Este dată definiția unei secvențe numerice. Sunt luate în considerare exemple de secvențe infinit crescătoare, convergente și divergente. Se consideră o secvență care conține toate numerele raționale.

Conţinut

Vezi si:

Definiție

Secvență numerică ( x n )- aceasta este legea (regula), conform căreia, pentru fiecare număr natural n = 1, 2, 3, . . . i se atribuie un număr x n.
Elementul x n este numit al n-lea membru sau element al secvenței.

Secvența este notată ca al n-lea membru cuprins între paranteze: . Sunt posibile și următoarele denumiri: . Ele afirmă în mod explicit că indicele n aparține mulțimii numerelor naturale și că șirul în sine are un număr infinit de membri. Iată câteva exemple de secvențe:
, , .

Cu alte cuvinte, o secvență numerică este o funcție al cărei domeniu este mulțimea numerelor naturale. Numărul de elemente din succesiune este infinit. Printre elemente, pot fi și membri care au aceeași valoare. De asemenea, succesiunea poate fi considerată ca un set numerotat de numere, format dintr-un număr infinit de membri.

Ne va interesa în principal întrebarea - cum se comportă secvențele atunci când n tinde spre infinit: . Acest material este prezentat în secțiunea Limită secvență - teoreme de bază și proprietăți. Și aici ne vom uita la câteva exemple de secvențe.

Exemple de secvențe

Exemple de secvențe infinit crescătoare

Să luăm în considerare o secvență. Termenul general al acestei secvențe este . Să scriem primii termeni:
.
Se poate observa că pe măsură ce numărul n crește, elementele cresc la nesfârșit spre valori pozitive. Putem spune că această secvență tinde spre : la .

Acum luați în considerare o secvență cu un termen comun. Iată câțiva dintre primii săi membri:
.
Pe măsură ce numărul n crește, elementele acestei secvențe cresc în valoare absolută la nesfârșit, dar nu au un semn constant. Adică această secvență tinde să : la .

Exemple de secvențe care converg către un număr finit

Să luăm în considerare o secvență. Membrul său comun Primii termeni sunt după cum urmează:
.
Se poate observa că pe măsură ce numărul n crește, elementele acestei secvențe se apropie de valoarea limită a = 0 : la . Deci fiecare termen ulterior este mai aproape de zero decât cel anterior. Într-un fel, putem presupune că există o valoare aproximativă pentru numărul a = 0 cu o eroare. Este clar că pe măsură ce n crește, această eroare tinde spre zero, adică prin alegerea lui n, eroarea poate fi făcută arbitrar mică. Mai mult, pentru orice eroare dată ε > 0 se poate preciza un astfel de număr N , încât pentru toate elementele cu numere mai mari decât N : , abaterea numărului de la valoarea limită a să nu depăşească eroarea ε : .

Apoi, luați în considerare succesiunea. Membrul său comun Iată câțiva dintre primii săi membri:
.
În această secvență, termenii pari sunt zero. Membrii cu n impar sunt . Prin urmare, pe măsură ce n crește, valorile lor se apropie de valoarea limită a = 0 . Aceasta rezultă și din faptul că
.
Ca și în exemplul anterior, putem specifica o eroare ε în mod arbitrar mică > 0 , pentru care este posibil să se găsească un astfel de număr N încât elementele cu numere mai mari decât N se vor abate de la valoarea limită a = 0 cu o valoare care nu depăşeşte eroarea specificată. Prin urmare, această secvență converge către valoarea a = 0 : la .

Exemple de secvențe divergente

Luați în considerare o succesiune cu următorul termen comun:

Iată primii săi membri:


.
Se poate observa că termenii cu numere pare:
,
converg spre valoarea a 1 = 0 . Membrii cu numere impare:
,
converg spre valoarea a 2 = 2 . Secvența în sine, pe măsură ce n crește, nu converge către nicio valoare.

Secvență cu termeni distribuiți în intervalul (0;1)

Acum luați în considerare o secvență mai interesantă. Luați un segment pe linia numerică. Să-l împărțim în jumătate. Obținem două segmente. Lasa
.
Fiecare dintre segmente este din nou împărțit în jumătate. Obținem patru segmente. Lasa
.
Împărțiți din nou fiecare segment în jumătate. Hai sa luam


.
etc.

Ca rezultat, obținem o succesiune ale cărei elemente sunt distribuite într-un interval deschis (0; 1) . Indiferent de punctul pe care îl luăm din intervalul închis , putem găsi întotdeauna membri ai secvenței care sunt în mod arbitrar aproape de acest punct sau care coincid cu acesta.

Apoi, din secvența originală se poate evidenția o subsecvență care va converge către un punct arbitrar din interval . Adică, pe măsură ce numărul n crește, membrii subsecvenței se vor apropia din ce în ce mai mult de punctul preselectat.

De exemplu, pentru punctul a = 0 puteți alege următoarea secvență:
.
= 0 .

Pentru punctul a = 1 alege urmatoarea urmarire:
.
Membrii acestei subsecvențe converg către valoarea a = 1 .

Deoarece există subsecvențe care converg către valori diferite, secvența originală în sine nu converge către niciun număr.

Secvență care conține toate numerele raționale

Acum să construim o secvență care conține toate numerele raționale. Mai mult, fiecare număr rațional va fi inclus într-o astfel de secvență de un număr infinit de ori.

Numărul rațional r poate fi reprezentat astfel:
,
unde este un număr întreg; - naturală.
Trebuie să atribuim fiecărui număr natural n o pereche de numere p și q, astfel încât orice pereche de p și q să fie inclusă în succesiunea noastră.

Pentru a face acest lucru, desenați axele p și q pe plan. Desenăm linii de grilă prin valori întregi p și q. Apoi fiecare nod al acestei grile cu va corespunde unui număr rațional. Întregul set de numere raționale va fi reprezentat printr-un set de noduri. Trebuie să găsim o modalitate de a numerota toate nodurile, astfel încât să nu pierdem niciun nod. Acest lucru este ușor de făcut dacă numerotăm nodurile în funcție de pătratele ale căror centre sunt situate în punct (0; 0) (Vezi poza). În acest caz, părțile inferioare ale pătratelor cu q < 1 nu avem nevoie. Prin urmare, ele nu sunt prezentate în figură.

Deci, pentru partea superioară a primului pătrat avem:
.
În continuare, numerotăm partea superioară a următorului pătrat:

.
Numerotăm partea superioară a pătratului următor:

.
etc.

În acest fel obținem o succesiune care conține toate numerele raționale. Se poate observa că orice număr rațional apare în această succesiune de un număr infinit de ori. Într-adevăr, împreună cu nodul , această secvență va include și noduri , unde este un număr natural. Dar toate aceste noduri corespund aceluiași număr rațional.

Apoi, din șirul pe care am construit-o, putem selecta o subsecvență (având un număr infinit de elemente), toate elementele care sunt egale cu un număr rațional predeterminat. Deoarece șirul pe care am construit-o are subsecvențe care converg către numere diferite, șirul nu converge către niciun număr.

Concluzie

Aici am dat o definiție precisă a secvenței numerice. Am atins și problema convergenței sale, bazată pe idei intuitive. Definiția exactă a convergenței este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt subliniate pe pagina Limită de secvență - Teoreme și proprietăți de bază.

Vezi si:

Lasa X (\displaystyle X) este fie multimea numerelor reale R (\displaystyle \mathbb (R) ), sau mulțimea de numere complexe C (\displaystyle \mathbb (C) ). Apoi secvența ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) elemente de set X (\displaystyle X) numit succesiune numerică.

Exemple

Operații pe secvențe

Subsecvențele

Urmare secvente (x n) (\displaystyle (x_(n))) este succesiunea (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), Unde (n k) (\displaystyle (n_(k))) este o succesiune crescătoare de elemente ale mulțimii numerelor naturale.

Cu alte cuvinte, o subsecvență se obține dintr-o secvență prin eliminarea unui număr finit sau numărabil de elemente.

Exemple

• Secvența numerelor prime este o subsecvență a șirului numerelor naturale.
• Secvența numerelor naturale care sunt multipli ale este o subsecvență a șirului numerelor naturale pare.

Proprietăți

Punctul limită al secvenței este un punct din orice vecinătate din care există infinit de elemente ale acestei secvențe. Pentru secvențele numerice convergente, punctul limită coincide cu limita.

Limită de secvență

Limită de secvență este obiectul pe care membrii secvenței îl abordează pe măsură ce numărul crește. Astfel, într-un spațiu topologic arbitrar, limita unei secvențe este un element în orice vecinătate a căruia se află toți membrii secvenței, începând de la cineva. În special, pentru secvențele numerice, limita este un număr în orice vecinătate a căruia se află toți membrii secvenței, începând de la unul.

Secvențe fundamentale

Secvență fundamentală (secvență auto-convergentă , secvență Cauchy ) este o succesiune de elemente ale unui spațiu metric, în care, pentru orice distanță predeterminată, există un astfel de element, distanța de la care până la oricare dintre elementele care îl urmează nu o depășește pe cea dată. Pentru secvențele numerice, conceptele de secvențe fundamentale și convergente sunt echivalente, dar în cazul general nu este cazul.

Matematica este știința care construiește lumea. Atât omul de știință, cât și omul de rând - nimeni nu se poate lipsi de el. În primul rând, copiii mici sunt învățați să numere, apoi să adună, să scadă, să înmulțească și să împartă, la gimnaziu intră în joc desemnările literelor, iar la cel mai mare nu se mai poate dispensa de ele.

Dar astăzi vom vorbi despre ce se bazează toată matematica cunoscută. Despre comunitatea de numere numită „limite de secvență”.

Ce sunt secvențele și unde este limita lor?

Sensul cuvântului „secvență” nu este greu de interpretat. Aceasta este o astfel de construcție a lucrurilor, în care cineva sau ceva se află într-o anumită ordine sau coadă. De exemplu, coada pentru bilete la grădina zoologică este o secvență. Și poate fi doar unul! Dacă, de exemplu, te uiți la coada către magazin, aceasta este o secvență. Și dacă o persoană părăsește brusc această coadă, atunci aceasta este o altă coadă, o altă ordine.

Cuvântul „limită” este, de asemenea, ușor de interpretat - acesta este sfârșitul a ceva. Cu toate acestea, în matematică, limitele secvențelor sunt acele valori de pe linia numerică la care tinde o secvență de numere. De ce se străduiește și nu se termină? Este simplu, linia numerică nu are sfârșit, iar cele mai multe secvențe, ca razele, au doar un început și arată astfel:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Prin urmare, definiția unei secvențe este o funcție a argumentului natural. Cu cuvinte mai simple, este o serie de membri ai unui set.

Cum se construiește o secvență de numere?

Cel mai simplu exemplu de succesiune de numere ar putea arăta astfel: 1, 2, 3, 4, … n…

În cele mai multe cazuri, în scopuri practice, secvențele sunt construite din numere, iar fiecare membru următor al seriei, să-l notăm cu X, are propriul nume. De exemplu:

x 1 - primul membru al secvenței;

x 2 - al doilea membru al secvenței;

x 3 - al treilea membru;

x n este al n-lea membru.

În metodele practice, succesiunea este dată de o formulă generală în care există o variabilă. De exemplu:

X n \u003d 3n, atunci seria de numere în sine va arăta astfel:

Merită să ne amintim că în notația generală a secvențelor, puteți folosi orice litere latine, și nu doar X. De exemplu: y, z, k etc.

Progresie aritmetică ca parte a secvențelor

Înainte de a căuta limitele secvențelor, este indicat să aprofundăm însuși conceptul unei astfel de serii de numere, pe care toată lumea le-a întâlnit când era în clasa de mijloc. O progresie aritmetică este o serie de numere în care diferența dintre termenii adiacenți este constantă.

Sarcină: „Fiți un 1 \u003d 15 și pasul de progresie a seriei de numere d \u003d 4. Construiți primii 4 membri ai acestui rând"

Rezolvare: a 1 = 15 (după condiție) este primul membru al progresiei (seria de numere).

iar 2 = 15+4=19 este al doilea membru al progresiei.

iar 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 este al treilea termen.

iar 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 este al patrulea termen.

Cu toate acestea, cu această metodă este dificil să se ajungă la valori mari, de exemplu, până la 125. . În special pentru astfel de cazuri, a fost derivată o formulă convenabilă pentru practică: a n \u003d a 1 + d (n-1). În acest caz, un 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Tipuri de secvențe

Cele mai multe dintre secvențele sunt nesfârșite, merită amintit toată viața. Există două tipuri interesante de serii de numere. Primul este dat de formula a n =(-1) n . Matematicienii se referă adesea la aceste secvențe intermitente. De ce? Să-i verificăm numerele.

1, 1, -1, 1, -1, 1 etc. Cu acest exemplu, devine clar că numerele din secvențe pot fi ușor repetate.

succesiune factorială. Este ușor de ghicit că există un factorial în formulă care definește secvența. De exemplu: și n = (n+1)!

Apoi secvența va arăta astfel:

și 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

și 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 etc.

O secvență dată de o progresie aritmetică se numește infinit descrescătoare dacă se observă inegalitatea -1 pentru toți membrii săi.

și 3 \u003d - 1/8 etc.

Există chiar și o secvență formată din același număr. Deci, și n \u003d 6 este format dintr-un număr infinit de șase.

Determinarea limitei unei secvențe

Limitele secvenței au existat de mult în matematică. Desigur, merită propriul lor design competent. Deci, este timpul să învățați definiția limitelor secvenței. Mai întâi, luați în considerare limita pentru o funcție liniară în detaliu:

1. Toate limitele sunt abreviate ca lim.
2. Intrarea limită constă din abrevierea lim, o variabilă care tinde către un anumit număr, zero sau infinit, precum și funcția în sine.

Este ușor de înțeles că definiția limitei unei secvențe poate fi formulată astfel: este un anumit număr, de care se apropie la infinit toți membrii șirului. Exemplu simplu: și x = 4x+1. Apoi secvența în sine va arăta astfel.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Astfel, această secvență va crește la infinit, ceea ce înseamnă că limita sa este egală cu infinitul ca x→∞, iar aceasta ar trebui scrisă după cum urmează:

Dacă luăm o secvență similară, dar x tinde spre 1, obținem:

Și seria de numere va fi așa: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 etc. De fiecare dată trebuie să înlocuiți numărul din ce în ce mai aproape de unul (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Din această serie se poate observa că limita funcției este cinci.

Din această parte, merită să ne amintim care este limita unei secvențe numerice, definiția și metoda de rezolvare a sarcinilor simple.

Notație generală pentru limita de secvențe

După ce am analizat limita șirului numeric, definiția și exemplele acesteia, putem trece la un subiect mai complex. Absolut toate limitele secvențelor pot fi formulate printr-o singură formulă, care este de obicei analizată în primul semestru.

Deci, ce înseamnă acest set de litere, module și semne de inegalitate?

∀ este un cuantificator universal, înlocuind expresiile „pentru toți”, „pentru tot”, etc.

∃ este un cuantificator de existență, în acest caz înseamnă că există o valoare N care aparține mulțimii numerelor naturale.

Un stick vertical lung după N înseamnă că setul dat N este „astfel încât”. În practică, poate însemna „astfel care”, „astfel care”, etc.

Pentru a consolida materialul, citiți formula cu voce tare.

Incertitudinea și certitudinea limitei

Metoda de găsire a limitei secvențelor, care a fost discutată mai sus, deși simplu de utilizat, nu este atât de rațională în practică. Încercați să găsiți limita pentru această funcție:

Dacă înlocuim diferite valori x (crescând de fiecare dată: 10, 100, 1000 etc.), atunci obținem ∞ la numărător, dar și ∞ la numitor. Se dovedește o fracție destul de ciudată:

Dar este chiar așa? Calcularea limitei șirului numeric în acest caz pare destul de ușoară. Ar fi posibil să lăsați totul așa cum este, pentru că răspunsul este gata și a fost primit în condiții rezonabile, dar există o altă cale specială pentru astfel de cazuri.

Mai întâi, să găsim cel mai înalt grad în numărătorul fracției - acesta este 1, deoarece x poate fi reprezentat ca x 1.

Acum să găsim cel mai înalt grad în numitor. De asemenea 1.

Împărțiți atât numărătorul cât și numitorul la variabilă la cel mai înalt grad. În acest caz, împărțim fracția la x 1.

În continuare, să aflăm la ce valoare tinde fiecare termen care conține variabila. În acest caz, sunt luate în considerare fracțiile. Ca x→∞, valoarea fiecăreia dintre fracții tinde spre zero. Când faceți o lucrare în scris, merită să faceți următoarele note de subsol:

Se obtine urmatoarea expresie:

Desigur, fracțiile care conțin x nu au devenit zero! Dar valoarea lor este atât de mică încât este destul de permis să nu o luăm în considerare în calcule. De fapt, x nu va fi niciodată egal cu 0 în acest caz, deoarece nu puteți împărți la zero.

Ce este un cartier?

Să presupunem că profesorul are la dispoziție o succesiune complexă, dată, evident, de o formulă nu mai puțin complexă. Profesorul a găsit răspunsul, dar se potrivește? La urma urmei, toți oamenii fac greșeli.

Auguste Cauchy a venit cu o modalitate grozavă de a demonstra limitele secvențelor. Metoda lui se numea operațiune de cartier.

Să presupunem că există un punct a, vecinătatea lui în ambele direcții pe linia reală este egală cu ε ("epsilon"). Deoarece ultima variabilă este distanța, valoarea ei este întotdeauna pozitivă.

Acum să stabilim o secvență x n și să presupunem că al zecelea membru al secvenței (x 10) este inclus în vecinătatea lui a. Cum se scrie acest fapt în limbaj matematic?

Să presupunem că x 10 este la dreapta punctului a, apoi distanța x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Acum este timpul să explicăm în practică formula menționată mai sus. Este corect să numim un anumit număr a punctul final al unei secvențe dacă inegalitatea ε>0 este valabilă pentru oricare dintre limitele sale și întreaga vecinătate are propriul său număr natural N, astfel încât toți membrii șirului cu numere mai mari vor fi în interiorul șirului |x n - a|< ε.

Cu astfel de cunoștințe, este ușor să rezolvi limitele unei secvențe, să dovedești sau să infirmi un răspuns gata.

Teoreme

Teoremele privind limitele secvențelor sunt o componentă importantă a teoriei, fără de care practica este imposibilă. Există doar patru teoreme principale, amintindu-ne pe care, le puteți facilita în mod semnificativ procesul de rezolvare sau demonstrare:

1. Unicitatea limitei unei secvențe. Orice secvență poate avea o singură limită sau deloc. Același exemplu cu o coadă care poate avea doar un capăt.
2. Dacă o serie de numere are o limită, atunci succesiunea acestor numere este limitată.
3. Limita sumei (diferența, produsul) secvențelor este egală cu suma (diferența, produsul) limitelor acestora.
4. Limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor dacă și numai dacă numitorul nu dispare.

Dovada secvenței

Uneori se cere să se rezolve o problemă inversă, să se demonstreze o limită dată a unei secvențe numerice. Să ne uităm la un exemplu.

Demonstrați că limita șirului dată de formulă este egală cu zero.

Conform regulii de mai sus, pentru orice succesiune inegalitatea |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Să exprimăm n în termeni de „epsilon” pentru a arăta existența unui anumit număr și a demonstra existența unei limite de succesiune.

În această etapă, este important să ne amintim că „epsilon” și „en” sunt numere pozitive și nu sunt egale cu zero. Acum puteți continua transformările ulterioare folosind cunoștințele despre inegalități dobândite în liceu.

De unde rezultă că n > -3 + 1/ε. Deoarece merită să ne amintim că vorbim despre numere naturale, rezultatul poate fi rotunjit punându-l între paranteze drepte. Astfel, s-a demonstrat că pentru orice valoare a vecinătății „epsilon” a punctului a = 0 s-a găsit o valoare astfel încât inegalitatea inițială să fie satisfăcută. Din aceasta putem afirma cu siguranță că numărul a este limita secvenței date. Q.E.D.

Cu o metodă atât de convenabilă, puteți demonstra limita unei secvențe numerice, oricât de complicată ar părea la prima vedere. Principalul lucru este să nu intrați în panică la vederea sarcinii.

Sau poate nu exista?

Existența unei limite de secvență nu este necesară în practică. Este ușor să găsești astfel de serii de numere care într-adevăr nu au sfârșit. De exemplu, același intermitent x n = (-1) n . este evident că o succesiune formată din doar două cifre care se repetă ciclic nu poate avea o limită.

Aceeași poveste se repetă cu secvențe formate dintr-un singur număr, fracțional, având în cursul calculelor o incertitudine de orice ordin (0/0, ∞/∞, ∞/0 etc.). Cu toate acestea, trebuie amintit că are loc și un calcul incorect. Uneori, reverificarea propriei soluții vă va ajuta să găsiți limita succesiunilor.

secvență monotonă

Mai sus, am luat în considerare câteva exemple de secvențe, metode de rezolvare a acestora, iar acum să încercăm să luăm un caz mai specific și să-l numim „secvență monotonă”.

Definiție: este corect să numim orice succesiune monoton crescătoare dacă satisface inegalitatea strictă x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Alături de aceste două condiții, există și inegalități similare nestrictive. În consecință, x n ≤ x n +1 (secvență nedescrescătoare) și x n ≥ x n +1 (secvență necrescătoare).

Dar este mai ușor de înțeles acest lucru cu exemple.

Secvența dată de formula x n \u003d 2 + n formează următoarea serie de numere: 4, 5, 6 etc. Aceasta este o succesiune crescătoare monoton.

Și dacă luăm x n \u003d 1 / n, atunci obținem o serie: 1/3, ¼, 1/5 etc. Aceasta este o succesiune monotonă descrescătoare.

Limita secvenței convergente și mărginite

O secvență mărginită este o secvență care are o limită. O secvență convergentă este o serie de numere care are o limită infinitezimală.

Astfel, limita unei secvențe mărginite este orice număr real sau complex. Amintiți-vă că poate exista o singură limită.

Limita unei secvențe convergente este o mărime infinitezimală (reala sau complexă). Dacă desenați o diagramă de secvență, atunci, la un anumit punct, aceasta va converge, tinde să se transforme într-o anumită valoare. De aici și numele - succesiune convergentă.

Limită de secvență monotonă

O astfel de secvență poate avea sau nu o limită. În primul rând, este util să înțelegeți când este, de aici puteți începe când dovediți absența unei limite.

Dintre secvențele monotone se disting convergente și divergente. Convergent - aceasta este o secvență care este formată din mulțimea x și are o limită reală sau complexă în această mulțime. Divergent - o secvență care nu are limită în mulțimea sa (nici reală, nici complexă).

Mai mult, secvența converge dacă limitele sale superioare și inferioare converg într-o reprezentare geometrică.

Limita unei secvențe convergente poate fi în multe cazuri egală cu zero, deoarece orice succesiune infinitezimală are o limită cunoscută (zero).

Indiferent de secvența convergentă pe care o luați, toate sunt mărginite, dar departe de a converge toate secvențele mărginite.

Suma, diferența, produsul a două secvențe convergente este, de asemenea, o secvență convergentă. Totuși, coeficientul poate converge și dacă este definit!

Diverse acțiuni cu limite

Limitele secvenței sunt la fel de semnificative (în majoritatea cazurilor) ca și numerele și numerele: 1, 2, 15, 24, 362 etc. Se dovedește că unele operații pot fi efectuate cu limite.

În primul rând, la fel ca cifrele și numerele, limitele oricărei secvențe pot fi adăugate și scăzute. Pe baza celei de-a treia teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita sumei șirurilor este egală cu suma limitelor acestora.

În al doilea rând, pe baza celei de-a patra teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita produsului celui de-al n-lea număr de secvențe este egală cu produsul limitelor acestora. Același lucru este valabil și pentru împărțire: limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor lor, cu condiția ca limita să nu fie egală cu zero. La urma urmei, dacă limita secvențelor este egală cu zero, atunci se va dovedi împărțirea cu zero, ceea ce este imposibil.

Proprietățile valorii secvenței

S-ar părea că limita succesiunii numerice a fost deja analizată în detaliu, dar expresii precum numere „infinit de mici” și „infinit de mari” sunt menționate de mai multe ori. Evident, dacă există o secvență 1/x, unde x→∞, atunci o astfel de fracție este infinit de mică, iar dacă aceeași secvență, dar limita tinde spre zero (x→0), atunci fracția devine o valoare infinit de mare . Și astfel de valori au propriile lor caracteristici. Proprietățile limitei unei secvențe având valori arbitrare mici sau mari sunt următoarele:

1. Suma oricărui număr de cantități arbitrar mici va fi, de asemenea, o cantitate mică.
2. Suma oricărui număr de valori mari va fi o valoare infinit de mare.
3. Produsul unor cantități arbitrar mici este infinit de mic.
4. Produsul unor numere arbitrar mari este o cantitate infinit de mare.
5. Dacă secvența originală tinde către un număr infinit, atunci reciproca acesteia va fi infinitezimală și tinde către zero.

De fapt, calcularea limitei unei secvențe nu este o sarcină atât de dificilă dacă cunoașteți un algoritm simplu. Dar limitele secvențelor sunt un subiect care necesită atenție și perseverență maximă. Desigur, este suficient să înțelegem pur și simplu esența soluției unor astfel de expresii. Începând de la mic, cu timpul, poți ajunge la înălțimi mari.

Succesiunea numerică se numeste functie numerica definita pe multimea numerelor naturale .

Dacă funcţia este dată pe mulţimea numerelor naturale
, atunci setul de valori ale funcției va fi numărabil și fiecare număr
numărul este potrivit
. În acest caz, spunem că dat succesiune numerică. Se numesc numere elemente sau membrii unei secvențe și numărul - general sau -al-lea membru al secvenței. Fiecare element are un adept
. Aceasta explică utilizarea termenului „secvență”.

Secvența este de obicei specificată fie prin enumerarea elementelor sale, fie prin indicarea legii după care se calculează elementul cu numărul , adică indicând formula al-lea membru .

Exemplu.Urmare
poate fi dat prin formula:
.

De obicei, secvențele sunt notate astfel: etc., unde formula acestuia al-lea membru.

Exemplu.Urmare
‑aceasta este succesiunea

Mulțimea tuturor elementelor unei secvențe
notat
.

Lasa
și
- două secvențe.

Cu ummah secvente
și
apelează secvența
, Unde
, adica...

R aznosti dintre aceste secvențe se numește șir
, Unde
, adica...

În cazul în care un și ‑ constante, apoi succesiunea
,
numit combinație liniară secvente
și
, adică

muncă secvente
și
apelează secvența -al-lea membru
, adică
.

În cazul în care un
, atunci este posibil să se determine privat
.

Suma, diferența, produsul și câtul de secvențe
și
ei sunt numiti, cunoscuti algebriccompozitii.

Exemplu.Luați în considerare secvențele
și
, Unde. Apoi
, adică ulterior
are toate elementele egale cu zero.

,
, adică toate elementele produsului și coeficientul sunt egale
.

Dacă tăiem unele elemente ale secvenței
astfel încât să rămână un număr infinit de elemente, atunci obținem o altă secvență, numită ulterior secvente
. Dacă tăiem primele câteva elemente ale secvenței
, atunci noua secvență este numită rest.

Urmare
limitatde mai sus(de desubt) dacă setul
limitat de sus (de jos). Secvența este numită limitat dacă este mărginit deasupra şi dedesubt. O secvență este mărginită dacă și numai dacă oricare din restul ei este mărginită.

Secvente convergente

Ei spun asta ulterior
converge dacă există un număr astfel încât pentru orice
exista asa ceva
, care pentru orice
, este valabilă următoarea inegalitate:
.

Număr numit limită de secvență
. În același timp, înregistrează
sau
.

Exemplu.
.

Să arătăm asta
. Setați orice număr
. Inegalitate
efectuat pentru
, astfel încât
că definiția convergenței este valabilă pentru număr
. Mijloace,
.

Cu alte cuvinte
înseamnă că toți membrii secvenței
cu numere suficient de mari difera putin de numarul , adică pornind de la un anumit număr
(când) elementele șirului sunt în interval
, Care e numit -vecinatatea punctului .

Urmare
, a cărui limită este egală cu zero (
, sau
la
) se numește infinitezimal.

După cum se aplică infinitezimale, următoarele afirmații sunt adevărate:

Suma a două infinitezimale este infinitezimală;

Produsul unui infinitezimal cu o valoare mărginită este un infinitezimal.

Teorema .În ordinea secvenței
a avut o limită, este necesar și suficient ca
, Unde - constant; - infinit de mici .

Principalele proprietăți ale secvențelor convergente:

Proprietățile 3. și 4. se generalizează în cazul oricărui număr de secvențe convergente.

Rețineți că atunci când se calculează limita unei fracții al cărei numărător și numitor sunt combinații liniare de puteri , limita fracției este egală cu limita raportului dintre cei mai mari termeni (adică termenii care conțin cele mai mari puteri numărător și numitor).

Urmare
numit:

Toate astfel de secvențe sunt numite monoton.

Teorema . Dacă succesiunea
crește monoton și este mărginit de sus, apoi converge și limita sa este egală cu cea mai mare limită superioară; dacă succesiunea este descrescătoare și este mărginită mai jos, atunci converge către cea mai mare limită inferioară.

Dacă o funcție este definită pe mulțimea numerelor naturale N, atunci o astfel de funcție se numește șir infinit de numere. De obicei, o secvență numerică este notată cu (Xn), unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Succesiunea numerică poate fi dată printr-o formulă. De exemplu, Xn=1/(2*n). Astfel, atribuim fiecarui numar natural n un element definit al sirului (Xn).

Dacă acum luăm succesiv n egal cu 1,2,3, …., obținem șirul (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Tipuri de secvențe

Secvența poate fi limitată sau nelimitată, crescătoare sau descrescătoare.

Secvența (Xn) apelează limitat dacă există două numere m și M astfel încât pentru orice n aparținând mulțimii numerelor naturale, egalitatea m<=Xn

Secvență (Xn), nu este limitat, se numește șir nemărginit.

crescând dacă pentru toate numerele întregi pozitive n este valabilă următoarea egalitate: X(n+1) > Xn. Cu alte cuvinte, fiecare membru al secvenței, începând de la al doilea, trebuie să fie mai mare decât membrul anterior.

Se numește șirul (Xn). in scadere, dacă pentru toate numerele întregi pozitive n este valabilă următoarea egalitate X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Exemplu de secvență

Să verificăm dacă secvențele 1/n și (n-1)/n sunt descrescătoare.

Dacă șirul este descrescător, atunci X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Deci succesiunea (n-1)/n este crescând.