Simbolismul geneticii

Simbolismul este o listă și o explicație a numelor și termenilor convenționali folosiți în orice ramură a științei.

Bazele simbolismului genetic au fost puse de Gregor Mendel, care a folosit simbolismul alfabetic pentru a desemna trăsăturile. Trăsături dominante au fost desemnate cu majuscule ale alfabetului latin A, B, C etc., recesiv- cu litere mici - a, b, c etc. Simbolismul literelor, propus de Mendel, este în esență o formă algebrică de exprimare a legilor moștenirii caracteristicilor.

Următorul simbolism este folosit pentru a indica trecerea.

Părinţi sunt desemnate prin litera latină P (Părinți - părinți), apoi genotipurile lor sunt notate lângă ele. Femeie notat cu simbolul ♂ (oglinda lui Venus), masculin- ♀ (scut și sulița lui Marte). Un „x” este plasat între părinți pentru a indica încrucișarea. Genotipul feminin este scris pe primul loc, iar cel masculin pe al doilea.

Mai întâi degenunchi desemnat F1 (Filli - copii), a doua generație - F2 etc. Denumirile genotipurilor descendenților sunt date în apropiere.

Glosar de termeni și concepte de bază

Semne alternative– caracteristici care se exclud reciproc, contrastante.

Gameti(din greaca " gameti„- soțul/soția) este o celulă reproductivă a unui organism vegetal sau animal care poartă o genă dintr-o pereche alelică. Gameții poartă întotdeauna gene într-o formă „pură”, deoarece sunt formați prin diviziunea celulară meiotică și conțin unul dintr-o pereche de cromozomi omologi.

Gene(din greaca " genos„- nașterea) este o secțiune a unei molecule de ADN care poartă informații despre structura primară a unei proteine ​​specifice.

Genele alelice– gene pereche situate în regiuni identice ale cromozomilor omologi.

Genotip- un set de înclinații ereditare (gene) ale unui organism.

heterozigot(din greaca " heteros" - altul și zigot) - un zigot care are două alele diferite pentru o anumită genă ( Aa, Bb).

homozigot(din greaca " homos" - identic și zigot) - un zigot care are aceleași alele ale unei anumite gene (ambele dominante sau ambele recesive).

Cromozomi omologi(din greaca " homos" - identice) - cromozomi perechi, identici ca formă, mărime, set de gene. Într-o celulă diploidă, setul de cromozomi este întotdeauna pereche: un cromozom este dintr-o pereche de origine maternă, al doilea este de origine paternă.

Trăsătură dominantă (gena) – predominant, manifestând - indicat cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, etc.

Trăsătură recesivă (genă) – semnul suprimat este indicat de litera minusculă corespunzătoare a alfabetului latin: A,bCu etc

Analizând traversarea– încrucișarea organismului testat cu altul, care este un homozigot recesiv pentru o trăsătură dată, ceea ce face posibilă stabilirea genotipului persoanei testate.

Traversare dihibridă– încrucișarea formelor care diferă unele de altele în două perechi de caracteristici alternative.

Traversare monohibridă– încrucișarea formelor care diferă unele de altele într-o pereche de caracteristici alternative.

Fenotip- totalitatea tuturor semnelor și proprietăților externe ale unui organism accesibil observației și analizei.

ü Algoritm pentru rezolvarea problemelor genetice

1. Citiți cu atenție nivelul sarcinii.

2. Notați pe scurt condițiile problemei.

3. Înregistrați genotipurile și fenotipurile indivizilor încrucișați.

4. Identificați și înregistrați tipurile de gameți care sunt produși de indivizii încrucișați.

5. Determinați și înregistrați genotipurile și fenotipurile descendenților obținuți din încrucișare.

6. Analizați rezultatele încrucișării. Pentru a face acest lucru, determinați numărul de clase de descendenți în funcție de fenotip și genotip și scrieți-le ca raport numeric.

7. Notează răspunsul la întrebarea problemă.

(La rezolvarea problemelor pe anumite subiecte, succesiunea etapelor se poate modifica și conținutul acestora poate fi modificat.)

ü Sarcini de formatare

1. Se obișnuiește să se înregistreze mai întâi genotipul individului feminin și apoi cel masculin ( intrare corectă - ♀ААВВ x ♂аавв; Intrare invalida - ♂aavv x ♀AABB).

2. Genele unei perechi alelice sunt întotdeauna scrise una lângă alta (introducerea corectă - ♀ААВВ; intrarea incorectă ♀ААВВ).

3. La înregistrarea unui genotip, literele care denotă trăsături sunt întotdeauna scrise în ordine alfabetică, indiferent de ce trăsătură - dominantă sau recesivă - denotă ( intrare corectă - ♀ааВВ; intrare incorectă -♀ VVaa).

4. Dacă se cunoaște doar fenotipul unui individ, atunci când se înregistrează genotipul acestuia sunt scrise doar acele gene a căror prezență este incontestabilă. O genă care nu poate fi determinată prin fenotip este desemnată cu „_”(de exemplu, dacă culoarea galbenă (A) și forma netedă (B) a semințelor de mazăre sunt trăsături dominante, iar culoarea verde (a) și forma încrețită (c) sunt recesive, atunci genotipul unui individ cu semințe galbene și ridate se scrie astfel: A_vv).

5. Fenotipul se scrie întotdeauna sub genotip.

6. Gameții se scriu încercuind (A).

7. La indivizi se determină și se înregistrează tipurile de gameți, nu numărul acestora

introducere corectă intrare incorectă

♀AA ♀AA

A A A

8. Fenotipurile și tipurile de gameți sunt scrise strict sub genotipul corespunzător.

9. Se înregistrează progresul rezolvării problemei cu justificarea fiecărei concluzii și a rezultatelor obținute.

10. Rezultatele încrucișării sunt întotdeauna caracter probabilisticși sunt exprimate fie ca procent, fie ca fracție dintr-o unitate (de exemplu, probabilitatea de a produce descendenți susceptibili la smut este de 50% sau ½. Raportul dintre clasele de descendenți este scris ca o formulă de segregare (de exemplu, galben -plante cu sămânță și cu semințe verzi în raport de 1:1).

Un exemplu de rezolvare și formatare a problemelor

Sarcină. La pepene verde, culoarea verde (A) domină asupra culorii dungi. Determinați genotipurile și fenotipurile F1 și F2 obținute din încrucișarea plantelor homozigote cu fructe verzi și dungi.

Cursul foloseste limbaj geometric, compus din notații și simboluri adoptate la un curs de matematică (în special, la noul curs de geometrie din liceu).

Întreaga varietate de denumiri și simboluri, precum și conexiunile dintre ele, pot fi împărțite în două grupuri:

grupa I - denumirile figurilor geometrice și relațiile dintre ele;

grupa a II-a desemnări ale operaţiilor logice care formează baza sintactică a limbajului geometric.

Mai jos este o listă completă a simbolurilor matematice utilizate în acest curs. O atenție deosebită este acordată simbolurilor care sunt folosite pentru a indica proiecțiile figurilor geometrice.

Grupa I

SIMBOLULE CARE INDICĂ FIGURELE GEOMETRICE ȘI RELAȚIILE DINTRE ELE

A. Desemnarea figurilor geometrice

1. O figură geometrică este desemnată - F.

2. Punctele sunt indicate cu majuscule ale alfabetului latin sau cu cifre arabe:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Liniile situate în mod arbitrar în raport cu planurile de proiecție sunt desemnate cu litere mici ale alfabetului latin:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Liniile de nivel sunt desemnate: h - orizontală; f- fata.

Următoarele notații sunt, de asemenea, folosite pentru linii drepte:

(AB) - o linie dreaptă care trece prin punctele A și B;

[AB) - rază cu început în punctul A;

[AB] - un segment de linie dreaptă delimitat de punctele A și B.

4. Suprafețele sunt desemnate cu litere mici ale alfabetului grecesc:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Pentru a sublinia modul în care este definită o suprafață, trebuie indicate elementele geometrice prin care este definită, de exemplu:

α(a || b) - planul α este determinat de drepte paralele a și b;

β(d 1 d 2 gα) - suprafața β este determinată de ghidajele d 1 și d 2, generatorul g și planul de paralelism α.

5. Unghiurile sunt indicate:

∠ABC - unghi cu vârful în punctul B, precum și ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Unghiar: valoarea (măsura gradului) este indicată de semnul, care este plasat deasupra unghiului:

Mărimea unghiului ABC;

Mărimea unghiului φ.

Un unghi drept este marcat cu un pătrat cu un punct în interior

7. Distanțele dintre figurile geometrice sunt indicate prin două segmente verticale - ||.

De exemplu:

|AB| - distanta dintre punctele A si B (lungimea segmentului AB);

|Aa| - distanta de la punctul A la linia a;

|Aα| - distante de la punctul A la suprafata α;

|ab| - distanta dintre liniile a si b;

|αβ| distanța dintre suprafețele α și β.

8. Pentru planurile de proiecție se acceptă următoarele denumiri: π 1 și π 2, unde π 1 este planul orizontal de proiecție;

π 2 - plan de proiecție frontală.

La înlocuirea planurilor de proiecție sau la introducerea de noi planuri, acestea din urmă sunt desemnate π 3, π 4 etc.

9. Axele de proiecție sunt desemnate: x, y, z, unde x este axa absciselor; y - axa ordonatelor; z - aplica axa.

Diagrama cu linie dreaptă constantă a lui Monge se notează cu k.

10. Proiecțiile de puncte, linii, suprafețe, orice figură geometrică sunt indicate prin aceleași litere (sau numere) ca și originalul, cu adăugarea unui superscript corespunzător planului de proiecție pe care au fost obținute:

A", B", C", D", ... , L", M", N", proiecții orizontale ale punctelor; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... proiecții frontale ale punctelor; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - proiecții orizontale ale liniilor; a" , b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... proiecții frontale ale liniilor; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... proiecții orizontale ale suprafețelor; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... proiecții frontale ale suprafețelor.

11. Urmele planelor (suprafețelor) sunt desemnate prin aceleași litere ca orizontală sau frontală, cu adăugarea indicelui 0α, subliniind că aceste drepte se află în planul de proiecție și aparțin planului (suprafaței) α.

Deci: h 0α - urmă orizontală a planului (suprafeței) α;

f 0α - urma frontală a planului (suprafaței) α.

12. Urmele de linii drepte (linii) sunt indicate prin majuscule, cu care încep cuvintele care definesc denumirea (în transcriere latină) planului de proiecție pe care linia îl intersectează, cu un indice care indică apartenența la linie.

De exemplu: H a - urmă orizontală a unei drepte (linie) a;

F a - urmă frontală a dreptei (liniei) a.

13. Secvența de puncte, linii (orice figură) este marcată cu indicele 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

a 1, a 2, a 3,...,a n;

Ф 1, Ф 2, Ф 3,..., Ф n etc.

Proiecția auxiliară a unui punct, obținută ca urmare a transformării pentru a obține valoarea reală a unei figuri geometrice, se notează cu aceeași literă cu indicele 0:

A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...

Proiecții axonometrice

14. Proiecțiile axonometrice ale punctelor, liniilor, suprafețelor sunt notate cu aceleași litere ca natura, cu adăugarea unui superscript 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Proiecțiile secundare sunt indicate prin adăugarea unui superscript 1:

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Pentru a facilita citirea desenelor din manual, la proiectarea materialului ilustrativ se folosesc mai multe culori, fiecare având un anumit sens semantic: liniile negre (punctele) indică datele originale; culoarea verde este folosită pentru liniile construcțiilor grafice auxiliare; liniile roșii (punctele) arată rezultatele construcțiilor sau acele elemente geometrice cărora ar trebui să se acorde o atenție deosebită.

B. Simboluri care denotă relații între figuri geometrice

No. de por.	Desemnare	Conţinut	Exemplu de notație simbolică
1	≡	Meci	(AB)≡(CD) - o linie dreaptă care trece prin punctele A și B, coincide cu dreapta care trece prin punctele C și D
2	≅	congruente	∠ABC≅∠MNK - unghiul ABC este congruent cu unghiul MNK
3	∼	Similar	ΔАВС∼ΔMNK - triunghiurile АВС și MNK sunt similare
4	||	Paralel	α||β - planul α este paralel cu planul β
5	⊥	Perpendicular	a⊥b - dreptele a și b sunt perpendiculare
6		Încrucișare	c d - liniile drepte c și d se intersectează
7		Tangente	t l - linia t este tangentă la dreapta l. βα - plan β tangent la suprafața α
8	→	Afișat	F 1 → F 2 - figura F 1 este mapată la figura F 2
9	S	Centrul de proiecție. Dacă centrul de proiecție este un punct nepotrivit, atunci poziția sa este indicată printr-o săgeată, indicând direcția de proiecție	-
10	s	Direcția de proiecție	-
11	P	Proiecție paralelă	р s α Proiecție paralelă - proiecție paralelă pe planul α în direcția s

B. Notația teoretică a mulțimilor

No. de por.	Desemnare	Conţinut	Exemplu de notație simbolică	Exemplu de notație simbolică în geometrie
1	M,N	Seturi	-	-
2	A,B,C,...	Elementele setului	-	-
3	{ ... }	Cuprinde...	Ф(A, B, C,...)	Ф(A, B, C,...) - figura Ф constă din punctele A, B, C, ...
4	∅	Set gol	L - ∅ - mulțimea L este goală (nu conține elemente)	-
5	∈	Aparține, este un element	2∈N (unde N este mulțimea numerelor naturale) - numărul 2 aparține mulțimii N	A ∈ a - punctul A aparține dreptei a (punctul A se află pe linia a)
6	⊂	Include, conține	N⊂M - mulțimea N este parte (submulțime) a mulțimii M din toate numerele raționale	a⊂α - dreapta a aparține planului α (înțeles în sensul: multimea de puncte a dreptei a este o submultime a punctelor planului α)
7	∪	O asociere	C = A U B - mulțimea C este o unire de mulțimi A și B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5)	ABCD = ∪ [ВС] ∪ - linie întreruptă, ABCD este combinarea segmentelor [AB], [BC],
8	∩	Intersectia multora	M=K∩L - mulțimea M este intersecția mulțimilor K și L (contine elemente apartinand atat multimii K cat si multimii L). M ∩ N = ∅ - intersecția mulțimilor M și N este mulțimea goală (mulțimile M și N nu au elemente comune)	a = α ∩ β - dreapta a este intersecția planele α și β a ∩ b = ∅ - dreptele a și b nu se intersectează (nu au puncte comune)

Grupa a II-a SIMBOLULE INDICATIVE OPERAȚII LOGICE

No. de por.	Desemnare	Conţinut	Exemplu de notație simbolică
1	∧	Conjuncția de propoziții; corespunde conjuncției „și”. O propoziție (p∧q) este adevărată dacă și numai dacă p și q sunt ambele adevărate	α∩β = (К:K∈α∧K∈β) Intersecția suprafețelor α și β este o mulțime de puncte (linie), constând din toate acele și numai acele puncte K care aparțin atât suprafeței α cât și suprafeței β
2	∨	Disjuncția propozițiilor; se potrivește cu conjuncția „sau”. Propoziție (p∨q) adevărat atunci când cel puțin una dintre propozițiile p sau q este adevărată (adică fie p sau q, fie ambele).	-
3	⇒	Implicația este o consecință logică. Propoziția p⇒q înseamnă: „dacă p, atunci q”	(a||c∧b||c)⇒a||b. Dacă două linii sunt paralele cu o a treia, atunci sunt paralele între ele
4	⇔	Propoziția (p⇔q) se înțelege în sensul: „dacă p, atunci și q; dacă q, atunci și p”	А∈α⇔А∈l⊂α. Un punct aparține unui plan dacă aparține unei drepte aparținând acestui plan. Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă un punct aparține unei anumite drepte, aparținând planului, atunci aparține planului însuși
5	∀	Cuantificatorul general spune: pentru toată lumea, pentru toată lumea, pentru oricine. Expresia ∀(x)P(x) înseamnă: „pentru fiecare x: proprietatea P(x) este valabilă”	∀(ΔАВС)( = 180°) Pentru orice (pentru orice) triunghi, suma valorilor unghiurilor sale la vârfuri este egal cu 180°
6	∃	Cuantificatorul existențial spune: există. Expresia ∃(x)P(x) înseamnă: „există un x care are proprietatea P(x)”	(∀α)(∃a).Pentru orice plan α există o dreaptă a care nu aparține planului α și paralel cu planul α
7	∃1	Cuantificatorul unicității existenței, spune: există doar unul (-i, -th)... Expresia ∃1(x)(Рх) înseamnă: „există doar unul (doar unul) x, având proprietatea Px"	(∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Pentru oricare două puncte diferite A și B, există o dreaptă unică a, trecând prin aceste puncte.
8	(Px)	Negația afirmației P(x)	ab(∃α)(α⊃a, b). Dacă liniile a și b se intersectează, atunci nu există niciun plan a care le conține
9	\	Negarea semnului	≠ -segmentul [AB] nu este egal cu segmentul .a?b - linia a nu este paralelă cu dreapta b

Simbolism genetic

Simbolismul este o listă și o explicație a numelor și termenilor convenționali folosiți în orice ramură a științei.

Bazele simbolismului genetic au fost puse de Gregor Mendel, care a folosit simbolismul alfabetic pentru a desemna trăsăturile. Trăsăturile dominante au fost desemnate cu majuscule ale alfabetului latin A, B, C etc., caractere recesive - cu litere mici - a, b, c etc. Simbolismul literal, propus de Mendel, este în esență o formă algebrică de exprimare a legilor moștenirii caracteristicilor.

Următorul simbolism este folosit pentru a indica încrucișarea.

Părinții sunt desemnați prin litera latină P (Părinți - părinți), apoi genotipurile lor sunt notate lângă ei. Genul feminin este desemnat prin simbolul ♂ (oglinda lui Venus), genul masculin prin ♀ (scutul și sulița lui Marte). Un „x” este plasat între părinți pentru a indica încrucișarea. Genotipul feminin este scris pe primul loc, iar cel masculin pe al doilea.

Prima generație este desemnată F 1 (Filli - copii), a doua generație - F 2 etc. În apropiere se află denumirile genotipurilor descendenților.

Glosar de termeni și concepte de bază

Alele (gene alelice)- forme diferite ale unei gene, rezultate din mutații și situate în puncte (loci) identice ale cromozomilor omologi perechi.

Semne alternative– caracteristici care se exclud reciproc, contrastante.

Gametes (din grecescul „gametes” „- soțul/soția) este o celulă reproductivă a unui organism vegetal sau animal care poartă o genă dintr-o pereche alelică. Gameții poartă întotdeauna gene într-o formă „pură”, deoarece sunt formate prin diviziunea celulară meiotică și conțin unul dintr-o pereche de cromozomi omologi.

Gen (din grecescul „genos” „- nașterea) este o secțiune a unei molecule de ADN care poartă informații despre structura primară a unei proteine ​​specifice.

Genele alelice – gene pereche situate în regiuni identice ale cromozomilor omologi.

Genotip - un set de înclinații ereditare (gene) ale unui organism.

Heterozigot (din grecescul „heteros” " - altul și zigot) - un zigot care are două alele diferite pentru o anumită genă ( Aa, Bb).

Heterozigotsunt indivizi care au primit gene diferite de la părinții lor. Un individ heterozigot la descendenții săi produce segregare pentru această trăsătură.

Homozigot (din grecescul "homos" " - identic și zigot) - un zigot care are aceleași alele ale unei anumite gene (ambele dominante sau ambele recesive).

Homozigot sunt numiți indivizi care au primit de la părinți aceleași înclinații ereditare (gene) pentru o anumită trăsătură. Un individ homozigot nu produce clivaj la descendenții săi.

Cromozomi omologi(din greaca „homos” " - identic) - cromozomi perechi, identici ca formă, mărime, set de gene. Într-o celulă diploidă, setul de cromozomi este întotdeauna pereche: un cromozom este dintr-o pereche de origine maternă, al doilea este de origine paternă.

Heterozigotsunt indivizi care au primit gene diferite de la părinții lor. Astfel, după genotip, indivizii pot fi homozigoți (AA sau aa) sau heterozigoți (Aa).

Trăsătură dominantă (gena) – predominant, manifestând - indicat cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C etc.

Trăsătură recesivă (genă) – semnul suprimat este indicat de litera minusculă corespunzătoare a alfabetului latin: a, b c etc.

Analizând traversarea– încrucișarea organismului testat cu altul, care este un homozigot recesiv pentru o trăsătură dată, ceea ce face posibilă stabilirea genotipului persoanei testate.

Traversare dihibridă– încrucișarea formelor care diferă unele de altele în două perechi de caracteristici alternative.

Traversare monohibridă– încrucișarea formelor care diferă unele de altele într-o pereche de caracteristici alternative.

Curata liniile - organisme care sunt homozigote pentru una sau mai multe trăsături și nu produc manifestări ale unei trăsături alternative la descendenții lor.

Uscătorul de păr este un semn.

Fenotip - totalitatea tuturor semnelor și proprietăților externe ale unui organism accesibil observației și analizei.

Algoritm pentru rezolvarea problemelor genetice

1. Citiți cu atenție nivelul sarcinii.
2. Notați pe scurt condițiile problemei.
3. Înregistrați genotipurile și fenotipurile indivizilor încrucișați.
4. Identificați și înregistrați tipurile de gameți care sunt produși de indivizii încrucișați.
5. Determinați și înregistrați genotipurile și fenotipurile descendenților obținuți din încrucișare.
6. Analizați rezultatele încrucișării. Pentru a face acest lucru, determinați numărul de clase de descendenți în funcție de fenotip și genotip și scrieți-le ca raport numeric.
7. Scrieți răspunsul la întrebarea din problemă.

(La rezolvarea problemelor pe anumite subiecte, succesiunea etapelor se poate modifica și conținutul acestora poate fi modificat.)

Sarcini de formatare

1. Se obișnuiește să se înregistreze mai întâi genotipul feminin și apoi cel masculin (intrare corectă - ♀ААВВ x ♂аавв; Intrare invalida- ♂ aavv x ♀AABB).
2. Genele unei perechi alelice sunt întotdeauna scrise una lângă alta(introducerea corectă - ♀ААВВ; intrarea incorectă ♀ААВВ).
3. La înregistrarea unui genotip, literele care denotă trăsături sunt întotdeauna scrise în ordine alfabetică, indiferent de ce trăsătură - dominantă sau recesivă - denotă (intrare corectă - ♀ааВВ;intrare incorectă -♀ VVaa).
4. Dacă se cunoaște doar fenotipul unui individ, atunci când se înregistrează genotipul acestuia, se notează doar acele gene a căror prezență este incontestabilă.O genă care nu poate fi determinată prin fenotip este desemnată cu „_”(de exemplu, dacă culoarea galbenă (A) și forma netedă (B) a semințelor de mazăre sunt trăsături dominante, iar culoarea verde (a) și forma încrețită (c) sunt recesive, atunci genotipul unui individ cu semințe galbene și ridate se scrie astfel: A_vv).
5. Fenotipul este întotdeauna scris sub genotip.
6. Gametele se scriu încercuind.(A).
7. La indivizi, tipurile de gameți sunt determinate și înregistrate, nu numărul lor

Infinit.J. Wallis (1655).

Găsit pentru prima dată în tratatul matematicianului englez John Valis „Despre secțiunile conice”.

Baza logaritmilor naturali. L. Euler (1736).

Constanta matematica, numar transcendental. Acest număr este uneori numit fără peneîn cinstea scoțianului om de știință Napier, autor al lucrării „Descrierea uimitoarei tabele de logaritmi” (1614). Constanta apare pentru prima dată tacit într-un apendice la traducerea în limba engleză a lucrării lui Napier menționată mai sus, publicată în 1618. Constanta în sine a fost calculată pentru prima dată de matematicianul elvețian Jacob Bernoulli în timp ce rezolva problema valorii limită a veniturilor din dobânzi.

2,71828182845904523...

Prima utilizare cunoscută a acestei constante, unde a fost indicată prin literă b, găsit în scrisorile lui Leibniz către Huygens, 1690-1691. Scrisoare e Euler a început să-l folosească în 1727, iar prima publicație cu această scrisoare a fost lucrarea sa „Mecanica sau știința mișcării, explicată analitic” în 1736. Respectiv, e numit de obicei numărul Euler. De ce a fost aleasă scrisoarea? e, exact necunoscut. Poate că acest lucru se datorează faptului că cuvântul începe cu el exponenţială(„indicativ”, „exponențial”). O altă presupunere este că literele A, b, cȘi d au fost deja folosite destul de pe scară largă în alte scopuri și e a fost prima scrisoare „liberă”.

Raportul dintre circumferință și diametru. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Constanta matematica, numar irational. Numărul „pi”, vechiul nume este numărul lui Ludolph. Ca orice număr irațional, π este reprezentat ca o fracție zecimală neperiodică infinită:

π =3,141592653589793...

Pentru prima dată, desemnarea acestui număr cu litera greacă π a fost folosită de matematicianul britanic William Jones în cartea „A New Introduction to Mathematics” și a devenit general acceptată după lucrarea lui Leonhard Euler. Această denumire provine de la litera inițială a cuvintelor grecești περιφερεια - cerc, periferie și περιμετρος - perimetru. Johann Heinrich Lambert a demonstrat iraționalitatea lui π în 1761, iar Adrienne Marie Legendre a demonstrat iraționalitatea lui π 2 în 1774. Legendre și Euler au presupus că π ar putea fi transcendental, adică. nu poate satisface nicio ecuație algebrică cu coeficienți întregi, ceea ce a fost în cele din urmă dovedit în 1882 de Ferdinand von Lindemann.

Unitate imaginară. L. Euler (1777, tipărit - 1794).

Se știe că ecuația x 2 =1 are două rădăcini: 1 Și -1 . Unitatea imaginară este una dintre cele două rădăcini ale ecuației x 2 = -1, notat printr-o literă latină i, altă rădăcină: -i. Această denumire a fost propusă de Leonhard Euler, care a luat în acest scop prima literă a cuvântului latin imaginarius(imaginar). El a extins, de asemenea, toate funcțiile standard la domeniul complex, adică. set de numere reprezentabile ca a+ib, Unde AȘi b- numere reale. Termenul „număr complex” a fost introdus în utilizare pe scară largă de către matematicianul german Carl Gauss în 1831, deși termenul fusese folosit anterior în același sens de matematicianul francez Lazare Carnot în 1803.

Vectori unitari. W. Hamilton (1853).

Vectorii unitari sunt adesea asociați cu axele de coordonate ale unui sistem de coordonate (în special, axele unui sistem de coordonate carteziene). Vector unitar îndreptat de-a lungul axei X, notat i, vector unitar îndreptat de-a lungul axei Y, notat j, și vectorul unitar direcționat de-a lungul axei Z, notat k. Vectori i, j, k se numesc vectori unitari, au module unitare. Termenul „ort” a fost introdus de matematicianul și inginerul englez Oliver Heaviside (1892), iar notația i, j, k- Matematicianul irlandez William Hamilton.

Parte întreagă a numărului, antie. K.Gauss (1808).

Partea întreagă a numărului [x] a numărului x este cel mai mare întreg care nu depășește x. Deci, =5, [-3,6]=-4. Funcția [x] este numită și „antier of x”. Simbolul funcției întregii părți a fost introdus de Carl Gauss în 1808. Unii matematicieni preferă să folosească în schimb notația E(x), propusă în 1798 de Legendre.

Unghiul de paralelism. N.I. Lobaciovski (1835).

Pe planul Lobachevsky - unghiul dintre linia dreaptăb, trecând prin punctDESPREparalel cu liniaA, neconținând un punctDESPRE, și perpendicular de laDESPRE pe A. α - lungimea acestei perpendiculare. Pe măsură ce punctul se îndepărteazăDESPRE din linia dreaptă Aunghiul de paralelism scade de la 90° la 0°. Lobaciovski a dat o formulă pentru unghiul de paralelismP( α )=2arctg e - α /q , Unde q— o constantă asociată cu curbura spațiului Lobaciovski.

Cantitati necunoscute sau variabile. R. Descartes (1637).

În matematică, o variabilă este o mărime caracterizată de setul de valori pe care îl poate lua. Aceasta poate însemna atât o cantitate fizică reală, considerată temporar izolată de contextul său fizic, cât și o cantitate abstractă care nu are analogi în lumea reală. Conceptul de variabilă a apărut în secolul al XVII-lea. inițial sub influența cerințelor științei naturii, care a adus în prim-plan studiul mișcării, al proceselor și nu doar al stărilor. Acest concept necesita forme noi pentru exprimarea lui. Astfel de forme noi au fost algebra literelor și geometria analitică a lui Rene Descartes. Pentru prima dată, sistemul de coordonate dreptunghiular și notația x, y au fost introduse de Rene Descartes în lucrarea sa „Discurs despre metodă” în 1637. Pierre Fermat a contribuit și el la dezvoltarea metodei coordonatelor, dar lucrările sale au fost publicate pentru prima dată după moartea sa. Descartes și Fermat au folosit metoda coordonatelor doar în plan. Metoda coordonatelor pentru spațiul tridimensional a fost folosită pentru prima dată de Leonhard Euler deja în secolul al XVIII-lea.

Vector. O. Cauchy (1853).

Încă de la început, un vector este înțeles ca un obiect care are o mărime, o direcție și (opțional) un punct de aplicare. Începuturile calculului vectorial au apărut împreună cu modelul geometric al numerelor complexe în Gauss (1831). Hamilton a publicat operații dezvoltate cu vectori ca parte a calculului său cuaternion (vectorul a fost format din componentele imaginare ale cuaternionului). Hamilton a propus termenul vector(din cuvântul latin vector, purtător) și a descris câteva operații de analiză vectorială. Maxwell a folosit acest formalism în lucrările sale despre electromagnetism, atrăgând astfel atenția oamenilor de știință asupra noului calcul. Curând a apărut Elementele de analiză vectorială a lui Gibbs (1880), iar apoi Heaviside (1903) a dat analizei vectoriale aspectul său modern. Semnul vectorial în sine a fost introdus în uz de matematicianul francez Augustin Louis Cauchy în 1853.

Adunare, scădere. J. Widman (1489).

Semnele plus și minus au fost aparent inventate în școala de matematică germană a „kossiștilor” (adică algebriștilor). Ele sunt folosite în manualul lui Jan (Johannes) Widmann A Quick and Pleasant Account for All Merchants, publicat în 1489. Anterior, adaosul era notat prin scrisoare p(din latină la care se adauga„mai mult”) sau cuvânt latin et(conjuncția „și”) și scăderea - litera m(din latină minus„mai puțin, mai puțin”) Pentru Widmann, simbolul plus înlocuiește nu numai adunarea, ci și conjuncția „și”. Originea acestor simboluri este neclară, dar cel mai probabil au fost folosite anterior în tranzacționare ca indicatori ai profitului și pierderii. Ambele simboluri au devenit curând comune în Europa - cu excepția Italiei, care a continuat să folosească vechile denumiri timp de aproximativ un secol.

Multiplicare. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Semnul înmulțirii sub formă de cruce oblică a fost introdus în 1631 de englezul William Oughtred. Înaintea lui, scrisoarea a fost folosită cel mai des M, deși au fost propuse și alte notații: simbolul dreptunghi (matematicianul francez Erigon, 1634), asteriscul (matematicianul elvețian Johann Rahn, 1659). Mai târziu, Gottfried Wilhelm Leibniz a înlocuit crucea cu un punct (sfârșitul secolului al XVII-lea) pentru a nu o confunda cu litera. X; înaintea lui, un asemenea simbolism a fost găsit în rândul astronomului și matematicianului german Regiomontanus (secolul al XV-lea) și al savantului englez Thomas Herriot (1560 -1621).

Divizia. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Oughtred a folosit o bară oblică / ca semn de divizare. Gottfried Leibniz a început să desemneze diviziunea cu două puncte. Înainte de ei, scrisoarea era de asemenea folosită des D. Începând cu Fibonacci, se folosește și linia orizontală a fracției, care a fost folosită de Heron, Diophantus și în lucrările arabe. În Anglia și SUA, simbolul ÷ (obelus), care a fost propus de Johann Rahn (posibil cu participarea lui John Pell) în 1659, a devenit larg răspândit. O încercare a Comitetului Național American pentru Standarde Matematice ( Comitetul Național pentru Cerințe Matematice) pentru a elimina obelus din practică (1923) nu a avut succes.

La sută. M. de la Porte (1685).

O sutime dintr-un întreg, luată ca unitate. Cuvântul „procent” în sine provine din latinescul „pro centum”, care înseamnă „la sută”. În 1685, a fost publicată la Paris cartea „Manual de aritmetică comercială” de Mathieu de la Porte. Într-un loc au vorbit despre procente, care au fost apoi desemnate „cto” (prescurtare de la cento). Cu toate acestea, scriitorul a confundat acest „cto” cu o fracțiune și a tipărit „%”. Deci, din cauza unei greșeli de tipar, acest semn a intrat în uz.

Grade. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Notația modernă pentru exponent a fost introdusă de Rene Descartes în „ Geometrie„(1637), însă, numai pentru puterile naturale cu exponenți mai mari de 2. Mai târziu, Isaac Newton a extins această formă de notație la exponenții negativi și fracționari (1676), a căror interpretare fusese deja propusă până în acel moment: matematicianul flamand și inginerul Simon Stevin, matematicianul englez John Wallis și matematicianul francez Albert Girard.

Rădăcina aritmetică n-a-a putere a unui număr real A≥0, - număr nenegativ n-al cărui grad este egal cu A. Rădăcina aritmetică de gradul II se numește rădăcină pătrată și poate fi scrisă fără a indica gradul: √. O rădăcină aritmetică de gradul 3 se numește rădăcină cubă. Matematicienii medievali (de exemplu, Cardano) au notat rădăcina pătrată cu simbolul R x (din latină Radix, rădăcină). Notația modernă a fost folosită pentru prima dată de matematicianul german Christoph Rudolf, de la școala cosistă, în 1525. Acest simbol provine din prima literă stilizată a aceluiași cuvânt radix. La început nu exista nicio linie deasupra expresiei radicale; a fost introdus ulterior de Descartes (1637) într-un alt scop (în loc de paranteze), iar această trăsătură a fuzionat curând cu semnul rădăcină. În secolul al XVI-lea, rădăcina cubă se nota astfel: R x .u.cu (din lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) a început să folosească notația familiară pentru o rădăcină a unui grad arbitrar. Acest format a fost stabilit datorită lui Isaac Newton și Gottfried Leibniz.

Logaritm, logaritm zecimal, logaritm natural. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Termenul „logaritm” îi aparține matematicianului scoțian John Napier ( „Descrierea uimitoarei tabele de logaritmi”, 1614); a apărut dintr-o combinație a cuvintelor grecești λογος (cuvânt, relație) și αριθμος (număr). Logaritmul lui J. Napier este un număr auxiliar pentru măsurarea raportului dintre două numere. Definiția modernă a logaritmului a fost dată pentru prima dată de matematicianul englez William Gardiner (1742). Prin definiție, logaritmul unui număr b bazat pe A (A ≠ 1, a > 0) - exponent m, la care ar trebui crescut numărul A(numită bază logaritmică) pentru a obține b. Desemnat log a b. Asa de, m = log a b, Dacă a m = b.

Primele tabele de logaritmi zecimali au fost publicate în 1617 de profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs. Prin urmare, în străinătate, logaritmii zecimali sunt adesea numiți logaritmi Briggs. Termenul „logaritm natural” a fost introdus de Pietro Mengoli (1659) și Nicholas Mercator (1668), deși profesorul de matematică londonez John Spidell a întocmit un tabel de logaritmi naturali încă din 1619.

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, nu a existat o notație general acceptată pentru logaritm, baza A indicat în stânga și deasupra simbolului Buturuga, apoi deasupra lui. În cele din urmă, matematicienii au ajuns la concluzia că locul cel mai convenabil pentru bază este sub linie, după simbol Buturuga. Semnul logaritmului – rezultatul prescurtării cuvântului „logaritm” – apare sub diferite forme aproape simultan cu apariția primelor tabele de logaritmi, de ex. Buturuga- de I. Kepler (1624) și G. Briggs (1631), Buturuga- de B. Cavalieri (1632). Desemnare ln căci logaritmul natural a fost introdus de matematicianul german Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, cosinus, tangent, cotangent. W. Outred (mijlocul secolului al XVII-lea), I. Bernoulli (secolul al XVIII-lea), L. Euler (1748, 1753).

Abrevierile pentru sinus și cosinus au fost introduse de William Oughtred la mijlocul secolului al XVII-lea. Abrevieri pentru tangentă și cotangentă: tg, ctg introduse de Johann Bernoulli în secolul al XVIII-lea, s-au răspândit în Germania și Rusia. În alte țări sunt folosite denumirile acestor funcții bronzat, patut propus de Albert Girard chiar mai devreme, la începutul secolului al XVII-lea. Leonhard Euler (1748, 1753) a adus teoria funcțiilor trigonometrice în forma sa modernă și i-o datorăm pentru consolidarea simbolismului real.Termenul „funcții trigonometrice” a fost introdus de matematicianul și fizicianul german Georg Simon Klügel în 1770.

Matematicienii indieni au numit inițial linia sinusoidală "arha-jiva"(„jumătate de șir”, adică jumătate de coardă), apoi cuvântul "archa" a fost aruncată și linia sinusoidală a început să fie numită simplu "jiva". Traducătorii arabi nu au tradus cuvântul "jiva" cuvânt arab "vatar", denotând coarda și coarda, și a transcris cu litere arabe și a început să numească linia sinusoidală "jiba". Deoarece în arabă vocalele scurte nu sunt marcate, ci „i” lung în cuvânt "jiba" notat la fel ca semivocala „th”, arabii au început să pronunțe numele liniei sinusoidale "jibe", care înseamnă literal „gol”, „sinus”. Când traduceau lucrări arabe în latină, traducătorii europeni au tradus cuvântul "jibe" cuvânt latin sinusului, avand acelasi sens.Termenul „tangentă” (din lat.tangente- atingere) a fost introdusă de matematicianul danez Thomas Fincke în cartea sa The Geometry of the Round (1583).

Arcsin. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții matematice care sunt inversul funcțiilor trigonometrice. Numele funcției trigonometrice inverse se formează din numele funcției trigonometrice corespunzătoare prin adăugarea prefixului „arc” (din lat. arc- arc).Funcțiile trigonometrice inverse includ de obicei șase funcții: arcsinus (arcsin), arccosin (arccos), arctangent (arctg), arccotangent (arcctg), arcsecant (arcsec) și arccosecant (arccosec). Simbolurile speciale pentru funcțiile trigonometrice inverse au fost folosite pentru prima dată de Daniel Bernoulli (1729, 1736).Mod de a desemna funcțiile trigonometrice inverse folosind un prefix arc(din lat. arcus, arc) a apărut împreună cu matematicianul austriac Karl Scherfer și s-a consolidat datorită matematicianului, astronomului și mecanicului francez Joseph Louis Lagrange. S-a înțeles că, de exemplu, un sinus obișnuit permite să găsești o coardă care o subtind de-a lungul unui arc de cerc, iar funcția inversă rezolvă problema opusă. Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, școlile de matematică engleză și germană au propus alte notații: sin -1 și 1/sin, dar nu sunt utilizate pe scară largă.

Sinus hiperbolic, cosinus hiperbolic. V. Riccati (1757).

Istoricii au descoperit prima apariție a funcțiilor hiperbolice în lucrările matematicianului englez Abraham de Moivre (1707, 1722). O definiție modernă și un studiu detaliat al acestora a fost realizat de italianul Vincenzo Riccati în 1757 în lucrarea sa „Opusculorum”, el a propus și denumirea lor: SH,cap. Riccati a pornit de la considerarea hiperbola unității. O descoperire independentă și un studiu suplimentar al proprietăților funcțiilor hiperbolice au fost efectuate de matematicianul, fizicianul și filozoful german Johann Lambert (1768), care a stabilit paralelismul larg al formulelor trigonometriei obișnuite și hiperbolice. N.I. Lobachevsky a folosit ulterior acest paralelism în încercarea de a demonstra consistența geometriei non-euclidiene, în care trigonometria obișnuită este înlocuită cu una hiperbolică.

Așa cum sinusul și cosinusul trigonometric sunt coordonatele unui punct de pe cercul de coordonate, sinusul și cosinusul hiperbolic sunt coordonatele unui punct de pe o hiperbolă. Funcțiile hiperbolice sunt exprimate în termeni de exponențial și sunt strâns legate de funcțiile trigonometrice: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Prin analogie cu funcțiile trigonometrice, tangenta și cotangenta hiperbolice sunt definite ca rapoarte dintre sinus și cosinus hiperbolic, cosinus și, respectiv, sinus.

Diferenţial. G. Leibniz (1675, publicat în 1684).

Partea principală, liniară a incrementului funcției.Dacă funcţia y=f(x) o variabilă x are la x=x 0derivată și incrementΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funcții f(x) poate fi reprezentat sub formăΔy=f"(x0)Ax+R(Ax) , unde este membrul R infinitezimal comparativ cuΔx. Primul membrudy=f"(x 0)Δxîn această expansiune şi se numeşte diferenţialul funcţiei f(x) la punctx 0. ÎN lucrările lui Gottfried Leibniz, Jacob și Johann Bernoulli cuvântul"diferență"a fost folosit în sensul de „increment”, a fost notat de I. Bernoulli prin Δ. G. Leibniz (1675, publicat în 1684) a folosit notația pentru „diferența infinitezimală”d- prima literă a cuvântului"diferenţial", format de el din"diferență".

Integrală nedefinită. G. Leibniz (1675, publicat în 1686).

Cuvântul „integral” a fost folosit pentru prima dată în tipărire de Jacob Bernoulli (1690). Poate că termenul este derivat din latină întreg- întreg. Conform unei alte presupuneri, baza a fost cuvântul latin integro- aduceți la starea anterioară, restaurați. Semnul ∫ este folosit pentru a reprezenta o integrală în matematică și este o reprezentare stilizată a primei litere a cuvântului latin suma - sumă. A fost folosit pentru prima dată de către matematicianul german și fondatorul calculului diferențial și integral, Gottfried Leibniz, la sfârșitul secolului al XVII-lea. Un alt dintre fondatorii calculului diferențial și integral, Isaac Newton, nu a propus în lucrările sale o simbolistică alternativă pentru integrală, deși a încercat diverse opțiuni: o bară verticală deasupra funcției sau un simbol pătrat care stă în fața funcției sau mărginește-o. Integrală nedefinită pentru o funcție y=f(x) este mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date.

Integrala definita. J. Fourier (1819-1822).

Integrală definită a unei funcții f(x) cu o limită inferioară A si limita superioara b poate fi definită ca diferență F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Unde F(x)- unele antiderivate ale unei funcții f(x) . Integrala definita a ∫ b f(x)dx egal numeric cu aria figurii delimitată de axa x și linii drepte x=aȘi x=bși graficul funcției f(x). Proiectarea unei integrale definite în forma cu care suntem familiarizați a fost propusă de matematicianul și fizicianul francez Jean Baptiste Joseph Fourier la începutul secolului al XIX-lea.

Derivat. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivată este conceptul de bază al calculului diferenţial, care caracterizează rata de schimbare a unei funcţii f(x) când argumentul se schimbă X . Este definită ca limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului său, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero, dacă există o astfel de limită. O funcție care are o derivată finită la un moment dat este numită diferențiabilă în acel punct. Procesul de calcul al derivatei se numește diferențiere. Procesul invers este integrarea. În calculul diferențial clasic, derivata este cel mai adesea definită prin conceptele teoriei limitelor, dar din punct de vedere istoric teoria limitelor a apărut mai târziu decât calculul diferențial.

Termenul „derivat” a fost introdus de Joseph Louis Lagrange în 1797, denotarea unui derivat cu ajutorul unei linii este folosită și de el (1770, 1779) și dy/dx- Gottfried Leibniz în 1675. Modul de a desemna derivata timpului cu un punct peste o literă vine de la Newton (1691).Termenul rusesc „derivat al unei funcții” a fost folosit pentru prima dată de un matematician rusVasily Ivanovici Viskovatov (1779-1812).

Derivată parțială. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Pentru funcțiile mai multor variabile, sunt definite derivate parțiale - derivate față de unul dintre argumente, calculate din ipoteza că argumentele rămase sunt constante. Denumiri ∂f/ ∂ X, ∂ z/ ∂ y introdus de matematicianul francez Adrien Marie Legendre în 1786; fX",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ X ∂ y- derivate parțiale de ordinul doi - matematicianul german Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Diferență, creștere. I. Bernoulli (sfârșitul secolului al XVII-lea - prima jumătate a secolului al XVIII-lea), L. Euler (1755).

Desemnarea incrementului prin litera Δ a fost folosită pentru prima dată de matematicianul elvețian Johann Bernoulli. Simbolul deltei a intrat în uz general după lucrarea lui Leonhard Euler în 1755.

Sumă. L. Euler (1755).

Suma este rezultatul adunării unor mărimi (numere, funcții, vectori, matrici etc.). Pentru a desemna suma n numere a 1, a 2, ..., a n, se folosește litera greacă „sigma” Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 un i. Semnul Σ pentru sumă a fost introdus de Leonhard Euler în 1755.

Muncă. K.Gauss (1812).

Un produs este rezultatul înmulțirii. Pentru a desemna produsul dintre n numere a 1, a 2, ..., a n se folosește litera greacă pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . De exemplu, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Semnul Π pentru un produs a fost introdus de matematicianul german Carl Gauss în 1812. În literatura de matematică rusă, termenul „produs” a fost întâlnit pentru prima dată de Leonti Filippovici Magnitsky în 1703.

Factorială. K. Crump (1808).

Factorialul unui număr n (notat n!, pronunțat „en factorial”) este produsul tuturor numerelor naturale până la n inclusiv: n! = 1·2·3·...·n. De exemplu, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Prin definiție, se presupune 0! = 1. Factorial este definit numai pentru numere întregi nenegative. Factorialul lui n este egal cu numărul de permutări a n elemente. De exemplu, 3! = 6, într-adevăr,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Toate cele șase și numai șase permutări a trei elemente.

Termenul „factorial” a fost introdus de matematicianul și politicianul francez Louis Francois Antoine Arbogast (1800), denumirea n! - matematicianul francez Christian Crump (1808).

Modul, valoare absolută. K. Weierstrass (1841).

Valoarea absolută a unui număr real x este un număr nenegativ definit după cum urmează: |x| = x pentru x ≥ 0 și |x| = -x pentru x ≤ 0. De exemplu, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modulul unui număr complex z = a + ib este un număr real egal cu √(a 2 + b 2).

Se crede că termenul „modul” a fost propus de matematicianul și filozoful englez, studentul lui Newton, Roger Cotes. Gottfried Leibniz a folosit și această funcție, pe care a numit-o „modul” și a notat-o: mol x. Notația general acceptată pentru valoarea absolută a fost introdusă în 1841 de către matematicianul german Karl Weierstrass. Pentru numerele complexe, acest concept a fost introdus de matematicienii francezi Augustin Cauchy și Jean Robert Argan la începutul secolului al XIX-lea. În 1903, omul de știință austriac Konrad Lorenz a folosit același simbolism pentru lungimea unui vector.

Normă. E. Schmidt (1908).

O normă este o funcționalitate definită pe un spațiu vectorial și care generalizează conceptul de lungime a unui vector sau a modulului unui număr. Semnul „normă” (din latinescul „norma” – „regula”, „model”) a fost introdus de matematicianul german Erhard Schmidt în 1908.

Limită. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), mulți matematicieni (până la începutul secolului al XX-lea)

Limita este unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice, ceea ce înseamnă că o anumită valoare variabilă în procesul de modificare a acesteia se apropie la infinit de o anumită valoare constantă. Conceptul de limită a fost folosit intuitiv în a doua jumătate a secolului al XVII-lea de Isaac Newton, precum și de matematicieni din secolul al XVIII-lea precum Leonhard Euler și Joseph Louis Lagrange. Primele definiții riguroase ale limitei secvenței au fost date de Bernard Bolzano în 1816 și Augustin Cauchy în 1821. Simbolul lim (primele 3 litere din cuvântul latin limes - chenar) a apărut în 1787 de către matematicianul elvețian Simon Antoine Jean Lhuillier, dar utilizarea sa nu semăna încă cu cele moderne. Expresia lim într-o formă mai familiară a fost folosită pentru prima dată de matematicianul irlandez William Hamilton în 1853.Weierstrass a introdus o denumire apropiată de cea modernă, dar în loc de săgeata familiară, a folosit un semn egal. Săgeata a apărut la începutul secolului al XX-lea printre mai mulți matematicieni simultan - de exemplu, matematicianul englez Godfried Hardy în 1908.

Funcția zeta, d Funcția zeta Riemann. B. Riemann (1857).

Funcția analitică a unei variabile complexe s = σ + it, pentru σ > 1, determinată absolut și uniform de o serie Dirichlet convergentă:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Pentru σ > 1, este valabilă reprezentarea sub forma produsului Euler:

ζ(s) = Π p (1-p -s) -s,

unde produsul este preluat toate p prime. Funcția zeta joacă un rol important în teoria numerelor.În funcție de o variabilă reală, funcția zeta a fost introdusă în 1737 (publicată în 1744) de L. Euler, care a indicat extinderea acesteia într-un produs. Această funcție a fost luată apoi în considerare de matematicianul german L. Dirichlet și, mai ales cu succes, de matematicianul și mecanicul rus P.L. Cebyshev când studiază legea distribuției numerelor prime. Cu toate acestea, cele mai profunde proprietăți ale funcției zeta au fost descoperite mai târziu, după lucrările matematicianului german Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), unde funcția zeta a fost considerată ca o funcție a unei variabile complexe; El a introdus, de asemenea, numele „funcție zeta” și denumirea ζ(s) în 1857.

Funcția Gamma, funcția Euler Γ. A. Legendre (1814).

Funcția Gamma este o funcție matematică care extinde conceptul de factorial în domeniul numerelor complexe. De obicei notat cu Γ(z). Funcția G a fost introdusă pentru prima dată de Leonhard Euler în 1729; este determinat de formula:

Γ(z) = limn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).

Un număr mare de integrale, produse infinite și sume de serii sunt exprimate prin intermediul funcției G. Folosit pe scară largă în teoria analitică a numerelor. Numele „funcție gamma” și notația Γ(z) au fost propuse de matematicianul francez Adrien Marie Legendre în 1814.

Funcția beta, funcția B, funcția Euler B. J. Binet (1839).

O funcție a două variabile p și q, definite pentru p>0, q>0 prin egalitate:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Funcția beta poate fi exprimată prin funcția Γ: B(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).La fel cum funcția gamma pentru numere întregi este o generalizare a factorialului, funcția beta este, într-un sens, o generalizare a coeficienților binomi.

Funcția beta descrie multe proprietățiparticule elementare participarea la interacțiune puternică. Această caracteristică a fost observată de fizicianul teoretician italianGabriele Venezianoîn 1968. Aceasta a marcat începutul teoria corzilor.

Denumirea „funcție beta” și denumirea B(p, q) au fost introduse în 1839 de matematicianul, mecanicul și astronomul francez Jacques Philippe Marie Binet.

Operator Laplace, Laplacian. R. Murphy (1833).

Operatorul diferențial liniar Δ, care atribuie funcțiile φ(x 1, x 2, ..., x n) ale n variabile x 1, x 2, ..., x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2.

În special, pentru o funcție φ(x) a unei variabile, operatorul Laplace coincide cu operatorul derivatei a 2-a: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Ecuația Δφ = 0 se numește de obicei ecuația lui Laplace; De aici provin denumirile „operator Laplace” sau „Laplacian”. Denumirea Δ a fost introdusă de fizicianul și matematicianul englez Robert Murphy în 1833.

Operator Hamilton, operator nabla, Hamiltonian. O. Heaviside (1892).

Operator diferenţial vectorial al formei

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,

Unde i, j, Și k- vectori unitari de coordonate. Operațiile de bază ale analizei vectoriale, precum și operatorul Laplace, sunt exprimate în mod natural prin operatorul Nabla.

În 1853, matematicianul irlandez William Rowan Hamilton a introdus acest operator și a inventat simbolul ∇ pentru el ca o literă grecească inversată Δ (delta). În Hamilton, vârful simbolului era îndreptat spre stânga; mai târziu, în lucrările matematicianului și fizicianului scoțian Peter Guthrie Tate, simbolul și-a căpătat forma modernă. Hamilton a numit acest simbol „atled” (cuvântul „delta” citit invers). Mai târziu, savanții englezi, printre care și Oliver Heaviside, au început să numească acest simbol „nabla”, după numele literei ∇ din alfabetul fenician, unde apare. Originea literei este asociată cu un instrument muzical, cum ar fi harpa, ναβλα (nabla) în greacă veche care înseamnă „harpă”. Operatorul a fost numit operatorul Hamilton sau operatorul nabla.

Funcţie. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Un concept matematic care reflectă relația dintre elementele mulțimilor. Putem spune că o funcție este o „lege”, o „regulă” conform căreia fiecare element dintr-o mulțime (numit domeniul definiției) este asociat cu un element al altei mulțimi (numit domeniul valorilor). Conceptul matematic al unei funcții exprimă ideea intuitivă a modului în care o cantitate determină complet valoarea unei alte mărimi. Adesea, termenul „funcție” se referă la o funcție numerică; adică o funcție care pune unele numere în corespondență cu altele. Multă vreme, matematicienii au specificat argumente fără paranteze, de exemplu, astfel - φх. Această notație a fost folosită pentru prima dată de matematicianul elvețian Johann Bernoulli în 1718.Parantezele au fost folosite numai în cazul argumentelor multiple sau dacă argumentul era o expresie complexă. Ecouri ale acelor vremuri sunt înregistrările încă folosite astăzisin x, log xetc. Dar treptat folosirea parantezelor, f(x) , a devenit o regulă generală. Și principalul merit pentru aceasta îi aparține lui Leonhard Euler.

Egalitatea. R. Record (1557).

Semnul egal a fost propus de medicul și matematicianul galez Robert Record în 1557; conturul simbolului era mult mai lung decât cel actual, deoarece imita imaginea a două segmente paralele. Autorul a explicat că nu există nimic mai egal în lume decât două segmente paralele de aceeași lungime. Înainte de aceasta, în matematica antică și medievală egalitatea era desemnată verbal (de exemplu este egale). În secolul al XVII-lea, Rene Descartes a început să folosească æ (din lat. aequalis), și a folosit semnul egal modern pentru a indica faptul că coeficientul poate fi negativ. François Viète a folosit semnul egal pentru a desemna scăderea. Simbolul Record nu s-a răspândit imediat. Răspândirea simbolului Record a fost împiedicată de faptul că din cele mai vechi timpuri același simbol a fost folosit pentru a indica paralelismul liniilor drepte; În final, s-a decis ca simbolul paralelismului să fie vertical. În Europa continentală, semnul „=" a fost introdus de Gottfried Leibniz abia la începutul secolelor XVII-XVIII, adică la peste 100 de ani de la moartea lui Robert Record, care l-a folosit pentru prima dată în acest scop.

Aproximativ egal, aproximativ egal. A.Gunther (1882).

Semn " ≈ „ a fost introdus în uz ca simbol pentru relația „aproximativ egală” de către matematicianul și fizicianul german Adam Wilhelm Sigmund Günther în 1882.

Mai mult mai puțin. T. Harriot (1631).

Aceste două semne au fost introduse în uz de către astronomul, matematicianul, etnograful și traducătorul englez Thomas Harriot în 1631; înainte de aceasta, au fost folosite cuvintele „mai mult” și „mai puțin”.

Comparabilitatea. K.Gauss (1801).

Comparația este o relație între două numere întregi n și m, adică diferența n-m a acestor numere este împărțită la un număr întreg dat a, numit modul de comparație; se scrie: n≡m(mod а) și se citește „numerele n și m sunt comparabile modulo a”. De exemplu, 3≡11(mod 4), deoarece 3-11 este divizibil cu 4; numerele 3 și 11 sunt comparabile modulo 4. Congruențele au multe proprietăți similare cu cele ale egalităților. Astfel, un termen situat într-o parte a comparației poate fi transferat cu semnul opus în altă parte, iar comparațiile cu același modul pot fi adunate, scăzute, înmulțite, ambele părți ale comparației pot fi înmulțite cu același număr etc. . De exemplu,

3≡9+2(mod 4) și 3-2≡9(mod 4)

În același timp, comparații adevărate. Și dintr-o pereche de comparații corecte 3≡11(mod 4) și 1≡5(mod 4) urmează următoarele:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5 (mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

În teoria numerelor sunt luate în considerare metode de rezolvare a diferitelor comparații, adică. metode de găsire a numerelor întregi care satisfac comparații de un tip sau altul. Comparațiile cu module au fost folosite pentru prima dată de matematicianul german Carl Gauss în cartea sa din 1801 Studii aritmetice. El a propus, de asemenea, simbolismul pentru comparații care a fost stabilit în matematică.

Identitate. B. Riemann (1857).

Identitatea este egalitatea a două expresii analitice, valabilă pentru orice valori admisibile ale literelor incluse în ea. Egalitatea a+b = b+a este valabilă pentru toate valorile numerice ale lui a și b și, prin urmare, este o identitate. Pentru a înregistra identitățile, în unele cazuri, din 1857, s-a folosit semnul „≡” (a se citi „identic egal”), al cărui autor în această utilizare este matematicianul german Georg Friedrich Bernhard Riemann. Puteți nota a+b ≡ b+a.

Perpendicularitate. P. Erigon (1634).

Perpendicularitatea este poziția relativă a două drepte, plane sau o dreaptă și un plan, în care figurile indicate formează un unghi drept. Semnul ⊥ pentru a desemna perpendicularitatea a fost introdus în 1634 de matematicianul și astronomul francez Pierre Erigon. Conceptul de perpendicularitate are o serie de generalizări, dar toate, de regulă, sunt însoțite de semnul ⊥.

Paralelism. W. Outred (ediția postumă 1677).

Paralelismul este relația dintre anumite figuri geometrice; de exemplu, drept. Definit diferit în funcție de diferite geometrii; de exemplu, în geometria lui Euclid și în geometria lui Lobaciovski. Semnul paralelismului este cunoscut din cele mai vechi timpuri, a fost folosit de Heron și Pappus din Alexandria. La început, simbolul a fost asemănător cu semnul egal curent (doar mai extins), dar odată cu apariția acestuia din urmă, pentru a evita confuzia, simbolul a fost întors vertical ||. A apărut în această formă pentru prima dată în ediția postumă a lucrărilor matematicianului englez William Oughtred în 1677.

Intersecție, unire. J. Peano (1888).

Intersecția mulțimilor este o mulțime care conține acele și numai acele elemente care aparțin simultan tuturor mulțimilor date. O uniune de mulțimi este o mulțime care conține toate elementele mulțimilor originale. Intersectia si unirea se mai numesc si operatii pe multimi care atribuie multimi noi anumitor dupa regulile indicate mai sus. Notat cu ∩ și, respectiv, ∪. De exemplu, dacă

A= (♠ ♣ )Și B= (♣ ♦),

Acea

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Conține, conține. E. Schroeder (1890).

Dacă A și B sunt două mulțimi și nu există elemente în A care să nu aparțină lui B, atunci ei spun că A este conținut în B. Ei scriu A⊂B sau B⊃A (B conține A). De exemplu,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Simbolurile „conține” și „conține” au apărut în 1890 de către matematicianul și logicianul german Ernst Schroeder.

Afiliere. J. Peano (1895).

Dacă a este un element al mulțimii A, atunci scrieți a∈A și citiți „a aparține lui A”. Dacă a nu este un element al mulțimii A, scrieți a∉A și citiți „a nu aparține lui A”. La început, relațiile „conținut” și „aparține” („este un element”) nu au fost distinse, dar de-a lungul timpului aceste concepte au necesitat diferențiere. Simbolul ∈ a fost folosit pentru prima dată de matematicianul italian Giuseppe Peano în 1895. Simbolul ∈ provine din prima literă a cuvântului grecesc εστι - a fi.

Cuantificator al universalității, cuantificator al existenței. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Cuantificator este un nume general pentru operațiile logice care indică domeniul de adevăr al unui predicat (enunț matematic). Filosofii au acordat de multă atenție operațiilor logice care limitează domeniul adevărului unui predicat, dar nu le-au identificat ca o clasă separată de operații. Deși construcțiile cuantificatoare-logice sunt utilizate pe scară largă atât în ​​vorbirea științifică, cât și în vorbirea de zi cu zi, formalizarea lor a avut loc abia în 1879, în cartea logicianului, matematicianului și filosofului german Friedrich Ludwig Gottlob Frege „Calculul conceptelor”. Notația lui Frege arăta ca niște construcții grafice greoaie și nu a fost acceptată. Ulterior, au fost propuse mult mai multe simboluri de succes, dar notațiile care au devenit general acceptate au fost ∃ pentru cuantificatorul existențial (a se citi „există”, „există”), propus de filozoful, logicianul și matematicianul american Charles Peirce în 1885 și ∀ pentru cuantificatorul universal (a se citi „oricare”, „fiecare”, „toată lumea”), format de matematicianul și logicianul german Gerhard Karl Erich Gentzen în 1935 prin analogie cu simbolul cuantificatorului existenței (primele litere inversate ale cuvintelor engleze). Existență (existență) și Oricare (oricare)). De exemplu, înregistrați

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

se citește astfel: „pentru orice ε>0 există δ>0 astfel încât pentru tot x nu este egal cu x 0 și care satisface inegalitatea |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Set gol. N. Bourbaki (1939).

Un set care nu conține un singur element. Semnul setului gol a fost introdus în cărțile lui Nicolas Bourbaki în 1939. Bourbaki este pseudonimul colectiv al unui grup de matematicieni francezi creat în 1935. Unul dintre membrii grupului Bourbaki a fost Andre Weil, autorul simbolului Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

În matematică, demonstrația este înțeleasă ca o secvență de raționament construită pe anumite reguli, care arată că o anumită afirmație este adevărată. Încă din Renaștere, sfârșitul unei dovezi a fost notat de matematicieni prin abrevierea „Q.E.D.”, din expresia latină „Quod Erat Demonstrandum” – „Ceea ce se cerea să fie demonstrat”. La crearea sistemului de aranjare a computerului ΤΕΧ în 1978, profesorul american de informatică Donald Edwin Knuth a folosit un simbol: un pătrat plin, așa-numitul „simbol Halmos”, numit după matematicianul american de origine maghiară Paul Richard Halmos. Astăzi, finalizarea unei dovezi este de obicei indicată de simbolul Halmos. Ca alternativă, se folosesc alte semne: un pătrat gol, un triunghi dreptunghic, // (două bare oblice), precum și abrevierea rusă „ch.t.d.”

Ereditatea este capacitatea organismelor de a-și transmite caracteristicile și proprietățile generației următoare, adică capacitatea de a reproduce propriul lor fel.

O genă este o secțiune a unei molecule de ADN care poartă informații despre structura unei proteine.

Genotipul este totalitatea tuturor proprietăților ereditare ale unui individ, baza ereditară a unui organism, alcătuit dintr-un set de gene.

Fenotipul este totalitatea tuturor caracteristicilor și proprietăților interne și externe ale unui individ, formate pe baza genotipului în procesul dezvoltării sale individuale.

Încrucișarea monohibridă este încrucișarea formelor parentale care diferă ereditar într-o singură pereche de trăsături.

Dominanța este fenomenul de predominanță a trăsăturilor în timpul încrucișării.

Trăsătură dominantă – predominantă.

O trăsătură recesivă este una care se retrage sau dispare.

Omozigoții sunt indivizi care, atunci când se autopolenizează pentru o anumită pereche de trăsături, produc descendenți omogeni, nedivizați.

Heterozigoții sunt indivizi care prezintă divizare în funcție de o anumită pereche de caracteristici.

Alelele sunt forme diferite ale aceleiași gene.

Încrucișarea dihibridă este încrucișarea formelor parentale care diferă în două perechi de caracteristici.

Variabilitatea este capacitatea organismelor de a-și schimba caracteristicile și proprietățile.

Variabilitatea modificatoare (fenotipică) - modificări ale fenotipului care apar sub influența modificărilor condițiilor externe și nu sunt asociate cu modificări ale genotipului.

Norma de reacție este limitele variabilității modificării unei trăsături date.

Mutațiile sunt modificări ale genotipului cauzate de modificări structurale ale genelor sau cromozomilor.

Poliploidia este o creștere a cromozomilor într-o celulă care este un multiplu al numărului haploid (3n, 4n sau mai mult).

În genetică, sunt utilizate următoarele simboluri general acceptate:

• litera P (din latinescul „parenta” - părinți) denotă organismele părinte luate pentru încrucișare;
• semnul ♀ („oglinda lui Venus”) - denotă genul feminin;
• ♂ („scutul și sulița lui Marte”) - desemnează un iol masculin.
• Încrucișarea este desemnată prin semnul „X”, descendentul hibrid este desemnat prin litera F (din latinescul „philia” - copii) cu un număr corespunzător numărului de serie al generației - F 1, F 2, F 3.

Legi formulate de G. Mendel

Regula dominanței, sau prima lege: în timpul încrucișării monohibride, la hibrizii de prima generație apar doar trăsăturile dominante - este uniformă fenotipic.

Legea diviziunii, sau a doua lege a lui G. Mendel: la încrucișarea hibrizilor din prima generație, caracteristicile la descendenți sunt împărțite într-un raport de 3:1 - se formează două grupuri fenotipice - dominante și recesive.

Legea moștenirii independente(a treia lege): în timpul încrucișării dihibride la hibrizi, fiecare pereche de trăsături este moștenită independent de celelalte și dă diferite combinații cu aceasta. Se formează patru grupe fenotipice, caracterizate printr-un raport de 9:3:3:1.

Progresul încrucișării monohibride (prima și a doua lege a lui Mendel)

Cercuri de lumină - organisme cu trăsături dominante; întunecat - cu o trăsătură recesivă.

Ipoteza purității gameților: perechile de caracteristici alternative găsite în fiecare organism nu se amestecă și în timpul formării gameților, câte unul din fiecare pereche trece în ei în forma lor pură.

Pentru a explica modelele observate, Mendel a prezentat ipoteza purității gameților, sugerând următoarele:

• orice trăsătură se formează sub influența unui factor material (genă).
• El a definit factorul care determină o trăsătură dominantă cu litera A mare și o trăsătură recesivă cu litera mare. Fiecare individ conține doi factori care determină dezvoltarea trăsăturii, unul îl primește de la mamă, celălalt de la tată.
• În timpul formării gameților la animale și spori - la plante, are loc o reducere a factorilor și doar unul intră în fiecare gamet sau spor.

Conform acestei ipoteze, cursul unei încrucișări monohibride este scris după cum urmează:

Pentru orice combinație de gameți, toți hibrizii au același genotip și același fenotip.

În F 2, diviziunea genotipului va fi 1AA; 2Aa; 1aa, dar la fenotip: 3 galbeni, 1 verde (3:1).

Uneori, hibrizii F1 nu au o dominație completă; caracteristicile lor sunt intermediare. Acest tip de moștenire se numește dominanță intermediară sau incompletă.

Exemplu: încrucișarea monohibridă a unei frumuseți nocturne: cu dominanță incompletă în F2, divizarea după fenotip și genotip este exprimată prin același raport: 1:2:1 (1 alb, 2 roz, 1 roșu).

Natura moștenirii a fost definită ca independentă și a fost formulată a treia lege a lui Mendel, sau legea moștenirii independente.

Moștenirea independentă este de mare importanță pentru evoluție, deoarece este sursa variabilității combinative și a diversității organismelor vii.

Legea moștenirii în lanț

În 1911, Thomas Morgan a formulat legea moștenirii în lanț- genele legate localizate pe același cromozom sunt moștenite împreună și nu prezintă segregare independentă.

Fiecare cromozom conține câteva mii de gene care disting un individ dintr-o anumită specie de altul. Clarificând întrebarea cum vor fi moștenite caracteristicile acestor gene, Morgan a stabilit că genele situate pe același cromozom sunt moștenite legate între ele, ca o pereche alternativă, fără a dezvălui moștenirea independentă.

Coeziunea nu este întotdeauna absolută. În profaza primei diviziuni a meiozei, în timpul conjugării cromozomilor, are loc încrucișarea acestora, în urma căreia genele situate pe un cromozom au ajuns pe diferiți cromozomi omologi și au ajuns în diferiți gameți.

Diagrama de încrucișare a cromozomilor

Două gene situate pe același cromozom (cercurile deschise pe unul dintre cromozomi) ajung pe cromozomi omologi diferiți ca urmare a încrucișării.

Un astfel de schimb duce la o rearanjare a genelor legate și este una dintre sursele variabilității combinative.

Încrucișarea cromozomilor joacă un rol în evoluție, deoarece o nouă combinație de gene determină apariția de noi trăsături care pot fi benefice sau dăunătoare organismului și pot afecta supraviețuirea acestuia.

O genă poate influența simultan formarea mai multor trăsături, prezentând în același timp efecte multiple.