Trei puncte din spațiu care nu se află pe aceeași linie dreaptă definesc un singur plan. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte date M 1 (X 1 ; la 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; la 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; la 3 ; z 3). Luați un punct arbitrar din avion M(X; la; z) și compune vectorii = ( x - x 1 ; la– la 1 ; Z Z 1), = (X 2 - X 1 ; la 2 – la 1 ; z 2 -z 1), = (X 3 - X 1 ; la 3 – la 1 ; z 3 -z unu). Acești vectori se află în același plan, deci sunt coplanari. Folosind condiția de compararitate a trei vectori (produsul lor mixt este egal cu zero), obținem ∙ ∙ = 0, i.e.

= 0. (3.5)

Ecuația (3.5) se numește ecuația unui plan care trece prin trei puncte date.

Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu

Unghiul dintre planuri

Să fie date două avioane

DAR 1 X + LA 1 la + DIN 1 z + D 1 = 0,

DAR 2 X + LA 2 la + DIN 2 z + D 2 = 0.

Pe unghiul dintre planuri luăm unghiul φ dintre oricare doi vectori perpendiculari pe ei (care dă două unghiuri, acute și obtuz, completându-se până la π). Deoarece vectorii normali ai planelor = ( DAR 1 , LA 1 , DIN 1) și = ( DAR 2 , LA 2 , DIN 2) sunt perpendiculare pe ele, atunci obținem

cosφ = .

Condiția de perpendicularitate a două plane

Dacă două plane sunt perpendiculare, atunci vectorii normali ai acestor plane sunt de asemenea perpendiculari și produsul lor scalar este egal cu zero: ∙ = 0. Prin urmare, condiția pentru perpendicularitatea a două plane este

DAR 1 DAR 2 + LA 1 LA 2 + DIN 1 DIN 2 = 0.

Condiție de paralelism a două plane

Dacă planurile sunt paralele, atunci vectorii lor normali vor fi și ei paraleli. Atunci coordonatele similare ale vectorilor normali sunt proporționale. Prin urmare, condiția pentru planuri paralele este

= = .

Distanța de la punctM 0 (X 0 , y 0 , z 0) până la avion Oh + Wu + Сz + D = 0.

Distanța de la punctul M 0 (X 0 , y 0 , z 0) la avion Ah + Wu + Сz + D= 0 este lungimea perpendicularei trase din acest punct pe plan și se află prin formula

d= .

Exemplul 1 R(– 1, 2, 7) este perpendiculară pe vectorul = (3, – 1, 2).

Soluţie

Conform ecuației (3.1) obținem

3(x + 1) – (y - 2) + 2(z- 7) = 0,

3X – la + 2z – 9 = 0.

Exemplul 2 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M(2; – 3; – 7) paralel cu planul 2 X – 6la – 3z + 5 = 0.

Soluţie

Vector = (2; - 6; - 3) perpendicular pe plan este, de asemenea, perpendicular pe planul paralel. Deci planul dorit trece prin punct M(2; – 3; – 7) perpendicular pe vector = (2; – 6; – 3). Să găsim ecuația planului prin formula (3.1):

2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z + 7) = 0,

2X – 6la – 3z – 43 = 0.

Exemplul 3 Aflați ecuația unui plan care trece prin puncte M 1 (2; 3; – 1) și M 2 (1; 5; 3) perpendicular pe planul 3 X – la + 3z + 15 = 0.

Soluţie

Vector = (3; - 1; 3) perpendicular pe planul dat va fi paralel cu planul dorit. Deci avionul trece prin puncte M 1 și M 2 paralel cu vectorul .

Lăsa M(X; y; z) un punct arbitrar al planului, atunci vectorii = ( X – 2; la – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) sunt coplanari, deci produsul lor mixt este egal cu zero:

= 0.

Calculați determinantul extinzându-se peste elementele primului rând:

(X – 2) – (la – 3) + (z + 1) = 0,

10(X - 2) – (– 15)(y - 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(X - 2) + 3(y - 3) – (z + 1) = 0,

2x + 3la – z– 14 = 0 – ecuație plană.

Exemplul 4 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin originea perpendiculară pe planele 2 X – la + 5z+ 3 = 0 și X + 3la – z – 7 = 0.

Soluţie

Fie vectorul normal al planului necesar. Prin condiție, planul este perpendicular pe aceste planuri, deci și , unde = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Deci, ca vector, puteți lua produsul încrucișat al vectorilor și , adică = × .

= = – 14 + 7 + 7 .

Substituind coordonatele vectorului în ecuația planului care trece prin origine Oh + Wu + Сz= 0, obținem

– 14X + 7la + 7z = 0,

2X – la – z = 0.

Întrebări pentru autoexaminare

1 Scrieți ecuația generală a planului.

2 Care este semnificația geometrică a coeficienților la X, y,zîn ecuaţia generală a planului?

3 Scrieți ecuația planului care trece prin punctul M 0 (X 0 ; y 0 ; z 0) perpendicular pe vector = ( DAR; LA; DIN).

4 Scrieți ecuația planului în segmente de-a lungul axelor și indicați semnificația geometrică a parametrilor incluși în ea.

5 Scrieți ecuația planului care trece prin puncte M 1 (X 1 ; la 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; la 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; la 3 ; z 3).

6 Scrieți formula pentru găsirea unghiului dintre două plane.

7 Scrieți condițiile de paralelism a două plane.

8 Scrieți condiția de perpendicularitate a două plane.

9 Scrieți formula prin care se calculează distanța de la un punct la un plan.

Sarcini pentru soluție independentă

1 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M(2; – 1; 1) perpendicular pe vector = (1; – 2; 3). ( Răspuns: X – 2la + 3z – 7 = 0)

2 Punct R(1; - 2; - 2) este baza perpendicularei trasate de la origine la plan. Scrieți o ecuație pentru acest plan. ( Răspuns: X – 2la – 2z – 9 = 0)

3 Având în vedere două puncte M 1 (2; – 1; 3) și M 2 (– 1; 2; 4). Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M 1 este perpendicular pe vectorul . ( Răspuns: 3X – 3la – z – 6 = 0)

4 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Răspuns: 3X + 3la + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) și M 2 (2; 1; 3) paralel cu vectorul = (3; - 1; 4). ( Răspuns: 9X + 7la – 5z – 10 = 0)

6 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M 1 (2; 3; – 4) paralel cu vectorii = (3; 1; – 1) și = (1; – 2; 1). ( Răspuns: X + la + 7z + 14 = 0)

7 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M(1; – 1; 1) perpendicular pe planurile 2 X – la + z– 1 = 0 și X + 2la – z + 1 = 0. (Răspuns: X – 3la – 5z + 1 = 0)

8 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin puncte M 1 (1; 0; 1) și M 2 (1; 2; – 3) perpendicular pe plan X – la + z – 1 = 0. (Răspuns: X + 2la + z – 2 = 0)

9 Găsiți unghiul dintre plane 4 X – 5la + 3z– 1 = 0 și X – 4la – z + 9 = 0. (Răspuns: φ = arccos0.7)

10 Găsiți distanța de la punct M(2; – 1; – 1) până la planul 16 X – 12la + 15z – 4 = 0. (Răspuns: d = 1)

11 Aflați punctul de intersecție a trei plane 5 X + 8la – z – 7 = 0, X + 2la + 3z – 1 = 0, 2X – 3la + 2z – 9 = 0. (Răspuns: (3; – 1; 0))

12 Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin puncte M 1 (1; – 2; 6) și M 2 (5; - 4; 2) și taie segmente egale pe axe Ohși OU. (Răspuns: 4X + 4la + z – 2 = 0)

13 Găsiți distanța dintre avioane X + 2la – 2z+ 2 = 0 și 3 X + 6la – 6z – 4 = 0. (Răspuns: d = )

Folosind acest calculator online, puteți găsi ecuația unui plan care trece printr-un punct dat și paralel cu un plan dat. Se oferă o soluție detaliată cu explicații. Pentru a găsi ecuația planului, introduceți coordonatele punctului și coeficienții ecuației planului în celule și faceți clic pe butonul „Rezolvare”.

×

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623 etc.), numere zecimale (de ex. 67, 102,54 etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat și paralel cu un plan dat - teorie, exemple și soluții

Să se acorde un punct M 0 (X 0 , y 0 , z 0) și ecuația plană

Toate planele paralele au vectori normali coliniari. Prin urmare, pentru a construi un plan paralel cu (1) care trece prin punctul M 0 (X 0 , y 0 , z 0) trebuie să luați ca vector normal al planului dorit, vectorul normal n=(A, B, C) avion (1). În continuare, trebuie să găsiți o astfel de valoare D, la care punctul M 0 (X 0 , y 0 , z 0) a satisfăcut ecuația plană (1):

Înlocuirea valorii D de la (3) la (1), obținem:

Ecuația (5) este ecuația unui plan care trece prin punctul M 0 (X 0 , y 0 , z 0) și paralel cu planul (1).

Aflați ecuația unui plan care trece printr-un punct M 0 (1, −6, 2) și paralel cu planul:

Înlocuirea coordonatelor punctului M 0 și coordonatele vectorului normal din (3), obținem.

Cursul 5

1. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece printr-un punct M 0 (1, -2, 5) paralel cu planul 7 X-y-2z-1=0.

Soluţie. Notează prin R avion dat, să R 0 este planul paralel dorit care trece prin punct M 0 (1, -2, 5).

Luați în considerare vectorul normal (perpendicular). avion R. Coordonatele vectorului normal sunt coeficienții variabilelor din ecuația planului 
.

Pentru că avioanele Rși R 0 sunt paralele, apoi vectorul perpendicular pe plan R 0 , adică este vectorul normal al planului R 0 .

Ecuația unui plan care trece printr-un punct M 0 (X 0 , y 0 , z 0) cu normal
:

Înlocuiți coordonatele punctului M 0 și vectori normali în ecuația (1):

Extindem parantezele, obținem ecuația generală a planului (răspunsul final):

2. Alcătuiți ecuații canonice și parametrice ale unei drepte care trece printr-un punct M 0 (-2, 3, 0) paralel cu linia
.

Soluţie. Notează prin L linie dată, lasă L 0 este linia paralelă dorită care trece prin punct M 0 (-2,3,0).

Vector ghid Drept L(un vector diferit de zero paralel cu această linie) este, de asemenea, paralel cu linia L 0 . Prin urmare, vectorul este vectorul de direcție al dreptei L 0 .

Coordonatele vectorului ghid sunt egale cu numitorii corespunzători din ecuațiile canonice ale dreptei date

.

Ecuații canonice ale unei drepte în spațiu care trece printr-un punct M 0 (X 0 , y 0 , z {l, m, n}

. (2)

Înlocuiți coordonatele punctului M 0 și vectorul direcție în ecuația (2) și obțineți ecuațiile canonice ale dreptei:

.

Ecuații parametrice ale unei drepte în spațiu care trece printr-un punct M 0 (X 0 , y 0 , z 0) paralel cu un vector diferit de zero {l, m, n), au forma:

(3)

Înlocuiți coordonatele punctului M 0 și vectorul direcție în ecuațiile (3) și obțineți ecuațiile parametrice ale dreptei:

3. Găsiți un punct
, simetric la punct
, relativ la: a) direct
b) avioane

Soluţie. a) Compuneți ecuația planului perpendicular P proiectând un punct
la această linie:

A găsi
folosim conditia de perpendicularitate a dreptei date si a planului de proiectare. Vector de direcție drept
perpendicular pe planul  vector
este vectorul normal
la plan  Ecuaţia unui plan perpendicular pe o dreaptă dată are forma sau

Să găsim proiecția R puncte M Drept. Punct R este punctul de intersecție al dreptei și al planului, adică coordonatele sale trebuie să satisfacă simultan atât ecuațiile unei drepte, cât și ecuația unui plan. Să rezolvăm sistemul:

.

Pentru a o rezolva, scriem ecuația unei drepte într-o formă parametrică:

Înlocuirea expresiilor pentru
în ecuația plană, obținem:

De aici găsim coordonatele găsite - acestea sunt coordonatele mijlocului R segment de linie care leagă un punct
și un punct simetric cu acesta

La cursul școlar de geometrie a fost formulată o teoremă.

Punctele de mijloc ale unui segment sunt jumătate din sumele coordonatelor corespunzătoare ale capetelor sale.

Aflarea coordonatelor unui punct
din formulele pentru coordonatele mijlocului segmentului:

Primim: Deci
.

Soluţie. b) Pentru a găsi un punct simetric față de un punct
raportat la acest plan P, scade perpendiculara din punct
la acest avion. Compuneți ecuația unei drepte cu un vector de direcție
trecând prin punct
:

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan înseamnă că vectorul direcție al dreptei este perpendicular pe plan 
. Apoi ecuația dreptei care proiectează punctul
pe un plan dat, are forma:

Rezolvând împreună ecuațiile
și
găsiți proiecția R puncte
spre avion. Pentru a face acest lucru, rescriem ecuațiile liniei drepte într-o formă parametrică:

Înlocuiți aceste valori
în ecuația planului: Similar punctului a), folosind formulele pentru coordonatele mijlocului segmentului, găsim coordonatele punctului simetric
:

Acestea.
.

4. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin a) o dreaptă
paralel cu vectorul
; b) prin două drepte care se intersectează
și
(demonstrând anterior că se intersectează); c) prin două drepte paralele
și
; d) printr-o linie dreaptă
și punct
.

Soluţie. a) Deoarece linia dată se află în planul dorit, iar planul dorit este paralel cu vectorul , atunci vectorul normal al planului va fi perpendicular pe vectorul de direcție al dreptei
și vector .

Prin urmare, ca vector normal al planului, se poate alege produsul încrucișat al vectorilor și :

Obținem coordonatele vectorului normal al planului
.

Să găsim un punct pe linie. Echivalarea rapoartelor din ecuațiile canonice ale dreptei la zero:

,

găsi
,
,
. O dreaptă dată trece printr-un punct
, prin urmare, planul trece și el prin punct
. Folosind ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe vector , obținem ecuația planului , sau , sau, în final,
.

Soluţie. b) Două drepte în spațiu se pot intersecta, încrucișa sau fi paralele. Date linii drepte

și
(4)

nu sunt paralele deoarece vectorii lor de direcție
și
nu coliniar:
.

Cum se verifică dacă liniile se intersectează? Este posibil să se rezolve sistemul (4) din 4 ecuații cu 3 necunoscute. Dacă sistemul are o soluție unică, atunci obținem coordonatele punctului de intersecție al dreptelor. Cu toate acestea, pentru a ne rezolva problema - construirea unui plan în care se află ambele linii, punctul lor de intersecție nu este necesar. Prin urmare, este posibil să se formuleze condiția pentru intersecția a două drepte neparalele în spațiu fără a găsi punctul de intersecție.

Dacă două drepte neparalele se intersectează, atunci vectorii de direcție
,
si unind punctele situate pe linii
și
vectorul se află în același plan, adică coplanar  produsul mixt al acestor vectori este egal cu zero:

. (5)

Echivalăm rapoartele din ecuațiile canonice ale liniilor cu zero (sau cu 1 sau cu orice număr)

și
,

și găsiți coordonatele punctelor de pe drepte. Prima linie trece prin punct
, iar a doua linie dreaptă prin punct
. Vectorii de direcție ai acestor drepte sunt, respectiv, egali cu
și
. Primim

Egalitatea (5) este satisfăcută, prin urmare, dreptele date se intersectează. Aceasta înseamnă că există un singur plan care trece prin aceste două linii.

Să trecem la a doua parte a problemei - întocmirea ecuației planului.

Ca vector normal al planului, puteți alege produsul încrucișat al vectorilor lor de direcție și :

Coordonatele vectoriale normale plane
.

Am constatat că direct
trece prin
, prin urmare, planul dorit trece și el prin acest punct. Obținem ecuația planului sau
sau, în sfârșit,
.

c) Deoarece liniile
și
sunt paralele, atunci produsul vectorial al vectorilor lor de direcție nu poate fi ales ca vector normal, acesta va fi egal cu vectorul zero.

Determinați coordonatele punctelor
și
prin care trec aceste linii. Lăsa
și
, apoi
,
. Să calculăm coordonatele vectorului. Vector
se află în planul dorit și este necoliniar cu vectorul , apoi ca vectorul său normal puteți alege produsul încrucișat al unui vector
și vectorul de direcție al primei linii
:

Asa de,
.

Avionul trece printr-o linie dreaptă
, deci trece prin punct
. Obținem ecuația planului: , sau .

d) Echivalarea rapoartelor din ecuațiile canonice ale dreptei la zero
, găsim
,
,
. Prin urmare, linia trece prin punct
.

Să calculăm coordonatele vectorului. Vector
aparține planului dorit, ca vector normal al acestuia alege produsul vectorial al vectorului de direcție al dreptei
și vector
:

Atunci ecuația plană are forma: , sau .

Acest articol conține informațiile necesare pentru a rezolva problema compilării ecuației unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct dat. După rezolvarea acestei probleme într-o formă generală, vom oferi soluții detaliate de exemple pentru compilarea unei ecuații pentru un plan care trece printr-o dreaptă și un punct dat.

Navigare în pagină.

Aflarea ecuației unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct dat.

Să fie fixat Oxyz în spațiul tridimensional, să fie date o dreaptă a și un punct care nu se află pe linia a. Să ne punem sarcina: să obținem ecuația planului care trece prin dreapta a și punctul M 3.

Să arătăm mai întâi că există un singur plan a cărui ecuație vrem să o scriem.

Amintiți-vă două axiome:

• prin trei puncte diferite ale spațiului care nu se află pe o singură dreaptă, trece un singur plan;
• dacă două puncte distincte ale unei linii se află într-un anumit plan, atunci toate punctele acestei linii se află în acel plan.

Din aceste afirmații rezultă că printr-o linie și un punct care nu se află pe ea, poate fi trasat un plan. Astfel, în problema noastră, un singur plan trece prin dreapta a și punctul M 3 și trebuie să scriem ecuația acestui plan.

Acum să începem să găsim ecuația planului care trece prin dreapta dată a și punctul .

Dacă linia a este dată prin specificarea coordonatelor a două puncte diferite M 1 și M 2 aflate pe ea, atunci sarcina noastră este să găsim ecuația planului care trece prin cele trei puncte date M 1 , M 2 și M 3 .

Dacă dreapta a este dată diferit, atunci trebuie mai întâi să găsim coordonatele a două puncte M 1 și M 2 situate pe dreapta a și după aceea să scriem ecuația planului care trece prin cele trei puncte M 1 , M 2 și M 3, care va fi ecuația dorită a planului care trece prin dreapta a și punctul M 3 .

Să ne dăm seama cum să găsim coordonatele a două puncte diferite M 1 și M 2 situate pe o dreaptă dată a.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu, orice linie dreaptă corespunde unor ecuații ale unei linii drepte în spațiu. Presupunem că metoda de specificare a dreptei a în starea problemei ne permite să obținem ecuațiile sale parametrice ale dreptei în spațiul formei . Apoi, presupunând , avem un punct , culcat pe linia a . Dând parametrului o valoare reală diferită de zero, din ecuațiile parametrice ale dreptei a se pot calcula coordonatele punctului M 2 , care se află și el pe dreapta a și este diferit de punctul M 1 .

După aceea, va trebui doar să scriem ecuația planului care trece prin trei diferite și nu se află pe un singur punct drept și , sub forma .

Deci, am obținut ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă dată a și un punct dat M 3 care nu se află pe dreapta a.

Exemple de compilare a ecuației unui plan care trece printr-un punct dat și o dreaptă.

Să arătăm soluțiile mai multor exemple, în care vom analiza metoda avută în vedere pentru găsirea ecuației unui plan care trece printr-o dreaptă și un punct dat.

Să începem cu cel mai simplu caz.

Exemplu.

Soluţie.

Luați două puncte diferite pe linia de coordonate Ox, de exemplu, și .

Acum obținem ecuația unui plan care trece prin trei puncte M1, M2 și M3:

Această ecuație este ecuația generală dorită a planului care trece prin dreapta dată Ox și punctul .

Răspuns:

.

Dacă se știe că planul trece printr-un punct dat și o dreaptă dată și este necesar să scrieți ecuația planului în segmente sau ecuația normală a planului, atunci ar trebui să obțineți mai întâi ecuația generală a planului dat. plan și din acesta se trece la ecuația planului formei cerute.

Exemplu.

Scrieți ecuația normală pentru un plan care trece printr-o dreaptă. și punct .

Soluţie.

Mai întâi, scriem ecuația generală pentru un plan dat. Pentru a face acest lucru, găsim coordonatele a două puncte diferite situate pe o linie dreaptă . Ecuațiile parametrice ale acestei drepte au forma . Fie punctul M 1 să corespundă valorii, iar punctul M 2 -. Calculăm coordonatele punctelor M 1 și M 2:

Acum putem scrie ecuația generală a unei drepte care trece printr-un punct si direct :

Rămâne să se obțină forma necesară a ecuației plane prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației rezultate cu factorul de normalizare .

Răspuns:

.

Deci, găsirea ecuației unui plan care trece printr-un punct dat și o dreaptă dată se bazează pe găsirea coordonatelor a două puncte diferite situate pe o dreaptă dată. Aceasta este adesea principala dificultate în rezolvarea unor astfel de probleme. În concluzie, vom analiza soluția exemplului de compilare a ecuației unui plan care trece printr-un punct dat și o dreaptă, care este determinată de ecuațiile a două plane care se intersectează.

Exemplu.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz dat un punct și o dreaptă a, care este linia de intersecție a două plane și . Scrieți ecuația planului care trece prin dreapta a și punctul M 3 .

Considerăm un plan Q în spațiu. Poziția sa este complet determinată prin specificarea unui vector N perpendicular pe acest plan și a unui punct fix situat în planul Q. Vectorul N perpendicular pe planul Q se numește vector normal al acestui plan. Dacă notăm cu A, B și C proiecțiile vectorului normal N, atunci

Să derivăm ecuația planului Q care trece prin punctul dat și având vectorul normal dat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un vector care conectează un punct cu un punct arbitrar al planului Q (Fig. 81).

Pentru orice poziție a punctului M pe planul Q, vectorul MXM este perpendicular pe vectorul normal N al planului Q. Prin urmare, produsul scalar Să scriem produsul scalar în termeni de proiecții. Din moment ce , și vector , atunci

și, prin urmare

Am arătat că coordonatele oricărui punct al planului Q satisfac ecuația (4). Este ușor de observat că coordonatele punctelor care nu se află pe planul Q nu satisfac această ecuație (în acest din urmă caz, ). Prin urmare, am obținut ecuația dorită a planului Q. Ecuația (4) se numește ecuația planului care trece prin punctul dat. Este de gradul I relativ la coordonatele curente

Deci, am arătat că orice plan corespunde unei ecuații de gradul I în raport cu coordonatele curente.

Exemplul 1. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector.

Soluţie. Aici . Pe baza formulei (4), obținem

sau, după simplificare,

Dând coeficienților A, B și C ai ecuației (4) valori diferite, putem obține ecuația oricărui plan care trece prin punctul . Mulțimea de planuri care trec printr-un punct dat se numește o grămadă de planuri. Ecuația (4), în care coeficienții A, B și C pot lua orice valoare, se numește ecuația unui grup de plane.

Exemplul 2. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte, (Fig. 82).

Soluţie. Să scriem ecuația pentru o grămadă de plane care trec printr-un punct