Omotezia și asemănarea.Omotezia - o transformare în care fiecare punct M (plan sau spațiu) i se atribuie un punct M", întins pe OM (Fig. 5.16), iar raportul OM":OM= λ la fel pentru toate punctele, altele decât O. punct fix O se numește centru de homotezie. Atitudine OM": OM considerat pozitiv dacă M" și M intins pe o parte a O, negativ - pe părți opuse. Număr X se numește coeficient de homotezie. La X< 0 homotezia se numește inversă. Laλ = - 1 omotezia devine o transformare de simetrie în jurul unui punct O. Cu omotezie, o dreaptă trece într-o dreaptă, se păstrează paralelismul dreptelor și planelor, se păstrează unghiurile (liniare și diedre), fiecare figură trece în ea similare (Fig. 5.17).

Este adevărat și invers. O homotezie poate fi definită ca o transformare afină în care liniile care leagă punctele corespunzătoare trec printr-un punct - centrul homoteției. Omotetia este folosita pentru marirea imaginilor (lampa de proiectie, cinema).

Simetrie centrală și oglindă.Simetria (în sens larg) este o proprietate a unei figuri geometrice Ф, care caracterizează o anumită corectitudine a formei sale, invarianța sa sub acțiunea mișcărilor și reflexiilor. Figura Ф are simetrie (simetrică) dacă există transformări ortogonale neidentice care iau această figură în sine. Setul tuturor transformărilor ortogonale care combină figura Ф cu ea însăși este grupul acestei figuri. Deci, o figură plată (Fig. 5.18) cu un punct M, transformând-

Xia în tine cu o oglindă reflexie, simetrică față de axa dreaptă AB. Aici grupul de simetrie este format din două elemente - punctul M convertit la M".

Dacă figura Ф din plan este de așa natură încât rotațiile în jurul unui punct O printr-un unghi de 360°/n, unde n > 2 este un număr întreg, transformați-l în sine, atunci figura Ф are simetrie de ordinul n-a față de punct O - centrul de simetrie. Un exemplu de astfel de figuri sunt poligoane regulate, de exemplu, în formă de stea (Fig. 5.19), care au simetrie de ordinul al optulea în jurul centrului său. Grupul de simetrie aici este așa-numitul grup ciclic de ordinul n-lea. Cercul are simetrie de ordine infinită (deoarece este combinat cu el însuși prin rotire prin orice unghi).

Cele mai simple tipuri de simetrie spațială este simetria centrală (inversiunea). În acest caz, cu privire la punct O figura Ф este combinată cu ea însăși după reflexii succesive din trei plane reciproc perpendiculare, adică punctul O - mijlocul segmentului care leagă punctele simetrice F. Deci, pentru cub (Fig. 5.20) punctul O este centrul de simetrie. puncte cub M și M".

CAPITOLUL TREI

POLIEDRICE

V. CONCEPTUL DE SIMETRIA FIIGURILOR SPATIALE

99. Simetria centrală. Două figuri se numesc simetrice față de orice punct O din spațiu dacă fiecărui punct A al unei figuri îi corespunde un punct A din cealaltă figură, situat pe linia dreaptă OA de cealaltă parte a punctului O, la o distanță egală cu distanţa punctului A de punctul O (Fig. 114) se numeşte punctul O centru de simetrie cifre.

Am văzut deja un exemplu de astfel de figuri simetrice în spațiu (§ 53), când, continuând dincolo de vârful muchiilor și fețelor unui unghi poliedric, am obținut un unghi poliedric simetric celui dat. Segmentele și unghiurile corespunzătoare care fac parte din două figuri simetrice sunt egale între ele. Cu toate acestea, figurile în ansamblu nu pot fi numite egale: ele nu pot fi combinate între ele datorită faptului că ordinea de aranjare a părților într-o figură este diferită de cea din alta, așa cum am văzut în exemplul unghiurilor poliedrice simetrice. .

În unele cazuri, figurile simetrice pot fi combinate, dar în același timp părțile lor inconsistente vor coincide. De exemplu, să luăm un unghi triedric drept (Fig. 115) cu un vârf în punctul O și muchiile OX, OY, OZ.

Să construim un unghi simetric OX"Y"Z" pentru el. Unghiul OXYZ poate fi combinat cu OX"Y"Z" astfel încât muchia OX să coincidă cu OY", iar muchia OY cu OX". Dacă combinăm muchiile corespunzătoare OX cu OX" și OY cu OY", atunci muchiile OZ și OZ" vor fi direcționate în direcții opuse.

Dacă figurile simetrice împreună formează un corp geometric, atunci ele spun că acest corp geometric are un centru de simetrie. Astfel, dacă un corp dat are un centru de simetrie, atunci orice punct aparținând acestui corp corespunde unui punct simetric care aparține și acestui corp. Dintre corpurile geometrice pe care le-am considerat, de exemplu, centrul de simetrie are: 1) un paralelipiped, 2) o prismă, care are la bază un poligon regulat cu un număr par de laturi.

Un tetraedru regulat nu are centru de simetrie.

100. Simetria fata de plan. Două figuri spațiale sunt numite simetrice față de planul P dacă fiecărui punct A dintr-o figură îi corespunde altui punct A ", iar segmentul AA" este perpendicular pe planul P și este împărțit în jumătate în punctul de intersecție cu acest plan. .

Teorema. Oricare două segmente corespunzătoare din două figuri simetrice sunt egale între ele.

Să fie date două figuri care sunt simetrice față de planul P. Să selectăm două orice puncte A și B ale primei figuri, fie A „și B” punctele celei de-a doua figuri care le corespund (Fig. 116, figurile nu sunt prezentate în desen).

Fie mai departe C punctul de intersecție al segmentului AA „cu planul P, D - punctul de intersecție al segmentului BB” cu același plan. Conectând punctele C și D cu un segment de dreaptă, obținem două patrulatere ABDC și A „B” DC. Deoarece AC \u003d A "C, BD \u003d B" D și
/ ACD= / ACD, / BDC= / În „DC, ca unghiuri drepte, atunci aceste patrulatere sunt egale (ceea ce este ușor de verificat prin suprapunere). Prin urmare, AB \u003d AB” Rezultă direct din această teoremă că unghiurile plane și diedrice corespunzătoare a două figuri sunt simetrice față de planuri sunt egale între Cu toate acestea, este imposibil să combinați aceste două figuri între ele, astfel încât părțile lor corespunzătoare să fie combinate, deoarece ordinea părților dintr-o figură este inversă cu cea din cealaltă (acest lucru va fi demonstrat mai jos, § 102). ).două figuri care sunt simetrice față de un plan sunt: ​​orice obiect și reflexia acestuia într-o oglindă plană; orice figură care este simetrică cu reflexia sa în oglindă față de planul oglinzii.

Dacă orice corp geometric poate fi împărțit în două părți simetrice față de un plan, atunci acest plan se numește planul de simetrie al acestui corp.

Corpurile geometrice cu un plan de simetrie sunt extrem de comune în natură și în viața de zi cu zi. Corpul uman și cel animal au un plan de simetrie care îl împarte în părți din dreapta și din stânga.

În acest exemplu, este deosebit de clar că figurile simetrice nu pot fi combinate. Așadar, mâinile mâinii drepte și stângi sunt simetrice, dar nu pot fi combinate, ceea ce se vede cel puțin din faptul că aceeași mănușă nu poate fi potrivită atât în ​​mâinile drepte, cât și în stânga. Un număr mare de articole de uz casnic au un plan de simetrie: un scaun, o masă, o bibliotecă, o canapea etc. Unele, cum ar fi o masă, chiar au nu unul, ci două planuri de simetrie (Fig. 117) .

De obicei, când luăm în considerare un obiect care are un plan de simetrie, ne străduim să luăm o astfel de poziție în raport cu acesta, încât planul de simetrie al corpului nostru, sau cel puțin al capului nostru, să coincidă cu planul de simetrie al obiectului însuși. În acest caz. forma simetrică a obiectului devine deosebit de remarcabilă.

101. Simetrie în jurul axei. Axa de simetrie de ordinul doi. Două figuri sunt numite simetrice față de axa l (axa este o linie dreaptă) dacă fiecare punct A al primei figuri corespunde unui punct A „din a doua figură, astfel încât segmentul AA” să fie perpendicular pe axa l , se intersectează cu el și este împărțit în jumătate în punctul de intersecție. Axa l în sine se numește axa de simetrie de ordinul doi.

Din această definiție, rezultă direct că, dacă două corpuri geometrice simetrice față de o axă sunt intersectate de un plan perpendicular pe această axă, atunci în secțiune se vor obține două figuri plate, simetrice față de punctul de intersecție a planului cu axa de simetrie a corpurilor.

De aici, este ușor de dedus în continuare că două corpuri simetrice în jurul axei pot fi combinate între ele prin rotirea unuia dintre ele cu 180 ° în jurul axei de simetrie. Într-adevăr, imaginați-vă toate planurile posibile perpendiculare pe axa de simetrie.

Fiecare astfel de plan care intersectează ambele corpuri conține figuri care sunt simetrice față de punctul de întâlnire al planului cu axa de simetrie a corpurilor. Dacă facem planul de tăiere să alunece singur, rotindu-l în jurul axei de simetrie a corpului cu 180°, atunci prima figură coincide cu a doua.

Acest lucru este valabil pentru orice plan de tăiere. Rotația tuturor secțiunilor corpului cu 180° este echivalentă cu rotația întregului corp cu 180° în jurul axei de simetrie. Aici urmează validitatea afirmației noastre.

Dacă, după rotirea unei figuri spațiale în jurul unei anumite linii drepte cu 180 °, aceasta coincide cu ea însăși, atunci ei spun că figura are această linie dreaptă ca axă de simetrie de ordinul doi.

Denumirea de „axa de simetrie de ordinul doi” se explică prin faptul că în timpul unei rotații complete în jurul acestei axe, corpul va lua de două ori o poziție care coincide cu cea inițială (numărând cea inițială) în timpul rotației. Exemple de corpuri geometrice cu o axă de simetrie de ordinul doi sunt:
1) o piramidă regulată cu un număr par de fețe laterale; axa sa de simetrie este înălțimea sa;
2) paralelipiped dreptunghiular; are trei axe de simetrie: linii drepte care leagă centrele fețelor sale opuse;
3) o prismă regulată cu un număr par de fețe laterale. Axa de simetrie este fiecare linie dreaptă care leagă centrele oricărei perechi de fețe opuse (fețele laterale și două baze ale prismei). Dacă numărul de fețe laterale ale prismei este 2 k, atunci numărul acestor axe de simetrie va fi k+ 1. În plus, fiecare linie dreaptă care leagă punctele medii ale marginilor laterale opuse servește ca axă de simetrie pentru o astfel de prismă. O prismă are astfel de axe de simetrie.

Deci corect 2 k-prisma fațetată are 2 k+1 axe, simetrie.

102. Dependenţa dintre diferitele tipuri de simetrie în spaţiu.Între diferitele tipuri de simetrie în spațiu - axială, plană și centrală - există o relație, exprimată prin următoarea teoremă.

Teorema. Dacă figura F este simetrică cu figura F „față de planul P și în același timp simetrică cu figura F” față de punctul O situat în planul P, atunci figurile F „și F” sunt simetrice față de axa care trece prin punctul O și perpendiculară pe planul R.

Să luăm un punct A din figura F (Fig. 118). Acesta corespunde punctului A „din figura F” și punctului A „din figura F” (figurele în sine F, F” și F” nu sunt prezentate în desen).

Fie B punctul de intersecție al segmentului AA „cu planul P. Să desenăm un plan prin punctele A, A” și O. Acest plan va fi perpendicular pe planul P, deoarece trece prin dreapta AA „perpendiculară pe acest plan.În planul AA" O trasăm dreapta OH perpendiculară pe OB. Această dreaptă OH va fi, de asemenea, perpendiculară pe planul P. În plus, să fie C punctul de intersecție al dreptelor A"A" și OH.

În triunghiul AA "A" "segmentul BO conectează punctele medii ale laturilor AA" și AA", prin urmare, BO || A"A", dar BO_|_OH, care înseamnă A"A"_|_OH. În plus, deoarece O este partea mijlocie AA”, iar CO || AA", apoi A"C \u003d A"C. Din aceasta concluzionăm că punctele A" și A" sunt simetrice față de axa OH. Același lucru este valabil pentru toate celelalte puncte ale figurii. Prin urmare, teorema noastră este demonstrată. Rezultă direct din această teoremă că două figuri simetrice față de un plan nu pot fi combinate astfel încât părțile lor respective să fie combinate. Într-adevăr, figura F „este combinată cu F” prin rotirea în jurul axei OH cu 180 °. Dar figurile F „și F nu pot fi combinate ca simetric față de punct, prin urmare, nici figurile F și F” nu pot fi combinate.

103. Axe de simetrie de ordine superioare. O figură având o axă de simetrie este aliniată cu ea însăși după ce este rotită în jurul axei de simetrie cu un unghi de 180°. Dar există cazuri în care figura ajunge să coincidă cu poziția inițială după întoarcerea în jurul unei axe cu un unghi mai mic de 180°. Astfel, dacă corpul face o revoluție completă în jurul acestei axe, atunci în procesul de rotație va fi combinat de mai multe ori cu poziția inițială. O astfel de axă de rotație se numește axă de simetrie de ordin superior, iar numărul de poziții ale corpului care coincid cu originalul se numește ordinea axei de simetrie. Este posibil ca această axă să nu coincidă cu axa de simetrie de ordinul doi. Deci, o piramidă triunghiulară obișnuită nu are o axă de simetrie de ordinul doi, dar înălțimea ei servește ca axă de simetrie de ordinul trei. Într-adevăr, după întoarcerea acestei piramide în jurul înălțimii la un unghi de 120 °, ea este combinată cu ea însăși (Fig. 119).

Când piramida se rotește în jurul înălțimii, aceasta poate ocupa trei poziții, care coincid cu cea inițială, numărându-se și pe cea originală. Este ușor de observat că orice axă de simetrie de ordinul par este în același timp o axă de simetrie de ordinul doi.

Exemple de axe de simetrie de ordin superior:

1) Corect n-piramida cărbunelui are o axă de simetrie n-a comanda. Această axă este înălțimea piramidei.

2) Corect n-prisma de cărbune are o axă de simetrie n-a comanda. Această axă este o linie dreaptă care leagă centrele bazelor prismei.

104. Simetria cubului. Ca și în cazul oricărui paralelipiped, punctul de intersecție al diagonalelor cubului este centrul simetriei acestuia.

Cubul are nouă plane de simetrie: șase plane diagonale și trei plane care trec prin punctele medii ale fiecărei patru margini paralele.

Cubul are nouă axe de simetrie de ordinul doi: șase linii drepte care leagă punctele medii ale muchiilor sale opuse și trei linii drepte care leagă centrele fețelor opuse (Fig. 120).

Aceste ultime linii sunt axe de simetrie de ordinul al patrulea. În plus, cubul are patru axe de simetrie de ordinul trei, care sunt diagonalele sale. Într-adevăr, diagonala cubului AG (Fig. 120) este în mod evident înclinată în mod egal față de muchiile AB, AD și AE, iar aceste muchii sunt în mod egal înclinate una față de cealaltă. Dacă conectăm punctele B, D și E, obținem o piramidă triunghiulară regulată ADBE, pentru care diagonala cubului AG servește ca înălțime. Când această piramidă se aliniază cu ea însăși în timp ce se rotește în jurul înălțimii, întregul cub se va alinia cu poziția sa inițială. Este ușor de observat că cubul nu are alte axe de simetrie. Să vedem în câte moduri diferite se poate încadra un cub în sine. Rotirea în jurul axei obișnuite de simetrie oferă o poziție a cubului, diferită de cea originală, în care cubul în ansamblu este aliniat cu el însuși.

Rotirea în jurul unei axe de ordinul 3 dă două astfel de poziții, iar rotația în jurul unei axe de ordinul 4 dă trei astfel de poziții. Deoarece cubul are șase axe de ordinul doi (acestea sunt axe obișnuite de simetrie), patru axe de ordinul al treilea și trei axe de ordinul al patrulea, există 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 de poziții ale cubului, diferit de original, la care este combinat cu tine.

Este ușor de verificat direct că toate aceste poziții sunt diferite între ele, precum și față de poziția inițială a cubului. Împreună cu poziția inițială, ele formează 24 de moduri de a combina cubul cu el însuși.

Definiția simetriei;

• Definiția simetriei;

• simetrie centrală;

• Simetrie axială;

• Simetrie față de plan;

• simetrie rotațională;

• Simetria oglinzii;

• Simetria asemănării;

• Simetria plantelor;

• Simetria animalelor;

• Simetrie în arhitectură;

• Este omul o ființă simetrică?

• Simetria cuvintelor și numerelor;

SIMETRIE

• SIMETRIE- proporționalitate, aceeași în aranjarea părților a ceva pe laturile opuse ale unui punct, drept sau plan.

• (Dicționar explicativ al lui Ozhegov)

• Deci, un obiect geometric este considerat simetric dacă poți face ceva cu el, după care va rămâne neschimbat.

O O O numit centrul de simetrie al figurii.

• Figura se numește simetrică față de punct O, dacă pentru fiecare punct al figurii punctul simetric cu acesta în raport cu punctul O aparține și acestei figuri. Punct O numit centrul de simetrie al figurii.

cerc și paralelogram centrul cercului ). Programa funcţie impară

Exemple de figuri care au simetrie centrală sunt cerc și paralelogram. Centrul de simetrie al cercului este centrul cercului, iar centrul de simetrie al paralelogramului este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Orice linie are și simetrie centrală ( orice punct al unei linii este centrul său de simetrie). Programa funcţie impară simetric fata de origine.

• Un exemplu de figură care nu are un centru de simetrie este triunghi arbitrar.

A A A numit axa de simetrie a figurii.

• Se spune că figura este simetrică în raport cu o linie dreaptă. A, dacă pentru fiecare punct al figurii punctul simetric cu acesta față de dreapta A aparține și acestei figuri. Drept A numit axa de simetrie a figurii.

La un colț desfăcut o singură axă de simetrie bisectoare a unghiului o singură axă de simetrie trei axe de simetrie pe două axe de simetrie, și pătratul patru axe de simetrie raportat la axa y.

La un colț desfăcut o singură axă de simetrie- linia pe care se află bisectoare a unghiului. Un triunghi isoscel are de asemenea o singură axă de simetrie, și un triunghi echilateral trei axe de simetrie. Un dreptunghi și un romb care nu sunt pătrate au pe două axe de simetrie, și pătratul patru axe de simetrie. Un cerc are un număr infinit de ele. Graficul unei funcții pare este simetric atunci când este reprezentat grafic raportat la axa y.

• Există figuri care nu au nicio axă de simetrie. Aceste cifre includ paralelogram, altul decât un dreptunghi, triunghi scalen.

puncte DARși A1 A A AA1și perpendicular A conteaza simetric faţă de sine

puncte DARși A1 se numesc simetrice fata de plan A(planul de simetrie), dacă planul A trece prin mijlocul segmentului AA1și perpendicular la acest segment. Fiecare punct al avionului A conteaza simetric faţă de sine. Două figuri sunt numite simetrice față de plan (sau simetrice în oglindă în raport cu) dacă sunt formate din puncte simetrice în perechi. Aceasta înseamnă că pentru fiecare punct al unei figuri, un punct (relativ) simetric cu acesta se află într-o altă figură.

Corpul (sau figura) are simetria rotationala, dacă la întoarcerea în unghi 360º/n, unde n este un număr întreg pe deplin compatibil

• Corpul (sau figura) are simetria rotationala, dacă la întoarcerea în unghi 360º/n, unde n este un număr întreg, despre o dreaptă AB (axa de simetrie) aceasta pe deplin compatibil cu poziţia sa iniţială.

• Simetria radială- o formă de simetrie care se păstrează atunci când un obiect se rotește în jurul unui anumit punct sau a unei linii. Adesea, acest punct coincide cu centrul de greutate al obiectului, adică punctul în care se intersectează un număr infinit de axe de simetrie. Astfel de obiecte pot fi cerc, minge, cilindru sau con.

Simetria oglinzii conectează orice

Simetria oglinzii conectează orice un obiect și reflectarea lui într-o oglindă plană. Se spune că o figură (sau corp) este oglindă simetrică față de alta dacă împreună formează o figură (sau corp) simetrică în oglindă. Figurile oglindite simetric, cu toate asemănările lor, diferă semnificativ unele de altele. Două figuri plate simetrice în oglindă pot fi întotdeauna suprapuse una peste alta. Cu toate acestea, pentru aceasta este necesar să eliminați unul dintre ele (sau ambele) din planul lor comun.

Simetria asemănării păpuși de cuib.

• Simetria asemănării sunt analogi particulari ai simetriilor anterioare, cu singura diferență cu care sunt asociate scăderea sau creșterea simultană a unor părți similare ale figurii și a distanțelor dintre ele. Cel mai simplu exemplu de astfel de simetrie este păpuși de cuib.

• Uneori figurile pot avea diferite tipuri de simetrie. De exemplu, unele litere au simetrie de rotație și oglindă: F, H, M, O, DAR.

• Există multe alte tipuri de simetrii care sunt de natură abstractă. De exemplu:

• Simetria permutării, care constă în faptul că dacă particule identice sunt schimbate, atunci nu au loc modificări;

• Simetrii de gabarit conectat cu zoom. În natura neînsuflețită, simetria apare în primul rând într-un astfel de fenomen natural ca cristale care alcătuiesc aproape toate solidele. Ea este cea care le determină proprietățile. Cel mai evident exemplu al frumuseții și perfecțiunii cristalelor este binecunoscutul fulg de nea.

Întâlnim simetrie peste tot: în natură, tehnologie, artă, știință. Conceptul de simetrie străbate întreaga istorie veche de secole a creativității umane. Principiile de simetrie joacă un rol important în fizică și matematică, chimie și biologie, inginerie și arhitectură, pictură și sculptură, poezie și muzică. Legile naturii se supun, de asemenea, principiilor simetriei.

axa de simetrie.

• Multe flori au o proprietate interesantă: pot fi rotite astfel încât fiecare petală să ia poziția vecinului său, în timp ce floarea este aliniată cu ea însăși. Această floare are axa de simetrie.

• Simetria șurubului observată în dispunerea frunzelor pe tulpinile majorității plantelor. Situate ca un șurub de-a lungul tulpinii, frunzele par să se întindă în toate direcțiile și nu se ascund unele pe altele de lumină, care este esențială pentru viața plantelor.

• Simetrie bilaterală organele plantelor mai posedă, de exemplu, tulpinile multor cactusi. Se găsește adesea în botanică radial flori construite simetric.

linie de separare.

• Simetria la animale este înțeleasă ca corespondență în dimensiune, formă și formă, precum și locația relativă a părților corpului situate pe părțile opuse. linie de separare.

• Principalele tipuri de simetrie sunt radial(radiații) - este posedat de echinoderme, celenterate, meduze etc.; sau bilateral(cu două fețe) - putem spune că fiecare animal (fie el o insectă, un pește sau o pasăre) este format din două jumătăţi- dreapta și stânga.

• simetrie sferică apare la radiolari și floarea soarelui. Orice plan trasat prin centru împarte animalul în jumătăți egale.

• Simetria unei structuri este asociată cu organizarea funcțiilor sale. Proiecția planului de simetrie - axa clădirii - determină de obicei amplasarea intrării principale și începutul fluxurilor principale de trafic.

• Fiecare detaliu dintr-un sistem simetric există ca un doppelgänger al perechii sale obligatorii situat pe cealaltă parte a axei și, din această cauză, poate fi considerat doar ca parte a întregului.

• Cel mai frecvent în arhitectură simetria oglinzii. Îi sunt subordonate clădirile Egiptului Antic și templele Greciei antice, amfiteatrele, băile, bazilicile și arcadele de triumf ale romanilor, palatele și bisericile Renașterii, precum și numeroase clădiri de arhitectură modernă.

accente

• Pentru a reflecta mai bine simetria pe structurile sunt plasate accente- elemente deosebit de semnificative (cupole, turle, corturi, intrări principale și scări, balcoane și ferestre).

• Pentru a proiecta decorarea arhitecturii, se folosește un ornament - un model care se repetă ritmic bazat pe compoziția simetrică a elementelor sale și exprimat prin linie, culoare sau relief. Din punct de vedere istoric, mai multe tipuri de ornamente s-au dezvoltat pe baza a două surse - forme naturale și figuri geometrice.

• Dar un arhitect este în primul rând un artist. Și, prin urmare, chiar și cele mai „clasice” stiluri des folosite disimetrie– o abatere nuanțată de la simetria pură, sau asimetrie- construcție deliberat asimetrică.

• Nimeni nu se va îndoi că în exterior o persoană este construită simetric: mâna stângă corespunde întotdeauna cu mâna dreaptă și ambele mâini sunt exact aceleași. Dar asemănarea dintre mâinile noastre, urechile, ochii și alte părți ale corpului este aceeași ca între un obiect și reflectarea lui într-o oglindă.

dreapta a lui jumătate trăsături aspre caracteristic sexului masculin. Jumătatea stângă

Numeroase măsurători ale parametrilor faciali la bărbați și femei au arătat că dreapta a lui jumătate fata de stanga, are dimensiuni transversale mai pronuntate, ceea ce confera fetei un plus trăsături aspre caracteristic sexului masculin. Jumătatea stângă fața are dimensiuni longitudinale mai pronunțate, ceea ce îi conferă linii netede și feminitate. Acest fapt explică dorința predominantă a femeilor de a poza pentru artiști pe partea stângă a feței, iar bărbații - în dreapta.

Palindrom

• Palindrom(din Gr. Palindromos - alergare înapoi) - acesta este un obiect în care simetria componentelor este specificată de la început la sfârșit și de la sfârșit la început. De exemplu, o frază sau un text.

• Textul drept al unui palindrom, citit în conformitate cu direcția normală de citire în acel script (de obicei de la stânga la dreapta), se numește redirecţiona, invers - un plimbător de scoici sau verso(de la dreapta la stânga). Unele numere au și simetrie.

Deci, în ceea ce privește geometria: există trei tipuri principale de simetrie.

În primul rând, simetrie centrală (sau simetrie în jurul unui punct) - aceasta este o transformare a planului (sau spațiului), în care singurul punct (punctul O - centrul de simetrie) rămâne pe loc, în timp ce restul punctelor își schimbă poziția: în loc de punctul A, obținem punctul A1 astfel încât punctul O să fie mijlocul segmentului AA1. Pentru a construi o figură Ф1, simetrică față de figura Ф față de punctul O, este necesar să se traseze o rază prin fiecare punct al figurii Ф care trece prin punctul O (centrul de simetrie), iar pe această rază să se stabilească deoparte un punct simetric cu cel ales faţă de punctul O. Mulţimea punctelor astfel construite va da o figură F1.

De mare interes sunt figurile care au un centru de simetrie: cu simetrie în jurul punctului O, orice punct al figurii F este din nou transformat într-un punct al figurii F. Există multe astfel de figuri în geometrie. De exemplu: un segment (mijlocul segmentului este centrul de simetrie), o linie dreaptă (oricare dintre punctele sale este centrul simetriei sale), un cerc (centrul cercului este centrul de simetrie), un dreptunghi (punctul de intersecție al diagonalelor sale este centrul de simetrie). Există multe obiecte simetrice central în natura animată și neînsuflețită (comunicarea elevilor). Adesea, oamenii înșiși creează obiecte care au un centru de simetrierii (exemple din lucrari de ac, exemple din inginerie mecanica, exemple din arhitectura si multe alte exemple).

În al doilea rând, simetrie axială (sau simetrie în jurul unei linii) - aceasta este o transformare a planului (sau a spațiului), în care doar punctele dreptei p rămân pe loc (aceasta dreaptă este axa de simetrie), în timp ce restul punctelor își schimbă poziția: în locul punctului B , obținem un astfel de punct B1 încât dreapta p este bisectoarea perpendiculară pe segmentul BB1 . Pentru a construi o figură Φ1 simetrică față de figura Φ în raport cu dreapta p, este necesar ca fiecare punct al figurii Φ să construiască un punct simetric față de aceasta în raport cu dreapta p. Mulțimea tuturor acestor puncte construite dă cifra necesară Ф1. Există multe forme geometrice care au o axă de simetrie.

Un dreptunghi are două, un pătrat are patru, un cerc are orice linie dreaptă care trece prin centru. Dacă te uiți cu atenție la literele alfabetului, atunci printre ele le poți găsi pe cele care au o axă orizontală sau verticală și, uneori, ambele axe de simetrie. Obiectele cu axe de simetrie sunt destul de frecvente în natura animată și neînsuflețită (rapoartele elevilor). În activitatea sa, o persoană creează multe obiecte (de exemplu, ornamente) care au mai multe axe de simetrie.

______________________________________________________________________________________________________

În al treilea rând, simetrie plană (oglindă) (sau simetrie față de un plan) - aceasta este o transformare a spațiului, în care doar punctele unui plan își păstrează locația (α-planul de simetrie), punctele rămase ale spațiului își schimbă poziția: în locul punctului C se obține un astfel de punct C1 încât planul α trece prin mijlocul segmentului CC1, perpendicular pe acesta.

Pentru a construi o figură Ф1, simetrică față de figura Ф față de planul α, este necesar ca fiecare punct al figurii Ф să construiască puncte simetrice față de α, ele formând figura Ф1 în mulțimea lor.

Cel mai adesea, în lumea lucrurilor și obiectelor din jurul nostru, întâlnim corpuri tridimensionale. Și unele dintre aceste corpuri au planuri de simetrie, uneori chiar mai multe. Iar persoana însuși în activitatea sa (construcții, ac, modelare, ...) creează obiecte cu planuri de simetrie.

Este de remarcat faptul că, alături de cele trei tipuri de simetrie enumerate, există (în arhitectură)portabil și pivotant, care în geometrie sunt compoziții ale mai multor mișcări.

Simetria este asociată cu armonia și ordinea. Și nu degeaba. Deoarece întrebarea ce este simetria, există un răspuns sub forma unei traduceri literale din greaca veche. Și se dovedește că înseamnă proporționalitate și imuabilitate. Și ce poate fi mai ordonat decât o definiție strictă a locației? Și ce poate fi numit mai armonios decât ceva care corespunde strict mărimii?

Ce înseamnă simetria în diferite științe?

Biologie.În ea, o componentă importantă a simetriei este că animalele și plantele au părți aranjate în mod regulat. Mai mult, în această știință nu există o simetrie strictă. Există întotdeauna o oarecare asimetrie. Admite că părțile întregului nu coincid cu o precizie absolută.

Chimie. Moleculele unei substanțe au o anumită regularitate în aranjarea lor. Simetria lor explică multe proprietăți ale materialelor din cristalografie și din alte ramuri ale chimiei.

Fizică. Sistemul de corpuri și modificările din acesta sunt descrise folosind ecuații. Acestea conțin componente simetrice, ceea ce simplifică întreaga soluție. Acest lucru se face prin căutarea cantităților conservate.

Matematică.În ea este dată principala explicație a ceea ce este simetria. Mai mult, i se acordă mai multă importanță în geometrie. Aici, simetria este capacitatea de a se afișa în figuri și corpuri. Într-un sens restrâns, se reduce doar la o imagine în oglindă.

Cum definesc diferitele dicționare simetria?

În oricare dintre ele ne uităm, cuvântul „proporționalitate” va fi întâlnit peste tot. În Dahl, se poate vedea o astfel de interpretare ca uniformitate și uniformitate. Cu alte cuvinte, simetric înseamnă același lucru. Mai spune că este plictisitor, ceea ce pare mai interesant este în ce nu este.

Când a fost întrebat ce este simetria, dicționarul lui Ozhegov vorbește deja despre aceeași poziție a părților față de un punct, o dreaptă sau un plan.

Dicționarul lui Ushakov menționează și proporționalitatea, precum și corespondența deplină a celor două părți ale întregului una cu cealaltă.

Când vorbesc oamenii despre asimetrie?

Prefixul „a” neagă sensul substantivului principal. Prin urmare, asimetria înseamnă că aranjarea elementelor nu se pretează la un anumit model. Nu există imuabilitate în ea.

Acest termen este folosit în situațiile în care cele două jumătăți ale articolului nu sunt perfect potrivite. De cele mai multe ori nu seamănă.

În viața sălbatică, asimetria joacă un rol important. Și poate fi atât util, cât și dăunător. De exemplu, inima este plasată în jumătatea stângă a pieptului. Din acest motiv, plămânul stâng este semnificativ mai mic. Dar este necesar.

Despre simetria centrală și axială

În matematică, există astfel de tipuri:

• centrală, adică efectuată în raport cu un punct;
• axial, care se observă lângă o linie dreaptă;
• specular, se bazează pe reflecții;
• simetria transferului.

Care este axa și centrul de simetrie? Acesta este un punct sau o linie, în raport cu care orice punct al corpului poate găsi altul. Mai mult, astfel încât distanța de la original la cea rezultată să fie înjumătățită de axa sau centrul de simetrie. În timpul deplasării acestor puncte, ele descriu aceleași traiectorii.

Cel mai ușor este să înțelegeți ce este simetria asupra unei axe cu un exemplu. Hârtia de caiet trebuie să fie pliată în jumătate. Linia de pliere va fi axa de simetrie. Dacă tragem o linie perpendiculară pe ea, atunci toate punctele de pe ea vor avea puncte situate la aceeași distanță de cealaltă parte a axei.

În situațiile în care trebuie să găsiți centrul de simetrie, trebuie să faceți următoarele. Dacă există două figuri, atunci găsiți aceleași puncte pentru ele și conectați-le cu un segment. Apoi împărțiți în jumătate. Când cifra este una, atunci cunoașterea proprietăților sale poate ajuta. Adesea, acest centru coincide cu punctul de intersecție al diagonalelor sau al înălțimilor.

Ce forme sunt simetrice?

Figurile geometrice pot avea simetrie axială sau centrală. Dar aceasta nu este o condiție prealabilă, sunt multe obiecte care nu o au deloc. De exemplu, un paralelogram are un centru, dar nu axial. Iar trapezele și triunghiurile non-isoscele nu au deloc simetrie.

Dacă se ia în considerare simetria centrală, există destul de multe figuri care o posedă. Acesta este un segment și un cerc, un paralelogram și toate poligoanele regulate cu un număr de laturi care este divizibil cu două.

Centrul de simetrie al unui segment (de asemenea, un cerc) este centrul acestuia, în timp ce pentru un paralelogram coincide cu intersecția diagonalelor. În timp ce pentru poligoane regulate, acest punct coincide și cu centrul figurii.

Dacă într-o figură poate fi trasată o linie dreaptă, de-a lungul căreia poate fi pliată, iar cele două jumătăți coincid, atunci aceasta (linia dreaptă) va fi axa de simetrie. Ceea ce este interesant este câte axe de simetrie au diferite figuri.

De exemplu, un unghi acut sau obtuz are o singură axă, care este bisectoarea sa.

Dacă trebuie să găsiți axa într-un triunghi isoscel, atunci trebuie să trasați înălțimea la bază. Linia va fi axa de simetrie. Și doar unul. Iar într-unul echilateral vor fi trei deodată. În plus, triunghiul are și simetrie centrală față de punctul de intersecție al înălțimilor.

Un cerc poate avea un număr infinit de axe de simetrie. Orice linie dreaptă care trece prin centrul său poate îndeplini acest rol.

Un dreptunghi și un romb au două axe de simetrie. În primul, trec prin punctele medii ale laturilor, iar în al doilea, coincid cu diagonalele.

Pătratul combină cele două figuri anterioare și are 4 axe de simetrie simultan. Sunt aceleași ca ale unui romb și ale unui dreptunghi.