24.02.2019, 16:51 Modelarea dependențelor dintre cantități Implementarea unui model matematic pe calculator (model matematic pe calculator) necesită cunoașterea tehnicilor de reprezentare a dependențelor dintre mărimi.
Există trei proprietăți principale asociate cu orice cantitate:
- Nume,
- sens,
- tip de.
Nume valoare poate semantice şi simbolice . Un exemplu de nume semantic este „presiunea gazului”, un nume simbolic pentru aceeași cantitate este R.
În cazul în care un valoarea cantitativă nu se modifică, atunci se numește valoare constantă sau constant . Un exemplu de constantă este numărul pitagoreic ¶=3.14259... . Se numește o cantitate a cărei valoare se poate modifica variabil . De exemplu, în descrierea procesului de cădere a unui corp, variabilele sunt înălțimea H și timpul de cădere t.
Tip de definește setul de valori pe care o valoare le poate lua. Tipuri de bază de cantități : numeric, caracter, boolean. Dimensiuni determinați unitățile în care sunt prezentate valorile cantităților. De exemplu, t (s) este timpul de cădere; H (m) - înălțimea căderii.
Modele matematice
Dacă relația dintre cantități poate fi reprezentată în formă matematică, atunci aceasta model matematic .
Un model matematic este un set de caracteristici cantitative ale unui obiect (proces) și relațiile dintre acestea, prezentate în limbajul matematicii.
Acesta este un exemplu de dependență reprezentată în formă funcțională. Această dependență se numește dependență de rădăcină (timpul este proporțional cu rădăcina pătrată a înălțimii).
În problemele mai complexe, modelele matematice sunt reprezentate ca ecuații sau sisteme de ecuații.

Modele tabulare și grafice
Acestea sunt alte moduri, fără formule, de reprezentare a dependențelor dintre cantități. De exemplu, am decis să testăm experimental legea căderii libere a unui corp.

Organizam experimentul astfel: vom arunca o bila de otel de la o inaltime de 6 metri, inaltime de 9 metri etc (dupa 3 metri), masurand inaltimea pozitiei initiale a mingii si timpul de cadere. Pe baza rezultatelor experimentului, vom compila un tabel și vom desena un grafic.Dacă fiecare pereche de valori H și t din acest tabel este înlocuită în formula de mai sus pentru dependența înălțimii de timp, atunci formula se va transforma într-o egalitate (cu o precizie de până la eroarea de măsurare). Deci modelul merge bine. Cu toate acestea, dacă scăpați nu o minge de oțel, ci o minge ușoară mare, atunci egalitatea nu va fi atinsă, iar dacă este o minge gonflabilă, atunci valorile părților din stânga și din dreapta ale formulei vor diferi foarte mult. mult. De ce crezi?

Deci, în acest exemplu, am luat în considerare trei moduri de modelare a dependenței cantităților: funcțional (formulă), tabelar și grafic. Cu toate acestea, doar o formulă poate fi numită un model matematic al procesului de cădere a unui corp la pământ. Formula este mai universală, vă permite să determinați timpul în care corpul cade de la orice înălțime și nu numai pentru setul experimental de valori ale lui H, care este prezentat în figură. Având o formulă, puteți crea cu ușurință un tabel și construi un grafic, dar invers - este foarte problematic.
În același mod, se poate afișa dependența oricărui fenomen de natură fizică, descris prin formule cunoscute.
Modelele informaționale care descriu dezvoltarea sistemelor în timp au o denumire specială: modele dinamice . În fizică, modelele informaționale dinamice descriu mișcarea corpurilor, în biologie - dezvoltarea organismelor sau a populațiilor de animale, în chimie - cursul reacțiilor chimice etc.

Modele de predicție statistică
Statistici- știința colectării, măsurării și analizei datelor cantitative în masă.
Există statistici medicale, statistici economice, statistici sociale și altele. Aparatul matematic al statisticii este dezvoltat de o știință numită statistici matematice .

Datele statistice sunt întotdeauna aproximative, mediate, sunt estimate, dar reflectă corect dependența valorilor. Pentru fiabilitatea rezultatelor obținute prin analiza datelor statistice, trebuie să existe o mulțime de aceste date.

De exemplu, monoxidul de carbon are cel mai puternic efect asupra bolilor bronșice și pulmonare -. După ce au stabilit scopul de a determina această relație, statisticienii medicali colectează date. Datele obținute pot fi rezumate într-un tabel, precum și prezentate sub forma unui grafic de dispersie. Și cum să construim un model matematic al acestui fenomen? Evident, trebuie să obțineți o formulă care să reflecte dependența numărului de pacienți cronici P de concentrația de monoxid de carbon C. În limbajul matematicii, aceasta se numește funcția de dependență a lui P de C: P(C). Forma unei astfel de funcții este necunoscută; ar trebui căutată prin metoda de selecție din datele experimentale.

Graficul funcției dorite trebuie să treacă aproape de punctele diagramei de date experimentale. Nu are sens să construiești o funcție astfel încât graficul acesteia să treacă exact prin toate punctele date. În primul rând, forma matematică a unei astfel de funcții poate fi prea complicată. În al doilea rând, valorile experimentale sunt aproximative.
De aici urmează cerințele de bază pentru funcția dorită:
ar trebui să fie suficient de simplu pentru a fi utilizat în calcule ulterioare;
graficul acestei funcții ar trebui să treacă în apropierea punctelor experimentale, astfel încât abaterile acestor puncte de la grafic să fie minime și uniforme. Funcția rezultată în statistică este de obicei numită model de regresie.

Metoda celor mai mici pătrate
Modelul de regresie se obține în două etape:
1) selectarea tipului de funcție;
2) calculul parametrilor funcției.
Prima problemă nu are o soluție riguroasă.
Cel mai adesea, alegerea se face dintre următoarele funcții:
y \u003d ax + b - funcție liniară (polinom de gradul I);
y \u003d ax 2 + bx + c - funcție pătratică

(polinom de gradul II);
y=a n x n + a (n-1) x n-1 +...+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 -polinom de gradul al n-lea;
y = a ln(x) + b - funcție logaritmică;
y = ae bx - funcţie exponenţială;
y = ax b este o funcție de putere.
După alegerea uneia dintre funcțiile propuse, trebuie să selectați parametrii (a, b, c etc.), astfel încât funcția să fie situată cât mai aproape de punctele experimentale folosind metoda de calcul al parametrilor. Această metodă a fost propusă în secolul al XVIII-lea de către matematicianul german K. Gauss. Se numește metoda celor mai mici pătrate (LSM) și este utilizată pe scară largă în prelucrarea datelor statistice și este încorporată în multe pachete software matematice. Este important să înțelegeți următoarele: orice funcție poate fi construită folosind metoda celor mai mici pătrate pentru un anumit set de puncte experimentale. Dar dacă ne va satisface, aceasta este deja o chestiune de criteriu de conformitate. Pentru exemplul nostru, luăm în considerare trei funcții construite prin metoda celor mai mici pătrate.

Aceste cifre au fost obținute folosind o foaie de calcul Microsoft Excel. Graficul modelului de regresie se numește tendinţă.
Cuvântul englezesc „trend” poate fi tradus ca „direcție generală” sau „tendință”.
Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă. Din acest grafic, este dificil să spunem ceva despre natura acestei creșteri. Dar pătratică și exponențială tendinte credibil.
Pe grafice există o valoare obținută ca urmare a tendinței. Este desemnat ca R2. În statistică, aceasta se numește coeficient de determinism. Ea este cea care determină cât de reușit este modelul de regresie rezultat. Coeficientul de determinism se află întotdeauna în intervalul de la 0 la 1. Cu cât R 2 este mai aproape de 1, cu atât este mai bun modelul de regresie.
Dintre cele trei modele selectate, valoarea lui R 2 este cea mai mică pentru cel liniar. Deci ea este cea mai rea. Valorile lui R2 pentru celelalte două modele sunt destul de apropiate (diferența este mai mică de 0,01). Au succes la fel de bine.

Predicția modelului de regresie
După obținerea unui model matematic de regresie, este posibil să se prezică procesul prin calcule, adică să se estimeze incidența astmului bronșic nu numai pentru acele valori care au fost obținute prin măsurători, ci și pentru alte valori.
Dacă prognoza este făcută în cadrul valorilor experimentale, atunci aceasta se numește restabilirea sensului .
Se numește predicție dincolo de datele experimentale extrapolare.
Având un model de regresie, este ușor de prezis făcând calcule folosind foi de calcul.
În unele cazuri, extrapolarea trebuie făcută cu grijă. Aplicabilitatea oricărui model de regresie este limitată, mai ales dincolo
zona experimentala. În exemplul nostru, atunci când extrapolăm, nu trebuie să mergem departe de valoarea de 5 mg/m 3 . Ce se va întâmpla în afara acestei zone, nu știm. Orice extrapolare se bazează pe o ipoteză: „presupunem că tiparul persistă în afara zonei experimentale”. Dacă nu este salvat?
De exemplu, modelul pătratic din exemplul nostru la o concentrație apropiată de 0 va produce 150 de bolnavi, adică mai mult decât la 5 mg/m 3 . Evident, asta este o prostie. În regiunea valorilor mici ale lui C, modelul exponențial funcționează mai bine. Apropo, aceasta este o situație destul de tipică: diferite zone de date pot fi mai potrivite pentru diferite modele.

Modelarea dependențelor de corelație
Fie factorul A o caracteristică importantă a unui sistem complex.Mulți alți factori îl pot influența simultan: B, C, D etc.

Relațiile dintre cantități, fiecare dintre acestea fiind supusă unei împrăștieri incontrolabile, sunt numite dependențe de corelație.
Ramura statisticii matematice care studiază astfel de dependențe se numește analiza corelației. Analiza corelației studiază legea medie de comportament a fiecărei mărimi în funcție de valorile celeilalte mărimi, precum și măsura unei astfel de dependențe.
Evaluarea corelației valorilor începe cu formularea unei ipoteze despre natura posibilă a relației dintre valorile acestora. Cel mai adesea, se presupune o relație liniară. În acest caz, măsura dependenței de corelație este o valoare numită coeficient de corelație.
coeficient de corelație (notat de obicei cu litera greacă ρ ) este un număr din intervalul de la -1 la +1;
dacăρ modulo aproape de 1, atunci există o corelație puternică, dacă la 0, atunci slabă;
apropiereρ la +1 înseamnă că o creștere a valorilor unui set corespunde unei creșteri a valorilor altui set, apropierea de -1 înseamnă că o creștere a valorilor unui set corespunde unei scăderi a valorile altui set;
sensρ ușor de găsit folosind Excel, deoarece formulele corespunzătoare sunt încorporate în acest program.

Ca exemplu de sistem complex, luați în considerare o școală. Să fie exprimate cheltuielile economice ale școlii ca număr de ruble raportat la numărul de elevi din școală (ruble/persoană) petrecuți într-o anumită perioadă de timp (de exemplu, în ultimii 5 ani). Să fie estimat progresul prin scorul mediu al elevilor din școală pe baza rezultatelor de la sfârșitul anului universitar trecut. Colectarea datelor totale pentru 20 de școli introduse într-o foaie de calcul șidiagramă de dispersiesunt prezentate în figuri. Valorile ambelor cantități: costurile financiare și rezultatele elevilor - au o împrăștiere semnificativă și, la prima vedere, relația dintre ele nu este vizibilă. Cu toate acestea, s-ar putea să existe. În Excel se numește funcția de calcul al coeficientului de corelație CORRELşi este inclus în grupul funcţiilor statistice. Să-ți arătăm cum să-l folosești. Pe aceeași foaie Excel în care se află tabelul, trebuie să plasați cursorul pe orice celulă liberă și să rulați funcția CORREL. Va solicita două intervale de valori. Indicăm, respectiv, B2:B21 și C2:C21. După introducerea acestora, se va afișa răspunsul: p = 0,500273843. Această valoare indică nivelul mediu de corelație. Acum să luăm în considerare care dintre cei doi parametri: disponibilitatea manualelor sau a calculatoarelor este mai corelată, adică. are un impact mai mare asupra performanței De mai josfigura arată rezultatele măsurării ambilor factori în 11 școli diferite. Pentru ambele dependențe s-au obținut coeficienți de corelație liniară. După cum se poate observa din tabel, corelația dintre disponibilitatea manualelor și performanța academică este mai puternică decât corelația dintre furnizarea de calculatoare și performanța academică (deși ambii coeficienți de corelație nu sunt foarte mari). De aici putem concluziona că deocamdată cartea rămâne o sursă de cunoștințe mai semnificativă decât computerul.

Dependența unei variabile aleatoare de valorile pe care le ia o altă variabilă aleatoare (caracteristică fizică) se numește de obicei regresie în statistică. Dacă acestei dependențe i se dă o formă analitică, atunci această formă de prezentare este reprezentată printr-o ecuație de regresie.

Procedura de căutare a presupusei relații dintre diferitele populații numerice include de obicei următorii pași:

stabilirea semnificației relației dintre ele;

posibilitatea reprezentării acestei dependenţe sub forma unei expresii matematice (ecuaţia de regresie).

Primul pas în această analiză statistică se referă la identificarea așa-numitei corelații, sau dependență de corelație. Corelația este considerată ca un semn care indică relația unui număr de secvențe numerice. Cu alte cuvinte, corelația caracterizează puterea relației în date. Dacă aceasta se referă la relația dintre două tablouri numerice xi și yi, atunci o astfel de corelație se numește pereche.

Când se caută o corelație, o conexiune probabilă a unei valori măsurate x (pentru o gamă limitată a modificării acesteia, de exemplu, de la x1 la xn) cu o altă valoare măsurată y (schimbându-se de asemenea într-un interval y1 ... yn) este de obicei dezvăluit. În acest caz, vom avea de-a face cu două secvențe numerice, între care este necesar să se stabilească prezența unei relații statistice (de corelație). În această etapă, sarcina nu este încă setată pentru a determina dacă una dintre aceste variabile aleatoare este o funcție, iar cealaltă este un argument. Găsirea unei relații cantitative între ele sub forma unei expresii analitice specifice y = f(x) este sarcina unei alte analize, regresia.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, analiza corelației deduce puterea relației dintre perechile de date x și y, în timp ce analiza de regresie este utilizată pentru a prezice o variabilă (y) pe baza alta (x). Cu alte cuvinte, în acest caz, ei încearcă să identifice o relație cauzală între populațiile analizate.

Strict vorbind, se obișnuiește să se facă distincția între două tipuri de conexiune între mulțimi numerice - ϶ᴛᴏ poate fi o dependență funcțională sau una statistică (aleatorie). În prezența unei conexiuni funcționale, fiecărei valori a factorului de influență (argument) îi corespunde o valoare strict definită a altui indicator (funcție), ᴛ.ᴇ. modificarea atributului efectiv se datorează în întregime acțiunii atributului factorului.

Analitic, dependenţa funcţională este prezentată sub următoarea formă: y = f(x).

În cazul unei relații statistice, valoarea unui factor corespunde unei valori aproximative a parametrului studiat, valoarea sa exactă este imprevizibilă, imprevizibilă și, prin urmare, indicatorii rezultați se dovedesc a fi variabile aleatorii. Aceasta înseamnă că modificarea atributului efectiv y se datorează influenței atributului factorului x doar parțial, deoarece este posibilă și influența altor factori, a căror contribuție este indicată ca є: y = f(x) + є.

Prin natura lor, corelațiile sunt conexiuni corelative ϶ᴛᴏ. Un exemplu de corelare între indicatorii activității comerciale este, de exemplu, dependența sumelor costurilor de distribuție de volumul comerțului. În acest sens, pe lângă factorul semn x (volumul cifrei de afaceri a mărfurilor), semnul efectiv y (suma costurilor de distribuție) este influențat și de alți factori, inclusiv necontabilizați, care generează contribuția є.

Pentru aprecierea cantitativă a existenței unei legături între seturile de variabile aleatoare studiate se folosește un indicator statistic special - coeficientul de corelație r.

Dacă se presupune că această relație poate fi descrisă printr-o ecuație liniară de tip y \u003d a + bx (unde a și b sunt constante), atunci se obișnuiește să se vorbească despre existența unei corelații liniare.

Coeficientul r este o mărime adimensională, poate varia de la 0 la ±1. Cu cât valoarea coeficientului este mai aproape de unul (indiferent de ce semn), cu atât se poate susține cu mai multă încredere că există o relație liniară între cele două seturi de variabile luate în considerare. Cu alte cuvinte, valoarea uneia dintre aceste variabile aleatoare (y) depinde în esență de valoarea pe care o ia cealaltă (x).

Dacă se dovedește că r = 1 (sau -1), atunci există un caz clasic de dependență pur funcțională (ᴛ.ᴇ. se realizează o relație ideală).

Când se analizează un grafic de dispersie bidimensional, pot fi găsite diverse relații. Cea mai simplă opțiune este o relație liniară, care se exprimă prin faptul că punctele sunt plasate aleatoriu de-a lungul unei linii drepte. Diagrama nu arată nicio relație dacă punctele sunt localizate aleatoriu și nicio pantă (nici sus, nici în jos) nu poate fi detectată atunci când vă deplasați de la stânga la dreapta.

Dacă punctele de pe acesta sunt grupate de-a lungul unei linii curbe, atunci diagrama de împrăștiere este caracterizată de o relație neliniară. Asemenea situații sunt destul de posibile.

Cantitatile sunt valorile cantitative ale obiectelor, lungimile segmentelor, timpul, unghiurile etc.

Definiție. Valoare - rezultatul unei măsurători, reprezentat printr-un număr și denumirea unității de măsură.

De exemplu: 1 km; 5 ore 60 km/h; 15 kg; 180°.

Cantitati pot fi independente sau dependente unele de altele. Relația cantităților poate fi stabilită în mod rigid (de exemplu, 1 dm \u003d 10 cm) sau poate reflecta relația dintre cantități, exprimată printr-o formulă pentru determinarea unei anumite valori numerice (de exemplu, calea depinde de viteza și durata mișcare; aria pătratului - pe laturile sale de lungime etc.).

Baza sistemului metric de măsuri de lungime - metrul - a fost introdusă în Rusia la începutul secolului al XIX-lea, iar înainte de aceasta, pentru măsurarea lungimii erau folosite următoarele: arshin (= 71 cm), verst (= 1067 m). ), sazhen oblic (= 2 m 13 cm), braț volant (= 1 m 76 cm), braț simplu (= 1 m 52 cm), sfert (= 18 cm), cot (aproximativ de la 35 cm la 46 cm), deschidere (de la 18 cm la 23 cm).

După cum puteți vedea, au fost mulți cantități pentru a măsura lungimea. Odată cu introducerea sistemului metric de măsuri, dependența valorilor lungimii este fixată rigid:

• 1 km = 1.000 m; 1 m = 100 cm;
• 1 dm = 10 cm; 1 cm = 10 mm.

În sistemul metric de măsuri sunt definite unitățile de măsură pentru timp, lungime, masă, volum, suprafață și viteză.

Între două sau mai multe mărimi sau sisteme de măsuri se poate stabili și o relație, aceasta este fixată în formule, iar formulele sunt derivate empiric.

Definiție. Se numesc două mărimi dependente reciproc proporţional dacă raportul dintre valorile lor rămâne neschimbat.

Raportul constant a două mărimi se numește coeficient de proporționalitate. Factorul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate sunt pe unitatea unei alte mărimi. Dacă coeficienții sunt egali. Relația aceea este egală.

Distanța este produsul vitezei și timpului de mișcare: de aici a fost derivată formula de bază pentru mișcare:

Unde S- cale; V- viteza; t- timp.

Formula de bază a mișcării este dependența distanței de viteza și timpul de mișcare. Această dependență se numește proporțional picant.

Definiție. Două variabile sunt direct proporționale dacă, cu o creștere (sau scădere) de mai multe ori a unei valori, cealaltă valoare crește (sau scade) cu aceeași valoare; acestea. raportul valorilor corespunzătoare unor astfel de cantități este o valoare constantă.

La o distanta constanta, viteza si timpul sunt legate printr-o alta relatie, care se numeste invers proporțională.

Regulă. Două variabile sunt invers proporționale dacă, cu o creștere (sau scădere) a unei valori de mai multe ori, cealaltă valoare scade (sau crește) cu aceeași valoare; acestea. produsul valorilor corespunzătoare unor astfel de cantități este o valoare constantă.

Din formula de mișcare pot fi deduse încă două relații, exprimând dependențe directe și inverse ale mărimilor incluse în ele:

t=S:V- timp de calatorie în raport direct calea parcursă şi invers viteza de deplasare (pentru aceleași segmente de traseu, cu cât viteza este mai mare, cu atât este nevoie de mai puțin timp pentru a depăși distanța).

V=S:t- viteza de miscare direct proportional calea parcursă şi invers proporțională timpul de călătorie (pentru aceleași segmente de drum, cu atât mai mult
când un obiect se mișcă, cu atât este necesară o viteză mai mică pentru a depăși distanțe).

Toate cele trei formule de mișcare sunt echivalente și sunt folosite pentru a rezolva probleme.

Subiect: matematică
Clasa: 4
Subiectul lecției: Relații între viteză, distanță parcursă și timp
circulaţie.
Scop: identificarea si justificarea relatiei dintre marimile: viteza, timpul,
distanţă;
Sarcini: să promoveze dezvoltarea gândirii non-standard, capacitatea de a trage concluzii,
motiv; contribuie la educarea activităţii cognitive.
Echipament: carduri individuale în diferite culori, criterii de evaluare,
carte de reflecție, cercuri de două culori.
În timpul orelor.
1. Moment de organizare.
Card în două culori: galben și albastru. Arată-ți starea de spirit cu un card
la începutul și sfârșitul lecției.
Completarea cardului la începutul lecției (Anexa 1.)
Nu. Aprobare
Sfârșitul lecției
Începutul lecției
da
Nu
Nu stiu Da
Nu nu
Știu
1. Cunosc toate formulele
sarcini de mișcare
2. Înțeleg decizia
sarcini de mișcare
3. Pot decide pentru mine
sarcini
4. Pot compune
scheme pentru sarcini
trafic
5. Știu ce greșeli
admite în decizie
sarcini de mișcare
2. Repetarea.
Cum să găsești viteza? Timp? Distanţă?
Care sunt unitățile de măsură pentru viteză, distanță, timp.
3. Mesaj al subiectului lecției.
Ce vom învăța în clasă?
4. Lucrați în grup.
Conectați obiecte în mișcare (Anexa 2)
Pieton 70 km/h
Schior 5 km/h

Masina 10 km/h
Avion cu reacție 12 km/h
Tren 50 km/h
Melc 900 km/h
Cal 90 km/h
Verificarea muncii.
5. Puzzle matematic (muncă independentă)
Cât este viteza biciclistului mai mică decât viteza trenului?
Câți km este viteza schiorului mai mare decât viteza mersului?
De câte ori viteza unei mașini este mai mică decât viteza unui avion cu reacție?
Găsiți viteza combinată a vehiculului cu cea mai rapidă mișcare și a celui mai rapid
încet.
Găsiți viteza combinată a trenului pentru bicicliști și schiori.
6. Autoverificarea lucrărilor după criterii.
7. Minutul fizic.
Culoarea roșie a pătratului este în picioare
Verde - să mergem
Galben - bate din palme o dată
8. Lucrați în grup. (Carton galben) (metoda Jegso)
O sarcină.
Două femei au susținut că o stupa sau un pomelo este mai rapid? Aceeași
o distanta de 228 km a fost parcursa de o babayaga in mortar in 4 ore, iar o babayaga pe matura in 3 ore. Ce
mai multă viteză stupa sau pomelo?
9. Lucrați într-o pereche de „Experiment”.
Vino cu o problemă de mișcare folosind următoarele valori: 18 km/h, 4h, 24km, 3h.
Verificarea muncii.
10. Test.
1. Notează formula pentru găsirea vitezei.
2. Notează formula pentru găsirea timpului.
3. Cum să găsiți distanța? Scrieți formula.
4. Notează 8 km/min în km/h
5. Găsiți timpul necesar pentru ca un pieton să meargă 42 km, deplasându-se cu o viteză de 5 km/h.
6. Cât de departe va parcurge un pieton, deplasându-se cu o viteză de 5 km/h timp de 6 ore?
11. Rezultatul lecției.
Completați tabelul cu ce rezultate am ajuns la sfârșitul lecției.
Arată un card care se potrivește cu starea ta.

Începutul lecției
da
Nu
Atasamentul 1.
Sfârșitul lecției
Nu stiu Da
Nu. Aprobare
1. Cunosc toate formulele
sarcini de mișcare
2. Înțeleg decizia
sarcini de mișcare
3. Pot decide pentru mine
sarcini
4. Pot compune
scheme pentru sarcini
trafic
5. Știu ce greșeli
admite în decizie
sarcini de mișcare
Conectați obiecte în mișcare.
Pieton 70 km/h
Schior 5 km/h
Masina 10 km/h
Avion cu reacție 12 km/h
Tren 50 km/h
Melc 900 km/h
Cal 90 km/h
Nu nu
Știu
Anexa 2