Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcția de structuri și chiar sport. Ecuațiile au fost folosite de om din cele mai vechi timpuri și de atunci utilizarea lor a crescut. Pentru claritate, să rezolvăm următoarea problemă:

Calculați \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] dacă \

În primul rând, să fim atenți la faptul că un număr este reprezentat în formă algebrică, celălalt - în formă trigonometrică. Trebuie simplificat și adus la următoarea formă

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Expresia \ spune că, în primul rând, facem înmulțirea și ridicarea la puterea a 10-a după formula Moivre. Această formulă a fost formulată pentru forma trigonometrică a unui număr complex. Primim:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Respectând regulile de înmulțire a numerelor complexe în formă trigonometrică, vom face următoarele:

În cazul nostru:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Făcând fracția \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] corectă, concluzionăm că este posibil să „răsucim” 4 spire \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Răspuns: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Această ecuație poate fi rezolvată într-un alt mod, care se rezumă la aducerea celui de-al 2-lea număr în formă algebrică, apoi efectuarea înmulțirii în formă algebrică, traducerea rezultatului în formă trigonometrică și aplicarea formulei Moivre:

Unde pot rezolva online un sistem de ecuații cu numere complexe?

Puteți rezolva sistemul de ecuații pe site-ul nostru https: // site-ul. Soluția online gratuită vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să vă introduceți datele în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE

INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT DE STAT

ÎNVĂŢĂMÂNT PROFESIONAL SUPERIOR

„UNIVERSITATEA PEDAGOGICĂ DE STAT VORONEZH”

SCAUN DE AGLEBRA SI GEOMETRIE

Numere complexe

(sarcini selectate)

LUCRARE DE CALIFICARE FINALA

specialitatea 050201.65 matematica

(cu specialitatea suplimentară 050202.65 informatică)

Completat de: student anul 5

fizice si matematice

facultate

supraveghetor:

VORONEZH - 2008

1. Introducere……………………………………………………...…………..…

2. Numere complexe (probleme selectate)

2.1. Numere complexe în formă algebrică….……………….….

2.2. Interpretarea geometrică a numerelor complexe…………..…

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

2.4. Aplicarea teoriei numerelor complexe la rezolvarea ecuațiilor de gradul 3 și 4…………………………………………………………………

2.5. Numere și parametri complexi………………………...….

3. Concluzie………………………………………………………………………………

4. Lista referințelor………………………………………………………………………………

1. Introducere

În programul de matematică al cursului școlar, teoria numerelor este introdusă folosind exemple de mulțimi de numere naturale, întregi, raționale, iraționale, i.e. pe multimea numerelor reale ale caror imagini umplu intreaga linie numerica. Dar deja în clasa a VIII-a nu există suficient stoc de numere reale, rezolvând ecuații patratice cu un discriminant negativ. Prin urmare, a fost necesară completarea stocului de numere reale cu numere complexe, pentru care rădăcina pătrată a unui număr negativ are sens.

Alegerea temei „Numere complexe”, ca subiect al lucrării mele de calificare finală, constă în faptul că conceptul de număr complex extinde cunoștințele elevilor despre sistemele de numere, despre rezolvarea unei clase largi de probleme de conținut atât algebric, cât și geometric, despre rezolvarea de ecuații algebrice de orice grad și despre rezolvarea de probleme cu parametri.

În această lucrare de teză este luată în considerare soluția a 82 de probleme.

Prima parte a secțiunii principale „Numere complexe” oferă soluții la problemele cu numere complexe în formă algebrică, definește operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, conjugare pentru numere complexe în formă algebrică, gradul unei unități imaginare, modulul unui număr complex și, de asemenea, stabilește regula de extragere a rădăcinii pătrate a unui număr complex.

În partea a doua se rezolvă probleme de interpretare geometrică a numerelor complexe sub formă de puncte sau vectori ai planului complex.

Partea a treia tratează operațiile asupra numerelor complexe în formă trigonometrică. Se folosesc formule: De Moivre și extragerea unei rădăcini dintr-un număr complex.

A patra parte este dedicată rezolvării ecuațiilor de gradul 3 și 4.

La rezolvarea problemelor ultimei părți „Numere și parametri complexe”, se utilizează și se consolidează informațiile date în părțile anterioare. O serie de probleme din acest capitol este dedicată determinării familiilor de drepte în plan complex dat de ecuații (inegalități) cu un parametru. În parte a exercițiilor, trebuie să rezolvați ecuații cu un parametru (peste câmpul C). Există sarcini în care o variabilă complexă satisface simultan o serie de condiții. O caracteristică a rezolvării problemelor din această secțiune este reducerea multora dintre ele la rezolvarea ecuațiilor (inegalități, sisteme) de gradul doi, iraționale, trigonometrice cu un parametru.

O caracteristică a prezentării materialului fiecărei părți este introducerea inițială a fundamentelor teoretice și, ulterior, aplicarea lor practică în rezolvarea problemelor.

La sfârșitul tezei se află o listă de literatură folosită. În majoritatea acestora, materialul teoretic este prezentat suficient de detaliat și într-un mod accesibil, sunt luate în considerare soluții la unele probleme și sunt date sarcini practice pentru rezolvare independentă. Aș dori să acord o atenție deosebită unor surse precum:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Numerele complexe și aplicațiile lor: manual. . Materialul manualului este prezentat sub formă de prelegeri și exerciții practice.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Probleme și teoreme alese de matematică elementară. Aritmetică și algebră. Cartea conține 320 de probleme legate de algebră, aritmetică și teoria numerelor. Prin natura lor, aceste sarcini diferă semnificativ de sarcinile școlare standard.

2. Numere complexe (probleme selectate)

2.1. Numere complexe în formă algebrică

Rezolvarea multor probleme din matematică și fizică se reduce la rezolvarea ecuațiilor algebrice, adică. ecuații ale formei

,

unde a0 , a1 , …, an sunt numere reale. Prin urmare, studiul ecuațiilor algebrice este una dintre cele mai importante întrebări din matematică. De exemplu, o ecuație pătratică cu un discriminant negativ nu are rădăcini reale. Cea mai simplă astfel de ecuație este ecuația

.

Pentru ca această ecuație să aibă o soluție, este necesar să extindem mulțimea numerelor reale adăugând la aceasta rădăcina ecuației

.

Să notăm această rădăcină ca

. Astfel, prin definiție, , sau ,

prin urmare,

. se numește unitatea imaginară. Cu ajutorul ei și cu ajutorul unei perechi de numere reale se formează o expresie a formei.

Expresia rezultată a fost numită numere complexe deoarece conțineau atât părți reale, cât și părți imaginare.

Deci, numerele complexe se numesc expresii ale formei

, și sunt numere reale și este un simbol care satisface condiția . Numărul se numește partea reală a numărului complex, iar numărul se numește partea sa imaginară. Simbolurile , sunt folosite pentru a le desemna.

Numerele complexe ale formei

sunt numere reale și, prin urmare, mulțimea numerelor complexe conține mulțimea numerelor reale.

Numerele complexe ale formei

sunt numite pur imaginare. Două numere complexe de forma și sunt numite egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, i.e. dacă egalitățile , .

Notarea algebrică a numerelor complexe face posibilă efectuarea de operații asupra lor conform regulilor obișnuite ale algebrei.

Pentru a rezolva probleme cu numere complexe, trebuie să înțelegeți definițiile de bază. Obiectivul principal al acestui articol de revizuire este de a explica ce sunt numerele complexe și de a prezenta metode de rezolvare a problemelor de bază cu numere complexe. Astfel, un număr complex este un număr de formă z = a + bi, Unde a, b- numerele reale, care se numesc părțile reale și, respectiv, imaginare ale numărului complex, și denotă a = Re(z), b=Im(z).
i se numește unitatea imaginară. i 2 \u003d -1. În special, orice număr real poate fi considerat complex: a = a + 0i, unde a este real. Dacă a = 0și b ≠ 0, atunci numărul se numește pur imaginar.

Introducem acum operații pe numere complexe.
Luați în considerare două numere complexe z 1 = a 1 + b 1 iși z 2 = a 2 + b 2 i.

Considera z = a + bi.

Mulțimea numerelor complexe extinde mulțimea numerelor reale, care la rândul său extinde mulțimea numerelor raționale și așa mai departe. Acest lanț de înglobări poate fi văzut în figură: N - numere naturale, Z - numere întregi, Q - rațional, R - real, C - complex.

Reprezentarea numerelor complexe

Notația algebrică.

Luați în considerare un număr complex z = a + bi, această formă de scriere a unui număr complex se numește algebric. Am discutat deja despre această formă de scriere în detaliu în secțiunea anterioară. Destul de des folosiți următorul desen ilustrativ

formă trigonometrică.

Din figură se vede că numărul z = a + bi poate fi scris diferit. Este evident că a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, prin urmare z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) se numește argumentul unui număr complex. Această reprezentare a unui număr complex se numește formă trigonometrică. Forma trigonometrică a notației este uneori foarte convenabilă. De exemplu, este convenabil să îl utilizați pentru a ridica un număr complex la o putere întreagă, și anume, dacă z = rcos(φ) + rsin(φ)i, apoi z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, această formulă se numește formula lui De Moivre.

Forma demonstrativă.

Considera z = rcos(φ) + rsin(φ)i este un număr complex în formă trigonometrică, îl scriem într-o formă diferită z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ultima egalitate rezultă din formula lui Euler, așa că am obținut o nouă formă de scriere a unui număr complex: z = re iφ, Care e numit demonstrativ. Această formă de notație este, de asemenea, foarte convenabilă pentru ridicarea unui număr complex la o putere: z n = r n e inφ, Aici n nu neapărat un număr întreg, dar poate fi un număr real arbitrar. Această formă de scriere este destul de des folosită pentru a rezolva probleme.

Teorema fundamentală a algebrei superioare

Imaginați-vă că avem o ecuație pătratică x 2 + x + 1 = 0 . Este evident că discriminantul acestei ecuații este negativ și nu are rădăcini reale, dar rezultă că această ecuație are două rădăcini complexe diferite. Deci, teorema principală a algebrei superioare afirmă că orice polinom de grad n are cel puțin o rădăcină complexă. De aici rezultă că orice polinom de gradul n are exact n rădăcini complexe, ținând cont de multiplicitatea acestora. Această teoremă este un rezultat foarte important în matematică și este aplicată pe scară largă. Un simplu corolar al acestei teoreme este că există exact n rădăcini distincte de unitate de n grade.

Principalele tipuri de sarcini

În această secțiune, vor fi luate în considerare principalele tipuri de probleme simple cu numere complexe. În mod convențional, problemele privind numerele complexe pot fi împărțite în următoarele categorii.

• Efectuarea de operații aritmetice simple pe numere complexe.
• Găsirea rădăcinilor polinoamelor în numere complexe.
• Ridicarea numerelor complexe la putere.
• Extragerea rădăcinilor din numere complexe.
• Aplicarea numerelor complexe pentru rezolvarea altor probleme.

Acum luați în considerare metodele generale de rezolvare a acestor probleme.

Cele mai simple operații aritmetice cu numere complexe se efectuează conform regulilor descrise în prima secțiune, dar dacă numerele complexe sunt prezentate în forme trigonometrice sau exponențiale, atunci în acest caz ele pot fi convertite în formă algebrică și pot efectua operații conform regulilor cunoscute.

Găsirea rădăcinilor polinoamelor se reduce de obicei la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să presupunem că avem o ecuație pătratică, dacă discriminantul ei este nenegativ, atunci rădăcinile sale vor fi reale și se găsesc după o formulă binecunoscută. Dacă discriminantul este negativ, atunci D = -1∙a 2, Unde A este un anumit număr, atunci putem reprezenta discriminantul în formă D = (ia) 2, prin urmare √D = i|a|, și apoi puteți utiliza formula deja cunoscută pentru rădăcinile ecuației pătratice.

Exemplu. Să revenim la ecuația pătratică menționată mai sus x 2 + x + 1 = 0.
discriminant - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Acum putem găsi cu ușurință rădăcinile:

Ridicarea numerelor complexe la o putere se poate face în mai multe moduri. Dacă doriți să ridicați un număr complex în formă algebrică la o putere mică (2 sau 3), atunci puteți face acest lucru prin înmulțire directă, dar dacă gradul este mai mare (în probleme este adesea mult mai mare), atunci trebuie să scrieți acest număr în forme trigonometrice sau exponențiale și folosiți metode deja cunoscute.

Exemplu. Se consideră z = 1 + i și se ridică la a zecea putere.
Scriem z în formă exponențială: z = √2 e iπ/4 .
Apoi z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Să revenim la forma algebrică: z 10 = -32i.

Extragerea rădăcinilor din numere complexe este operația inversă față de exponențiere, deci se face într-un mod similar. Pentru a extrage rădăcinile, este adesea folosită forma exponențială de scriere a unui număr.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile de gradul 3 de unitate. Pentru a face acest lucru, găsim toate rădăcinile ecuației z 3 = 1, vom căuta rădăcinile în formă exponențială.
Înlocuiți în ecuație: r 3 e 3iφ = 1 sau r 3 e 3iφ = e 0 .
Prin urmare: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, deci φ = 2πk/3.
Se obțin diverse rădăcini la φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Prin urmare 1 , e i2π/3 , e i4π/3 sunt rădăcini.
Sau sub formă algebrică:

Ultimul tip de probleme include o mare varietate de probleme și nu există metode generale de rezolvare a acestora. Iată un exemplu simplu de astfel de sarcină:

Găsiți suma sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Deși formularea acestei probleme nu se referă la numere complexe, dar cu ajutorul lor se poate rezolva cu ușurință. Pentru a o rezolva, se folosesc următoarele reprezentări:


Dacă substituim acum această reprezentare în sumă, atunci problema se reduce la însumarea progresiei geometrice obișnuite.

Concluzie

Numerele complexe sunt utilizate pe scară largă în matematică, acest articol de recenzie a discutat despre operațiile de bază asupra numerelor complexe, a descris mai multe tipuri de probleme standard și a descris pe scurt metode generale de rezolvare a acestora, pentru un studiu mai detaliat al posibilităților numerelor complexe, se recomandă să folosi literatura de specialitate.

Literatură