard. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fie realizată pe a treia mașină.

Culegătorul primește 40% din piese din fabrică pentru asamblare DAR, iar restul - din fabrică LA. Probabilitatea ca piesa din fabrică DAR- cea mai inalta calitate, egala cu 0,8, si din fabrica LA– 0,9. Culegătorul a luat la întâmplare o parte și nu a fost de cea mai bună calitate. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fie din fabrică LA.

10 elevi din prima grupă și 8 elevi din a doua au fost selectați pentru a participa la competiții sportive studențești. Probabilitatea ca un elev din prima grupă să intre în echipa națională a academiei este de 0,8, iar din a doua - 0,7. Un elev ales aleatoriu a fost selectat pentru echipa națională. Găsiți probabilitatea ca el să fie din primul grup.

formula Bernoulli

Testele se numesc independent , dacă pentru fiecare dintre ele evenimentul DAR apare cu aceeași probabilitate
, indiferent dacă acest eveniment a apărut sau nu în alte procese. Probabilitatea evenimentului opus în acest caz egal
.

Exemplul 11 . Aruncarea unui zar n o singura data. Indicați evenimentul A= (scădere de trei puncte). Probabilitatea unui eveniment DARîn fiecare studiu este egal cu și nu depinde de dacă acest eveniment a avut loc sau nu în alte studii. Prin urmare, aceste teste sunt independente. Probabilitatea evenimentului opus
(fără rost de trei puncte) este egal cu
.

Probabilitatea ca în nîncercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea apariției unui eveniment DAR este egal cu p, evenimentul se va întâmpla exact k ori (indiferent în ce secvență), se calculează prin formula
, Unde
. Această formulă se numește formula Bernoulli și este convenabil dacă numărul de încercări n nu este prea mare.

Exemplul 12 . Proporția de fetuși infectați cu boala în formă latentă este de 25%. 6 fructe sunt alese aleatoriu. Aflați probabilitatea ca printre cei aleși să fie: a) exact 3 fetuși infectați; b) nu mai mult de două fructe infectate.

Soluţie . Conform exemplului.

a) Conform formulei Bernoulli, probabilitatea ca exact trei dintre cele șase fructe selectate să fie infectate este egală cu

0.132.

b) Indicați evenimentul A=(infectati nu vor fi mai mult de doi fetusi). Apoi . Conform formulei Bernoulli:

0.297.

Prin urmare,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Teoremele lui Laplace și Poisson

Formula Bernoulli este folosită pentru a găsi probabilitatea ca un eveniment DAR va veni k odata nîncercări independente și în fiecare încercare probabilitatea unui eveniment DAR constant. Pentru valori mari ale lui n, calculele folosind formula Bernoulli devin consumatoare de timp. În acest caz, pentru a calcula probabilitatea unui eveniment DAR este mai bine să folosiți o altă formulă.

Teorema Laplace locală . Fie probabilitatea p eveniment DARîn fiecare test este constant și diferit de zero și unu. Apoi probabilitatea ca evenimentul DAR vine exact k ori pentru un număr suficient de mare de n încercări, se calculează prin formula

, Unde
, și valorile funcției
sunt date în tabel.

Principalele proprietăți ale funcției
sunteți:

Funcţie
este definită şi continuă în interval
.

Funcţie
este pozitiv, adică
>0.

Funcţie
chiar, adică
.

Din moment ce functia
este par, atunci tabelul arată valorile sale numai pentru valorile pozitive X.

Exemplul 13 . Germinarea semințelor de grâu este de 80%. Pentru experiment sunt selectate 100 de semințe. Găsiți probabilitatea ca exact 90 dintre semințele selectate să germineze.

Soluţie . Conform exemplului n=100, k=90, p=0.8, q=1-0,8=0,2. Apoi
. Conform tabelului găsim valoarea funcției
:
. Probabilitatea ca exact 90 dintre semințele selectate să germineze este
0.0044.

Atunci când rezolvați probleme practice, devine necesar să găsiți probabilitatea ca un eveniment să se producă DAR la n cel puțin teste independente o dată și nu mai mult o singura data. Această problemă este rezolvată cu ajutorul Teorema integrală a Laplace : Fie probabilitatea p eveniment DARîn fiecare dintre n teste independente este constantă și diferită de zero și unitate. Atunci probabilitatea ca evenimentul să se producă este de cel puțin o dată și nu mai mult ori pentru un număr suficient de mare de teste, se calculează prin formula

Unde
,
.

Funcţie
numit Funcția Laplace şi nu se exprimă în termeni de funcţii elementare. Valorile acestei funcții sunt date în tabele speciale.

Principalele proprietăți ale funcției
sunteți:

.

Funcţie
crește în interval
.

la
.

Funcţie
ciudat, adică
.

Exemplul 14 . Compania produce produse, dintre care 13% nu sunt de cea mai buna calitate. Determinați probabilitatea ca într-un lot netestat de 150 de unități de produs de cea mai bună calitate să fie cel puțin 125 și cel mult 135.

Soluţie . Să notăm. Calcula
,

Se are în vedere un experiment E. Se presupune că poate fi efectuat în mod repetat. În urma experimentului pot apărea diverse evenimente care alcătuiesc un anumit set F. Evenimentele observate sunt împărțite în trei tipuri: de încredere, imposibil, aleatoriu.

credibil Un eveniment se numește un eveniment care va avea loc cu siguranță ca urmare a unui experiment. E. Notat Ω.

Imposibil Un eveniment se numește eveniment despre care nu se știe că are loc ca urmare a unui experiment. E. Desemnat .

Aleatoriu se numește un eveniment care poate sau nu să apară în urma unui experiment E.

Suplimentar (opus) eveniment DAR se numește un eveniment, notat cu , care are loc dacă și numai dacă evenimentul nu are loc DAR.

Sumă (combinație) evenimente este un eveniment care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre aceste evenimente (Figura 3.1). Denumiri .

Figura 3.1

Produs (intersecție) evenimentele se numesc un eveniment care are loc dacă și numai dacă toate aceste evenimente au loc împreună (simultan) (Figura 3.2). Denumiri . Evident, evenimentele A și B incompatibil , dacă .

Figura 3.2

Grup complet de evenimente Se numește un set de evenimente, a căror sumă este un anumit eveniment:

Eveniment LA numit un caz special al unui eveniment DAR, dacă odată cu apariția evenimentului LA apare evenimentul DAR. Se mai spune că evenimentul LA declanșează un eveniment DAR(Figura 3.3). Denumirea .

Figura 3.3

Evoluții DARși LA numit echivalent dacă apar sau nu împreună în timpul experimentului E. Denumirea . Evident, dacă

Eveniment complicat numit eveniment observat exprimat prin alte evenimente observate în același experiment folosind operații algebrice.

Probabilitatea implementării unui anumit eveniment complex este calculată folosind formulele de adunare și multiplicare a probabilităților.

Teorema adunării

Consecințe:

1) în cazul evenimentelor DARși LA sunt inconsistente, teorema adunării ia forma:

2) în cazul a trei termeni, teorema adunării poate fi scrisă ca

3) suma probabilităților de evenimente reciproc opuse este egală cu 1:

Setul de evenimente ,, ..., se numește grup complet de evenimente , dacă

Suma probabilităților evenimentelor care formează un grup complet este egală cu 1:

Probabilitatea apariției unui eveniment DAR cu condiția ca evenimentul LA sa întâmplat, sunat probabilitate condițională și notează sau.

DARși LA – evenimente dependente , dacă .

DARși LA – evenimente independente , dacă .

Teorema înmulțirii probabilităților

Consecințe:

1) pentru evenimente independente DARși LA

2) în cazul general, pentru produsul a trei evenimente, teorema înmulțirii probabilităților are forma:

Mostre de rezolvare a problemelor

Exemplu1 - Trei elemente sunt conectate în serie într-un circuit electric, funcționând independent unul de celălalt. Probabilitățile de eșec ale primului, al doilea și, respectiv, al treilea element sunt egale cu ,,. Aflați probabilitatea ca circuitul să nu fie curent.

Soluţie

Prima cale.

Să desemnăm evenimentele: - în circuit a avut loc o defecțiune a primului, al doilea și respectiv al treilea element.

Eveniment DAR- nu va exista curent în circuit (cel puțin unul dintre elemente se va defecta, deoarece acestea sunt conectate în serie).

Eveniment - curent în circuit (trei elemente funcționează), . Probabilitatea evenimentelor opuse este legată de formula (3.4). Un eveniment este un produs a trei evenimente care sunt independente pe perechi. Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor independente, obținem

Atunci probabilitatea evenimentului dorit este .

A doua cale.

Ținând cont de notația adoptată anterior, scriem evenimentul dorit DAR- cel puțin unul dintre elemente va eșua:

Deoarece termenii incluși în sumă sunt compatibili, ar trebui să aplicăm teorema de adunare a probabilității în formă generală pentru cazul a trei termeni (3.3):

Răspuns: 0,388.

Sarcini pentru soluție independentă

1 În sala de lectură există șase manuale despre teoria probabilității, dintre care trei sunt legate. Bibliotecarul a luat la întâmplare două manuale. Găsiți probabilitatea ca ambele manuale să fie legate.

2 Firele se amestecă într-o pungă, dintre care 30% sunt albe, iar restul sunt roșii. Determinați probabilitățile ca două fire trase la întâmplare să fie: de aceeași culoare; Culori diferite.

3 Dispozitivul este format din trei elemente care funcționează independent. Probabilitățile de funcționare fără defecțiuni pentru o anumită perioadă de timp a primului, al doilea și, respectiv, al treilea element sunt 0,6; 0,7; 0,8. Găsiți probabilitățile ca în acest timp să funcționeze fără greșeală următoarele: un singur element; doar două elemente; toate cele trei elemente; cel putin doua elemente.

4 Se aruncă trei zaruri. Găsiți probabilitățile următoarelor evenimente:

a) pe fiecare parte a celor abandonate vor apărea cinci puncte;

b) pe toate fețele aruncate va apărea același număr de puncte;

c) un punct va apărea pe cele două fețe aruncate, iar pe a treia față va apărea un alt număr de puncte;

d) un număr diferit de puncte va apărea pe toate fețele aruncate.

5 Probabilitatea ca un trăgător să lovească ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Câte focuri trebuie să tragă trăgătorul pentru ca, cu o probabilitate mai mică de 0,4, să se poată aștepta să nu existe rateuri?

6 Dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5, primul este selectat, iar apoi dintre celelalte patru - a doua cifră. Se presupune că toate cele 20 de rezultate posibile sunt la fel de probabile. Aflați probabilitatea ca o cifră impară să fie aleasă: pentru prima dată; a doua oara; ambele ori.

7 Probabilitatea ca o pereche de pantofi mărimea 46 să fie vândută din nou în secțiunea de pantofi pentru bărbați a magazinului este de 0,01. Câte perechi de pantofi trebuie vândute în magazin pentru ca cu o probabilitate de cel puțin 0,9 să se poată aștepta ca cel puțin o pereche de pantofi mărimea 46 să fie vândută?

8 Există 10 piese într-o cutie, inclusiv două non-standard. Găsiți probabilitatea ca în șase părți alese aleatoriu să existe cel mult una nestandard.

9 Departamentul de control tehnic verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca produsul să nu fie standard este de 0,1. Găsiți probabilitatea ca:

a) dintre cele trei produse testate, doar două vor fi nestandard;

b) doar al patrulea produs verificat în ordine va fi nestandard.

10 Pe cărțile alfabetului divizat sunt scrise 32 de litere ale alfabetului rus:

a) Trei cărți sunt extrase la întâmplare una după alta și puse pe masă în ordinea în care apar. Găsiți probabilitatea ca cuvântul „lume” să iasă;

b) cele trei cărți extrase pot fi schimbate în mod arbitrar. Care este probabilitatea ca ei să poată forma cuvântul „lume”?

11 Un luptător atacă un bombardier și trage două rafale independente asupra acestuia. Probabilitatea de a doborî un bombardier cu prima explozie este de 0,2, iar a doua este de 0,3. Dacă bombardierul nu este doborât, acesta trage în luptător din tunurile de la pupa și îl doboară cu o probabilitate de 0,25. Găsiți probabilitatea ca un bombardier sau un luptător să fie doborât în ​​urma unei lupte aeriene.

Teme pentru acasă

1 Formula probabilității totale. Formula Bayes.

2 rezolva probleme

O sarcină1 . Muncitorul întreține trei mașini care funcționează independent unul de celălalt. Probabilitatea ca prima mașină să nu necesite atenția unui lucrător într-o oră este de 0,9, a doua - 0,8, a treia - 0,85. Găsiți probabilitatea ca într-o oră cel puțin o mașină să necesite atenția unui muncitor.

O sarcină2 . Centrul de calcul, care trebuie să proceseze continuu informațiile primite, are două dispozitive de calcul. Se știe că fiecare dintre ele are o probabilitate de eșec într-un timp egală cu 0,2. Este necesar să se determine probabilitatea:

a) faptul că unul dintre dispozitive va defecta, iar al doilea va fi în stare bună;

b) funcționarea fără defecțiuni a fiecăruia dintre dispozitive.

O sarcină3 . Patru vânători au fost de acord să tragă în joc într-o anumită secvență: următorul vânător trage doar dacă precedentul ratează. Probabilitatea de lovire pentru primul vânător este de 0,6, pentru al doilea - 0,7, pentru al treilea - 0,8. Găsiți probabilitatea ca focuri să fie trase:

d) patru.

O sarcină4 . Piesa trece prin patru operații de prelucrare. Probabilitatea de a obține o căsătorie la prima operațiune este de 0,01, la a doua - 0,02, la a treia - 0,03, la a patra - 0,04. Aflați probabilitatea de a obține o piesă fără defecte după patru operații, presupunând că evenimentele de obținere a defectelor în operațiuni individuale sunt independente.

Necesitatea acțiunilor asupra probabilităților apare atunci când probabilitățile unor evenimente sunt cunoscute și probabilitățile altor evenimente care sunt asociate cu aceste evenimente trebuie calculate.

Adunarea probabilității este utilizată atunci când este necesar să se calculeze probabilitatea unei combinații sau a unei sume logice de evenimente aleatoare.

Suma evenimentelor Ași B desemna A + B sau A ∪ B. Suma a două evenimente este un eveniment care are loc dacă și numai dacă are loc cel puțin unul dintre evenimente. Înseamnă că A + B- un eveniment care are loc dacă și numai dacă un eveniment are loc în timpul observării A sau eveniment B, sau în același timp Ași B.

Dacă evenimentele Ași B sunt reciproc inconsecvente și probabilitățile lor sunt date, probabilitatea ca unul dintre aceste evenimente să se producă ca urmare a unei încercări este calculată folosind adunarea probabilităților.

Teorema adunării probabilităților. Probabilitatea ca unul dintre cele două evenimente incompatibile reciproc să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

De exemplu, s-au tras două focuri de armă în timpul vânătorii. Eveniment DAR– lovirea unei rațe de la prima lovitură, eveniment LA– lovitură din a doua lovitură, eveniment ( DAR+ LA) - lovitura din prima sau a doua lovitura sau din doua lovituri. Deci dacă două evenimente DARși LA sunt evenimente incompatibile, deci DAR+ LA- apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente sau a două evenimente.

Exemplul 1 O cutie conține 30 de bile de aceeași dimensiune: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Calculați probabilitatea ca o minge colorată (nu albă) să fie luată fără să se uite.

Soluţie. Să presupunem că evenimentul DAR– „s-a luat mingea roșie”, și evenimentul LA- „Mingea albastră este luată”. Apoi evenimentul este „se ia o minge colorată (nu albă)”. Găsiți probabilitatea unui eveniment DAR:

si evenimente LA:

Evoluții DARși LA- incompatibile reciproc, deoarece dacă se ia o minge, atunci nu pot fi luate bile de culori diferite. Prin urmare, folosim adunarea probabilităților:

Teorema adunării probabilităților pentru mai multe evenimente incompatibile. Dacă evenimentele alcătuiesc setul complet de evenimente, atunci suma probabilităților lor este egală cu 1:

Suma probabilităților de evenimente opuse este, de asemenea, egală cu 1:

Evenimentele opuse formează un set complet de evenimente, iar probabilitatea unui set complet de evenimente este 1.

Probabilitățile de evenimente opuse sunt de obicei notate cu litere mici. pși q. În special,

din care rezultă următoarele formule pentru probabilitatea evenimentelor opuse:

Exemplul 2Ținta din liniuță este împărțită în 3 zone. Probabilitatea ca un anumit trăgător să tragă la o țintă din prima zonă este de 0,15, în a doua zonă - 0,23, în a treia zonă - 0,17. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta și probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta.

Soluție: Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta:

Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să rateze ținta:

Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .

Adăugarea probabilităților de evenimente comune

Se spune că două evenimente aleatoare sunt comune dacă apariția unui eveniment nu exclude apariția unui al doilea eveniment în aceeași observație. De exemplu, la aruncarea unui zar, evenimentul DAR este considerat a fi apariția numărului 4 și evenimentul LA- eliminarea unui număr par. Deoarece numărul 4 este un număr par, cele două evenimente sunt compatibile. În practică, există sarcini pentru calcularea probabilităților de apariție a unuia dintre evenimentele comune.

Teorema adunării probabilităților pentru evenimente comune. Probabilitatea ca unul dintre evenimentele comune să se producă este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, din care se scade probabilitatea apariției comune a ambelor evenimente, adică produsul probabilităților. Formula pentru probabilitățile evenimentelor comune este următoarea:

Pentru că evenimentele DARși LA compatibil, eveniment DAR+ LA are loc dacă are loc unul dintre cele trei evenimente posibile: sau AB. Conform teoremei adunării evenimentelor incompatibile, calculăm după cum urmează:

Eveniment DAR apare dacă are loc unul dintre cele două evenimente incompatibile: sau AB. Cu toate acestea, probabilitatea de apariție a unui eveniment din mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților tuturor acestor evenimente:

În mod similar:

Înlocuind expresiile (6) și (7) în expresia (5), obținem formula probabilității pentru evenimente comune:

Atunci când se utilizează formula (8), trebuie luat în considerare faptul că evenimentele DARși LA poate fi:

• independent reciproc;
• dependente reciproc.

Formula probabilității pentru evenimente independente reciproc:

Formula probabilității pentru evenimente dependente reciproc:

Dacă evenimentele DARși LA sunt inconsecvente, atunci coincidența lor este un caz imposibil și, astfel, P(AB) = 0. A patra formulă de probabilitate pentru evenimente incompatibile este următoarea:

Exemplul 3În cursele auto, atunci când conduceți cu prima mașină, probabilitatea de a câștiga, când conduceți cu a doua mașină. Găsi:

• probabilitatea ca ambele mașini să câștige;
• probabilitatea ca cel puțin o mașină să câștige;

1) Probabilitatea ca prima mașină să câștige nu depinde de rezultatul celei de-a doua mașini, deci evenimentele DAR(prima mașină câștigă) și LA(a doua mașină câștigă) - evenimente independente. Găsiți probabilitatea ca ambele mașini să câștige:

2) Găsiți probabilitatea ca una dintre cele două mașini să câștige:

Sarcini mai dificile în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților - pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .

Rezolvați singur problema adunării probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 4 Se aruncă două monede. Eveniment A- pierderea stemei de pe prima monedă. Eveniment B- pierderea stemei de pe a doua monedă. Găsiți probabilitatea unui eveniment C = A + B .

Înmulțirea probabilității

Înmulțirea probabilităților este utilizată atunci când se calculează probabilitatea unui produs logic al evenimentelor.

În acest caz, evenimentele aleatoare trebuie să fie independente. Se spune că două evenimente sunt independente reciproc dacă apariția unui eveniment nu afectează probabilitatea apariției celui de-al doilea eveniment.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente. Probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente DARși LA este egal cu produsul probabilităților acestor evenimente și se calculează prin formula:

Exemplul 5 Moneda este aruncată de trei ori la rând. Găsiți probabilitatea ca stema să cadă de trei ori.

Soluţie. Probabilitatea ca stema să cadă la prima aruncare a unei monede, a doua oară și a treia oară. Găsiți probabilitatea ca stema să cadă de trei ori:

Rezolvați singur problemele de înmulțire a probabilităților și apoi uitați-vă la soluție

Exemplul 6 Există o cutie cu nouă mingi de tenis noi. Se iau trei mingi pentru joc, după care se pun înapoi. Atunci când aleg mingi, acestea nu fac distincție între mingile jucate și cele nejucate. Care este probabilitatea ca după trei jocuri să nu mai fie mingi nejucate în careu?

Exemplul 7 32 de litere ale alfabetului rus sunt scrise pe carduri cu alfabet tăiat. Cinci cărți sunt extrase la întâmplare, una după alta, și așezate pe masă în ordinea în care apar. Găsiți probabilitatea ca literele să formeze cuvântul „sfârșit”.

Exemplul 8 Dintr-un pachet complet de cărți (52 de coli), patru cărți sunt scoase simultan. Găsiți probabilitatea ca toate cele patru cărți să fie de aceeași culoare.

Exemplul 9 Aceeași problemă ca în exemplul 8, dar fiecare carte este returnată în pachet după ce a fost extrasă.

Sarcini mai complexe, în care trebuie să aplicați atât adunarea, cât și înmulțirea probabilităților, precum și să calculați produsul mai multor evenimente, pe pagina „Diverse sarcini pentru adunare și înmulțire a probabilităților” .

Probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimentele reciproc independente să se producă poate fi calculată scăzând produsul probabilităților de evenimente opuse din 1, adică prin formula:

Exemplul 10 Mărfurile sunt livrate prin trei moduri de transport: fluvial, feroviar și rutier. Probabilitatea ca marfa să fie livrată prin transport fluvial este de 0,82, pe calea ferată 0,87, pe drum de 0,90. Găsiți probabilitatea ca mărfurile să fie livrate de cel puțin unul dintre cele trei moduri de transport.