Lecția video „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric” oferă material vizual pentru a oferi claritate atunci când explicați subiectul în clasă. În timpul demonstrației, este luat în considerare principiul formării valorii funcțiilor trigonometrice dintr-un număr, sunt descrise o serie de exemple care învață cum să se calculeze valorile funcțiilor trigonometrice dintr-un număr. Cu ajutorul acestui manual, este mai ușor să dezvoltați abilități în rezolvarea problemelor relevante și să obțineți memorarea materialului. Utilizarea manualului crește eficacitatea lecției și ajută la atingerea rapidă a obiectivelor de învățare.

La începutul lecției este afișat titlul subiectului. Apoi sarcina este de a găsi cosinusul corespunzător unui argument numeric. Se observă că această problemă poate fi rezolvată simplu și acest lucru poate fi demonstrat în mod clar. Ecranul afișează un cerc unitar cu centrul său la origine. Se observă că punctul de intersecție al cercului cu semiaxa pozitivă a axei absciselor este situat în punctul A(1;0). Este dat un exemplu de punct M, care reprezintă argumentul t=π/3. Acest punct este marcat pe cercul unitar, iar din el coboară o perpendiculară pe axa absciselor. Abscisa găsită a punctului este cosinusul lui cos t. ÎN în acest caz, abscisa punctului va fi x=1/2. Prin urmare cos t=1/2.

Rezumând faptele luate în considerare, se observă că are sens să vorbim despre funcția s=cos t. Se remarcă faptul că elevii au deja unele cunoștințe despre această funcție. Se calculează unele valori cosinus: cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. De asemenea, legate de această funcție sunt și funcțiile s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Se observă că au un nume comun pentru toate - funcțiile trigonometrice.

Sunt demonstrate relații importante care sunt utilizate în rezolvarea problemelor cu funcții trigonometrice: identitatea principală sin 2 t+ cos 2 t=1, expresia tangentei și cotangentei prin sinus și cosinus tg t=sin t/cos t, unde t≠π/ 2+πk pentru kϵZ, ctg t= cos t/sin t, unde t≠πk pentru kϵZ, precum și raportul tangentei la cotangente tg t·ctg t=1 unde t≠πk/2 pentru kϵZ.

În continuare, ne propunem să luăm în considerare demonstrarea relației 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t, cu t≠π/2+πk pentru kϵZ. Pentru a demonstra identitatea, este necesar să se reprezinte tg 2 t sub forma unui raport dintre sinus și cosinus, iar apoi să se aducă termenii din partea stângă la un numitor comun 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Folosind identitatea trigonometrică de bază, obținem 1 la numărător, adică expresia finală 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Identitatea 1+ cot 2 t=1/ sin 2 t este demonstrată în mod similar, pentru t≠πk pentru kϵZ. La fel ca în demonstrația anterioară, cotangenta este înlocuită cu raportul corespunzător dintre cosinus și sinus, iar ambii termeni din partea stângă se reduc la un numitor comun 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. După aplicarea identității trigonometrice de bază la numărător obținem 1/ sin 2 t. Aceasta este expresia pe care o căutăm.

Se are în vedere soluția de exemple în care se aplică cunoștințele dobândite. În prima sarcină, trebuie să găsiți valorile costului, tgt, ctgt, dacă se cunoaște sinusul numărului sint=4/5 și t aparține intervalului π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

În continuare, luăm în considerare soluția unei probleme similare în care se cunoaște tangenta tgt = -8/15, iar argumentul este limitat la valorile 3π/2

Pentru a afla valoarea sinusului, folosim definiția tangentei tgt= sint/cost. Din el găsim sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Știind că cotangenta este funcția inversă a tangentei, găsim ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Lecția video „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric” este folosită pentru a crește eficiența unei lecții de matematică la școală. În timpul învățământului la distanță, acest material poate fi folosit ca ajutor vizual pentru dezvoltarea abilităților în rezolvarea problemelor care implică funcții trigonometrice ale unui număr. Pentru a dobândi aceste abilități, studentul poate fi sfătuit să examineze în mod independent materialul vizual.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Subiectul lecției este „Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric”.

Orice număr real t poate fi asociat cu un număr definit în mod unic cos t. Pentru a face acest lucru, trebuie să faceți următoarele:

1) poziționați cercul numeric pe planul de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea coordonatelor, iar punctul de plecare A al cercului să cadă în punctul (1;0);

2) găsiți un punct pe cerc care corespunde numărului t;

3) găsiți abscisa acestui punct. Acesta este costul.

Prin urmare, vom vorbi despre funcția s = cos t (es este egal cu cosinus te), unde t este orice număr real. Ne-am făcut deja o idee despre această funcție:

• a învățat să calculeze niște valori, de exemplu cos 0=1, cos = 0, cos = etc. (cosinusul lui zero este egal cu unu, cosinusul lui pi cu doi este egal cu zero, cosinusul lui pi cu trei este egal cu o jumătate și așa mai departe).
• și din moment ce valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt interdependente, ne-am făcut o idee despre încă trei funcții: s = sint; s= tgt; s= ctgt. (es este egal cu sine te, es este egal cu tangent te, es este egal cu cotangent te)

Toate aceste funcții se numesc funcții trigonometrice ale argumentului numeric t.

Din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, urmează câteva relații:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus pătrat te plus cosinus pătrat te este egal cu unu)

2)tgt = pentru t ≠ + πk, kϵZ (tangenta te este egală cu raportul dintre sinus te și cosinus te cu te nu este egal cu pi cu doi plus pi ka, ka aparține zet)

3) ctgt = pentru t ≠ πk, kϵZ (cotangenta te este egală cu raportul dintre cosinus te și sinus te când te nu este egal cu pi ka, ka aparține zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 pentru t ≠ , kϵZ (produsul tangentei te cu cotangentei te este egal cu unu când te nu este egal cu vârful ka, împărțit la doi, ka aparține zet)

Să demonstrăm încă două formule importante:

Un plus tangenta te pătrat este egal cu raportul dintre unu și cosinus te pătrat atunci când te nu este egal cu pi cu doi plus pi ka.

Dovada. Să reducem expresia unu plus tangenta pătrat te la numitorul comun cosinus pătrat te. Obținem la numărător suma pătratelor cosinusului te și sinusului te, care este egală cu unu. Iar numitorul rămâne pătratul cosinusului te.

Suma unității și pătratul cotangentei te este egală cu raportul dintre unitate și pătratul sine te atunci când te nu este egal cu pi ka.

Dovada. Expresia unu plus cotangent la pătrat te, în mod similar, aducem la un numitor comun și aplicăm prima relație.

Să ne uităm la exemple.

EXEMPLUL 1. Găsiți costul, tgt, ctgt dacă sint = și< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Soluţie. Din prima relație aflăm că cosinusul pătrat te este egal cu unu minus sinusul pătratul te: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

Aceasta înseamnă că cos 2 t = 1 -() 2 = (cosinusul pătrat te este egal cu nouă douăzeci și cincimi), adică cost = (cosinus te este egal cu trei cincimi) sau cost = - (cosinus te este egal cu minus trei cincimi). Prin condiție, argumentul t aparține celui de-al doilea trimestru, iar în el cost t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Aceasta înseamnă că cosinusul te este egal cu minus trei cincimi, cost = - .

Să calculăm tangenta te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(tangenta te este egală cu raportul dintre sinus te și cosinus te și, prin urmare, patru cincimi cu minus trei cincimi și egal cu minus patru treimi)

În consecință, calculăm (cotangenta numărului te. întrucât cotangenta te este egală cu raportul dintre cosinusul lui te și sinusul lui te,) ctgt = = - .

(cotangenta te este egală cu minus trei sferturi).

Răspuns: cost = - , tgt= - ; ctgt = - . (completăm răspunsul pe măsură ce îl rezolvăm)

EXEMPLU 2. Se știe că tgt = - și< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Soluţie. Să folosim această relație și să înlocuim valoarea în această formulă pentru a obține:

1 + (-) 2 = (unul pe pătrat cosinus te este egal cu suma unu și pătratul minus opt cincisprezecele). De aici găsim cos 2 t =

(cosinus pătratul te este egal cu două sute douăzeci și cinci două sute optzeci și nouă). Aceasta înseamnă cost = (cosinus te este cincisprezece șaptesprezece) sau

cost = . Prin condiție, argumentul t aparține trimestrului al patrulea, unde cost>0. Prin urmare cost = .(cosenus te este cincisprezece șaptesprezece)

Să găsim valoarea argumentului sine te. Întrucât din relația (arătați relația tgt = pentru t ≠ + πk, kϵZ) sine te este egal cu produsul tangentei te cu cosinus te, atunci înlocuind valoarea argumentului te..tangent te este egală cu minus opt cincisprezecele .. prin condiție, iar cosinusul te este egal cu rezolvat mai devreme, obținem

sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (sine te este egal cu minus opt șaptesprezecele)

ctgt = = - . (deoarece cotangenta te este reciproca tangentei, ceea ce înseamnă că cotangenta te este egală cu minus cincisprezece al optsprezecelea)

Funcții trigonometrice ale unui argument numeric.

Funcții trigonometrice ale argumentului numerict sunt funcţii ale formei y= cos t,
y= sin t, y= tg t, y= ctg t.

Folosind aceste formule, prin valoarea cunoscută a unei funcții trigonometrice, puteți găsi valorile necunoscute ale altor funcții trigonometrice.

Explicații.

1) Luați formula cos 2 t + sin 2 t = 1 și folosiți-o pentru a obține o nouă formulă.

Pentru a face acest lucru, împărțiți ambele părți ale formulei la cos 2 t (pentru t ≠ 0, adică t ≠ π/2 + π k). Asa de:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Primul termen este egal cu 1. Știm că raportul dintre sinus și conis este tangent, ceea ce înseamnă că al doilea termen este egal cu tg 2 t. Drept urmare, obținem o formulă nouă (și deja cunoscută de dvs.):

2) Acum împărțiți cos 2 t + sin 2 t = 1 la sin 2 t (pentru t ≠ π k):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, unde t ≠ π k + π k, k– număr întreg
sin 2 t sin 2 t sin 2 t

Raportul dintre cosinus și sinus este cotangenta. Mijloace:

Cunoscând principiile de bază ale matematicii și după ce ați învățat formulele de bază ale trigonometriei, puteți obține cu ușurință majoritatea celorlalte identități trigonometrice pe cont propriu. Și asta este chiar mai bine decât să le memorezi: ceea ce înveți pe de rost se uită repede, dar ceea ce înțelegi este amintit pentru mult timp, dacă nu pentru totdeauna. De exemplu, nu este necesar să memorați cu ce este egală suma unu și pătratul tangentei. Dacă ați uitat, vă puteți aminti cu ușurință dacă știți cel mai simplu lucru: tangenta este raportul dintre sinus și cosinus. În plus, aplicați regula simplă de a adăuga fracții cu numitori diferiți și obțineți rezultatul:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

În același mod, puteți găsi cu ușurință suma unu și pătratul cotangentei, precum și multe alte identități.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular.

În funcțiila = cost, la = păcatt, la = tgt, la = ctgt variabilt poate fi mai mult decât un argument numeric. De asemenea, poate fi considerată o măsură a unghiului - adică argumentul unghiular.

Folosind cercul numeric și sistemul de coordonate, puteți găsi cu ușurință sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta oricărui unghi. Pentru a face acest lucru, trebuie îndeplinite două condiții importante:
1) vârful unghiului trebuie să fie centrul cercului, care este și centrul axei de coordonate;

2) una dintre laturile unghiului trebuie să fie un fascicul cu ax pozitiv X.

În acest caz, ordonata punctului în care se intersectează cercul și a doua latură a unghiului este sinusul acestui unghi, iar abscisa acestui punct este cosinusul acestui unghi.

Explicaţie. Să desenăm un unghi, o parte a căruia este raza pozitivă a axei X, iar a doua latură iese de la originea axei de coordonate (și din centrul cercului) la un unghi de 30º (vezi figura). Atunci punctul de intersecție al celei de-a doua laturi cu cercul corespunde cu π/6. Cunoaștem ordonata și abscisa acestui punct. Ele sunt, de asemenea, cosinusul și sinusul unghiului nostru:

√3 1
--; --
2 2

Și cunoscând sinusul și cosinusul unui unghi, îi puteți găsi cu ușurință tangenta și cotangenta.

Astfel, cercul numeric, situat într-un sistem de coordonate, este o modalitate convenabilă de a găsi sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unui unghi.

Dar există o cale mai ușoară. Nu trebuie să desenați un cerc și un sistem de coordonate. Puteți folosi formule simple și convenabile:

Exemplu: găsiți sinusul și cosinusul unui unghi egal cu 60º.

Solutie:

π 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Explicație: am aflat că sinusul și cosinusul unui unghi de 60º corespund valorilor unui punct de pe un cerc π/3. În continuare, găsim pur și simplu valorile acestui punct în tabel - și astfel rezolvăm exemplul nostru. Tabelul sinusurilor și cosinusurilor punctelor principale ale cercului numeric se află în secțiunea anterioară și pe pagina „Tabele”.

Lecție și prezentare pe tema: „Funcția trigonometrică a unui argument numeric, definiție, identități”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 10-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:
1. Definirea unui argument numeric.
2. Formule de bază.
3. Identităţi trigonometrice.
4. Exemple și sarcini pentru soluții independente.

Definirea unei funcții trigonometrice a unui argument numeric

Băieți, știm ce sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.
Să vedem dacă este posibil să găsim valorile altor funcții trigonometrice folosind valorile unor funcții trigonometrice?
Să definim funcția trigonometrică a unui element numeric ca: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.

Să ne amintim formulele de bază:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Apropo, care este numele acestei formule?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, cu $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, pentru $t≠πk$.

Să derivăm noi formule.

Identități trigonometrice

Cunoaștem identitatea trigonometrică de bază: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Băieți, să împărțim ambele părți ale identității la $cos^2(t)$.
Se obține: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t))$.
Să transformăm: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Obținem identitatea: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, cu $t≠\frac(π)(2)+πk$.

Acum să împărțim ambele părți ale identității la $sin^2(t)$.
Se obține: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
Să transformăm: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Obținem o nouă identitate care merită reținută:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, pentru $t≠πk$.

Am reușit să obținem două formule noi. Amintiți-vă de ele.
Aceste formule sunt folosite dacă, dintr-o valoare cunoscută a unei funcții trigonometrice, este necesar să se calculeze valoarea unei alte funcții.

Rezolvarea exemplelor de funcții trigonometrice ale unui argument numeric

Exemplul 1.

$cos(t) =\frac(5)(7)$, găsiți $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ pentru toate t.

Soluţie:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Atunci $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

Exemplul 2.

$tg(t) = \frac(5)(12)$, găsiți $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, pentru toți $0

Soluţie:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Atunci $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Obținem că $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Atunci $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, dar $0 Cosinusul din primul trimestru este pozitiv. Atunci $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Se obține: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Probleme de rezolvat independent

1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, găsiți $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, pentru toate $\frac(π)(2) 2. $сtg(t) =\frac(3)(4)$, găsiți $sin(t)$; $cos(t)$; $tg(t)$, pentru toți $π 3. $sin(t) = \frac(5)(7)$, găsiți $cos(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ pentru toți $t$.
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, găsiți $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ pentru toți $t$.

În această lecție vom învăța despre funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric. Mai întâi, să ne amintim definiția unei funcții în general și a cercului numeric. În continuare, să ne amintim ce sunt o linie de sinusuri, o linie de cosinus, o linie de tangente și o linie de cotangente. Să derivăm formula pentru identitatea trigonometrică principală și alte formule de bază care conectează funcțiile trigonometrice. În continuare, vom lua în considerare câteva proprietăți ale funcțiilor trigonometrice: semnele funcțiilor în sferturi și proprietatea funcțiilor trigonometrice pare și impare.

Tema: Funcții trigonometrice

Lecția: Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric

1. Tema lecției, introducere

Luăm în considerare funcții trigonometrice

2. Memento: Definirea funcţiilor trigonometrice

Orice funcție este o lege conform căreia fiecărei valori a variabilei independente îi corespunde o singură valoare a variabilei dependente - funcția.

Setăm numărul corespunzător acestuia punct pe un cerc cu două coordonate - un punct (Fig. 1).

Linia de pe axa x de la -1 la 1 se numește linie cosinus.

Linia de pe axa y de la -1 la 1 se numește linie sinusoidală.

Aceasta implică proprietățile sinusului și cosinusului:

Linia tangentă este paralelă cu axa y și trece prin punct

Linia cotangente paralel cu axa x și trecând prin punct

3. Formule trigonometrice de bază

Să ne uităm la identitățile trigonometrice de bază.

Ecuația cercului unitar.

identitate trigonometrică de bază.

relația dintre tangentă și cotangentă.

Să derivăm o formulă care conectează tangenta și cosinusul.

Există o formulă similară pentru cotangentă și sinus.

4. Paritatea funcţiilor trigonometrice

Să studiem funcțiile trigonometrice pentru paritate.

functia este impara.

funcția este egală.

Să ilustrăm aceste proprietăți pe cercul numeric:

Exemplul 1. Găsiți

Soluție (Fig. 2).

Să demonstrăm proprietăți similare pentru tangentă și cotangentă:

Tangenta este o funcție ciudată.

dovediți-vă singur.

5. Semne ale funcţiilor trigonometrice în sferturi

Să luăm în considerare semnele funcțiilor trigonometrice în sferturi:

Semne de sinus și cosinus (Fig. 3).

Cu toate acestea, puteți determina semnele sinusului și cosinusului fără aceste imagini.

De exemplu, trebuie să determinați semnul.Determinăm în ce sfert se află unghiul din al doilea. Sine este o proiecție pe axa y, în al doilea trimestru, ceea ce înseamnă

La fel cosinus. Să definim semnul: unghiul este în al treilea sfert, cosinusul este proiecția pe axa x, în al treilea sfert, ceea ce înseamnă

Semne tangente și cotangente (Fig. 4).

Puteți verifica semnele funcțiilor din diferite cadrane folosind liniile tangentelor și cotangentelor. De exemplu, luați unghiul situat în al treilea trimestru. Prin punctul de pe cerc corespunzător acestui unghi și originea coordonatelor, trasăm o linie dreaptă până se intersectează cu axa tangentei. Valoarea tangentei pentru un astfel de unghi, precum și pentru primul sfert de unghi, va fi pozitivă. În mod similar, pentru unghiurile celui de-al doilea și al patrulea sfert, tangenta va fi negativă (Fig. 5).

6. Concluzie, concluzie

Am examinat funcțiile trigonometrice, ne-am amintit definițiile lor, ne-am amintit că îndeplinesc cerințele de unicitate și am obținut identitățile și proprietățile de bază. În lecția următoare vom rezolva o serie de probleme.

Bibliografie

1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (un manual pentru elevii școlilor și claselor cu studii avansate de matematică) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice - M.: Prosveshchenie, 1997.

5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanții la instituțiile de învățământ superior (editat de M. I. Skanavi).- M.: Liceu, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Probleme în algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.

Teme pentru acasă

Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 14.1 - 14.5, 14.8.

Resurse web suplimentare

1. Matematică.

2. Probleme cu portalul de internet. ru.

3. Portal educațional pentru pregătirea examenului.

Oricare ar fi numărul real t, acesta poate fi asociat cu un număr definit în mod unic sin t. Adevărat, regula de potrivire este destul de complexă; după cum am văzut mai sus, este după cum urmează.

Pentru a găsi valoarea lui sin t folosind numărul t, aveți nevoie de:

1) poziționați cercul numeric în planul de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea coordonatelor, iar punctul de plecare A al cercului să cadă în punctul (1; 0);

2) găsiți un punct pe cerc corespunzător numărului t;

3) găsiți ordonata acestui punct.

Această ordonată este sin t.

De fapt, vorbim despre funcția u = sin t, unde t este orice număr real.

Toate aceste funcții sunt numite funcţiile trigonometrice ale argumentului numeric t.

Mânca întreaga linie relații care conectează valorile diferitelor funcții trigonometrice, am obținut deja câteva dintre aceste relații:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Din ultimele două formule este ușor de obținut o relație care leagă tg t și ctg t:

Toate aceste formule sunt utilizate în cazurile în care, cunoscând valoarea unei funcții trigonometrice, este necesar să se calculeze valorile altor funcții trigonometrice.

Termenii „sinus”, „cosinus”, „tangent” și „cotangent” erau de fapt familiari, totuși, ei erau încă utilizați într-o interpretare puțin diferită: în geometrie și fizică ei considerau sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. la cap(dar nu

numere, așa cum a fost în paragrafele precedente).

Din geometrie se știe că sinusul (cosinusul) unui unghi ascuțit este raportul catetelor unui triunghi dreptunghic și ipotenuza acestuia, iar tangenta (cotangenta) unui unghi este raportul catetelor unui triunghi dreptunghic. O abordare diferită a conceptelor de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a fost dezvoltată în paragrafele precedente. De fapt, aceste abordări sunt interdependente.

Să luăm un unghi cu măsura gradului b o și să-l plasăm în modelul „cerc numeric într-un sistem de coordonate dreptunghiular”, așa cum se arată în Fig. 14

vârful unghiului este compatibil cu centrul

cercuri (cu originea sistemului de coordonate),

și o parte a colțului este compatibilă cu

raza pozitivă a axei x. Punct

intersecția celei de-a doua laturi a unghiului cu

notează prin cerc litera M. Ordina-

Fig. 14 b o, iar abscisa acestui punct este cosinusul unghiului b o.

Pentru a găsi sinusul sau cosinusul unui unghi b o nu este deloc necesar să faceți de fiecare dată aceste construcții foarte complexe.

Este suficient de remarcat că arcul AM alcătuiește aceeași parte din lungimea cercului numeric pe care o face unghiul b o din colțul de 360°. Dacă lungimea arcului AM este notată cu litera t, obținem:

Prin urmare,

De exemplu,

Se crede că 30° este o măsură de grad a unui unghi și o măsură în radian a aceluiași unghi: 30° = rad. Deloc:

În special, mă bucur de unde, la rândul nostru, îl obținem.

Deci, ce este 1 radian? Există diverse măsuri de lungime a segmentelor: centimetri, metri, yarzi etc. Există, de asemenea, diverse măsuri pentru a indica mărimea unghiurilor. Considerăm unghiurile centrale ale cercului unitar. Un unghi de 1° este unghiul central subtins de un arc care face parte dintr-un cerc. Un unghi de 1 radian este unghiul central subîntins de un arc de lungime 1, i.e. pe un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Din formulă, aflăm că 1 rad = 57,3°.

Când luăm în considerare funcția u = sin t (sau orice altă funcție trigonometrică), putem considera variabila independentă t ca fiind un argument numeric, așa cum a fost cazul în paragrafele anterioare, dar putem considera și această variabilă ca fiind o măsură a unghiul, adică argument de colț. Prin urmare, când vorbim despre o funcție trigonometrică, într-un anumit sens, nu are nicio diferență să o consideri o funcție a unui argument numeric sau unghiular.