Perimetrul - unul dintre termenii matematici, sau mai degrabă, geometrici, este folosit în principal pentru a calcula laturile unei figuri.

Din articolul nostru, veți afla ce este un perimetru și cum este măsurat folosind exemplul formelor geometrice de bază.

Definirea perimetrului

Perimetrul este lungimea totală a tuturor laturilor sau circumferința unei figuri. Perimetrul este notat cu litera majusculă „P” și poate fi măsurat în diferite unități de lungime, cum ar fi milimetri (mm), centimetri (cm), metri (m), etc. Pentru diferite forme, există diferite formule pentru găsirea perimetrului. Mai jos vom oferi câteva exemple despre cum să aflați perimetrul unui dreptunghi și alte forme.

Măsurăm perimetrul

Dacă trebuie să aflați perimetrul unei figuri complexe (astfel de figuri includ figuri cu linii neuniforme), atunci pentru aceasta veți avea nevoie de o frânghie sau un fir. Cu ajutorul acestor lucruri, este necesar să descrieți conturul exact al figurii și, pentru a nu vă încurca, puteți face semne pe frânghie cu un creion. Sau îl puteți tăia și apoi atașați toate piesele la riglă. Astfel, vei afla care este perimetrul aproape oricărei figuri complexe.

Există un alt dispozitiv pentru calcularea perimetrului figurilor complexe: se numește curvimetru (telemetru cu role). Cu acesta, trebuie să setați rola în orice punct al figurii și să descrieți conturul figurii cu rola. Numărul rezultat va fi egal cu perimetrul. Puteți afla despre găsirea perimetrului altor forme geometrice din articolul nostru. Ei bine, vă vom spune despre mai multe moduri de a schimba perimetrul pentru diferite forme.

Cerc, pătrat, triunghi echilateral

Să ne uităm și la cum să aflăm perimetrul unui cerc. Este destul de simplu: trebuie doar să determinați circumferința și puteți face acest lucru înmulțind raza „r” cu numărul π≈3,14 și apoi cu 2 (P=L=2∙π∙r).

Instruire

Surse:

• cum să găsiți perimetrul lui abcd

Perimetrul este suma lungimilor laturilor unei figuri geometrice. Cu alte cuvinte, dacă luați un fir și îl așezați pe o masă, de exemplu, un pătrat, și apoi măsurați lungimea acestui fir, atunci cifra rezultată va fi perimetrul acestui pătrat. Toată lumea știe ce este un perimetru, dar nu toată lumea își poate da seama imediat cum să-l calculeze.
Există diferite moduri de a măsura perimetrul diferitelor forme.

Instruire

Pătrat. Este bine cunoscut faptul că un pătrat are 4 laturi și sunt . Prin urmare, pentru a calcula perimetrul acestuia astfel:

unde a este lungimea unei laturi a figurii.

Pur și simplu, măsurați una dintre laturile pătratului și înmulțiți această cifră cu numărul de laturi, adică cu 4. În cazul nostru, este de 16 cm (4 * 4).

Dreptunghi și romb. Pentru aceste două figuri, numai laturile paralele între ele sunt egale, respectiv, perimetrul este determinat după cum urmează:

unde a și b sunt laturi care se ating. Astfel, în exemplul nostru, perimetrul dreptunghiului este de 24 cm (2*(8+4)).

Triunghi. Deoarece triunghiurile sunt complet diferite - isoscele, neregulate, cu colțuri, singura modalitate corectă de a determina perimetrul unei astfel de figuri este formula:

Adică, pentru a calcula perimetrul unui triunghi, pur și simplu măsurați lungimile tuturor celor trei laturi și adăugați numerele rezultate. În cazul nostru, perimetrul triunghiului este de 10,7 cm (2+5+3,7).

Perimetrul se numește circumferința unui cerc, care se calculează printr-o formulă specială:

unde d sunt cercuri, iar 3,14 este numărul „pi”, care a fost derivat special de oamenii de știință pentru a determina perimetrul unei figuri geometrice date. Cercul nostru (vezi) are 3 cm, adică perimetrul cercului este de 9,42 cm (3 * 3,14).

Surse:

• cum să găsești circumferința unui cerc

Ohm se numește în general lungimea liniei care limitează figura închisă. Pentru poligoane, perimetrul este suma tuturor lungimilor laturilor. Această valoare poate fi măsurată, iar pentru multe cifre poate fi calculată simplu dacă se cunosc lungimile elementelor corespunzătoare.

Vei avea nevoie

• - riglă sau bandă de măsurare;
• - fir puternic;
• - telemetru cu role.

Instruire

Pentru a măsura un poligon arbitrar, măsurați toate laturile acestuia cu o riglă sau alt dispozitiv de măsurare și apoi găsiți suma lor. Având în vedere un patrulater cu laturile de 5, 3, 7 și 4 cm, care se măsoară cu o riglă, găsiți perimetrul adunând P = 5 + 3 + 7 + 4 = 19 cm.

Dacă figura este arbitrară și include nu numai linii drepte, atunci măsurați perimetrul acesteia cu o frânghie sau un fir obișnuit. Pentru a face acest lucru, poziționați-l astfel încât să repete exact toate liniile care delimitează figura și faceți un semn pe ea, dacă este posibil, tăiați-l pentru a evita confuzia. Apoi, folosind o bandă de măsurare sau o riglă, măsurați lungimea firului, aceasta va fi egală cu perimetrul acestei figuri. Asigurați-vă că firul urmează linia cât mai precis posibil pentru o mai mare acuratețe a rezultatului.

Măsurați perimetrul unei figuri geometrice complexe cu un telemetru cu role (curvimetru). Pentru a face acest lucru, pe linie este marcat un punct, în care rola telemetrului este instalată și rulată de-a lungul ei, până când revine la punctul de plecare. Distanța măsurată de telemetrul cu role va fi egală cu perimetrul figurii.

Calculați perimetrul unor forme geometrice. De exemplu, pentru a găsi perimetrul oricărui poligon regulat (un poligon convex ale cărui laturi sunt ), înmulțiți lungimea laturii cu numărul de unghiuri sau laturi (sunt egale). Pentru a găsi perimetrul unui triunghi regulat cu latura de 4 cm, înmulțiți acesta cu 3 (P=4∙3=12 cm).

Pentru a găsi perimetrul, adăugați lungimile tuturor laturilor sale. Dacă nu sunt date toate laturile, dar există unghiuri pentru ele, găsiți-le folosind teorema sinusului sau cosinusului. Dacă sunt cunoscute două laturi ale unui triunghi dreptunghic, găsiți a treia latură folosind teorema lui Pitagora și găsiți suma lor. De exemplu, dacă se știe că catetele unui triunghi dreptunghic au 3 și 4 cm, atunci ipotenuza va fi egală cu √ (3² + 4²) \u003d 5 cm. Atunci perimetrul P \u003d 3 + 4 + 5 \ u003d 12 cm.

Surse:

• perimetru

Pentru a rezolva această problemă folosind metode de algebră vectorială, trebuie să cunoașteți următoarele concepte: suma vectorială geometrică și produsul scalar al vectorilor și ar trebui să vă amintiți, de asemenea, proprietatea sumei unghiurilor interioare ale unui patrulater.

Vei avea nevoie

• - hartie;
• - pix;
• - rigla.

Instruire

Un vector este un segment direcționat, adică o valoare care este considerată complet dată dacă sunt date lungimea și direcția (unghiul) lui față de o axă dată. Poziția vectorului nu mai este restricționată. Doi vectori care au lungimi și aceeași direcție sunt considerați egali. Prin urmare, atunci când se folosesc coordonate, vectorii sunt reprezentați prin vectori cu rază ai punctelor capătului său (începând de la origine).

Prin definiție: vectorul rezultat al sumei geometrice a vectorilor este un vector care provine de la începutul primului și are un capăt al celui de-al doilea, cu condiția ca sfârșitul primului să fie aliniat cu începutul celui de-al doilea. Acest lucru poate fi continuat mai departe, construind un lanț de vectori localizați în mod similar.
Desenați ABCD dat cu vectorii a, b, c și d în fig. 1. Evident, cu acest aranjament, vectorul rezultat este d=a+ b+c.

Produsul scalar în acest caz este mai convenabil pe baza vectorilor a și d. Produsul punctual, notat cu (a, d)= |a||d|cosφ1. Aici φ1 este unghiul dintre vectorii a și d.
Produsul scalar al vectorilor dat de coordonate este definit după cum urmează:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, apoi
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Conceptele de bază ale algebrei vectoriale în raport cu problema pusă duc la faptul că pentru o afirmație neechivocă a acesteia este suficient să se precizeze trei vectori localizați, să zicem, pe AB, BC și CD, adică a, b, c. . Desigur, puteți seta imediat punctele A, B, C, D, dar această metodă este redundantă (4 parametri în loc de 3).

Exemplu. Patrulaterul ABCD este dat de vectorii laturilor sale AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Găsiți unghiurile dintre laturile sale.
Decizie. În legătură cu cele de mai sus, al 4-lea vector (pentru AD)
d(dx,dy)=a+ b+c=(ax+bx +cx, ay+by+cy)=(1,3). Urmând metoda de calcul a unghiului dintre vectori a
cosφ1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), φ1=arcos(1/sqrt(10)).
-cosφ2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, φ2=arcos(-1/sqrt2), φ2=3p/ 4.
-cosФ3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), Ф3=arcos(-1/sqrt(10)) \u003d p-f1.
În conformitate cu Observația 2 - φ4=2p- φ1 - φ2- φ3=p/4.

Videoclipuri asemănătoare

Notă

Observație 1. Definiția produsului scalar folosește unghiul dintre vectori. Aici, de exemplu, f2 este unghiul dintre AB și BC, iar între a și b acest unghi este p-f2. cos(p- f2)=- cosf2. În mod similar pentru f3.
Observația 2. Se știe că suma unghiurilor unui patrulater este 2n. Prin urmare φ4=2p- φ1 - φ2- φ3.

Orice figură geometrică convexă și plată are o linie care îi limitează spațiul interior - perimetrul. Pentru poligoane, este format din segmente (laturi) separate, a căror sumă lungimii determină lungimea perimetrului. Secțiunea planului delimitată de acest perimetru poate fi exprimată și în termeni de lungimi ale laturilor și unghiurilor la vârfurile figurii. Mai jos sunt formulele corespunzătoare pentru unul dintre tipurile de poligoane - un paralelogram.

Instruire

Dacă problemele sunt date lungimile a două laturi adiacente ale unui paralelogram (a și b) și unghiul dintre ele (γ), atunci acest lucru va fi suficient pentru a calcula ambii parametri. Pentru a calcula perimetrul (P) unui patrulater, se adună lungimile laturilor și se dublează valoarea rezultată: P = 2*(a+b). Va trebui să calculați cifrele (S) folosind funcția trigonometrică - sinusul. Înmulțiți lungimile laturilor și înmulțiți rezultatul cu unghiul cunoscut: S = a*b*sin(γ).

Dacă se cunoaște lungimea doar a uneia dintre laturile (a) ale paralelogramului, dar există date despre (h) și unghiul (α) la oricare dintre vârfuri, atunci perimetrul (P) (S) va permite, de asemenea, acest lucru. Suma tuturor unghiurilor din oricare este egală cu 360 °, iar într-un paralelogram acelea dintre ele care se află la vârfuri opuse sunt aceleași. Prin urmare, pentru a găsi valoarea unghiului necunoscut rămas, scădeți valoarea cunoscută de la 180°. După aceea, luați în considerare un triunghi format dintr-o înălțime și un unghi opus acestuia, ale căror valori sunt cunoscute, precum și o latură care nu este încă cunoscută. Aplicați-i teorema sinusului și aflați că lungimea laturii va fi egală cu raportul dintre înălțimea și sinusul unghiului opus acesteia: h / sin (α).

După efectuarea calculelor preliminare ale etapei precedente, faceți cele necesare. Înlocuiți expresia rezultată în formula de la primul pas și obțineți egalitatea: P = 2*(a+h/sin(α)). În cazul în care înălțimea conectează două laturi opuse ale paralelogramului, a căror lungime este dată în condițiile inițiale, pentru a găsi aria, pur și simplu înmulțiți aceste două valori: S \u003d a * h. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci înlocuiți expresia pentru cealaltă parte obținută în pasul anterior în formula: S=a*h/sin(α).

Videoclipuri asemănătoare

Printre principalele sarcini ale geometriei analitice, în primul rând este reprezentarea inegalităților geometrice, a ecuațiilor sau a unui sistem al uneia sau celeilalte. Acest lucru este posibil datorită utilizării coordonatelor. Un matematician experimentat, doar privind ecuația, poate spune cu ușurință ce figură geometrică poate fi desenată.

Instruire

Ecuația F (x, y) poate fi folosită pentru a defini o linie curbă sau dreaptă dacă sunt îndeplinite două condiții: dacă coordonatele unui punct care nu aparține dreptei date nu satisfac ecuația; dacă fiecare punct al dreptei dorite cu coordonate satisface această ecuaţie.

O ecuație de forma x+√(y(2r-y))=r arccos (r-y)/r definește un cicloid în coordonate carteziene - o traiectorie descrisă de un punct pe un cerc cu raza r. În acest caz, cercul nu este de-a lungul axei x, ci se rostogolește. Ce cifră se obține în acest caz, vezi Figura 1.

O figură ale cărei coordonate punctuale sunt date de următoarele ecuații:
x=(R+r) cosφ - rcos (R+r)/r φ
y=(R+r) sinφ - rsin (R-r)/r φ,
numit epicicloid. Este o traiectorie descrisă de un punct pe un cerc cu raza r. Acest cerc se rostogolește de-a lungul altui cerc cu raza R din exterior. Apoi, epicicloid, vezi Figura 2.

Există mai multe concepte de perimetru.

Geometric: fiecare plan închis are lungimea limitelor sale. Și din domeniul securității. Adică, perimetrul se numește frontieră efectiv protejată sau teritoriul obiectului protejat. Deoarece acest subiect se află la rubrica „Educație” și nu la rubrica „Legi și securitate”, ar trebui să ne oprim asupra conceptului geometric al perimetrului.

Deci, ce este un perimetru?

Din anumite motive, această întrebare îi derută pe unii tineri. Nu au învățat asta la școală? Dacă unele formule matematice (geometrice) cu care sunt umpluți școlarii nu sunt niciodată utile în viață, atunci a ști ce este un perimetru este pur și simplu necesară, iar aceste cunoștințe, poți fi sigur, vor fi solicitate.

Care este perimetrul casei tale de țară? Și complotul? Suprafața ambelor depinde de perimetru. Și dacă grădina, câmpul, grădina ta are formă ovală sau multe colțuri? Cum le cunoști perimetrul?

Pentru început, ar trebui să te uiți în dicționare și enciclopedii. Și să înțelegeți singur ce include conceptul de „perimetru”.

Marele Dicționar Enciclopedic definește perimetrul astfel: este lungimea unui contur care este închis. Suma lungimilor laturilor unei figuri geometrice, de exemplu, toate cele cinci laturi ale unui pentagon.

Să presupunem că există o bucată de pământ care reprezintă un pentagon. O parte se întinde pe 20 de metri, cealaltă 16, a treia 4, a patra 11 și a cincea 6 metri. Care este perimetrul terenului? Cu o simplă adunare aritmetică, calculăm perimetrul terenului: 20 + 16 + 4 + 11 + 6 = 57 de metri.

Dicționarul lui Ushakov oferă o astfel de explicație a conceptului de „perimetru”: aceasta este suma lungimilor tuturor laturilor unei figuri plate. Ceea ce am ilustrat deja în exemplul de mai sus.

Dar ce zici de cerc? E și ea plată. Care este perimetrul său și cum se calculează?

Există o formulă pentru calcularea perimetrului (lungimea) unui cerc. Dar pentru aceasta, trebuie mai întâi să vă amintiți ce este un cerc și ce elemente are. Un cerc este o curbă, care nu este doar plată și închisă, ci și toate punctele sale sunt situate la aceeași distanță de un punct dat, numit centru.

Segmentul de linie care leagă acest centru cu orice punct al cercului este raza (R).

Un segment de linie dreaptă care trece prin centrul cercului și leagă cele două puncte ale sale, cele mai îndepărtate unul de celălalt, este diametrul (D). Diametrul este egal cu două raze.

Raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său este același pentru orice cerc și este egal cu numărul constant 3, 14 ... Acest număr este notat cu litera π (pi).

Acum putem da o formulă pentru calcularea perimetrului (lungimea) unui cerc: P = 2πR sau π D.

Să presupunem că știm raza cercului: 5 metri. Care va fi perimetrul lui?

Acțiunile aici vor fi următoarele: înmulțim diametrul (10 metri) cu 3, 14. Și obținem perimetrul cercului, egal cu 31,4 metri.

Există și figuri mai complexe, al căror perimetru trebuie cunoscut. Aici se folosesc metode de analiză matematică pentru a calcula perimetrul, ceea ce necesită cunoștințe speciale...

Astăzi vom vorbi despre cum să calculăm perimetrul poligonului. Dar mai întâi, să vorbim despre varietatea figurilor. Uitate la imagine. Ce cifre vedem aici? Acestea sunt un dreptunghi și un pătrat - poligoane care au patru laturi, precum și un triunghi cu trei laturi și un pentagon cu cinci laturi.

Și cum să găsiți perimetrul acestor figuri?

Pentru a găsi perimetrul unui poligon, adăugați lungimile tuturor laturilor acestuia..

Perimetrul este indicat printr-o litera latină majusculă R.

Să ne uităm la câteva exemple.

Calculați perimetrul poligonului O. După cum am spus mai devreme, perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor sale. Să adăugăm toate laturile poligonului nostru:

P \u003d 15 + 17 + 10 + 10 + 20 + 15 \u003d 87

Dar puteți calcula perimetrul într-un alt mod, folosind înmulțirea. Vedem că unele laturi ale poligonului sunt aceleași. Avem două fețe de 15 unități convenționale și încă două de 10. Să scriem expresia:

P \u003d 15 × 2 + 10 × 2 + 17 + 20 \u003d 87

Acum să vorbim despre caracteristicile calculării perimetrului unor poligoane.

Un dreptunghi este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt egale. De exemplu, pentru a calcula A cu laturile a și b, trebuie să adăugați aceste laturi și să înmulțiți rezultatul cu 2:

P(dreptunghi) = (a + b) × 2

Adică, dacă latura dreptunghiului a \u003d 5 cm și latura dreptunghiului b \u003d 3 cm, atunci perimetrul dreptunghiului va fi:

P \u003d (5 + 3) × 2 \u003d 16 cm

Dar cum să găsești laturile necunoscute ale unui dreptunghi dacă perimetrul său și doar una dintre laturi sunt cunoscute?

P(dreptunghi) = 2 × a + 2 × b

a \u003d (P - 2 × b) ÷ 2 sau b \u003d (P - 2 × a) ÷ 2

Exemplu: Perimetrul unui dreptunghi este de 16 cm, latura a = 5 cm Care sunt celelalte laturi ale dreptunghiului?

Dacă cunoaștem o latură a unui dreptunghi, atunci lungimile a două dintre cele patru laturi ne sunt cunoscute. Să găsim celelalte două părți. Adică găsim unul, iar al doilea va fi egal cu acesta.

partea b \u003d (16 - 2 × 5) ÷ 2 \u003d 3 cm

Răspuns: Un dreptunghi are două laturi de 5 cm și două de 3 cm.

Un pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale. Pentru a calcula, trebuie să înmulțiți lungimea unei laturi cu 4:

P(pătrat) = a × 4

De exemplu, pătratul B are latura a = 5 cm. Pentru a-i găsi perimetrul:

P (B) \u003d 5 × 4 \u003d 20 cm

Și dacă perimetrul unui pătrat este cunoscut, cum să găsiți lungimile laturilor sale? Foarte simplu, trebuie să-i împărțiți perimetrul în patru:

a = P ÷ 4

Exemplu: Perimetrul unui pătrat este de 24 cm.Care sunt laturile lui?

a = 24 ÷ 4 = 6

Răspuns: Laturile unui pătrat au 6 cm.

În asemănarea calculării perimetrului unui pătrat, perimetrul tuturor poligoane echilaterale. Adică, este egală cu lungimea uneia dintre laturile sale înmulțită cu numărul de laturi.

Dacă lungimea unei laturi a poligonului este a, iar numărul laturilor sale este n, atunci perimetrul acestuia va fi egal cu:

P(poligon echilateral) = a × n

De exemplu, un pentagon D are latura a = 6 cm. Să-i găsim perimetrul:

R (D) \u003d 6 × 5 \u003d 30 cm

Ei bine, dacă perimetrul unui poligon echilateral este cunoscut, atunci calcularea lungimii laturilor sale este foarte simplă, trebuie să împărțiți perimetrul acestuia la numărul de laturi.

Perimetrul (altul - greacă περίμετρον - cerc, altul - greacă περιμετρέο - Măsur în jur) - lungimea totală a graniței figurii (cel mai adesea în plan). Are aceeași dimensiune ca și lungimea. Uneori, perimetrul este numit limita unei figuri geometrice.

Zona - o caracteristică numerică a unei figuri geometrice bidimensionale (plată sau curbă), vorbind informal, care arată dimensiunea acestei figuri. Din punct de vedere istoric, calculul ariei a fost numit cuadratura. O figură care are o zonă se numește pătrat. Valoarea specifică a zonei pentru cifre simple rezultă în mod clar din cerințele practic importante pentru acest concept (a se vedea mai jos). Figurile cu aceeași zonă se numesc zone egale.

Perimetrul figurii are un singur parametru - lungimea sau lungimea, exprimată în unități de lungime: metru, iardă, arshin, cot. Sau derivate ale acestora: kilometru, centimetru, decimetru.

Zona unei figuri are doi parametri - de exemplu, lungime și lățime sau raza și pi, în funcție de formă. Mărimea suprafeței este exprimată în unități pe pătrat: metri pătrați, hectare, mile pătrate

Perimetrul și definiția lui

Se obișnuiește să se numească perimetrul lungimea graniței unei figuri plate, constând din segmente drepte, unde începutul fiecăruia următor se învecinează cu sfârșitul celui precedent.

Strict vorbind, un cerc are și un perimetru, dar pentru limitele curbilinie se obișnuiește să se vorbească despre circumferință sau lungimea arcului.

Pentru a determina lungimea perimetrului, este necesar să se măsoare sau să se calculeze lungimea fiecărei laturi a figurii și apoi să se însumeze numerele rezultate.

Aria unei figuri și definiția ei

Aria celor mai simple forme geometrice este determinată de formule.

Aria unui dreptunghi este egală cu produsul lungimilor laturilor.
Aria unui cerc este egală cu produsul dintre pătratul razei și numărul Pi \u003d 3,1415
Există formule pentru un triunghi, sector, trapez, paralelogram.

Aria figurilor curbilinii complexe este calculată prin integrală. Luând integrala formulei care descrie limita figurii va rezulta zona. Acesta este sensul geometric al integralei - calculează aria delimitată de graficul funcției într-o zonă dată.

O figură complexă, lkz din care nu există o formulă generală, este împărțită mental în figuri simple pentru a determina zona. Se calculează ariile cifrelor simple și apoi se însumează.

Perimetrul și aria unei figuri geometrice sunt legate și un parametru poate fi întotdeauna calculat din celălalt cu date suplimentare minime.