Se spune că puteți împărți la zero dacă determinați rezultatul împărțirii la zero. Trebuie doar să extindem algebra. Printr-o coincidență ciudată, nu este posibil să găsim cel puțin câteva, dar mai bine înțelese și mai simple, exemplu de asemenea extensie. Pentru a repara Internetul, aveți nevoie fie de o demonstrație a uneia dintre metodele pentru o astfel de extensie, fie de o descriere a motivului pentru care acest lucru nu este posibil.

Articolul este scris în continuarea tendinței:

Disclaimer

Scopul acestui articol este de a explica în „limbajul uman” cum funcționează fundamentele fundamentale ale matematicii, de a structura cunoștințele și de a restabili relațiile de cauză-efect ratate între secțiunile matematicii. Toate argumentele sunt filozofice, din punct de vedere al judecăților ele se deosebesc de cele general acceptate (deci, nu pretinde a fi riguroasă din punct de vedere matematic). Articolul este conceput pentru nivelul cititorului „a trecut de turn cu mulți ani în urmă”.

Înțelegerea principiilor aritmeticii, algebrei elementare, generale și liniare, analizei matematice și non-standard, teoriei mulțimilor, topologiei generale, geometriei proiective și afine este de dorit, dar nu este necesară.

În timpul experimentelor, nici măcar un infinit nu a fost afectat.

Prolog

Mersul „dincolo” este un proces natural de căutare a unor noi cunoștințe. Dar nu orice căutare aduce cunoștințe noi și, prin urmare, beneficii.

1. În general, totul a fost deja împărțit la noi!

1.1 Extensie afină a liniei numerice

Să începem cu locul în care probabil încep toți aventurierii când se împart la zero. Amintiți graficul funcției .

La stânga și la dreapta lui zero, funcția merge în direcții diferite de „inexistență”. La zero, există în general un „vârtej” și nimic nu este vizibil.

În loc să ne aruncăm cu capul înainte în „bazin”, să vedem ce curge și ce iese de acolo. Pentru a face acest lucru, folosim limita - instrumentul principal al analizei matematice. „Smecheria” principală este că limita îți permite să mergi cât mai aproape de un punct dat, dar nu să „calci pe el”. Un astfel de „gard” în fața „vârtejului”.

Original

Bine, „gardul” a fost ridicat. Nu mai e atât de înfricoșător. Avem două căi către „vârtej”. Să mergem la stânga - o coborâre abruptă, la dreapta - o urcare abruptă. Indiferent cât de mult ai merge la „gard”, acesta nu se apropie. Nu există nicio modalitate de a traversa „inexistența” inferioară și superioară. Apar suspiciuni, poate mergem în cerc? Deși nu, numerele se schimbă, deci nu într-un cerc. Să scotocim încă în piept cu instrumentele de analiză matematică. Pe lângă limitele cu „gard”, trusa vine cu infinit pozitiv și negativ. Valorile sunt complet abstracte (nu numere), bine formalizate și gata de utilizare! Ne convine. Să completăm „ființa” noastră (mulțimea numerelor reale) cu două infinite semnate.

Limbajul matematic:

Această extensie vă permite să luați limita atunci când argumentul tinde spre infinit și să obțineți infinitul ca urmare a luării limitei.

Există două ramuri ale matematicii care descriu același lucru folosind o terminologie diferită.

A rezuma:

în reziduu uscat. Vechile abordări nu mai funcționează. Complexitatea sistemului, sub forma unui grup de „dacă”, „pentru toți, dar”, etc., a crescut. Aveam doar două incertitudini 1/0 și 0/0 (nu am luat în considerare operațiunile cu putere), așa că au fost cinci. Dezvăluirea unei incertitudini a dat naștere la și mai multe incertitudini.

1.2 Roata

Totul nu s-a oprit la introducerea infinitului nesemnat. Pentru a ieși din incertitudine, ai nevoie de un al doilea vânt.

Deci, avem un set de numere reale și două incertitudini 1/0 și 0/0. Pentru a elimina primul, am efectuat o extensie proiectivă a dreptei reale (adică am introdus infinitul fără semn). Să încercăm să ne ocupăm de a doua incertitudine a formei 0/0. Să facem la fel. Să suplimentăm setul de numere cu un nou element reprezentând a doua incertitudine.

Definiția împărțirii se bazează pe înmulțire. Nu ne convine. Să dezlegăm operațiile una de cealaltă, dar să păstrăm comportamentul obișnuit pentru numerele reale. Să definim o operație de împărțire unară, notată cu „/”.

Să definim operațiunile.

Această structură se numește „Roata”. Termenul a fost luat din cauza asemănării cu imaginea topologică a prelungirii proiective a dreptei reale și a punctului 0/0.

Totul arată bine, dar diavolul este în detalii:

Pentru a stabili toate caracteristicile, pe lângă extinderea setului de elemente, se adaugă un bonus sub forma nu una, ci două identități care descriu legea distributivă.

Limbajul matematic:

Din punct de vedere al algebrei generale, am operat pe teren. Și în teren, după cum știți, sunt definite doar două operații (adunare și înmulțire). Conceptul de divizare este derivat prin elemente inverse și, dacă chiar mai profunde, atunci elemente individuale. Modificările făcute transformă sistemul nostru algebric într-un monoid atât în ​​plus (cu zero ca element neutru), cât și în înmulțire (cu unitatea ca element neutru).

În lucrările descoperitorilor, simbolurile ∞ și ⊥ nu sunt întotdeauna folosite. În schimb, puteți vedea intrarea sub forma /0 și 0/0.

Lumea nu mai este atât de frumoasă, nu-i așa? Totuși, nu te grăbi. Să verificăm dacă noile identități ale legii distributive vor face față setului nostru extins .

De data aceasta rezultatul este mult mai bun.

A rezuma:

în reziduu uscat. Algebra funcționează excelent. Cu toate acestea, a fost luat ca bază conceptul de „nedefinit”, care a început să fie considerat ca ceva existent și să opereze cu el. Într-o zi cineva va spune că totul este rău și trebuie să despărțiți acest „nedefinit” în mai multe „nedefinite”, dar mai mici. Algebra generală va spune: „Nici o problemă, frate!”.
Acesta este modul în care sunt postulate unități imaginare suplimentare (j și k) în cuaternioni Adaugă etichete

O interdicție strictă a împărțirii la zero este impusă chiar și în clasele inferioare ale școlii. Copiii de obicei nu se gândesc la motivele sale, dar de fapt, a ști de ce ceva este interzis este atât interesant, cât și util.

Operatii aritmetice

Operațiile aritmetice care se studiază la școală sunt inegale din punctul de vedere al matematicienilor. Ei recunosc ca fiind cu drepturi depline doar două dintre aceste operații - adunarea și înmulțirea. Ele sunt incluse în însuși conceptul de număr, iar toate celelalte operațiuni cu numere sunt construite cumva pe aceste două. Adică nu numai împărțirea la zero este imposibilă, ci și împărțirea în general.

Scăderea și împărțirea

Ce lipsește din restul activităților? Din nou, se știe de la școală că, de exemplu, a scădea patru din șapte înseamnă a lua șapte dulciuri, a mânca patru dintre ele și a număra cele rămase. Dar matematicienii mănâncă dulciuri și, în general, le percep într-un mod complet diferit. Pentru ei, există doar adunare, adică intrarea 7 - 4 înseamnă un număr care, în total cu numărul 4, va fi egal cu 7. Adică, pentru matematicieni, 7 - 4 este o scurtă înregistrare a ecuației : x + 4 = 7. Aceasta nu este o scădere, ci o sarcină Găsiți numărul pentru a înlocui x.

Același lucru este valabil și pentru împărțirea și înmulțirea. Împărțind zece câte două, elevul din școala elementară aranjează zece bomboane în două grămezi identice. Matematicianul vede și aici ecuația: 2 x = 10.

Deci, se pare de ce împărțirea la zero este interzisă: este pur și simplu imposibilă. Înregistrarea 6: 0 ar trebui să se transforme în ecuația 0 x = 6. Adică trebuie să găsiți un număr care poate fi înmulțit cu zero și să obțineți 6. Dar se știe că înmulțirea cu zero dă întotdeauna zero. Aceasta este proprietatea esențială a lui zero.

Astfel, nu există un astfel de număr, care, înmulțit cu zero, ar da un alt număr decât zero. Aceasta înseamnă că această ecuație nu are o soluție, nu există un astfel de număr care să se coreleze cu notația 6: 0, adică nu are sens. Despre lipsa de sens și spun ei când interzic împărțirea la zero.

Zerul se împarte la zero?

Se poate împărți zero la zero? Ecuația 0 x = 0 nu provoacă dificultăți și puteți lua același zero pentru x și obțineți 0 x 0 = 0. Atunci 0: 0 = 0? Dar, dacă, de exemplu, luăm unul pentru x, obținem și 0 1 = 0. Puteți lua orice număr doriți pentru x și împărțim la zero, iar rezultatul va rămâne același: 0: 0 = 9, 0 : 0 = 51, și așa Mai departe.

Astfel, absolut orice număr poate fi inserat în această ecuație și este imposibil să alegeți unul anume, este imposibil să determinați ce număr este indicat de notația 0: 0. Adică, această notație, de asemenea, nu are sens și împărțirea la zero este încă imposibilă: nici măcar nu este divizibilă prin ea însăși.

Aceasta este o caracteristică importantă a operației de împărțire, adică înmulțirea și numărul zero asociat acesteia.

Rămâne întrebarea: dar se poate scădea? Putem spune că matematica adevărată începe cu această întrebare interesantă. Pentru a găsi răspunsul la acesta, trebuie să cunoașteți definițiile matematice formale ale mulțimilor numerice și să vă familiarizați cu operațiile asupra acestora. De exemplu, nu există doar cele simple, ci și a căror împărțire diferă de împărțirea celor obișnuite. Acest lucru nu este inclus în programa școlară, dar cursurile universitare de matematică încep cu aceasta.

De fapt, povestea împărțirii la zero și-a bântuit inventatorii (a). Dar indienii sunt filozofi obișnuiți cu probleme abstracte. Ce înseamnă a împărți la nimic? Pentru europenii de atunci, o astfel de întrebare nu exista deloc, deoarece nu știau despre zero sau numere negative (care sunt la stânga zero pe scară).

În India, scăderea unui număr mai mare dintr-unul mai mic și obținerea unui număr negativ nu a fost o problemă. La urma urmei, ce înseamnă 3-5 \u003d -2 în viața obișnuită? Aceasta înseamnă că cineva îi datora cuiva 2. Numerele negative se numeau datorii.

Acum să ne ocupăm la fel de simplu de problema împărțirii la zero. În 598 d.Hr. (gândiți-vă doar la cât timp în urmă, acum mai bine de 1400 de ani!) În India, s-a născut matematicianul Brahmagupta, care s-a întrebat și despre împărțirea la zero.

Ne-a sugerat ca daca luam o lamaie si incepem sa o taiem bucatele, mai devreme sau mai tarziu vom ajunge la faptul ca feliile vor fi foarte mici. În imaginație, putem ajunge la punctul în care segmentele devin egale cu zero. Deci, întrebarea este, dacă împărțiți o lămâie nu în 2, 4 sau 10 părți, ci într-un număr infinit de părți, ce dimensiune au feliile?

Veți obține un număr infinit de „zero felii”. Totul este destul de simplu, tăiem lămâia foarte fin, obținem o băltoacă cu un număr infinit de părți.

Dar dacă te apuci de matematică, se dovedește cumva ilogic

a*0=0? Ce se întâmplă dacă b*0=0? Deci: a*0=b*0. Si de aici: a=b. Adică, orice număr este egal cu orice număr. Prima incorectitudine a împărțirii la zero, să mergem mai departe. În matematică, împărțirea este considerată inversul înmulțirii.

Aceasta înseamnă că dacă împărțim 4 la 2, trebuie să găsim numărul care, înmulțit cu 2, va da 4. Împărțiți 4 la zero - trebuie să găsiți un număr care, atunci când este înmulțit cu zero, va da 4. Adică x * 0 \u003d 4? Dar x*0=0! Din nou ghinion. Deci întrebăm: „Câte zerouri trebuie să luați pentru a obține 4?” Infinit? Un număr infinit de zerouri se va aduna în continuare până la zero.

Și împărțirea 0 la 0 dă în general incertitudine, deoarece 0 * x \u003d 0, unde x este orice. Adică există un număr infinit de soluții.

Ilogic și abstract operațiile zero nu sunt permise în limitele înguste ale algebrei, mai precis este o operație nedefinită. Are nevoie de un dispozitiv. mai serios - matematica superioara. Deci, într-un fel, nu poți împărți la zero, dar dacă vrei cu adevărat, atunci poți împărți la zero, dar trebuie să fii pregătit să înțelegi lucruri precum funcția delta Dirac și alte lucruri care sunt greu de realizat. Distribuie pentru sanatate.

„Nu poți împărți la zero!” - majoritatea elevilor memorează această regulă pe de rost, fără să pună întrebări. Toți copiii știu ce este „nu” și ce se va întâmpla dacă întrebați ca răspuns la acesta: „De ce?” Dar, de fapt, este foarte interesant și important să știm de ce este imposibil.

Chestia este că cele patru operații de aritmetică - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea - sunt de fapt inegale. Matematicienii recunosc doar două dintre ele ca fiind cu drepturi depline - adunarea și înmulțirea. Aceste operații și proprietățile lor sunt incluse în însăși definiția conceptului de număr. Toate celelalte acțiuni sunt construite într-un fel sau altul din aceste două.

Luați în considerare, de exemplu, scăderea. Ce înseamnă 5 – 3 ? Elevul va răspunde simplu: trebuie să luați cinci articole, să luați (eliminați) trei dintre ele și să vedeți câte au mai rămas. Dar matematicienii privesc această problemă într-un mod complet diferit. Nu există nicio scădere, doar adunare. Prin urmare, intrarea 5 – 3 înseamnă un număr care, atunci când este adăugat unui număr 3 va da numarul 5 . i.e 5 – 3 este doar o prescurtare pentru ecuația: x + 3 = 5. Nu există nicio scădere în această ecuație. Există doar o sarcină - să găsești un număr potrivit.

Același lucru este valabil și cu înmulțirea și împărțirea. Înregistrare 8: 4 poate fi înțeles ca rezultat al împărțirii a opt obiecte în patru grămezi egale. Dar este de fapt doar o formă scurtă a ecuației 4 x = 8.

Aici devine clar de ce este imposibil (sau mai degrabă imposibil) să se împartă la zero. Înregistrare 5: 0 este o abreviere pentru 0 x = 5. Adică, această sarcină este de a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu 0 va da 5 . Dar știm că atunci când este înmulțit cu 0 se dovedește întotdeauna 0 . Aceasta este o proprietate inerentă a lui zero, strict vorbind, parte a definiției sale.

Un număr care, înmulțit cu 0 va da altceva decât nul, pur și simplu nu există. Adică problema noastră nu are soluție. (Da, se întâmplă, nu orice problemă are o soluție.) 5: 0 nu corespunde unui anumit număr și pur și simplu nu reprezintă nimic și, prin urmare, nu are sens. Lipsa de sens a acestei intrări este exprimată pe scurt spunând că nu puteți împărți la zero.

Cei mai atenți cititori în acest moment se vor întreba cu siguranță: este posibil să împărțim zero la zero? Într-adevăr, din moment ce ecuația 0 x = 0 rezolvat cu succes. De exemplu, puteți lua x=0, și apoi obținem 0 0 = 0. Se dovedește 0: 0=0 ? Dar să nu ne grăbim. Să încercăm să luăm x=1. obține 0 1 = 0. Corect? Mijloace, 0: 0 = 1 ? Dar poți lua orice număr și poți obține 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 etc.

Dar dacă orice număr este potrivit, atunci nu avem niciun motiv să optăm pentru unul dintre ele. Adică, nu putem spune ce număr corespunde înregistrării 0: 0 . Și dacă da, atunci suntem forțați să admitem că nici această înregistrare nu are sens. Se pare că nici măcar zero nu poate fi împărțit la zero. (În analiza matematică, există cazuri când, din cauza unor condiții suplimentare ale problemei, se poate da preferință uneia dintre opțiunile posibile de rezolvare a ecuației 0 x = 0; în astfel de cazuri, matematicienii vorbesc despre „dezvăluirea nedeterminarii”, dar în aritmetică astfel de cazuri nu apar.)

Aceasta este caracteristica operațiunii de divizare. Pentru a fi mai precis, operația de înmulțire și numărul asociat acesteia au zero.

Ei bine, cel mai meticulos, citind până în acest punct, se poate întreba: de ce nu poți împărți la zero, dar poți scădea zero? Într-un fel, aici începe matematica adevărată. Se poate răspunde numai prin familiarizarea cu definițiile matematice formale ale mulțimilor numerice și operațiile asupra acestora. Nu este atât de dificil, dar din anumite motive nu se studiază la școală. Dar în cursurile de matematică de la universitate, veți fi predat acest lucru în primul rând.

Matematicienii au un simț al umorului specific și unele probleme legate de calcule nu au fost luate în serios de mult. Nu este întotdeauna clar dacă încearcă să vă explice cu toată seriozitatea de ce este imposibil să împărțiți la zero sau aceasta este o altă glumă. Dar întrebarea în sine nu este atât de evidentă, dacă în matematica elementară este posibil să se ajungă la soluția ei pur logic, atunci în matematica superioară pot exista și alte condiții inițiale.

Când a apărut zero?

Numărul zero este plin de multe mistere:

• În Roma antică, acest număr nu era cunoscut, sistemul de referință a început cu I.
• Arabii și indienii au susținut pentru mult timp dreptul de a fi numiți progenitorii lui zero.
• Studiile culturii Maya au arătat că această civilizație antică ar putea fi prima în ceea ce privește utilizarea lui zero.
• Zero nu are valoare numerică, nici măcar minimă.
• Nu înseamnă literalmente nimic, absența lucrurilor de numărat.

În sistemul primitiv nu era nevoie specială de o astfel de figură, absența a ceva putea fi explicată cu ajutorul cuvintelor. Dar odată cu apariția civilizațiilor, nevoile umane au crescut și în ceea ce privește arhitectura și inginerie.

Pentru a efectua calcule mai complexe și a deriva noi funcții, a fost nevoie un număr care ar indica absența completă a ceva.

Este posibil să împărțim la zero?

Din acest cont, există două opinii diametral opuse:

La școală, chiar și în clasele primare, se învață că împărțirea la zero este imposibilă în orice caz. Acest lucru este explicat foarte simplu:

1. Imaginează-ți că ai 20 de felii de mandarină.
2. Împărțindu-le la 5, vei distribui 4 felii la cinci prieteni.
3. Împărțirea la zero nu va funcționa, deoarece procesul de împărțire între cineva nu va funcționa.

Desigur, aceasta este o explicație figurată, în mare măsură simplificată și nu în totalitate conformă cu realitatea. Dar explică în cel mai accesibil mod lipsa de sens a împărțirii ceva la zero.

La urma urmei, de fapt, în acest fel este posibil să denotăm faptul că absența diviziunii. Și de ce să complici calculele matematice și să notezi și absența diviziunii?

Se poate împărți zeroul la un număr?

Din punctul de vedere al matematicii aplicate, orice diviziune la care ia parte zero nu are prea mult sens. Dar manualele școlare sunt fără echivoc în opinia lor:

• Zero poate fi împărțit.
• Orice număr ar trebui folosit pentru împărțire.
• Nu poți împărți zero la zero.

Al treilea punct poate provoca o ușoară nedumerire, deoarece doar câteva paragrafe de mai sus s-a indicat că o astfel de împărțire este destul de posibilă. De fapt, totul depinde de disciplina în care faci calcule.

În acest caz, este cu adevărat mai bine ca școlari să scrie asta expresia nu poate fi determinată și, prin urmare, nu are sens. Dar în unele ramuri ale științei algebrice este permisă scrierea unei astfel de expresii, cu împărțirea lui zero la zero. Mai ales când vine vorba de calculatoare și limbaje de programare.

Necesitatea de a împărți zero la un număr poate apărea în timpul rezolvării oricăror egalități și în căutarea valorilor inițiale. Dar în acest caz, răspunsul va fi întotdeauna zero. Aici, ca și în cazul înmulțirii, indiferent de numărul cu care împărțiți zero, nu veți ajunge cu mai mult de zero. Prin urmare, dacă acest număr prețuit este observat într-o formulă uriașă, încercați să „estimați” rapid dacă toate calculele vor fi reduse la o soluție foarte simplă.

Dacă infinitul este împărțit la zero

A fost necesar să menționăm puțin mai devreme valorile infinit de mari și infinit de mici, deoarece acest lucru deschide și unele lacune pentru divizare, inclusiv utilizarea zero. Este adevărat, și există o mică problemă, pentru că valoarea infinitezimală și absența completă a valorii sunt concepte diferite.

Dar această mică diferență în condițiile noastre poate fi neglijată, în cele din urmă, calculele sunt efectuate folosind cantități abstracte:

• Numătorul trebuie să aibă semnul infinitului.
• Numitorii sunt o imagine simbolică a unei valori care tinde spre zero.
• Răspunsul va fi infinit, reprezentând o funcție infinit de mare.

De remarcat că încă vorbim despre afișarea simbolică a unei funcții infinitezimale, și nu despre utilizarea zero. Nimic nu s-a schimbat cu acest semn, încă nu poate fi împărțit în el, doar ca excepții foarte, foarte rare.

În cea mai mare parte, zero este folosit pentru a rezolva problemele care sunt în plan pur teoretic. Poate că, după decenii sau chiar secole, toate calculele moderne vor găsi aplicații practice și vor oferi un fel de descoperire grandioasă în știință.

Între timp, majoritatea geniilor matematice visează doar la recunoașterea lumii. O excepție de la aceste reguli este compatriotul nostru, Perelman. Dar el este cunoscut datorită soluționării unei probleme cu adevărat epoci cu dovezile conjecturei Poinquere și comportamentul extravagant.

Paradoxurile și lipsa de sens a împărțirii la zero

Împărțirea cu zero, în cea mai mare parte, nu are sens:

• diviziunea este reprezentată ca funcție inversă înmulțirii.
• Putem înmulți orice număr cu zero și obținem zero în răspuns.
• După aceeași logică, se poate împărți orice număr la zero.
• În astfel de condiții, nu ar fi greu de concluzionat că orice număr înmulțit sau împărțit la zero este egal cu orice alt număr pe care a fost efectuată această operație.
• Renunțăm la acțiunea matematică și obținem o concluzie interesantă - orice număr este egal cu orice număr.

Pe lângă crearea unor astfel de incidente, împărțirea la zero nu are valoare practică, din cuvântul în general. Chiar dacă puteți efectua această acțiune, nu veți primi informații noi.

Din punctul de vedere al matematicii elementare, în timpul împărțirii la zero, întregul obiect este împărțit de zero ori, adică nici măcar o dată. Pur și simplu pune - nici un proces de divizare, prin urmare, rezultatul acestui eveniment nu poate fi.

Fiind în aceeași societate cu un matematician, poți oricând să pui câteva întrebări banale, de exemplu, de ce nu poți împărți la zero și să obții un răspuns interesant și ușor de înțeles. Sau iritabilitate, pentru că probabil că nu este prima dată când o persoană este întrebat acest lucru. Și nici măcar zece. Așa că ai grijă de prietenii tăi matematicieni, nu-i face să repete o explicație de sute de ori.

Video: împărțiți la zero

În acest videoclip, matematicianul Anna Lomakova vă va spune ce se întâmplă dacă împărțiți un număr la zero și de ce nu se poate face acest lucru, din punctul de vedere al matematicii: