Fizica și matematica nu se pot descurca fără conceptul de „cantitate vectorială”. Trebuie să fie cunoscut și recunoscut, precum și să poată opera cu el. Cu siguranță ar trebui să înveți asta pentru a nu te încurca și a nu face greșeli stupide.

Cum să distingem o valoare scalară de una vectorială?

Primul are întotdeauna o singură caracteristică. Aceasta este valoarea sa numerică. Majoritatea scalarilor pot lua atât valori pozitive, cât și negative. Exemple sunt sarcina electrică, lucrul sau temperatura. Dar există câțiva scalari care nu pot fi negativi, cum ar fi lungimea și masa.

O mărime vectorială, pe lângă o mărime numerică, care este întotdeauna luată modulo, este caracterizată și printr-o direcție. Prin urmare, poate fi reprezentat grafic, adică sub forma unei săgeți, a cărei lungime este egală cu modulul valorii îndreptate într-o anumită direcție.

Când scrieți, fiecare mărime vectorială este indicată printr-un semn săgeată pe literă. Dacă vorbim de o valoare numerică, atunci săgeata nu este scrisă sau este luată modulo.

Ce acțiuni sunt cel mai des efectuate cu vectori?

În primul rând, o comparație. Ele pot fi egale sau nu. În primul caz, modulele lor sunt aceleași. Dar aceasta nu este singura condiție. De asemenea, trebuie să aibă aceleași direcții sau opuse. În primul caz, ar trebui numiți vectori egali. În al doilea, ele sunt opuse. Dacă cel puțin una dintre aceste condiții nu este îndeplinită, atunci vectorii nu sunt egali.

Apoi vine adăugarea. Se poate face după două reguli: un triunghi sau un paralelogram. Primul prescrie amânarea mai întâi a unui vector, apoi de la capătul său al doilea. Rezultatul adunării va fi cel care trebuie tras de la începutul primului până la sfârșitul celui de-al doilea.

Regula paralelogramului poate fi folosită atunci când trebuie să adăugați cantități vectoriale în fizică. Spre deosebire de prima regulă, aici ar trebui amânate de la un punct. Apoi construiește-le la un paralelogram. Rezultatul acțiunii trebuie considerat diagonala paralelogramului trasă din același punct.

Dacă o mărime vectorială este scăzută dintr-o alta, atunci acestea sunt din nou trasate dintr-un punct. Doar rezultatul va fi un vector care se potrivește cu cel desenat de la sfârșitul celui de-al doilea până la sfârșitul primului.

Ce vectori sunt studiați în fizică?

Sunt tot atâtea câte scalari sunt. Vă puteți aminti pur și simplu ce mărimi vectoriale există în fizică. Sau cunoașteți semnele după care pot fi calculate. Pentru cei care preferă prima variantă, o astfel de masă le va veni la îndemână. Conține principalele mărimi fizice vectoriale.

Acum puțin mai multe despre unele dintre aceste cantități.

Prima valoare este viteza

Merită să începeți să dați exemple de mărimi vectoriale din acesta. Acest lucru se datorează faptului că este studiat printre primii.

Viteza este definită ca o caracteristică a mișcării unui corp în spațiu. Specifică o valoare numerică și o direcție. Prin urmare, viteza este o mărime vectorială. În plus, se obișnuiește să-l împarți în tipuri. Prima este viteza liniară. Este introdus atunci când se consideră mișcarea uniformă rectilinie. În acest caz, se dovedește a fi egal cu raportul dintre calea parcursă de corp și timpul de mișcare.

Aceeași formulă poate fi folosită pentru mișcarea neuniformă. Abia atunci va fi medie. Mai mult, intervalul de timp care trebuie ales trebuie să fie neapărat cât mai scurt. Când intervalul de timp tinde spre zero, valoarea vitezei este deja instantanee.

Dacă se consideră o mișcare arbitrară, atunci viteza este întotdeauna o mărime vectorială. La urma urmei, trebuie să fie descompus în componente direcționate de-a lungul fiecărui vector care direcționează liniile de coordonate. În plus, este definită ca derivată a vectorului rază, luată în raport cu timpul.

A doua valoare este puterea

Determină măsura intensității impactului care se exercită asupra corpului de către alte corpuri sau câmpuri. Deoarece forța este o mărime vectorială, ea are în mod necesar propria sa valoare modulo și direcția. Deoarece acţionează asupra corpului, este important şi punctul în care se aplică forţa. Pentru a obține o reprezentare vizuală a vectorilor forței, puteți consulta următorul tabel.

De asemenea, forța rezultantă este și o mărime vectorială. Este definită ca suma tuturor forțelor mecanice care acționează asupra corpului. Pentru a-l determina, este necesar să se efectueze adunarea conform principiului regulii triunghiului. Doar tu trebuie să amâni pe rând vectorii de la sfârșitul celui precedent. Rezultatul va fi cel care leagă începutul primului de sfârșitul ultimului.

A treia cantitate este deplasarea

În timpul mișcării, corpul descrie o anumită linie. Se numește traiectorie. Această linie poate fi complet diferită. Mai importantă nu este ea aspect, și punctele de început și de sfârșit ale mișcării. Ele sunt conectate printr-un segment numit deplasare. Aceasta este, de asemenea, o mărime vectorială. Mai mult, este întotdeauna îndreptată de la începutul mișcării până la punctul în care mișcarea a fost oprită. Se obișnuiește să-l desemnăm cu litera latină r.

Aici poate apărea următoarea întrebare: „Este calea o mărime vectorială?”. În general, această afirmație nu este adevărată. Calea este egală cu lungimea traiectoriei și nu are o direcție definită. O excepție este situația în care se ia în considerare mișcarea rectilinie într-o direcție. Apoi, modulul vectorului deplasare coincide ca valoare cu calea, iar direcția lor se dovedește a fi aceeași. Prin urmare, atunci când se ia în considerare mișcarea de-a lungul unei linii drepte fără a schimba direcția de mișcare, calea poate fi inclusă în exemplele de mărimi vectoriale.

A patra valoare este accelerația

Este o caracteristică a ratei de schimbare a vitezei. Mai mult, accelerația poate avea atât valori pozitive, cât și negative. În mișcarea rectilinie, este îndreptată în direcția vitezei mai mari. Dacă mișcarea are loc de-a lungul unei traiectorii curbilinii, atunci vectorul accelerației sale este descompus în două componente, dintre care una este îndreptată spre centrul de curbură de-a lungul razei.

Alocați valoarea medie și instantanee a accelerației. Primul ar trebui calculat ca raportul dintre schimbarea vitezei într-o anumită perioadă de timp și acest timp. Când intervalul de timp considerat tinde spre zero, se vorbește de accelerație instantanee.

A cincea valoare - impuls

Într-un alt mod, se mai numește și cantitatea de mișcare. Momentul este o mărime vectorială datorită faptului că este direct legată de viteza și forța aplicată corpului. Amandoi au o directie si o dau impulsului.

Prin definiție, acesta din urmă este egal cu produsul dintre masa corporală și viteza. Folosind conceptul de impuls al unui corp, se poate scrie binecunoscuta lege a lui Newton într-un mod diferit. Se dovedește că modificarea impulsului este egală cu produsul dintre forță și intervalul de timp.

În fizică, un rol important joacă legea conservării impulsului, care afirmă că într-un sistem închis de corpuri impulsul său total este constant.

Am enumerat foarte pe scurt ce mărimi (vector) sunt studiate în cursul fizicii.

Problema impactului inelastic

Condiție. Există o platformă fixă ​​pe șine. O mașină se apropie de el cu o viteză de 4 m/s. Masele platformei și ale vagonului sunt de 10, respectiv 40 de tone. Mașina lovește platforma, apare o cuplare automată. Este necesar să se calculeze viteza sistemului vagon-platformă după impact.

Decizie. În primul rând, trebuie să introduceți notația: viteza mașinii înainte de impact - v1, mașina cu platforma după cuplare - v, masa mașinii m1, greutatea platformei - m2. În funcție de starea problemei, este necesar să se afle valoarea vitezei v.

Regulile pentru rezolvarea unor astfel de sarcini necesită o reprezentare schematică a sistemului înainte și după interacțiune. Este rezonabil să direcționați axa OX de-a lungul șinelor în direcția în care se mișcă mașina.

În aceste condiții, sistemul de vagoane poate fi considerat închis. Acest lucru este determinat de faptul că forțele externe pot fi neglijate. Forța gravitației și reacția suportului sunt echilibrate, iar frecarea pe șine nu este luată în considerare.

Conform legii conservării impulsului, suma vectorială a acestora înainte de interacțiunea mașinii și a platformei este egală cu totalul pentru cuplaj după impact. La început, platforma nu s-a mișcat, așa că impulsul său a fost zero. Doar vagonul s-a deplasat, impulsul său este produsul dintre m1 și v1.

Deoarece impactul a fost inelastic, adică vagonul s-a lipit de platformă și apoi a început să se rostogolească împreună în aceeași direcție, impulsul sistemului nu a schimbat direcția. Dar sensul lui s-a schimbat. Și anume, produsul dintre suma masei vagonului cu platforma și viteza dorită.

Puteți scrie următoarea egalitate: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Va fi valabil pentru proiecția vectorilor de impuls pe axa selectată. Din aceasta este ușor să deduceți egalitatea care va fi necesară pentru a calcula viteza dorită: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

Conform regulilor, ar trebui să convertiți valorile masei de la tone la kilograme. Prin urmare, atunci când le înlocuiți în formulă, mai întâi ar trebui să înmulțiți valorile cunoscute cu o mie. Calculele simple dau un număr de 0,75 m/s.

Răspuns. Viteza vagonului cu platforma este de 0,75 m/s.

Împărțirea corpului în părți

Condiție. Viteza unei grenade zburătoare este de 20 m/s. Se rupe în două bucăți. Masa primului este de 1,8 kg. Continuă să se deplaseze în direcția în care zbura grenada cu o viteză de 50 m/s. Al doilea fragment are o masă de 1,2 kg. Care este viteza lui?

Decizie. Fie ca masele fragmentului să fie notate cu literele m1 și m2. Vitezele lor vor fi v1 și, respectiv, v2. Viteza inițială a grenadei este v. În sarcină, trebuie să calculați valoarea v2.

Pentru ca fragmentul mai mare să continue să se miște în aceeași direcție cu întreaga grenadă, al doilea trebuie să zboare în direcția opusă. Dacă pentru direcția axei o alegem pe cea pe care a avut-o impulsul inițial, atunci după pauză fragmentul mare zboară de-a lungul axei, iar fragmentul mic zboară împotriva axei.

În această problemă, este permisă utilizarea legii conservării impulsului datorită faptului că explozia unei grenade are loc instantaneu. Prin urmare, în ciuda faptului că gravitația acționează asupra grenadei și a părților sale, aceasta nu are timp să acționeze și să schimbe direcția vectorului de impuls cu valoarea sa de modul.

Suma valorilor vectoriale ale impulsului după explozia grenadei este egală cu cea dinaintea acesteia. Dacă notăm legea conservării impulsului corpului în proiecție pe axa OX, atunci va arăta astfel: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Este ușor să exprimați viteza dorită din ea. Se determină prin formula: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. După înlocuirea valorilor numerice și a calculelor, se obține 25 m/s.

Răspuns. Viteza unui fragment mic este de 25 m/s.

Problemă cu fotografierea în unghi

Condiție. O unealtă este montată pe o platformă de masă M. Din el se trage un proiectil de masa m. Decolează sub un unghi α față de orizont cu o viteză v (dată relativ la sol). Este necesar să aflați viteza platformei după împușcare.

Decizie. În această problemă, puteți utiliza legea conservării impulsului în proiecție pe axa OX. Dar numai în cazul în care proiecția forțelor rezultante externe este egală cu zero.

Pentru direcția axei OX, trebuie să alegeți partea în care proiectilul va zbura și paralel cu linia orizontală. În acest caz, proiecțiile forțelor gravitaționale și reacția suportului pe OX vor fi egale cu zero.

Problema va fi rezolvată într-un mod general, deoarece nu există date specifice pentru cantitățile cunoscute. Formula este răspunsul.

Momentul sistemului înainte de împușcare a fost egal cu zero, deoarece platforma și proiectilul erau staționare. Fie ca viteza dorită a platformei să fie notată cu litera latină u. Apoi impulsul său după împușcare este determinat ca produsul dintre masă și proiecția vitezei. Deoarece platforma se întoarce înapoi (contra direcției axei OX), valoarea impulsului va fi cu semnul minus.

Momentul proiectilului este produsul dintre masa acestuia și proiecția vitezei pe axa OX. Datorită faptului că viteza este îndreptată la un unghi față de orizont, proiecția sa este egală cu viteza înmulțită cu cosinusul unghiului. În egalitate literală, va arăta astfel: 0 = - Mu + mv * cos α. Din aceasta, prin simple transformări, se obține formula de răspuns: u = (mv * cos α) / M.

Răspuns. Viteza platformei este determinată de formula u = (mv * cos α) / M.

Problema trecerii raului

Condiție. Lățimea râului pe toată lungimea sa este aceeași și egală cu l, malurile sale sunt paralele. Sunt cunoscute viteza curgerii apei în râu v1 și viteza proprie a bărcii v2. unu). La traversare, prova bărcii este îndreptată strict spre malul opus. Cât de departe va fi dus în aval? 2). În ce unghi α ar trebui să fie îndreptată prova bărcii astfel încât să ajungă pe malul opus strict perpendicular pe punctul de plecare? Cât timp va dura pentru o astfel de traversare?

Decizie. unu). Viteza maximă a bărcii este suma vectorială a celor două mărimi. Primul dintre acestea este cursul râului, care este îndreptat de-a lungul malurilor. A doua este viteza proprie a bărcii, perpendiculară pe țărmuri. Desenul prezintă două triunghiuri similare. Primul este format din lățimea râului și distanța pe care o parcurge barca. Al doilea sunt vectorii viteză.

Din ele rezultă următoarea intrare: s / l = v1 / v2. După transformare, se obține o formulă pentru valoarea dorită: s = l * (v1 / v2).

2). În această versiune a problemei, vectorul viteză totală este perpendicular pe maluri. Este egală cu suma vectorială a v1 și v2. Sinusul unghiului cu care trebuie să devieze propriul vector viteză este egal cu raportul modulelor v1 și v2. Pentru a calcula timpul de călătorie, va trebui să împărțiți lățimea râului la viteza totală calculată. Valoarea acestuia din urmă este calculată prin teorema lui Pitagora.

v = √(v22 – v12), apoi t = l / (√(v22 – v12)).

Răspuns. unu). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Vectorii sunt un instrument puternic în matematică și fizică. Legile de bază ale mecanicii și electrodinamicii sunt formulate în limbajul vectorilor. Pentru a înțelege fizica, trebuie să înveți cum să lucrezi cu vectori.

Acest capitol conține o prezentare detaliată a materialului necesar pentru a începe studiul mecanicii:

! Adăugarea vectorului

! Înmulțiți un scalar cu un vector

! Unghiul dintre vectori

! Proiecția unui vector pe o axă

! Vectori și coordonate pe plan

! Vectori și coordonate în spațiu

! Produsul punctual al vectorilor

Va fi util să revenim la textul acestei apendice în primul an când studiem geometria analitică și algebra liniară pentru a înțelege, de exemplu, de unde provin axiomele spațiului liniar și euclidian.

7.1 Mărimi scalare și vectoriale

În procesul de studiere a fizicii, întâlnim două tipuri de mărimi - scalare și vectoriale.

Definiție. O mărime scalară, sau scalară, este o mărime fizică care (în unități corespunzătoare) necesită un singur număr pentru a fi specificată.

Există o mulțime de scalari în fizică. Greutatea corporală este de 3 kg, temperatura aerului este de 10 C, tensiunea de alimentare este de 220 V. . . În toate aceste cazuri, cantitatea de interes pentru noi este dată de un singur număr. Prin urmare, masa, temperatura și tensiunea electrică sunt scalari.

Dar un scalar în fizică nu este doar un număr. Un scalar este un număr echipat cu dimensiunea 1. Deci, dată fiind masa, nu putem scrie m = 3; trebuie să specificați unitatea de măsură, de exemplu, m = 3 kg. Și dacă la matematică putem adăuga numerele 3 și 220, atunci la fizică nu va funcționa să adunăm 3 kilograme și 220 de volți: avem dreptul să adunăm doar acei scalari care au aceeași dimensiune (masă cu masă, tensiune cu tensiune). , etc.).

Definiție. O mărime vectorială, sau un vector, este o mărime fizică caracterizată prin: 1) un scalar nenegativ; 2) direcția în spațiu. În acest caz, scalarul se numește modulul vectorului sau valoarea lui absolută.

Să presupunem că o mașină se deplasează cu o viteză de 60 km/h. Dar acestea sunt informații incomplete despre trafic, nu-i așa? Poate fi important și unde merge mașina, în ce direcție. Prin urmare, este important să cunoaștem nu numai modulul (valoarea absolută) a vitezei vehiculului în acest caz, este de 60 km/h, ci și direcția acestuia în spațiu. Deci viteza este un vector.

Alt exemplu. Să presupunem că există o cărămidă cu masa de 1 kg pe podea. O forță de 100 N acționează asupra cărămizii (acesta este modulul de forță sau valoarea sa absolută). Cum se va mișca cărămida? Întrebarea este lipsită de sens până când este specificată direcția forței. Dacă forța acționează în sus, atunci cărămida se va deplasa în sus. Dacă forța acționează orizontal, atunci cărămida se va mișca orizontal. Și dacă forța acționează vertical în jos, atunci cărămida nu se va clinti deloc, ea va fi doar presată în podea. Vedem, așadar, că forța este, de asemenea, un vector.

O mărime vectorială în fizică are și o dimensiune. Dimensiunea unui vector este dimensiunea modulului său.

Vom desemna vectori cu litere cu o săgeată. Deci, vectorul viteză poate fi notat

prin ~v, iar vectorul forță prin F . De fapt, acest vector este o săgeată sau, după cum se spune, un segment direcționat (Fig. 7.1).

Orez. 7.1. Vector ~v

Punctul de pornire al săgeții se numește începutul vectorului și punctul final (vârful) săgeții

capătul vectorului. În matematică, se notează un vector care începe în punctul A și se termină în punctul B

de asemenea AB; uneori vom avea nevoie de o astfel de notație.

Un vector al cărui început și sfârșit coincid se numește vector zero (sau zero) și

notat cu ~ . Vectorul nul este pur și simplu un punct; nu are o direcție definită.

Lungimea vectorului nul este, desigur, zero.

1 Există și scalari adimensionali: coeficient de frecare, eficiență, indice de refracție al mediului. . . Deci, indicele de refracție al apei este 1; 33, aceasta este o informație exhaustivă, acest număr nu are nicio dimensiune.

Desenarea săgeților rezolvă complet problema reprezentării grafice a mărimilor vectoriale. Direcția săgeții indică direcția vectorului dat, iar lungimea săgeții într-o scară adecvată este modulul acestui vector.

Să presupunem, de exemplu, că două mașini se deplasează una spre alta cu viteze u = 30 km/h și v = 60 km/h. Atunci vectorii ~u și ~v ai vitezelor mașinilor vor avea direcții opuse, iar lungimea vectorului ~v este de două ori mai mare (Fig. 7.2).

Orez. 7.2. Vectorul ~v este de două ori mai lung

După cum ați înțeles deja, o literă fără săgeată (de exemplu, u sau v în paragraful anterior) indică modulul vectorului corespunzător. În matematică, modulul unui vector ~v este de obicei notat cu j~vj, dar fizicienii, dacă situația o permite, vor prefera v fără săgeată.

Vectorii sunt numiți coliniari dacă se află pe aceeași linie sau pe linii paralele.

Să fie doi vectori coliniari. Dacă direcțiile lor coincid, atunci vectorii se numesc codirecționali; dacă direcțiile lor sunt diferite, atunci vectorii se numesc direcționați opus. Deci, mai sus în fig. 7.2 vectorii ~u și ~v sunt direcționați opus.

Doi vectori sunt numiți egali dacă sunt codirecționali și au module egale (Fig. 7.3).

Orez. 7.3. Vectorii ~a și b sunt egali: ~a = b

Astfel, egalitatea vectorilor nu înseamnă deloc coincidența indispensabilă a începuturilor și sfârșiturilor lor: putem muta un vector paralel cu el însuși, iar în acest caz obținem un vector egal cu cel inițial. Un astfel de transfer este utilizat în mod constant în cazurile în care este de dorit să se reducă începuturile vectorilor la un punct, de exemplu, atunci când se află suma sau diferența vectorilor. Ne întoarcem acum la luarea în considerare a operațiilor pe vectori.

În studiul diferitelor ramuri ale fizicii, mecanicii și științelor tehnice, există mărimi care sunt complet determinate prin stabilirea valorilor lor numerice, mai precis, care sunt complet determinate folosind numărul obținut în urma măsurării lor printr-o mărime omogenă luată ca o unitate. Astfel de cantități sunt numite scalar sau, pe scurt, scalari. Mărimile scalare, de exemplu, sunt lungimea, aria, volumul, timpul, masa, temperatura corpului, densitatea, munca, capacitatea electrică etc. Deoarece o mărime scalară este determinată de un număr (pozitiv sau negativ), ea poate fi reprezentată pe axa de coordonate corespunzătoare. De exemplu, ei construiesc adesea axa timpului, temperaturii, lungimea (calea) și altele.

Pe lângă mărimile scalare, în diverse probleme există și mărimi, pentru determinarea cărora, pe lângă valoarea numerică, este necesară și cunoașterea direcției lor în spațiu. Se numesc astfel de cantități vector. Exemple fizice de mărimi vectoriale sunt deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu, viteza și accelerația acestui punct, precum și forța care acționează asupra acestuia, puterea unui câmp electric sau magnetic. Cantitățile vectoriale sunt utilizate, de exemplu, în climatologie. Luați în considerare un exemplu simplu din climatologie. Dacă spunem că vântul bate cu o viteză de 10 m/s, atunci vom introduce o valoare scalară a vitezei vântului, dar dacă spunem că vântul de nord bate cu o viteză de 10 m/s, atunci în în acest caz viteza vântului va fi deja o mărime vectorială.

Mărimile vectoriale sunt reprezentate folosind vectori.

Pentru reprezentarea geometrică a mărimilor vectoriale se folosesc segmente direcționate, adică segmente care au o direcție fixă ​​în spațiu. În acest caz, lungimea segmentului este egală cu valoarea numerică a mărimii vectoriale, iar direcția acestuia coincide cu direcția mărimii vectoriale. Se numește un segment direcționat care caracterizează o mărime vectorială dată un vector geometric sau doar un vector.

Conceptul de vector joacă un rol important atât în ​​matematică, cât și în multe domenii ale fizicii și mecanicii. Multe mărimi fizice pot fi reprezentate folosind vectori, iar această reprezentare contribuie foarte des la generalizarea și simplificarea formulelor și rezultatelor. Adesea mărimile vectoriale și vectorii care le reprezintă sunt identificate între ele: de exemplu, se spune că forța (sau viteza) este un vector.

Elementele de algebră vectorială sunt utilizate în discipline precum: 1) mașini electrice; 2) acționare electrică automată; 3) iluminat electric și iradiere; 4) circuite de curent alternativ neramificate; 5) mecanică aplicată; 6) mecanică teoretică; 7) fizica; 8) hidraulice: 9) piese de mașini; 10) rezistența materialelor; 11) management; 12) chimie; 13) cinematica; 14) statică etc.

2. Definirea unui vector. Un segment de linie este definit de două puncte egale - capetele sale. Dar se poate considera un segment direcționat definit de o pereche ordonată de puncte. Despre aceste puncte se știe care dintre ele este primul (începutul) și care este al doilea (sfârșitul).

Un segment direcționat este înțeles ca o pereche ordonată de puncte, dintre care primul - punctul A - se numește începutul său, iar al doilea - B - sfârșitul său.

Apoi sub vectorîn cel mai simplu caz, segmentul direcționat însuși este înțeles, iar în alte cazuri, diferiți vectori sunt diferite clase de echivalență de segmente direcționate, determinate de o relație de echivalență specifică. Mai mult decât atât, relația de echivalență poate fi diferită, determinând tipul vectorului („liber”, „fix”, etc.). Mai simplu spus, în cadrul unei clase de echivalență, toate segmentele direcționate din cadrul acesteia sunt tratate ca perfect egale și fiecare poate reprezenta în mod egal întreaga clasă.

Vectorii joacă un rol important în studiul transformărilor infinitezimale ale spațiului.

Definiția 1. Un segment direcționat (sau, ceea ce este același lucru, o pereche ordonată de puncte) vom numi vector. Direcția de pe segment este de obicei marcată cu o săgeată. La scriere, deasupra desemnării literei vectorului este plasată o săgeată, de exemplu: (în acest caz, litera corespunzătoare începutului vectorului trebuie plasată în față). În cărți, adesea literele care denotă un vector sunt introduse cu caractere aldine, de exemplu: A.

Așa-numitul vector zero, al cărui început și sfârșit coincid, va fi denumit și vectori.

Un vector al cărui început coincide cu sfârșitul său se numește zero. Vectorul nul este notat cu sau pur și simplu 0.

Distanța dintre începutul și sfârșitul unui vector se numește sa lung(precum și modulși valoarea absolută). Lungimea unui vector se notează cu | | sau | |. Lungimea unui vector, sau modulul unui vector, este lungimea segmentului direcționat corespunzător: | | = .

Se numesc vectorii coliniare, dacă sunt situate pe aceeași linie sau pe drepte paralele, pe scurt, dacă există o dreaptă cu care sunt paralele.

Se numesc vectorii coplanare, dacă există un plan cu care sunt paralele, ele pot fi reprezentate prin vectori aflați pe același plan. Vectorul zero este considerat coliniar cu orice vector, deoarece nu are o direcție definită. Lungimea sa, desigur, este zero. Evident, oricare doi vectori sunt coplanari; dar desigur nu toți trei vectori din spațiu sunt coplanari. Deoarece vectorii paraleli între ei sunt paraleli cu același plan, vectorii coliniari sunt și mai coplanari. Desigur, inversul nu este adevărat: vectorii coplanari pot să nu fie coliniari. În virtutea condiției de mai sus, vectorul zero este coliniar cu orice vector și coplanar cu orice pereche de vectori, i.e. dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero, atunci ei sunt coplanari.

2) Cuvântul „coplanar” înseamnă în esență: „având un plan comun”, adică „situat în același plan”. Dar din moment ce vorbim aici despre vectori liberi care pot fi transferați (fără a modifica lungimea și direcția) într-un mod arbitrar, trebuie să numim vectori coplanari paraleli cu același plan, pentru că în acest caz pot fi transferați astfel încât să rezulte să fie situat într-un singur plan.

Pentru a scurta discursul, vom fi de acord într-un singur termen: dacă mai mulți vectori liberi sunt paraleli cu același plan, atunci vom spune că sunt coplanari. În special, doi vectori sunt întotdeauna coplanari; pentru a verifica acest lucru este suficient să le amânăm din același punct. Este clar, în plus, că direcția planului în care doi vectori dați sunt paraleli este complet determinată dacă acești doi vectori nu sunt paraleli unul cu celălalt. Orice plan la care vectorii coplanari dați sunt paraleli va fi numit pur și simplu planul vectorilor dați.

Definiția 2. Cei doi vectori sunt numiți egal dacă sunt coliniare, au aceeași direcție și au aceeași lungime.

Trebuie amintit întotdeauna că egalitatea lungimilor a doi vectori nu înseamnă egalitatea acestor vectori.

Prin însuși sensul definiției, doi vectori, egali separat cu al treilea, sunt egali unul cu celălalt. Evident, toți vectorii zero sunt egali între ei.

Rezultă direct din această definiție că, alegând orice punct A, putem construi (și doar unul) vectorul A" B", egal cu un vector dat, sau, după cum se spune, transferul vectorului în punctul A" .

cometariu. Pentru vectori, nu există concepte de „mai mare decât” sau „mai puțin decât”, i.e. sunt egali sau nu.

Un vector a cărui lungime este egală cu unu se numește singur vector și se notează cu e. Vectorul unitar, a cărui direcție coincide cu direcția vectorului a, se numește ortom vector și notat cu o .

3. Pe o altă definiție a unui vector. Rețineți că conceptul de egalitate a vectorilor diferă semnificativ de conceptul de egalitate, de exemplu, al numerelor. Fiecare număr este egal doar cu el însuși, cu alte cuvinte, două numere egale în toate circumstanțele pot fi considerate ca unul și același număr. Cu vectorii, după cum vedem, situația este diferită: prin definiție, există vectori diferiți, dar egali. Deși în cele mai multe cazuri nu va trebui să facem distincție între ele, se poate dovedi că la un moment dat vom fi interesați de vectorul , și nu de un alt vector egal A"B".

Pentru a simplifica conceptul de egalitate a vectorilor (și a elimina unele dintre dificultățile asociate cu acesta), uneori se complică definiția unui vector. Nu vom folosi această definiție complicată, dar o vom formula. Pentru a evita confuzia, vom scrie „Vector” (cu literă mare) pentru a desemna conceptul definit mai jos.

Definiția 3. Să fie dat un segment dirijat. Se numește mulțimea tuturor segmentelor direcționate care sunt egale cu una dată în sensul Definiției 2 Vector.

Astfel, fiecare segment direcționat definește un Vector. Este ușor de observat că două segmente direcționate definesc același Vector dacă și numai dacă sunt egale. Pentru Vectori, ca și pentru numere, egalitatea înseamnă același lucru: doi Vectori sunt egali dacă și numai dacă sunt același Vector.

Într-o translație paralelă a spațiului, un punct și imaginea sa constituie o pereche ordonată de puncte și definesc un segment direcționat, iar toate aceste segmente direcționate sunt egale în sensul Definiției 2. Prin urmare, o translație paralelă a spațiului poate fi identificată cu un Vector compus din toate aceste segmente dirijate.

Din cursul inițial al fizicii este bine cunoscut faptul că o forță poate fi reprezentată printr-un segment direcționat. Dar nu poate fi reprezentat printr-un Vector, deoarece forțele reprezentate de segmente dirijate egale produc, în general, efecte diferite. (Dacă o forță acționează asupra unui corp elastic, atunci segmentul direcționat care îl reprezintă nu poate fi transferat nici măcar de-a lungul liniei drepte pe care se află.)

Acesta este doar unul dintre motivele pentru care, alături de Vectori, adică seturi (sau, după cum se spune, clase) de segmente direcționate egale, este necesar să se ia în considerare reprezentanții individuali ai acestor clase. În aceste condiții, aplicarea Definiției 3 este complicată de un număr mare de rezerve. Vom adera la Definiția 1 și, prin înțelesul general, va fi întotdeauna clar dacă vorbim despre un vector bine definit sau poate fi înlocuit cu un vector egal cu acesta.

În legătură cu definiția vectorului, merită explicat sensul unor cuvinte găsite în literatură.

Suntem înconjurați de multe obiecte materiale diferite. Material, pentru că pot fi atinse, mirosite, văzute, auzite și se pot face multe altele. Care sunt aceste obiecte, ce se întâmplă cu ele, sau se va întâmpla dacă se face ceva: aruncați, desfaceți, dați la cuptor. De ce li se întâmplă ceva și cum anume se întâmplă? Toate aceste studii fizică. Joacă un joc: gândește-te la un obiect din cameră, descrie-l în câteva cuvinte, un prieten trebuie să ghicească ce este. Precizați caracteristicile subiectului vizat. Adjective: alb, mare, greu, rece. Ghicit? Acesta este un frigider. Specificațiile enumerate nu sunt măsurători științifice ale frigiderului dumneavoastră. Puteți măsura diferite lucruri la frigider. Dacă este lung, atunci este mare. Dacă este de culoare, atunci este alb. Daca temperatura, atunci rece. Și dacă are masa, atunci se dovedește că este grea. Imaginați-vă că un frigider poate fi explorat din unghiuri diferite. Masa, lungimea, temperatura - aceasta este mărimea fizică.

Dar aceasta este doar acea mică caracteristică a frigiderului care îmi vine instantaneu în minte. Înainte de a cumpăra un frigider nou, vă puteți familiariza cu o serie de cantități fizice care vă permit să judecați ce este, mai bine sau mai rău, și de ce costă mai mult. Imaginați-vă cât de divers este totul în jurul nostru. Și cât de diferite sunt caracteristicile?

Desemnarea cantității fizice

Toate mărimile fizice sunt de obicei notate cu litere, mai des alfabetul grecesc. DAR! Una și aceeași cantitate fizică poate avea mai multe denumiri de litere (în literatură diferită).

Și invers, cantități fizice diferite pot fi notate prin aceeași literă.

În ciuda faptului că s-ar putea să nu fi întâlnit o astfel de scrisoare, semnificația unei mărimi fizice, participarea acesteia la formule rămâne aceeași.

Mărimi vectoriale și scalare

În fizică, există două tipuri de mărimi fizice: vectoriale și scalare. Principala lor diferență este că mărimile fizice vectoriale au o direcție. Ce direcție are o mărime fizică? De exemplu, numărul de cartofi dintr-o pungă, vom numi numere obișnuite, sau scalari. Temperatura este un alt exemplu de astfel de cantitate. Alte marimi foarte importante in fizica au o directie, de exemplu, viteza; trebuie să precizăm nu numai viteza de mișcare a corpului, ci și traseul pe care acesta se mișcă. Elanul și forța au și ele o direcție, la fel ca și deplasarea: atunci când cineva face un pas, poți să-ți dai seama nu numai cât de departe a pășit, ci și unde a pășit, adică să-i determini direcția mișcării. Cantitățile vectoriale sunt mai bine de reținut.

De ce există o săgeată deasupra literelor?

O săgeată este desenată numai deasupra literelor mărimilor fizice vectoriale. După modul în matematică vector! Operaţiile de adunare şi scădere asupra acestor mărimi fizice se efectuează după regulile matematice ale operaţiilor cu vectori. Expresia „modul de viteză” sau „valoare absolută” înseamnă exact „modul vectorial de viteză”, adică valoarea numerică a vitezei fără a ține cont de direcția – semnul plus sau minus.

Desemnarea mărimilor vectoriale

Principalul lucru de reținut

1) Ce este o mărime vectorială;
2) Cum diferă o valoare scalară de una vectorială;
3) Mărimi fizice vectoriale;
4) Desemnarea unei mărimi vectoriale

În fizică, există mai multe categorii de mărimi: vectoriale și scalare.

Ce este o mărime vectorială?

O mărime vectorială are două caracteristici principale: direcție și modul. Doi vectori vor fi aceiași dacă valoarea lor modulo și direcția sunt aceleași. Pentru a desemna o cantitate vectorială, cel mai des sunt folosite litere peste care este afișată o săgeată. Un exemplu de mărime vectorială este forța, viteza sau accelerația.

Pentru a înțelege esența unei mărimi vectoriale, ar trebui să o luăm în considerare din punct de vedere geometric. Un vector este un segment de dreaptă care are o direcție. Lungimea unui astfel de segment corespunde valorii modulului său. Un exemplu fizic de mărime vectorială este deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu. Parametri precum accelerația acestui punct, viteza și forțele care acționează asupra acestuia, câmpul electromagnetic vor fi, de asemenea, afișați ca mărimi vectoriale.

Dacă luăm în considerare o mărime vectorială indiferent de direcție, atunci un astfel de segment poate fi măsurat. Dar, rezultatul va afișa doar caracteristici parțiale ale valorii. Pentru măsurarea sa completă, valoarea trebuie completată cu alți parametri ai segmentului direcționat.

În algebra vectorială, există un concept vector zero. Sub acest concept se înțelege un punct. În ceea ce privește direcția vectorului zero, acesta este considerat nedefinit. Vectorul zero este notat cu zeroul aritmetic introdus cu caractere aldine.

Dacă analizăm toate cele de mai sus, putem concluziona că toate segmentele direcționate definesc vectori. Două segmente vor defini un vector numai dacă sunt egale. La compararea vectorilor, se aplică aceeași regulă ca și la compararea cantităților scalare. Egalitatea înseamnă o potrivire completă în toate privințele.

Ce este o valoare scalară?

Spre deosebire de un vector, o cantitate scalară are un singur parametru - acesta este valoarea sa numerică. De remarcat faptul că valoarea analizată poate avea atât o valoare numerică pozitivă, cât și una negativă.

Exemplele includ masa, tensiunea, frecvența sau temperatura. Cu astfel de valori, puteți efectua diverse operații aritmetice: adunare, împărțire, scădere, înmulțire. Pentru o mărime scalară, o astfel de caracteristică precum direcția nu este caracteristică.

O mărime scalară este măsurată printr-o valoare numerică, deci poate fi afișată pe axa de coordonate. De exemplu, foarte des construiesc axa distanței parcurse, temperatură sau timp.

Principalele diferențe între mărimile scalare și vectoriale

Din descrierile date mai sus, se poate observa că principala diferență dintre mărimile vectoriale și mărimile scalare constă în caracteristici. O mărime vectorială are o direcție și un modul, în timp ce o mărime scalară are doar o valoare numerică. Desigur, o mărime vectorială, ca una scalară, poate fi măsurată, dar o astfel de caracteristică nu va fi completă, deoarece nu există nicio direcție.

Pentru a prezenta mai clar diferența dintre o mărime scalară și o mărime vectorială, ar trebui dat un exemplu. Pentru a face acest lucru, luăm un astfel de domeniu de cunoaștere ca climatologie. Dacă spunem că vântul bate cu o viteză de 8 metri pe secundă, atunci se va introduce o valoare scalară. Dar, dacă spunem că vântul de nord bate cu o viteză de 8 metri pe secundă, atunci vom vorbi despre valoarea vectorului.

Vectorii joacă un rol imens în matematica modernă, precum și în multe domenii ale mecanicii și fizicii. Majoritatea mărimilor fizice pot fi reprezentate ca vectori. Acest lucru face posibilă generalizarea și simplificarea substanțială a formulelor și rezultatelor utilizate. Adesea, valorile vectoriale și vectorii sunt identificați între ele. De exemplu, în fizică se aude că viteza sau forța este un vector.