Continuăm să luăm în considerare sarcinile incluse în examenul la matematică. Am studiat deja problemele în care este dată condiția și se cere să găsim distanța dintre două puncte date sau unghiul.

O piramidă este un poliedru a cărui bază este un poligon, celelalte fețe sunt triunghiuri și au un vârf comun.

O piramidă obișnuită este o piramidă la baza căreia se află un poligon regulat, iar vârful său este proiectat în centrul bazei.

O piramidă patruunghiulară obișnuită - baza este un pătrat.Vârful piramidei este proiectat în punctul de intersecție al diagonalelor bazei (pătratului).

ML - apotema
∠MLO - unghi diedru la baza piramidei
∠MCO - unghiul dintre marginea laterală și planul bazei piramidei

În acest articol, vom lua în considerare sarcinile pentru rezolvarea piramidei corecte. Este necesar să găsiți orice element, suprafață laterală, volum, înălțime. Desigur, trebuie să cunoașteți teorema lui Pitagora, formula pentru aria suprafeței laterale a piramidei, formula pentru găsirea volumului piramidei.

In articol Sunt prezentate formule „” care sunt necesare pentru rezolvarea problemelor de stereometrie. Deci sarcinile sunt:

SABCD punct O- centrul bazeiS vârf, ASA DE = 51, AC= 136. Aflați marginea lateralăSC.

În acest caz, baza este un pătrat. Aceasta înseamnă că diagonalele AC și BD sunt egale, se intersectează și bisectează în punctul de intersecție. Rețineți că într-o piramidă obișnuită, înălțimea coborâtă din vârful acesteia trece prin centrul bazei piramidei. Deci SO este înălțimea și triunghiulSOCdreptunghiular. Apoi, după teorema lui Pitagora:

Cum să iei rădăcina unui număr mare.

Raspuns: 85

Decide pentru tine:

Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei S vârf, ASA DE = 4, AC= 6. Găsiți o margine laterală SC.

Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei S vârf, SC = 5, AC= 6. Aflați lungimea segmentului ASA DE.

Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei S vârf, ASA DE = 4, SC= 5. Aflați lungimea segmentului AC.

SABC R- mijlocul coastei î.Hr, S- de sus. Se știe că AB= 7 și SR= 16. Aflați aria suprafeței laterale.

Aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema (apotema este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite trasă din vârf):

Sau puteți spune acest lucru: aria suprafeței laterale a piramidei este egală cu suma ariilor celor trei fețe laterale. Fețele laterale dintr-o piramidă triunghiulară regulată sunt triunghiuri de suprafață egală. În acest caz:

Raspuns: 168

Decide pentru tine:

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei î.Hr, S- de sus. Se știe că AB= 1 și SR= 2. Aflați aria suprafeței laterale.

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei î.Hr, S- de sus. Se știe că AB= 1, iar aria suprafeței laterale este 3. Aflați lungimea segmentului SR.

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC L- mijlocul coastei î.Hr, S- de sus. Se știe că SL= 2, iar aria suprafeței laterale este 3. Aflați lungimea segmentului AB.

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC M. Aria unui triunghi ABC este 25, volumul piramidei este 100. Aflați lungimea segmentului DOMNIȘOARĂ.

Baza piramidei este un triunghi echilateral. Asa de Meste centrul bazei șiDOMNIȘOARĂ- înălțimea unei piramide regulateSABC. Volumul piramidei SABC este egal cu: inspectați soluția

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC medianele bazei se intersectează într-un punct M. Aria unui triunghi ABC este 3, DOMNIȘOARĂ= 1. Aflați volumul piramidei.

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC medianele bazei se intersectează într-un punct M. Volumul piramidei este 1, DOMNIȘOARĂ= 1. Aflați aria triunghiului ABC.

Să terminăm cu asta. După cum puteți vedea, sarcinile sunt rezolvate în unul sau doi pași. Pe viitor vom lua în considerare și alte probleme din această parte, unde se dau corpuri de revoluție, nu ratați!

Vă doresc succes!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Introducere

Când am început să studiem figurile stereometrice, am atins subiectul „Piramida”. Ne-a plăcut această temă pentru că piramida este foarte des folosită în arhitectură. Și din moment ce viitoarea noastră profesie de arhitect, inspirată de această figură, credem că ea va putea să ne împingă spre proiecte mărețe.

Forța structurilor arhitecturale, cea mai importantă calitate a acestora. Asociând rezistența, în primul rând, cu materialele din care sunt create și, în al doilea rând, cu caracteristicile soluțiilor de proiectare, se dovedește că rezistența unei structuri este direct legată de forma geometrică care este de bază pentru aceasta.

Cu alte cuvinte, vorbim despre figura geometrică care poate fi considerată ca model al formei arhitecturale corespunzătoare. Se pare că forma geometrică determină și rezistența structurii arhitecturale.

Piramidele egiptene au fost mult timp considerate cea mai durabilă structură arhitecturală. După cum știți, au forma unor piramide patruunghiulare obișnuite.

Această formă geometrică este cea care oferă cea mai mare stabilitate datorită suprafeței mari de bază. Pe de altă parte, forma piramidei asigură că masa scade pe măsură ce înălțimea deasupra solului crește. Aceste două proprietăți sunt cele care fac piramida stabilă și, prin urmare, puternică în condițiile gravitației.

Obiectivul proiectului: învață ceva nou despre piramide, aprofundează cunoștințele și găsește aplicații practice.

Pentru a atinge acest obiectiv, a fost necesar să se rezolve următoarele sarcini:

Aflați informații istorice despre piramidă

Considerați piramida ca o figură geometrică

Găsiți aplicații în viață și arhitectură

Găsiți asemănări și diferențe între piramidele situate în diferite părți ale lumii

Partea teoretică

Informații istorice

Începutul geometriei piramidei a fost stabilit în Egiptul antic și Babilonul, dar a fost dezvoltat activ în Grecia antică. Primul care a stabilit cu ce este egal volumul piramidei a fost Democrit, iar Eudox din Cnidus a dovedit-o. Matematicianul grec antic Euclid a sistematizat cunoștințele despre piramidă în volumul XII al „Începuturilor” sale și, de asemenea, a scos la iveală prima definiție a piramidei: o figură corporală delimitată de planuri care converg dintr-un singur plan într-un punct.

Mormintele faraonilor egipteni. Cea mai mare dintre ele - piramidele lui Keops, Khafre și Mikerin din El Giza în timpurile străvechi au fost considerate una dintre cele șapte minuni ale lumii. Ridicarea piramidei, în care grecii și romanii au văzut deja un monument al mândriei fără precedent a regilor și cruzimii, care a condamnat întregul popor din Egipt la o construcție fără sens, a fost cel mai important act de cult și trebuia să exprime, aparent, identitatea mistică a țării și a conducătorului ei. Populația țării a lucrat la construcția mormântului în perioada anului lipsită de muncă agricolă. O serie de texte mărturisesc atenția și grija pe care regii înșiși (deși dintr-o perioadă mai târziu) le-au acordat construcției mormântului lor și a constructorilor acestuia. De asemenea, se știe despre onorurile speciale de cult care s-au dovedit a fi piramida însăși.

Noțiuni de bază

Piramidă Se numește un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun.

Apotema- inaltimea fetei laterale a unei piramide regulate, trasa din varful acesteia;

Fețe laterale- triunghiuri convergente în vârf;

Coaste laterale- laturile comune ale fetelor laterale;

vârful piramidei- un punct care unește marginile laterale și nu se află în planul bazei;

Înălţime- un segment de perpendiculară trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei);

Secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei care trece prin varf si diagonala bazei;

Baza- un poligon care nu aparține vârfului piramidei.

Principalele proprietăți ale piramidei corecte

Marginile laterale, fețele laterale și respectiv apotemele sunt egale.

Unghiurile diedrice de la bază sunt egale.

Unghiurile diedrice de la marginile laterale sunt egale.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile de bază.

Fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale.

Formule piramidale de bază

Aria suprafeței laterale și complete a piramidei.

Aria suprafeței laterale a piramidei (plină și trunchiată) este suma ariilor tuturor fețelor sale laterale, aria suprafeței totale este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Teoremă: Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul perimetrului bazei și apotema piramidei.

p- perimetrul bazei;

h- apotema.

Aria suprafețelor laterale și complete ale unei piramide trunchiate.

p1, p 2 - perimetrele de bază;

h- apotema.

R- suprafața totală a unei piramide trunchiate obișnuite;

partea S- zona suprafeței laterale a unei piramide trunchiate regulate;

S1 + S2- suprafata de baza

Volumul piramidei

Formă Scara de volum este folosită pentru piramide de orice fel.

H este înălțimea piramidei.

Unghiurile piramidei

Unghiurile care sunt formate de fața laterală și baza piramidei se numesc unghiuri diedrice la baza piramidei.

Un unghi diedru este format din două perpendiculare.

Pentru a determina acest unghi, de multe ori trebuie să utilizați teorema celor trei perpendiculare.

Se numesc unghiurile care sunt formate de o muchie laterală și proiecția acesteia pe planul bazei unghiuri dintre marginea laterală și planul bazei.

Unghiul format din două fețe laterale se numește unghi diedru la marginea laterală a piramidei.

Unghiul, care este format din două margini laterale ale unei fețe ale piramidei, se numește colțul din vârful piramidei.

Secțiuni ale piramidei

Suprafața unei piramide este suprafața unui poliedru. Fiecare dintre fețele sale este un plan, deci secțiunea piramidei dată de planul secant este o linie întreruptă constând din drepte separate.

Secțiune diagonală

Secțiunea unei piramide printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu se află pe aceeași față se numește secțiune diagonală piramide.

Secțiuni paralele

Teorema:

Dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu baza, atunci marginile laterale și înălțimile piramidei sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

Secțiunea acestui plan este un poligon asemănător bazei;

Zonele secțiunii și ale bazei sunt legate între ele ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Tipuri de piramide

Piramida corectă- o piramidă, a cărei bază este un poligon regulat, iar vârful piramidei este proiectat în centrul bazei.

La piramida corectă:

1. coastele laterale sunt egale

2. fețele laterale sunt egale

3. apotemele sunt egale

4. unghiurile diedrice la bază sunt egale

5. unghiurile diedrice la marginile laterale sunt egale

6. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate vârfurile bazei

7. fiecare punct de înălțime este echidistant de toate fețele laterale

Piramida trunchiată- partea de piramidă cuprinsă între baza acesteia și un plan de tăiere paralel cu bază.

Baza și secțiunea corespunzătoare a unei piramide trunchiate se numesc bazele unei piramide trunchiate.

Se numește perpendiculară trasată din orice punct al unei baze pe planul alteia înălțimea trunchiului piramidei.

Sarcini

Numarul 1. Într-o piramidă patruunghiulară regulată, punctul O este centrul bazei, SO=8 cm, BD=30 cm.Aflați muchia laterală SA.

Rezolvarea problemelor

Numarul 1. Într-o piramidă obișnuită, toate fețele și marginile sunt egale.

Să luăm în considerare OSB: OSB-dreptunghi dreptunghiular, deoarece.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida în arhitectură

Piramidă - o structură monumentală sub forma unei piramide geometrice regulate obișnuite, în care laturile converg într-un punct. După scopul funcțional, piramidele în antichitate erau un loc de înmormântare sau de cult. Baza unei piramide poate fi triunghiulară, pătrangulară sau poligonală cu un număr arbitrar de vârfuri, dar cea mai comună versiune este baza pătraunghiulară.

Se cunosc un număr considerabil de piramide, construite de diferite culturi ale lumii antice, în principal ca temple sau monumente. Cele mai mari piramide sunt piramidele egiptene.

Pe tot Pământul puteți vedea structuri arhitecturale sub formă de piramide. Clădirile piramidale amintesc de cele mai vechi timpuri și arată foarte frumos.

Piramidele egiptene sunt cele mai mari monumente de arhitectură ale Egiptului Antic, printre care una dintre „Șapte minuni ale lumii” este piramida lui Keops. De la picior până în vârf, ajunge la 137,3 m, iar înainte de a pierde vârful, înălțimea ei era de 146,7 m.

Clădirea postului de radio din capitala Slovaciei, asemănătoare cu o piramidă inversată, a fost construită în 1983. Pe lângă birouri și spații de servicii, în interiorul volumului există o sală de concerte destul de spațioasă, care are una dintre cele mai mari orgi din Slovacia .

Luvru, care „este la fel de tăcut și maiestuos ca o piramidă” a suferit multe schimbări de-a lungul secolelor înainte de a deveni cel mai mare muzeu din lume. S-a născut ca cetate, ridicată de Filip Augustus în 1190, care s-a transformat în scurt timp într-o reședință regală. În 1793 palatul a devenit muzeu. Colecțiile sunt îmbogățite prin legaturi sau achiziții.

Definiție

Piramidă este un poliedru compus dintr-un poligon \(A_1A_2...A_n\) și \(n\) triunghiuri cu un vârf comun \(P\) (nu se află în planul poligonului) și laturile opuse care coincid cu laturile lui poligonul.
Denumire: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplu: piramidă pentagonală \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triunghiuri \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) etc. numit fetele laterale piramide, segmente \(PA_1, PA_2\), etc. - coaste laterale, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – bază, punctul \(P\) – vârf.

Înălţime Piramidele sunt o perpendiculară coborâtă din vârful piramidei până în planul bazei.

O piramidă cu un triunghi la bază se numește tetraedru.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

\((a)\) marginile laterale ale piramidei sunt egale;

\((b)\) înălțimea piramidei trece prin centrul cercului circumscris lângă bază;

\((c)\) nervurile laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.

\((d)\) fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la același unghi.

tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară, ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale egale.

Teorema

Condițiile \((a), (b), (c), (d)\) sunt echivalente.

Dovada

Desenați înălțimea piramidei \(PH\) . Fie \(\alpha\) planul bazei piramidei.

1) Să demonstrăm că \((a)\) implică \((b)\) . Fie \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

pentru că \(PH\perp \alpha\), atunci \(PH\) este perpendicular pe orice dreptă situată în acest plan, deci triunghiurile sunt dreptunghiulare. Deci aceste triunghiuri sunt egale în cateta comună \(PH\) și ipotenuză \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Deci \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Aceasta înseamnă că punctele \(A_1, A_2, ..., A_n\) sunt la aceeași distanță de punctul \(H\) , prin urmare, ele se află pe același cerc cu raza \(A_1H\) . Acest cerc, prin definiție, este circumscris poligonului \(A_1A_2...A_n\) .

2) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiulară și egală în două picioare. Prin urmare, unghiurile lor sunt de asemenea egale, prin urmare, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Să demonstrăm că \((c)\) implică \((a)\) .

Similar cu primul punct, triunghiuri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiular și de-a lungul piciorului și unghi ascuțit. Aceasta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale, adică \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((d)\) .

pentru că într-un poligon regulat, centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid (în general, acest punct se numește centrul unui poligon regulat), atunci \(H\) este centrul cercului înscris. Să desenăm perpendiculare din punctul \(H\) spre laturile bazei: \(HK_1, HK_2\), etc. Acestea sunt razele cercului înscris (prin definiție). Apoi, conform TTP, (\(PH\) este o perpendiculară pe plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sunt proiecții perpendiculare pe laturi) oblice \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular pe laturile \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectiv. Deci, prin definiție \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H\) egal cu unghiurile dintre fețele laterale și bază. pentru că triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghic pe două catete), apoi unghiurile \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H, ...\) sunt egale.

5) Să demonstrăm că \((d)\) implică \((b)\) .

Similar cu al patrulea punct, triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare de-a lungul catetei și unghi ascuțit), ceea ce înseamnă că segmentele \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sunt egale. Prin urmare, prin definiție, \(H\) este centrul unui cerc înscris în bază. Dar de atunci pentru poligoane regulate, centrele cercului înscris și circumscris coincid, atunci \(H\) este centrul cercului circumscris. Chtd.

Consecinţă

Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale.

Definiție

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemă.
Apotemele tuturor fețelor laterale ale unei piramide regulate sunt egale între ele și sunt, de asemenea, mediane și bisectoare.

Notite importante

1. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate scade până la punctul de intersecție al înălțimilor (sau bisectoarelor, sau medianelor) bazei (baza este un triunghi regulat).

2. Înălțimea unei piramide patruunghiulare regulate scade până la punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un pătrat).

3. Înălțimea unei piramide hexagonale regulate scade până la punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un hexagon regulat).

4. Înălțimea piramidei este perpendiculară pe orice linie dreaptă aflată la bază.

Definiție

Piramida se numește dreptunghiular dacă una dintre marginile sale laterale este perpendiculară pe planul bazei.

Notite importante

1. Pentru o piramidă dreptunghiulară, muchia perpendiculară pe bază este înălțimea piramidei. Adică \(SR\) este înălțimea.

2. Pentru că \(SR\) perpendicular pe orice dreptă de la bază, atunci \(\triunghi SRM, \triunghi SRP\) sunt triunghiuri dreptunghiulare.

3. Triunghiuri \(\triunghi SRN, \triunghi SRK\) sunt de asemenea dreptunghiulare.
Adică orice triunghi format din această muchie și diagonala care iese din vârful acestei muchii, care se află la bază, va fi dreptunghiular.

\[(\Large(\text(Volumul și suprafața piramidei)))\]

Teorema

Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea piramidei: \

Consecințe

Fie \(a\) latura bazei, \(h\) înălțimea piramidei.

1. Volumul unei piramide triunghiulare regulate este \(V_(\text(triunghi dreptunghic pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate este \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumul unei piramide hexagonale regulate este \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumul unui tetraedru regulat este \(V_(\text(right tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Aria suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.

\[(\Large(\text(piramida trunchiată)))\]

Definiție

Considerăm o piramidă arbitrară \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Să desenăm un plan paralel cu baza piramidei printr-un anumit punct situat pe marginea laterală a piramidei. Acest plan va împărți piramida în două poliedre, dintre care una este o piramidă (\(PB_1B_2...B_n\) ), iar cealaltă se numește trunchi de piramidă(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida trunchiată are două baze - poligoane \(A_1A_2...A_n\) și \(B_1B_2...B_n\) , care sunt similare între ele.

Înălțimea unei piramide trunchiate este o perpendiculară trasată de la un punct al bazei superioare până la planul bazei inferioare.

Notite importante

1. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

2. Segmentul care leagă centrele bazelor unei piramide trunchiate obișnuite (adică o piramidă obținută printr-o secțiune a unei piramide regulate) este o înălțime.

Ipoteză: credem că perfecțiunea formei piramidei se datorează legilor matematice încorporate în forma acesteia.

Ţintă: după ce a studiat piramida ca corp geometric, pentru a explica perfecțiunea formei sale.

Sarcini:

1. Dați o definiție matematică a unei piramide.

2. Studiați piramida ca corp geometric.

3. Înțelegeți ce cunoștințe matematice au pus egiptenii în piramidele lor.

Întrebări private:

1. Ce este o piramidă ca corp geometric?

2. Cum poate fi explicată matematic forma unică a piramidei?

3. Ce explică minunile geometrice ale piramidei?

4. Ce explică perfecțiunea formei piramidei?

Definiția piramidei.

PIRAMIDĂ (din greacă pyramis, genul n. pyramidos) - un poliedru, a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun (figura). În funcție de numărul de colțuri ale bazei, piramidele sunt triunghiulare, patrulatere etc.

PIRAMIDĂ - o structură monumentală care are forma geometrică a unei piramide (uneori și în trepte sau în formă de turn). Mormintele gigantice ale faraonilor egipteni antici din mileniul III-II i.Hr. sunt numite piramide. e., precum și vechile socluri americane ale templelor (în Mexic, Guatemala, Honduras, Peru) asociate cu cultele cosmologice.

Este posibil ca cuvântul grecesc „piramidă” să provină din expresia egipteană per-em-us, adică dintr-un termen care însemna înălțimea piramidei. Proeminentul egiptolog rus V. Struve credea că grecescul „puram…j” provine din egipteanul antic „p”-mr”.

Din istorie. După ce am studiat materialul din manualul „Geometrie” de către autorii lui Atanasyan. Butuzova și alții, am aflat că: Un poliedru compus din n-gon A1A2A3 ... Un și n triunghiuri RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 se numește piramidă. Poligonul A1A2A3 ... An este baza piramidei, iar triunghiurile RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 sunt fețele laterale ale piramidei, P este vârful piramidei, segmentele RA1, RA2, .. ., RAn sunt marginile laterale.

Cu toate acestea, o astfel de definiție a piramidei nu a existat întotdeauna. De exemplu, matematicianul grec antic, autorul tratatelor teoretice de matematică care au ajuns până la noi, Euclid, definește o piramidă ca fiind o figură solidă delimitată de planuri care converg de la un plan la un punct.

Dar această definiție a fost criticată deja în antichitate. Deci Heron a propus următoarea definiție a unei piramide: „Aceasta este o figură delimitată de triunghiuri care converg într-un punct și a cărei bază este un poligon.”

Grupul nostru, comparând aceste definiții, a ajuns la concluzia că nu au o formulare clară a conceptului de „fundație”.

Am studiat aceste definiții și am găsit definiția lui Adrien Marie Legendre, care în 1794 în lucrarea sa „Elementele de geometrie” definește piramida astfel: „Piramida este o figură corporală formată din triunghiuri care converg într-un punct și se termină pe diferite laturi ale unui. bază plată.”

Ni se pare că ultima definiție oferă o idee clară a piramidei, deoarece se referă la faptul că baza este plată. O altă definiție a piramidei a apărut într-un manual din secolul al XIX-lea: „o piramidă este un unghi solid intersectat de un plan”.

Piramida ca corp geometric.

Acea. O piramidă este un poliedru, una dintre fețele (baza) este un poligon, celelalte fețe (laturile) sunt triunghiuri care au un vârf comun (vârful piramidei).

Se numește perpendiculara trasată din vârful piramidei pe planul bazei înălţimeh piramide.

Pe lângă o piramidă arbitrară, există piramida dreapta, la baza căruia se află un poligon regulat şi trunchi de piramidă.

În figură - piramida PABCD, ABCD - baza sa, PO - înălțimea.

Suprafata intreaga O piramidă se numește suma ariilor tuturor fețelor sale.

Plin = Sside + Sbase, Unde Sside este suma suprafețelor fețelor laterale.

volumul piramidei se gaseste dupa formula:

V=1/3Sbază h, unde Sosn. - suprafata de baza h- înălțime.

Axa unei piramide regulate este o linie dreaptă care conține înălțimea acesteia.
Apothem ST - înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite.

Aria feței laterale a unei piramide regulate este exprimată astfel: Sside. =1/2P h, unde P este perimetrul bazei, h- inaltimea fetei laterale (apotema unei piramide regulate). Dacă piramida este străbătută de planul A'B'C'D' paralel cu baza, atunci:

1) marginile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

2) în secţiune se obţine un poligon A'B'C'D' asemănător bazei;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Bazele piramidei trunchiate sunt poligoane asemănătoare ABCD și A`B`C`D`, fețele laterale sunt trapeze.

Înălţime trunchi de piramidă - distanța dintre baze.

Volum trunchiat piramida se gaseste dupa formula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite se exprimă după cum urmează: Sside. = ½(P+P') h, unde P și P’ sunt perimetrele bazelor, h- înălțimea feței laterale (apotema unui obișnuit trunchiat de sărbători

Secțiuni ale piramidei.

Secțiunile piramidei prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri.

Secțiunea care trece prin două margini laterale neadiacente ale piramidei se numește secțiune diagonală.

Dacă secțiunea trece printr-un punct de pe marginea laterală și partea bazei, atunci această latură va fi urma sa pe planul bazei piramidei.

O secțiune care trece printr-un punct situat pe fața piramidei și o urmă dată a secțiunii pe planul bazei, atunci construcția trebuie efectuată după cum urmează:

găsiți punctul de intersecție al planului feței date și urma secțiunii piramidei și desemnați-l;

construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat și punctul de intersecție rezultat;

· Repetați acești pași pentru fețele următoare.

, care corespunde raportului catetelor unui triunghi dreptunghic 4:3. Acest raport al catetelor corespunde binecunoscutului triunghi dreptunghic cu laturile 3:4:5, care se numește triunghiul „perfect”, „sacru” sau „egiptean”. Potrivit istoricilor, triunghiului „egiptean” i s-a dat un sens magic. Plutarh a scris că egiptenii comparau natura universului cu un triunghi „sacru”; au asemănat simbolic piciorul vertical cu soțul, baza cu soția, iar ipotenuza cu ceea ce se naște din ambele.

Pentru un triunghi 3:4:5, egalitatea este adevărată: 32 + 42 = 52, care exprimă teorema lui Pitagora. Nu este această teoremă pe care preoții egipteni au vrut să o perpetueze prin ridicarea unei piramide pe baza triunghiului 3:4:5? Este greu de găsit un exemplu mai bun pentru a ilustra teorema lui Pitagora, care era cunoscută egiptenilor cu mult înainte de descoperirea ei de către Pitagora.

Astfel, ingenioșii creatori ai piramidelor egiptene au căutat să impresioneze descendenții îndepărtați cu profunzimea cunoștințelor lor și au reușit acest lucru alegând ca „idee geometrică principală” pentru piramida lui Keops – triunghiul dreptunghic „de aur” și pentru piramida lui Khafre – triunghiul „sacru” sau „egiptean”.

Foarte des, în cercetările lor, oamenii de știință folosesc proprietățile piramidelor cu proporțiile Secțiunii de Aur.

În dicționarul enciclopedic matematic, este dată următoarea definiție a secțiunii de aur - aceasta este o împărțire armonică, diviziune în raport extrem și mediu - împărțirea segmentului AB în două părți, astfel încât cea mai mare parte din AC să fie media. proporțional între întregul segment AB și partea sa mai mică CB.

Constatarea algebrică a secțiunii de aur a unui segment AB = a reduce la rezolvarea ecuației a: x = x: (a - x), de unde x este aproximativ egal cu 0,62a. Raportul x poate fi exprimat ca fracții 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, unde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sunt numere Fibonacci.

Construcția geometrică a secțiunii de aur a segmentului AB se realizează după cum urmează: în punctul B, perpendiculara pe AB este restabilită, segmentul BE \u003d 1/2 AB este așezat pe acesta, A și E sunt conectate, DE \ u003d BE este amânat și, în cele din urmă, AC \u003d AD, atunci egalitatea AB este îndeplinită: CB = 2: 3.

Raportul de aur este adesea folosit în opere de artă, arhitectură și se găsește în natură. Exemple vii sunt sculptura lui Apollo Belvedere, Partenonul. În timpul construcției Partenonului s-a folosit raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia și acest raport este de 0,618. Obiectele din jurul nostru oferă, de asemenea, exemple ale raportului de aur, de exemplu, legăturile multor cărți au un raport lățime/lungime apropiat de 0,618. Având în vedere dispunerea frunzelor pe o tulpină comună a plantelor, se poate observa că între fiecare două perechi de frunze, a treia este situată în locul Raportului de Aur (diapozitive). Fiecare dintre noi „poartă” Raportul de Aur cu noi „în mâinile noastre” - acesta este raportul dintre falangele degetelor.

Datorită descoperirii mai multor papirusuri matematice, egiptologii au aflat câte ceva despre sistemele egiptene antice de calcul și măsură. Sarcinile cuprinse în ele erau rezolvate de către cărturari. Unul dintre cele mai faimoase este Papirusul matematic Rhind. Studiind aceste puzzle-uri, egiptologii au învățat cum s-au ocupat egiptenii antici cu diferitele cantități care apăreau la calcularea măsurilor de greutate, lungime și volum, care foloseau adesea fracții, precum și modul în care se ocupau cu unghiurile.

Vechii egipteni foloseau o metodă de calcul a unghiurilor bazată pe raportul dintre înălțimea și baza unui triunghi dreptunghic. Ei au exprimat orice unghi în limbajul gradientului. Gradientul pantei a fost exprimat ca raport al unui număr întreg, numit „seked”. În Mathematics in the Time of the Pharaohs, Richard Pillins explică: „Seked-ul unei piramide regulate este înclinarea oricăreia dintre cele patru fețe triunghiulare față de planul bazei, măsurată cu un al n-lea număr de unități orizontale per unitate verticală de cotă. . Astfel, această unitate de măsură este echivalentă cu cotangentei noastre moderne a unghiului de înclinare. Prin urmare, cuvântul egiptean „seked” este legat de cuvântul nostru modern „gradient”.

Cheia numerică a piramidelor constă în raportul dintre înălțimea lor și bază. În termeni practici, acesta este cel mai simplu mod de a realiza șabloanele necesare pentru a verifica constant unghiul corect de înclinare pe tot parcursul construcției piramidei.

Egiptologii ar fi bucuroși să ne convingă că fiecare faraon era dornic să-și exprime individualitatea, de unde și diferențele de unghiuri de înclinare pentru fiecare piramidă. Dar ar putea exista un alt motiv. Poate că toți au vrut să întruchipeze diferite asociații simbolice ascunse în proporții diferite. Totuși, unghiul piramidei lui Khafre (bazat pe triunghi (3:4:5) apare în cele trei probleme prezentate de piramide din Papirusul matematic Rhind). Deci această atitudine era bine cunoscută vechilor egipteni.

Pentru a fi corect cu egiptologii care susțin că egiptenii antici nu cunoșteau triunghiul 3:4:5, să spunem că lungimea ipotenuzei 5 nu a fost menționată niciodată. Dar problemele matematice referitoare la piramide sunt rezolvate întotdeauna pe baza unghiului căutat - raportul dintre înălțime și bază. Deoarece lungimea ipotenuzei nu a fost niciodată menționată, s-a ajuns la concluzia că egiptenii nu au calculat niciodată lungimea celei de-a treia laturi.

Raporturile înălțime-bază folosite în piramidele din Giza erau, fără îndoială, cunoscute egiptenilor antici. Este posibil ca aceste rapoarte pentru fiecare piramidă să fi fost alese în mod arbitrar. Totuși, acest lucru contrazice importanța acordată simbolismului numeric în toate tipurile de artă plastică egipteană. Este foarte probabil ca astfel de relații să fi avut o importanță semnificativă, deoarece exprimau idei religioase specifice. Cu alte cuvinte, întregul complex din Giza a fost supus unui design coerent, conceput pentru a reflecta un fel de temă divină. Acest lucru ar explica de ce designerii au ales unghiuri diferite pentru cele trei piramide.

În Secretul lui Orion, Bauval și Gilbert au prezentat dovezi convingătoare ale conexiunii dintre piramidele din Giza cu constelația lui Orion, în special cu stelele centurii lui Orion.Aceeași constelație este prezentă în mitul lui Isis și Osiris și acolo este un motiv pentru a considera fiecare piramidă ca o imagine a uneia dintre cele trei zeități principale - Osiris, Isis și Horus.

MINUNI „GEOMETRICE”.

Printre grandioasele piramide ale Egiptului, un loc aparte îl ocupă Marea Piramidă a faraonului Keops (Khufu). Înainte de a trece la analiza formei și dimensiunii piramidei lui Keops, ar trebui să ne amintim ce sistem de măsuri au folosit egiptenii. Egiptenii aveau trei unități de lungime: „cot” (466 mm), egal cu șapte „palme” (66,5 mm), care, la rândul lor, era egal cu patru „degete” (16,6 mm).

Să analizăm dimensiunea piramidei Cheops (Fig. 2), urmând raționamentul dat în minunata carte a savantului ucrainean Nikolai Vasyutinskiy „Proporția de aur” (1990).

Majoritatea cercetătorilor sunt de acord că lungimea laturii bazei piramidei, de exemplu, GF este egal cu L\u003d 233,16 m. Această valoare corespunde aproape exact la 500 de „coți”. Respectarea deplină a 500 de „coți” va fi dacă lungimea „cotului” este considerată egală cu 0,4663 m.

Înălțimea piramidei ( H) este estimat de cercetători în mod diferit de la 146,6 la 148,2 m. Și în funcție de înălțimea acceptată a piramidei, toate rapoartele elementelor sale geometrice se modifică. Care este motivul diferențelor în estimarea înălțimii piramidei? Cert este că, strict vorbind, piramida lui Keops este trunchiată. Platforma sa superioară are astăzi o dimensiune de aproximativ 10 ´ 10 m, iar în urmă cu un secol avea 6 ´ 6 m. Este evident că vârful piramidei a fost demontat și nu corespunde cu cel inițial.

Estimând înălțimea piramidei, este necesar să se țină seama de un astfel de factor fizic precum „proiectul” structurii. Multă vreme, sub influența presiunii colosale (atingând 500 de tone la 1 m2 de suprafață inferioară), înălțimea piramidei a scăzut față de înălțimea ei inițială.

Care a fost înălțimea inițială a piramidei? Această înălțime poate fi recreată dacă găsiți „ideea geometrică” de bază a piramidei.

Figura 2.

În 1837, colonelul englez G. Wise a măsurat unghiul de înclinare al fețelor piramidei: s-a dovedit a fi egal cu A= 51°51". Această valoare este încă recunoscută de majoritatea cercetătorilor de astăzi. Valoarea indicată a unghiului corespunde tangentei (tg A), egal cu 1,27306. Această valoare corespunde raportului dintre înălțimea piramidei AC la jumătatea bazei sale CB(Fig.2), adică AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

Și aici cercetătorii au avut o mare surpriză!.png" width="25" height="24">= 1.272. Comparând această valoare cu valoarea tg A= 1,27306, vedem că aceste valori sunt foarte apropiate unele de altele. Dacă luăm unghiul A\u003d 51 ° 50", adică pentru a-l reduce cu doar un minut de arc, apoi valoarea A va deveni egal cu 1,272, adică va coincide cu valoarea lui . De remarcat că în 1840 G. Wise și-a repetat măsurătorile și a clarificat că valoarea unghiului A=51°50".

Aceste măsurători i-au condus pe cercetători la următoarea ipoteză foarte interesantă: triunghiul ASV al piramidei lui Keops s-a bazat pe relația AC / CB = = 1,272!

Luați în considerare acum un triunghi dreptunghic ABC, în care raportul picioarelor AC / CB= (Fig.2). Dacă acum lungimile laturilor dreptunghiului ABC notează prin X, y, z, și, de asemenea, să ia în considerare faptul că raportul y/X= , apoi, în conformitate cu teorema lui Pitagora, lungimea z se poate calcula cu formula:

Dacă acceptă X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figura 3 Triunghi dreptunghic „de aur”.

Un triunghi dreptunghic în care laturile sunt legate ca t:de aur" triunghi dreptunghic.

Apoi, dacă luăm ca bază ipoteza că principala „idee geometrică” a piramidei lui Cheops este triunghiul dreptunghic „de aur”, atunci de aici este ușor de calculat înălțimea „proiectului” a piramidei lui Cheops. Este egal cu:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Să derivăm acum câteva alte relații pentru piramida lui Keops, care decurg din ipoteza „de aur”. În special, găsim raportul dintre zona exterioară a piramidei și zona bazei sale. Pentru a face acest lucru, luăm lungimea piciorului CB pe unitate, adică: CB= 1. Dar apoi lungimea laturii bazei piramidei GF= 2 și aria bazei EFGH va fi egal cu SEFGH = 4.

Să calculăm acum aria feței laterale a piramidei lui Keops SD. Pentru că înălțimea AB triunghi AEF este egal cu t, atunci aria feței laterale va fi egală cu SD = t. Apoi, aria totală a tuturor celor patru fețe laterale ale piramidei va fi egală cu 4 t, iar raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și zona de bază va fi egal cu raportul de aur! Asta e - principalul secret geometric al piramidei lui Keops!

Grupul „minunilor geometrice” al piramidei lui Keops include proprietățile reale și artificiale ale relației dintre diferitele dimensiuni din piramidă.

De regulă, ele se obțin în căutarea unei „constante”, în special, a numărului „pi” (numărul Ludolf), egal cu 3,14159...; bazele logaritmilor naturali „e” (numărul lui Napier) egale cu 2,71828...; numărul „F”, numărul „secțiunii de aur”, egal, de exemplu, 0,618 ... etc..

Puteți numi, de exemplu: 1) Proprietatea lui Herodot: (Înălțime) 2 \u003d 0,5 st. principal x Apothem; 2) Proprietatea lui V. Pret: Inaltime: 0,5 st. osn \u003d Rădăcină pătrată a lui „Ф”; 3) Proprietatea lui M. Eist: Perimetrul bazei: 2 Înălțime = „Pi”; într-o interpretare diferită - 2 linguri. principal : Înălțime = „Pi”; 4) Proprietatea lui G. Reber: Raza cercului înscris: 0,5 st. principal = "F"; 5) Proprietatea lui K. Kleppish: (Sf. principal.) 2: 2 (st. principal. x Apothem) \u003d (st. principal. W. Apothem) \u003d 2 (st. principal. x Apothem) : (( 2 st. principal X Apothem) + (st. principal) 2). etc. Puteți veni cu o mulțime de astfel de proprietăți, mai ales dacă conectați două piramide adiacente. De exemplu, ca „Proprietățile lui A. Arefiev” se poate menționa că diferența dintre volumele piramidei lui Keops și piramidei lui Khafre este egală cu dublul volumului piramidei lui Menkaure...

Multe prevederi interesante, în special, despre construcția piramidelor conform „secțiunii de aur” sunt expuse în cărțile lui D. Hambidge „Dynamic Symmetry in Architecture” și M. Geek „Aesthetics of Proportion in Nature and Art”. Amintiți-vă că „secțiunea de aur” este împărțirea segmentului într-un astfel de raport, când partea A este de atâtea ori mai mare decât partea B, de câte ori A este mai mică decât întregul segment A + B. Raportul A / B este egal cu numărul „Ф” == 1.618... Utilizarea „secțiunii de aur” este indicată nu numai în piramidele individuale, ci și în întregul complex de piramide din Giza.

Cel mai curios lucru, însă, este că una și aceeași piramidă a lui Keops pur și simplu „nu poate” conține atât de multe proprietăți minunate. Luând o anumită proprietate una câte una, o puteți „ajusta”, dar toate dintr-o dată nu se potrivesc - nu coincid, se contrazic. Prin urmare, dacă, de exemplu, la verificarea tuturor proprietăților, se ia inițial una și aceeași parte a bazei piramidei (233 m), atunci înălțimile piramidelor cu proprietăți diferite vor fi și ele diferite. Cu alte cuvinte, există o anumită „familie” de piramide, similară în exterior cu cele ale lui Keops, dar corespunzătoare unor proprietăți diferite. Rețineți că nu există nimic deosebit de miraculos în proprietățile „geometrice” - multe apar pur automat, din proprietățile figurii în sine. Un „miracol” ar trebui considerat doar ceva evident imposibil pentru vechii egipteni. Aceasta, în special, include miracole „cosmice”, în care măsurătorile piramidei lui Keops sau ale complexului piramidal din Giza sunt comparate cu unele măsurători astronomice și sunt indicate numere „pare”: de un milion de ori, de un miliard de ori mai puțin și curând. Să luăm în considerare câteva relații „cosmice”.

Una dintre afirmații este aceasta: „dacă împărțim latura bazei piramidei la lungimea exactă a anului, obținem exact 10 milioane de parte din axa pământului”. Calculați: împărțiți 233 la 365, obținem 0,638. Raza Pământului este de 6378 km.

O altă afirmație este de fapt opusă celei anterioare. F. Noetling a subliniat că, dacă utilizați „cotul egiptean” inventat de el, atunci partea piramidei va corespunde „cea mai precisă durată a anului solar, exprimată la cea mai apropiată miliardime dintr-o zi” - 365.540.903.777 .

Afirmația lui P. Smith: „Înălțimea piramidei este exact o miliardime din distanța de la Pământ la Soare”. Deși se ia de obicei înălțimea de 146,6 m, Smith a considerat-o ca 148,2 m. Conform măsurătorilor radar moderne, semiaxa majoră a orbitei pământului este 149.597.870 + 1.6 km. Aceasta este distanța medie de la Pământ la Soare, dar la periheliu este cu 5.000.000 de kilometri mai mică decât la afeliu.

Ultima declarație curioasă:

„Cum să explic că masele piramidelor lui Keops, Khafre și Menkaure sunt legate între ele, ca și masele planetelor Pământ, Venus, Marte?” Să calculăm. Masele celor trei piramide sunt legate astfel: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Raporturile maselor celor trei planete: Venus - 0,815; Teren - 1.000; Marte - 0,108.

Deci, în ciuda scepticismului, să remarcăm armonia binecunoscută a construcției afirmațiilor: 1) înălțimea piramidei, ca linie „mergând în spațiu” – corespunde distanței de la Pământ la Soare; 2) partea bazei piramidei cea mai apropiată „de substrat”, adică de Pământ, este responsabilă de raza pământului și de circulația pământului; 3) volumele piramidei (citește - mase) corespund raportului dintre masele planetelor cele mai apropiate de Pământ. Un „cifr” similar poate fi urmărit, de exemplu, în limbajul albinelor, analizat de Karl von Frisch. Cu toate acestea, ne abținem de la a comenta acest lucru deocamdată.

FORMA PIRAMIDELOR

Celebra formă tetraedrică a piramidelor nu a apărut imediat. Sciții au făcut înmormântări sub formă de dealuri de pământ - tumule. Egiptenii au construit „dealuri” din piatră – piramide. Acest lucru s-a întâmplat pentru prima dată după unificarea Egiptului de Sus și de Jos, în secolul al 28-lea î.Hr., când întemeietorul dinastiei a III-a, faraonul Djoser (Zoser), s-a confruntat cu sarcina de a întări unitatea țării.

Și aici, potrivit istoricilor, „noul concept de îndumnezeire” al țarului a jucat un rol important în întărirea puterii centrale. Deși înmormântările regale se distingeau printr-o splendoare mai mare, ele nu diferă în principiu de mormintele nobililor de curte, erau aceleași structuri - mastabas. Deasupra camerei cu sarcofagul ce conținea mumia a fost turnat un deal dreptunghiular de pietre mici, unde a fost apoi așezată o mică clădire din blocuri mari de piatră - „mastaba” (în arabă – „bancă”). Pe locul mastabei predecesorului său, Sanakht, faraonul Djoser a ridicat prima piramidă. A fost treptat și a fost o etapă vizibilă de tranziție de la o formă arhitecturală la alta, de la o mastaba la o piramidă.

În acest fel, faraonul a fost „înălțat” de înțeleptul și arhitectul Imhotep, care mai târziu a fost considerat magician și identificat de greci cu zeul Asclepius. Parcă s-au ridicat șase mastaba la rând. Mai mult, prima piramidă a ocupat o suprafață de 1125 x 115 metri, cu o înălțime estimată de 66 de metri (conform măsurilor egiptene - 1000 de „palmii”). La început, arhitectul a plănuit să construiască o mastaba, dar nu alungită, ci în plan pătrat. Ulterior a fost extins, dar din moment ce prelungirea s-a făcut mai jos, s-au format, parcă, două trepte.

Această situație nu l-a mulțumit pe arhitect, iar pe platforma de sus a unei mastabe plate uriașe, Imhotep a mai plasat trei, scăzând treptat spre vârf. Mormântul era sub piramidă.

Sunt cunoscute mai multe piramide în trepte, dar mai târziu constructorii au trecut la construirea unor piramide tetraedrice mai familiare. De ce, totuși, nu triunghiular sau, să zicem, octogonal? Un răspuns indirect este dat de faptul că aproape toate piramidele sunt perfect orientate către cele patru puncte cardinale și, prin urmare, au patru laturi. În plus, piramida era o „casă”, un înveliș al unei camere funerare patrulatere.

Dar ce a cauzat unghiul de înclinare al fețelor? În cartea „Principiul proporțiilor” un întreg capitol este dedicat acestui lucru: „Ce ar putea determina unghiurile piramidelor”. În special, se indică faptul că „imaginea spre care gravitează marile piramide ale Vechiului Regat este un triunghi cu unghi drept în vârf.

În spațiu, este un semioctaedru: o piramidă în care marginile și laturile bazei sunt egale, fețele sunt triunghiuri echilaterale.Anumite considerații sunt date pe acest subiect în cărțile lui Hambidge, Geek și alții.

Care este avantajul unghiului semioctaedrului? Conform descrierilor arheologilor și istoricilor, unele piramide s-au prăbușit sub propria greutate. Ceea ce era nevoie era un „unghi de durabilitate”, un unghi care era cel mai sigur din punct de vedere energetic. Pur empiric, acest unghi poate fi luat din unghiul vârfului într-un morman de nisip uscat care se prăbușește. Dar pentru a obține date exacte, trebuie să utilizați modelul. Luând patru bile bine fixate, trebuie să puneți a cincea pe ele și să măsurați unghiurile de înclinare. Cu toate acestea, aici puteți face o greșeală, prin urmare, un calcul teoretic vă ajută: ar trebui să conectați centrele bilelor cu linii (mental). La bază, obțineți un pătrat cu o latură egală cu dublul razei. Pătratul va fi doar baza piramidei, lungimea marginilor căreia va fi, de asemenea, egală cu dublul razei.

Astfel, un pachet dens de bile de tip 1:4 ne va oferi un semi-octaedru obișnuit.

Cu toate acestea, de ce multe piramide, gravitând spre o formă similară, totuși nu o păstrează? Probabil că piramidele îmbătrânesc. Contrar celebrului zical:

„Totul în lume se teme de timp, iar timpul se teme de piramide”, clădirile piramidelor trebuie să îmbătrânească, ele pot și ar trebui să aibă loc nu numai procesele de intemperii exterioare, ci și procesele de „contracție” internă. , din care piramidele pot deveni mai jos. Contracția este posibilă și pentru că, după cum au descoperit lucrările lui D. Davidovits, egiptenii antici foloseau tehnologia de a face blocuri din așchii de var, cu alte cuvinte, din „beton”. Aceste procese ar putea explica motivul distrugerii piramidei Medum, situată la 50 km sud de Cairo. Are 4600 de ani, dimensiunile bazei sunt 146 x 146 m, inaltimea este de 118 m. „De ce este atât de mutilat?” se întreabă V. Zamarovsky „Referințele obișnuite la efectele distructive ale timpului și „folosirea pietrei pentru alte clădiri” nu se potrivesc aici.

La urma urmei, cele mai multe dintre blocurile și plăcile de parament ale sale rămân încă pe loc, în ruinele de la poalele sale.” După cum vom vedea, o serie de prevederi fac să se creadă chiar și că celebra piramidă a lui Keops „s-a micșorat”. , pe toate imaginile antice, piramidele sunt ascuțite...

Forma piramidelor ar putea fi generată și prin imitație: niște modele naturale, „perfecțiune miraculoasă”, să zicem, niște cristale sub formă de octaedru.

Astfel de cristale ar putea fi cristale de diamant și aur. Un număr mare de semne „intersectate” pentru concepte precum Faraon, Soare, Aur, Diamant este caracteristic. Peste tot - nobil, genial (strălucitor), grozav, fără cusur și așa mai departe. Asemănările nu sunt întâmplătoare.

Cultul solar, după cum știți, era o parte importantă a religiei Egiptului antic. „Indiferent cum traducem numele celei mai mari piramide”, spune unul dintre manualele moderne, „Sky Khufu” sau „Sky Khufu”, asta însemna că regele este soarele. Dacă Khufu, în strălucirea puterii sale, și-a imaginat că este un al doilea soare, atunci fiul său Jedef-Ra a devenit primul dintre regii egipteni care a început să se numească „fiul lui Ra”, adică fiul lui Ra. Soare. Soarele a fost simbolizat de aproape toate popoarele drept „metal solar”, aur. „Marele disc de aur strălucitor” – așa ne-au numit egiptenii lumina zilei. Egiptenii cunoșteau foarte bine aurul, îi cunoșteau formele native, unde cristalele de aur pot apărea sub formă de octaedre.

Ca „probă de forme” și „piatra soarelui” – un diamant – este interesantă aici. Numele diamantului a venit tocmai din lumea arabă, „almas” – cel mai greu, cel mai greu, indestructibil. Vechii egipteni cunoșteau diamantul și proprietățile sale sunt destul de bune. Potrivit unor autori, ei au folosit chiar și țevi de bronz cu tăietori de diamant pentru găurire.

Africa de Sud este acum principalul furnizor de diamante, dar Africa de Vest este, de asemenea, bogată în diamante. Teritoriul Republicii Mali este chiar numit acolo „Țara diamantelor”. Între timp, pe teritoriul Mali locuiesc dogonii, alături de care susținătorii ipotezei paleovizitei pun multe speranțe (vezi mai jos). Diamantele nu puteau fi motivul contactelor vechilor egipteni cu această regiune. Totuși, într-un fel sau altul, este posibil ca tocmai prin copierea octaedrelor de diamant și cristale de aur să-i îndumnezeiască vechii egipteni pe faraoni, „indestructibili” ca diamantul și „străluciți” ca aurul, fiii Soarelui, comparabili. numai cu cele mai minunate creații ale naturii.

Concluzie:

După ce am studiat piramida ca corp geometric, ne-am familiarizat cu elementele și proprietățile sale, ne-am convins de validitatea opiniei despre frumusețea formei piramidei.

În urma cercetărilor noastre, am ajuns la concluzia că egiptenii, după ce au adunat cele mai valoroase cunoștințe matematice, le-au întruchipat într-o piramidă. Prin urmare, piramida este cu adevărat cea mai perfectă creație a naturii și a omului.

BIBLIOGRAFIE

„Geometrie: Proc. pentru 7 - 9 celule. educatie generala instituții \ etc. - ed. a IX-a - M .: Educație, 1999

Istoria matematicii la școală, M: „Iluminismul”, 1982

Geometrie nota 10-11, M: „Iluminism”, 2000

Peter Tompkins „Secretele Marii Piramide a lui Keops”, M: „Centropoligraph”, 2005

Resurse de internet

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Aici sunt colectate informații de bază despre piramide și formule și concepte aferente. Toate sunt studiate cu un tutore la matematică în pregătirea examenului.

Luați în considerare un plan, un poligon culcat în ea și un punct S care nu se află în el. Conectați S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele se numesc margini laterale. Poligonul se numește bază, iar punctul S este numit vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n=3), pătrangulară (n=4), pentagonală (n=5) și așa mai departe. Nume alternativ pentru piramida triunghiulară - tetraedru. Înălțimea unei piramide este perpendiculara trasă de la vârful ei la planul de bază.

O piramidă se numește corectă dacă un poligon regulat, iar baza înălțimii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.

Comentariul tutorelui:
Nu confundați conceptul de „piramidă obișnuită” și „tetraedru obișnuit”. Într-o piramidă obișnuită, marginile laterale nu sunt neapărat egale cu marginile bazei, dar într-un tetraedru obișnuit, toate cele 6 margini ale marginilor sunt egale. Aceasta este definiția lui. Este ușor de demonstrat că egalitatea implică faptul că centrul P al poligonului cu o bază de înălțime, deci un tetraedru obișnuit este o piramidă obișnuită.

Ce este o apotema?
Apotema unei piramide este înălțimea feței sale laterale. Dacă piramida este regulată, atunci toate apotemele ei sunt egale. Reversul nu este adevărat.

Tutor de matematică despre terminologia lui: lucrul cu piramide este construit în proporție de 80% prin două tipuri de triunghiuri:
1) Conținând apotema SK și înălțimea SP
2) Conținând marginea laterală SA și proiecția ei PA

Pentru a simplifica referințele la aceste triunghiuri, este mai convenabil ca un profesor de matematică să numească primul dintre ele apotemic, și al doilea costal. Din păcate, această terminologie nu o veți găsi în niciunul dintre manuale, iar profesorul trebuie să o introducă unilateral.

Formula de volum piramidală:
1) , unde este aria bazei piramidei și este înălțimea piramidei
2), unde este raza sferei înscrise și este suprafața totală a piramidei.
3) , unde MN este distanța oricăror două muchii care se încrucișează și este aria paralelogramului format din punctele de mijloc ale celor patru muchii rămase.

Proprietatea bazei înălțimii piramidei:

Punctul P (vezi figura) coincide cu centrul cercului înscris la baza piramidei dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) Toate apotemele sunt egale
2) Toate fețele laterale sunt înclinate egal spre bază
3) Toate apotemele sunt înclinate în mod egal față de înălțimea piramidei
4) Înălțimea piramidei este înclinată în mod egal față de toate fețele laterale

Comentariul profesorului de matematică: rețineți că toate punctele sunt unite printr-o proprietate comună: într-un fel sau altul, fețele laterale participă peste tot (apotemele sunt elementele lor). Prin urmare, tutorele poate oferi o formulare mai puțin precisă, dar mai convenabilă pentru memorare: punctul P coincide cu centrul cercului înscris, baza piramidei, dacă există informații egale despre fețele sale laterale. Pentru a dovedi, este suficient să arătăm că toate triunghiurile apotemice sunt egale.

Punctul P coincide cu centrul cercului circumscris lângă baza piramidei, dacă una dintre cele trei condiții este adevărată:
1) Toate marginile laterale sunt egale
2) Toate nervurile laterale sunt înclinate egal spre bază
3) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal pe înălțime