derivată din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b prin rațiune A definit ca exponentul la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numere pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației ax=b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b prin rațiune A egală Cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmului este strâns legat de subiectul puterii unui număr.

Cu logaritmi, ca și în cazul oricăror numere, puteți performa operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar având în vedere faptul că logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care sunt numite proprietăți de bază.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Luați doi logaritmi cu aceeași bază: log xși log a y. Apoi eliminați este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Din teoreme logaritmului coeficientului mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este bine cunoscut acel jurnal A 1= 0, prin urmare,

Buturuga A 1 /b= jurnal A 1 - jurnal a b= -log a b.

Deci există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproc reciproce pe aceeași bază vor diferi unele de altele numai prin semn. Asa de:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Ce este un logaritm?

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este un logaritm? Cum se rezolvă logaritmii? Aceste întrebări îi încurcă pe mulți absolvenți. În mod tradițional, subiectul logaritmilor este considerat complex, de neînțeles și înfricoșător. Mai ales - ecuații cu logaritmi.

Acest lucru nu este absolut adevărat. Absolut! Nu crezi? Bun. Acum, timp de aproximativ 10 - 20 de minute:

1. Înțelegeți ce este un logaritm.

2. Învață să rezolvi o întreagă clasă de ecuații exponențiale. Chiar dacă nu ai auzit de ei.

3. Învață să calculezi logaritmi simpli.

Mai mult, pentru aceasta va trebui doar să cunoașteți tabla înmulțirii și cum se ridică un număr la o putere...

Simt că te îndoiești... Ei bine, ține timpul! Merge!

Mai întâi, rezolvă următoarea ecuație în minte:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da definiția logaritmului, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceea, luați în considerare identitatea logaritmică de bază.

Navigare în pagină.

Definiţia logarithm

Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, când trebuie să găsiți exponentul dintr-o valoare cunoscută a gradului și o bază cunoscută.

Dar destul preambul, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm o definiție adecvată.

Definiție.

Logaritmul lui b la baza a, unde a>0 , a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci există doar logaritmul unui număr într-o anumită bază.

Vă vom prezenta imediat notație logaritmică: logaritmul numărului b la baza a este de obicei notat ca log a b . Logaritmul numărului b la baza e și logaritmul la baza 10 au propriile lor denumiri speciale lnb și, respectiv, lgb, adică nu scriu log e b , ci lnb , și nu log 10 b , ci lgb .

Acum puteți aduce: .
Și înregistrările nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea - un număr negativ în bază, iar în al treilea - atât un număr negativ sub semnul logaritmului, cât și o unitate în bază.

Acum să vorbim despre reguli de citire a logaritmilor. Log de intrare a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul de la trei la baza 2 și este logaritmul de două numere întregi două treimi de bază ale rădăcinii pătrate a lui cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb este citită ca „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul la baza 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar notația lgb este citită ca „logaritm zecimal b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șaptezeci și cinci sutimi.

Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. Pentru aceasta, ne va ajuta o egalitate a formei, numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.

Să începem cu a≠1 . Deoarece unu este egal cu unu la orice putere, egalitatea poate fi adevărată numai pentru b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, a≠1 este acceptat.

Să argumentăm oportunitatea condiției a>0 . Cu a=0, după definiția logaritmului, am avea egalitate , ceea ce este posibil doar cu b=0 . Dar atunci log 0 0 ar putea fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Această ambiguitate poate fi evitată prin condiția a≠0 . Și pentru a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

În fine, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea gradului cu bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

În încheierea acestui paragraf, spunem că definiția vocală a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este un anumit grad de bază. Într-adevăr, definiția logaritmului ne permite să afirmăm că dacă b=a p , atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p . Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8 , atunci log 2 8=3 . Vom vorbi mai multe despre asta în articol.

Astăzi vom vorbi despre formule logaritmiceși dați o demonstrație exemple de solutie.

Prin ele însele, ele implică modele de soluție conform proprietăților de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formulele logaritmice la soluție, reamintim pentru dvs., mai întâi toate proprietățile:

Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), arătăm exemple de rezolvare a logaritmilor.

Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.

Logaritm un număr pozitiv b în baza a (notat log a b) este exponentul la care trebuie ridicat a pentru a obține b, cu b > 0, a > 0 și 1.

Conform definiției log a b = x, care este echivalent cu a x = b, deci log a a x = x.

Logaritmi, exemple:

log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8

log 7 49 = 2 deoarece 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5

Logaritm zecimal este un logaritm obișnuit, a cărui bază este 10. Notat cu lg.

log 10 100 = 2 deoarece 10 2 = 100

logaritmul natural- și logaritmul obișnuit, dar cu baza e (e \u003d 2,71828 ... - un număr irațional). Denumită ln.

Este de dorit să ne amintim formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu când rezolvăm logaritmi, ecuații logaritmice și inegalități. Să lucrăm din nou prin fiecare formulă cu exemple.

• Identitatea logaritmică de bază
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietățile gradului unui număr logaritmabil și ale bazei logaritmului

  Exponentul unui număr logaritmic log a b m = mlog a b

  Exponent al bazei logaritmului log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  dacă m = n, obținem log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Trecerea la o nouă fundație
  log a b = log c b / log c a,

  dacă c = b, obținem log b b = 1

  atunci log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

După cum puteți vedea, formulele logaritmului nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, având în vedere exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom lua în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice mai detaliat în articolul: „”. Nu ratați!

Dacă aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.

Notă: am decis să obțin o educație dintr-o altă clasă de studii în străinătate ca opțiune.

Continuăm să studiem logaritmii. În acest articol vom vorbi despre calculul logaritmilor, acest proces se numește logaritm. În primul rând, ne vom ocupa de calculul logaritmilor prin definiție. Apoi, luați în considerare modul în care sunt găsite valorile logaritmilor folosind proprietățile lor. După aceea, ne vom opri asupra calculului logaritmilor prin valorile date inițial ale altor logaritmi. În cele din urmă, să învățăm cum să folosim tabelele de logaritmi. Întreaga teorie este furnizată cu exemple cu soluții detaliate.

Navigare în pagină.

Calcularea logaritmilor prin definiție

În cele mai simple cazuri, este posibil să efectuați rapid și ușor găsirea logaritmului prin definiție. Să aruncăm o privire mai atentă asupra modului în care are loc acest proces.

Esența sa este de a reprezenta numărul b sub forma a c , de unde, după definiția logaritmului, numărul c este valoarea logaritmului. Adică, prin definiție, găsirea logaritmului corespunde următorului lanț de egalități: log a b=log a a c =c .

Deci, calculul logaritmului, prin definiție, se reduce la găsirea unui astfel de număr c care a c \u003d b, iar numărul c însuși este valoarea dorită a logaritmului.

Având în vedere informațiile din paragrafele anterioare, atunci când numărul de sub semnul logaritmului este dat de un anumit grad al bazei logaritmului, atunci puteți indica imediat cu ce este egal logaritmul - este egal cu exponentul. Să arătăm exemple.

Exemplu.

Găsiți log 2 2 −3 și, de asemenea, calculați logaritmul natural al lui e 5.3 .

Soluţie.

Definiția logaritmului ne permite să spunem imediat că log 2 2 −3 = −3 . Într-adevăr, numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza 2 la puterea −3.

În mod similar, găsim al doilea logaritm: lne 5.3 =5.3.

Răspuns:

log 2 2 −3 = −3 și lne 5.3 =5.3 .

Dacă numărul b sub semnul logaritmului nu este dat ca putere a bazei logaritmului, atunci trebuie să luați în considerare cu atenție dacă este posibil să veniți cu o reprezentare a numărului b sub forma a c . Adesea, această reprezentare este destul de evidentă, mai ales când numărul de sub semnul logaritmului este egal cu baza puterii lui 1, sau 2, sau 3, ...

Exemplu.

Calculați logaritmii log 5 25 și .

Soluţie.

Este ușor de observat că 25=5 2 , aceasta vă permite să calculați primul logaritm: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Se trece la calculul celui de-al doilea logaritm. Un număr poate fi reprezentat ca o putere a lui 7: (vezi dacă este necesar). Prin urmare, .

Să rescriem al treilea logaritm în forma următoare. Acum poți vedea asta , de unde tragem concluzia că . Prin urmare, prin definiția logaritmului .

Pe scurt, soluția ar putea fi scrisă după cum urmează:

Răspuns:

log 5 25=2 , și .

Când un număr natural suficient de mare se află sub semnul logaritmului, atunci nu strica să-l descompuneți în factori primi. Adesea ajută să reprezentați un astfel de număr ca o putere a bazei logaritmului și, prin urmare, să calculați acest logaritm prin definiție.

Exemplu.

Aflați valoarea logaritmului.

Soluţie.

Unele proprietăți ale logaritmilor vă permit să specificați imediat valoarea logaritmilor. Aceste proprietăți includ proprietatea logaritmului lui unu și proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza: log 1 1=log a a 0 =0 și log a a=log a a 1 =1 . Adică, când numărul 1 sau numărul a se află sub semnul logaritmului, egal cu baza logaritmului, atunci în aceste cazuri logaritmii sunt 0 și, respectiv, 1.

Exemplu.

Care sunt logaritmii și lg10?

Soluţie.

Deoarece , rezultă din definiția logaritmului .

În al doilea exemplu, numărul 10 sub semnul logaritmului coincide cu baza sa, deci logaritmul zecimal de zece este egal cu unu, adică lg10=lg10 1 =1 .

Răspuns:

Și lg10=1.

Rețineți că calculul logaritmilor prin definiție (pe care am discutat în paragraful anterior) implică utilizarea logaritmului de egalitate a a p =p , care este una dintre proprietățile logaritmilor.

În practică, când numărul de sub semnul logaritmului și baza logaritmului sunt ușor de reprezentat ca putere a unui număr, este foarte convenabil să folosiți formula , care corespunde uneia dintre proprietățile logaritmilor. Luați în considerare un exemplu de găsire a logaritmului, ilustrând utilizarea acestei formule.

Exemplu.

Calculați logaritmul lui .

Soluţie.

Răspuns:

.

Proprietățile logaritmilor nemenționați mai sus sunt de asemenea folosite în calcul, dar despre asta vom vorbi în paragrafele următoare.

Găsirea logaritmilor în termenii altor logaritmi cunoscuți

Informațiile din acest paragraf continuă subiectul utilizării proprietăților logaritmilor în calculul lor. Dar aici principala diferență este că proprietățile logaritmilor sunt folosite pentru a exprima logaritmul original în termenii unui alt logaritm, a cărui valoare este cunoscută. Să luăm un exemplu pentru clarificare. Să presupunem că știm că log 2 3≈1.584963 , atunci putem găsi, de exemplu, log 2 6 făcând o mică transformare folosind proprietățile logaritmului: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

În exemplul de mai sus, a fost suficient să folosim proprietatea logaritmului produsului. Cu toate acestea, mult mai des trebuie să utilizați un arsenal mai larg de proprietăți ale logaritmilor pentru a calcula logaritmul inițial în ceea ce privește cele date.

Exemplu.

Calculați logaritmul de la 27 la baza 60 dacă se știe că log 60 2=a și log 60 5=b .

Soluţie.

Deci trebuie să găsim log 60 27 . Este ușor de observat că 27=3 3 , iar logaritmul original, datorită proprietății logaritmului gradului, poate fi rescris ca 3·log 60 3 .

Acum să vedem cum log 60 3 poate fi exprimat în termeni de logaritmi cunoscuți. Proprietatea logaritmului unui număr egal cu baza vă permite să scrieți logaritmul de egalitate 60 60=1 . Pe de altă parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . În acest fel, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prin urmare, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

În cele din urmă, calculăm logaritmul original: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Răspuns:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separat, merită menționat sensul formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului formei . Vă permite să treceți de la logaritmi cu orice bază la logaritmi cu o anumită bază, ale căror valori sunt cunoscute sau este posibil să le găsiți. De obicei, din logaritmul inițial, conform formulei de tranziție, se trec la logaritmi în una dintre bazele 2, e sau 10, deoarece pentru aceste baze există tabele de logaritmi care permit calcularea valorilor lor cu un anumit grad de precizie. În secțiunea următoare, vom arăta cum se face acest lucru.

Tabele de logaritmi, utilizarea lor

Pentru un calcul aproximativ al valorilor logaritmilor, se poate folosi tabele logaritmice. Cele mai utilizate sunt tabelul cu logaritmi de bază 2, tabelul cu logaritmi naturali și tabelul cu logaritmi zecimal. Când lucrați în sistemul numeric zecimal, este convenabil să utilizați un tabel de logaritmi la baza zece. Cu ajutorul lui, vom învăța să găsim valorile logaritmilor.

Tabelul prezentat permite, cu o precizie de o zecemiime, să se găsească valorile logaritmilor zecimali ale numerelor de la 1.000 la 9.999 (cu trei zecimale). Vom analiza principiul găsirii valorii logaritmului folosind un tabel de logaritmi zecimali folosind un exemplu specific - este mai clar. Să găsim lg1.256 .

În coloana din stânga a tabelului de logaritmi zecimal găsim primele două cifre ale numărului 1,256, adică găsim 1,2 (acest număr este încercuit cu albastru pentru claritate). A treia cifră a numărului 1.256 (numărul 5) se găsește în prima sau ultima linie din stânga liniei duble (acest număr este încercuit cu roșu). A patra cifră a numărului original 1.256 (numărul 6) se găsește în prima sau ultima linie din dreapta liniei duble (acest număr este încercuit cu verde). Acum găsim numerele în celulele tabelului de logaritmi la intersecția rândului marcat cu coloanele marcate (aceste numere sunt evidențiate în portocaliu). Suma numerelor marcate dă valoarea dorită a logaritmului zecimal până la a patra zecimală, adică log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Este posibil, folosind tabelul de mai sus, să găsiți valorile logaritmilor zecimali ale numerelor care au mai mult de trei cifre după virgulă zecimală și să depășească, de asemenea, limitele de la 1 la 9,999? Da, poti. Să arătăm cum se face acest lucru cu un exemplu.

Să calculăm lg102.76332 . Mai întâi trebuie să scrii număr în formă standard: 102,76332=1,0276332 10 2 . După aceea, mantisa ar trebui să fie rotunjită la a treia zecimală, avem 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, în timp ce logaritmul zecimal inițial este aproximativ egal cu logaritmul numărului rezultat, adică luăm lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Acum aplicați proprietățile logaritmului: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. În final, găsim valoarea logaritmului lg1.028 conform tabelului de logaritmi zecimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ca rezultat, întregul proces de calcul al logaritmului arată astfel: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

În concluzie, este de remarcat faptul că folosind tabelul de logaritmi zecimali, puteți calcula valoarea aproximativă a oricărui logaritm. Pentru a face acest lucru, este suficient să utilizați formula de tranziție pentru a merge la logaritmi zecimal, pentru a găsi valorile acestora în tabel și pentru a efectua calculele rămase.

De exemplu, să calculăm log 2 3 . Conform formulei pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului, avem . Din tabelul logaritmilor zecimali găsim lg3≈0,4771 și lg2≈0,3010. În acest fel, .

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).