De la Wikipedia, enciclopedia liberă

Număr reciproc(reciproc, reciproc) la un număr dat X este numărul a cărui înmulțire cu X, dă unul. Intrare acceptata: $\backslash frac(1)x$ sau $x^(-1)$. Se numesc două numere al căror produs este egal cu unul reciproc invers. Reciprocul unui număr nu trebuie confundat cu reciprocul unei funcții. De exemplu, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ diferită de valoarea funcției cosinus invers - arccosinus, care se notează $\backslash cos^(-1)x$ sau $\backslash arccos\; x$.

Inversa numărului real

Forme de numere complexe	Număr $(z)$	Verso $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebric	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonometric	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Demonstrație	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Dovada:
Pentru formele algebrice și trigonometrice, folosim proprietatea de bază a unei fracții, înmulțind numărătorul și numitorul cu conjugatul complex:

• Forma algebrică:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Forma trigonometrică:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Forma indicativ:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Astfel, atunci când găsiți inversul unui număr complex, este mai convenabil să folosiți forma lui exponențială.

Exemplu:

Forme de numere complexe	Număr $(z)$	Verso $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebric	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonometric	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ sau $2\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ sau $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Demonstrație	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Invers față de unitatea imaginară

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Astfel, primim

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ sau__ $i^(-1)=-i$

La fel pentru $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ sau __ $-i^(-1)=i$

Scrieți o recenzie la articolul „Numărul invers”

Note

Vezi si

Un fragment care caracterizează numărul reciproc

Așa spun poveștile, și toate acestea sunt complet nedrepte, așa cum se va convinge cu ușurință oricine dorește să aprofundeze în esența problemei.
Rușii nu au căutat o poziție mai bună; dar, dimpotrivă, în retragerea lor au trecut pe lângă multe poziții care erau mai bune decât Borodino. Nu s-au oprit la niciuna dintre aceste poziții: atât pentru că Kutuzov nu a vrut să accepte o poziție care nu a fost aleasă de el, cât și pentru că cererea pentru o bătălie populară nu fusese încă exprimată suficient de puternic, cât și pentru că Miloradovici nu se apropiase încă. cu miliţia, dar şi din cauza altor motive care sunt nenumărate. Cert este că pozițiile anterioare erau mai puternice și că poziția Borodino (cea pe care s-a dat bătălia) nu numai că nu este puternică, dar din anumite motive nu este deloc o poziție mai mare decât orice alt loc din Imperiul Rus. , pe care, ghicit, s-ar indica cu un ac pe hartă.
Rușii nu numai că nu au întărit poziția câmpului Borodino la stânga într-un unghi drept față de drum (adică locul unde a avut loc bătălia), dar niciodată înainte de 25 august 1812 nu s-au gândit că bătălia ar putea. are loc pe acest loc. Acest lucru este dovedit, în primul rând, de faptul că nu numai la data de 25 nu existau întărituri în acest loc, ci că, începute pe 25, nu au fost finalizate pe 26; în al doilea rând, poziția redutei Shevardinsky servește drept dovadă: reduta Shevardinsky, în fața poziției pe care s-a luat lupta, nu are niciun sens. De ce a fost această reduta fortificată mai puternică decât toate celelalte puncte? Și de ce, apărând-o pe 24 până noaptea târziu, toate eforturile au fost epuizate și șase mii de oameni pierduți? Pentru a observa inamicul, era suficientă o patrulă cazacă. În al treilea rând, dovada că poziția pe care a avut loc bătălia nu a fost prevăzută și că reduta Shevardinsky nu era punctul de avans al acestei poziții este că Barclay de Tolly și Bagration până pe 25 erau convinși că reduta Shevardinsky era flancul stâng al poziţia şi că însuşi Kutuzov, în raportul său, scris în grabă după bătălie, numeşte reduta Şevardinsky flancul stâng al poziţiei. Mult mai târziu, când rapoartele despre bătălia de la Borodino au fost scrise în aer liber, a fost (probabil pentru a justifica greșelile comandantului șef, care trebuia să fie infailibil) că a fost inventată mărturia nedreaptă și ciudată că reduta Shevardinsky a servit drept post avansat (pe când era doar un punct fortificat al flancului stâng) și de parcă bătălia de la Borodino a fost acceptată de noi într-o poziție fortificată și preselectată, în timp ce s-a desfășurat într-un loc complet neașteptat și aproape nefortificat.
Cazul, evident, a fost cam așa: poziția a fost aleasă de-a lungul râului Kolocha, care traversa drumul principal nu în linie dreaptă, ci într-un unghi ascuțit, astfel încât flancul stâng se afla în Shevardin, flancul drept era aproape de satul Novy iar centrul era în Borodino, la confluența râurilor Kolocha și Vo. yn. Această poziție, sub acoperirea râului Kolocha, pentru armată, al cărei scop este să oprească inamicul în mișcarea de-a lungul drumului Smolensk către Moscova, este evidentă pentru oricine privește câmpul Borodino, uitând cum a avut loc bătălia.
Napoleon, plecând pe 24 la Valuev, nu a văzut (cum spun poveștile) poziția rușilor de la Utitsa până la Borodin (nu putea vedea această poziție, pentru că nu era acolo) și nu a văzut postul avansat al Armata rusă, dar s-a împiedicat în urmărirea ariergardei ruse pe flancul stâng al poziției rușilor, pe reduta Shevardinsky, și în mod neașteptat pentru rușii au transferat trupe prin Kolocha. Iar rușii, neavând timp să intre într-o luptă generală, s-au retras cu aripa stângă din poziția pe care intenționau să o ia și au luat o nouă poziție, care nu era prevăzută și neîntărită. După ce a trecut pe partea stângă a lui Kolocha, la stânga drumului, Napoleon a mutat întreaga luptă viitoare de la dreapta la stânga (din partea rușilor) și a transferat-o pe câmpul dintre Utitsa, Semenovsky și Borodino (în acest domeniu). , care nu are nimic mai avantajos pentru poziție decât orice alt câmp din Rusia), iar pe acest teren toată bătălia a avut loc pe 26. În formă brută, planul bătăliei propuse și bătăliei care a avut loc va fi următorul:

Dacă Napoleon nu ar fi plecat în seara zilei de 24 spre Kolocha și nu ar fi ordonat să atace reduta imediat seara, ci ar fi început atacul a doua zi dimineața, atunci nimeni nu s-ar fi îndoit că reduta Shevardinsky era flancul stâng al poziției noastre; iar bătălia ar fi avut loc așa cum ne așteptam. În acest caz, probabil că ne-am fi apărat cu mai multă încăpățânare reduta Shevardino, flancul nostru stâng; aveau să-l atace pe Napoleon în centru sau în dreapta, iar pe 24 va avea loc o luptă generală în poziţia care era fortificată şi prevăzută. Dar din moment ce atacul pe flancul nostru stâng a avut loc seara, în urma retragerii ariergardei noastre, adică imediat după bătălia de la Gridneva, și din moment ce liderii militari ruși nu au vrut sau nu au avut timp să înceapă o luptă generală. în aceeași seară de 24, prima și principala acțiune a lui Borodinsky, bătălia a fost pierdută pe 24 și, evident, a dus la pierderea celei care a fost dată pe 26.
După pierderea redutei Shevardinsky, în dimineața zilei de 25 ne-am trezit fără o poziție pe flancul stâng și am fost forțați să ne îndoim aripa stângă și să o întărim în grabă oriunde.
Dar nu numai că trupele ruse stăteau doar sub protecția unor fortificații slabe, neterminate la 26 august, dezavantajul acestei situații a fost și mai mult sporit de faptul că liderii militari ruși, nerecunoscând pe deplin faptul împlinit (pierderea unei poziții). pe flancul stâng și transferul întregului câmp de luptă viitor de la dreapta la stânga), au rămas în poziția lor extinsă din satul Novy la Utitsa și, ca urmare, au trebuit să își mute trupele de la dreapta la stânga în timpul bătăliei. Astfel, pe parcursul întregii bătălii, rușii au avut de două ori cele mai slabe forțe împotriva întregii armate franceze, îndreptate către aripa noastră stângă. (Acțiunile lui Poniatowski împotriva lui Utitsa și Uvarov de pe flancul drept al francezilor au fost acțiuni separate de cursul bătăliei.)
Așadar, bătălia de la Borodino nu s-a întâmplat deloc așa cum o descrie (încercarea de a ascunde greșelile liderilor noștri militari și, ca urmare, de disprețuire a gloriei armatei și poporului rus). Bătălia de la Borodino nu a avut loc pe o poziție aleasă și fortificată cu doar cele mai slabe forțe din partea rușilor, iar bătălia de la Borodino, din cauza pierderii redutei Shevardinsky, a fost luată de ruși într-un loc deschis, zonă aproape nefortificată cu de două ori cele mai slabe forțe împotriva francezilor, adică în astfel de condiții, în care nu numai că era de neconceput să lupți timp de zece ore și să faci lupta indecisă, dar era de neconceput să țină armata de la înfrângerea completă și la fuga. pentru trei ore.

Pe 25 dimineața, Pierre a părăsit Mozhaisk. La coborârea din uriașul munte abrupt și strâmb care iese din oraș, pe lângă catedrala care stă pe muntele din dreapta, în care era slujbă și evanghelia, Pierre a coborât din trăsură și a plecat pe jos. În spatele lui cobora pe munte un fel de regiment de cavalerie cu peselnici în față. Un tren de căruțe cu răniții în fapta de ieri se ridica spre el. Șoferii țărani, strigând la cai și biciuindu-i cu bice, alergau dintr-o parte în alta. Cărucioarele, pe care zăceau și stăteau trei și patru soldați răniți, săreau peste pietrele aruncate sub formă de trotuar pe o pantă abruptă. Răniții, legați în zdrențe, paliți, cu buzele strânse și sprâncenele încruntate, ținându-se de paturi, săreau și se împingeau în căruțe. Toată lumea se uita cu o curiozitate copilărească aproape naivă la pălăria albă și la frac verde a lui Pierre.

Dăm o definiție și dăm exemple de numere reciproce. Luați în considerare cum să găsiți reciproca unui număr natural și reciproca unei fracții obișnuite. În plus, notăm și demonstrăm o inegalitate care reflectă proprietatea sumei numerelor reciproce.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numerele reciproce. Definiție

Definiție. Numerele reciproce

Numerele reciproce sunt acele numere al căror produs dă unul.

Dacă a · b = 1 , atunci putem spune că numărul a este reciproca numărului b , la fel cum numărul b este reciproca numărului a .

Cel mai simplu exemplu de numere reciproce este două. Într-adevăr, 1 1 = 1, deci a = 1 și b = 1 sunt numere reciproc inverse. Un alt exemplu sunt numerele 3 și 1 3 , - 2 3 și - 3 2 , 6 13 și 13 6 , log 3 17 și log 17 3 . Produsul oricărei perechi de numere de mai sus este egal cu unu. Dacă această condiție nu este îndeplinită, ca de exemplu cu numerele 2 și 2 3 , atunci numerele nu sunt reciproc inverse.

Definiția numerelor reciproce este valabilă pentru orice numere - naturale, întregi, reale și complexe.

Cum se află reciproca unui număr dat

Să luăm în considerare cazul general. Dacă numărul original este egal cu a , atunci numărul său reciproc va fi scris ca 1 a , sau a - 1 . Într-adevăr, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Pentru numerele naturale și fracții comune, găsirea reciprocei este destul de ușoară. S-ar putea chiar spune că este evident. În cazul găsirii unui număr care este inversul unui număr irațional sau complex, vor trebui făcute o serie de calcule.

Luați în considerare cele mai frecvente cazuri în practică de găsire a reciprocului.

Reciproca unei fracții comune

În mod evident, reciproca fracției comune a b este fracția b a . Deci, pentru a găsi reciproca unei fracții, trebuie doar să răsturnați fracția. Adică schimbați numărătorul și numitorul.

Conform acestei reguli, puteți scrie reciproca oricărei fracții obișnuite aproape imediat. Deci, pentru fracția 28 57, reciproca va fi fracția 57 28, iar pentru fracția 789 256 - numărul 256 789.

Reciproca unui număr natural

Puteți găsi reciproca oricărui număr natural în același mod ca și reciproca unei fracții. Este suficient să reprezentați un număr natural a ca o fracție obișnuită a 1 . Atunci reciproca sa va fi 1 a . Pentru numărul natural 3, reciproca sa este 1 3 , pentru numărul 666 reciproca este 1 666 și așa mai departe.

O atenție deosebită trebuie acordată unității, deoarece acesta este singurul număr, a cărui reciprocă este egală cu sine.

Nu există alte perechi de numere reciproce în care ambele componente sunt egale.

Reciproca unui număr mixt

Numărul mixt este de forma a b c . Pentru a-i găsi reciproca, trebuie să prezentați numărul mixt în partea unei fracții improprie și să alegeți reciproca pentru fracția rezultată.

De exemplu, să găsim reciproca lui 7 2 5 . Mai întâi, să reprezentăm 7 2 5 ca o fracție improprie: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Pentru fracția improprie 37 5 reciproca este 5 37 .

Reciproca unei zecimale

O fracție zecimală poate fi reprezentată și ca o fracție comună. Găsirea reciprocă a unei fracții zecimale a unui număr se reduce la reprezentarea fracției zecimale ca o fracție comună și găsirea reciprocei acesteia.

De exemplu, există o fracție 5, 128. Să-i găsim reciproca. Mai întâi, convertim zecimala într-o fracție comună: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Pentru fracția rezultată, reciproca va fi fracția 125641.

Să luăm în considerare încă un exemplu.

Exemplu. Aflarea reciprocei unei zecimale

Aflați reciproca fracției zecimale periodice 2 , (18) .

Convertiți zecimal în obișnuit:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

După traducere, putem nota cu ușurință reciproca fracției 24 11. Acest număr va fi evident 11 24 .

Pentru o fracție zecimală infinită și nerepetabilă, reciproca se scrie ca o fracție cu o unitate la numărător și fracția însăși la numitor. De exemplu, pentru fracția infinită 3 , 6025635789 . . . reciprocul va fi 1 3 , 6025635789 . . . .

În mod similar, pentru numerele iraționale corespunzătoare fracțiilor infinite neperiodice, reciprocele sunt scrise ca expresii fracționale.

De exemplu, reciproca lui π + 3 3 80 este 80 π + 3 3 , iar reciproca lui 8 + e 2 + e este 1 8 + e 2 + e.

Numere reciproce cu rădăcini

Dacă forma a două numere este diferită de a și 1 a , atunci nu este întotdeauna ușor de determinat dacă numerele sunt reciproc inverse. Acest lucru este valabil mai ales pentru numerele care au un semn rădăcină în notație, deoarece de obicei este obișnuit să scapi de rădăcina din numitor.

Să trecem la practică.

Să răspundem la întrebarea: numerele 4 - 2 3 și 1 + 3 2 sunt reciproce.

Pentru a afla dacă numerele sunt reciproc inverse, le calculăm produsul.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Produsul este egal cu unu, ceea ce înseamnă că numerele sunt reciproc inverse.

Să luăm în considerare încă un exemplu.

Exemplu. Numere reciproce cu rădăcini

Scrieți reciproca lui 5 3 + 1 .

Puteți scrie imediat că reciproca este egală cu fracția 1 5 3 + 1. Cu toate acestea, așa cum am spus deja, se obișnuiește să scapi de rădăcina din numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numărătorul și numitorul cu 25 3 - 5 3 + 1 . Primim:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Numere reciproce cu puteri

Să presupunem că există un număr egal cu o anumită putere a numărului a . Cu alte cuvinte, numărul a ridicat la puterea n. Reciproca lui a n este a - n . Hai să verificăm. Într-adevăr: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Exemplu. Numere reciproce cu puteri

Aflați reciproca lui 5 - 3 + 4 .

Conform celor de mai sus, numărul dorit este 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Reciproce cu logaritmi

Pentru logaritmul numărului a la baza b, reciproca este numărul egal cu logaritmul numărului b la baza a.

log a b și log b a sunt numere reciproc reciproce.

Hai să verificăm. Din proprietățile logaritmului rezultă că log a b = 1 log b a , ceea ce înseamnă log a b · log b a .

Exemplu. Reciproce cu logaritmi

Aflați reciproca log 3 5 - 2 3 .

Reciproca logaritmului de la 3 la baza 3 5 - 2 este logaritmul de 3 5 - 2 la baza 3.

Reciproca unui număr complex

După cum sa menționat mai devreme, definiția numerelor reciproce este valabilă nu numai pentru numerele reale, ci și pentru cele complexe.

De obicei numerele complexe sunt reprezentate în formă algebrică z = x + i y . Reciprocul acestuia va fi o fracțiune

1 x + i y . Pentru comoditate, această expresie poate fi scurtată prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu x - i y .

Exemplu. Reciproca unui număr complex

Fie un număr complex z = 4 + i . Să găsim reciproca.

Reciproca lui z = 4 + i va fi egală cu 1 4 + i .

Înmulțiți numărătorul și numitorul cu 4 - i și obțineți:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

Pe lângă forma sa algebrică, un număr complex poate fi reprezentat în formă trigonometrică sau exponențială după cum urmează:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

În consecință, numărul reciproc va arăta astfel:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Să ne asigurăm de asta:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Luați în considerare exemple cu reprezentarea numerelor complexe în formă trigonometrică și exponențială.

Aflați inversul lui 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Considerând că r = 2 3 , φ = π 6 , scriem numărul reciproc

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Exemplu. Aflați reciproca unui număr complex

Care este inversul lui 2 · e i · - 2 π 5 .

Răspuns: 1 2 e i 2 π 5

Suma numerelor reciproce. Inegalitate

Există o teoremă asupra sumei a două numere reciproce.

Suma numerelor reciproc reciproce

Suma a două numere pozitive și reciproce este întotdeauna mai mare sau egală cu 2.

Prezentăm demonstrația teoremei. După cum știți, pentru orice numere pozitive a și b, media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică. Aceasta poate fi scrisă ca o inegalitate:

a + b 2 ≥ a b

Dacă în loc de numărul b luăm inversul lui a , inegalitatea ia forma:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Să dăm un exemplu practic care ilustrează această proprietate.

Exemplu. Aflați suma numerelor reciproce

Să calculăm suma numerelor 2 3 și reciproca acesteia.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

După cum spune teorema, numărul rezultat este mai mare decât doi.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Se numește o pereche de numere al căror produs este egal cu unu reciproc invers.

Exemple: 5 și 1/5, -6/7 și -7/6 și

Pentru orice număr a nu este egal cu zero, există un invers 1/a.

Reciproca lui zero este infinitul.

Fracții inverse- acestea sunt două fracții, al căror produs este 1. De exemplu, 3/7 și 7/3; 5/8 și 8/5 etc.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce este „numărul invers” în alte dicționare:

Un număr al cărui produs înmulțit cu un anumit număr este egal cu unu. Două astfel de numere se numesc reciproce. Astfel sunt, de exemplu, 5 și 1/5, 2/3 și 3/2 etc... Dicţionar enciclopedic mare

număr reciproc- - [A.S. Goldberg. Dicţionar de energie engleză rusă. 2006] Subiecte energie în general EN număr invers număr reciproc … Manualul Traducătorului Tehnic

Un număr al cărui produs înmulțit cu un anumit număr este egal cu unu. Două astfel de numere se numesc reciproce. Acestea sunt, de exemplu, 5 și 1/5, 2/3 și 3/2 etc. * * * NUMĂR INVERS NUMĂR INVERS, un număr al cărui produs multiplicat cu un anumit număr este... Dicţionar enciclopedic

Un număr al cărui produs cu un număr dat este egal cu unu. Două astfel de numere se numesc reciproce. Astfel sunt, de exemplu, 5 și a, nu egal cu zero, există o inversă ... Marea Enciclopedie Sovietică

Numărul, produsul lui k și un număr dat este egal cu unu. Două astfel de numere sunt numite reciproc invers. Acestea sunt, de exemplu, 5 și 1/5. 2/3 si 3/2 etc... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Acest termen are alte semnificații, vezi Număr (sensuri). Numărul este conceptul de bază al matematicii utilizat pentru caracteristicile cantitative, compararea și numerotarea obiectelor. Apărând înapoi în societatea primitivă din nevoile ... ... Wikipedia

Vezi și: Numărul (lingvistică) Numărul este o abstractizare folosită pentru cuantificarea obiectelor. După ce a apărut în societatea primitivă din nevoile numărării, conceptul de număr s-a schimbat și s-a îmbogățit și s-a transformat în cel mai important calcul matematic ... Wikipedia

Învârtirea inversă a apei în timpul scurgerii este un mit aproape științific bazat pe aplicarea incorectă a efectului Coriolis la mișcarea apei într-un vârtej care are loc atunci când aceasta se varsă în orificiul de scurgere a unei chiuvete sau a căzii de baie. Esența mitului este că apa ...... Wikipedia

NUMĂR, IRAȚIONAL, un număr care nu poate fi exprimat ca fracție. Exemplele includ numărul C2 și p. Prin urmare, numerele iraționale sunt numere cu un număr infinit de zecimale (neperiodice). (Cu toate acestea, inversul nu este... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Transformarea Laplace este o transformare integrală care leagă o funcție a unei variabile complexe (imagine) cu o funcție a unei variabile reale (original). Cu ajutorul lui, proprietățile sistemelor dinamice sunt investigate și diferențiale și ... Wikipedia

Cărți

• Clubul Soțiilor Fericite, Weaver Fon. 27 de femei din diferite părți ale lumii care nu se cunosc, cu soarte diferite. Nu au nimic în comun, cu excepția unui singur lucru - sunt nebun de fericiți în căsătorie de peste 25 de ani, pentru că cunosc Secretul... Când...

Numerele inverse - sau reciproc reciproce - sunt o pereche de numere care, înmulțite, dau 1. În forma cea mai generală, reciprocele sunt numere. Un caz special caracteristic al numerelor reciproce este o pereche. Inversurile sunt, să zicem, numerele; .

Cum să găsești reciproca

Regula: trebuie să împărțiți 1 (unu) la numărul dat.

Exemplul #1.

Este dat numărul 8. Inversa sa este 1:8 sau (este de preferat a doua opțiune, deoarece o astfel de notație este matematic mai corectă).

Când căutați reciproca unei fracții obișnuite, împărțirea acesteia la 1 nu este foarte convenabilă, deoarece înregistrarea devine greoaie. În acest caz, este mult mai ușor să faci altfel: fracția este pur și simplu răsturnată, schimbând numărătorul și numitorul. Dacă se dă o fracție corectă, atunci după răsturnarea acesteia se obține o fracție necorespunzătoare, adică. unul din care se poate extrage o întreagă parte. Pentru a face acest lucru sau nu, trebuie să decideți de la caz la caz. Deci, dacă apoi trebuie să efectuați unele acțiuni cu fracția inversată rezultată (de exemplu, înmulțire sau împărțire), atunci nu ar trebui să selectați întreaga parte. Dacă fracția rezultată este rezultatul final, atunci poate că este de dorit selecția părții întregi.

Exemplul #2.

Dată o fracție. Revers la ea:.

Dacă doriți să găsiți reciproca unei fracții zecimale, atunci ar trebui să utilizați prima regulă (împărțirea 1 la un număr). În această situație, puteți acționa într-unul din 2 moduri. Primul este să împărțiți pur și simplu 1 cu acest număr într-o coloană. Al doilea este de a forma o fracție de la 1 la numărător și o zecimală la numitor, apoi înmulțiți numărătorul și numitorul cu 10, 100 sau un alt număr format din 1 și câte zerouri este necesar pentru a scăpa de punctul zecimal. în numitor. Rezultatul va fi o fracție obișnuită, care este rezultatul. Dacă este necesar, poate fi necesar să îl scurtați, să extrageți o parte întreagă din el sau să o convertiți în formă zecimală.

Exemplul #3.

Numărul dat este 0,82. Reciproca sa este: . Acum să reducem fracția și să selectăm partea întreagă: .

Cum se verifică dacă două numere sunt reciproce

Principiul verificării se bazează pe definiția reciprocelor. Adică, pentru a vă asigura că numerele sunt inverse între ele, trebuie să le înmulțiți. Dacă rezultatul este unul, atunci numerele sunt reciproc inverse.

Exemplul numărul 4.

Având în vedere numerele 0,125 și 8. Sunt reciproce?

Examinare. Este necesar să găsim produsul dintre 0,125 și 8. Pentru claritate, prezentăm aceste numere ca fracții obișnuite: (să reducem prima fracție cu 125). Concluzie: numerele 0,125 și 8 sunt inverse.

Proprietățile reciprocelor

Proprietatea #1

Reciprocul există pentru orice număr altul decât 0.

Această limitare se datorează faptului că este imposibil de împărțit la 0, iar atunci când se determină reciproca lui zero, va trebui doar mutat la numitor, adică. de fapt împărți cu ea.

Proprietatea #2

Suma unei perechi de numere reciproce nu este niciodată mai mică de 2.

Matematic, această proprietate poate fi exprimată prin inegalitatea: .

Proprietatea #3

Înmulțirea unui număr cu două numere reciproce este echivalentă cu înmulțirea cu unul. Să exprimăm matematic această proprietate: .

Exemplul numărul 5.

Aflați valoarea expresiei: 3,4 0,125 8. Deoarece numerele 0,125 și 8 sunt reciproce (vezi Exemplul #4), nu este nevoie să înmulțiți 3,4 cu 0,125 și apoi cu 8. Deci răspunsul aici este 3.4.

Conţinut:

Sunt necesare reciproce atunci când se rezolvă toate tipurile de ecuații algebrice. De exemplu, dacă trebuie să împărțiți un număr fracționar la altul, înmulțiți primul număr cu reciproca celui de-al doilea. În plus, reciprocele sunt folosite la găsirea ecuației unei linii drepte.

Pași

1 Aflarea reciprocei unei fracții sau unui întreg

1. 1 Găsiți reciproca unui număr fracționar răsturnând-o.„Numărul reciproc” este definit foarte simplu. Pentru a-l calcula, calculați pur și simplu valoarea expresiei „1 ÷ (număr original).” Pentru un număr fracționar, reciproca este un alt număr fracționar care poate fi calculat pur și simplu prin „inversarea” fracției (prin schimbarea numărătorului și numitorului).
   • De exemplu, reciproca lui 3/4 este 4 / 3 .
2. 2 Scrieți reciproca unui număr întreg sub formă de fracție.Și în acest caz, reciproca este calculată ca 1 ÷ (număr original). Pentru un număr întreg, scrieți reciproca ca fracție, nu este nevoie să faceți calculele și scrieți-o ca zecimală.
   • De exemplu, reciproca lui 2 este 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Aflarea reciprocei unei fracții mixte

1. 1 Ce este o „fracție mixtă”? O fracție mixtă este un număr scris ca număr întreg și o fracție simplă, de exemplu, 2 4 / 5. Găsirea reciprocă a unei fracții mixte se face în două etape, descrise mai jos.
2. 2 Scrieți fracția mixtă ca fracție improprie. Desigur, vă amintiți că unitatea poate fi scrisă ca (număr) / (același număr), iar fracțiile cu același numitor (număr sub linie) pot fi adăugate între ele. Iată cum se poate face pentru fracția 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Întoarceți fracția. Când o fracție mixtă este scrisă ca o fracție improprie, putem găsi cu ușurință reciproca prin simpla schimbare a numărătorului și numitorului.
   • Pentru exemplul de mai sus, reciproca ar fi 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Aflarea reciprocei unei zecimale

1. 1 Dacă este posibil, exprimați zecimala ca o fracție. Trebuie să știți că multe zecimale pot fi ușor convertite în fracții simple. De exemplu, 0,5 = 1/2 și 0,25 = 1/4. Când scrieți un număr ca o fracție simplă, puteți găsi cu ușurință reciproca pur și simplu răsturnând fracția.
   • De exemplu, reciproca lui 0,5 este 2 / 1 = 2.
2. 2 Rezolvați problema folosind împărțirea. Dacă nu poți scrie o zecimală ca fracție, calculează reciproca rezolvând problema împărțind: 1 ÷ (zecimală). Puteți folosi un calculator pentru a o rezolva sau să treceți la pasul următor dacă doriți să calculați valoarea manual.
   • De exemplu, reciproca de 0,4 este calculată ca 1 ÷ 0,4.
3. 3 Schimbați expresia pentru a lucra cu numere întregi. Primul pas în împărțirea zecimală este mutarea punctului de poziție până când toate numerele din expresie sunt numere întregi. Deoarece mutați virgula pozițională cu același număr de locuri atât în ​​dividend, cât și în divizor, obțineți răspunsul corect.
4. 4 De exemplu, luați expresia 1 ÷ 0,4 și o scrieți ca 10 ÷ 4.În acest caz, ați mutat virgula cu un loc la dreapta, ceea ce înseamnă înmulțirea fiecărui număr cu zece.
5. 5 Rezolvați problema împărțind numerele la o coloană. Folosind împărțirea pe o coloană, puteți calcula reciproca unui număr. Dacă împărțiți 10 la 4, ar trebui să obțineți 2,5, care este reciproca lui 0,4.

• Valoarea unui reciproc negativ va fi inversul numărului înmulțit cu -1. De exemplu, inversul negativ al lui 3/4 este -4/3.
• Reciprocul unui număr este uneori denumit „reciproc” sau „reciproc”.
• Numărul 1 este propria sa reciprocă deoarece 1 ÷ 1 = 1.
• Zero nu are reciprocă deoarece expresia 1 ÷ 0 nu are soluții.