Vrei să știi care sunt șansele matematice ca pariul tău să aibă succes? Atunci avem două vești bune pentru tine. În primul rând: pentru a calcula permeabilitatea, nu trebuie să efectuați calcule complexe și să petreceți mult timp. Este suficient să folosiți formule simple, care va dura câteva minute pentru a lucra. În al doilea rând, după ce ai citit acest articol, vei putea calcula cu ușurință probabilitatea de a trece oricare dintre tranzacțiile tale.

Pentru a determina corect permeabilitatea, trebuie să faceți trei pași:

• Calculați procentul de probabilitate a rezultatului unui eveniment în funcție de biroul casei de pariuri;
• Calculați singur probabilitatea din datele statistice;
• Aflați valoarea unui pariu având în vedere ambele probabilități.

Să luăm în considerare în detaliu fiecare dintre pași, folosind nu numai formule, ci și exemple.

Trecere rapidă

Calculul probabilității încorporate în cotele de pariere

Primul pas este să aflați cu ce probabilitate evaluează casa de pariuri șansele unui anumit rezultat. La urma urmei, este clar că casele de pariuri nu pariază cote doar așa. Pentru aceasta folosim următoarea formulă:

PB=(1/K)*100%,

unde P B este probabilitatea rezultatului conform biroului casei de pariuri;

K - cota caselor de pariuri pentru rezultat.

Să presupunem că șansele sunt 4 pentru victoria Arsenalului din Londra într-un duel împotriva lui Bayern, ceea ce înseamnă că probabilitatea victoriei sale de către BC este considerată ca (1/4) * 100% = 25%. Sau Djokovic joacă împotriva lui South. Multiplicatorul pentru victoria lui Novak este 1,2, șansele lui sunt egale cu (1/1,2)*100%=83%.

Așa evaluează însăși casa de pariuri șansele de succes pentru fiecare jucător și echipă. După ce am terminat primul pas, trecem la al doilea.

Calculul probabilității unui eveniment de către jucător

Al doilea punct al planului nostru este propria noastră evaluare a probabilității evenimentului. Deoarece nu putem lua în considerare matematic astfel de parametri precum motivația, tonul de joc, vom folosi un model simplificat și vom folosi doar statisticile întâlnirilor anterioare. Pentru a calcula probabilitatea statistică a unui rezultat, folosim formula:

PȘi\u003d (UM / M) * 100%,

UndePȘi- probabilitatea evenimentului în funcție de jucător;

UM - numărul de meciuri reușite în care a avut loc un astfel de eveniment;

M este numărul total de potriviri.

Pentru a fi mai clar, haideți să dăm exemple. Andy Murray și Rafael Nadal au jucat 14 meciuri. În 6 dintre ele s-au înregistrat total sub 21 de jocuri, în 8 - total peste. Este necesar să se afle probabilitatea ca următorul meci să se joace pentru un total peste: (8/14)*100=57%. Valencia a jucat 74 de meciuri la Mestalla împotriva lui Atlético, în care a obținut 29 de victorii. Probabilitatea de a câștiga Valencia: (29/74)*100%=39%.

Și știm cu toții acest lucru doar datorită statisticilor jocurilor anterioare! Desigur, o astfel de probabilitate nu poate fi calculată pentru o echipă sau un jucător nou, așa că această strategie de pariere este potrivită doar pentru meciurile în care adversarii se întâlnesc nu pentru prima dată. Acum știm cum să determinăm pariurile și propriile probabilități de rezultate și avem toate cunoștințele pentru a trece la ultimul pas.

Determinarea valorii unui pariu

Valoarea (valoritatea) pariului și gradul de acceptare sunt direct legate: cu cât evaluarea este mai mare, cu atât șansa de trecere este mai mare. Valoarea se calculează după cum urmează:

V=PȘi*K-100%,

unde V este valoarea;

P I - probabilitatea unui rezultat în funcție de cel mai bun;

K - cota caselor de pariuri pentru rezultat.

Să zicem că vrem să pariem pe Milan pentru a câștiga meciul cu Roma și am calculat că probabilitatea ca roș-negrii să câștige este de 45%. Casa de pariuri ne oferă un coeficient de 2,5 pentru acest rezultat. Ar fi valoros un astfel de pariu? Efectuăm calcule: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Grozav, avem un pariu valoros cu șanse mari de a trece.

Să luăm un alt caz. Maria Sharapova joacă împotriva Petrei Kvitova. Vrem să facem o afacere ca Maria să câștige, care, după calculele noastre, are o probabilitate de 60%. Casele de pariuri oferă un multiplicator de 1,5 pentru acest rezultat. Determinați valoarea: V=60%*1,5-100=-10%. După cum puteți vedea, acest pariu nu are valoare și ar trebui să fie abținut.

Este puțin probabil ca mulți oameni să se gândească dacă este posibil să se calculeze evenimente care sunt mai mult sau mai puțin aleatorii. În termeni simpli, este realist să știm care parte a zarului va cădea următoarea? Aceasta a fost întrebarea pe care și-au pus-o doi mari oameni de știință, care au pus bazele unei astfel de științe precum teoria probabilității, în care probabilitatea unui eveniment este studiată destul de amplu.

Origine

Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, obțineți următorul lucru: aceasta este una dintre ramurile matematicii care studiază constanța evenimentelor aleatoare. Desigur, acest concept nu dezvăluie cu adevărat întreaga esență, așa că este necesar să îl luăm în considerare mai detaliat.

Aș dori să încep cu creatorii teoriei. După cum am menționat mai sus, au fost doi dintre ei și ei au fost printre primii care au încercat să calculeze rezultatul unui eveniment folosind formule și calcule matematice. În general, începuturile acestei științe au apărut în Evul Mediu. La acea vreme, diverși gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocurile de noroc, cum ar fi ruleta, zarurile și așa mai departe, stabilind astfel un model și un procent al unui anumit număr de cădere. Fundația a fost pusă în secolul al XVII-lea de oamenii de știință menționați mai sus.

La început, munca lor nu putea fi pusă pe seama marilor realizări în acest domeniu, deoarece tot ceea ce au făcut au fost pur și simplu fapte empirice, iar experimentele au fost stabilite vizual, fără a folosi formule. De-a lungul timpului, s-a dovedit a obține rezultate grozave, care au apărut ca urmare a observării aruncării zarurilor. Acesta a fost instrumentul care a ajutat la derivarea primelor formule inteligibile.

Oameni cu aceeasi gandire

Este imposibil să nu menționăm o astfel de persoană precum Christian Huygens, în procesul de studiu a unui subiect numit „teoria probabilității” (probabilitatea unui eveniment este acoperită tocmai în această știință). Această persoană este foarte interesantă. El, ca și oamenii de știință prezentați mai sus, a încercat să obțină regularitatea evenimentelor aleatorii sub formă de formule matematice. Este de remarcat că nu a făcut asta împreună cu Pascal și Fermat, adică toate lucrările sale nu s-au intersectat în niciun fel cu aceste minți. Huygens a scos

Un fapt interesant este că munca sa a apărut cu mult înainte de rezultatele muncii descoperitorilor, sau mai degrabă, cu douăzeci de ani mai devreme. Dintre conceptele desemnate, cele mai cunoscute sunt:

• conceptul de probabilitate ca mărime a hazardului;
• așteptări matematice pentru cazuri discrete;
• teoreme ale înmulțirii și adunării probabilităților.

De asemenea, este imposibil să nu ne amintim cine a avut și o contribuție semnificativă la studiul problemei. Făcându-și propriile teste, independent de oricine, a reușit să prezinte o dovadă a legii numerelor mari. La rândul lor, oamenii de știință Poisson și Laplace, care au lucrat la începutul secolului al XIX-lea, au reușit să demonstreze teoremele originale. Din acest moment, teoria probabilității a început să fie folosită pentru a analiza erorile în cursul observațiilor. Nici oamenii de știință ruși, sau mai degrabă Markov, Cebyshev și Dyapunov, nu au putut ocoli această știință. Pe baza muncii făcute de marile genii, ei au fixat acest subiect ca ramură a matematicii. Aceste figuri au funcționat deja la sfârșitul secolului al XIX-lea și, datorită contribuției lor, fenomene precum:

• legea numerelor mari;
• teoria lanțurilor Markov;
• teorema limitei centrale.

Deci, cu istoria nașterii științei și cu principalii oameni care au influențat-o, totul este mai mult sau mai puțin clar. Acum este timpul să concretizăm toate faptele.

Noțiuni de bază

Înainte de a atinge legi și teoreme, merită să studiezi conceptele de bază ale teoriei probabilităților. Evenimentul are rolul principal în el. Acest subiect este destul de voluminos, dar fără el nu va fi posibil să înțelegeți totul.

Un eveniment în teoria probabilității este orice set de rezultate ale unui experiment. Nu există atât de multe concepte ale acestui fenomen. Așadar, omul de știință Lotman, care lucrează în acest domeniu, a spus că în acest caz vorbim despre ceea ce „s-a întâmplat, deși s-ar putea să nu se fi întâmplat”.

Evenimentele aleatoare (teoria probabilității le acordă o atenție deosebită) este un concept care implică absolut orice fenomen care are capacitatea de a se produce. Sau, dimpotrivă, acest scenariu poate să nu se întâmple atunci când sunt îndeplinite multe condiții. De asemenea, merită să știți că evenimentele aleatoare sunt cele care surprind întregul volum de fenomene care au avut loc. Teoria probabilității indică faptul că toate condițiile pot fi repetate în mod constant. Conduita lor a fost numită „experiment” sau „test”.

Un anumit eveniment este unul care va avea loc 100% într-un anumit test. În consecință, un eveniment imposibil este unul care nu se va întâmpla.

Combinația unei perechi de acțiuni (condiționat cazul A și cazul B) este un fenomen care are loc simultan. Ele sunt desemnate ca AB.

Suma perechilor de evenimente A și B este C, cu alte cuvinte, dacă se întâmplă cel puțin unul dintre ele (A sau B), atunci se va obține C. Formula fenomenului descris este scrisă după cum urmează: C \u003d A + B.

Evenimentele disjunctive în teoria probabilității implică faptul că cele două cazuri se exclud reciproc. Ele nu se pot întâmpla niciodată în același timp. Evenimentele comune în teoria probabilității sunt antipodul lor. Aceasta înseamnă că dacă A s-a întâmplat, atunci nu îl împiedică pe B în niciun fel.

Evenimentele opuse (teoria probabilității le tratează în detaliu) sunt ușor de înțeles. Cel mai bine este să le faceți față în comparație. Sunt aproape la fel ca evenimentele incompatibile din teoria probabilității. Dar diferența lor constă în faptul că unul dintre multele fenomene, în orice caz, trebuie să se producă.

Evenimente la fel de probabile sunt acele acțiuni, a căror posibilitate de repetare este egală. Pentru a fi mai clar, ne putem imagina aruncarea unei monede: pierderea uneia dintre fețele sale este la fel de probabil să cadă din cealaltă.

Un eveniment favorabil este mai ușor de văzut cu un exemplu. Să presupunem că există episodul B și episodul A. Primul este aruncarea zarului cu apariția unui număr impar, iar al doilea este apariția numărului cinci pe zar. Apoi se dovedește că A îl favorizează pe B.

Evenimentele independente din teoria probabilității sunt proiectate doar pe două sau mai multe cazuri și implică independența oricărei acțiuni față de alta. De exemplu, A - scăpa cozi când aruncă o monedă și B - obține un jack de pe punte. Sunt evenimente independente în teoria probabilității. În acest moment, a devenit mai clar.

Evenimentele dependente în teoria probabilităților sunt, de asemenea, admisibile numai pentru mulțimea lor. Ele implică dependența unuia de celălalt, adică fenomenul B poate apărea numai dacă A s-a întâmplat deja sau, dimpotrivă, nu s-a întâmplat atunci când aceasta este condiția principală pentru B.

Rezultatul unui experiment aleatoriu constând dintr-o componentă este evenimente elementare. Teoria probabilității explică că acesta este un fenomen care s-a întâmplat o singură dată.

Formule de bază

Deci, conceptele de „eveniment”, „teoria probabilității” au fost luate în considerare mai sus, s-a dat și definiția termenilor principali ai acestei științe. Acum este timpul să faceți cunoștință directă cu formulele importante. Aceste expresii confirmă matematic toate conceptele principale dintr-un subiect atât de dificil precum teoria probabilității. Probabilitatea unui eveniment joacă și aici un rol important.

Este mai bine să începeți cu cele principale și înainte de a trece la ele, merită să luați în considerare ce este.

Combinatoria este în primul rând o ramură a matematicii, se ocupă de studiul unui număr mare de numere întregi, precum și de diverse permutări atât ale numerelor în sine, cât și ale elementelor lor, diferite date etc., ducând la apariția unui număr de combinații. Pe lângă teoria probabilității, această ramură este importantă pentru statistică, informatică și criptografie.

Deci, acum puteți trece la prezentarea formulelor în sine și definirea acestora.

Prima dintre acestea va fi o expresie pentru numărul de permutări, arată astfel:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ecuația se aplică numai dacă elementele diferă doar în ordinea lor.

Acum va fi luată în considerare formula de plasare, arată astfel:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Această expresie este aplicabilă nu numai ordinii elementului, ci și compoziției acestuia.

A treia ecuație din combinatorică, și este și ultima, se numește formula pentru numărul de combinații:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

O combinație se numește selecție care nu este ordonată, respectiv, și această regulă se aplică acestora.

S-a dovedit a fi ușor de dat seama de formulele combinatoriei, acum putem trece la definiția clasică a probabilităților. Această expresie arată astfel:

În această formulă, m este numărul de condiții favorabile evenimentului A și n este numărul absolut al tuturor rezultatelor la fel de posibile și elementare.

Există un număr mare de expresii, articolul nu le va acoperi pe toate, dar vor fi atinse cele mai importante dintre ele, cum ar fi, de exemplu, probabilitatea sumei evenimentelor:

P(A + B) = P(A) + P(B) - această teoremă este pentru a adăuga doar evenimente incompatibile;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - și acesta este pentru adăugarea doar a celor compatibile.

Probabilitatea producerii evenimentelor:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - această teoremă este pentru evenimente independente;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - și acesta este pentru persoanele aflate în întreținere.

Formula de eveniment va încheia lista. Teoria probabilității ne spune despre teorema lui Bayes, care arată astfel:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

În această formulă, H 1 , H 2 , …, H n este grupul complet de ipoteze.

Exemple

Dacă studiezi cu atenție orice ramură a matematicii, aceasta nu este completă fără exerciții și soluții mostre. La fel este și teoria probabilității: evenimentele, exemplele de aici sunt o componentă integrală care confirmă calculele științifice.

Formula pentru numărul de permutări

Să presupunem că există treizeci de cărți într-un pachet de cărți, începând cu valoarea nominală unu. Urmatoarea intrebare. Câte moduri există de a stivui pachetul astfel încât cărțile cu o valoare nominală de unu și doi să nu fie una lângă alta?

Sarcina este stabilită, acum să trecem la rezolvarea ei. Mai întâi trebuie să determinați numărul de permutări a treizeci de elemente, pentru aceasta luăm formula de mai sus, rezultă că P_30 = 30!.

Pe baza acestei reguli, vom afla câte opțiuni există pentru a plia pachetul în moduri diferite, dar trebuie să scădem din ele pe acelea în care urmează prima și a doua carte. Pentru a face acest lucru, să începem cu opțiunea când primul este deasupra celui de-al doilea. Se pare că prima carte poate ocupa douăzeci și nouă de locuri - de la prima la a douăzeci și nouă, iar a doua carte de la a doua la a treizecea, rezultă doar douăzeci și nouă de locuri pentru o pereche de cărți. La rândul său, restul poate ocupa douăzeci și opt de locuri și în orice ordine. Adică, pentru o permutare de douăzeci și opt de cărți, există douăzeci și opt de opțiuni P_28 = 28!

Ca urmare, reiese că dacă luăm în considerare soluția când prima carte este deasupra celei de-a doua, există 29 ⋅ 28 de posibilități suplimentare! = 29!

Folosind aceeași metodă, trebuie să calculați numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care primul card este sub al doilea. De asemenea, se dovedește 29 ⋅ 28! = 29!

Din aceasta rezultă că există 2 ⋅ 29! opțiuni suplimentare, în timp ce există 30 de moduri necesare pentru a construi pachetul! - 2 ⋅ 29!. Rămâne doar să numărăm.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Acum trebuie să înmulțiți toate numerele de la unu la douăzeci și nouă între ele, iar apoi, la sfârșit, să înmulțiți totul cu 28. Răspunsul este 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul de plasare

În această problemă, trebuie să aflați câte moduri există de a pune cincisprezece volume pe un raft, dar cu condiția ca în total să fie treizeci de volume.

În această problemă, soluția este puțin mai simplă decât în ​​cea anterioară. Folosind formula deja cunoscută, este necesar să se calculeze numărul total de aranjamente din treizeci de volume de cincisprezece.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7270 3

Răspunsul, respectiv, va fi egal cu 202.843.204.931.727.360.000.

Acum să luăm sarcina un pic mai dificilă. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja treizeci de cărți pe două rafturi, cu condiția ca doar cincisprezece volume să poată fi pe un raft.

Înainte de a începe soluția, aș dori să clarific că unele probleme sunt rezolvate în mai multe moduri, așa că există două moduri în aceasta, dar aceeași formulă este folosită în ambele.

În această problemă, puteți lua răspunsul din cea anterioară, pentru că acolo am calculat de câte ori puteți umple un raft cu cincisprezece cărți în moduri diferite. S-a dovedit A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Calculăm al doilea raft după formula de permutare, deoarece în el sunt plasate cincisprezece cărți, în timp ce rămân doar cincisprezece. Folosim formula P_15 = 15!.

Se pare că în total vor exista moduri A_30^15 ⋅ P_15, dar, în plus, produsul tuturor numerelor de la treizeci la șaisprezece va trebui înmulțit cu produsul numerelor de la unu la cincisprezece, ca urmare, se va obține produsul tuturor numerelor de la unu la treizeci, adică răspunsul este egal cu 30!

Dar această problemă poate fi rezolvată într-un mod diferit - mai ușor. Pentru a face acest lucru, vă puteți imagina că există un raft pentru treizeci de cărți. Toate sunt plasate pe acest plan, dar din moment ce condiția cere să existe două rafturi, tăiem unul lung în jumătate, rezultă două câte cincisprezece fiecare. Din aceasta rezultă că opțiunile de plasare pot fi P_30 = 30!.

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul combinației

Acum vom lua în considerare o variantă a celei de-a treia probleme din combinatorică. Trebuie să afli câte moduri există de a aranja cincisprezece cărți, cu condiția să alegi dintre treizeci de cărți absolut identice.

Pentru soluție, desigur, se va aplica formula pentru numărul de combinații. Din condiție devine clar că ordinea celor cincisprezece cărți identice nu este importantă. Prin urmare, inițial trebuie să aflați numărul total de combinații de treizeci de cărți de cincisprezece.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : cincisprezece ! = 155 117 520

Asta e tot. Folosind această formulă, în cel mai scurt timp posibil s-a putut rezolva o astfel de problemă, respectiv răspunsul este 155 117 520.

Exemplu de soluție. Definiția clasică a probabilității

Folosind formula de mai sus, puteți găsi răspunsul într-o problemă simplă. Dar vă va ajuta să vedeți vizual și să urmăriți cursul acțiunilor.

Problema este dată de faptul că în urnă sunt zece bile absolut identice. Dintre acestea, patru sunt galbene și șase albastre. Se ia o minge din urna. Trebuie să aflați probabilitatea de a obține albastru.

Pentru a rezolva problema, este necesar să se desemneze obținerea bilei albastre ca eveniment A. Această experiență poate avea zece rezultate, care, la rândul lor, sunt elementare și la fel de probabile. În același timp, șase din zece sunt favorabile pentru evenimentul A. Rezolvăm folosind formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Aplicând această formulă, am aflat că probabilitatea de a obține o minge albastră este de 0,6.

Exemplu de soluție. Probabilitatea sumei evenimentelor

Acum va fi prezentată o variantă, care se rezolvă folosind formula pentru probabilitatea sumei evenimentelor. Așadar, în condițiile în care există două cutii, prima conține o bile gri și cinci albe, iar a doua conține opt bile gri și patru albe. Drept urmare, una dintre ele a fost luată din prima și a doua casetă. Este necesar să aflați care este șansa ca bilele scoase să fie gri și albe.

Pentru a rezolva această problemă, este necesar să se desemneze evenimente.

• Deci, A - ia o minge gri din prima casetă: P(A) = 1/6.
• A '- au luat o minge albă tot din prima casetă: P (A ") \u003d 5/6.
• B - o minge gri a fost scoasă deja din a doua casetă: P(B) = 2/3.
• B' - au luat o minge cenușie din a doua casetă: P(B") = 1/3.

După starea problemei, este necesar ca unul dintre fenomene să se producă: AB 'sau A'B. Folosind formula, obținem: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Acum a fost folosită formula de înmulțire a probabilității. În continuare, pentru a afla răspunsul, trebuie să aplicați ecuația pentru adăugarea lor:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Deci, folosind formula, puteți rezolva probleme similare.

Rezultat

Articolul a oferit informații despre tema „Teoria probabilității”, în care probabilitatea unui eveniment joacă un rol crucial. Desigur, nu s-a luat în considerare totul, dar, pe baza textului prezentat, teoretic se poate face cunoștință cu această secțiune a matematicii. Știința în cauză poate fi utilă nu numai în munca profesională, ci și în viața de zi cu zi. Cu ajutorul lui, puteți calcula orice posibilitate a oricărui eveniment.

Textul a atins, de asemenea, date semnificative din istoria formării teoriei probabilității ca știință și numele persoanelor ale căror lucrări au fost investite în ea. Acesta este modul în care curiozitatea umană a dus la faptul că oamenii au învățat să calculeze chiar și evenimente aleatorii. Cândva erau doar interesați de asta, dar astăzi toată lumea știe deja despre asta. Și nimeni nu va spune ce ne așteaptă în viitor, ce alte descoperiri strălucitoare legate de teoria luată în considerare se vor face. Dar un lucru este sigur - cercetarea nu sta pe loc!

Un profesionist mai bun ar trebui să fie bine versat în cote, rapid și corect evalua probabilitatea unui eveniment printr-un coeficientși, dacă este necesar, să poată converti cotele dintr-un format în altul. În acest manual, vom vorbi despre ce tipuri de coeficienți sunt, precum și folosind exemple, vom analiza cum puteți calculați probabilitatea dintr-un coeficient cunoscut si invers.

Care sunt tipurile de coeficienți?

Există trei tipuri principale de cote oferite de casele de pariuri: cote zecimale, cote fracționale(engleză) și cote americane. Cele mai comune cote din Europa sunt zecimale. Cotele americane sunt populare în America de Nord. Cotele fracționate sunt cel mai tradițional tip, ele reflectă imediat informații despre cât trebuie să pariezi pentru a obține o anumită sumă.

Cote zecimale

zecimale sau altfel sunt numiti Cote europene- acesta este formatul numeric obișnuit, reprezentat de o fracție zecimală cu o precizie de sutimi și uneori chiar de miimi. Un exemplu de impară zecimală este 1,91. Calcularea profitului în cazul cotelor zecimale este foarte simplă, doar înmulțiți suma pariată cu această cotă. De exemplu, în meciul „Manchester United” - „Arsenal”, victoria lui „MU” este stabilită cu un coeficient de 2,05, o egalitate este estimată la un coeficient de 3,9, iar victoria lui „Arsenal” este egală cu - 2,95. Să presupunem că suntem încrezători că United va câștiga și va paria 1.000 de dolari pe ei. Apoi venitul nostru posibil este calculat după cum urmează:

2.05 * $1000 = $2050;

Nu este chiar atât de greu? La fel, venitul posibil este calculat la pariarea pe egalitate și victoria lui Arsenal.

A desena: 3.9 * $1000 = $3900;
Victoria Arsenal: 2.95 * $1000 = $2950;

Cum se calculează probabilitatea unui eveniment prin cote zecimale?

Imaginează-ți acum că trebuie să determinăm probabilitatea unui eveniment prin cotele zecimale stabilite de casa de pariuri. Acest lucru este, de asemenea, foarte ușor de făcut. Pentru a face acest lucru, împărțim unitatea la acest coeficient.

Să luăm datele pe care le avem deja și să calculăm probabilitatea fiecărui eveniment:

Victoria Manchester United: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
A desena: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Victoria Arsenal: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Cote fracționale (engleză)

După cum sugerează și numele coeficient fracționar reprezentată printr-o fracție obișnuită. Un exemplu de cotă engleză este 5/2. Numărătorul fracției conține un număr care este valoarea potențială a câștigurilor nete, iar numitorul conține un număr care indică suma pe care trebuie să o pariezi pentru a primi aceste câștiguri. Mai simplu spus, trebuie să pariem 2 dolari pentru a câștiga 5 dolari. Cota de 3/2 înseamnă că pentru a obține 3 USD din câștiguri nete, va trebui să pariem 2 USD.

Cum se calculează probabilitatea unui eveniment prin cote fracționale?

Probabilitatea unui eveniment prin coeficienți fracționali nu este, de asemenea, dificil de calculat, trebuie doar să împărțiți numitorul la suma numărătorului și numitorului.

Pentru fracția 5/2, calculăm probabilitatea: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Pentru fracția 3/2, calculăm probabilitatea:

Cote americane

Cote americane nepopular în Europa, dar foarte nepopular în America de Nord. Poate că acest tip de coeficienți este cel mai dificil, dar acest lucru este doar la prima vedere. De fapt, nu este nimic complicat în acest tip de coeficienți. Acum să aruncăm o privire la totul în ordine.

Principala caracteristică a cotelor americane este că pot fi oricare pozitiv, și negativ. Un exemplu de cote americane este (+150), (-120). Cota americană (+150) înseamnă că pentru a câștiga 150 USD trebuie să pariem 100 USD. Cu alte cuvinte, un multiplicator american pozitiv reflectă potențialele câștiguri nete la un pariu de 100 USD. Coeficientul american negativ reflectă suma pariului care trebuie făcut pentru a primi un câștig net de 100$. De exemplu, coeficientul (- 120) ne spune că pariând 120 USD vom câștiga 100 USD.

Cum se calculează probabilitatea unui eveniment folosind cotele americane?

Probabilitatea unui eveniment conform cotelor americane se calculează după următoarele formule:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), unde M este un coeficient american negativ;
100/(P+100), unde P este un coeficient american pozitiv;

De exemplu, avem un coeficient (-120), atunci probabilitatea se calculează după cum urmează:

(-(M))/((-(M)) + 100); înlocuim valoarea (-120) în loc de „M”;
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Astfel, probabilitatea unui eveniment cu coeficient american (-120) este de 54,5%.

De exemplu, avem un coeficient (+150), atunci probabilitatea se calculează după cum urmează:

100/(P+100); înlocuim valoarea (+150) în loc de „P”;
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Astfel, probabilitatea unui eveniment cu coeficient american (+150) este de 40%.

Cum, cunoscând procentul de probabilitate, îl traducem într-un coeficient zecimal?

Pentru a calcula coeficientul zecimal pentru un procent cunoscut de probabilitate, trebuie să împărțiți 100 la probabilitatea unui eveniment în procente. De exemplu, dacă probabilitatea unui eveniment este de 55%, atunci coeficientul zecimal al acestei probabilități va fi egal cu 1,81.

100 / 55% = 1,81

Cum, cunoscând procentul de probabilitate, îl traducem într-un coeficient fracționar?

Pentru a calcula un coeficient fracționar dintr-un procent cunoscut de probabilitate, trebuie să scădeți unul din împărțirea a 100 la probabilitatea unui eveniment în procente. De exemplu, avem un procent de probabilitate de 40%, atunci coeficientul fracționar al acestei probabilități va fi egal cu 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Coeficientul fracționar este 1,5/1 sau 3/2.

Cum, cunoscând procentul de probabilitate, să îl traduc într-un coeficient american?

Dacă probabilitatea unui eveniment este mai mare de 50%, atunci calculul se face după formula:

- ((V) / (100 - V)) * 100, unde V este probabilitatea;

De exemplu, avem o probabilitate de 80% pentru un eveniment, atunci coeficientul american al acestei probabilități va fi egal cu (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Dacă probabilitatea unui eveniment este mai mică de 50%, atunci calculul se face după formula:

((100 - V) / V) * 100, unde V este probabilitatea;

De exemplu, dacă avem un procent de probabilitate a unui eveniment de 20%, atunci coeficientul american al acestei probabilități va fi egal cu (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Cum se transformă coeficientul într-un alt format?

Există momente când este necesar să convertiți coeficienții dintr-un format în altul. De exemplu, avem un coeficient fracționar 3/2 și trebuie să-l convertim în zecimală. Pentru a converti o cotă fracțională în cotă zecimală, determinăm mai întâi probabilitatea unui eveniment cu o cotă fracțională și apoi convertim acea probabilitate într-o cotă zecimală.

Probabilitatea unui eveniment cu un coeficient fracționar de 3/2 este de 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Acum traducem probabilitatea unui eveniment într-un coeficient zecimal, pentru aceasta împărțim 100 la probabilitatea unui eveniment ca procent:

100 / 40% = 2.5;

Astfel, o cotă fracțională de 3/2 este egală cu o cotă zecimală de 2,5. Într-un mod similar, de exemplu, cotele americane sunt convertite în fracțional, zecimal în american etc. Cea mai grea parte din toate acestea sunt doar calculele.

Totul în lume se întâmplă în mod determinist sau aleatoriu...
Aristotel

Probabilitate: Reguli de bază

Teoria probabilității calculează probabilitățile diferitelor evenimente. De bază în teoria probabilității este conceptul de eveniment aleatoriu.

De exemplu, arunci o monedă, aceasta aterizează aleatoriu pe o stemă sau cozi. Nu știi dinainte pe ce parte va ateriza moneda. Inchei un contract de asigurare, nu stii dinainte daca se vor face sau nu plati.

În calculele actuariale, trebuie să se poată estima probabilitatea diverselor evenimente, astfel că teoria probabilității joacă un rol cheie. Nicio altă ramură a matematicii nu se poate ocupa de probabilitățile evenimentelor.

Să aruncăm o privire mai atentă la aruncarea monedelor. Există 2 rezultate care se exclud reciproc: stema sau cozi. Rezultatul aruncării este aleatoriu, deoarece observatorul nu poate analiza și ține cont de toți factorii care afectează rezultatul. Care este probabilitatea unei steme? Majoritatea vor răspunde ½, dar de ce?

Lasă formal DAR denotă pierderea stemei. Lasă moneda să se arunce n o singura data. Apoi probabilitatea evenimentului DAR poate fi definită ca proporția acelor role care au ca rezultat o stemă:

Unde n numărul total de aruncări N / A) numărul de steme.

Relația (1) se numește frecvență evenimente DARîntr-o serie lungă de teste.

Se pare că în diferite serii de teste frecvența corespunzătoare în general n clustere în jurul unei valori constante P(A). Această valoare este numită probabilitatea evenimentului DARși este marcat cu litera R- abrevierea cuvântului englezesc probabilitate – probabilitate.

Formal avem:

(2)

Această lege se numește legea numerelor mari.

Dacă moneda este corectă (simetrică), atunci probabilitatea de a obține stema este egală cu probabilitatea de a obține cozi și este egală cu ½.

Lasa DARși LA anumite evenimente, de exemplu, dacă a avut loc sau nu un eveniment asigurat. Unirea a două evenimente este un eveniment constând în executarea unui eveniment DAR, evenimente LA, sau ambele evenimente împreună. Intersecția a două evenimente DARși LA numit eveniment constând în implementarea ca eveniment DAR, și evenimente LA.

Reguli fundamentale probabilitățile de eveniment sunt după cum urmează:

1. Probabilitatea oricărui eveniment este între zero și unu:

2. Fie A și B două evenimente, atunci:

Se citește astfel: probabilitatea combinării a două evenimente este egală cu suma probabilităților acestor evenimente minus probabilitatea intersecției evenimentelor. Dacă evenimentele sunt incompatibile sau nu se suprapun, atunci probabilitatea de a combina (suma) două evenimente este egală cu suma probabilităților. Această lege se numește lege adaosuri probabilități.

Spunem că un eveniment este cert dacă probabilitatea lui este egală cu 1. Când se analizează anumite fenomene, se pune întrebarea cum afectează producerea unui eveniment. LA pentru eveniment DAR. Pentru aceasta, intra probabilitate condițională :

(4)

Se citește astfel: probabilitatea de a avea loc DAR dat fiind LA este egală cu probabilitatea de trecere DARși LAîmpărțit la probabilitatea evenimentului LA.
Formula (4) presupune că probabilitatea unui eveniment LA Peste zero.

Formula (4) poate fi scrisă și ca:

(5)

Aceasta este formula multiplicarea probabilităților.

Cunoscut și ca probabilitate condiționată. a posteriori probabilitatea evenimentului DAR- probabilitatea de a avea loc DAR după debut LA.

În acest caz, probabilitatea în sine este numită a priori probabilitate. Există câteva alte formule importante care sunt utilizate intens în calculele actuariale.

Formula probabilității totale

Să presupunem că se desfășoară un experiment, ale cărui condiții pot fi făcute în prealabil reciproc ipoteze (ipoteze) care se exclud reciproc:

Presupunem că fie are loc ipoteza, fie... sau. Probabilitățile acestor ipoteze sunt cunoscute și egale:

Apoi formula este valabilă complet probabilități :

(6)

Probabilitatea unui eveniment DAR este egală cu suma produselor probabilității de apariție DAR pentru fiecare ipoteză privind probabilitatea acestei ipoteze.

Formula Bayes

Formula Bayes vă permite să recalculați probabilitatea ipotezelor în lumina noilor informații pe care le-a dat rezultatul DAR.

Formula lui Bayes este, într-un anumit sens, inversul formulei probabilității totale.

Luați în considerare următoarea problemă practică.

Sarcina 1

Să presupunem că a avut loc un accident de avion și experții sunt ocupați să investigheze cauzele acestuia. Sunt cunoscute dinainte patru motive pentru care s-a produs catastrofa: fie motivul, fie, fie, fie. Conform statisticilor disponibile, aceste motive au următoarele probabilități:

La examinarea locului accidentului, au fost găsite urme de aprindere a combustibilului, conform statisticilor, probabilitatea acestui eveniment dintr-un motiv sau altul este următoarea:

Întrebare: care este cea mai probabilă cauză a dezastrului?

Calculați probabilitățile cauzelor în condițiile producerii evenimentului DAR.

Aceasta arată că primul motiv este cel mai probabil, deoarece probabilitatea sa este maximă.

Sarcina 2

Luați în considerare aterizarea unei aeronave pe un aeroport.

La aterizare, condițiile meteorologice pot fi după cum urmează: nu există nori joase (), există nori joase (). În primul caz, probabilitatea unei aterizări reușite este P1. În al doilea caz - R2. Este clar că P1>P2.

Dispozitivele care asigură aterizare oarbă au o probabilitate de funcționare fără probleme R. Dacă există o acoperire de nori scăzută și instrumentele de aterizare oarbă eșuează, probabilitatea unei aterizări reușite este P3, și P3<Р2 . Se știe că, pentru un anumit aerodrom, fracțiunea de zile dintr-un an cu nori scăzute este egală cu .

Găsiți probabilitatea unei aterizări în siguranță a aeronavei.

Trebuie să găsim probabilitatea.

Există două opțiuni care se exclud reciproc: dispozitivele de aterizare oarbă funcționează, dispozitivele de aterizare oarbă au eșuat, așa că avem:

De aici, conform formulei probabilității totale:

Sarcina 3

O companie de asigurări se ocupă de asigurări de viață. 10% dintre asigurații din această companie sunt fumători. Dacă asiguratul nu fumează, probabilitatea decesului său în cursul anului este de 0,01.Dacă este fumător, atunci această probabilitate este de 0,05.

Care este proporția fumătorilor dintre asigurații care au murit în cursul anului?

Opțiuni de răspuns: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.

Decizie

Să intrăm în evenimente:

Starea problemei înseamnă că

În plus, deoarece evenimentele și formează un grup complet de evenimente incompatibile în perechi, atunci .
Probabilitatea care ne interesează este .

Folosind formula lui Bayes, avem:

deci varianta corecta este ( LA).

Sarcina 4

Compania de asigurări vinde contracte de asigurare de viață în trei categorii: standard, privilegiate și ultraprivilegiate.

50% din toți asigurații sunt standard, 40% sunt preferați și 10% sunt ultra-preferați.

Probabilitatea decesului într-un an pentru un asigurat standard este de 0,010, pentru un privilegiat este de 0,005, iar pentru un ultra privilegiat este de 0,001.

Care este probabilitatea ca asiguratul decedat să fie ultraprivilegiat?

Decizie

Să luăm în considerare următoarele evenimente:

În ceea ce privește aceste evenimente, probabilitatea care ne interesează este . După condiție:

Deoarece evenimentele , , formează un grup complet de evenimente incompatibile pe perechi, folosind formula Bayes avem:

Variabile aleatoare și caracteristicile acestora

Lăsați o variabilă aleatorie, de exemplu, daune cauzate de un incendiu sau suma plăților de asigurare.
O variabilă aleatoare este pe deplin caracterizată prin funcția sa de distribuție.

Definiție. Funcţie numit functie de distributie variabilă aleatorie ξ .

Definiție. Dacă există o funcție astfel încât pentru arbitrar A Terminat

atunci spunem că variabila aleatoare ξ Are densitatea distribuției de probabilitate f(x).

Definiție. Lasa . Pentru o funcție de distribuție continuă F α-quantila teoretică se numește soluția ecuației.

Această soluție poate să nu fie singura.

Cuantila de nivel ½ numite teoretice median , cuantile de nivel ¼ și ¾ -quartile inferioare și superioare respectiv.

În aplicațiile actuariale, un rol important îl joacă Inegalitatea lui Cebyshev:

pentru orice

Simbol de așteptare matematică.

Se citește astfel: probabilitatea ca modulul să fie mai mare decât mai mic sau egal cu așteptarea modulului împărțit la .

Durata de viață ca variabilă aleatorie

Incertitudinea momentului decesului este un factor de risc major în asigurarea de viață.

Nimic cert nu se poate spune despre momentul morții unui individ. Cu toate acestea, dacă avem de-a face cu un grup mare omogen de oameni și nu suntem interesați de soarta persoanelor din acest grup, atunci ne aflăm în cadrul teoriei probabilităților ca știință a fenomenelor aleatoare de masă cu proprietatea de stabilitate a frecvenței.

Respectiv, putem vorbi despre speranța de viață ca o variabilă aleatoare T.

funcția de supraviețuire

În teoria probabilității, ei descriu natura stocastică a oricărei variabile aleatoare T functie de distributie F(x), care este definită ca probabilitatea ca variabila aleatoare T mai mic decât numărul X:

.

În matematica actuarială, este plăcut să lucrezi nu cu o funcție de distribuție, ci cu o funcție de distribuție suplimentară . În ceea ce privește longevitatea, este probabilitatea ca o persoană să trăiască până la vârsta X ani.

numit funcția de supraviețuire(funcția de supraviețuire):

Funcția de supraviețuire are următoarele proprietăți:

În tabelele de viață, de obicei se presupune că există unele limita de varsta (limitând vârsta) (de regulă, ani) și, în consecință, la x>.

Când se descrie mortalitatea prin legi analitice, se presupune de obicei că durata de viață este nelimitată, cu toate acestea, tipul și parametrii legilor sunt selectați astfel încât probabilitatea de viață peste o anumită vârstă să fie neglijabilă.

Funcția de supraviețuire are o semnificație statistică simplă.

Să presupunem că observăm un grup de nou-născuți (de obicei ) pe care îi observăm și îi putem înregistra momentele morții lor.

Să notăm numărul reprezentanților în viață ai acestui grup în vârstă prin . Apoi:

.

Simbol E aici și mai jos este folosit pentru a desemna așteptarea matematică.

Deci, funcția de supraviețuire este egală cu proporția medie a celor care au supraviețuit până la vârsta dintr-un anumit grup fix de nou-născuți.

În matematica actuarială, se lucrează adesea nu cu o funcție de supraviețuire, ci cu o valoare abia introdusă (după ce am stabilit dimensiunea inițială a grupului).

Funcția de supraviețuire poate fi reconstruită din densitatea:

Caracteristicile duratei de viață

Din punct de vedere practic, sunt importante următoarele caracteristici:

1 . Media durata de viață

,
2 . Dispersia durata de viață

,
Unde
,

Înțeleg că toată lumea vrea să știe dinainte cum se va termina un eveniment sportiv, cine va câștiga și cine va pierde. Cu aceste informații, puteți paria pe evenimente sportive fără teamă. Dar este posibil și, dacă da, cum se calculează probabilitatea unui eveniment?

Probabilitatea este o valoare relativă, prin urmare nu poate vorbi cu acuratețe despre niciun eveniment. Această valoare vă permite să analizați și să evaluați necesitatea de a plasa un pariu pe o anumită competiție. Definiția probabilităților este o întreagă știință care necesită un studiu și o înțelegere atentă.

Coeficientul de probabilitate în teoria probabilității

În pariurile sportive, există mai multe opțiuni pentru rezultatul competiției:

• victoria primei echipe;
• victoria echipei a doua;
• a desena;
• total

Fiecare rezultat al competiției are propria probabilitate și frecvență cu care se va desfășura acest eveniment, cu condiția păstrării caracteristicilor inițiale. După cum am menționat mai devreme, este imposibil să se calculeze cu exactitate probabilitatea oricărui eveniment - poate coincide sau nu. Astfel, pariul tău poate câștiga sau pierde.

Nu poate exista o predicție exactă de 100% a rezultatelor competiției, deoarece mulți factori influențează rezultatul meciului. Desigur, casele de pariuri nu știu dinainte rezultatul meciului și doar își asumă rezultatul, luând o decizie cu privire la sistemul lor de analiză și oferă anumite cote pentru pariuri.

Cum se calculează probabilitatea unui eveniment?

Să presupunem că cota casei de pariuri este de 2,1/2 - obținem 50%. Rezultă că coeficientul 2 este egal cu probabilitatea de 50%. Prin același principiu, puteți obține un raport al probabilității de prag de rentabilitate - 1 / probabilitate.

Mulți jucători cred că, după mai multe pierderi repetate, se va întâmpla cu siguranță o victorie - aceasta este o opinie eronată. Probabilitatea de a câștiga un pariu nu depinde de numărul de pierderi. Chiar dacă arunci mai multe capete la rând într-un joc cu monede, probabilitatea de a arunca cozi rămâne aceeași - 50%.