Unul dintre subarticolele subiectului „Ecuația unei drepte pe un plan” este problema compilării ecuațiilor parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Articolul de mai jos discută principiul compilării unor astfel de ecuații pentru anumite date cunoscute. Să arătăm cum să trecem de la ecuații parametrice la ecuații de altă formă; Să analizăm soluția problemelor tipice.

O anumită linie poate fi definită prin specificarea unui punct care aparține acelei linii și a unui vector de direcție pentru linie.

Să presupunem că ni se dă un sistem de coordonate dreptunghiular O x y . Și, de asemenea, este dată linia dreaptă a, indicând punctul M 1 care se află pe ea (x 1, y 1) și vectorul direcție al dreptei date. a → = (a x , a y) . Oferim o descriere a liniei date a folosind ecuații.

Folosim un punct arbitrar M (x, y) și obținem un vector M1 M →; calculați coordonatele acestuia din coordonatele punctelor de început și de sfârșit: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Să descriem rezultatul: linia este dată de o mulțime de puncte M (x, y), trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și are un vector de direcție a → = (a x , a y) . Mulțimea specificată definește o linie dreaptă numai atunci când vectorii M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) și a → = (a x , a y) sunt coliniari.

Există o condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea vectorilor, care în acest caz pentru vectorii M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) și a → = (a x , a y) se poate scrie ca un ecuaţie:

M 1 M → = λ · a → , unde λ este un număr real.

Definiția 1

Ecuația M 1 M → = λ · a → se numește ecuația vector-parametrică a dreptei.

În formă de coordonate, arată astfel:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ecuațiile sistemului rezultat x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ se numesc ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Esența numelui este următoarea: coordonatele tuturor punctelor dreptei pot fi determinate prin ecuații parametrice pe planul formei x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ atunci când se repetă peste toate valorile reale ​a parametrului λ

Conform celor de mai sus, ecuațiile parametrice ale unei linii drepte pe planul x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ determină o dreaptă care este dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular, trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și are un vector ghid a → = (a x , a y) . Prin urmare, dacă sunt date coordonatele unui anumit punct al dreptei și coordonatele vectorului său de direcție, atunci este posibil să se noteze imediat ecuațiile parametrice ale dreptei date.

Exemplul 1

Este necesar să se compună ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, dacă sunt date punctul M 1 (2, 3) care îi aparține și vectorul său de direcție. a → = (3 , 1) .

Decizie

Pe baza datelor inițiale, obținem: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Ecuațiile parametrice vor arăta astfel:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Să ilustrăm clar:

Răspuns: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

De remarcat: dacă vectorul a → = (a x , a y) servește ca vector de direcție al dreptei a, iar punctele M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2) aparțin acestei linii, atunci poate fi determinată prin stabilirea ecuațiilor parametrice de forma : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , precum și această opțiune: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

De exemplu, ni se oferă un vector de direcție al unei linii drepte a → \u003d (2, - 1), precum și punctele M 1 (1, - 2) și M 2 (3, - 3) aparținând acestei linii. Atunci linia dreaptă se determină prin ecuații parametrice: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ sau x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

De asemenea, trebuie acordată atenție următorului fapt: dacă a → = (a x , a y) este vectorul de direcție al dreptei a , atunci oricare dintre vectori va fi și vectorul său de direcție μ a → = (μ a x , μ a y) , unde μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Astfel, o dreaptă a pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi definită prin ecuații parametrice: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ pentru orice valoare a lui μ care este diferită de zero.

Să presupunem că linia a este dată de ecuațiile parametrice x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Apoi a → = (2 , - 5) - vectorul de direcție al acestei linii. Și, de asemenea, oricare dintre vectorii μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 va deveni vectorul de direcție pentru dreapta dată. Pentru claritate, considerăm un vector specific - 2 · a → = (- 4 , 10) , acesta corespunde valorii μ = - 2 . În acest caz, linia dreaptă dată poate fi determinată și de ecuațiile parametrice x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Tranziția de la ecuațiile parametrice ale unei linii drepte pe un plan la alte ecuații ale unei linii drepte date și invers

În rezolvarea unor probleme, utilizarea ecuațiilor parametrice nu este cea mai optimă opțiune, atunci devine necesară traducerea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte în ecuații ale unei linii drepte de alt tip. Să vedem cum se face.

Ecuațiile parametrice ale dreptei x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ vor corespunde ecuației canonice a dreptei pe planul x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Rezolvăm fiecare dintre ecuațiile parametrice în raport cu parametrul λ, echivalăm părțile drepte ale egalităților obținute și obținem ecuația canonică a dreptei date:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

În acest caz, nu ar trebui să fie jenant dacă un x sau un y va fi egal cu zero.

Exemplul 2

Este necesar să se efectueze trecerea de la ecuațiile parametrice ale dreptei x = 3 y = - 2 - 4 · λ la ecuația canonică.

Decizie

Scriem ecuațiile parametrice date în următoarea formă: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Exprimăm parametrul λ în fiecare dintre ecuațiile: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Echivalăm părțile corecte ale sistemului de ecuații și obținem ecuația canonică necesară a unei drepte în plan:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Răspuns: x - 3 0 = y + 2 - 4

În cazul în care este necesar să se noteze ecuația dreptei de forma A x + B y + C = 0 , în timp ce sunt date ecuațiile parametrice ale dreptei pe plan, este necesar mai întâi să se facă trecerea la ecuația canonică și apoi la ecuația generală a dreptei. Să scriem întreaga secvență de acțiuni:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Exemplul 3

Este necesar să scrieți ecuația generală a unei drepte dacă sunt date ecuațiile parametrice care o definesc: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Decizie

Mai întâi, să facem tranziția la ecuația canonică:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Proporția rezultată este identică cu egalitatea - 3 · (x + 1) = 2 · y. Să deschidem parantezele și să obținem ecuația generală a dreptei: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Răspuns: 3x + 2y + 3 = 0

Urmând logica de acțiuni de mai sus, pentru a obține o ecuație a unei drepte cu pantă, o ecuație a unei drepte în segmente sau o ecuație normală a unei drepte, este necesar să se obțină ecuația generală a unei drepte. , și de la acesta să efectueze o tranziție ulterioară.

Acum luați în considerare acțiunea inversă: scrierea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte pentru o formă dată diferită a ecuațiilor acestei linii drepte.

Cea mai ușoară trecere: de la ecuația canonică la cele parametrice. Să fie dată ecuația canonică de forma: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Luăm fiecare dintre relațiile acestei egalități egale cu parametrul λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Să rezolvăm ecuațiile rezultate pentru variabilele x și y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Exemplul 4

Este necesar să se noteze ecuațiile parametrice ale dreptei dacă se cunoaște ecuația canonică a dreptei pe plan: x - 2 5 = y - 2 2

Decizie

Să echivalăm părțile ecuației cunoscute cu parametrul λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Din egalitatea obținută obținem ecuațiile parametrice ale dreptei: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Răspuns: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Când este necesar să se facă o tranziție la ecuații parametrice dintr-o ecuație generală dată a unei linii drepte, o ecuație a unei linii drepte cu o pantă sau o ecuație a unei linii drepte în segmente, este necesar să se aducă ecuația inițială la canonic, apoi faceți tranziția la ecuații parametrice.

Exemplul 5

Este necesar să se noteze ecuațiile parametrice ale dreptei cu ecuația generală cunoscută a acestei drepte: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Decizie

Transformăm ecuația generală dată într-o ecuație de forma canonică:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Echivalăm ambele părți ale egalității cu parametrul λ și obținem ecuațiile parametrice necesare ale dreptei:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Răspuns: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Exemple și probleme cu ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan

Să luăm în considerare cele mai comune tipuri de probleme folosind ecuații parametrice ale unei linii drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular.

1. În problemele de primul tip sunt date coordonatele punctelor, indiferent dacă acestea aparțin sau nu unei drepte descrise prin ecuații parametrice.

Rezolvarea unor astfel de probleme se bazează pe următorul fapt: numerele (x, y) determinate din ecuațiile parametrice x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ pentru o valoare reală λ sunt coordonatele unui punct aparținând dreptei, în care sunt descrise aceste ecuații parametrice.

Exemplul 6

Este necesar să se determine coordonatele unui punct care se află pe o dreaptă dată de ecuațiile parametrice x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pentru λ = 3 .

Decizie

Înlocuim valoarea cunoscută λ = 3 în ecuațiile parametrice date și calculăm coordonatele dorite: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Răspuns: 1 1 2 , 5

Este posibilă și următoarea problemă: să fie dat un punct M 0 (x 0, y 0) pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular și este necesar să se determine dacă acest punct aparține dreptei descrise de ecuațiile parametrice x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Pentru a rezolva o astfel de problemă, este necesar să înlocuiți coordonatele unui punct dat în ecuațiile parametrice cunoscute ale unei drepte. Dacă se determină că este posibilă o astfel de valoare a parametrului λ = λ 0, în care ambele ecuații parametrice sunt adevărate, atunci punctul dat aparține dreptei date.

Exemplul 7

Sunt date punctele M 0 (4, - 2) și N 0 (- 2, 1). Este necesar să se determine dacă aparțin dreptei definite de ecuațiile parametrice x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Decizie

Inlocuim coordonatele punctului M 0 (4, - 2) in ecuatiile parametrice date:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Concluzionăm că punctul M 0 aparține unei drepte date, deoarece corespunde valorii λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Este evident că nu există un astfel de parametru λ căruia să îi corespundă punctul N 0. Cu alte cuvinte, linia dată nu trece prin punctul N 0 (- 2 , 1) .

Răspuns: punctul M 0 aparține unei linii date; punctul N 0 nu aparține dreptei date.

1. În problemele de al doilea tip, se cere să se compună ecuații parametrice ale unei drepte pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Cel mai simplu exemplu al unei astfel de probleme (cu coordonatele cunoscute ale punctului liniei și ale vectorului de direcție) a fost considerat mai sus. Acum să ne uităm la exemple în care trebuie mai întâi să găsiți coordonatele vectorului de direcție și apoi să scrieți ecuațiile parametrice.

Exemplul 8

Este dat punctul M 1 1 2 , 2 3. Este necesar să se compună ecuații parametrice ale unei linii drepte care trece prin acest punct și o dreaptă paralelă x 2 \u003d y - 3 - 1.

Decizie

În funcție de starea problemei, linia dreaptă, a cărei ecuație trebuie să o avansăm, este paralelă cu linia dreaptă x 2 \u003d y - 3 - 1. Apoi, ca vector de direcție al unei drepte care trece printr-un punct dat, se poate folosi vectorul de direcție al unei drepte x 2 = y - 3 - 1, pe care o scriem sub forma: a → = (2, - 1). Acum sunt cunoscute toate datele necesare pentru a compune ecuațiile parametrice dorite:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Răspuns: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Exemplul 9

Este dat punctul M 1 (0, - 7). Este necesar să scrieți ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece prin acest punct perpendicular pe dreapta 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Decizie

Ca vector de direcție al dreptei, a cărei ecuație trebuie să fie compusă, se poate lua vectorul normal al dreptei 3 x - 2 y - 5 = 0 . Coordonatele sale sunt (3 , - 2) . Scriem ecuațiile parametrice necesare ale dreptei:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Răspuns: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. În problemele de al treilea tip, este necesară o tranziție de la ecuațiile parametrice ale unei linii drepte date la alte tipuri de ecuații care o determină. Am considerat mai sus soluția unor astfel de exemple, vom mai oferi unul.

Exemplul 10

Dată o dreaptă pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular, definită de ecuațiile parametrice x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Este necesar să se găsească coordonatele unui vector normal al acestei linii.

Decizie

Pentru a determina coordonatele dorite ale vectorului normal, vom face tranziția de la ecuațiile parametrice la ecuația generală:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Coeficienții variabilelor x și y ne oferă coordonatele necesare ale vectorului normal. Astfel, vectorul normal al dreptei x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ are coordonatele 1 , 3 4 .

Răspuns: 1 , 3 4 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Până acum, am considerat ecuația unei suprafețe în spațiu cu axele de coordonate X, Y, Z într-o formă explicită sau într-o formă implicită

Se pot scrie ecuațiile de suprafață în formă parametrică, exprimând coordonatele punctelor sale ca funcții a doi parametri variabili independenți și

Vom presupune că aceste funcții sunt cu o singură valoare, continue și au derivate continue până la ordinul doi într-un anumit interval de parametri

Dacă substituim aceste expresii de coordonate în termenii u și v în partea stângă a ecuației (37), atunci ar trebui să obținem o identitate față de u și V. Diferențiând această identitate față de variabilele independente u și v, avem

Considerând aceste ecuații ca două ecuații omogene în raport cu și aplicând lema algebrică menționată în , obținem

unde k este un coeficient de proporționalitate.

Presupunem că factorul k și cel puțin una dintre diferențele din partea dreaptă a ultimelor formule sunt nenule.

Să notăm pentru concizie cele trei diferențe scrise după cum urmează:

După cum știți, ecuația planului tangent la suprafața noastră la un anumit punct (x, y, z) poate fi scrisă ca

sau, înlocuind cu mărimi proporționale, putem rescrie ecuația planului tangent astfel:

Se știe că coeficienții din această ecuație sunt proporționali cu cosinusurile direcției normalei la suprafață.

Poziția punctului variabil M pe suprafață este caracterizată de valorile parametrilor u și v, iar acești parametri se numesc de obicei coordonatele punctelor de suprafață sau parametrii de coordonate.

Dând parametrilor u și v valori constante, obținem două familii de linii de pe suprafață, pe care le vom numi drepte de coordonate ale suprafeței: linii de coordonate de-a lungul cărora se modifică doar v și linii de coordonate de-a lungul cărora se modifică doar u. Aceste două familii de linii de coordonate dau o grilă de coordonate pe suprafață.

Ca exemplu, luați în considerare o sferă centrată la origine și raza R. Ecuațiile parametrice ale unei astfel de sfere pot fi scrise ca

Liniile de coordonate în acest caz sunt, evident, paralelele și meridianele sferei noastre.

Făcând abstracție din axele de coordonate, putem caracteriza suprafața printr-un vector cu rază variabilă care merge de la un punct constant O la un punct variabil M al suprafeței noastre. Derivatele parțiale ale acestui vector-rază în raport cu parametrii vor da, evident, vectori direcționați de-a lungul tangentelor la liniile de coordonate. Componentele acestor vectori de-a lungul axelor

va fi, conform și deci, că coeficienții din ecuația planului tangent (39) sunt componentele produsului vectorial Acest produs vectorial este un vector perpendicular pe tangente, adică un vector direcționat de-a lungul normalei lui suprafata. Pătratul lungimii acestui vector este exprimat evident prin produsul scalar al vectorului și el însuși, adică, cu alte cuvinte, prin pătratul acestui vector 1). În cele ce urmează, un rol semnificativ îl va juca vectorul unitar normal la suprafață, pe care evident îl putem scrie sub forma

Schimbând ordinea factorilor în produsul vectorial scris, obținem direcția opusă pentru vectorul (40). În cele ce urmează, vom fixa ordinea factorilor într-un anumit mod, adică vom fixa direcția normalei la suprafață într-un anumit mod.

Să luăm un punct M de pe suprafață și să tragem prin acest punct o curbă (L) care se află pe suprafață. Această curbă, în general, nu este o linie de coordonate și atât H, cât și v vor varia de-a lungul ei. Direcția tangentei la această curbă va fi determinată de vector dacă presupunem că de-a lungul (L) în vecinătatea punctului, parametrul v este o funcție a căruia are o derivată. Din aceasta se poate observa că direcția tangentei la o curbă trasată pe o suprafață într-un punct M al acestei curbe este pe deplin caracterizată de valoarea în acel punct. Când definim planul tangent și derivăm ecuația acestuia (39), am presupus că funcțiile (38) în punctul considerat și vecinătatea lui au derivate parțiale continue și că cel puțin unul dintre coeficienții ecuației (39) este diferit de zero la punct considerat.

Ecuații vectoriale și parametrice ale planului. Fie r 0 și r vectorii cu rază ai punctelor M 0 și, respectiv, M. Atunci M 0 M = r - r 0 , iar condiția (5.1) ca punctul M să aparțină planului care trece perpendicular prin punctul M 0 vector diferit de zero n (Fig. 5.2, a), se poate scrie folosind produs punctual ca raport

n(r - r 0) = 0, (5.4)

Care e numit ecuația vectorială a planului.

Un plan fix în spațiu corespunde unui set de vectori paraleli cu acesta, adică. spaţiu V2. Să alegem în acest spațiu bază e 1 , e 2 , i.e. o pereche de vectori necoliniari paraleli cu planul considerat, si un punct M 0 pe plan. Dacă punctul M aparține planului, atunci aceasta este echivalentă cu faptul că vectorul M 0 M este paralel cu acesta (Fig. 5.2, b), adică. apartine spatiului indicat V 2 . Aceasta înseamnă că există descompunerea vectorului M 0 M în bază e 1 , e 2 , i.e. există numere t 1 şi t 2 pentru care M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 . Scriind partea stângă a acestei ecuații în termenii vectorilor de rază r 0 și r ai punctelor M 0 și respectiv M, obținem ecuația parametrică vectorială a planului

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)

Pentru a trece de la egalitatea vectorilor din (5.5) la egalitatea lor coordonate, notat cu (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) coordonatele punctului M 0 , M și prin (e 1x ; e 1y ; e 1z ), (e 2x ; e 2y ; e 2z ) coordonatele vectorilor e 1 , e 2 . Echivalând coordonatele cu același nume ale vectorilor r și r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , obținem ecuații plane parametrice

Un avion care trece prin trei puncte. Să presupunem că trei puncte M 1 , M 2 și M 3 nu se află pe o singură dreaptă. Apoi există un plan unic π căruia îi aparțin aceste puncte. Să găsim ecuația acestui plan formulând criteriul ca un punct arbitrar M să aparțină planului dat π. Apoi scriem acest criteriu în termeni de coordonatele punctelor. Criteriul indicat este descrierea planului π ca mulțime a acelor puncte M pentru care vectorii M 1 M 2 , M 1 M 3 și M 1 M . coplanare. Criteriul de comparație a trei vectori este egalitatea cu zero a acestora produs mixt(vezi 3.2). Produsul amestecat se calculează folosind determinant de ordinul trei, ale căror șiruri sunt coordonatele vectorilor din baza ortonormala. Prin urmare, dacă (x i; yx i; Zx i) sunt coordonatele punctelor Mx i, i = 1, 2, 3 și (x; y; z) sunt coordonatele punctului M, atunci M 1 M = (x-x1; y-y1; z-z1), M1M2 = (x2-x1; y2-y1; z2-z1), M1M3 = (x3-x1; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) iar condiția de egalitate la zero a produsului mixt al acestor vectori are forma

Calculând determinantul, obținem liniar relativ la x, y, z ecuația, care este ecuația generală a planului dorit. De exemplu, dacă extindeți determinantul de-a lungul primului rând, apoi primim

Această egalitate, după calcularea determinanților și deschiderea parantezelor, este convertită în ecuația generală a planului.

Rețineți că coeficienții variabilelor din ultima ecuație coincid cu coordonatele produs vectorial M 1 M 2 × M 1 M 3 . Acest produs vectorial, fiind produsul a doi vectori necoliniari paraleli cu planul π, dă un vector diferit de zero perpendicular pe π, adică. a ei vector normal. Deci apariția coordonatelor produsului vectorial ca coeficienți ai ecuației generale a planului este destul de naturală.

Luați în considerare următorul caz particular al unui plan care trece prin trei puncte. Punctele M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0, nu se află pe o singură dreaptă și definesc un plan care decupează segmente pe axele de coordonate lungime diferită de zero (fig. 5.3). Aici, „lungimile segmentelor” înseamnă valoarea coordonatelor nenule ale vectorilor cu rază ai punctelor M i , i = 1,2,3.

Deoarece M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), ecuația (5.7) ia forma

După ce am calculat determinantul, găsim bc(x - a) + acy + abz = 0, împărțim ecuația rezultată la abc și mutam termenul liber în partea dreaptă,

x/a + y/b + z/c = 1.

Această ecuație se numește ecuație plană în segmente.

Exemplul 5.2. Să găsim ecuația generală a unui plan care trece printr-un punct cu coordonatele (1; 1; 2) și decupează segmente de aceeași lungime din axele de coordonate.

Ecuația unui plan în segmente, cu condiția să taie segmente de lungime egală din axele de coordonate, să zicem a ≠ 0, are forma x/a + y/b + z/c = 1. Această ecuație trebuie să satisfacă coordonatele ( 1; 1; 2) punct cunoscut pe plan, i.e. este valabilă egalitatea 4/a = 1. Prin urmare, a = 4 și ecuația dorită este x + y + z - 4 = 0.

Ecuația normală a planului. Luați în considerare un plan π în spațiu. Reparăm pentru ea unitate normal vector n direcţionat din origine„spre plan”, și notăm cu p distanța de la originea O a sistemului de coordonate la planul π (Fig. 5.4). Dacă planul trece prin originea sistemului de coordonate, atunci p = 0 și oricare dintre cele două direcții posibile poate fi aleasă ca direcție pentru vectorul normal n.

Dacă punctul M aparține planului π, atunci aceasta este echivalentă cu faptul că proiecție ortogonală vectorială OM la direcție vectorul n este egal cu p, i.e. condiţia nOM = pr n OM = p este îndeplinită, întrucât lungimea vectorului n este egal cu unu.

Se notează coordonatele punctului M cu (x; y; z) și fie n = (cosα; cosβ; cosγ) (reamintim că pentru vectorul unitar n sa cosinus de direcție cosα, cosβ, cosγ sunt și coordonatele sale). Scriind produsul scalar în egalitatea nOM = p sub formă de coordonate, obținem ecuația normală a planului

xcosa + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

Similar cu cazul unei drepte într-un plan, ecuația generală a unui plan în spațiu poate fi transformată în ecuația sa normală prin împărțirea la un factor de normalizare.

Pentru ecuația plană Ax + By + Cz + D = 0, factorul de normalizare este numărul ±√(A 2 + B 2 + C 2), al cărui semn este ales opus semnului lui D. În valoare absolută, factorul de normalizare este lungimea vectorului normal (A; B ; C) al planului, iar semnul corespunde direcției dorite a vectorului normal unitar al planului. Dacă planul trece prin originea sistemului de coordonate, i.e. D = 0, atunci semnul factorului de normalizare poate fi ales prin orice semn.

Orice ecuație de gradul I în raport cu coordonatele x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3,1)

definește un plan și invers: orice plan poate fi reprezentat prin ecuația (3.1), care se numește ecuația plană.

Vector n(A, B, C) ortogonală cu planul se numește vector normal avioane. În ecuația (3.1), coeficienții A, B, C nu sunt egali cu 0 în același timp.

Cazuri speciale ale ecuației (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - planul trece prin origine.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - planul este paralel cu axa Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - planul trece prin axa Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - planul este paralel cu planul Oyz.

Ecuații plane de coordonate: x = 0, y = 0, z = 0.

O linie dreaptă în spațiu poate fi dată:

1) ca o linie de intersecție a două plane, i.e. sistem de ecuații:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3,2)

2) cele două puncte ale sale M 1 (x 1, y 1, z 1) și M 2 (x 2, y 2, z 2), apoi dreapta care trece prin ele este dată de ecuațiile:

3) punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) care îi aparține și vectorul A(m, n, p), s coliniar. Apoi linia dreaptă este determinată de ecuațiile:

Se numesc ecuațiile (3.4). ecuații canonice ale dreptei.

Vector A numit vector de ghidare drept.

Ecuații parametrice ale unei linii drepte obţinem echivalând fiecare dintre relaţiile (3.4) cu parametrul t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t. (3,5)

Rezolvarea sistemului (3.2) ca sistem de ecuații liniare în necunoscute Xși y, ajungem la ecuațiile dreptei în proiecții sau la ecuații de linie dreaptă redusă :

x = mz + a, y = nz + b. (3,6)

Din ecuațiile (3.6) se poate trece la ecuațiile canonice, constatând z din fiecare ecuație și echivalând valorile rezultate:

Se poate trece de la ecuațiile generale (3.2) la ecuațiile canonice într-un alt mod, dacă găsim orice punct al acestei drepte și vectorul ei de direcție. n= [n 1 , n 2], unde n 1 (A1, B1, C1) și n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - vectori normali ai planurilor date. Dacă unul dintre numitori m,n sau Rîn ecuațiile (3.4) se dovedește a fi egal cu zero, atunci numărătorul fracției corespunzătoare trebuie setat egal cu zero, adică. sistem

este echivalent cu sistemul; o astfel de linie este perpendiculară pe axa x.

Sistemul este echivalent cu sistemul x = x 1 , y = y 1 ; linia dreaptă este paralelă cu axa Oz.

Exemplul 1.15. Scrieți ecuația planului, știind că punctul A (1, -1,3) servește ca bază a perpendicularei trase de la origine la acest plan.

Decizie. După starea problemei, vectorul OA(1,-1,3) este un vector normal al planului, atunci ecuația sa poate fi scrisă ca
x-y+3z+D=0. Înlocuind coordonatele punctului A(1,-1,3) aparținând planului, găsim D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Deci x-y+3z-11=0.

Exemplul 1.16. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin axa Oz și formează un unghi de 60 de grade cu planul 2x+y-z-7=0.

Decizie. Planul care trece prin axa Oz este dat de ecuația Ax+By=0, unde A și B nu dispar în același timp. Să nu B nu
este 0, A/Bx+y=0. Conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre două plane

Rezolvând ecuația pătratică 3m 2 + 8m - 3 = 0, găsim rădăcinile acesteia
m 1 = 1/3, m 2 = -3, din care obținem două plane 1/3x+y = 0 și -3x+y = 0.

Exemplul 1.17. Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Decizie. Ecuațiile canonice ale dreptei au forma:

Unde m, n, p- coordonatele vectorului de direcție al dreptei, x1, y1, z1- coordonatele oricărui punct aparținând dreptei. Linia dreaptă este definită ca linia de intersecție a două plane. Pentru a găsi un punct aparținând unei drepte, se fixează una dintre coordonate (cel mai simplu este să se pună, de exemplu, x=0) și se rezolvă sistemul rezultat ca un sistem de ecuații liniare cu două necunoscute. Deci, fie x=0, atunci y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, de unde y=-1, z=1. Am găsit coordonatele punctului M (x 1, y 1, z 1) aparținând acestei drepte: M (0,-1,1). Vectorul de direcție al unei drepte este ușor de găsit, cunoscând vectorii normali ai planurilor originale n 1 (5,1,1) și n 2(2,3,-2). Apoi

Ecuațiile canonice ale dreptei sunt: ​​x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

este ecuația generală a unui plan în spațiu

Vector plan normal

Un vector normal al unui plan este un vector diferit de zero ortogonal cu fiecare vector aflat în plan.

Ecuația unui plan care trece printr-un punct cu un vector normal dat

este ecuația planului care trece prin punctul M0 cu un vector normal dat

Vectorii de direcție avioanelor

Doi vectori necoliniari paraleli cu planul se numesc vectori de direcție ai planului

Ecuații plane parametrice

– ecuația parametrică a planului în formă vectorială

este ecuația parametrică a planului în coordonate

Ecuația unui plan printr-un punct dat și doi vectori de direcție

-punct fix

doar un punct lol

sunt coplanare, deci produsul lor mixt este 0.

Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date

– ecuație plană prin trei puncte

Ecuația unui plan în segmente

- ecuație plană în segmente

Dovada

Pentru a o demonstra, folosim faptul că planul nostru trece prin A, B, C și vectorul normal

Să substituim coordonatele punctului și ale vectorului n în ecuația planului cu vectorul normal

Împărțiți totul și obțineți

Așa merge.

Ecuația plană normală

este unghiul dintre ox și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este unghiul dintre oy și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este unghiul dintre oz și vectorul normal față de plan, care iese din O.

este distanța de la originea coordonatelor la plan.

Dovezi sau asemenea prostii

Semnul este opus lui D.

La fel și pentru alte cosinusuri. Sfârşit.

Distanța de la punct la plan

Punctul S, plan

este distanța orientată de la punctul S la plan

Dacă , atunci S și O se află pe părți opuse ale planului

Dacă , atunci S și O se află pe aceeași parte

Înmulțiți cu n

Dispunerea reciprocă a două linii în spațiu

Unghiul dintre planuri

La intersecție se formează două perechi de unghiuri diedrice verticale, cea mai mică se numește unghiul dintre plane

Linie dreaptă în spațiu

O linie în spațiu poate fi dată ca

Intersectia a doua plane:

Ecuații parametrice ale unei linii drepte

- ecuația parametrică a unei drepte în formă vectorială

este ecuația parametrică a unei drepte în coordonate

Ecuația canonică

este ecuația canonică a unei drepte.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date

– ecuația canonică a unei drepte în formă vectorială;

Dispunerea reciprocă a două linii în spațiu

Dispunerea reciprocă a unei linii drepte și a unui plan în spațiu

Unghiul dintre linie și plan

Distanța de la un punct la o dreaptă din spațiu

a este vectorul de direcție al dreptei noastre.

este un punct arbitrar aparținând unei linii date

- punctul până la care căutăm distanța.

Distanța dintre două linii care se intersectează

Distanța dintre două linii paralele

M1 - punct aparținând primei linii

M2 este un punct aparținând celei de-a doua linii

Curbe și suprafețe de ordinul doi

O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la care la două puncte date (focale) este o valoare constantă.

Ecuația canonică a unei elipse

Să-l înlocuim cu

Împarte la

Proprietăți elipse

Intersecția cu axele de coordonate

Simetrie despre

1. Originile

O elipsă este o curbă situată într-o parte limitată a unui plan

O elipsă poate fi obținută dintr-un cerc prin întinderea sau strângerea acestuia

Ecuația parametrică a unei elipse:

- directori

Hiperbolă

O hiperbolă este un set de puncte dintr-un plan pentru care modulul diferenței de distanțe până la 2 puncte date (focale) este o valoare constantă (2a)

Facem totul la fel ca și cu elipsa, obținem

Înlocui cu

Împarte la

Proprietățile unei hiperbole

;

- directori

Asimptotă

O asimptotă este o linie dreaptă de care curba se apropie la infinit, retrăgându-se la infinit.

Parabolă

proprietățile parabotului

Relația dintre elipsă, hiperbolă și parabolă.

Relația dintre aceste curbe are o explicație algebrică: toate sunt date de ecuații de gradul doi. În orice sistem de coordonate, ecuațiile acestor curbe au forma: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, unde a, b, c, d, e, f sunt numere

Transformarea sistemelor de coordonate carteziene dreptunghiulare

Translația paralelă a sistemului de coordonate

–O’ în vechiul sistem de coordonate

– coordonatele punctului din vechiul sistem de coordonate

– coordonatele punctului din noul sistem de coordonate

Coordonatele punctului în noul sistem de coordonate.

Rotiți într-un sistem de coordonate carteziene

– nou sistem de coordonate

Matrice de tranziție de la vechea bază la cea nouă

- (sub prima coloană eu’ , sub al doilea j’ ) matricea de tranziție de la bază eu,j la baza eu’ ,j’

Caz general

1 opțiune

1. Rotația sistemului de coordonate

Opțiunea 2

1. Rotația sistemului de coordonate

   Traducerea paralelă a originii

Ecuația generală a liniilor de ordinul doi și reducerea acesteia la formă canonică

este forma generală a ecuațiilor curbei de ordinul doi

Clasificarea curbelor de ordinul doi

Elipsoid

Secțiuni transversale ale unui elipsoid

- elipsa

- elipsa

Elipsoidele revoluției

Elipsoidele revoluției sunt fie sferoide aplatizate, fie prolate, în funcție de ceea ce ne rotim.

Hiperboloid cu o bandă

Secțiuni ale unui hiperboloid cu o singură bandă

– hiperbola cu axa reală oy

este o hiperbolă cu axa x reală

Se dovedește o elipsă pentru orice h. Așa merge.

Hiperboloizi cu o singură bandă ai revoluției

Un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie poate fi obținut prin rotirea unei hiperbole în jurul axei sale imaginare.

Hiperboloid cu două foi

Secțiuni ale unui hiperboloid cu două foi

- hiperbolă cu acţiune. axisoz

este o hiperbolă cu axa reală oz

Con

- o pereche de linii care se intersectează

- o pereche de linii care se intersectează

Paraboloid eliptic

- parabola

- parabola

Rotații

Dacă , atunci paraboloidul eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotația parabolei în jurul axei sale de simetrie.

Paraboloid hiperbolic

Parabolă

- parabola

h>0 hiperbola cu axa reală paralelă cu x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Sub cilindru ne referim la suprafata care se va obtine atunci cand o dreapta se misca in spatiu, care nu isi schimba directia, daca linia dreapta se misca fata de oz, atunci ecuatia cilindrului este ecuatia unei sectiuni dupa plan. xoy.

Cilindru eliptic

cilindru hiperbolic

cilindru parabolic

Generatoare rectilinii de suprafețe de ordinul doi

Liniile care se află complet pe suprafață sunt numite generatoare rectilinii ale suprafeței.

Suprafețe de revoluție

La naiba lol

Afişa

prin afișare Să numim regula conform căreia fiecare element al mulțimii A este asociat cu unul sau mai multe elemente ale mulțimii B. Dacă fiecăruia i se atribuie un singur element al mulțimii B, atunci maparea este numită lipsit de ambiguitate, in caz contrar ambiguu.

Transformare multimea se numeste mapare unu-la-unu a unei multimi pe sine

Injecţie

Injectarea sau maparea unu-la-unu a setului A la setul B

(diferitele elemente ale lui a corespund diferitelor elemente ale lui B) de exemplu y=x^2

surjecție

Supraiecția sau maparea unei mulțimi A pe o mulțime B

Pentru fiecare B, există cel puțin un A (de exemplu, un sinus)

Fiecare element al mulțimii B corespunde unui singur element al mulțimii A. (de exemplu, y=x)