avion Lobaciovski

Geometria lui Lobaciovski (geometrie hiperbolica asculta)) este una dintre geometriile non-euclidiene, o teorie geometrică bazată pe aceleași premise de bază ca geometria euclidiană obișnuită, cu excepția axiomei paralele, care este înlocuită de axioma paralelă a lui Lobaciovski.

Axioma euclidiană a paralelelor spune:

printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, există o singură dreaptă care se află cu dreapta dată în același plan și nu o intersectează.

În geometria Lobachevsky, se acceptă în schimb următoarea axiomă:

printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată trec cel puțin două drepte care se află cu dreapta dată în același plan și nu o intersectează.

Geometria lui Lobachevsky are aplicații extinse atât în ​​matematică, cât și în fizică. Semnificația sa istorică constă în faptul că prin construcția sa Lobachevsky a arătat posibilitatea unei geometrii diferite de euclidiană, care a marcat o nouă eră în dezvoltarea geometriei și a matematicii în general.

Poveste

Încercări de a demonstra al cincilea postulat

Punctul de plecare al geometriei lui Lobaciovski a fost al cincilea postulat al lui Euclid, o axiomă echivalentă cu axioma paralelă. A fost inclusă în lista de postulate din Elementele lui Euclid). Complexitatea relativă și neintuitivitatea formulării sale au evocat un sentiment al naturii sale secundare și au dat naștere la încercări de a o deriva din restul postulatelor lui Euclid.

Printre cei care încercau să demonstreze s-au numărat următorii oameni de știință:

• matematicienii greci antici Ptolemeu (secolul II), Proclu (secolul V) (bazat pe presupunerea că distanța dintre două paralele este finită),
• Ibn al-Haytham din Irak (secolele târziu - începutul secolelor) (bazat pe presupunerea că capătul unei perpendiculare în mișcare pe o linie dreaptă descrie o linie dreaptă),
• Matematicienii iranieni Omar Khayyam (a doua jumătate - începutul secolului al XII-lea) și Nasir ad-Din at-Tusi (secolul al XIII-lea) (bazat pe presupunerea că două linii convergente nu pot continua să diverge fără să se încrucișeze),
• Matematicianul german Clavius ​​​​(),
• matematicienii italieni
  • Cataldi (pentru prima dată în 1603 a publicat o lucrare dedicată în întregime problemei paralelelor),
• Matematicianul englez Wallis ( , publicat în ) (pe baza ipotezei că pentru fiecare figură există o cifră similară cu ea, dar nu egală cu ea),
• Matematicianul francez Legendre () (bazat pe presupunerea că prin fiecare punct din interiorul unui unghi ascuțit puteți trage o linie care intersectează ambele părți ale unghiului; a avut și alte încercări de demonstrație).

În aceste încercări de a demonstra al cincilea postulat, matematicienii au introdus o nouă afirmație, care li s-a părut mai evidentă.

Au fost făcute încercări de a folosi dovezile prin contradicție:

• matematicianul italian Saccheri () (după ce a formulat o afirmație care contrazice postulatul, a dedus o serie de consecințe și, recunoscând greșit unele dintre ele ca fiind contradictorii, a considerat postulatul dovedit),
• Matematicianul german Lambert (despre, publicat în) (după ce a efectuat cercetări, a recunoscut că nu a putut găsi contradicții în sistemul pe care l-a construit).

În cele din urmă, a început să se înțeleagă că este posibil să se construiască o teorie bazată pe postulatul opus:

• Matematicienii germani F. Schweikart () și Taurinus () (cu toate acestea, nu și-au dat seama că o astfel de teorie ar fi la fel de coerentă din punct de vedere logic).

Crearea geometriei non-euclidiene

Lobaciovski în lucrarea sa „Despre principiile geometriei” (), prima sa lucrare tipărită despre geometria non-euclidiană, a afirmat clar că postulatul V nu poate fi dovedit pe baza altor premise ale geometriei euclidiene și că presupunerea unui postulat opusul postulatului lui Euclid permite să construim o geometrie la fel de semnificativă, ca euclidiană, și lipsită de contradicții.

Simultan și independent, Janos Bolyai a ajuns la concluzii similare, iar Carl Friedrich Gauss a ajuns la astfel de concluzii chiar mai devreme. Cu toate acestea, scrierile lui Bolyai nu au atras atenția și el a abandonat în curând subiectul, în timp ce Gauss s-a abținut deloc să publice, iar opiniile sale pot fi judecate doar din câteva scrisori și înregistrări din jurnal. De exemplu, într-o scrisoare din 1846 către astronomul G. H. Schumacher, Gauss vorbește despre opera lui Lobachevsky după cum urmează:

Această lucrare conține bazele geometriei care ar trebui să aibă loc și, în plus, ar constitui un întreg strict consistent, dacă geometria euclidiană nu ar fi adevărată... Lobaciovski o numește „geometrie imaginară”; Știți că timp de 54 de ani (din 1792) am împărtășit aceleași păreri cu o anumită dezvoltare a acestora, pe care nu vreau să le menționez aici; astfel, nu am găsit nimic cu adevărat nou pentru mine în opera lui Lobaciovski. Dar în dezvoltarea subiectului, autorul nu a urmat drumul pe care eu însumi l-am urmat; este realizată cu măiestrie de Lobaciovski într-un spirit cu adevărat geometric. Mă consider obligat să vă atrag atenția asupra acestei lucrări, care vă va oferi cu siguranță o plăcere cu totul excepțională.

Drept urmare, Lobaciovski a acționat ca primul propagandist cel mai strălucitor și mai consistent al acestei teorii.

Deși geometria lui Lobaciovski s-a dezvoltat ca o teorie speculativă și însuși Lobaciovski a numit-o „geometrie imaginară”, totuși, Lobaciovski a fost cel care a considerat-o nu ca un joc al minții, ci ca o posibilă teorie a relațiilor spațiale. Dovada consecvenței sale s-a dat însă mai târziu, când s-au indicat interpretările sale, și astfel s-a rezolvat complet problema sensului său real, consistența logică.

Enunțul geometriei lui Lobaciovski

colțul este și mai dificil.

Modelul Poincaré

Conținutul geometriei lui Lobaciovski

Creion de linii paralele în geometria lui Lobaciovski

Lobaciovski și-a construit geometria, pornind de la conceptele geometrice de bază și de la axioma sa și a demonstrat teoremele printr-o metodă geometrică, similară modului în care se face în geometria lui Euclid. Teoria liniilor paralele a servit ca bază, deoarece aici începe diferența dintre geometria lui Lobachevsky și geometria lui Euclid. Toate teoremele care nu depind de axioma paralelelor sunt comune ambelor geometrii și formează așa-numita geometrie absolută, care include, de exemplu, teoreme privind egalitatea triunghiurilor. În urma teoriei paralelelor s-au construit și alte secțiuni, inclusiv trigonometria și principiile geometriei analitice și diferențiale.

Să prezentăm (în notație modernă) câteva fapte ale geometriei lui Lobaciovski care o deosebesc de geometria lui Euclid și au fost stabilite de însuși Lobaciovski.

Prin punct P neîntins pe linia dată. R(vezi figura), există infinit de linii drepte care nu se intersectează Rși situat cu el în același plan; printre ele sunt două extreme X, y, care se numesc drepte paralele Rîn sensul lui Lobaciovski. În modelele lui Klein (Poincare), acestea sunt reprezentate prin acorduri (arcuri de cerc) având cu o coardă (arc) R un capăt comun (care, prin definiția modelului, este exclus, astfel încât aceste linii să nu aibă puncte comune).

Unghiul dintre perpendiculare PB din P pe Rși fiecare dintre cele paralele (numite unghi de paralelism) pe măsură ce punctul este eliminat P scade de la linia dreaptă de la 90° la 0° (în modelul Poincaré, unghiurile în sensul obișnuit coincid cu unghiurile în sensul lui Lobachevsky și, prin urmare, acest fapt poate fi văzut direct pe acesta). Paralel X pe de o parte (și y opus) se abordează asimptotic A, iar pe de altă parte, se îndepărtează infinit de el (distanțele sunt greu de determinat în modele și, prin urmare, acest fapt nu este direct vizibil).

Pentru un punct situat de la o linie dreaptă dată la o distanţă PB = a(vezi figura), Lobaciovski a dat o formulă pentru unghiul de paralelism P(a) :

Aici q este o constantă legată de curbura spațiului Lobaciovski. Poate servi ca unitate absolută de lungime în același mod ca în geometria sferică raza sferei ocupă o poziție specială.

Dacă liniile au o perpendiculară comună, atunci ele diverg infinit pe ambele părți ale acesteia. La oricare dintre ele este posibil să se restabilească perpendiculare care nu ajung pe cealaltă linie.

În geometria lui Lobaciovski nu există triunghiuri asemănătoare, dar inegale; triunghiurile sunt congruente dacă unghiurile lor sunt egale.

Suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică decât π și poate fi în mod arbitrar aproape de zero. Acest lucru este direct vizibil în modelul Poincaré. Diferența δ \u003d π - (α + β + γ) , unde α , β , γ sunt unghiurile triunghiului, este proporțională cu aria sa:

Din formula se poate observa că există o suprafață maximă a unui triunghi, iar acesta este un număr finit: π q 2 .

O linie de distanțe egale față de o linie dreaptă nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită echidistant sau hiperciclu.

Limita cercurilor cu raza infinit crescătoare nu este o linie dreaptă, ci o curbă specială numită cerc limită, sau un horociclu.

Limita sferelor cu raza infinit crescătoare nu este un plan, ci o suprafață specială - sfera limită, sau horosfera; este remarcabil că geometria euclidiană se menține. Acest lucru a servit lui Lobachevsky ca bază pentru derivarea formulelor de trigonometrie.

Circumferința nu este proporțională cu raza, dar crește mai repede. În special, în geometria lui Lobachevsky, numărul π nu poate fi definit ca raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia.

Cu cât regiunea în spațiu sau în planul Lobachevsky este mai mică, cu atât relațiile geometrice din această regiune diferă mai puțin de relațiile geometriei euclidiene. Putem spune că într-o regiune infinitezimală are loc geometria euclidiană. De exemplu, cu cât triunghiul este mai mic, cu atât suma unghiurilor sale diferă mai puțin de π; cu cât este mai mic cercul, cu atât raportul dintre lungimea și raza diferă mai puțin de 2π etc. Reducerea ariei echivalează formal cu creșterea lungimii unității, prin urmare, cu o creștere infinită a lungimii unității, formulele geometriei Lobachevsky se transformă în formule de geometrie euclidiană. Geometria euclidiană este în acest sens cazul „limitător” al geometriei lui Lobaciovski.

Aplicații

• Lobaciovski însuși și-a aplicat geometria la calculul integralelor definite.
• În teoria funcțiilor unei variabile complexe, geometria lui Lobachevsky a ajutat la construirea teoriei funcțiilor automorfe. Legătura cu geometria lui Lobachevsky a fost aici punctul de plecare al cercetării lui Poincaré, care a scris că „geometria non-euclidiană este cheia rezolvării întregii probleme”.
• Geometria lui Lobaciovski își găsește aplicare și în teoria numerelor, în metodele sale geometrice, unite sub denumirea de „geometria numerelor”.
• S-a stabilit o legătură strânsă între geometria lui Lobachevsky și cinematica teoriei speciale (private) a relativității. Această legătură se bazează pe faptul că egalitatea exprimă legea de propagare a luminii

la împărțirea la t 2, adică pentru viteza luminii, dă - ecuaţia sferei în spaţiu cu coordonate v X , v y , v z- componentele vitezei de-a lungul axelor X, la, z(în „spațiul vitezei”). Transformările Lorentz păstrează această sferă și, deoarece sunt liniare, transformă spațiile de viteză directă în linii drepte. Prin urmare, conform modelului Klein, în spațiul vitezelor din interiorul unei sfere de rază cu, adică pentru viteze mai mici decât viteza luminii are loc geometria Lobachevsky.

• Geometria lui Lobachevsky a găsit o aplicație remarcabilă în teoria generală a relativității. Dacă considerăm că distribuția maselor de materie în Univers este uniformă (această aproximare este acceptabilă la scară cosmică), atunci se dovedește că în anumite condiții spațiul are geometria Lobachevsky. Astfel, asumarea lui Lobaciovski a geometriei sale ca o posibilă teorie a spațiului real a fost justificată.
• Folosind modelul Klein, se oferă o demonstrație foarte simplă și scurtă

Suntem obișnuiți să credem că geometria lumii observate este euclidiană, adică. îndeplineşte legile geometriei care se studiază la şcoală. De fapt, acest lucru nu este adevărat. În acest articol, vom lua în considerare manifestările în realitate ale geometriei lui Lobachevsky, care, la prima vedere, este pur abstractă.

Geometria lui Lobaciovski diferă de cea euclidiană obișnuită prin aceea că în ea, printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trec cel puțin două drepte care se află cu dreapta dată în același plan și nu o intersectează. Se mai numește și geometrie hiperbolică.

1. Geometrie euclidiană - doar o singură linie trece prin punctul alb, care nu intersectează linia galbenă
2. Geometrie Riemann - oricare două linii se intersectează (nu există linii paralele)
3. Geometria Lobachevsky - există infinit de linii drepte care nu intersectează linia galbenă și trec prin punctul alb

Pentru ca cititorul să vizualizeze acest lucru, să descriem pe scurt modelul Klein. În acest model, planul Lobachevsky este realizat ca interiorul unui cerc cu raza unu, unde punctele planului sunt punctele acestui cerc, iar liniile sunt coardele. O coardă este o linie dreaptă care unește două puncte dintr-un cerc. Distanța dintre două puncte este greu de determinat, dar nu avem nevoie de ea. Din figura de mai sus, devine clar că prin punctul P există infinit de drepte care nu intersectează dreapta a. În geometria euclidiană standard, există o singură dreaptă care trece prin punctul P și nu intersectează linia a. Această linie este paralelă.

Acum să trecem la principalul lucru - aplicațiile practice ale geometriei lui Lobachevsky.

Sistemele de navigație prin satelit (GPS și GLONASS) constau din două părți: o constelație orbitală de 24-29 de sateliți distanțați uniform în jurul Pământului și un segment de control pe Pământ, care asigură sincronizarea timpului pe sateliți și utilizarea unui singur sistem de coordonate. Sateliții au ceasuri atomice foarte precise, iar receptoarele (GPS-navigatoare) au ceasuri obișnuite, de cuarț. Receptoarele au, de asemenea, informații despre coordonatele tuturor sateliților la un moment dat. Sateliții la intervale scurte transmit un semnal care conține date despre ora de începere a transmisiei. După ce primește un semnal de la cel puțin patru sateliți, receptorul își poate regla ceasul și poate calcula distanțele până la acești sateliți folosind formula ((ora în care semnalul a fost trimis de satelit) - (ora în care a fost primit semnalul de la satelit)) x (viteza luminii) = (distanța până la satelit). Distanțele calculate sunt, de asemenea, corectate conform formulelor încorporate în receptor. În plus, receptorul găsește coordonatele punctului de intersecție al sferelor cu centre în sateliți și raze egale cu distanțele calculate până la ei. Evident, acestea vor fi coordonatele receptorului.

Cititorul este probabil conștient că datorită efectului în Relativitate Specială, datorită vitezei mari a satelitului, timpul pe orbită este diferit de timpul de pe Pământ. Dar există încă un efect similar în Teoria Generală a Relativității, legat tocmai de geometria non-euclidiană a spațiului-timp. Din nou, nu vom intra în detalii matematice, deoarece acestea sunt mai degrabă abstracte. Dar, dacă încetăm să luăm în considerare aceste efecte, atunci într-o zi de funcționare se va acumula o eroare de ordinul a 10 km în citirile sistemului de navigație.

Formulele geometriei Lobachevsky sunt, de asemenea, utilizate în fizica energiei înalte, și anume, în calculele acceleratoarelor de particule încărcate. Spațiile hiperbolice (adică spații în care funcționează legile geometriei hiperbolice) se găsesc și în natură însăși. Să dăm mai multe exemple:

Geometria lui Lobachevsky poate fi observată în structurile coralilor, în organizarea structurilor celulare dintr-o plantă, în arhitectură, în unele flori și așa mai departe. Apropo, dacă vă amintiți în ultimul număr am vorbit despre hexagoane în natură, și așa, în natură hiperbolică, alternativa sunt heptagoane, care sunt și ele răspândite.

Votat Multumesc!

Ați putea fi interesat de:

• 
  

”, dedicată relației dintre știința rusă și cea britanică, matematicianul Valentina Kirichenko îi spune lui PostNauka despre natura revoluționară a ideilor lui Lobaciovski pentru geometria secolului al XIX-lea.

Liniile paralele nu se intersectează nici măcar în geometria Lobachevsky. Undeva în filme puteți găsi adesea fraza: „Dar liniile paralele ale lui Lobachevsky s-au intersectat”. Sună frumos, dar nu este adevărat. Nikolai Ivanovici Lobachevsky a venit într-adevăr cu o geometrie neobișnuită în care liniile paralele se comportă diferit de ceea ce suntem obișnuiți. Cu toate acestea, ele nu se intersectează.

Suntem obișnuiți să credem că două linii paralele nu se apropie sau se retrag. Adică, indiferent de punctul de pe prima linie pe care îl luăm, distanța de la ea până la a doua linie este aceeași, nu depinde de punct. Dar este chiar așa? Și de ce este așa? Și cum poate fi verificat acest lucru?

Dacă vorbim despre linii fizice, atunci doar o mică secțiune a fiecărei linii ne este disponibilă pentru observare. Și având în vedere erorile de măsurare, nu vom putea trage concluzii definitive despre modul în care liniile se comportă foarte, foarte departe de noi. Întrebări similare au apărut deja în rândul grecilor antici. În secolul al III-lea î.Hr., geometrul grec antic Euclid a afirmat foarte precis proprietatea principală a liniilor paralele, pe care nu a putut nici dovedi, nici infirma. Prin urmare, el a numit-o un postulat - o afirmație care ar trebui luată pe baza credinței. Acesta este celebrul al cincilea postulat al lui Euclid: dacă două drepte dintr-un plan se intersectează cu o secante, astfel încât suma unghiurilor interne unilaterale este mai mică decât două drepte, adică mai mică de 180 de grade, atunci cu suficientă în continuare, aceste două drepte se vor intersecta și tocmai de cealaltă parte a secantei de-a lungul căreia suma este mai mică de două unghiuri drepte.

Cuvintele cheie din acest postulat sunt „cu suficientă continuare”. Din cauza acestor cuvinte postulatul nu poate fi verificat empiric. Poate că liniile se vor intersecta în linia de vedere. Poate după 10 kilometri sau dincolo de orbita lui Pluto, sau poate chiar într-o altă galaxie.

Euclid și-a conturat postulatele și rezultatele care decurg logic din ele în celebra carte „Începuturi”. Cuvântul rusesc „elemente” provine din titlul grecesc antic al acestei cărți, iar cuvântul „elemente” provine din titlul latin. Elementele lui Euclid este cel mai popular manual din toate timpurile. În ceea ce privește numărul de ediții, este al doilea după Biblie.

Aș dori în special să remarc minunata ediție britanică din 1847, cu infografice foarte vizuale și frumoase. În loc de desemnări plictisitoare pe desene, acolo sunt folosite desene colorate - nu ca în manualele școlare moderne de geometrie.

Până în secolul trecut, „Începuturile” lui Euclid erau obligatorii pentru studiu în toate programele educaționale care implicau creativitate intelectuală, adică nu doar învățarea unui meșteșug, ci ceva mai intelectual. Neevidența celui de-al cincilea postulat al lui Euclid a ridicat o întrebare firească: poate fi demonstrat, adică dedus logic din restul ipotezelor lui Euclid? Mulți matematicieni au încercat să facă acest lucru, de la contemporanii lui Euclid până la contemporanii lui Lobaciovski. De regulă, au redus postulat al cincilea la o afirmație mai demonstrativă, care este mai ușor de crezut.

De exemplu, în secolul al XVII-lea, matematicianul englez John Wallis a redus postulatul al cincilea la următoarea afirmație: există două triunghiuri asemănătoare, dar inegale, adică două triunghiuri ale căror unghiuri sunt egale, dar dimensiunile sunt diferite. S-ar părea, ce ar putea fi mai ușor? Să schimbăm doar scara. Dar se dovedește că capacitatea de a schimba scara menținând toate unghiurile și proporțiile este o proprietate exclusivă a geometriei euclidiene, adică o geometrie în care toate postulatele lui Euclid, inclusiv a cincea, sunt îndeplinite.

În secolul al XVIII-lea, omul de știință scoțian John Playfair a reformulat al cincilea postulat în forma în care apare de obicei în manualele școlare moderne: două linii care se intersectează una pe alta nu pot fi simultan paralele cu o a treia linie. În această formă apare al cincilea postulat în manualele școlare moderne.

Până la începutul secolului al XIX-lea, mulți aveau impresia că demonstrarea celui de-al cincilea postulat era ca și cum ar fi inventarea unei mașini cu mișcare perpetuă - un exercițiu complet inutil. Dar nimeni nu a avut curajul să sugereze că geometria lui Euclid nu era singura posibilă: autoritatea lui Euclid era prea mare. Într-o astfel de situație, descoperirile lui Lobaciovski au fost, pe de o parte, naturale, iar pe de altă parte, absolut revoluționare.

Lobaciovski a înlocuit al cincilea postulat cu o afirmație direct opusă. Axioma lui Lobaciovski suna astfel: dacă dintr-un punct care nu se află pe o linie dreaptă, eliberează toate razele care intersectează această linie dreaptă, atunci în stânga și în dreapta aceste raze vor fi limitate de două raze limitatoare care nu se vor mai străbate. linia dreaptă, dar va deveni din ce în ce mai aproape de ea. Mai mult, unghiul dintre aceste raze limitatoare va fi strict mai mic de 180 de grade.

Din axioma lui Lobaciovski rezultă imediat că printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trage nu o singură dreaptă paralelă cu cea dată, ca la Euclid, ci câte vrei. Dar aceste linii se vor comporta diferit de cele ale lui Euclid. De exemplu, dacă avem două drepte paralele, atunci ele se pot apropia mai întâi și apoi se pot îndepărta. Adică, distanța de la un punct de pe prima linie la a doua linie va depinde de punct. Va fi diferit pentru puncte diferite.

Geometria lui Lobachevsky contrazice intuiția noastră parțial pentru că la distanțe mici cu care ne confruntăm de obicei, diferă foarte puțin de euclidiană. În mod similar, percepem curbura suprafeței Pământului. Când mergem de acasă la magazin, ni se pare că mergem în linie dreaptă, iar Pământul este plat. Dar dacă zburăm, să zicem, de la Moscova la Montreal, atunci observăm deja că avionul zboară de-a lungul unui arc de cerc, deoarece aceasta este cea mai scurtă cale între două puncte de pe suprafața Pământului. Adică observăm că Pământul seamănă mai mult cu o minge de fotbal decât cu o clătită.

Geometria lui Lobachevsky poate fi ilustrată și cu ajutorul unei mingi de fotbal, dar nu a uneia obișnuite, ci a uneia hiperbolice. O minge de fotbal hiperbolică este lipită împreună la fel ca una normală. Numai într-o minge obișnuită, hexagoane albe sunt lipite de pentagoane negre, iar într-o minge hiperbolică, în loc de pentagoane, trebuie să faceți heptagoane și, de asemenea, să le lipiți cu hexagoane. În acest caz, se va dovedi, desigur, nu o minge, ci mai degrabă o șa. Și pe această șa se realizează geometria lui Lobachevsky.

Lobaciovski a încercat să povestească despre descoperirile sale în 1826 la Universitatea din Kazan. Dar textul raportului nu a supraviețuit. În 1829 a publicat un articol despre geometria sa într-un jurnal universitar. Rezultatele lui Lobachevsky li s-au părut lipsite de sens pentru mulți - nu numai pentru că au distrus imaginea obișnuită a lumii, ci pentru că nu au fost prezentate în modul cel mai înțeles.

Cu toate acestea, Lobaciovski a avut și publicații în reviste de rang înalt, așa cum le numim astăzi. De exemplu, în 1836 a publicat un articol în limba franceză intitulat „Geometrie imaginară” în faimoasa revistă Krell, în același număr cu articolele celor mai cunoscuți matematicieni ai vremii – Dirichlet, Steiner și Jacobi. Și în 1840, Lobachevsky a publicat o carte mică și foarte clar scrisă, numită Cercetare geometrică asupra teoriei liniilor paralele. Cartea a fost în germană și a fost publicată în Germania. A existat și o recenzie devastatoare. Recenziarul a batjocorit în special fraza lui Lobaciovski: „Cu cât continuăm mai departe liniile în direcția paralelismului lor, cu atât se apropie mai mult unul de celălalt”. „Numai această afirmație”, a scris recenzentul, „caracterizează deja suficient munca domnului Lobachevsky și eliberează recenzorul de nevoia de a o evalua în continuare.”

Dar cartea a avut și un cititor imparțial. Era Carl Friedrich Gauss, cunoscut și ca Regele Matematicienilor, unul dintre cei mai mari matematicieni din istorie. A apreciat foarte mult cartea lui Lobaciovski într-una dintre scrisorile sale. Dar recenzia lui a fost publicată abia după moartea sa, împreună cu restul corespondenței. Și atunci a început adevăratul boom al geometriei lui Lobaciovski.

În 1866 cartea sa a fost tradusă în franceză, apoi în engleză. Mai mult, ediția în limba engleză a fost retipărită de încă trei ori datorită popularității sale extraordinare. Din păcate, Lobaciovski nu a fost la înălțimea acestui timp. A murit în 1856. Și în 1868, a apărut o ediție rusă a cărții lui Lobaciovski. A fost publicată nu ca o carte, ci ca un articol în cea mai veche jurnală rusă Mathematical Collection. Dar atunci această revistă era foarte tânără, nu avea încă doi ani. Dar traducerea rusă din 1945, făcută de remarcabilul geometru rus și sovietic Veniamin Fedorovich Kagan, este mai cunoscută.

Până la sfârșitul secolului al XIX-lea, matematicienii au fost împărțiți în două tabere. Unii au acceptat imediat rezultatele lui Lobaciovski și au început să-și dezvolte ideile în continuare. Iar alții nu au putut renunța la credința că geometria lui Lobaciovski descrie ceva care nu există, adică geometria lui Euclid este singura adevărată și nimic altceva nu poate fi. Din păcate, acesta din urmă a inclus matematicianul, mai cunoscut drept autorul cărții Alice în Țara Minunilor, Lewis Carroll. Numele lui adevărat este Charles Dodgson. În 1890, a publicat un articol intitulat „O nouă teorie a paralelelor”, în care a apărat o versiune extrem de ilustrativă a celui de-al cincilea postulat. Axioma lui Lewis Carroll sună astfel: dacă un patrulater regulat este înscris într-un cerc, atunci aria acestui patrulater va fi strict mai mare decât aria oricăror segmente ale cercului care se află. în afara patrulaterului. În geometria Lobaciovski, această axiomă nu este adevărată. Dacă luăm un cerc suficient de mare, atunci indiferent ce patrulater înscriem în el, indiferent de cât de lungi ar fi laturile acestui patrulater, aria patrulaterului va fi limitată de constanta fizică universală. În general, prezența constantelor fizice și a măsurilor universale de lungime este o diferență avantajoasă între geometria lui Lobachevsky și geometria lui Euclid.

Dar Arthur Cayley, un alt matematician englez celebru, în 1859, adică la numai trei ani de la moartea lui Lobaciovski, a publicat un articol care a ajutat ulterior la legalizarea postulatului lui Lobaciovski. Interesant este că Cayley la acea vreme lucra ca avocat la Londra și abia apoi a primit o profesie la Cambridge. De fapt, Cayley a construit primul model al geometriei lui Lobachevsky, deși a rezolvat, la prima vedere, o cu totul altă problemă.

Și un alt matematician englez remarcabil, al cărui nume era William Kingdon Clifford, a fost profund impregnat de ideile lui Lobachevsky. Și în special, el a fost primul care a exprimat ideea, cu mult înainte de crearea teoriei generale a relativității, că gravitația este cauzată de curbura spațiului. Clifford a lăudat contribuția lui Lobaciovski la știință într-una dintre prelegerile sale despre filosofia științei: „Lobaciovski a devenit pentru Euclid ceea ce Copernic a devenit pentru Ptolemeu”. Dacă înainte de Copernic omenirea credea că știm totul despre Univers, acum ne este clar că observăm doar o mică parte din Univers. În mod similar, înainte de Lobachevsky, omenirea credea că există o singură geometrie - euclidiană, totul despre ea este cunoscut de mult timp. Acum știm că există multe geometrii, dar știm departe de toate.

teoremele de geometrie ale lui Lobaciovski

1. Concepte de bază ale geometriei Lobaciovski

În geometria euclidiană, conform celui de-al cincilea postulat, pe planul printr-un punct R,întins în afara liniei A „A, există o singură linie dreaptă B"B, neintersectându-se A „A. Drept B"B" numit paralel la A"A. Mai mult, este suficient să se ceară să existe cel mult o astfel de linie, deoarece existența unei linii care nu se intersectează poate fi dovedită prin trasarea succesivă a liniilor. PQA"Ași PBPQ.În geometria Lobachevsky, axioma paralelismului cere ca printr-un punct R a trecut mai mult de o linie dreaptă care nu s-a intersectat A „A.

Liniile care nu se intersectează umplu partea creionului cu un vârf R, situată în interiorul unei perechi de unghiuri verticale TPUși U"PT", situat simetric fata de perpendiculara P.Q. Liniile care formează laturile unghiurilor verticale separă liniile care se intersectează de cele care nu se intersectează și sunt ele însele neintersectante. Aceste linii de delimitare se numesc paralele în punctul P cu o dreaptă A „A respectiv în două direcții: T „T paralel A „A in directia A"A, A UU" paralel A „A in directia A A”. Alte linii care nu se intersectează sunt numite linii divergente cu A „A.

Injecţie , 0< R forme cu o perpendiculară pQ, QPT=QPU"=, numit unghi de paralelism segment PQ=ași este notat cu . La a=0 unghi =/2; cu creşterea A unghiul scade astfel încât pentru fiecare dată, 0<A. Această dependență se numește Funcția Lobaciovski :

P(a)=2arctg (),

Unde la-- o constantă care definește un segment cu valoare fixă. Se numește raza de curbură a spațiului Lobachevsky. La fel ca geometria sferică, există un set infinit de spații Lobachevsky, care diferă ca mărime la.

Două linii drepte diferite într-un plan formează o pereche de unul din trei tipuri.

linii de intersectare . Distanța de la punctele unei linii la o altă dreaptă crește la nesfârșit pe măsură ce punctul se îndepărtează de intersecția liniilor. Dacă liniile nu sunt perpendiculare, atunci fiecare este proiectată ortogonal pe cealaltă într-un segment deschis de dimensiune finită.

Linii paralele . În plan, printr-un punct dat, există o singură dreaptă paralelă cu dreapta dată în direcția dată pe aceasta din urmă. Paralel într-un punct R păstrează în fiecare dintre punctele sale proprietatea de a fi paralel cu aceeași dreaptă în aceeași direcție. Paralelismul este reciproc (dacă A||bîntr-o anumită direcție, atunci b||Aîn direcția corespunzătoare) și tranzitivitatea (dacă A||bși cu || bîntr-o direcție, atunci a||cîn direcţia corespunzătoare). Pe direcția paralelismului, cele paralele se apropie la infinit, în sens opus se îndepărtează la infinit (în sensul distanței de la un punct de mișcare al unei drepte la o altă dreaptă). Proiecția ortogonală a unei linii pe alta este o semilinie deschisă.

Linii divergente . Au o perpendiculară comună, al cărei segment oferă distanța minimă. Pe ambele părți ale perpendicularei, liniile diverg la nesfârșit. Fiecare linie este proiectată pe alta într-un segment deschis de dimensiune finită.

Trei tipuri de linii corespund pe plan la trei tipuri de creioane de linii, fiecare dintre acestea acoperind întregul plan: grindă de primul fel este mulțimea tuturor dreptelor care trec printr-un punct ( Centru fasciculul); grindă de al 2-lea fel este mulțimea tuturor dreptelor perpendiculare pe o dreaptă ( baza fasciculul); grindă de al 3-lea fel este mulțimea tuturor dreptelor paralele cu o dreaptă într-o direcție dată, inclusiv această dreaptă.

Traiectoriile ortogonale ale liniilor drepte ale acestor grinzi formează analogi ale cercului planului euclidian: cercîn sensul propriu; echidistant , sau linia egal distante (dacă nu luați în considerare baza), care este concavă spre bază; linie limită , sau horociclu, poate fi considerat ca un cerc cu un centru infinit de departe. Liniile limită sunt congruente. Nu sunt închise și sunt concave spre paralelism. Două linii limită generate de un mănunchi sunt concentrice (segmente egale sunt decupate pe linii drepte ale fasciculului). Raportul dintre lungimile arcurilor concentrice cuprinse între două linii drepte ale fasciculului scade spre paralelism ca funcție exponențială a distanței Xîntre arcuri:

s" / s=e.

Fiecare dintre analogii cercului poate aluneca pe sine, ceea ce dă naștere la trei tipuri de mișcări cu un parametru ale planului: rotație în jurul propriului centru; rotația în jurul centrului ideal (o traiectorie este baza, restul sunt echidistante); rotație în jurul unui centru infinit îndepărtat (toate traiectoriile sunt linii limită).

Rotirea analogilor de cerc în jurul liniei drepte a creionului generator duce la analogi de sferă: sfera propriu-zisă, suprafața distanțelor egale și horosfera, sau marginal suprafete .

Pe sferă, geometria cercurilor mari este geometria sferică obișnuită; pe suprafața distanțelor egale - geometrie echidistantă, care este planimetria Lobachevsky, dar cu o valoare mai mare la; pe suprafața limită, geometria euclidiană a liniilor limită.

Legătura dintre lungimile arcelor și coardelor liniilor limită și relațiile trigonometrice euclidiene pe suprafața limită fac posibilă derivarea relațiilor trigonometrice pe plan, adică formule trigonometrice pentru triunghiuri rectilinii.

2. Câteva teoreme ale geometriei lui Lobaciovski

Teorema 1. Suma unghiurilor oricărui triunghi este mai mică de 2d.

Luați în considerare mai întâi un triunghi dreptunghic ABC (Fig. 2). Laturile lui a, b, c sunt reprezentate respectiv ca un segment al perpendicularei euclidiene pe linie și, arce ale cercului euclidian cu centru Mși arce de cerc euclidian cu centru N. Injecţie Cu--Drept. Injecţie DAR egal cu unghiul dintre tangentele la cercuri bși cu la punct DAR, sau, care este același, unghiul dintre raze N / Ași MA aceste cercuri. In cele din urma, B = BNM.

Să construim pe un segment BN ca pe diametrul cercului euclidian q; ea are cu circumferinta cu un punct comun LA, deoarece diametrul său este raza cercului cu. Prin urmare, punctul DAR se află în afara cercului delimitat de cerc q, prin urmare,

A = OM< MBN.

Prin urmare, datorită egalității MBN+B = d noi avem:

A + B< d; (1)

deci A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

Rețineți că, cu mișcarea hiperbolică adecvată, orice triunghi dreptunghic poate fi poziționat astfel încât unul dintre catetele sale să se afle pe perpendiculară euclidiană pe linie. și; prin urmare, metoda pe care am folosit-o pentru a deriva inegalitatea (1) aplicabil oricărui triunghi dreptunghic.

Dacă este dat un triunghi oblic, atunci îl împărțim la una dintre înălțimi în două triunghiuri dreptunghiulare. Suma unghiurilor ascuțite ale acestor triunghiuri dreptunghiulare este egală cu suma unghiurilor triunghiului oblic dat. Prin urmare, luând în considerare inegalitatea (1) , concluzionăm că teorema este valabilă pentru orice triunghi.

Teorema 2 . Suma unghiurilor unui patrulater este mai mică de 4d.

Pentru a dovedi, este suficient să împărțim patrulaterul cu diagonală în două triunghiuri.

Teorema 3 . Două drepte divergente au una și o singură perpendiculară comună.

Fie ca una dintre aceste linii drepte divergente să fie reprezentată pe hartă ca o perpendiculară euclidiană R la o linie dreaptă și la punct M, celălalt este sub forma unui semicerc euclidian q centrat pe și, și Rși q nu au puncte comune (Fig. 3). O astfel de aranjare a două linii hiperbolice divergente pe o hartă poate fi întotdeauna realizată cu o mișcare hiperbolică adecvată.

Să cheltuim din M tangentă euclidiană MN la qși descrieți din centru M rază MN semicerc euclidian m. Este clar că m--linie hiperbolica care se intersecteaza si Rși qîntr-un unghi drept. Prin urmare, mînfățișează pe hartă perpendiculara comună necesară a dreptelor divergente date.

Două drepte divergente nu pot avea două perpendiculare comune, deoarece în acest caz ar exista un patrulater cu patru unghiuri drepte, ceea ce contrazice teorema 2.

. Teorema 4. Proiecția dreptunghiulară a unei laturi a unui unghi ascuțit pe cealaltă parte a acestuia este un segment(și nu o jumătate de linie, ca în geometria lui Euclid).

Valabilitatea teoremei este evidentă din fig. 4, unde segmentul AB există o proiecție dreptunghiulară a laturii AB unghi ascutit TU de partea lui LA FEL DE.

În aceeași figură, arcul DE Cerc euclidian cu centru M este perpendiculară pe linia hiperbolică AC. Această perpendiculară nu se intersectează cu oblicul AB. Prin urmare, presupunerea că perpendicularul și oblicul pe aceeași dreaptă se intersectează întotdeauna contrazice axioma paralelismului a lui Lobaciovski; este echivalentă cu axioma de paralelism a lui Euclid.

Teorema 5. Dacă trei unghiuri ale triunghiului ABC sunt egale, respectiv, cu trei unghiuri ale triunghiului A, B, C, atunci aceste triunghiuri sunt congruente.

Presupuneți contrariul și, respectiv, lăsați deoparte pe raze ABși AC segmente AB \u003d A "B", AC \u003d A "C". Evident triunghiuri. ABCși A"B"C" egal în două laturi și unghiul dintre ele. Punct B nu se potriveste cu LA, punct C nu se potriveste cu Cu, deoarece în oricare dintre aceste cazuri ar avea loc egalitatea acestor triunghiuri, ceea ce contrazice presupunerea.

Luați în considerare următoarele posibilități.

a) Punctul B se află între DARși LA, punct Cu-- între DARși Cu(Fig. 5); în această figură și în următoarea, liniile hiperbolice sunt descrise în mod convențional ca linii euclidiene). Este ușor de verificat că suma unghiurilor unui patrulater SSNE este egal cu 4d, ceea ce este imposibil datorită teoremei 2.

6) Punct LA se află între DARși LA, punct Cu-- între DARși Cu(Fig. 6). Notează prin D punctul de intersecție al segmentelor soareși î.Hr La fel de C=C"și C" \u003d C, apoi C= Cu , ceea ce este imposibil, deoarece unghiul C este extern triunghiului CCD.

Alte cazuri posibile sunt tratate în mod similar.

Teorema este demonstrată deoarece presupunerea făcută a condus la o contradicție.

Din teorema 5 rezultă că în geometria lui Lobachevsky nu există nici un triunghi asemănător cu triunghiul dat, dar nu egal cu acesta.