Știm deja că mulțimea numerelor reale $R$ este formată din numere raționale și iraționale.

Numerele raționale pot fi întotdeauna reprezentate ca zecimale (periodic finit sau infinit).

Numerele iraționale sunt scrise ca zecimale infinite, dar nerecurente.

Mulțimea numerelor reale $R$ include și elementele $-\infty $ și $+\infty $, pentru care inegalitățile $-\infty

Luați în considerare modalități de a reprezenta numere reale.

Fracții comune

Fracțiile obișnuite sunt scrise folosind două numere naturale și o bară fracțională orizontală. Bara fracțională înlocuiește de fapt semnul de divizare. Numărul de sub linie este numitorul (divizorul), numărul de deasupra liniei este numărătorul (divizibilul).

Definiție

O fracție se numește propriu-zisă dacă numărătorul ei este mai mic decât numitorul ei. În schimb, o fracție se numește improprie dacă numărătorul ei este mai mare sau egal cu numitorul ei.

Pentru fracțiile obișnuite, există reguli de comparație simple, practic evidente ($m$,$n$,$p$ sunt numere naturale):

1. din două fracții cu aceiași numitori, cea cu numărătorul mai mare este mai mare, adică $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ pentru $m>n$;
2. dintre două fracții cu aceiași numărători, cea cu numitorul mai mic este mai mare, adică $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ pentru $ m
3. o fracție proprie este întotdeauna mai mică decât unu; fracția improprie este întotdeauna mai mare decât unu; o fracție al cărei numărător este egal cu numitorul este egală cu unu;
4. Orice fracție improprie este mai mare decât orice fracție proprie.

Numerele zecimale

Notarea unui număr zecimal (fracție zecimală) are forma: parte întreagă, virgulă zecimală, parte fracțională. Notația zecimală a unei fracții obișnuite poate fi obținută prin împărțirea „unghiului” numărătorului la numitor. Aceasta poate avea ca rezultat fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită.

Definiție

Cifrele fracționale se numesc zecimale. În acest caz, prima cifră după virgulă zecimală se numește cifra zecimii, a doua - cifra sutimii, a treia - cifra miimilor etc.

Exemplul 1

Determinăm valoarea numărului zecimal 3,74. Obținem: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Numărul zecimal poate fi rotunjit. În acest caz, trebuie să specificați cifra la care se efectuează rotunjirea.

Regula de rotunjire este următoarea:

1. toate cifrele din dreapta acestei cifre sunt înlocuite cu zerouri (dacă aceste cifre sunt înainte de virgulă zecimală) sau eliminate (dacă aceste cifre sunt după virgulă zecimală);
2. dacă prima cifră care urmează cifrei date este mai mică de 5, atunci cifra acestei cifre nu se modifică;
3. dacă prima cifră după cifra dată este 5 sau mai mult, atunci cifra acestei cifre este mărită cu unu.

Exemplul 2

1. Să rotunjim numărul 17302 la cea mai apropiată mie: 17000.
2. Să rotunjim numărul 17378 la cea mai apropiată sută: 17400.
3. Să rotunjim numărul 17378,45 la zeci: 17380.
4. Să rotunjim numărul 378,91434 la cea mai apropiată sutime: 378,91.
5. Să rotunjim numărul 378,91534 la cea mai apropiată sutime: 378,92.

Conversia unui număr zecimal într-o fracție comună.

Cazul 1

Un număr zecimal este o zecimală finală.

Metoda de conversie este prezentată în exemplul următor.

Exemplul 2

Avem: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Reduceți la un numitor comun și obțineți:

Fracția poate fi redusă: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Cazul 2

Un număr zecimal este o zecimală recurentă infinită.

Metoda de transformare se bazează pe faptul că partea periodică a unei fracții zecimale periodice poate fi considerată ca suma membrilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite.

Exemplul 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Primul membru al progresiei este $a=0,74$, numitorul progresiei este $q=0,01$.

Exemplul 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Primul membru al progresiei este $a=0.08$, numitorul progresiei este $q=0.1$.

Suma termenilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite se calculează prin formula $s=\frac(a)(1-q) $, unde $a$ este primul termen și $q$ este numitorul progresiei $ \left (0

Exemplul 6

Să convertim fracția zecimală periodică infinită $0,\left(72\right)$ într-una obișnuită.

Primul membru al progresiei este $a=0,72$, numitorul progresiei este $q=0,01$. Se obține: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11)$. Deci $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Exemplul 7

Să convertim fracția zecimală periodică infinită $0,5\left(3\right)$ într-una obișnuită.

Primul membru al progresiei este $a=0.03$, numitorul progresiei este $q=0.1$. Se obține: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1) )(30)$.

Deci $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Numerele reale pot fi reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică.

În acest caz, numim axa numerică o linie dreaptă infinită, pe care sunt selectate originea (punctul $O$), direcția pozitivă (indicată printr-o săgeată) și scara (pentru afișarea valorilor).

Între toate numerele reale și toate punctele axei numerice există o corespondență unu-la-unu: fiecărui punct îi corespunde un singur număr și, invers, fiecărui număr îi corespunde un singur punct. Prin urmare, mulțimea numerelor reale este continuă și infinită în același mod în care axa numerelor este continuă și infinită.

Unele submulțimi ale mulțimii de numere reale se numesc intervale numerice. Elementele unui interval numeric sunt numere $x\in R$ care satisfac o anumita inegalitate. Fie $a\in R$, $b\in R$ și $a\le b$. În acest caz, tipurile de goluri pot fi următoarele:

1. Interval $\stânga(a,\; b\dreapta)$. În același timp, $ a
2. Segmentează $\left$. Mai mult, $a\le x\le b$.
3. Semi-segmente sau semi-intervale $\left$. În același timp $ a \le x
4. Întinderi infinite, de exemplu $a

De mare importanță este și un fel de interval, numit vecinătatea unui punct. Vecinătatea unui punct dat $x_(0) \în R$ este un interval arbitrar $\left(a,\; b\right)$ care conține acest punct în interiorul său, adică $a 0$ - a 10-a rază.

Valoarea absolută a numărului

Valoarea absolută (sau modulul) unui număr real $x$ este un număr real nenegativ $\left|x\right|$, definit prin formula: $\left|x\right|=\left\(\ începe(matrice)(c) (\; \; x\; \; (\rm pe)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm pe)\; \; x

Geometric, $\left|x\right|$ înseamnă distanța dintre punctele $x$ și 0 de pe axa reală.

Proprietățile valorilor absolute:

1. din definiție rezultă că $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. pentru modulul sumei și pentru modulul diferenței a două numere, inegalitățile $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ stânga|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ și, de asemenea, $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. modulul produsului și modulul câtului a două numere satisfac egalitățile $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ și $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Pe baza definiției valorii absolute pentru un număr arbitrar $a>0$, se poate stabili și echivalența următoarelor perechi de inegalități:

1. dacă $ \left|x\right|
2. dacă $\left|x\right|\le a$ atunci $-a\le x\le a$;
3. dacă $\left|x\right|>a$ atunci fie $xa$;
4. dacă $\left|x\right|\ge a$, atunci fie $x\le -a$, fie $x\ge a$.

Exemplul 8

Rezolvați inegalitatea $\left|2\cdot x+1\right|

Această inegalitate este echivalentă cu inegalitățile $-7

De aici obținem: -8 dolari

Definiție 1. Axa numerică O linie dreaptă este numită cu originea, scara și direcția alese pe ea.

Teorema 1. Există o corespondență unu-la-unu (bijecție) între punctele axei numerice și numerele reale.

Nevoie. Să arătăm că fiecărui punct al axei numerice îi corespunde un număr real. Pentru a face acest lucru, puneți deoparte un segment de scară cu lungimea unității

ori astfel încât acest punct se va întinde la stânga punctului , și punctul
deja la dreapta. Următorul segment
împarte la
piese si pune deoparte segmentul si ori astfel încât acest punct se va întinde la stânga punctului , și punctul
deja la dreapta. Astfel, la fiecare etapă, numărul
,
… Dacă această procedură se încheie la un moment dat, vom obține numărul
(coordonata punctului pe linia numerică). Dacă nu, atunci numim limita stângă a oricărui interval „număr cu un dezavantaj”, iar cel potrivit – „numărul în exces”, sau „aproximarea numărului cu o deficiență sau un exces, „și numărul însuși va fi o fracție zecimală infinită neperiodică (de ce?). Se poate arăta că toate operațiile cu aproximări raționale ale unui număr irațional sunt definite fără ambiguitate.

Adecvarea. Să arătăm că orice număr real corespunde unui singur punct de pe axa numerelor. 

Definiția 2. În cazul în care un
, apoi intervalul numeric
numitsegment , dacă
, apoi intervalul numeric numitinterval , dacă
, apoi intervalul numeric
numitjumătate de interval .

O
definiția 3. Dacă segmentul
segmente imbricate astfel încât
, A
, atunci un astfel de sistem se numește SHS (sistem de segmente imbricate ).

Definiția 4. Ei spun asta

(lungimea segmentului
tinde spre zero , cu conditia ca
), dacă.

Definiția 5. SVS, care
se numește SSS (sistem de segmente contractante).

Axioma lui Cantor-Dedekind: În orice SHS, există cel puțin un punct care le aparține tuturor simultan.

Din moment ce aproximări raţionale ale numărului poate fi reprezentat printr-un sistem de segmente contractante, apoi un număr rațional va corespunde unui singur punct al axei numerice dacă există un singur punct în sistemul de segmente contractante care aparține tuturor deodată ( teorema lui Cantor). Să arătăm asta în sens invers.

. Lasa și două astfel de puncte și
,
. T
ak cum,
, apoi
. Dar pe de altă parte,
, si acelea. pornind de la un anumit număr
,
va fi mai mică decât orice constantă. Această contradicție dovedește ceea ce se cere. ■

Astfel, am arătat că axa numerică este continuă (nu are „găuri”) și nu mai pot fi plasate numere pe ea. Cu toate acestea, încă nu știm cum să extragem rădăcini din orice numere reale (în special, din cele negative) și nu știm cum să rezolvăm ecuații precum
. În Secțiunea 5 ne vom ocupa de rezolvarea acestei probleme.

3. 4. Teoria chipurilor

Definiția 1. O multime de
limitat de sus (de desubt ) dacă există un număr , astfel încât
. Număr numittop (partea de jos ) margine .

Definiția 2. O multime delimitat dacă este mărginit atât deasupra cât şi dedesubt.

Definiția 3. Marginea superioară precisă mulţime mărginită superioară de numere reale
numit :

(acestea. - una dintre fețele superioare);

(acestea. - imobil).

Cometariu. Limita superioară mare (TSB) a unui set de numere
notat
(din lat. supremum- cel mai mic dintre cei mai mari).

Cometariu. Definiția corespunzătoare pentru TNG ( marginea inferioară exactă) dăruiește-te. Setat numărul TNG
notat
(din lat. infinit- cea mai mare dintre cele mai mici).

Cometariu. poate aparține
, Sau poate nu. Număr este un TNG al mulțimii de numere reale negative și un TNG al mulțimii de numere reale pozitive, dar nu aparține nici unuia, nici celuilalt. Număr este TNG-ul mulțimii numerelor naturale și se referă la acestea.

Se pune întrebarea: orice mulțime mărginită are limite exacte și câte sunt?

Teorema 1. Orice set nevid de numere reale mărginite de sus are un TVG unic. (în mod similar, formulați și demonstrați teorema pentru TNG pe cont propriu).

Proiecta. O multime de
mulţime nevidă de numere reale mărginite de sus. Apoi
și
. Împărțiți segmentul

P
poli și numiți-o segment
unul care are următoarele proprietăți:

segment de linie
conţine cel puţin un punct
. (de exemplu, punct );

întregul set
se află la stânga punctului , adică
.

Continuând această procedură, obținem CCC
. Astfel, după teorema lui Cantor, există un punct unic , aparținând tuturor segmentelor deodată. Să arătăm asta
.

Să arătăm asta
(acestea. una dintre margini). Presupune contrariul
. La fel de
, apoi
o singura data
,
, adică
, adică
. Conform regulii de selecție a punctelor
, punct mereu la stânga , adică
, prin urmare, și
. Dar este ales astfel încât toate
, A
, adică și
. Această contradicție demonstrează această parte a teoremei.

Să arătăm inamovibilitatea , adică
. Să reparăm
și găsiți un număr. Potrivit
cu regula 1 pentru alegerea segmentelor. Tocmai am arătat asta
, adică
, sau
. Prin urmare
, sau
. ■

O axă este o linie dreaptă pe care una dintre cele două direcții posibile este marcată ca pozitivă (direcția opusă este considerată negativă). Direcția pozitivă este de obicei indicată de o săgeată. Axa numerică (sau de coordonate) este axa pe care sunt selectate punctul de început (sau începutul) O și unitatea de scară sau segmentul de scară OE (Fig. 1).

Astfel, axa numerică este dată prin indicarea direcției directe, originii și scara.

Punctele de pe dreapta numerelor reprezintă numere reale. Numerele întregi sunt reprezentate prin puncte, care se obțin prin așarea segmentului de scară de numărul necesar de ori la dreapta începutului lui O în cazul unui întreg pozitiv și la stânga în cazul unuia negativ. Zero este reprezentat de punctul de plecare O (litera O însăși amintește de zero; este prima literă a cuvântului origo, adică „început”). Numerele fracționale (raționale) sunt de asemenea reprezentate simplu prin puncte ale axei; de exemplu, pentru a construi un punct corespunzător numărului , trei segmente de scară și o treime din segmentul de scară ar trebui puse deoparte la stânga lui O (punctul A din Fig. 1). Pe lângă punctul A din fig. 1 prezintă mai multe puncte B, C, D, reprezentând numerele -2, respectiv; 3/2; 4.

Există un număr infinit de numere întregi, dar pe axa numerică, numerele întregi sunt reprezentate prin puncte situate „rar”, punctele întregi ale axei sunt separate de cele învecinate printr-o unitate de scară. Punctele raționale sunt situate pe axă foarte „dens” - este ușor de arătat că pe orice secțiune arbitrar de mică a axei există infinit de puncte reprezentând numere raționale. Cu toate acestea, există puncte pe dreapta numerică care nu sunt imagini ale numerelor raționale. Deci, dacă construiți un segment OA pe axa reală, egal cu ipotenuza OS a unui triunghi dreptunghic OEC cu catete, atunci lungimea acestui segment (conform teoremei lui Pitagora, p. 216) va fi egală și punctul A va fi egal. să nu fie o imagine a unui număr rațional.

Din punct de vedere istoric, faptul existenței unor segmente ale căror lungimi nu pot fi exprimate printr-un număr (un număr rațional!), a condus la introducerea numerelor iraționale.

Introducerea numerelor iraționale, care împreună cu numerele raționale formează mulțimea tuturor numerelor reale, duce la faptul că fiecărui punct al axei numerelor îi corespunde un singur număr real, a cărui imagine îi servește. Dimpotrivă, fiecare număr real este reprezentat printr-un punct bine definit pe axa numerică. Se stabilește o corespondență unu-la-unu între numerele reale și punctele axei numerice.

Deoarece ne gândim la axa numerelor ca pe o linie continuă, iar punctele sale sunt în corespondență unu-la-unu cu numerele reale, vorbim despre proprietatea de continuitate a mulțimii numerelor reale (articolul 6).

Mai observăm că într-un anumit sens (nu îl specificăm) există incomparabil mai multe numere iraționale decât raționale.

Numărul reprezentat de un punct dat A al axei numerice se numește coordonata acestui punct; faptul că a este coordonata punctului A se scrie astfel: A (a). Coordonata oricărui punct A se exprimă ca raport dintre OA / OE al segmentului OA și segmentul de scară OE, căruia, pentru punctele situate de la începutul lui O în direcția negativă, i se atribuie un semn minus.

Introducem acum coordonatele carteziene dreptunghiulare pe plan. Să luăm două axe numerice reciproc perpendiculare Ox și Oy, având o origine comună O și segmente de scară egale (în practică, se folosesc adesea axe de coordonate cu unități de scară diferite). Să presupunem că aceste axe (Fig. 3) formează un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian pe plan. Punctul O se numește originea coordonatelor, axele Ox și Oy sunt axele de coordonate (axa Ox se numește axa absciselor, axa Oy este axa ordonatelor). Pe fig. 3, ca de obicei, abscisa este orizontală, axa y verticală. Planul pe care este dat sistemul de coordonate se numește plan de coordonate.

Fiecărui punct al planului i se atribuie o pereche de numere - coordonatele acestui punct relativ la sistemul de coordonate dat. Și anume, luăm proiecții dreptunghiulare ale punctului M pe axele Ox și Oy, punctele corespunzătoare de pe axele Ox, Oy sunt indicate în Fig. 3 prin

Punctul are, ca punct al axei numerice, coordonata (abscisa) x, punctul, ca punct al axei numerice, coordonata (ordonata) y. Aceste două numere y (scrise în ordinea indicată) se numesc coordonatele punctului M.

În același timp, ei scriu: (x, y).

Deci, fiecărui punct al planului i se atribuie o pereche ordonată de numere reale (x, y) - coordonatele dreptunghiulare carteziene ale acestui punct. Termenul „pereche ordonată” indică faptul că ar trebui să se facă distincția între primul număr al perechii - abscisa și al doilea - ordonata. Dimpotrivă, fiecare pereche de numere (x, y) definește un singur punct M pentru care x este abscisa și y este ordonată. Setarea unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în plan stabilește o corespondență unu-la-unu între punctele planului și perechile ordonate de numere reale.

Axele de coordonate împart planul de coordonate în patru părți, patru cadrane. Cadranele sunt numerotate așa cum se arată în fig. 3, cu cifre romane.

Semnele coordonatelor unui punct depind de cadranul în care se află, așa cum se arată în următorul tabel:

Punctele situate pe axa au o ordonată y egală cu zero, punctele de pe axa Oy au o abscisă egală cu zero. Ambele coordonate ale originii O sunt egale cu zero: .

Exemplul 1. Construiți puncte pe plan

Soluția este dată în Fig. 4.

Dacă sunt cunoscute coordonatele unui anumit punct, atunci este ușor să indicați coordonatele punctelor care sunt simetrice cu acesta în raport cu axele Ox, Oy și originea: un punct simetric cu M în jurul axei Ox va avea coordonatele unui punct simetric cu M fata de coordonata, in final, intr-un punct simetric cu M fata de origine, coordonatele vor fi (-x, -y).

De asemenea, puteți specifica o relație între coordonatele unei perechi de puncte care sunt simetrice față de bisectoarea unghiurilor de coordonate (Fig. 5); dacă unul dintre aceste puncte M are coordonatele x și y, atunci y al celei de-a doua abscise este egal cu ordonata primului punct, iar ordonata este abscisa primului punct.

Cu alte cuvinte, coordonatele punctului N, simetric cu M față de bisectoarea unghiurilor de coordonate, vor fi Pentru a demonstra această poziție, se consideră triunghiuri dreptunghiulare O AM și OBN. Ele sunt situate simetric față de bisectoarea unghiului de coordonate și, prin urmare, sunt egale. Comparând picioarele lor respective, vom verifica corectitudinea afirmației noastre.

Sistemul de coordonate dreptunghiulare carteziene poate fi transformat prin mutarea originii sale O într-un nou punct O fără a schimba direcția axelor și dimensiunea segmentului de scară. Pe fig. Figura 6 prezintă două sisteme de coordonate în același timp: cel „vechi” cu originea O și cel „nou” cu originea O. Un punct arbitrar M are acum două perechi de coordonate, una relativă la vechiul sistem de coordonate, celălalt relativ la cel nou. Dacă coordonatele noului început în vechiul sistem sunt notate cu , atunci relația dintre coordonatele vechi ale punctului M și noile sale coordonate (x, y) se exprimă prin formulele

Aceste formule sunt numite formule de transfer al sistemului de coordonate; când sunt afișate în Fig. 6, se alege poziția cea mai convenabilă a punctului M, care se află în primul cadran atât al sistemului vechi, cât și al celui nou.

Se poate observa că formulele (8.1) rămân valabile pentru orice locație a punctului M.

Poziția punctului M pe plan poate fi specificată nu numai prin coordonatele sale dreptunghiulare carteziene y, ci și în alte moduri. Să conectăm, de exemplu, punctul M cu originea O (Fig. 7) și să considerăm următoarele două numere: lungimea segmentului și unghiul de înclinare al acestui segment față de direcția pozitivă a axei; rotația este în sens invers acelor de ceasornic și negativ în caz contrar, așa cum se obișnuiește în trigonometrie.Segmentul se numește raza polară a punctului M, unghiul este unghiul polar, o pereche de numere sunt coordonatele polare ale punctului M. După cum puteți vedea , pentru a determina coordonatele polare ale punctului, trebuie să specificați o singură axă de coordonate Ox (numită în acest caz axa polară). Este convenabil, totuși, să se ia în considerare simultan atât coordonatele dreptunghiulare polare, cât și cele carteziene, așa cum se face în Fig. 7.

Unghiul polar al unui punct este definit ambiguu prin specificarea unui punct: dacă este unul dintre unghiurile polare ale unui punct, atunci orice unghi

va fi unghiul său polar. Specificarea razei polare și a unghiului determină poziția punctului într-un mod unic. Originea O (numită polul sistemului de coordonate polare) are o rază egală cu zero, niciun unghi polar definit nu este atribuit punctului O.

Există următoarele relații între coordonatele carteziene și polare ale unui punct:

urmand direct din definitia functiilor trigonometrice (Sec. 97). Aceste relații fac posibilă găsirea coordonatelor carteziene din coordonatele polare date. Următoarele formule:

permit rezolvarea problemei inverse: folosind coordonatele carteziene date ale unui punct, găsiți coordonatele polare ale acestuia.

În acest caz, după valoarea (sau ), puteți găsi două valori posibile ale unghiului din primul cerc; unul dintre ele este ales de coef de semn. De asemenea, puteți determina unghiul prin tangenta sa: , dar în acest caz, sfertul în care se află este specificat de semnul coef sau .

Un punct dat de coordonatele sale polare este construit (fără calcularea coordonatelor carteziene) prin unghiul și raza sa polară.

Exemplul 2. Aflați coordonatele carteziene ale punctelor.

2 ECUATII SI INEGALITATI DE GRADUL I
Începeți să studiați subiectul prin rezolvarea problemelor de repetare din capitolul 1

§ 4. INEGALITATI

Inegalitățile numerice și proprietățile lor

175. Pune un semn de inegalitate între numere Ași b daca se stie ca:
1) (a - b) este un număr pozitiv;
2) (a - b) - un număr negativ;
3) (a - b) este un număr nenegativ.

176. X, dacă:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. Scrieți folosind semne de inegalitate care:
1) X- număr pozitiv;
2) la-un număr negativ;
3) | A| - număr nenegativ;
4) media aritmetică a două numere pozitive Ași b nu mai puțin decât media lor geometrică;
5) valoarea absolută a sumei a două numere raționale Ași b nu mai mult decât suma valorilor absolute ale termenilor.

178. Ce se poate spune despre semnele numerelor Ași b, dacă:

1) a b> 0; 2) A / b > 0; 3) a b< 0; 4) A / b < 0?

179. 1) Aranjați în ordine crescătoare următoarele numere, legându-le cu un semn de inegalitate: 0; -5; 2. Cum să citești această intrare?

2) Aranjați în ordine descrescătoare următoarele numere, legându-le cu un semn de inegalitate: -10; 0,1;-2/3. Cum să citești această intrare?

180. Scrieți în ordine crescătoare toate numerele din trei cifre, fiecare dintre ele conținând numerele 2; 0; 5 și conectează-le cu un semn de inegalitate.

181. 1) Când se măsoară o anumită lungime o dată l a constatat că este mai mare de 217 cm, dar mai mică de 218 cm. Înregistrați rezultatul măsurării, luând aceste numere drept limite ale valorii lungimii l.

2) Când cântăriți un obiect, s-a dovedit că acesta este mai greu de 19,5 G, dar mai ușor de 20,0 G. Notați rezultatul cântăririi indicând limitele.

182. Când cântărim un obiect cu o precizie de 0,05 kg, am primit greutatea
Р ≈ 26,4 kg. Specificați limitele greutății acestui articol.

183. Unde pe linia numerică se află punctul care reprezintă numărul X, dacă:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. Găsiți și indicați valori întregi pe axa numerelor X, satisfacerea inegalităţilor.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. Care este multiplu de 9 între 141 și 152? Dați o ilustrație pe linia numerică.

186. Determinați care dintre cele două numere este mai mare, dacă se știe că fiecare dintre ele este mai mare decât 103 și mai mic decât 115, iar primul număr este un multiplu al lui 13, iar al doilea este un multiplu al lui 3. Dați o ilustrare geometrică.

187. Care sunt cele mai apropiate numere întregi dintre fracțiile proprii? Este posibil să se specifice două numere întregi între care sunt incluse toate fracțiile improprii?

188. A cumpărat 6 cărți despre matematică, fizică și istorie. Câte cărți s-au cumpărat la fiecare materie dacă s-au cumpărat mai multe cărți la matematică decât la istorie și mai puține la fizică decât la istorie?

189. La lecția de algebră au fost testate cunoștințele a trei elevi. Ce nota a luat fiecare elev daca se stie ca primul a luat mai mult decat al doilea, iar al doilea mai mult decat al treilea, iar numarul de puncte primite de fiecare elev este mai mare de doua?

190. Într-un turneu de șah, jucătorii de șah A, B, C și D au obținut cele mai bune rezultate. Este posibil să aflăm ce loc a ocupat fiecare dintre participanții la turneu dacă se știe că A a obținut mai multe puncte decât D și B mai puțin? decât C?

191. Având în vedere inegalitatea a > b. Este întotdeauna a c > b c? Dă exemple.

192. Având în vedere inegalitatea A< b. Este corectă inegalitatea? A > - b?

193. Este posibil, fără a schimba semnul inegalității, să înmulțim ambele părți ale acesteia cu expresia X 2 + 1, unde X- vreun număr rațional?

194. Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu factorul dat între paranteze.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) A < - 1 (A); 5) b < - 3 (-b); 6)X -2 > 1 (X).

195. Aduceți la întreaga formă a inegalității:

196. Dată o funcție y = kx, Unde k la cu argumente tot mai mari X daca: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Dată o funcție y = kx + b, Unde k =/= 0, b=/= 0. Cum se schimbă valorile funcției la cu valori descrescătoare ale argumentului X daca: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Demonstrează că dacă a > bși cu> 0, atunci A / c > b / c; dacă a > bși cu< 0, то A / c < b / c .

199. Împărțiți ambele părți ale inegalității la numerele dintre paranteze:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) A < - 2A 2 (A);
4) A > A 2 (A); 5) A 3 > A 2 (-A).

200. Adăugați inegalitățile termen cu termen:

1) 12 > 11 și 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) A - 2 < 8 + bși 5 - 2 A < 2 - b;
4) X 2 + 1 > 2Xși X - 3 < 9 - X 2 .

201. Demonstrați că fiecare diagonală a unui patrulater convex este mai mică decât semiperimetrul său.

202. Demonstrați că suma a două laturi opuse ale unui patrulater convex este mai mică decât suma diagonalelor sale.

203. Scădeți termen cu termen a doua inegalitate din prima:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2A- 1 > 3b; 2b > 3.

204. Demonstrează că dacă | x |< а , apoi - A< х < а .

205. Scrieți următoarele inegalități ca inegalități duble:
1) | t |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. Specificați pe axa numerelor setul tuturor valorilor X satisfacerea inegalităţilor: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. Demonstrează că dacă - A< х < а , apoi | x |< A.

208. Înlocuiți inegalitățile duble cu o notație prescurtată:
1) -2 < A < 2; 2) -1 < 2P < 1; 3) 1 < X < 3.

209. Lungimea aproximativă l= 24,08(±0,01) mm. Stabiliți limite de lungime l.

210. Măsurarea de cinci ori a aceleiași distanțe folosind o riglă de metru a dat următoarele rezultate: 21,56; 21,60; 21,59; 21,55; 21,61 (m). Aflați media aritmetică a rezultatelor măsurătorilor, indicând limitele erorilor absolute și relative.

211. La cântărirea încărcăturii s-a obţinut P = 16,7 (± 0,4%) kg. Aflați limitele greutății R.

212. A≈ 16,4, eroare relativă ε = 0,5%. Găsiți eroarea absolută
Δ Ași stabiliți limitele între care se află numărul aproximativ.

213. Determinați limita erorii relative a valorii aproximative a fiecăruia dintre următoarele numere, dacă valoarea aproximativă este luată cu numărul specificat de cifre corecte: 1) 11 / 6 cu trei cifre corecte; 2) √5 cu patru cifre corecte.

214. La măsurarea distanței dintre două orașe pe o hartă, au descoperit că aceasta este mai mare de 24,4 cm, dar mai mică de 24,8 cm. Aflați distanța reală dintre orașe și eroarea absolută de calcul dacă scara hărții este 1: 2.500.000.

215. Efectuați calcule și determinați erorile absolute și relative ale rezultatului: x = a + b - c, dacă A= 7,22 (±0,01); 3.14< b < 3,17; cu= 5,4(±0,05).

216. Înmulțiți inegalitățile termen cu termen:

1) 7 > 5 și 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)A> 2 și b < -2.

217. Având în vedere inegalitatea A > b. Este întotdeauna A 2 > b 2? Dă exemple.

218. În cazul în care un a > b > 0 și P este un număr natural, atunci sus > b. Dovedi.

219. Care este mai mare: (0,3) 20 sau (0,1) 10?

220. În cazul în care un a > b > 0 sau b< а < 0 apoi 1 / A < 1 / b. Dovedi.

221. Calculați aria unui teren dreptunghiular cu o lungime de 437 m și o lățime de 162 m, dacă este posibilă o eroare de ±2 m la măsurarea lungimii terenului și o eroare de ±1 m la măsurarea lăţime.