Cel mai mic numitor comun este folosit pentru a simplifica această ecuație. Această metodă este utilizată atunci când nu puteți scrie ecuația dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda înmulțirii încrucișate). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, înmulțirea încrucișată este mai bună).

Găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor (sau cel mai mic multiplu comun). NOZ este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare numitor.

• Uneori, NOZ este un număr evident. De exemplu, dacă ecuația este dată: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, atunci este evident că cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 2 și 6 va fi 6.
• Dacă NOD-ul nu este evident, notați multiplii celui mai mare numitor și găsiți printre ei unul care este un multiplu al celorlalți numitori. Puteți găsi adesea NOD-ul prin simpla înmulțire a doi numitori împreună. De exemplu, dacă este dată ecuația x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, atunci NOZ = 8*9 = 72.
• Dacă unul sau mai mulți numitori conțin o variabilă, atunci procesul este ceva mai complicat (dar nu imposibil). În acest caz, NOZ este o expresie (care conține o variabilă) care este divizibilă cu fiecare numitor. De exemplu, în ecuația 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), deoarece această expresie este divizibilă cu fiecare numitor: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Înmulțiți atât numărătorul cât și numitorul fiecărei fracții cu un număr egal cu rezultatul împărțirii NOZ la numitorul corespunzător fiecărei fracții. Deoarece înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, înmulțiți efectiv o fracție cu 1 (de exemplu, 2/2 = 1 sau 3/3 = 1).

• Deci, în exemplul nostru, înmulțiți x/3 cu 2/2 pentru a obține 2x/6 și înmulțiți 1/2 cu 3/3 pentru a obține 3/6 (3x + 1/6 nu trebuie înmulțit deoarece numitorul este 6).
• Procedați în mod similar când variabila este la numitor. În al doilea exemplu NOZ = 3x(x-1), deci 5/(x-1) ori (3x)/(3x) este 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ori 3(x-1)/3(x-1) pentru a obține 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) înmulțiți cu (x-1)/(x-1) și obțineți 2(x-1)/3x(x-1).

Găsiți x. Acum că ați redus fracțiile la un numitor comun, puteți scăpa de numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare parte a ecuației cu un numitor comun. Apoi rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Pentru a face acest lucru, izolați variabila pe o parte a ecuației.

• În exemplul nostru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puteți adăuga 2 fracții cu același numitor, așa că scrieți ecuația ca: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6 și scăpați de numitori: 2x+3 = 3x +1. Rezolvați și obțineți x = 2.
• În al doilea exemplu (cu o variabilă la numitor), ecuația arată ca (după reducerea la un numitor comun): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Înmulțind ambele părți ale ecuației cu NOZ, scapi de numitor și obținem: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), sau 15x = 3x - 3 + 2x -2, sau 15x = x - 5 Rezolvați și obțineți: x = -5/14.

Am introdus ecuația de mai sus în § 7. În primul rând, ne amintim ce este o expresie rațională. Aceasta este o expresie algebrică formată din numere și variabila x folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și exponențiere cu un exponent natural.

Dacă r(x) este o expresie rațională, atunci ecuația r(x) = 0 se numește ecuație rațională.

Cu toate acestea, în practică, este mai convenabil să folosiți o interpretare ceva mai largă a termenului „ecuație rațională”: aceasta este o ecuație de forma h(x) = q(x), unde h(x) și q(x) sunt expresii rationale.

Până acum nu am putut rezolva nicio ecuație rațională, ci doar una care, ca urmare a diferitelor transformări și raționamente, s-a redus la ecuație liniară. Acum posibilitățile noastre sunt mult mai mari: vom putea rezolva o ecuație rațională, care se reduce nu numai la liniară.
mu, dar și la ecuația pătratică.

Amintiți-vă cum am rezolvat mai devreme ecuațiile raționale și încercați să formulăm un algoritm de soluție.

Exemplul 1 rezolva ecuatia

Decizie. Rescriem ecuația sub forma

În acest caz, ca de obicei, folosim faptul că egalitățile A \u003d B și A - B \u003d 0 exprimă aceeași relație între A și B. Acest lucru ne-a permis să transferăm termenul în partea stângă a ecuației cu semnul opus.

Să efectuăm transformări ale părții stângi a ecuației. Noi avem

Amintiți-vă condițiile de egalitate fractii zero: dacă și numai dacă două relații sunt satisfăcute simultan:

1) numărătorul fracției este zero (a = 0); 2) numitorul fracției este diferit de zero).
Echivalând cu zero numărătorul fracției din partea stângă a ecuației (1), obținem

Rămâne de verificat îndeplinirea celei de-a doua condiții menționate mai sus. Raportul înseamnă pentru ecuația (1) că . Valorile x 1 = 2 și x 2 = 0,6 satisfac relațiile indicate și, prin urmare, servesc drept rădăcini ale ecuației (1) și, în același timp, rădăcinilor ecuației date.

1) Să transformăm ecuația în formă

2) Să efectuăm transformările părții stângi a acestei ecuații:

(a schimbat simultan semnele la numărător și
fracții).
Astfel, ecuația dată ia forma

3) Rezolvați ecuația x 2 - 6x + 8 = 0. Aflați

4) Pentru valorile găsite, verificați starea . Numărul 4 îndeplinește această condiție, dar numărul 2 nu. Deci 4 este rădăcina ecuației date, iar 2 este o rădăcină străină.
Raspuns: 4.

2. Rezolvarea ecuațiilor raționale prin introducerea unei noi variabile

Metoda de introducere a unei noi variabile vă este familiară, am folosit-o de mai multe ori. Să arătăm prin exemple cum este utilizat în rezolvarea ecuațiilor raționale.

Exemplul 3 Rezolvați ecuația x 4 + x 2 - 20 = 0.

Decizie. Introducem o nouă variabilă y \u003d x 2. Deoarece x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, atunci ecuația dată poate fi rescrisă sub forma

y 2 + y - 20 = 0.

Aceasta este o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini le vom găsi folosind cunoscutul formule; obținem y 1 = 4, y 2 = - 5.
Dar y \u003d x 2, ceea ce înseamnă că problema a fost redusă la rezolvarea a două ecuații:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Din prima ecuație găsim că a doua ecuație nu are rădăcini.
Răspuns: .
O ecuație de forma ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 se numește ecuație biquadratică („bi” - doi, adică, parcă, o ecuație „de două ori pătrată”). Ecuația tocmai rezolvată a fost exact biquadratică. Orice ecuație biquadratică este rezolvată în același mod ca și ecuația din exemplul 3: este introdusă o nouă variabilă y \u003d x 2, ecuația pătratică rezultată este rezolvată în raport cu variabila y și apoi revenită la variabila x.

Exemplul 4 rezolva ecuatia

Decizie. Rețineți că aceeași expresie x 2 + 3x apare de două ori aici. Prin urmare, este logic să introduceți o nouă variabilă y = x 2 + Zx. Acest lucru ne va permite să rescriem ecuația într-o formă mai simplă și mai plăcută (care, de fapt, este scopul introducerii unui nou variabil- și înregistrarea este mai ușoară
, iar structura ecuației devine mai clară):

Și acum vom folosi algoritmul pentru rezolvarea unei ecuații raționale.

1) Să mutăm toți termenii ecuației într-o singură parte:

= 0
2) Să transformăm partea stângă a ecuației

Deci, am transformat ecuația dată în forma

3) Din ecuația - 7y 2 + 29y -4 = 0 găsim (am rezolvat deja destul de multe ecuații pătratice, așa că probabil că nu merită să oferim întotdeauna calcule detaliate în manual).

4) Să verificăm rădăcinile găsite folosind condiția 5 (y - 3) (y + 1). Ambele rădăcini îndeplinesc această condiție.
Deci, ecuația pătratică pentru noua variabilă y este rezolvată:
Deoarece y \u003d x 2 + Zx și y, după cum am stabilit, ia două valori: 4 și, - mai trebuie să rezolvăm două ecuații: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Rădăcinile primei ecuații sunt numerele 1 și - 4, rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt numerele

În exemplele luate în considerare, metoda de introducere a unei noi variabile a fost, după cum le place să spună matematicienii, adecvată situației, adică îi corespundea bine. De ce? Da, deoarece aceeași expresie a fost întâlnită în mod clar în înregistrarea ecuației de mai multe ori și a fost rezonabil să desemnăm această expresie cu o nouă literă. Dar nu este întotdeauna cazul, uneori o nouă variabilă „apare” doar în procesul transformărilor. Este exact ceea ce se va întâmpla în exemplul următor.

Exemplul 5 rezolva ecuatia
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Decizie. Noi avem
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Deci ecuația dată poate fi rescrisă ca

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Acum a „apărut” o nouă variabilă: y = x 2 - Zx.

Cu ajutorul ei, ecuația poate fi rescrisă sub forma y (y + 2) \u003d 24 și apoi y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt numerele 4 și -6.

Revenind la variabila inițială x, obținem două ecuații x 2 - Zx \u003d 4 și x 2 - Zx \u003d - 6. Din prima ecuație găsim x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; a doua ecuație nu are rădăcini.

Răspuns: 4, - 1.

Conținutul lecției rezumatul lecției suport cadru prezentarea lecției metode accelerative tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autoexaminare, instruiri, cazuri, quest-uri teme pentru acasă întrebări discuții întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini grafice, tabele, scheme umor, anecdote, glume, pilde cu benzi desenate, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole jetoane pentru curioase cheat sheets manuale de bază și glosar suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment din manualul elementelor de inovare la lecție înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul recomandări metodologice ale programului de discuții Lecții integrate

Până acum, am rezolvat doar ecuații întregi în raport cu necunoscutul, adică ecuații în care numitorii (dacă există) nu conțineau necunoscutul.

De multe ori este necesar să se rezolve ecuații care conțin necunoscuta în numitori: astfel de ecuații se numesc fracționale.

Pentru a rezolva această ecuație, înmulțim ambele părți ale acesteia, adică cu un polinom care conține necunoscutul. Va fi noua ecuație echivalentă cu cea dată? Pentru a răspunde la întrebare, să rezolvăm această ecuație.

Înmulțind ambele părți ale acestuia cu , obținem:

Rezolvând această ecuație de gradul întâi, găsim:

Deci, ecuația (2) are o singură rădăcină

Înlocuind-o în ecuația (1), obținem:

Prin urmare, este și rădăcina ecuației (1).

Ecuația (1) nu are alte rădăcini. În exemplul nostru, acest lucru se poate observa, de exemplu, din faptul că în ecuația (1)

Cum ar trebui să fie divizorul necunoscut egal cu dividendul 1 împărțit la câtul 2, adică

Deci, ecuațiile (1) și (2) au o singură rădăcină și, prin urmare, sunt echivalente.

2. Acum rezolvăm următoarea ecuație:

Cel mai simplu numitor comun: ; înmulțiți toți termenii ecuației cu ea:

După reducere obținem:

Să extindem parantezele:

Aducând termeni similari, avem:

Rezolvând această ecuație, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem:

În partea stângă, am primit expresii care nu au sens.

Prin urmare, rădăcina ecuației (1) nu este. Aceasta implică faptul că ecuațiile (1) și nu sunt echivalente.

În acest caz, spunem că ecuația (1) a dobândit o rădăcină străină.

Să comparăm soluția ecuației (1) cu soluția ecuațiilor pe care le-am considerat mai devreme (vezi § 51). În rezolvarea acestei ecuații, a trebuit să efectuăm două astfel de operații care nu au fost văzute înainte: în primul rând, am înmulțit ambele părți ale ecuației cu o expresie care conține necunoscutul (numitorul comun) și, în al doilea rând, am redus fracțiile algebrice cu factori care conțin necunoscutul .

Comparând ecuația (1) cu ecuația (2), vedem că nu toate valorile x valide pentru ecuația (2) sunt valabile pentru ecuația (1).

Numerele 1 și 3 nu sunt valori admisibile ale necunoscutului pentru ecuația (1), iar ca urmare a transformării au devenit admisibile pentru ecuația (2). Unul dintre aceste numere s-a dovedit a fi o soluție a ecuației (2), dar, desigur, nu poate fi o soluție a ecuației (1). Ecuația (1) nu are soluții.

Acest exemplu arată că la înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu un factor care conține necunoscutul, și la reducerea fracțiilor algebrice, se poate obține o ecuație care nu este echivalentă cu cea dată și anume: pot apărea rădăcini străine.

Prin urmare, tragem următoarea concluzie. Când se rezolvă o ecuație care conține o necunoscută în numitor, rădăcinile rezultate trebuie verificate prin substituție în ecuația originală. Rădăcinile străine trebuie aruncate.

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații pătratice. Să extindem acum metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale numite expresii alcătuite din numere, variabile, gradele acestora și semnele operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care se reduc la ecuații liniare. Acum să luăm în considerare acele ecuații raționale care se reduc și la ecuații pătratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Decizie:

O fracție este 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este 0 și numitorul ei nu este 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu se potrivește cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ale acestei ecuații.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât să se obțină 0 în partea dreaptă.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0, conform următorului algoritm: .

4. Notați acele rădăcini care sunt obținute în prima ecuație și satisfaceți a doua inegalitate ca răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Decizie

La început, transferăm toți termenii în partea stângă, astfel încât 0 să rămână în dreapta. Obținem:

Acum aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Obținem că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și, de asemenea, am învățat cum să rezolvăm ecuații raționale, care sunt reduse la ecuații patratice.

În lecția următoare, vom considera ecuațiile raționale ca modele de situații reale și, de asemenea, vom lua în considerare problemele de mișcare.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. - M.: Iluminismul, 2006.

1. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Teme pentru acasă

T. Kosyakova,
școala N№ 80, Krasnodar

Rezolvarea ecuațiilor pătratice și fracționale-raționale care conțin parametri

Lecția 4

Subiectul lecției:

Scopul lecției: pentru a forma capacitatea de a rezolva ecuații fracționale-raționale care conțin parametri.

Tip de lecție: introducerea de material nou.

1. (Oral.) Rezolvați ecuațiile:

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Decizie.

Găsiți valori nevalide A:

Răspuns. În cazul în care un dacă A = – 19 , atunci nu există rădăcini.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Decizie.

Găsiți valori nevalide ale parametrilor A :

10 – A = 5, A = 5;

10 – A = A, A = 5.

Răspuns. În cazul în care un A = 5 A № 5 , apoi x=10– A .

Exemplul 3. La ce valori ale parametrului b ecuația Are:

a) două rădăcini b) singura rădăcină?

Decizie.

1) Găsiți valori nevalide ale parametrilor b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 sau b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 sau b = – 2.

2) Rezolvați ecuația x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Excluderea valorilor parametrilor nevalide b , obținem că ecuația are două rădăcini, dacă b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, dar aceasta este o valoare a parametrului nevalidă b ; dacă b 2 –1=0 , adică b=1 sau.

Răspuns: a) dacă b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , apoi două rădăcini; b) dacă b=1 sau b=-1 , apoi singura rădăcină.

Muncă independentă

Opțiunea 1

Rezolvați ecuațiile:

Opțiunea 2

Rezolvați ecuațiile:

Răspunsuri

ÎN 1. si daca A=3 , atunci nu există rădăcini; dacă b) dacă dacă A № 2 , atunci nu există rădăcini.

ÎN 2.În cazul în care un A=2 , atunci nu există rădăcini; dacă A=0 , atunci nu există rădăcini; dacă
b) dacă A=– 1 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă atunci nu există rădăcini;
dacă

Temă pentru acasă.

Rezolvați ecuațiile:

Răspunsuri: a) Dacă A № –2 , apoi x= A ; dacă A=–2 , atunci nu există soluții; b) dacă A № –2 , apoi x=2; dacă A=–2 , atunci nu există soluții; c) dacă A=–2 , apoi X- orice alt număr decât 3 ; dacă A № –2 , apoi x=2; d) dacă A=–8 , atunci nu există rădăcini; dacă A=2 , atunci nu există rădăcini; dacă

Lecția 5

Subiectul lecției:„Rezolvarea ecuațiilor fracționale-raționale care conțin parametri”.

Obiectivele lecției:

invatarea rezolvarii ecuatiilor cu o conditie nestandard;
asimilarea conștientă de către studenți a conceptelor algebrice și a relațiilor dintre acestea.

Tip de lecție: sistematizare și generalizare.

Verificarea temelor.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

a) relativ la x; b) relativ la y.

Decizie.

a) Găsiți valori nevalide y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– valoarea parametrului nevalidă y.

În cazul în care un y№ 0 , apoi x=y-2; dacă y=0, atunci ecuația își pierde sensul.

b) Găsiți valori nevalide ale parametrilor X: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– valoarea parametrului nevalidă X; y(2+x-y)=0, y=0 sau y=2+x;

y=0 nu satisface conditia y(y–x)№ 0 .

Răspuns: a) dacă y=0, atunci ecuația își pierde sensul; dacă y№ 0 , apoi x=y-2; b) dacă x=0 X№ 0 , apoi y=2+x .

Exemplul 2. Pentru ce valori întregi ale parametrului a sunt rădăcinile ecuației aparțin intervalului

D = (3 A + 2) 2 – 4A(A+ 1) 2 = 9 A 2 + 12A + 4 – 8A 2 – 8A,

D = ( A + 2) 2 .

În cazul în care un A № 0 sau A № – 1 , apoi

Răspuns: 5 .

Exemplul 3. Găsiți relativ X soluții întregi ale ecuației

Răspuns. În cazul în care un y=0, atunci ecuația nu are sens; dacă y=–1, apoi X- orice număr întreg, altul decât zero; dacă y# 0, y# – 1, atunci nu există soluții.

Exemplul 4 Rezolvați ecuația cu parametrii A și b .

În cazul în care un A№ – b , apoi

Răspuns. În cazul în care un a= 0 sau b= 0 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă A№ 0,b№ 0, a=-b , apoi X- orice alt număr decât zero; dacă A№ 0,b№ 0,a№ -b apoi x=-a, x=-b .

Exemplul 5. Demonstrați că pentru orice valoare diferită de zero a parametrului n, ecuația are o singură rădăcină egală cu – n .

Decizie.

adică x=-n, ceea ce urma să fie dovedit.

Temă pentru acasă.

1. Găsiți soluții întregi ale ecuației

2. La ce valori ale parametrului c ecuația Are:
a) două rădăcini b) singura rădăcină?

3. Găsiți toate rădăcinile întregi ale ecuației dacă A O N .

4. Rezolvați ecuația 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativ y; b) relativ X .

1. Ecuația este satisfăcută de orice valori întregi egale ale lui x și y, altele decât zero.
2. a) Când
b) la sau
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Dacă atunci nu există rădăcini; dacă
b) dacă atunci nu există rădăcini; dacă

Test

Opțiunea 1

1. Determinați tipul de ecuație 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 la o) c=-3; b) c=2;în) c=4 .

2. Rezolvați ecuațiile: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; în)

3. Rezolvați ecuația 3x-xy-2y=1:

a) relativ X ;
b) relativ y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0,știind că parametrul n ia doar valori întregi.

5. Pentru ce valori ale lui b are ecuația Are:

a) două rădăcini
b) singura rădăcină?

Opțiunea 2

1. Determinați tipul de ecuație 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 la o) c=-4; b) c=7;în) c=1 .

2. Rezolvați ecuațiile: a) y2 +cy=0; b) ny2 –8y+2=0;în)

3. Rezolvați ecuația 6x-xy+2y=5:

a) relativ X ;
b) relativ y .

4. Aflați rădăcinile întregi ale ecuației nx 2 -22x+2n=0 ,știind că parametrul n ia doar valori întregi.

5. Pentru ce valori ale parametrului a ecuația Are:

a) două rădăcini
b) singura rădăcină?

Răspunsuri

ÎN 1. 1. a) Ecuație liniară;
b) ecuație pătratică incompletă; c) o ecuaţie pătratică.
2. a) Dacă b=0, apoi x=0; dacă b#0, apoi x=0, x=b;
b) dacă cО (9;+Ґ ), atunci nu există rădăcini;
c) dacă A=–4 , atunci ecuația își pierde sensul; dacă A№ –4 , apoi x=- A .
3. a) Dacă y=3, atunci nu există rădăcini; dacă);
b) A=–3, A=1.

Sarcini suplimentare

Rezolvați ecuațiile:

Literatură

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Despre parametrii de la bun început. - Tutor, nr 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Condiții necesare în sarcinile cu parametri. – Kvant, nr. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Rezolvarea problemelor care conțin parametri. Partea 2. - M., Perspectivă, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Cinci sute paisprezece sarcini cu parametri. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Sarcini cu parametri. - M., Educaţie, 1986.