Grafice pe bucăți – dat funcții

Murzalieva T.A. profesor de matematică, MBOU „Școala secundară Borsk” districtul Boksitogorsk, regiunea Leningrad

Ţintă:

• stăpânește metoda spline liniară pentru trasarea graficelor care conțin modulul;
• învață să-l aplici în situații simple.

Sub splina(din limba engleză spline - bară, șină) înțeleg de obicei o funcție dată pe bucăți.

Astfel de funcții sunt cunoscute matematicienilor de mult timp, începând de la Euler (1707-1783, matematician elvețian, german și rus), dar studiul lor intensiv a început, de fapt, abia la mijlocul secolului al XX-lea.

În 1946 Isaac Schoenberg (1903-1990, matematician român și american) folosit pentru prima dată acest termen. Din 1960, odată cu dezvoltarea tehnologiei informatice, a început utilizarea spline-urilor în grafica computerizată și modelare.

unu . Introducere

2. Definirea unei spline liniare

3. Definirea modulului

4. Grafic

5. Lucrări practice

Unul dintre scopurile principale ale funcțiilor este descrierea proceselor reale care au loc în natură.

Dar din cele mai vechi timpuri, oamenii de știință - filozofii și naturaliștii au distins două tipuri de procese: treptat ( continuu ) și spasmodic.

Când un corp cade la pământ, primul creștere continuă viteza de miscare , iar în momentul ciocnirii cu solul viteza fluctuează , devenind zero sau schimbarea direcției (semn) atunci când corpul „sare” de pe sol (de exemplu, dacă corpul este o minge).

Dar, deoarece există procese discontinue, atunci sunt necesare mijloace pentru descrierile lor. În acest scop sunt introduse funcții care au pauze .

a - formula y = h(x), și vom presupune că fiecare dintre funcțiile g(x) și h(x) este definită pentru toate valorile lui x și nu are discontinuități. Atunci dacă g(a) = h(a), atunci funcția f(x) are un salt la x=a; dacă g(a) = h(a) = f(a), atunci funcția „combinată” f nu are discontinuități. Dacă ambele funcții g și h sunt elementare, atunci f se numește elementar pe bucăți. "width="640"

• O modalitate de a introduce astfel de discontinuități Următorul:

Lasa funcţie y = f(x)

la X definit prin formula y = g(x),

iar la xa - formulă y = h(x), și vom lua în considerare că fiecare dintre funcţii g(x) și h(x) este definit pentru toate valorile x și nu are pauze.

Apoi , dacă g(a) = h(a), apoi functia f(x) are la x=a salt;

dacă g(a) = h(a) = fa), apoi funcția „combinată”. f nu are pauze. Dacă ambele funcţii g și h elementar, apoi f se numește elementar pe bucăți.

Grafice ale funcțiilor continue

Trasează funcția:

Y = |X-1| +1

X=1 - punctul de schimbare a formulelor

Cuvânt "modul" provine din cuvântul latin „modulus”, care înseamnă „măsură”.

număr modulo A numit distanţă (pe segmente unice) de la origine la punctul A ( A) .

Această definiție dezvăluie semnificația geometrică a modulului.

modul (valoare absolută) numar real A numit același număr A≥ 0 și numărul opus -Aîn cazul în care un

0 sau x=0 y = -3x -2 pentru x "width="640"

Trasează o funcție y = 3|x|-2.

Prin definiția modulului, avem: 3x - 2 pentru x0 sau x=0

-3x -2 la x

x n) "width="640"

. Fie x 1 X 2 X n sunt puncte de schimbare a formulelor în funcții elementare pe bucăți.

O funcție f definită pentru tot x se numește liniară pe bucăți dacă este liniară pe fiecare interval

iar în plus, sunt îndeplinite condiţiile de potrivire, adică în punctele de schimbare a formulelor, funcţia nu suferă o discontinuitate.

Funcție liniară continuă pe bucăți numit spline liniară . A ei programa există linie întreruptă cu două legături de capăt infinite – stânga (corespunzător lui x n ) și dreapta ( corespunzător lui x x n )

O funcție elementară pe bucăți poate fi definită prin mai mult de două formule

Program - linie frântă cu două legături extreme infinite - cea din stânga (x1).

Y=|x| - |x – 1|

Puncte de schimbare a formulei: x=0 și x=1.

Y(0)=-1, y(1)=1.

Este convenabil să construiți un grafic al unei funcții liniare pe bucăți, arătând pe planul de coordonate vârfuri de polilinie.

Pe lângă clădire n blaturile ar trebui construi de asemenea două puncte : unul în stânga vârfului A 1 ( X 1; y ( X 1)), celălalt - în dreapta vârfului Un ( xn ; y ( xn )).

Rețineți că o funcție liniară discontinuă pe bucăți nu poate fi reprezentată ca o combinație liniară de module de binoame .

Trasează o funcție y = x+ |x -2| - |X|.

O funcție liniară continuă pe bucăți se numește spline liniară

1. Puncte de schimbare a formulei: X-2=0, X=2 ; X=0

2. Să facem un tabel:

Y( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

la (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .

Trasează funcția y = |x+1| +|x| – |х -2|.

1 .Puncte de schimbare a formularului:

x+1=0, x=-1 ;

x=0 ; x-2=0, x=2.

2 . Să facem un tabel:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.

|x – 1| = |x + 3|

Rezolvați ecuația:

Decizie. Se consideră funcția y = |x -1| - |x +3|

Să construim un grafic al funcției / folosind metoda spline liniară /

• Puncte de schimbare a formulei:

x -1 = 0, x = 1; x + 3 = 0, x = - 3.

2. Să facem un tabel:

y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Raspunsul 1.

1. Construiți grafice ale funcțiilor liniare pe bucăți folosind metoda spline liniară:

y = |x – 3| + |x|;

1). Puncte de schimbare a formulei:

2). Să facem un tabel:

2. Construiți grafice ale funcțiilor folosind CMC „Live Mathematics »

DAR) y = |2x – 4| + |x +1|

1) Puncte de schimbare a formulei:

2) y() =

B) Construiți grafice de funcții, stabiliți un model :

a) y = |x – 4| b) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Utilizați instrumentele Punct, Linie, Săgeată de pe bara de instrumente.

1. Meniul grafice.

2. Fila „Construiți un grafic”.

.3. Introduceți formula în fereastra Calculator.

Trasează funcția:

1) Y \u003d 2x + 4

1. Kozina M.E. Matematică. Clasele 8-9: o colecție de cursuri opționale. - Volgograd: Profesor, 2006.

2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov și S. B. Suvorova. Algebră: manual. Pentru 7 celule. educatie generala instituții / ed. S. A. Teliakovsky. – Ed. a XVII-a. - M. : Iluminismul, 2011

3. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov și S. B. Suvorova. Algebră: manual. Pentru 8 celule. educatie generala instituții / ed. S. A. Teliakovsky. – Ed. a XVII-a. - M. : Iluminismul, 2011

4. Wikipedia, enciclopedia liberă

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline

Procesele reale care au loc în natură pot fi descrise folosind funcții. Deci, putem distinge două tipuri principale de flux de procese care sunt opuse unul altuia - acestea sunt treptat sau continuuși spasmodic(un exemplu ar fi o minge care cade și revine). Dar dacă există procese discontinue, atunci există mijloace speciale pentru descrierea lor. În acest scop se pun în circulație funcții care au discontinuități, salturi, adică în diferite părți ale dreptei numerice, funcția se comportă după legi diferite și, în consecință, este dată de formule diferite. Sunt introduse conceptele de puncte de discontinuitate și discontinuitate amovibilă.

Cu siguranță ați văzut deja funcții definite de mai multe formule, în funcție de valorile argumentului, de exemplu:

y \u003d (x - 3, cu x\u003e -3;
(-(x - 3), pentru x< -3.

Astfel de funcții sunt numite pe bucati sau pe bucati. Secțiuni ale liniei numerice cu diferite formule de muncă, să sunăm constituenți domeniu. Unirea tuturor componentelor este domeniul funcției pe bucăți. Se numesc acele puncte care împart domeniul unei funcții în componente puncte de limita. Sunt numite formule care definesc o funcție pe bucăți pe fiecare domeniu constitutiv de definiție funcții de intrare. Grafice ale funcțiilor date pe bucăți sunt obținute ca rezultat al combinării părților de grafice construite pe fiecare dintre intervalele de partiție.

Exerciții.

Construiți grafice ale funcțiilor pe bucăți:

1) (-3, cu -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, pentru x = 0,
(1, la 0< x ≤ 5.

Graficul primei funcții este o dreaptă care trece prin punctul y = -3. Are originea în punctul cu coordonatele (-4; -3), merge paralel cu axa absciselor până la punctul cu coordonatele (0; -3). Graficul celei de-a doua funcții este un punct cu coordonatele (0; 0). Al treilea grafic este similar cu primul - este o linie dreaptă care trece prin punctul y \u003d 1, dar deja în zona de la 0 la 5 de-a lungul axei Ox.

Răspuns: figura 1.

2) (3 dacă x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| dacă -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 dacă x > 4.

Luați în considerare fiecare funcție separat și trasați graficul acesteia.

Deci, f(x) = 3 este o linie dreaptă paralelă cu axa Ox, dar trebuie trasă numai în zona în care x ≤ -4.

Graficul funcției f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| poate fi obținută din parabola y \u003d x 2 - 4x + 3. După ce a construit graficul, partea figurii care se află deasupra axei Ox trebuie lăsată neschimbată, iar partea care se află sub axa absciselor trebuie să fie afișată simetric raportat la axa Ox. Apoi afișați simetric partea din grafic în care
x ≥ 0 în jurul axei Oy pentru x negativ. Graficul obținut ca rezultat al tuturor transformărilor este lăsat numai în zona de la -4 la 4 de-a lungul abscisei.

Graficul celei de-a treia funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos, iar vârful se află în punctul cu coordonatele (4; 3). Desenul este reprezentat numai în zona în care x > 4.

Răspuns: figura 2.

3) (8 - (x + 6) 2 dacă x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8| dacă -6 ≤ x< 5,
(3 dacă x ≥ 5.

Construcția funcției propuse dată pe bucăți este similară cu paragraful anterior. Aici, graficele primelor două funcții sunt obținute din transformări de parabolă, iar graficul celei de-a treia este o dreaptă paralelă cu Ox.

Răspuns: figura 3.

4) Trasează funcția y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Decizie. Domeniul acestei funcții este reprezentat de toate numerele reale, cu excepția zeroului. Să deschidem modulul. Pentru a face acest lucru, luați în considerare două cazuri:

1) Pentru x > 0, obținem y = x - x + (x - 1 - 1) 2 = (x - 2) 2 .

2) Pentru x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Astfel, avem o funcție dată pe bucăți:

y = ((x - 2) 2 , pentru x > 0;
( x 2 + 2x, pentru x< 0.

Graficele ambelor funcții sunt parabole, ale căror ramuri sunt îndreptate în sus.

Răspuns: figura 4.

5) Reprezentați grafic funcția y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Decizie.

Este ușor de observat că domeniul funcției sunt toate numerele reale, cu excepția zero. După extinderea modulului, obținem o funcție dată pe bucăți:

1) Pentru x > 0, obținem y = (x + 1 - 1) 2 = x 2 .

2) Pentru x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Să rescriem.

y \u003d (x 2, pentru x\u003e 0;
((x – 2) 2 , pentru x< 0.

Graficele acestor funcții sunt parabole.

Răspuns: figura 5.

6) Există o funcție al cărei grafic pe planul de coordonate are un punct comun cu orice dreaptă?

Decizie.

Da este.

Un exemplu ar fi funcția f(x) = x 3 . Într-adevăr, graficul parabolei cubice se intersectează cu dreapta verticală x = a în punctul (a; a 3). Acum, linia dreaptă este dată de ecuația y = kx + b. Apoi ecuația
x 3 - kx - b \u003d 0 are o rădăcină reală x 0 (deoarece un polinom de grad impar are întotdeauna cel puțin o rădăcină reală). Prin urmare, graficul funcției se intersectează cu linia dreaptă y \u003d kx + b, de exemplu, în punctul (x 0; x 0 3).

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Instituție de învățământ bugetar municipal

gimnaziu №13

„Funcții pe bucăți”

Sapogova Valentina si

Donskaya Alexandra

Consultant șef:

Berdsk

1. Definirea scopurilor si obiectivelor principale.

2. Chestionare.

2.1. Determinarea relevanței lucrării

2.2. Semnificație practică.

3. Istoricul funcțiilor.

4. Caracteristici generale.

5. Metode de setare a funcţiilor.

6. Algoritm de construcție.

8. Literatură folosită.

1. Definirea scopurilor si obiectivelor principale.

Ţintă:

Aflați o modalitate de a rezolva funcții pe bucăți și, pe baza acesteia, întocmește un algoritm pentru construcția lor.

Sarcini:

— Familiarizarea cu conceptul general de funcții pe bucăți;

- Aflați istoria termenului „funcție”;

- Efectueaza un studiu;

— Să identifice modalități de setare a funcțiilor pe bucăți;

- Realizați un algoritm pentru construcția lor;

2. Chestionare.

A fost realizat un sondaj în rândul elevilor de liceu privind capacitatea de a construi funcții pe bucăți. Numărul total de respondenți a fost de 54 de persoane. Dintre aceștia, 6% au finalizat lucrările în totalitate. 28% au reușit să finalizeze lucrarea, dar cu anumite erori. 62% - nu au putut lucra, deși au făcut unele încercări, iar restul de 4% nu au început deloc lucrul.

Din acest sondaj, putem concluziona că elevii școlii noastre care trec prin program au o bază de cunoștințe insuficientă, deoarece acest autor nu acordă prea multă atenție sarcinilor de acest gen. De aici rezultă relevanța și semnificația practică a muncii noastre.

2.1. Determinarea relevanței lucrării.

Relevanţă:

Funcțiile pe bucăți se găsesc atât în ​​GIA cât și în USE, sarcinile care conțin funcții de acest fel sunt evaluate la 2 sau mai multe puncte. Și, prin urmare, evaluarea dvs. poate depinde de decizia lor.

2.2. Semnificație practică.

Rezultatul muncii noastre va fi un algoritm pentru rezolvarea funcțiilor pe bucăți, care va ajuta la înțelegerea construcției lor. Și va adăuga șansele de a obține nota dorită la examen.

3. Istoricul funcțiilor.

- „Algebră Clasa 9”, etc.;

Definirea analitică a unei funcții

Funcția %%y = f(x), x \in X%% dată într-un mod analitic explicit, dacă se dă o formulă care specifică succesiunea operațiilor matematice care trebuie efectuate cu argumentul %%x%% pentru a obține valoarea %%f(x)%% a acestei funcție.

Exemplu

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Deci, de exemplu, în fizică, cu mișcare rectilinie uniform accelerată, viteza unui corp este determinată de formula t%% se scrie astfel: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Funcții definite pe bucăți

Uneori funcția luată în considerare poate fi definită prin mai multe formule care operează în diferite părți ale domeniului definiției sale, în care argumentul funcției se modifică. De exemplu: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Funcțiile de acest fel sunt uneori numite constitutiv sau pe bucati. Un exemplu de astfel de funcție este %%y = |x|%%

Domeniul de aplicare a funcției

Dacă funcția este specificată într-un mod analitic explicit folosind o formulă, dar domeniul de aplicare al funcției sub forma unui set %%D%% nu este specificat, atunci prin %%D%% vom înțelege întotdeauna setul de valori ​​de argumentul %%x%% pentru care această formulă are sens . Deci, pentru funcția %%y = x^2%%, domeniul definiției este setul %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, deoarece argumentul %%x% % poate prelua orice valoare linie numerică. Și pentru funcția %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, domeniul de definiție va fi setul de valori %%x%% care satisface inegalitatea %%1 - x^2 > 0%%, m .e. %%D = (-1, 1)%%.

Beneficiile definiției explicite a funcției analitice

Rețineți că modul analitic explicit de definire a unei funcții este destul de compact (formula, de regulă, ocupă puțin spațiu), ușor de reprodus (formula este ușor de scris) și este cel mai adaptat pentru a efectua operații și transformări matematice pe funcții.

Unele dintre aceste operații - algebrice (adunare, înmulțire etc.) - sunt bine cunoscute de la cursul de matematică din școală, altele (diferențiere, integrare) vor fi studiate în viitor. Cu toate acestea, această metodă nu este întotdeauna clară, deoarece natura dependenței funcției de argument nu este întotdeauna clară și, uneori, sunt necesare calcule greoaie pentru a găsi valorile funcției (dacă este necesar).

Specificarea funcției implicite

Funcția %%y = f(x)%% este definită într-un mod analitic implicit, dacă este dată relația $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ raportând valorile funcției %%y%% și argumentul %% X%%. Dacă sunt date valori ale argumentului, atunci pentru a găsi valoarea %%y%% corespunzătoare unei anumite valori a %%x%%, este necesar să se rezolve ecuația %%(1)%% în raport cu %%y%% la acea valoare particulară de %%x%%.

Având în vedere o valoare de %%x%%, ecuația %%(1)%% poate să nu aibă o soluție sau mai mult de o soluție. În primul caz, valoarea specificată %%x%% nu este în sfera funcției implicite, iar în al doilea caz specifică funcţie multivalorică, care are mai multe valori pentru o anumită valoare a argumentului.

Rețineți că dacă ecuația %%(1)%% poate fi rezolvată explicit în raport cu %%y = f(x)%%, atunci obținem aceeași funcție, dar deja definită într-un mod analitic explicit. Deci, ecuația %%x + y^5 - 1 = 0%%

iar egalitatea %%y = \sqrt(1 - x)%% definesc aceeași funcție.

Definirea funcției parametrice

Când dependența lui %%y%% de %%x%% nu este dată direct, ci în schimb dependențele ambelor variabile %%x%% și %%y%% de o a treia variabilă auxiliară %%t%% sunt date în formă

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$despre care vorbesc parametrice metoda de setare a funcției;

atunci variabila auxiliară %%t%% se numește parametru.

Dacă este posibil să se excludă parametrul %%t%% din ecuațiile %%(2)%%, atunci se ajunge la o funcție dată de o dependență analitică explicită sau implicită de %%y%% de %%x%% . De exemplu, din relațiile $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ cu excepția pentru parametrul % %t%% obținem dependența %%y = 2 x + 2%%, care stabilește o linie dreaptă în planul %%xOy%%.

Mod grafic

Un exemplu de definiție grafică a unei funcții

Exemplele de mai sus arată că modalitatea analitică de definire a unei funcții corespunde acesteia imagine grafică, care poate fi considerată o formă convenabilă și vizuală de descriere a unei funcții. Uneori folosit mod grafic definirea unei funcții când dependența %%y%% de %%x%% este dată de o linie pe planul %%xOy%%. Cu toate acestea, pentru toată claritatea sa, pierde în acuratețe, deoarece valorile argumentului și valorile corespunzătoare ale funcției pot fi obținute din grafic doar aproximativ. Eroarea rezultată depinde de scara și acuratețea măsurării abscisei și ordonatei punctelor individuale ale graficului. Pe viitor, vom atribui rolul graficului funcției doar pentru a ilustra comportamentul funcției și, prin urmare, ne vom restrânge la construcția de „schițe” de grafice care reflectă principalele caracteristici ale funcțiilor.

Mod tabular

Notă mod tabelar atribuiri de funcții, când unele valori ale argumentelor și valorile funcției corespunzătoare sunt plasate într-un tabel într-o anumită ordine. Așa se construiesc binecunoscutele tabele de funcții trigonometrice, tabele de logaritmi etc. Sub forma unui tabel, relația dintre cantitățile măsurate în studii experimentale, observații și teste este de obicei prezentată.

Dezavantajul acestei metode este imposibilitatea de a determina direct valorile funcției pentru valorile argumentului care nu sunt incluse în tabel. Dacă există încredere că valorile argumentului care nu sunt prezentate în tabel aparțin domeniului funcției luate în considerare, atunci valorile corespunzătoare ale funcției pot fi calculate aproximativ folosind interpolarea și extrapolarea.

Exemplu

X	3	5.1	10	12.5
y	9	23	80	110

Modalități algoritmice și verbale de specificare a funcțiilor

Funcția poate fi setată algoritmic(sau programatic) într-un mod care este utilizat pe scară largă în calculele computerizate.

În cele din urmă, se poate remarca descriptiv(sau verbal) o modalitate de specificare a unei funcții, atunci când regula de potrivire a valorilor funcției cu valorile argumentului este exprimată în cuvinte.

De exemplu, funcția %%[x] = m~\forall (x \in )