Teorema lui Vieta - acest concept este familiar pentru aproape toată lumea din timpul școlii. Dar este chiar „familiar”? Puțini oameni îl întâlnesc în viața de zi cu zi. Dar nu toți cei care se ocupă de matematică înțeleg uneori pe deplin sensul profund și marea semnificație a acestei teoreme.

Teorema lui Vieta facilitează foarte mult procesul de rezolvare a unui număr mare de probleme matematice, care în cele din urmă se reduc la rezolvarea:

După ce a înțeles semnificația unui instrument matematic atât de simplu și eficient, ne gândim involuntar la persoana care l-a descoperit prima dată.

Celebrul om de știință francez care și-a început cariera ca avocat. Dar, evident, matematica era chemarea lui. În timpul serviciului regal ca consilier, a devenit faimos pentru că a putut citi un mesaj criptat interceptat de la Regele Spaniei către Țările de Jos. Acest lucru i-a oferit regelui francez Henric al III-lea posibilitatea de a cunoaște toate intențiile oponenților săi.

Familiarizându-se treptat cu cunoștințele matematice, Francois Viet a ajuns la concluzia că trebuie să existe o legătură strânsă între cele mai recente cercetări ale „algebriștilor” din acea vreme și moștenirea geometrică profundă a anticilor. În cursul cercetărilor științifice, el a dezvoltat și formulat aproape întreaga algebră elementară. El a fost primul care a introdus utilizarea valorilor literale în aparatul matematic, distingând clar conceptele: număr, mărime și relațiile lor. Viet a demonstrat că efectuând operații în formă simbolică, este posibilă rezolvarea problemei pentru cazul general, pentru aproape orice valoare a cantităților date.

Cercetările sale pentru rezolvarea ecuațiilor de grade mai mari decât al doilea au dus la o teoremă care este acum cunoscută sub numele de teorema Vieta generalizată. Are o mare importanță practică, iar aplicarea sa face posibilă rezolvarea rapidă a ecuațiilor de ordin superior.

Una dintre proprietățile acestei teoreme este următoarea: produsul tuturor puterilor a n-a este egal cu termenul său constant. Această proprietate este adesea folosită la rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea sau al patrulea pentru a reduce ordinea unui polinom. Dacă un polinom de gradul al n-lea are rădăcini întregi, atunci acestea pot fi determinate cu ușurință prin selecție simplă. Și apoi, după ce împărțim polinomul la expresia (x-x1), obținem polinomul (n-1)-al-lea grad.

În final, aș dori să remarc că teorema lui Vieta este una dintre cele mai cunoscute teoreme ale cursului de algebră școlară. Iar numele lui ocupă un loc demn printre numele marilor matematicieni.

În matematică, există trucuri speciale cu care multe ecuații pătratice sunt rezolvate foarte repede și fără discriminatori. Mai mult, cu o pregătire adecvată, mulți încep să rezolve ecuațiile pătratice verbal, literal „dintr-o privire”.

Din păcate, în cursul modern al matematicii școlare, astfel de tehnologii aproape nu sunt studiate. Și trebuie să știi! Și astăzi vom lua în considerare una dintre aceste tehnici - teorema lui Vieta. Mai întâi, să introducem o nouă definiție.

O ecuație pătratică de forma x 2 + bx + c = 0 se numește redusă. Vă rugăm să rețineți că coeficientul la x 2 este egal cu 1. Nu există alte restricții asupra coeficienților.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 este ecuația pătratică redusă;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - de asemenea redus;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - dar acest lucru nu este nimic redus, deoarece coeficientul la x 2 este 2.

Desigur, orice ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 poate fi redusă - este suficient să împărțiți toți coeficienții la numărul a. Putem face întotdeauna acest lucru, deoarece din definiția unei ecuații pătratice rezultă că a ≠ 0.

Adevărat, aceste transformări nu vor fi întotdeauna utile pentru găsirea rădăcinilor. Puțin mai jos, ne vom asigura că acest lucru ar trebui făcut numai atunci când în ecuația finală la pătrat toți coeficienții sunt întregi. Deocamdată, să ne uităm la câteva exemple simple:

Sarcină. Convertiți ecuația pătratică în redusă:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Să împărțim fiecare ecuație la coeficientul variabilei x 2 . Primim:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - împărțit totul la 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - împărțit la −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - împărțit la 1,5, toți coeficienții au devenit numere întregi;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - împărțit la 2. În acest caz, au apărut coeficienți fracționali.

După cum puteți vedea, ecuațiile pătratice date pot avea coeficienți întregi chiar dacă ecuația inițială conținea fracții.

Acum formulăm teorema principală, pentru care, de fapt, a fost introdus conceptul de ecuație pătratică redusă:

teorema lui Vieta. Luați în considerare ecuația pătratică redusă de forma x 2 + bx + c \u003d 0. Să presupunem că această ecuație are rădăcini reale x 1 și x 2. În acest caz, următoarele afirmații sunt adevărate:

1. x1 + x2 = −b. Cu alte cuvinte, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul variabilei x, luată cu semnul opus;
2. x 1 x 2 = c. Produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice este egal cu coeficientul liber.

Exemple. Pentru simplitate, vom lua în considerare numai ecuațiile pătratice date care nu necesită transformări suplimentare:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rădăcini: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; rădăcini: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rădăcini: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Teorema lui Vieta ne oferă informații suplimentare despre rădăcinile unei ecuații pătratice. La prima vedere, acest lucru poate părea complicat, dar chiar și cu un antrenament minim, veți învăța să „vedeți” rădăcinile și să le ghiciți literalmente în câteva secunde.

Sarcină. Rezolvați ecuația pătratică:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Să încercăm să scriem coeficienții conform teoremei Vieta și să „ghicim” rădăcinile:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 este ecuația pătratică redusă.
   După teorema Vieta, avem: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Este ușor de observat că rădăcinile sunt numerele 2 și 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - de asemenea redus.
   După teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De aici rădăcinile: 3 și 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - această ecuație nu este redusă. Dar vom rezolva acest lucru acum împărțind ambele părți ale ecuației la coeficientul a \u003d 3. Obținem: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Rezolvăm după teorema Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rădăcini: −10 și −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - din nou coeficientul la x 2 nu este egal cu 1, i.e. ecuația nu este dată. Împărțim totul la numărul a = −7. Se obține: x 2 - 11x + 30 = 0.
   După teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; din aceste ecuații este ușor de ghicit rădăcinile: 5 și 6.

Din raționamentul de mai sus, se poate observa cum teorema lui Vieta simplifică soluția ecuațiilor pătratice. Fără calcule complicate, fără rădăcini și fracții aritmetice. Și chiar și discriminantul (vezi lecția „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”) Nu aveam nevoie.

Desigur, în toate reflecțiile noastre, am plecat de la două ipoteze importante, care, în general, nu sunt întotdeauna îndeplinite în problemele reale:

1. Ecuația pătratică este redusă, adică coeficientul la x 2 este 1;
2. Ecuația are două rădăcini diferite. Din punctul de vedere al algebrei, în acest caz discriminantul D > 0 - de fapt, presupunem inițial că această inegalitate este adevărată.

Cu toate acestea, în problemele matematice tipice aceste condiții sunt îndeplinite. Dacă, în urma calculelor, se obține o ecuație pătratică „rea” (coeficientul la x 2 este diferit de 1), acest lucru este ușor de remediat - aruncați o privire la exemplele de la începutul lecției. Tac în general despre rădăcini: ce fel de sarcină este aceasta în care nu există răspuns? Bineînțeles că vor exista rădăcini.

Astfel, schema generală de rezolvare a ecuațiilor pătratice conform teoremei Vieta este următoarea:

1. Reduceți ecuația pătratică la cea dată, dacă aceasta nu a fost deja făcută în starea problemei;
2. Dacă coeficienții din ecuația pătratică de mai sus s-au dovedit a fi fracționali, rezolvăm prin discriminant. Puteți chiar să vă întoarceți la ecuația inițială pentru a lucra cu numere mai „conveniente”;
3. În cazul coeficienților întregi, rezolvăm ecuația folosind teorema Vieta;
4. Dacă în câteva secunde nu s-a putut ghici rădăcinile, punctăm pe teorema Vieta și rezolvăm prin discriminant.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Deci, avem o ecuație care nu este redusă, pentru că coeficient a \u003d 5. Împărțiți totul la 5, obținem: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Toți coeficienții ecuației pătratice sunt întregi - să încercăm să rezolvăm folosind teorema Vieta. Avem: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. În acest caz, rădăcinile sunt ușor de ghicit - acestea sunt 2 și 5. Nu trebuie să numărați prin discriminant.

Sarcină. Rezolvați ecuația: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Ne uităm: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - această ecuație nu se reduce, împărțim ambele părți la coeficientul a = -5. Se obține: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - o ecuație cu coeficienți fracționali.

Este mai bine să reveniți la ecuația inițială și să numărați prin discriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Sarcină. Rezolvați ecuația: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Pentru început, împărțim totul la coeficientul a \u003d 2. Obținem ecuația x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Aceasta este ecuația redusă, conform teoremei Vieta avem: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Este dificil de ghicit rădăcinile ecuației pătratice în acest caz - personal, am „înghețat” serios când am rezolvat această problemă.

Va trebui să căutăm rădăcini prin discriminant: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Dacă nu vă amintiți rădăcina discriminantului, voi observa doar că 1225: 25 = 49. Prin urmare, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Acum că rădăcina discriminantului este cunoscută, rezolvarea ecuației nu este dificilă. Obținem: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Înainte de a trece la teorema lui Vieta, introducem o definiție. Ecuația pătratică a formei X² + px + q= 0 se numește redus. În această ecuație, coeficientul de conducere este egal cu unu. De exemplu, ecuația X² - 3 X- 4 = 0 este redus. Orice ecuație pătratică de formă topor² + b X + c= 0 poate fi redus, pentru aceasta împărțim ambele părți ale ecuației cu A≠ 0. De exemplu, ecuația 4 X² + 4 X- 3 \u003d 0 împărțit la 4 se reduce la forma: X² + X- 3/4 = 0. Deducem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice reduse, pentru aceasta folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice generale: topor² + bx + c = 0

Ecuație redusă X² + px + q= 0 coincide cu o ecuație generală în care A = 1, b = p, c = q. Prin urmare, pentru ecuația pătratică dată, formula ia forma:

ultima expresie se numește formula rădăcinilor ecuației pătratice reduse, este deosebit de convenabil să folosiți această formulă atunci când R- număr par. De exemplu, să rezolvăm ecuația X² - 14 X — 15 = 0

Ca răspuns, scriem că ecuația are două rădăcini.

Pentru o ecuație pătratică redusă cu pozitiv, este valabilă următoarea teoremă.

teorema lui Vieta

În cazul în care un X 1 și X 2 - rădăcinile ecuației X² + px + q= 0, atunci formulele sunt valabile:

X 1 + X 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, adică suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Pe baza formulei rădăcinilor ecuației pătratice de mai sus, avem:

Adăugând aceste egalități, obținem: X 1 + X 2 = —R.

Înmulțind aceste egalități, folosind formula diferenței de pătrate, obținem:

Rețineți că teorema Vieta este valabilă și atunci când discriminantul este zero, dacă presupunem că în acest caz ecuația pătratică are două rădăcini identice: X 1 = X 2 = — R/2.

Nerezolvarea ecuațiilor X² - 13 X+ 30 = 0 găsiți suma și produsul rădăcinilor sale X 1 și X 2. această ecuație D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, deci puteți aplica teorema Vieta: X 1 + X 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Luați în considerare încă câteva exemple. Una dintre rădăcinile ecuației X² — px- 12 = 0 este X 1 = 4. Găsiți coeficientul Rși a doua rădăcină X 2 din această ecuație. Conform teoremei lui Vieta x 1 * x 2 =— 12, X 1 + X 2 = — R. La fel de X 1 = 4 apoi 4 X 2 = - 12, de unde X 2 = — 3, R = — (X 1 + X 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Ca răspuns, notăm a doua rădăcină X 2 = - 3, coeficient p = - 1.

Nerezolvarea ecuațiilor X² + 2 X- 4 = 0 găsiți suma pătratelor rădăcinilor sale. Lasa X 1 și X 2 sunt rădăcinile ecuației. Conform teoremei lui Vieta X 1 + X 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. La fel de X 1²+ X 2² = ( X 1 + X 2)² - 2 X 1 X 2, atunci X 1²+ X 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Aflați suma și produsul rădăcinilor ecuației 3 X² + 4 X- 5 \u003d 0. Această ecuație are două rădăcini diferite, deoarece discriminantul D= 16 + 4*3*5 > 0. Pentru a rezolva ecuația, folosim teorema Vieta. Această teoremă a fost demonstrată pentru ecuația pătratică redusă. Deci, să împărțim această ecuație la 3.

Prin urmare, suma rădăcinilor este -4/3, iar produsul lor este -5/3.

În general, rădăcinile ecuației topor² + b X + c= 0 sunt legate prin următoarele egalități: X 1 + X 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Pentru a obține aceste formule, este suficient să împărțim ambele părți ale acestei ecuații pătratice cu A ≠ 0 și aplicați teorema lui Vieta la ecuația pătratică redusă rezultată. Luați în considerare un exemplu, trebuie să compuneți o anumită ecuație pătratică, ale cărei rădăcini X 1 = 3, X 2 = 4. La fel de X 1 = 3, X 2 = 4 sunt rădăcinile ecuației pătratice X² + px + q= 0, apoi prin teorema Vieta R = — (X 1 + X 2) = — 7, q = X 1 X 2 = 12. Ca răspuns, scriem X² - 7 X+ 12 = 0. Următoarea teoremă este utilizată în rezolvarea unor probleme.

Teoremă inversă teoremei lui Vieta

Dacă numerele R, q, X 1 , X 2 sunt astfel încât X 1 + X 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, apoi x 1și x2 sunt rădăcinile ecuației X² + px + q= 0. Înlocuire în partea stângă X² + px + qîn loc de R expresie - ( X 1 + X 2), dar în schimb q- muncă x 1 * x 2 . Primim: X² + px + q = X² — ( X 1 + X 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Astfel, dacă numerele R, q, X 1 și X 2 sunt legate prin aceste relații, apoi pentru toți X egalitate X² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), din care rezultă că X 1 și X 2 - rădăcinile ecuației X² + px + q= 0. Folosind teorema inversă cu teorema lui Vieta, uneori este posibil să găsim rădăcinile unei ecuații pătratice prin selecție. Luați în considerare un exemplu, X² - 5 X+ 6 = 0. Aici R = — 5, q= 6. Alegeți două numere X 1 și X 2 astfel încât X 1 + X 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Observând că 6 = 2 * 3, și 2 + 3 = 5, prin teorema inversă cu teorema lui Vieta, obținem că X 1 = 2, X 2 = 3 - rădăcinile ecuației X² - 5 X + 6 = 0.

Teorema lui Vieta este adesea folosită pentru a testa rădăcinile deja găsite. Dacă ați găsit rădăcinile, puteți utiliza formulele \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) pentru a calcula valorile \(p\ ) și \(q\ ). Și dacă se dovedesc a fi la fel ca în ecuația originală, atunci rădăcinile sunt găsite corect.

De exemplu, să folosim , să rezolvăm ecuația \(x^2+x-56=0\) și să obținem rădăcinile: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Să verificăm dacă am făcut o greșeală în procesul de rezolvare. În cazul nostru, \(p=1\) și \(q=-56\). După teorema lui Vieta avem:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Ambele afirmații au convergit, ceea ce înseamnă că am rezolvat corect ecuația.

Acest test se poate face pe cale orală. Va dura 5 secunde și te va scuti de greșeli stupide.

Teorema inversă Vieta

Dacă \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), atunci \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ecuației pătratice \ (x^ 2+px+q=0\).

Sau într-un mod simplu: dacă aveți o ecuație de forma \(x^2+px+q=0\), atunci rezolvând sistemul \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) îi vei găsi rădăcinile.

Datorită acestei teoreme, puteți găsi rapid rădăcinile unei ecuații pătratice, mai ales dacă aceste rădăcini sunt . Această abilitate este importantă deoarece economisește mult timp.

Exemplu . Rezolvați ecuația \(x^2-5x+6=0\).

Decizie : Folosind teorema inversă Vieta, obținem că rădăcinile îndeplinesc condițiile: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Priviți a doua ecuație a sistemului \(x_1 \cdot x_2=6\). În ce două poate fi descompus numărul \(6\)? Pe \(2\) și \(3\), \(6\) și \(1\) sau \(-2\) și \(-3\), și \(-6\) și \(- unu\). Și ce pereche să alegeți, prima ecuație a sistemului va spune: \(x_1+x_2=5\). \(2\) și \(3\) sunt similare, deoarece \(2+3=5\).
Răspuns : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exemple . Folosind inversul teoremei lui Vieta, găsiți rădăcinile ecuației pătratice:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Decizie :
a) \(x^2-15x+14=0\) - în ce factori se descompune \(14\)? \(2\) și \(7\), \(-2\) și \(-7\), \(-1\) și \(-14\), \(1\) și \(14\). ). Ce perechi de numere însumează \(15\)? Răspuns: \(1\) și \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - în ce factori se descompune \(-4\)? \(-2\) și \(2\), \(4\) și \(-1\), \(1\) și \(-4\). Ce perechi de numere însumează \(-3\)? Răspuns: \(1\) și \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – în ce factori se descompune \(20\)? \(4\) și \(5\), \(-4\) și \(-5\), \(2\) și \(10\), \(-2\) și \(-10\ ), \(-20\) și \(-1\), \(20\) și \(1\). Ce perechi de numere însumează \(-9\)? Răspuns: \(-4\) și \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - în ce factori se descompune \(780\)? \(390\) și \(2\). Se adună la \(88\)? Nu. Ce alți multiplicatori are \(780\)? \(78\) și \(10\). Se adună la \(88\)? Da. Răspuns: \(78\) și \(10\).

Nu este necesar să descompuneți ultimul termen în toți factorii posibili (ca în ultimul exemplu). Puteți verifica imediat dacă suma lor dă \(-p\).

Important! Teorema lui Vieta și teorema inversă funcționează numai cu , adică cu una al cărui coeficient în fața lui \(x^2\) este egal cu unu. Dacă inițial avem o ecuație neredusă, atunci o putem reduce prin simpla împărțire la coeficientul din fața lui \ (x ^ 2 \).

de exemplu, să fie dată ecuația \(2x^2-4x-6=0\) și vrem să folosim una dintre teoremele lui Vieta. Dar nu putem, deoarece coeficientul înainte de \(x^2\) este egal cu \(2\). Să scăpăm de el împărțind întreaga ecuație la \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Gata. Acum putem folosi ambele teoreme.

Răspunsuri la întrebările frecvente

Întrebare: Prin teorema lui Vieta, puteți rezolva oricare?
Răspuns: Din pacate, nu. Dacă nu există numere întregi în ecuație sau ecuația nu are deloc rădăcini, atunci teorema lui Vieta nu va ajuta. În acest caz, trebuie să utilizați discriminant . Din fericire, 80% dintre ecuațiile din cursul de matematică de la școală au soluții întregi.