Continuăm să studiem problemele elementare de matematică. Această lecție este despre probleme procentuale. Ne vom uita la mai multe probleme și vom atinge și acele puncte care nu au fost menționate mai devreme atunci când studiem procentele, având în vedere că la început creează dificultăți de învățare.
În cele mai multe cazuri, sarcinile procentuale se reduc la găsirea unui procent dintr-un număr, găsirea unui număr în procente, exprimarea oricărei părți ca procent sau exprimarea relației dintre mai multe obiecte, numere și cantități ca procent.
Abilități preliminare Conținutul lecțieiModalități de a găsi un procent
Procentul poate fi găsit în diferite moduri. Cel mai popular mod este de a împărți numărul la 100 și de a înmulți rezultatul cu procentul dorit.
De exemplu, pentru a găsi 60% din 200 de ruble, trebuie mai întâi să împărțiți aceste 200 de ruble în o sută de părți egale:
200 de ruble: 100 = 2 ruble.
Când împărțim un număr la 100, găsim un procent din acel număr. Deci, împărțind 200 de ruble în 100 de părți, am găsit automat 1% din două sute de ruble, adică am aflat câte ruble cad într-o singură parte. După cum se poate vedea din exemplu, o parte (un procent) reprezintă 2 ruble.
1% de la 200 de ruble - 2 ruble
Știind câte ruble cad pe o parte (pe 1%), putem afla câte ruble cad pe două părți, trei, patru, cinci etc. Adică putem găsi orice număr de procente. Pentru a face acest lucru, este suficient să înmulțiți aceste 2 ruble cu numărul necesar de părți (procente). Să găsim șaizeci de părți (60%)
2 × 60 = 120 de ruble.
2 × 5 = 10 ruble
Vom gasi 90%
2 × 90 = 180 de ruble.
Vom gasi 100%
2 × 100 = 200 de ruble
100% sunt toate o sută de părți și alcătuiesc toate cele 200 de ruble.
A doua modalitate este de a reprezenta procente ca o fracție obișnuită și de a găsi această fracție din numărul din care doriți să găsiți procentul.
De exemplu, să găsim aceleași 60% din 200 de ruble. În primul rând, să reprezentăm 60% ca o fracție. 60% reprezintă șaizeci de părți dintr-o sută, adică șaizeci de sutimi:
Acum sarcina poate fi înțeleasă ca „găsește de la 200ruble" . Acesta este cel pe care l-am studiat mai devreme. Amintiți-vă că pentru a găsi o fracție dintr-un număr, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numărătorul fracției.
200: 100 = 2
2 x 60 = 120
Sau înmulțiți numărul cu o fracție ():
A treia modalitate este de a reprezenta procentul ca o fracție zecimală și de a înmulți numărul cu această fracție zecimală.
De exemplu, să găsim aceleași 60% din 200 de ruble. Să începem prin a reprezenta 60% ca o fracție. 60% la sută reprezintă şaizeci de părţi dintr-o sută
Să facem împărțirea în această fracție. Mutați virgula în 60 de două cifre la stânga:
Acum găsim 0,60 de la 200 de ruble. Pentru a găsi fracția zecimală a unui număr, trebuie să înmulțiți acest număr cu fracția zecimală:
200 × 0,60 = 120 de ruble
Metoda dată de a găsi un procent este cea mai convenabilă, mai ales dacă o persoană este obișnuită să folosească un calculator. Această metodă vă permite să găsiți procentul într-un singur pas.
De regulă, exprimarea unui procent în fracții zecimale nu este dificilă. Este suficient să atribuiți „zero numere întregi” înainte de procent dacă procentul este un număr din două cifre, sau să atribuiți „zero numere întregi” și un alt zero dacă procentul este un număr cu o singură cifră. Exemple:
60% \u003d 0,60 - alocate zero numere întregi înainte de numărul 60, deoarece numărul 60 este format din două cifre
6% \u003d 0,06 - alocate zero numere întregi și un alt zero înainte de numărul 6, deoarece numărul 6 este dintr-o singură cifră.
Când împărțim la 100, am folosit metoda de a muta virgulă zecimală cu două cifre la stânga. În răspunsul 0,60 s-a păstrat zero după numărul 6. Dar dacă efectuați această împărțire printr-un colț, zero dispare - obțineți răspunsul 0,6
Trebuie amintit că fracțiile zecimale 0,60 și 0,6 sunt egale și poartă aceeași valoare.
0,60 = 0,6
În același „colț”, puteți continua împărțirea la nesfârșit, adăugând de fiecare dată zero la rest, dar aceasta va fi o acțiune fără sens.
Puteți exprima procente ca zecimală nu numai prin împărțirea la 100, ci și prin înmulțire. Semnul procentual (%) înlocuiește singur multiplicatorul 0,01. Și dacă ținem cont de faptul că numărul de procente și semnul de procente sunt scrise împreună, atunci între ele există un semn de înmulțire „invizibil” (×).
Deci, de exemplu, 45% arată de fapt așa
Înlocuiți semnul procentual cu un factor de 0,01
Această înmulțire cu 0,01 se face prin mutarea virgulei zecimale cu două cifre la stânga
Sarcina 1. Bugetul familiei este de 75 de mii de ruble pe lună. Dintre aceștia, 70% sunt bani câștigați de tata. Cât a câștigat mama?
Soluţie
Total 100 la sută Dacă tata a câștigat 70% din bani, atunci restul de 30% din bani a fost câștigat de mama.
Sarcina 2. Bugetul familiei este de 75 de mii de ruble pe lună. Dintre aceștia, 70% sunt bani câștigați de tata, iar 30% sunt bani câștigați de mama. Câți bani a câștigat fiecare?
Soluţie
Vom găsi 70 și 30 la sută din 75 de mii de ruble. Deci vom stabili câți bani a câștigat fiecare. Pentru comoditate, 70% și 30% vor fi scrise ca fracții zecimale
75 × 0,70 \u003d 52,5 (tata a câștigat o mie de ruble)
75 × 0,30 = 22,5 (mama a câștigat o mie de ruble)
Examinare
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Răspuns: 52,5 mii de ruble Tata a câștigat 22,5 ruble. a câștigat mama.
Sarcina 3. La răcire, pâinea pierde până la 4% din masă ca urmare a evaporării apei. Câte kilograme se vor evapora când 12 tone de pâine se vor răci.
Soluţie
Convertiți 12 tone în kilograme. Sunt 1000 de kilograme într-o tonă, de 12 ori mai multe în 12 tone
1000 × 12 = 12.000 kg
Acum să găsim 4% din 12000. Rezultatul va fi răspunsul la problemă:
12.000 × 0,04 = 480 kg
Răspuns: la racirea a 12 tone de paine se vor evapora 480 de kilograme.
Sarcina 4. Când sunt uscate, merele pierd 84% din greutate. Câte mere uscate se vor obține din 300 kg de mere proaspete?
Găsiți 84% din 300 kg
300: 100 × 84 = 252 kg
300 kg de mere proaspete își vor pierde 252 kg din masă ca urmare a uscării. Pentru a răspunde la întrebarea câte mere uscate vor rezulta, trebuie să scazi 252 din 300
300 - 252 = 48 kg
Răspuns: din 300 kg de mere proaspete se obtin 48 kg de mere uscate.
Sarcina 5. Semințele de soia conțin 20% ulei. Cât ulei este în 700 kg de boabe de soia?
Soluţie
Găsiți 20% din 700 kg
700 × 0,20 = 140 kg
Răspuns: 700 kg de soia conțin 140 kg de ulei
Sarcina 6. Hrișca conține 10% proteine, 2,5% grăsimi și 60% carbohidrați. Câte dintre aceste produse sunt conținute în 14,4 cenți de hrișcă?
Soluţie
Să traducem 14,4 cenți în kilograme. Sunt 100 de kilograme într-un cenț, de 14,4 ori mai multe în 14,4 cenți
100 × 14,4 = 1440 kg
Găsiți 10%, 2,5% și 60% din 1440 kg
1440 × 0,10 = 144 (kg de proteine)
1440 × 0,025 = 36 (kg grăsime)
1440 x 0,60 = 864 (kg carbohidrați)
Răspuns: 14,4 kg de hrisca contine 144 kg de proteine, 36 kg de grasimi, 864 kg de carbohidrati.
Sarcina 7. Scolarii au colectat 60 kg de seminte de stejar, salcam, tei si artar pentru pepiniera forestiera. Ghindele reprezentau 60%, semințele de arțar 15%, semințele de tei 20% din toate semințele, iar restul erau semințe de salcâm. Câte kilograme de semințe de salcâm au strâns elevii?
Soluţie
Vom lua pentru 100% seminte de stejar, salcam, tei si artar. Să scădem din aceste 100% procentele care exprimă semințele de stejar, tei și arțar. Așa că aflăm câte procente sunt semințe de salcâm:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Acum găsim semințe de salcâm:
60 × 0,05 = 3 kg
Răspuns: elevii au adunat 3 kg de semințe de salcâm.
Examinare:
60 x 0,60 = 36
60 x 0,15 = 9
60 x 0,20 = 12
60 x 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Sarcina 8. Bărbatul a cumpărat mâncare. Laptele costă 60 de ruble, adică 48% din costul tuturor achizițiilor. Determinați suma totală de bani cheltuită pe produse.
Soluţie
Aceasta este o problemă de a găsi un număr după procentul său, adică după partea sa cunoscută. Această problemă poate fi rezolvată în două moduri. Primul este de a exprima numărul cunoscut de procente ca o fracție zecimală și de a găsi numărul necunoscut din această fracție
Exprimați 48% ca zecimală
48% : 100 = 0,48
Știind că 0,48 este 60 de ruble, putem determina suma tuturor achizițiilor. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un număr necunoscut în fracție zecimală:
60: 0,48 = 125 de ruble
Deci suma totală de bani cheltuită pentru alimente este de 125 de ruble.
A doua modalitate este să aflați mai întâi câți bani cad pe un procent, apoi să înmulțiți rezultatul cu 100.
48% este de 60 de ruble. Dacă împărțim 60 de ruble la 48, atunci vom afla câte ruble cad pe 1%
60: 48% = 1,25 ruble
1% reprezintă 1,25 ruble. Total 100 la sută Dacă înmulțim 1,25 ruble cu 100, obținem suma totală de bani cheltuită pe produse
1,25 × 100 = 125 de ruble
Sarcina 9. 35% din prunele uscate provin din prune proaspete. Câte prune proaspete trebuie să luați pentru a obține 140 kg de prune uscate? Câte prune uscate se vor obține din 600 kg de proaspete?
Soluţie
Să exprimăm 35% ca o fracție zecimală și să găsim numărul necunoscut din această fracție:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 kg
Pentru a obține 140 kg de prune uscate, trebuie să luați 400 kg de prune proaspete.
Să răspundem la a doua întrebare a problemei - câte prune uscate vor ieși din 600 kg de proaspete? Dacă 35% din prune uscate ies din prune proaspete, atunci este suficient să găsiți aceste 35% din 600 kg de prune proaspete.
600 × 0,35 = 210 kg
Răspuns: pentru a obține 140 kg de prune uscate, trebuie să luați 400 kg de prune proaspete. Din 600 kg de prune proaspete se vor obtine 210 kg de prune uscate.
Sarcina 10. Asimilarea grăsimilor de către organismul uman este de 95%. Timp de o lună, elevul a consumat 1,2 kg de grăsime. Câtă grăsime poate fi absorbită de corpul lui?
Soluţie
Convertiți 1,2 kg în grame
1,2 x 1000 = 1200 g
Găsiți 95% din 1200 g
1200 × 0,95 = 1140 g
Răspuns: 1140 g de grăsime pot fi absorbite de corpul elevului.
Exprimarea numerelor ca procent
Procentul, așa cum am menționat mai devreme, poate fi reprezentat ca o fracție zecimală. Pentru a face acest lucru, este suficient să împărțiți numărul acestor procente la 100. De exemplu, să reprezentăm 12% ca fracție zecimală:
Cometariu. În prezent, nu găsim un procent din ceva, ci pur și simplu îl scriem ca o fracție zecimală.
Dar este posibil și procesul invers. O fracție zecimală poate fi reprezentată ca procent. Pentru a face acest lucru, înmulțiți această fracție cu 100 și puneți un semn de procent (%)
Să reprezentăm fracția zecimală 0,12 ca procent
0,12 x 100 = 12%
Această acțiune se numește exprimat ca procent sau exprimând numere în sutimi.
Înmulțirea și împărțirea sunt operații inverse. De exemplu, dacă 2 × 5 = 10, atunci 10: 5 = 2
În mod similar, împărțirea poate fi scrisă invers. Dacă 10:5 = 2, atunci 2 × 5 = 10:
Același lucru se întâmplă atunci când exprimăm o zecimală ca procent. Deci, 12% a fost exprimat ca zecimală după cum urmează: 12: 100 = 0,12, dar apoi același 12% a fost „returnat” folosind înmulțirea, scriind expresia 0,12 × 100 = 12%.
În mod similar, puteți exprima în procente orice alte numere, inclusiv numere întregi. De exemplu, să exprimăm numărul 3 ca procent. Înmulțiți acest număr cu 100 și adăugați semnul procentului la rezultat:
3 x 100 = 300%
Procente mari, cum ar fi 300%, pot fi confuze la început, deoarece oamenii sunt obișnuiți să numere 100% ca cotă maximă. Din informații suplimentare despre fracții, știm că un obiect întreg poate fi notat prin unitate. De exemplu, dacă există un tort întreg netăiat, atunci acesta poate fi notat cu 1
Același tort poate fi desemnat ca tort 100%. În acest caz, atât unitatea cât și 100% vor desemna același tort întreg:
Să tăiem tortul în jumătate. În acest caz, cel se va transforma în numărul zecimal 0,5 (pentru că este jumătate de unitate), iar 100% se va transforma în 50% (pentru că 50 este jumătate de sută)
Vom returna intreaga prajitura, o unitate si 100%
Să mai desenăm două astfel de prăjituri cu aceeași notație:
Dacă o prăjitură este o unitate, atunci trei prăjituri sunt trei unități. Fiecare tort este 100% intact. Dacă adăugați aceste trei sute, obțineți 300%.
Prin urmare, atunci când convertim numere întregi în procente, înmulțim aceste numere cu 100.
Sarcina 2. Exprimați în procente numărul 5
5 x 100 = 500%
Sarcina 3. Exprimați în procente numărul 7
7 x 100 = 700%
Sarcina 4. Exprimați în procente numărul 7,5
7,5 x 100 = 750%
Sarcina 5. Exprimați în procente numărul 0,5
0,5 x 100 = 50%
Sarcina 6. Exprimați în procente numărul 0,9
0,9 x 100 = 90%
Exemplul 7. Exprimați în procente numărul 1,5
1,5 x 100 = 150%
Exemplul 8. Exprimă procentual numărul 2,8
2,8 x 100 = 280%
Sarcina 9. George se duce acasă de la școală. În primele cincisprezece minute a mers 0,75 din drum. În restul timpului a parcurs restul de 0,25 din drum. Exprimați procentual părțile de drum parcurse de George.
Soluţie
0,75 x 100 = 75%
0,25 x 100 = 25%
Sarcina 10. John a fost tratat cu o jumătate de măr. Exprimați această jumătate ca procent.
Soluţie
Jumătate de măr se scrie ca o fracție de 0,5. Pentru a exprima această fracție ca procent, înmulțiți-o cu 100 și adăugați semnul procentului la rezultat.
0,5 x 100 = 50%
Analogi sub formă de fracții
O valoare exprimată în procente are omologul său sub forma unei fracții obișnuite. Deci, analogul pentru 50% este o fracție. Cincizeci la sută poate fi numit și cuvântul „jumătate”.
Analogul pentru 25% este o fracție. Douăzeci și cinci la sută poate fi numit și cuvântul „sfert”.
Analogul pentru 20% este o fracție. Douăzeci la sută pot fi numite și cuvintele „al cincilea”.
Analogul pentru 40% este o fracție.
Analogul pentru 60% este o fracție
Exemplul 1. Cinci centimetri reprezintă 50% dintr-un decimetru, sau doar jumătate. În toate cazurile, vorbim despre aceeași valoare - cinci centimetri din zece
Exemplul 2. Doi centimetri și jumătate reprezintă 25% dintr-un decimetru sau doar un sfert
Exemplul 3. Doi centimetri reprezintă 20% dintr-un decimetru sau
Exemplul 4. Patru centimetri reprezintă 40% dintr-un decimetru sau
Exemplul 5. Șase centimetri reprezintă 60% dintr-un decimetru sau
Scăderea și creșterea dobânzii
La creșterea sau scăderea unei valori exprimate în procente, se folosește prepoziția „pe”.
Exemple:
- Creștere cu 50% - înseamnă creșterea valorii de 1,5 ori;
- Creștere cu 100% - înseamnă creșterea valorii de 2 ori;
- A crește cu 200% înseamnă a crește de 3 ori;
- Scăderea cu 50% - înseamnă reducerea valorii de 2 ori;
- A reduce cu 80% înseamnă a reduce de 5 ori.
Exemplul 1. Zece centimetri au crescut cu 50%. Cati centimetri ai luat?
Pentru a rezolva astfel de probleme, trebuie să luați valoarea inițială ca 100%. Valoarea inițială este de 10 cm, 50% dintre ele sunt de 5 cm
Cei 10 cm inițiali au fost măriți cu 50% (cu 5 cm), așa că s-au dovedit 10 + 5 cm, adică 15 cm
Un analog al creșterii cu zece centimetri cu 50% este un multiplicator de 1,5. Dacă înmulțiți 10 cm cu ea, obțineți 15 cm
10 × 1,5 = 15 cm
Prin urmare, expresiile „crește cu 50%” și „crește cu 1,5 ori” înseamnă același lucru.
Exemplul 2. Cinci centimetri a crescut cu 100%. Cati centimetri ai luat?
Să luăm cei cinci centimetri originali ca 100%. Sută la sută din acești cinci centimetri vor fi ei înșiși 5 cm. Dacă măriți 5 cm cu aceiași 5 cm, obțineți 10 cm.
Un analog al creșterii cu cinci centimetri cu 100% este un factor de 2. Dacă înmulțiți 5 cm cu acesta, obțineți 10 cm
5×2=10cm
Prin urmare, expresiile „crește cu 100%” și „crește de 2 ori” înseamnă același lucru.
Exemplul 3. Cinci centimetri au crescut cu 200%. Cati centimetri ai luat?
Să luăm cei cinci centimetri originali ca 100%. Două sute la sută este de două ori sută la sută. Adică 200% din 5 cm vor fi 10 cm (5 cm pentru fiecare 100%). Dacă creșteți cu 5 cm cu acești 10 cm, obțineți 15 cm
Un analog al unei creșteri de cinci centimetri cu 200% este un factor de 3. Dacă înmulțiți 5 cm cu acesta, obțineți 15 cm
5×3=15cm
Prin urmare, expresiile „crește cu 200%” și „crește de 3 ori” înseamnă același lucru.
Exemplul 4. Zece centimetri au fost reduse cu 50%. Câți centimetri au mai rămas?
Să luăm 10 cm originali ca 100%. Cincizeci la sută din 10 cm sunt 5 cm. Dacă reduceți 10 cm cu acești 5 cm, vor fi 5 cm
Analogul reducerii a zece centimetri cu 50% este divizorul 2. Dacă împărțiți 10 cm la acesta, obțineți 5 cm
10:2=5cm
Prin urmare, expresiile „reduce cu 50%” și „reduce de 2 ori” înseamnă același lucru.
Exemplul 5. Zece centimetri au fost reduse cu 80%. Câți centimetri au mai rămas?
Să luăm 10 cm originali ca 100%. Optzeci la sută din 10 cm sunt 8 cm. Dacă reduceți 10 cm cu acești 8 cm, vor fi 2 cm
Analogul reducerii a zece centimetri cu 80% este divizorul 5. Dacă împărțiți 10 cm cu acesta, obțineți 2 cm
10:5=2cm
Prin urmare, expresiile „reduce cu 80%” și „reduce de 5 ori” înseamnă același lucru.
Când rezolvați probleme pentru scăderea și creșterea dobânzii, puteți înmulți / împărți valoarea cu multiplicatorul specificat în sarcină.
Sarcina 1. Cu ce procent s-a schimbat valoarea dacă a crescut de 1,5 ori?
Valoarea la care se face referire în problemă poate fi desemnată ca 100%. Apoi înmulțiți aceste 100% cu un factor de 1,5
100% × 1,5 = 150%
Acum, din 150% obținut, scădeți 100% inițial și obțineți răspunsul la problemă:
150% − 100% = 50%
Sarcina 2. Cu ce procent s-a schimbat valoarea dacă a scăzut de 4 ori?
De data aceasta va fi o scădere a valorii, așa că vom efectua împărțirea. A cărui valoare este menționată în problemă este desemnată 100%. Apoi, împărțim aceste 100% la un divizor de 4
Din 100% inițial, scădeți 25% rezultat și obțineți răspunsul la problemă:
100% − 25% = 75%
Aceasta înseamnă că, cu o scădere a valorii de 4 ori, aceasta a scăzut cu 75%.
Sarcina 3. Cu ce procente s-a schimbat valoarea dacă a scăzut de 5 ori?
A cărui valoare este menționată în problemă este desemnată 100%. Apoi, împărțim aceste 100% la un divizor de 5
Din 100% inițial, scădeți 20% rezultat și obțineți răspunsul la problemă:
100% − 20% = 80%
Aceasta înseamnă că atunci când valoarea scade de 5 ori, aceasta scade cu 80%.
Sarcina 4. Cu ce procente s-a schimbat valoarea dacă a scăzut de 10 ori?
A cărui valoare este menționată în problemă este desemnată 100%. Apoi, împărțiți aceste 100% la un divizor de 10
Din 100% inițial, scădeți 10% rezultat și obțineți răspunsul la problemă:
100% − 10% = 90%
Aceasta înseamnă că atunci când valoarea scade de 10 ori, aceasta scade cu 90%.
Sarcina de a găsi procentul
Pentru a exprima ceva ca procent, mai întâi trebuie să scrieți o fracție care arată ce parte este primul număr din al doilea, apoi împărțiți în această fracție și exprimați rezultatul ca procent.
De exemplu, să presupunem că există cinci mere. Două mere sunt roșii și trei sunt verzi. Exprimați merele roșii și verzi ca procent.
Mai întâi trebuie să aflați ce parte compun merele roșii. Sunt cinci mere în total și două roșii. Deci, două din cinci sau două cincimi sunt mere roșii:
Sunt trei mere verzi. Deci trei din cinci sau trei cincimi sunt mere verzi:
Avem două fracții și . Să facem împărțirea în aceste fracții
Avem fracții zecimale 0,4 și 0,6. Acum să exprimăm aceste fracții zecimale ca procent:
0,4 x 100 = 40%
0,6 x 100 = 60%
Deci 40% sunt mere roșii, 60% sunt verzi.
Și toate cele cinci mere alcătuiesc 40% + 60%, adică 100%
Sarcina 2. Mama a dat 200 de ruble la doi fii. Mama i-a dat 80 de ruble fratelui mai mic și 120 de ruble fratelui mai mare. Exprimați ca procent banii dați fiecărui frate.
Soluţie
Fratele mai mic a primit 80 de ruble din 200 de ruble. Scriem fracția optzeci și două de sutimi:
Fratele mai mare a primit 120 de ruble din 200 de ruble. Scriem fracția o sută douăzeci și două de sutimi:
Avem fracții și . Să facem împărțirea în aceste fracții
Să exprimăm rezultatele ca procent:
0,4 x 100 = 40%
0,6 x 100 = 60%
Aceasta înseamnă că fratele mai mic a primit 40% din bani, iar fratele mai mare a primit 60%.
Unele fracții, care arată ce parte este primul număr din al doilea, pot fi reduse.
Deci fracțiile ar putea fi reduse. Din aceasta, răspunsul la problemă nu s-ar schimba:
Sarcina 3. Bugetul familiei este de 75 de mii de ruble pe lună. Dintre acestea, 52,5 mii de ruble. - banii câștigați de tata. 22,5 mii de ruble - banii castigati de mama. Exprimă ca procent banii câștigați de tata și mama.
Soluţie
Această problemă, ca și cea anterioară, este o problemă de a găsi un procent.
Să exprimăm ca procent banii câștigați de tata. A câștigat 52,5 mii de ruble din 75 de mii de ruble
Să facem împărțirea în această fracție:
0,7 x 100 = 70%
Deci tata a câștigat 70% din bani. În plus, nu este greu de ghicit că restul de 30% din bani a fost câștigat de mama mea. La urma urmei, 75 de mii de ruble reprezintă 100% din bani. Să verificăm să fim siguri. Mama a câștigat 22,5 mii de ruble. din 75 de mii de ruble. Scriem fracția, facem împărțirea și exprimăm rezultatul ca procent:
Sarcina 4. Elevul se antrenează să facă trageri pe bara transversală. Luna trecută, a putut face 8 trageri pe set. Luna aceasta poate face 10 trageri pe set. Cu ce procent și-a crescut tragerile?
Soluţie
Aflați câte mai multe trageri mai face un student în această lună decât ultima
Aflați ce parte a doua sunt tragerile din opt trageri. Pentru a face acest lucru, găsim raportul 2 la 8
Să facem împărțirea în această fracție
Să exprimăm rezultatul ca procent:
0,25 x 100 = 25%
Așa că studentul a crescut numărul de trageri cu 25%.
Această problemă poate fi rezolvată și prin a doua metodă, mai rapidă - aflați de câte ori 10 trageri sunt mai mult de 8 trageri și exprimați rezultatul ca procent.
Pentru a afla de câte ori zece trageri sunt mai mult de opt trageri, trebuie să găsiți raportul de la 10 la 8
Efectuați împărțirea în fracția rezultată
Să exprimăm rezultatul ca procent:
1,25 x 100 = 125%
Rata de pull-up pentru luna curentă este de 125%. Această afirmație trebuie înțeleasă ca "este 125%", nu cum „indicatorul a crescut cu 125%”. Acestea sunt două afirmații diferite care exprimă cantități diferite.
Afirmația „este 125%” ar trebui înțeleasă ca „opt trageri care sunt 100% plus două trageri care sunt 25% din opt trageri”. Grafic arata asa:
Iar afirmația „creștere cu 125%” ar trebui înțeleasă ca „la actualele opt trageri, care erau 100%, s-au adăugat încă 100% (încă 8 trageri) plus încă 25% (2 trageri)” . Sunt 18 trageri în total.
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 trageri
Grafic, această afirmație arată astfel:
În total, se dovedește 225%. Dacă găsim 225% din opt trageri, obținem 18 trageri
8 × 2,25 = 18
Sarcina 5. Luna trecută, salariul a fost de 19,2 mii de ruble. În luna curentă, s-a ridicat la 20,16 mii de ruble. Cu ce procente a crescut salariul?
Această problemă, ca și cea anterioară, poate fi rezolvată în două moduri. Primul este să afli mai întâi cu câte ruble a crescut salariul. În continuare, află cât este această creștere din salariul de luna trecută
Află cu cât a crescut salariul:
20,16 - 19,2 \u003d 0,96 mii de ruble.
Vom afla ce parte din 0,96 mii de ruble. este din 19.2. Pentru a face acest lucru, găsim raportul de 0,96 la 19,2
Efectuați împărțirea în fracția rezultată. Pe parcurs, amintiți-vă:
Să exprimăm rezultatul ca procent:
0,05 x 100 = 5%
Deci salariul a crescut cu 5%.
Să rezolvăm problema în al doilea mod. Vom afla de câte ori 20,16 mii de ruble. peste 19,2 mii de ruble. Pentru a face acest lucru, găsim raportul de 20,16 la 19,2
Să facem împărțirea în fracția rezultată:
Să exprimăm rezultatul ca procent:
1,05 x 100 = 105%
Salariul este de 105%. Adică, aceasta include 100%, care s-a ridicat la 19,2 mii de ruble, plus 5%, care au însumat 0,96 mii de ruble.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Sarcina 6. Prețul unui laptop a crescut cu 5% luna aceasta. Care este prețul său dacă luna trecută a costat 18,3 mii de ruble?
Soluţie
Găsiți 5% din 18,3:
18,3 x 0,05 = 0,915
Să adăugăm aceste 5% la 18.3:
18,3 + 0,915 = 19,215 mii de ruble
Răspuns: prețul unui laptop este de 19.215 mii de ruble.
Sarcina 7. Prețul unui laptop a scăzut cu 10% luna aceasta. Care este prețul său dacă luna trecută a costat 16,3 mii de ruble?
Soluţie
Găsiți 10% din 16,3:
16,3 x 0,10 = 1,63
Scădeți acești 10% din 16,3:
16,3 − 1,63 = 14,67 (mii de ruble)
Astfel de sarcini pot fi scrise pe scurt:
16,3 - (16,3 × 0,10) = 14,67 (mii de ruble)
Răspuns: prețul unui laptop este de 14,67 mii de ruble.
Sarcina 8. Luna trecută, prețul unui laptop a fost de 21 de mii de ruble. În această lună, prețul a crescut la 22,05 mii de ruble. Cu ce procent a crescut prețul?
Soluţie
Stabiliți câte ruble a crescut prețul
22,05 − 21 = 1,50 (mii de ruble)
Vom afla ce parte din 1,05 mii de ruble. este de la 21 de mii de ruble.
Exprimați rezultatul ca procent
0,05 x 100 = 5%
Răspuns: prețul laptopului a crescut cu 5%
Sarcina 8. Muncitorul trebuia să facă 600 de piese conform planului, iar el a făcut 900 de piese. Cu ce procent a finalizat planul?
Soluţie
Să aflăm de câte ori 900 de părți sunt mai mult de 600 de părți. Pentru a face acest lucru, găsim raportul de 900 la 600
Valoarea acestei fracții este 1,5. Să exprimăm această valoare ca procent:
1,5 x 100 = 150%
Deci muncitorul a îndeplinit planul cu 150%. Adică l-a finalizat 100%, având făcut 600 de piese. Apoi a făcut alte 300 de piese, adică 50% din planul inițial.
Răspuns: muncitorul a finalizat planul cu 150%.
Comparație procentuală
Am comparat deja valorile de multe ori în diferite moduri. Primul nostru instrument a fost diferența. Deci, de exemplu, pentru a compara 5 ruble și 3 ruble, am notat diferența 5−3. După ce a primit răspunsul 2, s-ar putea spune că „cinci ruble înseamnă mai mult de trei ruble cu două ruble”.
Răspunsul obținut ca urmare a scăderii în viața de zi cu zi se numește nu „diferență”, ci „diferență”.
Deci, diferența dintre cinci și trei ruble este de două ruble.
Următorul instrument pe care l-am folosit pentru a compara cantitățile a fost raportul. Raportul ne-a permis să aflăm de câte ori este primul număr mai mare decât al doilea (sau de câte ori primul număr îl conține pe al doilea).
Deci, de exemplu, zece mere sunt de cinci ori mai mult decât două mere. Sau altfel spus, zece mere conțin două mere de cinci ori. Această comparație poate fi scrisă folosind relația
Dar valorile pot fi comparate și în procente. De exemplu, pentru a compara prețul a două bunuri nu în ruble, ci pentru a evalua cât de mult prețul unui bun este mai mult sau mai mic decât prețul celuilalt ca procent.
Pentru a compara valorile în procente, unul dintre ele trebuie desemnat ca 100%, iar al doilea pe baza condițiilor problemei.
De exemplu, să aflăm câte procente zece mere sunt mai mult decât opt mere.
Pentru 100%, trebuie să desemnați valoarea cu care comparăm ceva. Comparăm 10 mere cu 8 mere. Deci pentru 100% notăm 8 mere:
Acum sarcina noastră este să comparăm câte procente din 10 mere sunt mai mult decât aceste 8 mere. 10 mere înseamnă 8+2 mere. Aceasta înseamnă că, adăugând încă două mere la opt mere, vom crește 100% cu încă un număr de procente. Pentru a afla care dintre ele, să stabilim câte procente din opt mere sunt două mere
Adăugând acest 25% la opt mere, obținem 10 mere. Și 10 mere sunt 8 + 2, adică 100% și încă 25%. Total obținem 125%
Deci zece mere sunt mai mult de opt mere cu 25%.
Acum să rezolvăm problema inversă. Aflați cât la sută opt mere sunt mai puțin de zece mere. Răspunsul sugerează imediat că opt mere sunt cu 25% mai puține. Cu toate acestea, nu este.
Comparăm opt mere cu zece mere. Am convenit că pentru 100% vom lua ceea ce comparăm. Prin urmare, de data aceasta luăm 10 mere pentru 100%:
Opt mere este 10−2, adică prin reducerea a 10 mere cu 2 mere, le vom reduce cu un anumit procent. Pentru a afla care dintre ele, să stabilim câte procente din zece mere sunt două mere
Scăzând aceste 20% din zece mere, obținem 8 mere. Și 8 mere este 10−2, adică 100% și minus 20%. Total obținem 80%
Deci opt mere sunt mai puțin de zece mere cu 20%.
Sarcina 2. Câte procente sunt 5.000 de ruble mai mult decât 4.000 de ruble?
Soluţie
Să luăm 4000 de ruble pentru 100%. 5.000 este mai mult de 4.000 la 1.000. Deci prin creșterea cu patru mii cu o mie, vom crește patru mii cu un anumit procent. Să aflăm care. Pentru a face acest lucru, determinăm ce parte o mie este din patru mii:
Să exprimăm rezultatul ca procent:
0,25 x 100 = 25%
1000 de ruble de la 4000 de ruble este de 25%. Dacă adăugați aceste 25% la 4000, obțineți 5000 de ruble. Deci 5000 de ruble este cu 25% mai mult decât 4000 de ruble
Sarcina 3. Câte procente sunt 4.000 de ruble mai puțin decât 5.000 de ruble?
De data aceasta comparăm 4000 cu 5000. Să luăm 5000 ca 100%. Cinci mii mai mult decât patru mii pentru o mie de ruble. Aflați ce parte o mie este din cinci mii
O mie din cinci mii este 20%. Dacă scădem aceste 20% din 5.000 de ruble, obținem 4.000 de ruble.
Deci 4000 de ruble este mai puțin de 5000 de ruble cu 20%
Sarcini de concentrare, aliaje și amestecuri
Să presupunem că există dorința de a pregăti un fel de suc. Avem la dispoziție apă și sirop de zmeură.
Turnați 200 ml de apă într-un pahar:
Adăugați 50 ml de sirop de zmeură și amestecați lichidul rezultat. Drept urmare, obținem 250 ml suc de zmeură (200 ml apă + 50 ml sirop = 250 ml suc)
Ce parte din sucul rezultat este sirop de zmeură?
Siropul de zmeură face sucul. Calculăm acest raport, obținem numărul 0,20. Acest număr indică cantitatea de sirop dizolvat în sucul rezultat. Să sunăm la acest număr concentrația de sirop.
Concentrația unei substanțe dizolvate este raportul dintre cantitatea de substanță dizolvată sau masa acestuia și volumul unei soluții.
Concentrația este de obicei exprimată ca procent. Să exprimăm concentrația de sirop ca procent:
0,20 x 100 = 20%
Astfel, concentrația de sirop din sucul de zmeură este de 20%.
Substanțele în soluție pot fi eterogene. De exemplu, să amestecăm 3 litri de apă și 200 de grame de sare.
Masa a 1 litru de apă este de 1 kg. Apoi masa a 3 litri de apă va fi de 3 kg. Transformând 3 kg în grame, obținem 3 kg = 3000 g.
Acum, în 3000 g de apă, coborâm 200 g de sare și amestecăm lichidul rezultat. Rezultatul va fi o soluție salină, a cărei masă totală va fi 3000 + 200, adică 3200 g. Să găsim concentrația de sare din soluția rezultată. Pentru a face acest lucru, găsim raportul dintre masa sării dizolvate și masa soluției
Aceasta înseamnă că la amestecarea a 3 litri de apă și 200 g de sare se va obține o soluție de sare de 6,25%.
În mod similar, cantitatea de substanță dintr-un aliaj sau dintr-un amestec poate fi determinată. De exemplu, un aliaj conține staniu cu masa de 210 g și argint cu masa de 90 g. Apoi masa aliajului va fi 210 + 90, adică 300 g. Aliajul va conține staniu și argint. Procentul de staniu va fi de 70% și argint de 30%
Când două soluții sunt amestecate, se obține o nouă soluție, constând din prima și a doua soluție. Noua soluție poate avea o concentrație diferită a substanței. O abilitate utilă este abilitatea de a rezolva probleme de concentrare, aliaje și amestecuri. În general, sensul unor astfel de sarcini este de a urmări modificările care apar la amestecarea soluțiilor de diferite concentrații.
Se amestecă două sucuri de zmeură. Primul suc de 250 ml contine 12,8% sirop de zmeura. Iar al doilea suc cu un volum de 300 ml contine 15% sirop de zmeura. Turnați aceste două sucuri într-un pahar mare și amestecați. Drept urmare, obținem un suc nou cu un volum de 550 ml.
Acum vom determina concentrația de sirop din sucul rezultat. Primii 250 ml suc scurs au conținut 12,8% sirop. Și 12,8% din 250 ml sunt 32 ml. Deci primul suc conținea 32 ml de sirop.
Al doilea suc scurs de 300 ml conținea 15% sirop. Și 15% din 300 ml sunt 45 ml. Deci al doilea suc conținea 45 ml de sirop.
Adaugati cantitatea de siropuri:
32 ml + 45 ml = 77 ml
Acesti 77 ml de sirop sunt continuti in noul suc, care are un volum de 550 ml. Determinați concentrația de sirop din acest suc. Pentru a face acest lucru, găsim raportul dintre 77 ml de sirop dizolvat și volumul de suc de 550 ml:
Deci la amestecarea 12,8% suc de zmeura cu un volum de 250 ml si 15% suc de zmeura cu un volum de 300 ml se obtine 14% suc de zmeura cu un volum de 550 ml.
Sarcina 1. Există 3 soluții de sare de mare în apă: prima soluție conține 10% sare, a doua conține 15% sare și a treia conține 20% sare. Se amestecă 130 ml din prima soluție, 200 ml din a doua soluție și 170 ml din a treia soluție. Determinați procentul de sare de mare din soluția rezultată.
Soluţie
Determinați volumul soluției rezultate:
130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml
Deoarece în prima soluție au fost 130 × 0,10 = 13 ml de sare de mare, în a doua soluție 200 × 0,15 = 30 ml de sare de mare, iar în a treia - 170 × 0,20 = 34 ml de sare de mare, apoi în rezultatul Soluția va conține 13 + 30 + 34 = 77 ml sare de mare.
Să determinăm concentrația de sare de mare în soluția rezultată. Pentru a face acest lucru, găsim raportul dintre 77 ml de sare de mare și volumul unei soluții de 500 ml.
Aceasta înseamnă că soluția rezultată conține 15,4% sare de mare.
Sarcina 2. Câte grame de apă trebuie adăugate la 50 g de soluție care conține 8% sare pentru a obține o soluție de 5%?
Soluţie
Rețineți că, dacă se adaugă apă la soluția existentă, atunci cantitatea de sare din aceasta nu se va modifica. Numai procentul acestuia se va schimba, deoarece adăugarea de apă la soluție va duce la o modificare a masei sale.
Trebuie să adăugăm o asemenea cantitate de apă încât opt procente din sare să devină cinci procente.
Determinați câte grame de sare sunt conținute în 50 g de soluție. Pentru a face acest lucru, găsim 8% din 50
50 g × 0,08 = 4 g
8% din 50 de grame sunt 4 grame, cu alte cuvinte, sunt 4 grame de sare pentru opt părți într-o sută. Să ne asigurăm că aceste 4 grame nu sunt opt părți, ci cinci părți, adică 5%
4 grame - 5%
Acum știind că există 4 grame per soluție de 5%, putem găsi masa întregii soluții. Pentru asta ai nevoie de:
4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g
80 de grame de soluție este masa la care vor cădea 4 grame de sare pe 5% din soluție. Și pentru a obține aceste 80 de grame, trebuie să adăugați 30 de grame de apă la cele 50 de grame inițiale.
Aceasta înseamnă că pentru a obține o soluție de sare de 5%, trebuie să adăugați 30 g de apă la soluția existentă.
Sarcina 2. Strugurii conțin 91% umiditate, iar stafidele - 7%. Câte kilograme de struguri sunt necesare pentru a produce 21 de kilograme de stafide?
Soluţie
Strugurii constau din umiditate și substanță pură. Dacă strugurii proaspeți conțin 91% umiditate, atunci restul de 9% vor reprezenta substanța pură a acestui strugure:
Stafidele conțin 93% substanță pură și 7% umiditate:
Rețineți că în procesul de transformare a strugurilor în stafide, dispare doar umiditatea acestui strugure. Substanța pură rămâne neschimbată. După ce strugurii se transformă în stafide, stafidele rezultate vor fi 7% umiditate și 93% materie pură.
Să stabilim câtă substanță pură este conținută în 21 kg de stafide. Pentru a face acest lucru, găsim 93% din 21 kg
21 kg × 0,93 = 19,53 kg
Acum revenim la prima poză. Sarcina noastră a fost să stabilim câți struguri trebuie să luați pentru a obține 21 kg de stafide. O substanță pură cu o greutate de 19,53 kg va cădea pe 9% din struguri:
Acum știind că 9% din substanța pură este de 19,53 kg, putem determina câți struguri sunt necesari pentru a produce 21 kg de stafide. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numărul după procentajul său:
19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg
Deci, pentru a obține 21 kg de stafide, trebuie să luați 217 kg de struguri.
Sarcina 3. Într-un aliaj de staniu și cupru, cuprul este de 85%. Cât aliaj trebuie luat pentru a conține 4,5 kg de staniu?
Soluţie
Dacă cuprul este 85% în aliaj, atunci restul de 15% va fi staniu:
Întrebarea este cât de mult aliaj trebuie luat, astfel încât să conțină 4,5 staniu. Deoarece aliajul conține 15% staniu, atunci 4,5 kg de staniu vor cădea pe aceste 15%.
Și știind că 4,5 kg de aliaj reprezintă 15%, putem determina masa întregului aliaj. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți numărul după procentajul său:
4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg
Deci, aliajul trebuie luat 30 kg, astfel încât să conțină 4,5 kg de staniu.
Sarcina 4. O anumită cantitate dintr-o soluție de acid clorhidric 12% a fost amestecată cu aceeași cantitate dintr-o soluție 20% din același acid. Aflați concentrația acidului clorhidric rezultat.
Soluţie
Să desenăm prima soluție sub forma unei linii drepte în figură și să selectăm 12%
Deoarece numărul de soluții este același, aceeași cifră poate fi trasată una lângă alta, ilustrând a doua soluție cu un conținut de acid clorhidric de 20%
Avem două sute de părți dintr-o soluție (100% + 100%), dintre care treizeci și două de părți sunt acid clorhidric (12% + 20%)
Determinați ce parte sunt 32 de părți din 200 de părți
Aceasta înseamnă că la amestecarea unei soluții de 12% de acid clorhidric cu aceeași cantitate dintr-o soluție de 20% din același acid, se va obține o soluție de 16% de acid clorhidric.
Pentru a verifica, imaginați-vă că masa primei soluții a fost de 2 kg. Masa celei de-a doua soluții va fi de asemenea de 2 kg. Apoi la amestecarea acestor soluții se vor obține 4 kg de soluție. În prima soluție de acid clorhidric, au existat 2 × 0,12 = 0,24 kg, iar în a doua - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Apoi, în noua soluție de acid clorhidric vor fi 0,24 + 0,40 \u003d 0,64 kg. Concentrația acidului clorhidric va fi de 16%
Sarcini pentru soluție independentă
pe , vom găsi 60% din număr
Acum să creștem numărul cu 60% găsit, adică. pe număr
Răspuns: noua valoare este
Sarcina 12. Răspundeți la următoarele întrebări:
1) Cheltuit 80% din sumă. Ce procent din această sumă a mai rămas?
2) Bărbații reprezintă 75% din toți lucrătorii din fabrică. Ce procent din angajații fabricii sunt femei?
3) Fetele reprezintă 40% din clasă. Ce procent din clasa sunt baieti?
DAR Soluţie
Să folosim o variabilă. Lasa P Acesta este numărul original menționat în problemă. Să luăm acest număr inițial P pentru 100%
Reduceți acest număr inițial P cu 50%
Noul număr este acum 50% din numărul inițial. Aflați de câte ori numărul inițial P mai mult decât noul număr. Pentru a face acest lucru, găsim raportul de 100% la 50%
Numărul original este de două ori mai mare decât cel nou. Acest lucru se vede chiar și în imagine. Și pentru a face noul număr egal cu originalul, acesta trebuie dublat. Și dublarea numărului înseamnă creșterea lui cu 100%.
Aceasta înseamnă că noul număr, care este jumătate din numărul inițial, trebuie mărit cu 100%.
Având în vedere noul număr, acesta este considerat și 100%. Deci, în figura de mai sus, noul număr este jumătate din numărul inițial și este semnat ca 50%. În raport cu numărul inițial, noul număr este jumătate. Dar dacă îl considerăm separat de original, trebuie luat ca 100%.
Prin urmare, în figură, noul număr, care este reprezentat printr-o linie, a fost mai întâi desemnat ca 50%. Dar apoi am desemnat acest număr ca 100%.
Răspuns: pentru a obține numărul inițial, noul număr trebuie mărit cu 100%.
Problema 16. Luna trecută au fost 15 accidente în oraș.
Luna aceasta, această cifră a scăzut la 6. Cu ce procente a scăzut numărul accidentelor rutiere?
Soluţie
Au fost 15 accidente luna trecută. Luna aceasta, 6. Deci numărul accidentelor a scăzut cu 9.
Să luăm 15 accidente ca 100%. Prin reducerea a 15 accidente cu 9, le vom reduce cu un anumit număr de procente. Pentru a afla care dintre ele, aflăm ce parte din 9 accidente este din 15 accidente
Răspuns: concentrația soluției rezultate este de 12%.
Problema 18. O anumită cantitate dintr-o soluție de 11% a unei anumite substanțe a fost amestecată cu aceeași cantitate dintr-o soluție de 19% a aceleiași substanțe. Aflați concentrația soluției rezultate.
Soluţie
Masa ambelor soluții este aceeași. Fiecare soluție poate fi luată ca 100%. După adăugarea soluțiilor se va obține o soluție 200%. În prima soluție era 11% din substanță, iar în a doua 19% din substanță. Apoi, în soluția de 200% rezultată va fi 11% + 19% = 30% din substanță.
Determinați concentrația soluției rezultate. Pentru a face acest lucru, aflăm ce parte treizeci de părți dintr-o substanță formează din două sute de părți dintr-o substanță:
1,10. Deci prețul pentru prima lună va fi 1,10.
Pentru a doua lună, prețul a crescut și el cu 10%. Adăugăm zece procente din acest preț la prețul actual de 1,10, obținem 1,10 + 0,10 × 1,10 . Această sumă este egală cu expresia 1.21 . Deci prețul pentru a doua lună va fi 1,21.
Pentru a treia lună, prețul a crescut și el cu 10%. Să adăugăm zece procente din acest preț la prețul actual de 1,21, obținem 1,21 + 0,10 × 1,21. Această sumă este egală cu expresia 1,331 . Apoi prețul pentru a treia lună va fi 1.331.
Calculați diferența dintre prețul nou și cel vechi. Dacă prețul inițial a fost egal cu 1, atunci a crescut cu 1,331 − 1 = 0,331. Exprimând acest rezultat ca procent, obținem 0,331 × 100 = 33,1%
Răspuns: timp de 3 luni, prețurile la alimente au crescut cu 33,1%.
Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții
În ultimul tutorial video, am luat în considerare rezolvarea problemelor procentuale folosind proporții. Apoi, în funcție de starea problemei, trebuia să aflăm valoarea uneia sau alteia cantități.
De data aceasta, valorile inițiale și finale ne sunt deja date. Prin urmare, în sarcini va fi necesar să se găsească procente. Mai precis, cu ce procent s-a schimbat cutare sau cutare valoare. Sa incercam.
O sarcină. Pantofii de sport costă 3200 de ruble. După creșterea prețului, au început să coste 4000 de ruble. Cu ce procent a crescut prețul adidașilor?
Deci, rezolvăm prin proporție. Primul pas - prețul inițial a fost egal cu 3200 de ruble. Prin urmare, 3200 de ruble este 100%.
În plus, ni s-a dat prețul final - 4000 de ruble. Acesta este un procent necunoscut, deci să-l notăm ca x . Obținem următoarea construcție:
3200 — 100%
4000 - x%
Ei bine, starea problemei este scrisă. Facem o proporție:
Fracția din stânga este perfect redusă cu 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. În plus, puteți reduce cu 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Obținem următoarea proporție:
Să folosim proprietatea de bază a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor din mijloc. Primim:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Aceasta este ecuația liniară obișnuită. De aici găsim x:
x=1000:8=125
Deci, am obținut procentul final x = 125. Dar este numărul 125 soluția problemei? În nici un caz! Pentru că sarcina vă cere să aflați cu ce procent a fost crescut prețul pantofilor sport.
Cu câte procente - asta înseamnă că trebuie să găsim o schimbare:
∆ = 125 − 100 = 25
Am primit 25% - cu atât a crescut prețul inițial. Acesta este răspunsul: 25.
Problema B2 pentru dobânda #2
Să trecem la a doua sarcină.
O sarcină. Cămașa a costat 1800 de ruble. După reducerea prețului, a început să coste 1530 de ruble. Cu ce procent s-a redus pretul camasii?
Traducem condiția în limbaj matematic. Prețul inițial de 1800 de ruble este de 100%. Și prețul final este de 1530 de ruble - îl știm, dar nu se știe câte procente este din valoarea inițială. Prin urmare, o notăm cu x. Obținem următoarea construcție:
1800 — 100%
1530 - x%
Pe baza înregistrării rezultate, alcătuim proporția:
Să împărțim ambele părți ale acestei ecuații la 100 pentru a simplifica calculele suplimentare. Cu alte cuvinte, tăiem două zerouri la numărătorul fracțiilor din stânga și din dreapta. Primim:
Acum să folosim din nou proprietatea de bază a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul celor medii.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Rămâne de găsit x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Am obținut că x = 85. Dar, ca și în problema anterioară, acest număr în sine nu este răspunsul. Să ne întoarcem la starea noastră. Știm acum că noul preț după reducere este de 85% din prețul vechi. Și pentru a găsi modificările, aveți nevoie de prețul vechi, adică. 100%, scade noul preț, adică 85%. Primim:
∆ = 100 − 85 = 15
Acest număr va fi răspunsul: Vă rugăm să rețineți: exact 15, și în niciun caz 85. Atât! Problema rezolvata.
Elevii atenți se vor întreba probabil: de ce la prima sarcină, la găsirea diferenței, am scăzut numărul inițial din numărul final, iar la a doua sarcină am făcut exact invers: din 100% inițial am scăzut 85% final?
Să lămurim asta. Formal, în matematică, schimbarea valorii este întotdeauna diferența dintre valoarea finală și cea inițială. Cu alte cuvinte, în a doua problemă, ar fi trebuit să obținem nu 15, ci -15.
Cu toate acestea, în niciun caz acest minus nu trebuie inclus în răspuns, deoarece a fost deja luat în considerare în starea problemei inițiale. Scrie chiar acolo despre reducerea prețului. O scădere a prețului cu 15% este aceeași cu o creștere a prețului cu -15%. De aceea, în rezolvarea și răspunsul problemei este suficient să scrieți doar 15 - fără niciun minus.
Tot, sper, cu acest moment le-am înțeles. Aceasta încheie lecția noastră de astăzi. Ne vedem în curând!
Astăzi, în lumea modernă, este imposibil să faci fără interes. Chiar și la școală, începând din clasa a V-a, copiii învață acest concept și rezolvă probleme cu această valoare. Interesul se găsește în fiecare zonă a structurilor moderne. Luați, de exemplu, băncile: suma plății în exces a împrumutului depinde de suma specificată în contract; este afectata si dimensiunea profitului.De aceea, este vital sa stim ce este un procent.
Conceptul de interes
Potrivit unei legende, procentul a apărut din cauza unei greșeli de scriere stupide. Compozitorul trebuia să seteze numărul 100, dar l-a amestecat și l-a pus astfel: 010. Acest lucru a făcut ca primul zero să crească ușor, iar al doilea să scadă. Unitatea a devenit o bară oblică inversă. Astfel de manipulări au dus la apariția semnului procentual. Desigur, există și alte legende despre originea acestei valori.
Hindușii știau despre procente încă din secolul al V-lea. În Europa, cu care conceptul nostru este strâns interconectat, a apărut după un mileniu. Pentru prima dată în Lumea Veche, judecata a ceea ce este un procent a fost introdusă de un om de știință din Belgia, Simon Stevin. În 1584, un tabel al mărimilor a fost publicat pentru prima dată de același om de știință.
Cuvântul „procent” provine din latină ca pro centum. Dacă traduceți expresia, obțineți „de la o sută”. Deci, un procent este înțeles ca o sutime dintr-o valoare, un număr. Această valoare este notată cu semnul%.
Datorită procentelor, a devenit posibilă compararea părților unui întreg fără prea multe dificultăți. Apariția acțiunilor a simplificat foarte mult calculele, motiv pentru care au devenit atât de comune.
Transformarea fracțiilor în procente
Pentru a converti o fracție zecimală într-un procent, este posibil să aveți nevoie de așa-numita formulă procentuală: fracția este înmulțită cu 100,% se adaugă la rezultat.
Dacă trebuie să convertiți o fracție obișnuită într-un procent, mai întâi trebuie să o faceți o zecimală și apoi să utilizați formula de mai sus.
Transformarea procentelor în fracții
Ca atare, formula procentuală este destul de convențională. Dar trebuie să știți cum să convertiți această valoare într-o expresie fracțională. Pentru a converti acțiunile (procente) în fracții zecimale, trebuie să eliminați semnul% și să împărțiți indicatorul la 100.
Formula de calcul a procentului unui număr
1) 40 x 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (elevi).
Răspuns: lucrarea de control pe „5” a fost scrisă de 12 elevi.
Puteți folosi tabelul gata făcut, care arată unele fracții și procente care le corespund.
Se pare că formula procentuală arată astfel: C \u003d (A ∙ B) / 100, unde A este numărul original (într-un exemplu specific, egal cu 40); B - numărul de procente (în această problemă, B = 30%); C este rezultatul dorit.
Formula pentru calcularea unui număr dintr-un procent
Următoarea sarcină va demonstra ce este un procent și cum să găsiți un număr dintr-un procent.
Fabrica de confecții a produs 1.200 de rochii, dintre care 32% sunt rochii de stil nou. Câte rochii în stil nou a făcut fabrica de îmbrăcăminte?
1. 1200: 100 = 12 (rochii) - 1% din toate articolele fabricate.
2. 12 x 32 = 384 (rochii).
Răspuns: Fabrica a realizat 384 de rochii de stil nou.
Dacă trebuie să găsiți un număr după procentul său, puteți utiliza următoarea formulă: C \u003d (A ∙ 100) / B, unde A este numărul total de articole (în acest caz, A \u003d 1200); B - numărul de procente (într-o anumită sarcină B = 32%); C este valoarea dorită.
Creșteți, micșorați un număr cu un anumit procent
Elevii trebuie să învețe ce sunt procentele, cum să le numere și să rezolve diverse probleme. Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți cum crește sau scade numărul cu N%.
Adesea sunt date sarcini, iar în viață trebuie să aflați cu ce numărul crescut cu un anumit procent va fi egal. De exemplu, având în vedere numărul X. Trebuie să aflați care va fi valoarea lui X dacă este mărită, să zicem, cu 40%. Mai întâi trebuie să convertiți 40% într-un număr fracționar (40/100). Deci, rezultatul creșterii numărului X va fi: X + 40% ∙ X \u003d (1 + 40 / 100) ∙ X \u003d 1,4 ∙ X. Dacă înlocuim orice număr în loc de X, luăm, de exemplu, 100 , atunci întreaga expresie va fi egală cu: 1,4 ∙ X \u003d 1,4 ∙ 100 \u003d 140.
Aproximativ același principiu este utilizat atunci când se micșorează un număr cu un anumit procent. Este necesar să se efectueze calcule: X - X ∙ 40% \u003d X ∙ (1-40 / 100) \u003d 0,6 ∙ X. Dacă valoarea este 100, atunci 0,6 ∙ X \u003d 0,6. 100 = 60.
Există sarcini în care trebuie să aflați cu ce procent a crescut numărul.
De exemplu, având în vedere sarcina: Șoferul circula pe o porțiune a pistei cu o viteză de 80 km/h. Pe un alt tronson, viteza trenului a crescut la 100 km/h. Cu ce procente a crescut viteza trenului?
Să presupunem că 80 km/h este 100%. Apoi facem calcule: (100% ∙ 100 km/h) / 80 km/h = 1000: 8 = 125%. Se dovedește că 100 km/h este 125%. Pentru a afla cât de mult a crescut viteza, trebuie să calculați: 125% - 100% = 25%.
Răspuns: viteza trenului pe al doilea tronson a crescut cu 25%.
Proporţie
Există adesea cazuri când este necesară rezolvarea problemelor pentru procente folosind o proporție. De fapt, această metodă de a găsi rezultatul facilitează foarte mult sarcina elevilor, profesorilor și nu numai.
Deci, ce este proporția? Acest termen se referă la egalitatea a două relații, care pot fi exprimate după cum urmează: A / B \u003d C / D.
În manualele de matematică, există o astfel de regulă: produsul termenilor extremi este egal cu produsul mediei. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă: A x D = B x C.
Datorită acestei formulări, orice număr poate fi calculat dacă se cunosc ceilalți trei termeni ai proporției. De exemplu, A este un număr necunoscut. Pentru a-l găsi, ai nevoie
Când rezolvați probleme prin metoda proporției, este necesar să înțelegeți de la ce număr să luați procente. Există momente când acțiunile trebuie luate de la valori diferite. Comparaţie:
1. După încheierea vânzării în magazin, costul tricoului a crescut cu 25% și sa ridicat la 200 de ruble. Care a fost prețul în timpul vânzării.
În acest caz, valoarea de 200 de ruble corespunde cu 125% din prețul inițial (de vânzare) al tricoului. Apoi, pentru a-i afla valoarea în timpul vânzării, aveți nevoie (200 x 100): 125. Primiți 160 de ruble.
2. Pe planeta Vitsencia sunt 200.000 de locuitori: oameni și reprezentanți ai rasei umanoide Naavi. Naavi reprezintă 80% din populația totală a orașului Vicencia. Dintre oameni, 40% sunt angajați în întreținerea minei, restul sunt extrași pentru tetaniu. Câți oameni extrag tetanul?
În primul rând, trebuie să găsiți în formă numerică numărul de persoane și numărul de Naavi. Deci, 80% din 200 000 va fi egal cu 160 000. Atâția reprezentanți ai rasei umanoide trăiesc pe Vicencia. Numărul de oameni, respectiv, este de 40 000. Dintre aceștia, 40%, adică 16 000, deservesc mina. Deci, 24.000 de oameni sunt angajați în extracția tetaniului.
Modificarea multiplă a unui număr cu un anumit procent
Când este deja clar ce este un procent, trebuie să studiați conceptul de schimbare absolută și relativă. O transformare absolută este înțeleasă ca o creștere a unui număr cu un anumit număr. Deci, X a crescut cu 100. Indiferent de ceea ce înlocuiește X, acest număr va crește în continuare cu 100: 15 + 100; 99,9 + 100; a + 100 etc.
O modificare relativă este înțeleasă ca o creștere a unei valori cu un anumit număr de procente. Să presupunem că X a crescut cu 20%. Aceasta înseamnă că X va fi egal cu: X + X ∙ 20%. Schimbarea relativa este implicata ori de cate ori vorbim de o crestere cu jumatate sau o treime, o scadere cu un sfert, o crestere cu 15% etc.
Există un alt punct important: dacă valoarea lui X este crescută cu 20%, apoi cu încă 20%, atunci, ca urmare, creșterea totală va fi de 44%, dar nu de 40%. Acest lucru se poate observa din următoarele calcule:
1. X + 20% ∙ X = 1,2 ∙ X
2. 1,2 ∙ X + 20% ∙ 1,2 ∙ X = 1,2 ∙ X + 0,24 ∙ X = 1,44 ∙ X
Aceasta arată că X a crescut cu 44%.
Exemple de sarcini pentru procente
1. Ce procent din numărul 36 este numărul 9?
Conform formulei pentru găsirea unui procent dintr-un număr, trebuie să înmulțiți 9 cu 100 și să împărțiți la 36.
Răspuns: numărul 9 este 25% din 36.
2. Calculați numărul C, care este 10% din 40.
Conform formulei pentru găsirea unui număr prin procentul său, trebuie să înmulțiți 40 cu 10 și să împărțiți rezultatul la 100.
Răspuns: numărul 4 este 10% din 40.
3. Primul partener a investit 4.500 de ruble în afacere, al doilea - 3.500 de ruble, al treilea - 2.000 de ruble. Au făcut un profit de 2400 de ruble. Au împărțit profiturile în mod egal. Cât de mult în ruble a pierdut primul partener în comparație cu cât ar fi primit dacă ar împărți venitul în funcție de procentul fondurilor investite?
Deci, împreună au investit 10.000 de ruble. Venitul pentru fiecare s-a ridicat la o cotă egală de 800 de ruble. Pentru a afla cât ar fi trebuit să primească primul partener și, respectiv, cât a pierdut, trebuie să aflați procentul fondurilor investite. Apoi trebuie să aflați cât profit aduce această contribuție în ruble. Și ultimul lucru este să scazi 800 de ruble din rezultat.
Răspuns: primul partener a pierdut 280 de ruble la împărțirea profiturilor.
Un pic de economie
Astăzi, o întrebare destul de populară este problema unui împrumut pentru o anumită perioadă. Dar cum să alegi un împrumut profitabil pentru a nu plăti în exces? În primul rând, trebuie să te uiți la rata dobânzii. Este de dorit ca acest indicator să fie cât mai scăzut posibil. Atunci ar trebui să solicitați un împrumut.
De regulă, mărimea plății în exces este afectată de valoarea datoriei, rata dobânzii și modalitatea de rambursare. Există anuitate și În primul caz, împrumutul se rambursează în rate egale în fiecare lună. Imediat, suma care acoperă împrumutul principal crește, iar costul dobânzii scade treptat. În al doilea caz, împrumutatul plătește sume constante pentru rambursarea împrumutului, la care se adaugă dobândă la soldul datoriei principale. Lunar, suma totală a plăților va scădea.
Acum trebuie să luați în considerare ambele metode, așadar, cu opțiunea de anuitate, suma plății în exces va fi mai mare, iar cu opțiunea diferențială, suma primelor plăți. Desigur, condițiile împrumutului sunt aceleași în ambele cazuri.
Concluzie
Deci, interes. Cum să le numărăm? Destul de simplu. Cu toate acestea, uneori pot fi problematice. Această temă începe să fie studiată la școală, dar ajunge din urmă pe toată lumea din domeniul împrumuturilor, depozitelor, impozitelor etc. De aceea, este indicat să aprofundăm în esența acestei probleme. Dacă tot nu puteți face calcule, există o mulțime de calculatoare online care vă vor ajuta să faceți față sarcinii.
Conceptul de procent apare prea des in viata noastra, asa ca este foarte important sa stim sa rezolvam problemele cu procente. În principiu, aceasta nu este o chestiune dificilă, principalul lucru este să înțelegeți principiul lucrului cu interes.
Ce este un procent
Operăm cu conceptul de 100 la sută și, în consecință, unu la sută este o sutime dintr-un anumit număr. Și toate calculele se bazează deja pe acest raport.
De exemplu, 1% din 50 este 0,5, 15 din 700 este 7.
Cum să decizi
- Știind că un procent este o sutime din numărul prezentat, puteți găsi orice număr de procente necesare. Pentru a fi mai clar, să încercăm să găsim 6 procente din numărul 800. Acest lucru se face simplu.
- Mai întâi găsim un procent. Pentru a face acest lucru, împărțiți 800 la 100. Se dovedește 8.
- Acum înmulțim chiar acest un procent, adică 8, cu numărul de procente de care avem nevoie, adică cu 6. Se dovedește 48.
- Remediați rezultatul prin repetare.
15% din 150. Rezolvare: 150/100*15=22.
28% din 1582. Rezolvare: 1582/100*28=442.
- Există și alte probleme când vi se dau valori și trebuie să găsiți procente. De exemplu, știi că în magazin există 5 trandafiri stacojii din 75 de trandafiri albi și trebuie să știi ce procent de trandafiri stacojii. Dacă nu cunoaștem acest procent, atunci îl vom nota cu x.
Există o formulă pentru aceasta: 75 - 100%
În această formulă, numerele sunt înmulțite cruce cu cruce, adică x \u003d 5 * 100/75. Se pare că x \u003d 6% Deci procentul de trandafiri stacojii este de 6%.
- Există un alt tip de problemă pentru procente, când trebuie să aflați cu ce procent un număr este mai mare sau mai mic decât altul. Cum se rezolvă problemele cu procente în acest caz?
În clasă sunt 30 de elevi, dintre care 16 sunt băieți. Întrebarea este cât la sută dintre băieți sunt mai mulți decât fete. Mai întâi trebuie să calculați ce procent de elevi sunt băieți, apoi trebuie să aflați ce procent de fete. Și în sfârșit găsiți diferența.
Asadar, haideti sa începem. Facem o proporție de 30 de conturi. - o sută%
16 conturi -X %
Acum numărăm. X=16*100/30, x=53,4% din toți elevii clasei sunt băieți.
Acum găsiți procentul de fete din aceeași clasă. 100-53,4=46,6%
Rămâne acum doar să găsim diferența. 53,4-46,6=6,8%. Răspuns: sunt mai mulți băieți decât fete cu 6,8%.
Puncte cheie în rezolvarea intereselor
Deci, pentru a nu avea probleme cu modul de rezolvare a problemelor pentru procente, amintiți-vă câteva reguli de bază:
- Pentru a nu te confunda în problemele cu procente, fii mereu vigilent: treci de la valori specifice la procente și invers, dacă este necesar. Principalul lucru este să nu confundați niciodată unul cu celălalt.
- Aveți grijă când calculați procentele. Este important să știți de la ce valoare specifică trebuie să numărați. Pentru modificări succesive ale valorilor, procentul se calculează din ultima valoare.
- Înainte de a scrie răspunsul, citiți din nou întreaga problemă, deoarece este posibil să fi găsit doar un răspuns intermediar și să mai aveți nevoie să efectuați una sau două acțiuni.
Astfel, rezolvarea problemelor cu procente nu este o chestiune atât de dificilă, principalul lucru în ea este atenția și acuratețea, ca, într-adevăr, în toată matematica. Și nu uitați că practica este necesară pentru a îmbunătăți orice abilitate. Deci decideți mai mult și totul va fi bine sau chiar excelent pentru dvs.
1% este o sutime dintr-un număr.1% = 0,01.
Găsirea procentelor unui număr.
Pentru a găsi un procent dintr-un număr, puteți reprezenta procentul ca o fracție zecimală și puteți înmulți numărul cu fracția zecimală rezultată.
Găsirea unui număr după procentajul său.
Pentru a găsi un număr după procentul său, puteți reprezenta procentul ca o fracție zecimală și puteți împărți acest număr la fracția zecimală rezultată.
Pentru a afla câte procente este un număr dintr-un altul, puteți împărți un număr la altul și înmulți produsul rezultat cu 100.
Cum se rezolvă problemele procentuale. Exemple.
Găsirea unui procent dintr-un număr este legată de găsirea unei fracțiuni dintr-un număr. Procentele sunt un mod special de a scrie o fracție obișnuită, prin urmare, ar trebui să începem să dezvălui semnificația conceptului de interes din înțelegerea conceptului de fracție obișnuită.
Să luăm câteva fracții comune, de exemplu. Care este sensul fiecărei astfel de intrări?
Acestea sunt exemple de fracții regulate. Numitorul fiecăruia dintre ele arată de câte părți egale aveți nevoie pentru a împărți un obiect real sau abstract, numărătorul arată câte astfel de părți trebuie să luați. Să luăm ca exemplu o fracție obișnuită. De exemplu. Sensul acestei expresii poate fi dezvăluit după cum urmează. Un obiect real a fost împărțit în 3 părți egale și din ele au fost luate 2 părți.
Ca obiect real, puteți lua, de exemplu, un dreptunghi.
Această expresie este câtul dintre a și b, unde b nu este egal cu 0.
Acesta este raportul numerelor a și b, unde b nu este egal cu 0.
Aceasta este o fracție obișnuită. a este numărătorul, b este numitorul (b nu este egal cu 0).
Exemplul 1 Capacitatea butoiului era de 200 de litri, butoaiele erau umplute cu apă. Care este sensul acestei propuneri?
- această fracție înseamnă că un anumit obiect a fost împărțit în 5 părți egale și din ele au fost luate 2 părți. Obiectul acestei probleme este volumul butoiului egal cu 200 de litri, prin urmare,
200:5 = 40,
402 = 80.
80 de litri de apă au fost turnați într-un butoi.
Exemplul de mai sus este un exemplu tipic de găsire a unei fracțiuni dintr-un număr.
Pentru a găsi o fracție dintr-un număr, trebuie să înmulțiți numărul cu acea fracție.
Acum putem trece la procente.
Conceptul de procent este definit după cum urmează: 1% dintr-un număr este o sutime dintr-un număr, adică 1% \u003d 0,01.
Apoi sensul propoziției a% din numărul b poate fi explicat astfel. Un obiect (a cărui valoare este egală cu b unități) împărțite în 100 de părți egale și luate din ele A părți.
Exemplul 2 Masha avea 400 de ruble. Ea a cheltuit 24% din această sumă. Care este sensul acestei vorbe?
Deoarece 24% \u003d 0,24 și 0,24 înseamnă că un anumit obiect a fost împărțit în 100 de părți egale și din ele au fost luate 24 de părți. În acest caz, obiectul este suma de bani egală cu 400 de ruble, prin urmare,
400: 100 =4,
424 = 96.
Masha a cheltuit 96 de ruble.
Exemplul de mai sus este un exemplu tipic de găsire a procentelor unui număr.
Exemplul 3 Trebuie să găsești R%
din număr b
.
Fie x numărul pe care trebuie să-l găsim.
p%
= 0,01p,
x = b
0,01p
Pentru a găsi procente ale unui număr, trebuie să reprezentați numărul de procente ca o fracție zecimală și să înmulțiți numărul dat cu această fracție zecimală.
O altă abordare a acestei probleme. Puteți folosi conceptul și proprietățile proporției. Dacă ne amintim că proporția este egalitatea a două rapoarte, iar raportul a două numere este o fracție obișnuită, atunci această metodă este asociată și cu conceptul de fracție obișnuită.
b - 100%,
x - p%,
Avem o proportie:
b: 100 = x: p, (b este la 100 așa cum x este la p) de unde,
Exemplul 4 Să fie numere A Și b , în plus, A >b Apoi numărul A mai mult număr b pe %.
Să abordăm această problemă puțin diferit. Vom lua în considerare un caz special simplu, de exemplu, acesta: „Cât la sută este numărul 10 mai mare decât numărul 2?”.
1. Scădeți numărul mai mic din numărul mai mare. 10 - 2 = 8. Atunci 10 este mai mare decât 2 cu 8.
2. Găsiți raportul dintre numărul găsit și un număr mai mic. 8:2=4 este raportul a două numere!
3 Exprimăm raportul ca procent 4100 = 400%.
Numărul 10 este mai mare decât numărul 2 cu 400%.
Dacă împărțim 8 la 10, vom găsi un raport care arată cât de mult din 10 2 este mai mic decât 10 (aici comparația este cu numărul 10.
Numărul 2 este mai mic decât numărul 10 cu 80%.
Exemplul 5 Tractoristul a arat 6 hectare, care este din tot câmpul. Care este suprafața întregului domeniu.
Aceasta este o problemă tipică de a găsi un număr după fracția sa. Să fie zona întregului câmp X,
atunci avem ecuația x= 6. De unde x = 6:; x = 26. Suprafața câmpului este de 26 ha.
Pentru a găsi un număr după fracția sa, trebuie să împărțiți numărul corespunzător fracției date la fracția.
Exemplul 6 . Dat un număr b, care este p% din număr A. Găsiți un număr dar.
p%
= 0,01p
b
= 0,01pa
a = b: (0,01p)
Dat un număr b , care este p% din număr A .
Găsiți un număr dar .
a - 100%
b-p%
a:100 = b:p
Formula dobânzii compuse.
Dacă depozitul are o sumă A unități monetare și comisioane bancare R%
pe an, apoi prin n
ani, suma de pe depozit va fi unități monetare, sau
a(1+0,01p)n
unități monetare.
Exemplul 7 Construcția casei a costat 9.800 de ruble, din care 35% a fost plătit pentru lucrare, iar restul a fost plătit pentru material. Cât au costat materialele?
Plătit pentru muncă:
0,359800 = 3430.
Prin urmare, materialele costă: 9800 - 3430 = 6370.
Răspuns: 6370 de ruble.
Exemplul 8În rezervor au fost turnate 37,4 tone de benzină, după care 6,5% din capacitatea rezervorului a rămas neumplută. Câtă benzină trebuie adăugată în rezervor pentru a-l umple?
Dacă partea neumplută a rezervorului este de 6,5% din capacitate, atunci partea umplută este: 100% - 6,5% = 93,5%. Atunci, dacă x este masa de benzină care rămâne de adăugat în rezervor, atunci avem proporția
Unde 
.
Răspuns: 2,6 tone.
Exemplul 9 Găsiți un număr știind că 25% din el este 45% din 640.
Fie x numărul dorit. Avem
0,25x = 0,45640.
Răspuns: 1152.
Exemplul 10 Numărul a este 92% din numărul b. Dacă numărul b crește cu 700, atunci noul număr va fi cu 9% mai mare decât numărul a. Găsiți numerele a și b.
Din starea problemei avem un sistem de ecuații:
Rezolvând sistemul rezultat, găsim, a = 230000, b = 250000.
Raspuns: 230000; 250000.
Exemplul 11. Primul număr este 50% din al doilea. Ce procent din primul este al doilea?
Să notăm al doilea număr cu x, apoi primul număr este egal cu 0,5x. Pentru a afla ce procent este numărul x al numărului 0,5x; Să facem o proporție:
din care găsim
Răspuns: 200%.
Exemplul 12. La liceu sunt 260 de studenți, dintre care 10% eșuează. După expulzarea unui anumit număr de performanți slabi, procentul acestora a scăzut la 6,4%. Câți studenți au abandonat?
Înainte de expulzare, numărul de subperformanțe înainte de expulzare a fost singur
Să fie expulzați x oameni. Apoi, în total, la liceu au rămas 260 de studenți, dintre care 26 au fost nereușiți. Avem o proporție
260 - x - 100%,
(260 - x)0,064=(26 - x)100,
Rezolvând ecuația rezultată, găsim x = 10.
Exemplul 13 Cu ce procent 250 este mai mare decât 200?
Să facem două lucruri.
1) Aflăm cât la sută este numărul 250 de tone al numărului 200:
2) Deoarece numărul 200 din acest exemplu este 100%, atunci numărul 250 este mai mare decât numărul 200 cu 125% -100% = 25%.
Răspuns: 25%.
Exemplul 14 Ce procent este 200 mai mic decât 250?
1) Aflați câte procente este numărul 200 din numărul 250 (spre deosebire de exemplul anterior, aici trebuie să luați numărul 250 ca 100%!):
2) Numărul 200 este mai mic decât numărul 250 cu 100% - 80% = 20%.
Răspuns: 20%.
Exemplul 15 Lungimea cărămizii a fost mărită cu 30%, lățimea cu 20%, iar înălțimea a fost redusă cu 40%. Volumul cărămizilor a crescut sau a scăzut din aceasta și cu ce procent?
Fie ca lungimea inițială a cărămizii să fie x, lățime - y, înălțime - z. Apoi volumul inițial al cărămizii: V 1 = xyz. Noi dimensiuni de cărămidă: 1,3x; 1,2 ani; 0,6z și volum nou: V 2 \u003d 1,3x1,2y0,6z \u003d 0,936xyz. Din V 2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.
Răspuns: a scăzut cu 6,4%.
Exemplul 16 Prețul unei mărfuri a scăzut cu 40%, apoi încă cu 25%. Cu ce procent a scăzut prețul produsului față de prețul inițial?
Fie x prețul inițial al produsului. După prima scădere, prețul va fi egal cu
x - 0, 4x = 0,6x.
A doua scădere a prețului este de 25% din noul preț de 0,6x, așa că după a doua scădere vom avea prețul
0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.
După două scăderi, modificarea totală a prețului este:
x - 0,45x = 0,55x.
Deoarece valoarea este 0,55x; este 55% din x, atunci prețul bunului a scăzut cu 55%.
Răspuns: 55%.
Exemplul 17. Costul inițial al unei unități de producție a fost de 75 de ruble. În primul an de producție, a crescut cu un anumit număr de procente, iar în al doilea an a scăzut (în raport cu valoarea crescută) cu același număr de procente, în urma căruia a devenit egal cu 72 de ruble. Determinați creșterea și scăderea procentuală a costului unei unități de producție.
Fie x% creșterea (și scăderea) procentuală a costului unei unități de producție. Prin definiție, x% din 75 este 750,01x. Apoi, după prima creștere, prețul va fi egal cu 75 + 0,75x.
În al doilea an, prețul va scădea cu
0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x2.
Acum putem scrie ecuația prețului final
(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;
x 2 \u003d 400; prin urmare, x 1 = - 20, x 2 = 20.
Doar o rădăcină a acestei ecuații este potrivită: x 2 \u003d 20.
Răspuns: 20%.
Exemplul 18.În contul bancar au fost depuse 10 mii de ruble. După ce banii au stat timp de un an, 1 mie de ruble au fost retrase din cont. Un an mai târziu, contul era de 11 mii de ruble. Stabiliți ce procent pe an percepe banca.
Lăsați banca să încarce p% pe an.
1) Suma de 10.000 de ruble, depusă într-un cont bancar la p% pe an, într-un an va crește la valoarea
10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 rub.
Când 1000 de ruble sunt retrase din cont, 9000 + 100 de ruble vor rămâne acolo.
2) Într-un alt an, această din urmă valoare va crește la 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = r 2 + 190r + 9000 ruble din cauza acumulării dobânzii.
După condiție, această valoare este egală cu 11.000 de ruble, deci avem o ecuație pătratică.
p 2 + 190r + 9000 = 11000;
r 2 + 190r - 2000 = 0
, rezolvăm această ecuație pătratică folosind teorema lui Viette, p 1 \u003d 10, p 2 \u003d -200.
Rădăcina negativă nu este potrivită.
Răspuns: 10%.
Exemplul 19. Orașul are în prezent 48.400 de locuitori. Se știe că populația acestui oraș crește anual cu 10%. Câți locuitori erau în oraș în urmă cu doi ani?
Să presupunem că acum doi ani numărul de locuitori ai orașului era de x oameni, atunci numărul de locuitori este exprimat în prezent prin x folosind formula dobânzii compuse:
x(1+0,1) 2 = 1,21x.
Din declarația problemei:
Răspuns: 40.000 de oameni.
