Semnele de apartenență sunt bine cunoscute din cursul planimetriei. Sarcina noastră este să le luăm în considerare în raport cu proiecțiile obiectelor geometrice.

Un punct aparține unui plan dacă aparține unei linii situate în acel plan.

Apartenența la un plan drept este determinată de unul dintre cele două semne:

a) o dreaptă trece prin două puncte situate în acest plan;

b) o dreaptă trece printr-un punct și este paralelă cu liniile aflate în acest plan.

Folosind aceste proprietăți, vom rezolva problema ca exemplu. Fie ca planul să fie dat de un triunghi ABC. Este necesar pentru a construi proiecția lipsă D 1 punct D aparţinând acestui plan. Succesiunea construcțiilor este următoarea (Fig. 2.5).

Orez. 2.5. La construirea proiecțiilor unui punct aparținând unui plan

Prin punct D 2 efectuăm proiecția unei drepte d culcat în avion  ABC intersectând una dintre laturile triunghiului cu punctul DAR 2. Atunci punctul 1 2 aparține dreptelor DAR 2 D 2 și C 2 LA 2. Prin urmare, se poate obține proiecția orizontală 1 1 pe C 1 LA 1 pe linia de comunicare. Prin legarea punctelor 1 1 şi DAR 1, obținem o proiecție orizontală d unu . Este clar că ideea D 1 îi aparține și se află pe linia de legătură de proiecție cu punctul D 2 .

Este destul de simplu să rezolvi probleme pentru a determina dacă un punct sau o dreaptă aparține unui plan. Pe fig. 2.6 arată cursul rezolvării unor astfel de probleme. Pentru claritatea prezentării problemei, planul este stabilit de un triunghi.

Orez. 2.6. Sarcini pentru determinarea apartenenței unui punct și a unui plan drept.

Pentru a determina dacă un punct îi aparține E avion  ABC, trageți o linie dreaptă prin proiecția sa frontală E 2 A 2. Presupunând că linia a aparține planului  ABC, construiți-i proiecția orizontală A 1 la punctele de intersecție 1 și 2. După cum puteți vedea (Fig. 2.6, a), linia dreaptă A 1 nu trece prin punct E unu . De aici punctul E ABC.

În problema apartenenţei la o linie în plan triunghiular ABC(Fig. 2.6, b), este suficient pentru una dintre proiecțiile dreptei în 2 construi un altul în 1 * având în vedere că în ABC. După cum vedem, în 1 * și în 1 nu se potrivesc. Prin urmare, o linie dreaptă în   ABC.

2.4. Linii de nivel plan

Definiția liniilor de nivel a fost dată mai devreme. Se numesc linii de nivel aparținând unui plan dat principal . Aceste linii (linii drepte) joacă un rol esențial în rezolvarea unui număr de probleme din geometria descriptivă.

Luați în considerare construcția liniilor de nivel în planul specificat de triunghi (Fig. 2.7).

Orez. 2.7. Construirea liniilor principale ale planului definit de triunghi

Contur plan  ABCîncepem prin a desena proiecția sa frontală h 2, despre care se știe că este paralelă cu axa OH. Deoarece această linie orizontală aparține planului dat, trece prin două puncte ale planului  ABC, și anume, puncte DARși 1. Având proiecțiile lor frontale DAR 2 și 1 2 , de-a lungul liniei de comunicare obținem proiecții orizontale ( DAR 1 există deja) 1 1 . Prin conectarea punctelor DAR 1 și 1 1 , avem o proiecție orizontală h 1 plan orizontal  ABC. Proiecția profilului h 3 contururi plane  ABC va fi paralel cu axa OH prin definitie.

Frontul avionului  ABC este construit în mod similar (Fig. 2.7) cu singura diferență că desenul său începe cu o proiecție orizontală f 1, deoarece se știe că este paralelă cu axa OX. Proiecția profilului f 3 fronturi trebuie să fie paralele cu axa OZ și să treacă prin proiecții DIN 3 , 2 3 aceleași puncte DINși 2.

Linia profilului plan  ABC are o orizontală R 1 si fata R 2 proiecții paralele cu axele OYși oz, și proiecția profilului R 3 poate fi accesat frontal folosind puncte de intersecție LAși 3 s  ABC.

Când construiți liniile principale ale planului, trebuie să vă amintiți o singură regulă: pentru a rezolva problema, trebuie întotdeauna să obțineți două puncte de intersecție cu un anumit plan. Construcția liniilor principale situate într-un plan dat într-un mod diferit nu este mai dificilă decât cea discutată mai sus. Pe fig. 2.8 arată construcția orizontalei și frontale a planului dat de două drepte care se intersectează Ași în.

Orez. 2.8. Construirea liniilor principale ale planului date prin intersectarea liniilor drepte.

Punctul și linia sunt principalele figuri geometrice ale planului.

Definiția unui punct și a unei drepte nu este introdusă în geometrie; aceste concepte sunt considerate la un nivel conceptual intuitiv.

Punctele sunt indicate prin litere latine majuscule (majuscule, mari): A, B, C, D, ...

Liniile drepte sunt notate cu o literă latină mică (mică), de exemplu,

- linie dreaptă a.

O linie dreaptă este formată dintr-un număr infinit de puncte și nu are nici început, nici sfârșit. Figura înfățișează doar o parte dintr-o linie dreaptă, dar se înțelege că se extinde infinit în spațiu, continuând la infinit în ambele direcții.

Se spune că punctele care se află pe o linie sunt pe acea linie. Calitatea de membru este marcată cu semnul ∈. Se spune că punctele din afara unei linii nu aparțin acelei linii. Semnul „nu aparține” este ∉.

De exemplu, punctul B aparține liniei a (scris: B∈a),

punctul F nu aparține dreptei a, (se scrie: F∉a).

Principalele proprietăți ale apartenenței punctelor și liniilor din plan:

Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu îi aparțin.

Este posibil să trasați o linie dreaptă prin oricare două puncte și doar unul.

Liniile sunt de asemenea notate cu două litere mari latine, conform denumirilor punctelor care se află pe linie.

- linia dreaptă AB.

- această linie poate fi numită MK sau MN sau NK.

Două linii se pot intersecta sau nu. Dacă liniile nu se intersectează, ele nu au puncte comune. Dacă liniile se intersectează, ele au un punct comun. Semn de trecere - ∩ .

De exemplu, liniile a și b se intersectează în punctul O

(scrie o ∩ b=O).

Liniile c și d se intersectează, deși punctul lor de intersecție nu este prezentat în figură.

Orez. 3.2Aranjamentul reciproc al liniilor

Liniile din spațiu pot ocupa una dintre cele trei poziții una față de alta:

1) să fie paralel;

2) se intersectează;

3) se încrucișează.

Paralelnumite drepte care se află în același plan și nu au puncte comune.

Dacă liniile sunt paralele între ele, atunci proiecțiile lor cu același nume pe CC sunt și ele paralele (vezi Sec. 1.2).

intersectându-senumite drepte situate în același plan și având un punct comun.

Pentru liniile care se intersectează pe CC, proiecțiile cu același nume se intersectează în proiecțiile punctului DAR. În plus, proiecțiile frontale () și orizontale () ale acestui punct ar trebui să fie pe aceeași linie de comunicație.

încrucișareanumite drepte situate în planuri paralele și fără puncte comune.

Dacă liniile se intersectează, atunci pe CC proiecțiile lor cu același nume se pot intersecta, dar punctele de intersecție ale proiecțiilor cu același nume nu se vor afla pe aceeași linie de comunicație.

Pe fig. 3,4 puncte DIN aparține liniei b, și punctul D- Drept A. Aceste puncte sunt la aceeași distanță de planul de proiecție frontală. La fel punctele Eși F aparțin unor linii diferite, dar sunt la aceeași distanță de planul orizontal de proiecție. Prin urmare, proiecțiile lor frontale coincid pe CC.

Există două cazuri în care un punct este situat relativ la un plan: un punct poate să aparțină sau nu planului (Fig. 3.5).

Semn de apartenență a unui punct și a unui plan drept:

Punctul aparține avionului, dacă aparține unei linii situate în acest plan.

Linia aparține avionului, dacă are două puncte comune cu ea sau are un punct comun cu ea și este paralelă cu o altă dreaptă situată în acest plan.

Pe fig. 3.5 prezintă un plan și puncte Dși E. Punct D aparține planului, deoarece aparține dreptei l, care are două puncte comune cu acest plan - 1 și DAR. Punct E nu aparține avionului, pentru că Este imposibil să trasezi o linie dreaptă prin ea care se află în planul dat.

Pe fig. 3.6 prezintă un plan și o dreaptă t culcat în acest plan, pentru că are un punct comun cu ea 1 și paralel cu linia A.

Pe produsul cartezian, unde M este o mulțime de puncte, introducem o relație de 3 locuri d. Dacă un triplu ordonat al punctelor (A, B, C) aparține acestei relații, atunci vom spune că punctul B se află între punctele A și C și vom folosi notația: A-B-C. Relația introdusă trebuie să satisfacă următoarele axiome:

Dacă punctul B se află între punctele A și C, atunci A, B, C sunt trei puncte diferite pe aceeași linie, iar B se află între C și A.

Oricare ar fi punctele A și B, există cel puțin un punct C astfel încât B se află între A și C.

Dintre oricare trei puncte de pe o linie, există cel mult unul care se află între celelalte două.

Pentru a formula ultima, a patra axiomă a celui de-al doilea grup, este convenabil să introducem următoarea noțiune.

Definiție 3.1. Prin segment (după Hilbert) înțelegem o pereche de puncte AB. Punctele A și B vor fi numite capete ale segmentului, punctele situate între capetele acestuia - punctele interne ale segmentului sau pur și simplu punctele segmentului și punctele dreptei AB care nu se află între capetele A iar B - punctele externe ale segmentului.

. (Axioma lui Pașa) Fie A, B și C trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și fie l linia planului ABC care nu trece prin aceste puncte. Atunci, dacă dreapta l trece printr-un punct al segmentului AB, atunci ea conține fie un punct al segmentului AC, fie un punct al segmentului BC.

Destul de multe proprietăți geometrice ale punctelor, liniilor și segmentelor decurg din axiomele primului și celui de-al doilea grup. Se poate dovedi că orice segment are cel puțin un punct interior, între cele trei puncte ale dreptei există întotdeauna unul și doar unul situat între celelalte două, între două puncte ale dreptei sunt întotdeauna infinit de puncte, ceea ce înseamnă că există sunt infinite de puncte pe linie. De asemenea, se poate demonstra că afirmația axiomei Pasch este valabilă și pentru punctele situate pe aceeași dreaptă: dacă punctele A, B și C aparțin aceleiași drepte, dreapta l nu trece prin aceste puncte și intersectează unul dintre segmentele, de exemplu, AB într-un punct interior, apoi se intersectează într-un punct interior fie segmentul AC, fie segmentul BC. Rețineți, de asemenea, că din axiomele primului și celui de-al doilea grup nu rezultă că mulțimea de puncte a unei drepte este nenumărabilă. Nu vom prezenta dovezi ale acestor afirmații. Cititorul se poate familiariza cu ele în manuale și. Să ne oprim mai detaliat asupra conceptelor geometrice de bază, și anume raza, semiplanul și semispațiul, care sunt introduse folosind axiomele apartenenței și ordinii.

Următoarea afirmație este adevărată:

Punctul O al dreptei l împarte mulțimea celorlalte puncte ale acestei linii în două submulțimi nevide, astfel încât pentru oricare două puncte A și B aparținând aceleiași submulțimi, punctul O este un punct exterior al segmentului AB și pentru oricare două puncte C și D aparținând unor submulțimi diferite, punctul O este un punct interior al segmentului CD.

Fiecare dintre aceste submulțimi este numită grindă linia l cu originea în punctul O. Razele vor fi notate cu h, l, k, …OA, OB, OC,…, unde O este începutul razei, iar A, B și C sunt punctele razei. raza. Dovada acestei afirmații va fi dată mai târziu, în Secțiunea 7, dar folosind o altă axiomatică a spațiului euclidian tridimensional. Conceptul de rază ne permite să definim cel mai important obiect geometric - unghiul.

Definiție 3.2.Prin unghi (după Hilbert) înțelegem o pereche de raze h și k având o origine comună O și care nu se află pe o singură dreaptă.

Punctul O se numește vârful unghiului, iar razele h și k sunt laturile sale. Pentru unghiuri, vom folosi notația . Luați în considerare cel mai important concept de geometrie elementară - conceptul de semiplan.

Teorema 3.1.Linia a situată în planul a împarte setul său de puncte care nu aparțin dreptei în două submulțimi nevide, astfel încât dacă punctele A și B aparțin aceleiași submulțimi, atunci segmentul AB nu are puncte comune cu dreapta l, iar dacă punctele A și B B aparțin unor submulțimi diferite, atunci segmentul AB intersectează dreapta l în punctul său interior.

Dovada.În demonstrație, vom folosi următoarea proprietate a relației de echivalență. Dacă pe o mulțime este introdusă o relație binară, care este o relație de echivalență, i.e. satisface condițiile de reflexivitate, simetrie și tranzitivitate, atunci întreaga mulțime este împărțită în submulțimi care nu se intersectează - clase de echivalență, iar oricare două elemente aparțin aceleiași clase dacă și numai dacă sunt echivalente.

Luați în considerare mulțimea de puncte din plan care nu aparțin dreptei a. Vom presupune că două puncte A și B sunt în relația binară d: AdB dacă și numai dacă nu există puncte interioare pe segmentul AB care aparțin dreptei a. Vom număra și noi Să spunem că orice punct este într-o relație binară d cu el însuși. Să arătăm că pentru orice punct A care nu aparține dreptei a, există puncte diferite de A, atât fiind cât și nefiind cu el într-o relație binară. Alegem un punct arbitrar P al dreptei a (vezi Fig. 6). Apoi, conform axiomei, există un punct B al dreptei AP astfel încât P-A-B. Linia AB intersectează a într-un punct P, care nu este între punctele A și B, deci punctele A și B sunt în relație cu d. Conform aceleiași axiome, există un punct C astfel încât A-P-C. Prin urmare, punctul P se află între A și C, punctele A și C nu sunt în relație cu d.

Să demonstrăm că relația d este o relație de echivalență. Condiția de reflexivitate este în mod evident satisfăcută în virtutea definiției relației binare d: AdA. Fie punctele A și B în raport cu d. Atunci nu există puncte ale dreptei a pe segmentul AB. De aici rezultă că nu există puncte ale dreptei a pe segmentul BA, deci BdA, relația de simetrie este satisfăcută. În cele din urmă, să fie date trei puncte A, B și C astfel încât AdB și BdC. Să arătăm că punctele A și C sunt în relația binară d. Să presupunem invers, pe segmentul AC există un punct P al dreptei a (Fig. 7). Apoi, în virtutea axiomei , axioma lui Pașa, linia a intersectează fie segmentul BC, fie segmentul AB (în Fig. 7, linia a intersectează segmentul BC). Am ajuns la o contradicție, deoarece din condițiile AdB și BdC rezultă că linia a nu intersectează aceste segmente. Astfel, relația d este o relație de echivalență și împarte mulțimea de puncte ale planului care nu aparțin dreptei a în clase de echivalență.

Să verificăm dacă există exact două astfel de clase de echivalență. Pentru a face acest lucru, este suficient să demonstrăm că, dacă punctele A și C și B și C nu sunt echivalente, atunci punctele A și B sunt la rândul lor echivalente între ele. Deoarece punctele A și C și B și C nu sunt în relația de echivalență d, linia a intersectează segmentele AC și BC în punctele P și Q (vezi Fig. 7). Dar apoi, în virtutea axiomei lui Pașa, această dreaptă nu poate intersecta segmentul AB. Prin urmare, punctele A și B sunt echivalente între ele. Teorema a fost demonstrată.

Fiecare dintre clasele de echivalență definite în teorema 3.2 este numită semiplan. Astfel, orice linie dreaptă a unui plan îl împarte în două semiplane, pentru care servește frontieră.

Similar conceptului de semiplan, este introdus conceptul de semispațiu. Se demonstrează o teoremă care afirmă că orice plan a al spațiului împarte punctele spațiului în două mulțimi. Un segment, ale cărui capete sunt puncte dintr-o mulțime, nu are puncte în comun cu planul a. Dacă capetele unui segment aparțin unor mulțimi diferite, atunci un astfel de segment are ca punct interior al planului a. Dovada acestei afirmații este similară cu demonstrația teoremei 3.2; nu o vom prezenta aici.

Să definim conceptul de punct interior al unui unghi. Să fie dat un unghi. Luați în considerare dreapta OA care conține raza OA, latura acestui unghi. Este clar că punctele razei OB aparțin aceluiași semiplan a față de dreapta OA. În mod similar, punctele razei OA, laturile unghiului dat, aparțin aceluiași semiplan b, a cărui limită este OB direct (Fig. 8). Se numesc punctele aparținând intersecției semiplanurilor a și b punctele interne unghi. În figura 8, punctul M este un punct intern. Mulțimea tuturor punctelor interioare ale unui unghi se numește sa regiune interioara. Se numește o rază al cărei vârf coincide cu vârful unui unghi și ale cărei puncte sunt interioare fascicul interior unghi. Figura 8 prezintă raza interioară h a unghiului AOB.

Următoarele afirmații sunt adevărate.

zece . Dacă o rază cu originea la vârful unui unghi conține cel puțin unul dintre punctele sale interioare, atunci este o rază interioară a acelui unghi.

douăzeci . Dacă capetele segmentului sunt situate pe două laturi diferite ale unghiului, atunci orice punct interior al segmentului este un punct interior al unghiului.

treizeci . Orice rază interioară a unui unghi intersectează un segment ale cărui capete sunt pe laturile unghiului.

Vom lua în considerare dovezile acestor afirmații mai târziu, în Secțiunea 5. Folosind axiomele celui de-al doilea grup, definim conceptele de linie întreruptă, triunghi, poligon, conceptul de interior al unui poligon simplu și demonstrăm că un simplu poligonul împarte un plan în două regiuni, internă și externă în raport cu acesta.

Al treilea grup de axiome ale lui Hilbert ale spațiului euclidian tridimensional sunt așa-numitele axiome de congruență. Fie S multimea segmentelor, A multimea unghiurilor. Pe produsele carteziene și introducem relații binare, pe care le vom numi relație de congruență.

Rețineți că relația introdusă în acest fel nu este relația obiectelor principale ale axiomaticii considerate, adică. puncte de drepte și plane. Este posibilă introducerea celui de-al treilea grup de axiome numai atunci când sunt definite conceptele de segment și unghi, i.e. sunt introduse primul și al doilea grup de axiome lui Hilbert.

De asemenea, suntem de acord să numim segmente sau unghiuri congruente egale geometric sau pur și simplu segmente sau unghiuri egale, termenul „congruent”, în cazul în care aceasta nu duce la neînțelegeri, va fi înlocuit cu termenul „egal” și notat cu simbolul. „=".