Condiția de perpendicularitate a vectorilor

Vectorii sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor punctual este zero.

Sunt dați doi vectori a(xa;ya) și b(xb;yb). Acești vectori vor fi perpendiculari dacă expresia xaxb + yayb = 0.

Vectorii sunt paraleli dacă produsul lor încrucișat este zero

Ecuația unei drepte pe un plan. Sarcini de bază pe o linie dreaptă pe un avion.

Orice dreaptă pe plan poate fi dată de ecuația de ordinul întâi Ax + By + C = 0, iar constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp, adică. A2 + B2  0. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte. În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0) - linia dreaptă este paralelă cu axa Ox - B \u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \u003d 0) - linia dreaptă este paralelă cu axa Oy - B \u003d C \u003d 0, A  0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy - A = C = 0, B  0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox Ecuația dreptei poate fi prezentată sub diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Dacă cel puțin unul dintre coeficienții A, B, C ur-ax+By+C=0 este egal cu 0, ur-e
numit incomplet. După forma ecuației unei linii drepte, se poate aprecia poziția acesteia
la naiba ohh. Cazuri posibile:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) satisface această ecuație, ceea ce înseamnă dreapta
trece prin origine
2 А=0 L: Ву+С=0 - normal v-p n=(0,B) este perpendicular pe axa OX de aici
rezultă că linia este paralelă cu axa x
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - normal v-r n \u003d (A, 0) este perpendicular pe axa OY de aici
rezultă că linia este paralelă cu axa y
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - nu trece prin origine și se intersectează).
ambele axe.

Ecuația unei drepte　pe un plan care trece prin două puncte date și:

Unghiul dintre planuri.

Calculul determinanților

Calculul determinanților se bazează pe proprietățile lor cunoscute, care se aplică determinanților de toate ordinele. Aceste proprietăți sunt:

1. Dacă rearanjați două rânduri (sau două coloane) ale determinantului, atunci determinantul își va schimba semnul.

2. Dacă elementele corespunzătoare din două coloane (sau două rânduri) ale determinantului sunt egale sau proporționale, atunci determinantul este egal cu zero.

3. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă rândurile și coloanele sunt schimbate, păstrându-le ordinea.

4. Dacă toate elementele oricărui rând (sau coloană) au un factor comun, atunci acesta poate fi scos din semnul determinant.

5. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană) sunt adăugate elementelor unui rând (sau coloană), înmulțite cu același număr.

Matrice și acțiune asupra lor

Matrice- un obiect matematic scris sub forma unui tabel dreptunghiular de numere (sau elemente de inel) si care permite operatii algebrice (adunare, scadere, inmultire etc.) intre acesta si alte obiecte asemanatoare. De obicei, matricele sunt reprezentate prin tabele bidimensionale (dreptunghiulare). Uneori sunt luate în considerare matrice multidimensionale sau matrice nerectangulare.

De obicei, matricea este desemnată cu o majusculă a alfabetului latin și se distinge prin paranteze rotunde „(…)” (există și o selecție de paranteze pătrate „[…]” sau linii drepte duble „||…| |”).

Numerele care alcătuiesc matricea (elementele matricei) sunt adesea notate cu aceeași literă ca și matricea însăși, dar litere mici (de exemplu, a11 este un element al matricei A).

Fiecare element al matricei are 2 indice (aij) - primul „i” indică numărul rândului în care se află elementul, iar al doilea „j” este numărul coloanei. Ei spun „matricea dimensiunilor”, adică matricea are m rânduri și n coloane. Întotdeauna în aceeași matrice

Operații cu matrice

Fie aij elemente ale matricei A și bij elemente ale matricei B.

Operatii liniare:

Înmulțirea unei matrice A cu un număr λ (notație: λA) constă în construirea unei matrice B ale cărei elemente se obțin prin înmulțirea fiecărui element al matricei A cu acest număr, adică fiecare element al matricei B este egal. la

Adunarea matricelor A + B este operația de a găsi o matrice C, ale cărei elemente sunt egale cu suma pe perechi a tuturor elementelor corespunzătoare ale matricelor A și B, adică fiecare element al matricei C este egal cu

Scăderea matricelor A − B este definită similar cu adunarea, este operația de găsire a unei matrici C ale cărei elemente

Adunarea și scăderea sunt permise numai pentru matrice de aceeași dimensiune.

Există o matrice zero Θ astfel încât adăugarea acesteia la o altă matrice A nu schimbă A, adică.

Toate elementele matricei zero sunt egale cu zero.

Operații neliniare:

Înmulțirea matricei (notație: AB, mai rar cu semn de înmulțire) este o operație de calcul a unei matrice C, ale cărei elemente sunt egale cu suma produselor elementelor din rândul corespunzător al primului factor și coloana de al doilea.cij = ∑ aikbkj k

Primul multiplicator trebuie să aibă atâtea coloane câte rânduri există în al doilea. Dacă matricea A are dimensiunea B - , atunci dimensiunea produsului lor AB = C este. Înmulțirea prin matrice nu este comutativă.

Înmulțirea matricelor este asociativă. Numai matricele pătrate pot fi ridicate la o putere.

Transpunerea matricei (simbol: AT) este o operație în care matricea este reflectată de-a lungul diagonalei principale, adică

Dacă A este o matrice de dimensiune, atunci AT este o matrice de dimensiune

Derivată a unei funcții complexe

Funcția complexă are forma: F(x) = f(g(x)), adică. este o funcție a unei funcții. De exemplu, y = sin2x, y = ln(x2+2x), etc.

Dacă în punctul x funcția g (x) este derivata g "(x), iar în punctul u \u003d g (x) funcția f (u) are derivata f" (u), atunci derivata lui funcția complexă f (g (x)) din punctul x există și este egală cu f"(u)g"(x).

Derivată a unei funcții implicite

În multe probleme, funcția y(x) este specificată în mod indirect. De exemplu, pentru funcțiile de mai jos

este imposibil să se obțină explicit dependența y(x).

Algoritmul pentru calcularea derivatei y "(x) a unei funcții implicite este următorul:

În primul rând, trebuie să diferențiați ambele părți ale ecuației în raport cu x, presupunând că y este o funcție derivabilă a lui x și folosind regula pentru calcularea derivatei unei funcții complexe;

Rezolvați ecuația rezultată în raport cu derivata y "(x).

Să ne uităm la câteva exemple pentru a ilustra.

Diferențiază funcția y(x) dată de ecuație.

Diferențiați ambele părți ale ecuației în raport cu variabila x:

ceea ce duce la rezultat

regula lui Lapital

Regula lui L'Hopital. Fie f-țiunea f(x) și g(x) are în env. t-ki x0 pr-nye f‘ și g‘ excluzând posibilitatea acestui t-ku x0. Fie lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 astfel încât f(x)/g(x) pentru x®x0 să dea 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) când coincide cu limita raportului funcției lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Un criteriu pentru monotonitatea unei funcții care are o derivată pe un interval) Fie funcția continuu pe

(a,b) și are o derivată f"(x) în fiecare punct. Atunci

1)f crește cu (a,b) dacă și numai dacă

2) scade pe (a,b) dacă și numai dacă

2. (O condiție suficientă pentru monotonitatea strictă a unei funcții care are o derivată pe un interval) Fie funcția este continuă pe (a,b) și are o derivată f"(x) în fiecare punct. Atunci

1) dacă atunci f este strict crescător pe (a,b);

2) dacă atunci f este strict descrescător pe (a,b).

În general, invers nu este adevărat. Derivata unei funcții strict monotone poate dispărea. Totuși, mulțimea de puncte în care derivata nu este egală cu zero trebuie să fie densă pe intervalul (a,b). Mai exact, are loc.

3. (Un criteriu pentru monotonitatea strictă a unei funcții care are o derivată pe un interval) Fie iar derivata f"(x) este definită peste tot pe interval. Atunci f crește strict pe intervalul (a,b) dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții:

Produsul scalar al vectorilor. Unghiul dintre vectori. Condiție de paralelism sau perpendicularitate a vectorilor.

Produsul scalar al vectorilor este produsul lungimii lor și cosinusul unghiului dintre ei:

Exact în același mod ca în planimetrie, se demonstrează următoarele afirmații:

Produsul scalar a doi vectori nenuli este zero dacă și numai dacă acești vectori sunt perpendiculari.

Pătratul punctual al unui vector, adică produsul scalar al lui însuși și al lui însuși, este egal cu pătratul lungimii sale.

Produsul scalar a doi vectori și dat de coordonatele lor poate fi calculat prin formula

Vectorii sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor punctual este zero. Exemplu. Dați doi vectori și . Acești vectori vor fi perpendiculari dacă expresia x1x2 + y1y2 = 0. Unghiul dintre vectorii nenuli este unghiul dintre liniile pentru care acești vectori sunt ghidaj. Unghiul dintre orice vector și un vector zero este, prin definiție, considerat egal cu zero. Dacă unghiul dintre vectori este de 90°, atunci astfel de vectori se numesc perpendiculari. Unghiul dintre vectori va fi notat astfel:

Acest articol dezvăluie semnificația perpendicularității a doi vectori pe un plan în spațiul tridimensional și găsirea coordonatelor unui vector perpendicular pe unul sau pe o pereche întreagă de vectori. Tema este aplicabilă problemelor legate de ecuațiile de drepte și plane.

Vom avea în vedere condiția necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a doi vectori, vom rezolva prin metoda găsirii unui vector perpendicular pe cel dat, vom atinge situația găsirii unui vector care este perpendicular pe doi vectori.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Condiție necesară și suficientă pentru ca doi vectori să fie perpendiculari

Să aplicăm regula vectorilor perpendiculari pe plan și în spațiul tridimensional.

Definiția 1

Având în vedere valoarea unghiului dintre doi vectori nenuli egal cu 90 ° (π 2 radiani) se numește perpendicular.

Ce înseamnă acest lucru și în ce situații este necesar să știm despre perpendicularitatea lor?

Stabilirea perpendicularității este posibilă prin desen. Când trasați un vector pe un plan din puncte date, puteți măsura geometric unghiul dintre ele. Perpendicularitatea vectorilor, dacă este stabilită, nu este în întregime exactă. Cel mai adesea, aceste probleme nu vă permit să faceți acest lucru cu un raportor, așa că această metodă este aplicabilă numai atunci când nu se știe nimic altceva despre vectori.

Majoritatea cazurilor de demonstrare a perpendicularității a doi vectori nenuli în plan sau în spațiu se realizează folosind condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a doi vectori.

Teorema 1

Produsul scalar a doi vectori nenuli a → și b → egali cu zero pentru a îndeplini egalitatea a → , b → = 0 este suficient pentru perpendicularitatea lor.

Dovada 1

Fie vectorii dați a → și b → perpendiculari, atunci vom demonstra egalitatea a ⇀ , b → = 0 .

Din definiția lui produs scalar al vectorilorștim că este egal produsul lungimilor vectorilor dați și cosinusul unghiului dintre ei. Prin condiție, a → și b → sunt perpendiculare și, prin urmare, pe baza definiției, unghiul dintre ele este de 90 °. Atunci avem a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

A doua parte a dovezii

În condiția când a ⇀ , b → = 0 dovedesc perpendicularitatea lui a → și b → .

De fapt, dovada este inversul celei anterioare. Se știe că a → și b → sunt nenule, deci din egalitatea a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ găsim cosinusul. Atunci obținem cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Deoarece cosinusul este zero, putem concluziona că unghiul a → , b → ^ al vectorilor a → și b → este de 90 ° . Prin definiție, aceasta este o proprietate necesară și suficientă.

Condiție perpendiculară pe planul de coordonate

Capitol produs punctual în coordonate demonstrează inegalitatea (a → , b →) = a x b x + a y b y , valabilă pentru vectorii cu coordonatele a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) , pe plan și (a → , b → ) = a x b x + a y b y pentru vectorii a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) în spațiu. O condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a doi vectori în planul de coordonate este a x · b x + a y · b y = 0 , pentru spațiul tridimensional a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Să o punem în practică și să ne uităm la exemple.

Exemplul 1

Verificați proprietatea de perpendicularitate a doi vectori a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Decizie

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să găsiți produsul scalar. Dacă prin condiție va fi egal cu zero, atunci ele sunt perpendiculare.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Condiția este îndeplinită, ceea ce înseamnă că vectorii dați sunt perpendiculari pe plan.

Răspuns: da, vectorii dați a → și b → sunt perpendiculari.

Exemplul 2

Dați vectori de coordonate i → , j → , k → . Verificați dacă vectorii i → - j → și i → + 2 j → + 2 k → pot fi perpendiculari.

Decizie

Pentru a vă aminti cum sunt determinate coordonatele unui vector, trebuie să citiți un articol despre coordonate vectoriale în coordonate dreptunghiulare. Astfel, obținem că vectorii dați i → - j → și i → + 2 j → + 2 k → au coordonatele corespunzătoare (1, - 1, 0) și (1, 2, 2) . Înlocuiți valorile numerice și obțineți: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Expresia nu este zero, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , ceea ce înseamnă că vectorii i → - j → și i → + 2 j → + 2 k → nu sunt perpendicular deoarece condiția nu este îndeplinită.

Răspuns: nu, vectorii i → - j → și i → + 2 j → + 2 k → nu sunt perpendiculari.

Exemplul 3

Dați vectorii a → = (1 , 0 , - 2) și b → = (λ , 5 , 1) . Aflați valoarea λ pentru care vectorii dați sunt perpendiculari.

Decizie

Folosim condiția de perpendicularitate a doi vectori în spațiu în formă pătrată, apoi obținem

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Răspuns: vectorii sunt perpendiculari la valoarea λ = 2.

Există cazuri când problema perpendicularității este imposibilă chiar și într-o condiție necesară și suficientă. Cu date cunoscute pe cele trei laturi ale unui triunghi pe doi vectori, este posibil să se găsească unghiul dintre vectoriși verifică-l.

Exemplul 4

Având în vedere un triunghi A B C cu laturile A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm. Verificați perpendicularitatea vectorilor A B → și A C →.

Decizie

Când vectorii A B → și A C → sunt perpendiculari, triunghiul A B C este considerat dreptunghiular. Apoi aplicăm teorema lui Pitagora, unde BC este ipotenuza triunghiului. Trebuie îndeplinită egalitatea B C 2 = A B 2 + A C 2. Rezultă că 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Prin urmare, A B și A C sunt catetele triunghiului A B C, prin urmare, A B → și A C → sunt perpendiculare.

Este important să învățați cum să găsiți coordonatele unui vector perpendicular pe unul dat. Acest lucru este posibil atât în ​​plan, cât și în spațiu, cu condiția ca vectorii să fie perpendiculari.

Găsirea unui vector perpendicular pe unul dat într-un plan.

Un vector diferit de zero a → poate avea un număr infinit de vectori perpendiculari în plan. Să o reprezentăm pe linia de coordonate.

Este dat un vector diferit de zero a → , situat pe dreapta a. Atunci dat b → , situat pe orice dreptă perpendiculară pe dreapta a, devine perpendicular și a → . Dacă vectorul i → este perpendicular pe vectorul j → sau pe oricare dintre vectorii λ · j → cu λ egal cu orice număr real cu excepția zero, atunci găsirea coordonatelor vectorului b → perpendicular pe a → = (a x , a y) se reduce la un set infinit de soluţii. Dar este necesar să găsim coordonatele vectorului perpendicular pe a → = (a x , a y) . Pentru a face acest lucru, este necesar să scrieți condiția de perpendicularitate a vectorilor în următoarea formă a x · b x + a y · b y = 0 . Avem b x și b y , care sunt coordonatele dorite ale vectorului perpendicular. Când a x ≠ 0 , valoarea lui b y este nenulă și b x este calculată din inegalitatea a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . Când a x = 0 și a y ≠ 0, îi atribuim lui b x orice altă valoare decât zero, iar b y se găsește din expresia b y = - a x · b x a y .

Exemplul 5

Dat un vector cu coordonatele a → = (- 2 , 2) . Găsiți un vector perpendicular pe cel dat.

Decizie

Se notează vectorul dorit ca b → (b x , b y) . Puteți găsi coordonatele sale cu condiția ca vectorii a → și b → să fie perpendiculari. Atunci obținem: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Atribuiți b y = 1 și înlocuiți: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Prin urmare, din formulă obținem b x = - 2 - 2 = 1 2 . Prin urmare, vectorul b → = (1 2 , 1) este un vector perpendicular pe a → .

Răspuns: b → = (1 2 , 1) .

Dacă se pune problema spațiului tridimensional, problema este rezolvată după același principiu. Pentru un vector dat a → = (a x , a y , a z) există o mulțime infinită de vectori perpendiculari. Se va repara pe planul de coordonate 3D. Dat a → situat pe linia a . Planul perpendicular pe dreapta a este notat cu α. În acest caz, orice vector diferit de zero b → din planul α este perpendicular pe a → .

Este necesar să găsim coordonatele b → perpendiculare pe vectorul nenul a → = (a x , a y , a z) .

Fie b → dat cu coordonatele b x , b y și b z . Pentru a le găsi, este necesar să se aplice definiția condiției de perpendicularitate a doi vectori. Egalitatea a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 trebuie să fie valabilă. Din condiția a → - non-zero, ceea ce înseamnă că una dintre coordonate are o valoare diferită de zero. Să presupunem că a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 sau a z ≠ 0). Prin urmare, avem dreptul de a împărți întreaga inegalitate a x b x + a y b y + a z b z = 0 la această coordonată, obținem expresia b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Atribuim orice valoare coordonatelor b y și b x , calculăm valoarea b x , pe baza formulei, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Vectorul perpendicular dorit va avea valoarea a → = (a x , a y , a z) .

Să ne uităm la dovada cu un exemplu.

Exemplul 6

Dat un vector cu coordonatele a → = (1 , 2 , 3) ​​​​  . Găsiți un vector perpendicular pe cel dat.

Decizie

Se notează vectorul dorit ca b → = (b x , b y , b z) . Pe baza condiției ca vectorii să fie perpendiculari, produsul scalar trebuie să fie egal cu zero.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Dacă valoarea b y = 1 , b z = 1 , atunci b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Rezultă că coordonatele vectorului b → (- 5 , 1 , 1) . Vectorul b → este unul dintre vectorii perpendiculari pe cel dat.

Răspuns: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Aflarea coordonatelor unui vector perpendicular pe doi vectori dați

Trebuie să găsiți coordonatele vectorului în spațiul tridimensional. Este perpendiculară pe vectorii necoliniari a → (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Cu condiția ca vectorii a → și b → să fie coliniari, în problemă va fi suficient să găsim un vector perpendicular pe a → sau b → .

La rezolvare se folosește conceptul de produs vectorial al vectorilor.

Produsul încrucișat al vectorilor a → și b → este un vector care este simultan perpendicular atât pe a → cât și pe b → . Pentru a rezolva această problemă se folosește produsul vectorial a → × b →. Pentru spațiul tridimensional are forma a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Să analizăm produsul vectorial mai detaliat folosind exemplul problemei.

Exemplul 7

Sunt dați vectorii b → = (0 , 2 , 3) ​​​​și a → = (2 , 1 , 0). Găsiți coordonatele oricărui vector perpendicular pe date în același timp.

Decizie

Pentru a rezolva, trebuie să găsiți produsul încrucișat al vectorilor. (Trebuie să se refere la paragraful calcule determinante matriceale pentru a găsi vectorul). Primim:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Răspuns: (3 , - 6 , 4) - coordonatele unui vector care este simultan perpendicular pe date a → și b → .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

ohm. Pentru a face acest lucru, introducem mai întâi conceptul de segment.

Definiția 1

Un segment este o parte a unei linii drepte care este delimitată de puncte de ambele părți.

Definiția 2

Capetele segmentului vor fi numite puncte care îl limitează.

Pentru a introduce definiția unui vector, unul dintre capetele segmentului se va numi începutul său.

Definiția 3

Vom numi un vector (segment direcționat) un astfel de segment, pentru care se indică care punct de limită este începutul său și care este sfârșitul său.

Notatie: \overline(AB) - vector AB , incepand in punctul A si terminand in punctul B .

În caz contrar, cu o literă mică: \overline(a) (Fig. 1).

Definiția 4

Vectorul zero este orice punct care aparține planului.

Denumire: \overline(0) .

Acum introducem direct definiția vectorilor coliniari.

Introducem și definiția produsului scalar, de care vom avea nevoie mai jos.

Definiția 6

Produsul scalar a doi vectori dați este un scalar (sau număr) care este egal cu produsul lungimilor acestor doi vectori cu cosinusul unghiului dintre vectorii dați.

Matematic ar putea arăta astfel:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Produsul punctual poate fi găsit și folosind coordonate vectorialeîn felul următor

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Semn de perpendicularitate prin proporționalitate

Teorema 1

Pentru ca vectorii nenuli să fie perpendiculari între ei, este necesar și suficient ca produsul lor scalar al acestor vectori să fie egal cu zero.

Dovada.

Nevoie: Să ni se dea vectorii \overline(α) și \overline(β) , care au coordonatele (α_1,α_2,α_3) și respectiv (β_1,β_2,β_3) și sunt perpendiculari unul pe celălalt. Atunci trebuie să demonstrăm următoarea egalitate

Deoarece vectorii \overline(α) și \overline(β) sunt perpendiculari, unghiul dintre ei este 90^0 . Să găsim produsul scalar al acestor vectori folosind formula din Definiția 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Suficiență: Fie egalitatea adevărată \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Să demonstrăm că vectorii \overline(α) și \overline(β) vor fi perpendiculari unul pe celălalt.

Prin definiția 6, egalitatea va fi adevărată

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Prin urmare, vectorii \overline(α) și \overline(β) vor fi perpendiculari unul pe celălalt.

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 1

Demonstrați că vectorii cu coordonatele (1,-5,2) și (2,1,3/2) sunt perpendiculari.

Dovada.

Să găsim produsul scalar pentru acești vectori prin formula dată mai sus

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Prin urmare, prin teorema 1, acești vectori sunt perpendiculari.

Găsirea unui vector perpendicular pe doi vectori dați prin produsul încrucișat

Să introducem mai întâi conceptul de produs vectorial.

Definiția 7

Un produs vectorial al doi vectori va fi numit un vector care va fi perpendicular pe ambii vectori dați, iar lungimea lui va fi egală cu produsul lungimilor acestor vectori cu sinusul unghiului dintre acești vectori și acest vector cu doi vectori. cele inițiale au aceeași orientare ca și sistemul de coordonate carteziene.

Desemnare: \overline(α)x\overline(β)x.

Pentru a găsi produsul vectorial, vom folosi formula

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Deoarece vectorul produsului încrucișat a doi vectori este perpendicular pe ambii acești vectori, atunci va fi un vector revendicat. Adică, pentru a găsi un vector perpendicular pe doi vectori, trebuie doar să găsiți produsul încrucișat al acestora.

Exemplul 2

Găsiți vector perpendicular pe vectorii cu coordonatele \overline(α)=(1,2,3) și \overline(β)=(-1,0,3)

Găsiți produsul încrucișat al acestor vectori.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x

Instruire

Dacă vectorul original este prezentat în desen într-un sistem de coordonate dreptunghiular bidimensional și trebuie construit unul perpendicular în același loc, porniți de la definiția perpendicularității vectorilor pe un plan. Se precizează că unghiul dintre o astfel de pereche de segmente direcționate trebuie să fie egal cu 90°. Este posibil să se construiască un număr infinit de astfel de vectori. Prin urmare, desenați o perpendiculară pe vectorul original în orice loc convenabil al planului, lăsați deoparte pe ea un segment egal cu lungimea unei perechi ordonate date de puncte și atribuiți unul dintre capetele acestuia ca început al vectorului perpendicular. Faceți acest lucru cu un raportor și o riglă.

Dacă vectorul inițial este dat de coordonatele bidimensionale ā = (X₁;Y₁), pornește de la faptul că produsul scalar al unei perechi de vectori perpendiculari trebuie să fie egal cu zero. Aceasta înseamnă că trebuie să alegeți pentru vectorul dorit ō = (X₂,Y₂) astfel de coordonate la care egalitatea (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 va fi satisfăcută. Acest lucru se poate face astfel: alegeți orice valoare diferită de zero pentru coordonatele X₂ și calculați coordonatele Y₂ folosind formula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. De exemplu, pentru vectorul ā = (15;5) va exista un vector ō, cu abscisa egală cu unu și ordonată egală cu -(15*1)/5 = -3, adică. ō = (1;-3).

Pentru un sistem de coordonate tridimensional și orice alt sistem de coordonate ortogonal, aceeași condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea vectorilor este adevărată - produsul lor scalar trebuie să fie egal cu zero. Prin urmare, dacă segmentul dirijat inițial este dat de coordonatele ā = (X₁,Y₁,Z₁), pentru perechea ordonată de puncte ō = (X₂,Y₂,Z₂) perpendiculare pe acesta, alegeți astfel de coordonate care îndeplinesc condiția (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cea mai simplă modalitate este de a atribui valori individuale lui X₂ și Y₂ și de a calcula Z₂ din ecuația simplificată Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁. De exemplu, pentru vectorul ā = (3,5,4) acesta va lua următoarea formă: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Apoi luați abscisa și ordonata vector perpendicular ca unitate, iar în acest caz va fi egal cu -(3+5)/4 = -2.

Surse:

• găsiți vectorul dacă este perpendicular

Se numesc perpendiculare vector, unghiul dintre care este de 90º. Vectorii perpendiculari sunt construiți folosind instrumente de desen. Dacă coordonatele lor sunt cunoscute, atunci este posibil să se verifice sau să se găsească perpendicularitatea vectorilor prin metode analitice.

Vei avea nevoie

• - raportor;
• - busolă;
• - rigla.

Instruire

Setați-l la punctul de pornire al vectorului. Desenați un cerc cu o rază arbitrară. Apoi construiți două centrate în punctele în care primul cerc intersectează linia pe care se află vectorul. Razele acestor cercuri trebuie să fie egale între ele și mai mari decât primul cerc construit. În punctele de intersecție ale cercurilor, construiți o dreaptă care va fi perpendiculară pe vectorul original în punctul de început și lăsați deoparte pe ea un vector perpendicular pe cel dat.

Găsiți un vector perpendicular pe cel ale cărui coordonate și sunt egale cu (x; y). Pentru a face acest lucru, găsiți o pereche de numere (x1;y1) care ar satisface egalitatea x x1+y y1=0. În acest caz, vectorul cu coordonatele (x1;y1) va fi perpendicular pe vectorul cu coordonatele (x;y).