Acțiunile unei unități și este reprezentată ca \frac(a)(b).

Numărătorul de fracții (a)- numărul de deasupra liniei fracției și care arată numărul de acțiuni în care a fost împărțită unitatea.

Numitorul fracției (b)- numărul de sub linia fracției și care arată câte acțiuni a fost împărțită unitatea.

Ascundeți afișarea

Proprietatea de bază a fracției

Dacă ad=bc , atunci două fracții \frac(a)(b)și \frac(c)(d) sunt considerate egale. De exemplu, fracțiile vor fi egale \frac35și \frac(9)(15), deoarece 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)și \frac(24)(14), deoarece 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Din definiția egalității fracțiilor rezultă că fracțiile vor fi egale \frac(a)(b)și \frac(am)(bm), deoarece a(bm)=b(am) este un exemplu clar de utilizare a proprietăților asociative și comutative ale înmulțirii numerelor naturale în acțiune.

Mijloace \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- arata asa proprietatea de baza a fractiei.

Cu alte cuvinte, obținem o fracție egală cu cea dată prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu același număr natural.

Reducerea fracțiilor este procesul de înlocuire a unei fracții, în care noua fracție este egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor mai mici.

Se obișnuiește să se reducă fracțiile pe baza proprietății principale a unei fracții.

De exemplu, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(numătorul și numitorul sunt divizibile cu numărul 3); fracția rezultată poate fi din nou redusă prin împărțirea la 5, adică \frac(15)(20)=\frac 34.

fracție ireductibilă este o fracțiune din formă \frac 34, unde numărătorul și numitorul sunt numere prime relativ. Scopul principal al reducerii fracțiilor este de a face fracția ireductibilă.

Aducerea fracțiilor la un numitor comun

Să luăm ca exemplu două fracții: \frac(2)(3)și \frac(5)(8) cu numitori diferiți 3 și 8 . Pentru a aduce aceste fracții la un numitor comun și înmulți mai întâi numărătorul și numitorul fracției \frac(2)(3) prin 8 . Obtinem urmatorul rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Apoi înmulțiți numărătorul și numitorul fracției \frac(5)(8) prin 3 . Obtinem ca rezultat: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Deci, fracțiile originale sunt reduse la un numitor comun 24.

Operații aritmetice pe fracții obișnuite

Adunarea fracțiilor obișnuite

a) Cu aceiași numitori, numărătorul primei fracții se adaugă numărătorului celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același. După cum se vede în exemplu:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Cu numitori diferiți, fracțiile se reduc mai întâi la un numitor comun, apoi se adună numărătorii conform regulii a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Scăderea fracțiilor ordinare

a) Cu aceiași numitori, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții, lăsând numitorul același:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, atunci mai întâi fracțiile se reduc la un numitor comun, apoi se repetă pașii ca la paragraful a).

Înmulțirea fracțiilor ordinare

Înmulțirea fracțiilor respectă următoarea regulă:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

adică înmulțiți separat numărătorii și numitorii.

De exemplu:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Împărțirea fracțiilor ordinare

Fracțiile sunt împărțite în felul următor:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

adica o fractiune \frac(a)(b) inmultit cu o fractiune \frac(d)(c).

Exemplu: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Numerele reciproce

Dacă ab=1, atunci numărul b este număr invers pentru numărul a.

Exemplu: pentru numărul 9, inversul este \frac(1)(9), la fel de 9 \cdot \frac(1)(9)=1, pentru numărul 5 - \frac(1)(5), la fel de 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

zecimale

Zecimal este o fracție proprie al cărei numitor este 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

De exemplu: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

În același mod, se scriu numere incorecte cu numitor 10 ^ n sau numere mixte.

De exemplu: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Sub forma unei fracții zecimale, este reprezentată orice fracție obișnuită cu un numitor care este divizor al unei anumite puteri a numărului 10.

Exemplu: 5 este un divizor al lui 100, deci fracția \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Operații aritmetice pe fracții zecimale

Adăugarea de zecimale

Pentru a adăuga două fracții zecimale, trebuie să le aranjați astfel încât aceleași cifre și o virgulă sub virgulă să apară una sub alta, apoi adăugați fracțiile ca numere obișnuite.

Scăderea zecimalelor

Funcționează în același mod ca și adăugarea.

Înmulțirea zecimală

La înmulțirea numerelor zecimale este suficient să înmulțiți numerele date, ignorând virgulele (ca numere naturale), iar în răspunsul primit virgula din dreapta separă atâtea cifre câte cifre sunt după virgulă în ambii factori în total .

Să facem înmulțirea lui 2,7 cu 1,3. Avem 27 \cdot 13=351 . Separăm două cifre de la dreapta cu o virgulă (primul și al doilea număr au o cifră după virgulă zecimală; 1+1=2). Ca rezultat, obținem 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Dacă rezultatul este mai puțin de cifre decât este necesar să se separe cu o virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:

Pentru a înmulți cu 10, 100, 1000, într-o fracție zecimală, mutați virgula 1, 2, 3 cifre la dreapta (dacă este necesar, un anumit număr de zerouri sunt atribuite la dreapta).

De exemplu: 1,47 \cdot 10\,000 = 14.700 .

Împărțire zecimală

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural. O virgulă în privat este plasată după ce s-a încheiat împărțirea părții întregi.

Dacă partea întreagă a dividendului este mai mică decât divizorul, atunci răspunsul este zero numere întregi, de exemplu:

Luați în considerare împărțirea unei zecimale la o zecimală. Să presupunem că trebuie să împărțim 2,576 la 1,12. În primul rând, înmulțim dividendul și divizorul fracției cu 100, adică mutam virgula la dreapta în dividend și divizor cu atâtea caractere câte sunt în divizor după virgulă (în acest exemplu , Două). Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:

Se întâmplă ca fracția zecimală finală să nu se obțină întotdeauna la împărțirea unui număr la altul. Rezultatul este o zecimală infinită. În astfel de cazuri, mergeți la fracții obișnuite.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Poseda proprietatea de baza a fractiei:

Observație 1

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr natural, atunci obținem o fracție egală cu cea inițială:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

Exemplul 1

Să fie dat un pătrat împărțit în $4$ părți egale. Dacă $2$ din $4$ părți sunt umbrite, obținem $\frac(2)(4)$ umbrite a întregului pătrat. Dacă te uiți la acest pătrat, este evident că exact jumătate din el este umbrit, adică. $(1)(2)$. Astfel, obținem $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. Să factorizăm numerele $2$ și $4$:

Înlocuiți aceste expansiuni în egalitate:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

Exemplul 2

Este posibil să obțineți o fracție egală dacă atât numărătorul, cât și numitorul fracției date sunt înmulțiți cu $18$ și apoi împărțiți la $3$?

Decizie.

Să fie dată o fracție obișnuită $\frac(a)(b)$. Prin condiție, numărătorul și numitorul acestei fracții au fost înmulțite cu $ 18 $, am obținut:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

Conform proprietății de bază a fracției:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

Astfel, fracția rezultată este egală cu cea inițială.

Răspuns: Puteți obține o fracție egală cu originalul.

Aplicarea proprietății de bază a unei fracții

Proprietatea principală a unei fracții este folosită cel mai adesea pentru:

• conversia fracțiilor la un nou numitor:
• abrevieri de fracțiuni.

Aducerea unei fracții la un nou numitor- inlocuirea unei fractii date cu o fractie care va fi egala cu aceasta, dar avand un numarator mai mare si un numitor mai mare. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul fracției se înmulțesc cu același număr natural, în urma căruia, conform proprietății principale a fracției, se obține o fracție egală cu cea inițială, dar cu o mai mare. numărător și numitor.

Reducerea fracțiilor- inlocuirea unei fractii date cu o fractie care va fi egala cu aceasta, dar avand un numarator mai mic si un numitor mai mic. Pentru a face acest lucru, numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite la un divizor comun pozitiv al numărătorului și numitorului, care este diferit de zero, în urma căruia, conform proprietății principale a fracției, se obține o fracție care este egal cu cel inițial, dar cu numărător și numitor mai mici.

Dacă împărțim (reducem) numărătorul și numitorul cu GCD lor, atunci rezultatul este forma ireductibilă a fracției originale.

Reducerea fracțiilor

După cum știți, fracțiile obișnuite sunt divizibile cu contractibilși ireductibil.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției la divizorul lor comun pozitiv, care nu este egal cu zero. La reducerea fracțiilor se obține o nouă fracție cu un numărător și un numitor mai mici, care, conform proprietății principale a fracției, este egală cu cea inițială.

Exemplul 3

Reduceți fracția $\frac(15)(25)$.

Decizie.

Reduceți fracția cu $5$ (împărțiți numărătorul și numitorul ei la $5$):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

Răspuns: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

Obținerea unei fracțiuni ireductibile

Cel mai adesea, o fracție este redusă pentru a obține o fracție ireductibilă egală cu fracția reductibilă inițială. Acest rezultat poate fi obținut prin împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale la GCD-ul lor.

$\frac(a\div mcd (a,b))(b\div mcd (a,b))$ este o fracție ireductibilă, deoarece conform proprietăților GCD, numărătorul și numitorul unei fracții date sunt numere coprime.

GCD(a,b) este cel mai mare număr cu care pot fi împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul fracției $\frac(a)(b)$. Astfel, pentru a reduce o fracție la o formă ireductibilă, este necesar să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la mcd-ul lor.

Observația 2

Regula reducerii fracțiilor: 1. Aflați MCD a două numere care sunt la numărătorul și numitorul fracției. 2. Efectuați împărțirea numărătorului și numitorului fracției la GCD găsit.

Exemplul 4

Reduceți fracția $6/36$ la o formă ireductibilă.

Decizie.

Să reducem această fracție cu GCD$(6,36)=6$, deoarece $36\div 6=6$. Primim:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

Răspuns: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

În practică, expresia „reduceți o fracție” implică faptul că trebuie să reduceți fracția la o formă ireductibilă.

Când studiem fracțiile obișnuite, întâlnim conceptele proprietății principale a unei fracții. O formă simplificată este necesară pentru rezolvarea exemplelor cu fracții obișnuite. Acest articol presupune luarea în considerare a fracțiilor algebrice și aplicarea acestora a proprietății principale, care va fi formulată cu exemple de aplicare a acesteia.

Formulare și justificare

Proprietatea principală a unei fracții are o formulare de forma:

Definiția 1

La înmulțirea sau împărțirea simultană a numărătorului și numitorului cu același număr, valoarea fracției rămâne neschimbată.

Adică obținem că a · m b · m = a b și a: m b: m = a b sunt echivalente, unde a b = a · m b · m și a b = a: m b: m sunt considerate valide. Valorile a, b, m sunt niște numere naturale.

Împărțirea numărătorului și numitorului la un număr poate fi reprezentată ca a · m b · m = a b . Acest lucru este similar cu exemplul de rezolvare 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 . La împărțire, se folosește o egalitate de forma a: m b: m \u003d a b, apoi 8 12 \u003d 2 4 2 4 \u003d 2 3. Poate fi reprezentat și ca a m b m \u003d a b, adică 8 12 \u003d 2 4 3 4 \u003d 2 3.

Adică, proprietatea principală a fracției a · m b · m = a b și a b = a · m b · m va fi considerată în detaliu în contrast cu a: m b: m = a b și a b = a: m b: m .

Dacă numărătorul și numitorul conțin numere reale, atunci se aplică proprietatea. Mai întâi trebuie să dovedim validitatea inegalității scrise pentru toate numerele. Adică, dovediți existența a · m b · m = a b pentru toate reale a , b , m , unde b și m sunt valori diferite de zero pentru a evita împărțirea la zero.

Dovada 1

Fie considerată o fracție de forma a b ca parte a înregistrării z, cu alte cuvinte, a b = z, atunci este necesar să se demonstreze că a · m b · m îi corespunde z, adică să se demonstreze a · m b · m = z. Atunci aceasta ne va permite să dovedim existența egalității a · m b · m = a b .

Bara de fracțiuni înseamnă semnul diviziunii. Aplicând relația cu înmulțirea și împărțirea, obținem că din a b = z după transformare obținem a = b · z . Conform proprietăților inegalităților numerice, ambele părți ale inegalității ar trebui înmulțite cu un alt număr decât zero. Apoi înmulțim cu numărul m, obținem că a · m = (b · z) · m . Prin proprietate, avem dreptul de a scrie expresia sub forma a · m = (b · m) · z . Prin urmare, din definiție rezultă că a b = z . Asta este toată dovada expresiei a · m b · m = a b .

Egalitățile de forma a · m b · m = a b și a b = a · m b · m au sens când în loc de a , b , m există polinoame, iar în loc de b și m sunt nenule.

Proprietatea principală a unei fracții algebrice: când înmulțim simultan numărătorul și numitorul cu același număr, obținem o expresie identică egală cu expresia originală.

Proprietatea este considerată corectă, deoarece operațiile cu polinoame corespund operațiilor cu numere.

Exemplul 1

Luați în considerare exemplul fracției 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 . Este posibil să se convertească la forma 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y).

S-a efectuat înmulțirea cu polinomul x 2 + 2 · x · y. În același mod, proprietatea principală ajută la scăparea de x 2, care este prezent în fracția de forma 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) dată de condiție, la forma 5 x + 5 x 3 + 3. Aceasta se numește simplificare.

Proprietatea principală poate fi scrisă ca expresii a · m b · m = a b și a b = a · m b · m , când a , b , m sunt polinoame sau variabile obișnuite, iar b și m trebuie să fie nenule.

Domeniul de aplicare al proprietății principale a unei fracții algebrice

Utilizarea proprietății principale este relevantă pentru reducerea la un nou numitor sau pentru reducerea unei fracții.

Definiția 2

Reducerea la un numitor comun este înmulțirea numărătorului și a numitorului cu un polinom similar pentru a obține unul nou. Fracția rezultată este egală cu cea inițială.

Adică, o fracție de forma x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 atunci când este înmulțită cu x 2 + 1 și redusă la un numitor comun (x + 1) (x 2 + 1) va obține forma x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

După efectuarea operațiilor cu polinoame, obținem că fracția algebrică este convertită în x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1.

Reducerea la un numitor comun se face și la adunarea sau scăderea fracțiilor. Dacă sunt dați coeficienți fracționari, atunci este necesar să se facă mai întâi o simplificare, care va simplifica forma și însăși găsirea numitorului comun. De exemplu, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Aplicarea proprietății la reducerea fracțiilor se realizează în 2 etape: descompunerea numărătorului și numitorului în factori pentru a afla comunul m, apoi se face trecerea la forma fracției a b , pe baza egalității formei a · m b · m = a b .

Dacă o fracție de forma 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 după descompunere este convertită în x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, este evident că multiplicatorul general este polinomul 4 · x 2 − y . Apoi va fi posibilă reducerea fracției în funcție de proprietatea sa principală. Înțelegem asta

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Fracția este simplificată, apoi la înlocuirea valorilor va fi necesar să se efectueze mult mai puține acțiuni decât la înlocuirea în cea originală.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

De la cursul de algebră din programa școlară, trecem la specific. În acest articol, vom studia în detaliu un tip special de expresii raționale − fracții raționale, și, de asemenea, analiza ce caracteristică identică transformări ale fracțiilor raționale avea loc.

Observăm imediat că fracțiile raționale în sensul în care le definim mai jos sunt numite fracții algebrice în unele manuale de algebră. Adică, în acest articol vom înțelege același lucru în fracțiile raționale și algebrice.

Ca de obicei, începem cu o definiție și exemple. În continuare, să vorbim despre aducerea unei fracții raționale la un nou numitor și despre schimbarea semnelor membrilor fracției. După aceea, vom analiza modul în care se realizează reducerea fracțiilor. În sfârșit, să ne oprim asupra reprezentării unei fracții raționale ca sumă a mai multor fracții. Toate informațiile vor fi furnizate cu exemple cu descrieri detaliate ale soluțiilor.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de fracții raționale

Fracțiile raționale sunt studiate în lecțiile de algebră din clasa a VIII-a. Vom folosi definiția unei fracții raționale, care este dată în manualul de algebră pentru clasele a VIII-a de Yu. N. Makarychev și alții.

Această definiție nu specifică dacă polinoamele din numărătorul și numitorul unei fracții raționale trebuie să fie polinoame de formă standard sau nu. Prin urmare, vom presupune că fracțiile raționale pot conține atât polinoame standard, cât și nestandard.

Iată câteva exemple de fracții raționale. Deci , x/8 și - fracții raționale. Și fracții și nu se potrivesc cu definiția sonoră a unei fracții raționale, deoarece în prima dintre ele numărătorul nu este un polinom, iar în a doua atât numărătorul, cât și numitorul conțin expresii care nu sunt polinoame.

Conversia numărătorului și numitorului unei fracții raționale

Numătorul și numitorul oricărei fracții sunt expresii matematice autosuficiente, în cazul fracțiilor raționale sunt polinoame, într-un caz anume sunt monomii și numere. Prin urmare, cu numărătorul și numitorul unei fracții raționale, ca și în cazul oricărei expresii, pot fi efectuate transformări identice. Cu alte cuvinte, expresia din numărătorul unei fracții raționale poate fi înlocuită cu o expresie care este identic egală cu aceasta, la fel ca și numitorul.

În numărătorul și numitorul unei fracții raționale se pot efectua transformări identice. De exemplu, la numărător, puteți grupa și reduce termeni similari, iar la numitor, produsul mai multor numere poate fi înlocuit cu valoarea acestuia. Și deoarece numărătorul și numitorul unei fracții raționale sunt polinoame, este posibil să se efectueze transformări caracteristice polinoamelor cu ele, de exemplu, reducerea la o formă standard sau reprezentare ca produs.

Pentru claritate, luați în considerare soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Convertiți fracția rațională astfel încât numărătorul este un polinom de forma standard, iar numitorul este produsul polinoamelor.

Decizie.

Reducerea fracțiilor raționale la un nou numitor este utilizată în principal la adunarea și scăderea fracțiilor raționale.

Schimbarea semnelor în fața unei fracții, precum și în numărătorul și numitorul acesteia

Proprietatea de bază a unei fracții poate fi folosită pentru a schimba semnele termenilor fracției. Într-adevăr, înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții raționale cu -1 echivalează cu schimbarea semnelor acestora, iar rezultatul este o fracție care este identic egală cu cea dată. O astfel de transformare trebuie folosită destul de des atunci când se lucrează cu fracții raționale.

Astfel, dacă schimbi simultan semnele numărătorului și numitorului unei fracții, vei obține o fracție egală cu cea inițială. Această afirmație corespunde egalității.

Să luăm un exemplu. O fracție rațională poate fi înlocuită cu o fracție identică egală cu semnele inversate ale numărătorului și numitorului formei.

Cu fracțiile se mai poate realiza o transformare identică, în care semnul este schimbat fie la numărător, fie la numitor. Să trecem peste regula potrivită. Dacă înlocuiți semnul unei fracții împreună cu semnul numărătorului sau numitorului, obțineți o fracție care este identic egală cu originalul. Declarația scrisă corespunde egalităților și .

Nu este greu să dovedești aceste egalități. Dovada se bazează pe proprietățile înmulțirii numerelor. Să demonstrăm primul dintre ele: . Cu ajutorul unor transformări similare se demonstrează și egalitatea.

De exemplu, o fracție poate fi înlocuită cu o expresie sau .

Pentru a încheia această subsecțiune, prezentăm încă două egalități utile și . Adică dacă schimbați semnul doar numărătorului sau numai numitorului, atunci fracția își va schimba semnul. De exemplu, și .

Transformările luate în considerare, care permit schimbarea semnului termenilor unei fracții, sunt adesea folosite la transformarea expresiilor raționale fracțional.

Reducerea fracțiilor raționale

Următoarea transformare a fracțiilor raționale, numită reducerea fracțiilor raționale, se bazează pe aceeași proprietate de bază a unei fracții. Această transformare corespunde egalității, unde a, b și c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero.

Din egalitatea de mai sus, devine clar că reducerea unei fracții raționale implică eliminarea factorului comun din numărătorul și numitorul ei.

Exemplu.

Reduceți fracția rațională.

Decizie.

Factorul comun 2 este imediat vizibil, să-l reducem (la scriere, este convenabil să tăiați factorii comuni prin care se face reducerea). Noi avem . Deoarece x 2 \u003d x x și y 7 \u003d y 3 y 4 (a se vedea dacă este necesar), este clar că x este un factor comun al numărătorului și numitorului fracției rezultate, cum ar fi y 3 . Să reducem prin acești factori: . Aceasta completează reducerea.

Mai sus, am efectuat reducerea secvențială a unei fracții raționale. Și a fost posibil să se efectueze reducerea într-o singură etapă, reducând imediat fracția cu 2·x·y 3 . În acest caz, soluția ar arăta astfel: .

Răspuns:

.

La reducerea fracțiilor raționale, principala problemă este că factorul comun al numărătorului și numitorului nu este întotdeauna vizibil. Mai mult, nu există întotdeauna. Pentru a găsi un factor comun sau pentru a vă asigura că acesta nu există, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul unei fracții raționale. Dacă nu există un factor comun, atunci fracția rațională inițială nu trebuie redusă, în caz contrar, se efectuează reducerea.

În procesul de reducere a fracțiilor raționale, pot apărea diverse nuanțe. Principalele subtilități cu exemple și detalii sunt discutate în articolul reducerea fracțiilor algebrice.

Încheind conversația despre reducerea fracțiilor raționale, observăm că această transformare este identică, iar principala dificultate în implementarea ei constă în factorizarea polinoamelor în numărător și numitor.

Reprezentarea unei fracții raționale ca sumă de fracții

Destul de specifică, dar în unele cazuri foarte utilă, este transformarea unei fracții raționale, care constă în reprezentarea acesteia ca sumă a mai multor fracții, sau suma unei expresii întregi și a unei fracții.

O fracție rațională, în numărătorul căreia se află un polinom, care este suma mai multor monomii, poate fi întotdeauna scrisă ca sumă a fracțiilor cu aceiași numitori, în numărătorii cărora se află monomiile corespunzătoare. De exemplu, . Această reprezentare se explică prin regula adunării și scăderii fracțiilor algebrice cu aceiași numitori.

În general, orice fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în multe moduri diferite. De exemplu, fracția a/b poate fi reprezentată ca suma a două fracții - o fracție arbitrară c/d și o fracție egală cu diferența dintre fracțiile a/b și c/d. Această afirmație este adevărată, deoarece egalitatea . De exemplu, o fracție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții în diferite moduri: Reprezentăm fracția inițială ca sumă a unei expresii întregi și a unei fracții. După împărțirea numărătorului la numitor la o coloană, obținem egalitatea . Valoarea expresiei n 3 +4 pentru orice număr întreg n este un număr întreg. Și valoarea unei fracții este un număr întreg dacă și numai dacă numitorul ei este 1, −1, 3 sau −3. Aceste valori corespund valorilor n=3, n=1, n=5 și respectiv n=−1.

Răspuns:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XIII-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Apropo de matematică, nu se poate să nu-ți amintești fracțiile. Studiului lor i se acordă multă atenție și timp. Amintiți-vă câte exemple a trebuit să rezolvați pentru a învăța anumite reguli de lucru cu fracțiile, cum ați memorat și aplicat principala proprietate a unei fracții. Câți nervi s-au cheltuit pentru a găsi un numitor comun, mai ales dacă în exemple erau mai mult de doi termeni!

Să ne amintim ce este și să ne reîmprospătăm puțin memoria despre informațiile de bază și regulile de lucru cu fracții.

Definiţia fractions

Să începem cu cel mai important lucru - definițiile. O fracție este un număr format din una sau mai multe părți de unitate. Un număr fracționar este scris ca două numere separate prin orizontală sau oblică. În acest caz, cel de sus (sau primul) se numește numărător, iar cel de jos (al doilea) este numit numitor.

Este de remarcat faptul că numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea, iar numărătorul arată numărul de acțiuni sau părți luate. Adesea, fracțiile, dacă sunt corecte, sunt mai mici de unu.

Acum să ne uităm la proprietățile acestor numere și la regulile de bază care sunt folosite atunci când lucrați cu ele. Dar înainte de a analiza un astfel de concept ca fiind „proprietatea principală a unei fracții raționale”, să vorbim despre tipurile de fracții și despre caracteristicile lor.

Ce sunt fracțiile

Există mai multe tipuri de astfel de numere. În primul rând, acestea sunt obișnuite și zecimale. Primele sunt tipul de înregistrare deja indicat de noi folosind o orizontală sau o oblică. Al doilea tip de fracții este indicat folosind așa-numita notație pozițională, atunci când este indicată mai întâi partea întreagă a numărului, iar apoi, după virgulă zecimală, este indicată partea fracțională.

Este demn de remarcat aici că în matematică atât fracțiile zecimale, cât și fracțiile ordinare sunt folosite în mod egal. Proprietatea principală a fracției este valabilă doar pentru a doua opțiune. În plus, în fracțiile obișnuite, se disting numerele corecte și cele greșite. Pentru primul, numărătorul este întotdeauna mai mic decât numitorul. De asemenea, rețineți că o astfel de fracție este mai mică decât unitatea. Într-o fracție improprie, dimpotrivă, numărătorul este mai mare decât numitorul și el însuși este mai mare decât unu. În acest caz, un număr întreg poate fi extras din acesta. În acest articol, vom lua în considerare doar fracțiile obișnuite.

Proprietățile fracțiunii

Orice fenomen, chimic, fizic sau matematic, are propriile caracteristici și proprietăți. Numerele fracționale nu fac excepție. Au o caracteristică importantă, cu ajutorul căreia este posibilă efectuarea anumitor operațiuni asupra lor. Care este proprietatea principală a unei fracții? Regula spune că dacă numărătorul și numitorul lui sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr rațional, vom obține o nouă fracție, a cărei valoare va fi egală cu valoarea inițială. Adică, înmulțind cele două părți ale numărului fracționar 3/6 cu 2, obținem o nouă fracție 6/12, în timp ce acestea vor fi egale.

Pe baza acestei proprietăți, puteți reduce fracțiile, precum și selectați numitori comuni pentru o anumită pereche de numere.

Operațiuni

Deși fracțiile ni se par mai complexe, ele pot efectua și operații matematice de bază, precum adunarea și scăderea, înmulțirea și împărțirea. În plus, există o acțiune specifică precum reducerea fracțiilor. Desigur, fiecare dintre aceste acțiuni este efectuată conform anumitor reguli. Cunoașterea acestor legi facilitează lucrul cu fracții, făcându-l mai ușor și mai interesant. De aceea, vom lua în considerare în continuare regulile de bază și algoritmul acțiunilor atunci când lucrăm cu astfel de numere.

Dar înainte de a vorbi despre astfel de operații matematice precum adunarea și scăderea, vom analiza o astfel de operație ca reducerea la un numitor comun. Aici va fi utilă cunoașterea proprietăților de bază ale unei fracții.

Numitor comun

Pentru a reduce un număr la un numitor comun, mai întâi trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun al celor doi numitori. Adică cel mai mic număr care este divizibil simultan cu ambii numitori fără rest. Cel mai simplu mod de a găsi LCM (cel mai mic multiplu comun) este să scrieți într-o linie pentru un numitor, apoi pentru al doilea și să găsiți un număr care se potrivește între ele. În cazul în care nu se găsește LCM, adică aceste numere nu au un multiplu comun, ele trebuie înmulțite, iar valoarea rezultată ar trebui considerată LCM.

Deci, am găsit LCM, acum trebuie să găsim un multiplicator suplimentar. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți alternativ LCM în numitori de fracții și să notați numărul rezultat peste fiecare dintre ele. Apoi, înmulțiți numărătorul și numitorul cu factorul suplimentar rezultat și scrieți rezultatele ca o nouă fracție. Dacă vă îndoiți că numărul primit este egal cu cel anterior, amintiți-vă de proprietatea principală a fracției.

Plus

Acum să trecem direct la operații matematice pe numere fracționale. Să începem cu cel mai simplu. Există mai multe opțiuni pentru a adăuga fracții. În primul caz, ambele numere au același numitor. În acest caz, rămâne doar să adunăm numărătorii. Dar numitorul nu se schimbă. De exemplu, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Dacă fracțiile au numitori diferiți, acestea ar trebui reduse la unul comun și numai atunci trebuie efectuată adunarea. Cum să faci asta, am discutat cu tine puțin mai sus. În această situație, proprietatea principală a fracției va fi utilă. Regula vă va permite să aduceți numerele la un numitor comun. Valoarea nu se va schimba în niciun fel.

Alternativ, se poate întâmpla ca fracția să fie amestecată. Apoi ar trebui să adăugați mai întâi părțile întregi, apoi pe cele fracționale.

Multiplicare

Nu necesită trucuri, iar pentru a efectua această acțiune nu este necesar să cunoașteți proprietatea de bază a fracției. Este suficient să înmulțiți mai întâi numărătorii și numitorii împreună. În acest caz, produsul numărătorilor va deveni noul numărător, iar produsul numitorilor va deveni noul numitor. După cum puteți vedea, nimic complicat.

Singurul lucru care ți se cere este cunoașterea tabelului înmulțirii, precum și atenție. În plus, după ce ați primit rezultatul, trebuie neapărat să verificați dacă acest număr poate fi redus sau nu. Vom vorbi despre cum să reducem fracțiile puțin mai târziu.

Scădere

Performanța ar trebui să fie ghidată de aceleași reguli ca atunci când adăugați. Deci, în numere cu același numitor, este suficient să scădem numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului. În cazul în care fracțiile au numitori diferiți, ar trebui să le aduceți la unul comun și apoi să efectuați această operație. Ca și în cazul adiției analoge, va trebui să utilizați proprietatea de bază a unei fracții algebrice, precum și abilitățile de a găsi LCM și factori comuni pentru fracții.

Divizia

Iar ultima, cea mai interesantă operație atunci când lucrați cu astfel de numere este împărțirea. Este destul de simplu și nu provoacă dificultăți deosebite chiar și pentru cei care nu înțeleg cum să lucreze cu fracții, în special pentru a efectua operații de adunare și scădere. La împărțire, o astfel de regulă se aplică ca înmulțire cu o fracție reciprocă. Proprietatea principală a unei fracții, ca și în cazul înmulțirii, nu va fi folosită pentru această operație. Să aruncăm o privire mai atentă.

La împărțirea numerelor, dividendul rămâne neschimbat. Divizorul este inversat, adică numărătorul și numitorul sunt inversate. După aceea, numerele sunt înmulțite între ele.

Reducere

Deci, am examinat deja definiția și structura fracțiilor, tipurile lor, regulile de operații pe numere date și am aflat principala proprietate a unei fracții algebrice. Acum să vorbim despre o astfel de operațiune precum reducerea. Reducerea unei fracții este procesul de transformare a acesteia - împărțirea numărătorului și numitorului la același număr. Astfel, fracția este redusă fără a-și modifica proprietățile.

De obicei, atunci când efectuați o operație matematică, ar trebui să priviți cu atenție rezultatul obținut în final și să aflați dacă este posibil să reduceți sau nu fracția rezultată. Amintiți-vă că rezultatul final este întotdeauna scris ca un număr fracționar care nu necesită reducere.

Alte operațiuni

În sfârșit, observăm că am enumerat departe de toate operațiunile pe numere fracționale, menționându-le doar pe cele mai cunoscute și necesare. De asemenea, fracțiile pot fi comparate, convertite în zecimale și invers. Dar în acest articol nu am luat în considerare aceste operații, deoarece în matematică ele sunt efectuate mult mai rar decât cele pe care le-am dat mai sus.

constatări

Am vorbit despre numere fracționale și despre operații cu ele. Am analizat și proprietatea principală, dar observăm că toate aceste aspecte au fost luate în considerare de noi în treacăt. Am dat doar cele mai cunoscute și folosite reguli, am dat cele mai importante, după părerea noastră, sfaturi.

Acest articol are scopul de a reîmprospăta informațiile pe care le-ați uitat despre fracții, mai degrabă decât să ofere informații noi și să vă „umple” capul cu reguli și formule nesfârșite, care, cel mai probabil, nu vă vor fi de folos.

Sperăm că materialul prezentat în articol simplu și concis v-a devenit util.