Lecție și prezentare pe tema: „Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea. Teoreme”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Proprietățile rădăcinii gradului al n-lea. Teoreme

Băieți, continuăm să studiem rădăcinile gradului al n-lea al unui număr real. Ca aproape toate obiectele matematice, rădăcinile gradului al n-lea au unele proprietăți, astăzi le vom studia.
Toate proprietățile pe care le considerăm sunt formulate și dovedite numai pentru valorile nenegative ale variabilelor conținute sub semnul rădăcină.
În cazul unui exponent rădăcină impar, ele sunt valabile și pentru variabilele negative.

Teorema 1. Rădăcina a n-a a produsului a două numere nenegative este egală cu produsul rădăcinilor a n-a ale acestor numere: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .

Să demonstrăm teorema.
Dovada. Băieți, pentru a demonstra teorema, să introducem noi variabile, notăm:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Trebuie să demonstrăm că $x=y*z$.
Rețineți că următoarele identități sunt valabile și:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Atunci este valabilă și următoarea identitate: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Gradele a două numere nenegative și exponenții lor sunt egale, apoi bazele gradelor în sine sunt egale. Prin urmare, $x=y*z$, care este ceea ce trebuia să fie demonstrat.

Teorema 2. Dacă $a≥0$, $b>0$ și n este un număr natural mai mare decât 1, atunci este valabilă următoarea egalitate: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

Adică, a n-a rădăcină a coeficientului este egală cu a n-a rădăcină.

Dovada.
Pentru a demonstra acest lucru, folosim o schemă simplificată sub forma unui tabel:

Exemple de calcul a rădăcinii a n-a

Exemplu.
Calculați: $\sqrt(16*81*256)$.
Decizie. Să folosim teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Exemplu.
Calculați: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Decizie. Să reprezentăm expresia radicală ca o fracție improprie: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Să folosim teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Exemplu.
Calculati:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Decizie:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorema 3. Dacă $a≥0$, k și n sunt numere naturale mai mari decât 1, atunci egalitatea este adevărată: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Pentru a ridica o rădăcină la o putere naturală, este suficient să ridici expresia radicală la această putere.

Dovada.
Să luăm în considerare un caz special pentru $k=3$. Să folosim teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Același lucru se poate dovedi și în orice alt caz. Băieți, dovedeți-vă singuri pentru cazul în care $k=4$ și $k=6$.

Teorema 4. Dacă $a≥0$ b n,k sunt numere naturale mai mari decât 1, atunci egalitatea este adevărată: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să înmulțiți exponenții rădăcinilor.

Dovada.
Să demonstrăm din nou pe scurt folosind tabelul. Pentru a demonstra acest lucru, folosim o schemă simplificată sub forma unui tabel:

Exemplu.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Teorema 5. Dacă indicii rădăcinii și expresia rădăcinii sunt înmulțiți cu același număr natural, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Dovada.
Principiul demonstrației teoremei noastre este același ca în alte exemple. Să introducem noi variabile:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (prin definiție).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (prin definiție).
Ridicam ultima egalitate la putere p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
A primit:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Adică $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, care urma să fie demonstrat.

Exemple:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (împărțit la 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (împărțit la 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (înmulțit cu 3).

Exemplu.
Rulați acțiuni: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Decizie.
Exponenții rădăcinilor sunt numere diferite, deci nu putem folosi Teorema 1, dar aplicând Teorema 5 putem obține exponenți egali.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (înmulțit cu 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (înmulțit cu 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Calculați: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Calculați: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Calculați:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Simplificați:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Efectuați acțiuni: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vezi abracadabra, șterge-ți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cea mai utilă resursă pentru

Să încercăm să ne dăm seama ce fel de concept este o „rădăcină” și „cu ce se mănâncă”. Pentru a face acest lucru, luați în considerare exemplele pe care le-ați întâlnit deja în lecții (ei bine, sau trebuie doar să faceți față acestui lucru).

De exemplu, avem o ecuație. Care este soluția acestei ecuații? Ce numere pot fi pătrate și obținute în același timp? Amintindu-ți de tabla înmulțirii, poți da cu ușurință răspunsul: și (pentru că atunci când înmulți două numere negative, obții un număr pozitiv)! Pentru a simplifica, matematicienii au introdus un concept special al rădăcinii pătrate și i-au atribuit un simbol special.

Să definim rădăcina pătrată aritmetică.

De ce numărul trebuie să fie nenegativ? De exemplu, ceea ce este egal cu. Bine, hai să încercăm să ne dăm seama. Poate trei? Să verificăm: și nu. Poate, ? Din nou, verificați: Ei bine, nu este selectat? Acest lucru este de așteptat - pentru că nu există numere care, la pătrat, să dea un număr negativ!
Acest lucru trebuie reținut: numărul sau expresia de sub semnul rădăcinii trebuie să fie nenegativ!

Cu toate acestea, cei mai atenți probabil au observat deja că definiția spune că soluția rădăcinii pătrate a „un număr se numește astfel nenegativ număr al cărui pătrat este „. Unii dintre voi veți spune că la început am analizat exemplul, numere selectate care pot fi pătrate și obținute în același timp, răspunsul a fost și, și aici se vorbește despre un fel de „număr nenegativ”! O astfel de observație este destul de potrivită. Aici este necesar pur și simplu să se facă distincția între conceptele de ecuații pătratice și rădăcina pătrată aritmetică a unui număr. De exemplu, nu este echivalent cu o expresie.

Rezultă că, adică sau. (Citiți subiectul „”)

Și rezultă că.

Desigur, acest lucru este foarte confuz, dar trebuie amintit că semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației, deoarece atunci când rezolvăm ecuația, trebuie să notăm toate x-urile care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da valoarea corectă. rezultat. În ecuația noastră pătratică se potrivește ambele și.

Cu toate acestea, dacă luați doar rădăcina pătrată de la ceva, atunci întotdeauna obținem un rezultat nenegativ.

Acum încercați să rezolvați această ecuație. Totul nu este atât de simplu și neted, nu? Încercați să sortați numerele, poate se va arde ceva? Să începem de la început - de la zero: - nu se potrivește, mergi mai departe - mai puțin de trei, de asemenea, perie deoparte, dar dacă. Să verificăm: - nici nu se potrivește, pentru că este mai mult de trei. Cu numere negative, aceeași poveste se va dovedi. Și ce să faci acum? Căutarea nu ne-a dat nimic? Deloc, acum știm sigur că răspunsul va fi un număr între și, precum și între și. De asemenea, este evident că soluțiile nu vor fi numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Deci, ce urmează? Să construim un grafic al funcției și să marchem soluțiile pe el.

Să încercăm să păcălim sistemul și să obținem un răspuns cu un calculator! Să scoatem rădăcina din afaceri! Oh-oh-oh, se dovedește că. Acest număr nu se termină niciodată. Cum să-ți amintești asta, pentru că nu va fi niciun calculator la examen!? Totul este foarte simplu, nu trebuie să vă amintiți, trebuie să vă amintiți (sau să puteți estima rapid) o valoare aproximativă. și răspunsurile în sine. Astfel de numere sunt numite iraționale și a fost introdus conceptul de rădăcină pătrată pentru a simplifica notarea unor astfel de numere.

Să ne uităm la un alt exemplu de consolidat. Să analizăm următoarea problemă: trebuie să traversezi în diagonală un câmp pătrat cu latura de km, câți km trebuie să faci?

Cel mai evident lucru aici este să luați în considerare triunghiul separat și să folosiți teorema lui Pitagora:. Prin urmare, . Deci, care este distanța necesară aici? Evident, distanța nu poate fi negativă, obținem asta. Rădăcina lui doi este aproximativ egală, dar, așa cum am observat mai devreme, este deja un răspuns complet.

Pentru ca rezolvarea exemplelor cu rădăcini să nu creeze probleme, trebuie să le vedeți și să le recunoașteți. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți cel puțin pătratele numerelor de la până la, precum și să le puteți recunoaște. De exemplu, trebuie să știți ce este pătrat și, dimpotrivă, ce este pătrat.

Ți-ai dat seama ce este o rădăcină pătrată? Apoi rezolvă câteva exemple.

Exemple.

Ei bine, cum a funcționat? Acum să vedem aceste exemple:

Raspunsuri:

rădăcină cubă

Ei bine, ne-am gândit oarecum conceptul de rădăcină pătrată, acum vom încerca să ne dăm seama ce este o rădăcină cubă și care este diferența lor.

Rădăcina cubă a unui număr este numărul al cărui cub este egal cu. Ai observat cât de ușor este? Nu există restricții cu privire la valorile posibile atât ale valorii de sub semnul rădăcinii cubice, cât și ale numărului de extras. Adică, rădăcina cubă poate fi luată din orice număr:.

Ai prins ce este o rădăcină cubă și cum să o extragi? Apoi mergeți mai departe cu exemple.

Exemple.

Raspunsuri:

Rădăcină - oh grad

Ei bine, ne-am dat seama de conceptele de rădăcină pătrată și cubă. Acum generalizăm cunoștințele obținute prin concept a rădăcină.

a rădăcină dintr-un număr este un număr a cărui putere este egală, adică

este echivalent cu.

Dacă – chiar, apoi:

• cu negativ, expresia nu are sens (rădăcinile unui --lea grad par de numere negative nu poate fi extras!);
• cu non-negativ() expresia are o rădăcină nenegativă.

Dacă - este impar, atunci expresia are o singură rădăcină pentru oricare.

Nu vă alarmați, aici se aplică aceleași principii ca și în cazul rădăcinilor pătrate și cubice. Adică, principiile pe care le-am aplicat atunci când luăm în considerare rădăcinile pătrate sunt extinse la toate rădăcinile de gradul par.

Iar acele proprietăți care au fost folosite pentru rădăcina cubă se aplică rădăcinilor de un grad impar.

Ei bine, a devenit mai clar? Să înțelegem cu exemple:

Aici totul este mai mult sau mai puțin clar: mai întâi ne uităm - da, gradul este par, numărul de sub rădăcină este pozitiv, așa că sarcina noastră este să găsim un număr al cărui grad ne va oferi. Ei bine, vreo ghicire? Poate, ? Exact!

Deci, gradul este egal - impar, sub rădăcină numărul este negativ. Sarcina noastră este să găsim un astfel de număr, care, atunci când este ridicat la o putere, se dovedește. Este destul de dificil să observi imediat rădăcina. Cu toate acestea, puteți restrânge căutarea imediat, nu? În primul rând, numărul dorit este cu siguranță negativ, iar în al doilea rând, se poate observa că este impar și, prin urmare, numărul dorit este impar. Încercați să ridicați rădăcina. Desigur, și poți să dai deoparte în siguranță. Poate, ?

Da, asta cautam! Rețineți că pentru a simplifica calculul, am folosit proprietățile gradelor: .

Proprietățile de bază ale rădăcinilor

Lesne de înțeles? Dacă nu, atunci după ce luăm în considerare exemplele, totul ar trebui să se încadreze la locul lor.

Înmulțirea rădăcinilor

Cum să înmulțim rădăcinile? Cea mai simplă și de bază proprietate ajută la răspunsul la această întrebare:

Să începem cu unul simplu:

Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt extrase exact? Nu vă faceți griji, iată câteva exemple:

Dar dacă nu există doi multiplicatori, ci mai mulți? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinii funcționează cu orice număr de factori:

Ce putem face cu el? Ei bine, bineînțeles, ascunde triplul sub rădăcină, amintindu-ți totodată că triplul este rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de ea? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Face viața mult mai ușoară? Pentru mine, asa este! Trebuie doar să-ți amintești asta nu putem adăuga decât numere pozitive sub semnul rădăcinii unui grad par.

Să vedem unde mai poate fi util. De exemplu, într-o sarcină trebuie să comparați două numere:

Mai mult:

Nu vei spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a adăuga un număr sub semnul rădăcină? Apoi înainte:

Ei bine, știind că cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare! Acestea. dacă înseamnă . De aici concluzionăm ferm că Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Înainte de asta, am introdus un factor sub semnul rădăcinii, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să-l factorizezi și să extragi ceea ce este extras!

Era posibil să mergem pe altă cale și să ne descompunem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum vă simțiți confortabil.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterii și factorizați totul:

Totul pare să fie clar cu asta, dar cum să extragi o rădăcină dintr-un număr într-un grad? Iată, de exemplu, acesta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Atunci iată un exemplu:

Acestea sunt capcane, despre ele merită mereu amintit. Aceasta este de fapt o reflecție asupra exemplelor de proprietate:

pentru ciudat: pentru par și:

Lesne de înțeles? Remediați-l cu exemple:

Da, vedem rădăcina într-un grad par, numărul negativ de sub rădăcină este, de asemenea, într-un grad par. Ei bine, funcționează la fel? Și iată ce:

Asta e tot! Acum, iată câteva exemple:

Am înţeles? Apoi mergeți mai departe cu exemple.

Exemple.

Răspunsuri.

Dacă ați primit răspunsuri, atunci puteți merge mai departe cu liniște sufletească. Dacă nu, atunci să ne uităm la aceste exemple:

Să ne uităm la alte două proprietăți ale rădăcinilor:

Aceste proprietăți trebuie analizate în exemple. Ei bine, facem asta?

Am înţeles? Să o reparăm.

Exemple.

Răspunsuri.

RĂDĂCINI ŞI PROPRIETĂŢILE LOR. NIVEL MIJLOCIU

Rădăcina pătrată aritmetică

Ecuația are două soluții: și. Acestea sunt numere al căror pătrat este egal.

Luați în considerare ecuația. Să o rezolvăm grafic. Să desenăm un grafic al funcției și o linie pe nivel. Punctele de intersecție ale acestor drepte vor fi soluțiile. Vedem că această ecuație are și două soluții - una pozitivă, cealaltă negativă:

Dar în acest caz, soluțiile nu sunt numere întregi. În plus, nu sunt raționali. Pentru a nota aceste decizii iraționale, introducem un simbol special de rădăcină pătrată.

Rădăcina pătrată aritmetică este un număr nenegativ al cărui pătrat este . Când expresia nu este definită, deoarece nu există un astfel de număr, al cărui pătrat este egal cu un număr negativ.

Rădăcină pătrată: .

De exemplu, . Și rezultă că sau.

Din nou, acest lucru este foarte important: Rădăcina pătrată este întotdeauna un număr nenegativ: !

rădăcină cubă din număr este numărul al cărui cub este egal. Rădăcina cubă este definită pentru toată lumea. Poate fi extras din orice număr: . După cum puteți vedea, poate lua și valori negative.

Rădăcina gradului al treilea al unui număr este numărul al cărui grad este egal cu, i.e.

Dacă - chiar, atunci:

• dacă, atunci rădăcina a nu este definită.
• dacă, atunci rădăcina nenegativă a ecuației se numește rădăcina aritmetică a gradului al-lea de și se notează.

Dacă - este impar, atunci ecuația are o singură rădăcină pentru oricare.

Ați observat că îi scriem gradul în stânga sus a semnului rădăcină? Dar nu pentru rădăcina pătrată! Dacă vedeți o rădăcină fără grad, atunci este pătrată (grade).

Exemple.

Proprietățile de bază ale rădăcinilor

RĂDĂCINI ŞI PROPRIETĂŢILE LOR. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Rădăcină pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) dintr-un număr nenegativ se numește astfel număr nenegativ al cărui pătrat este

Proprietățile rădăcinii:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

cuși numărul natural n 2 .

Număr complex Z numit rădăcinăn– c, dacă Z n = c.

Găsiți toate valorile rădăcină n– gradul de la un număr complex cu. Lasa c=| c|·(cos Arg c+ i· păcat Argcu), A Z = | Z|·(cuos Arg Z + i· păcat Arg Z) , Unde Z rădăcină n- gradul de la un număr complex cu. Atunci trebuie să fie = c = | c|·(cos Arg c+ i· păcat Argcu). De aici rezultă că
și n· Arg Z = Argcu
Arg Z =
(k=0,1,…) . Prin urmare, Z =
(cos
+ i· păcat
), (k=0,1,…) . Este ușor de observat că oricare dintre valori
, (k=0,1,…) diferit de una dintre valorile corespunzătoare
,(k = 0,1,…, n-1) la un multiplu 2π. Asa de , (k = 0,1,…, n-1) .

Exemplu.

Calculați rădăcina lui (-1).

, evident |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + i· păcat π )

, (k = 0, 1).

= i

Gradul cu exponent rațional arbitrar

Luați un număr complex arbitrar cu. În cazul în care un n numărul natural, deci cu n = | c| n ·(cuos nArgcu +i· păcat nArgcu)(6). Această formulă este valabilă și în acest caz n = 0 (c≠0)
. Lasa n < 0 și n Zși c ≠ 0, apoi

cu n =
(cos nArgcu+i sin nArgcu) = (cos nArgcu+ i sin nArgcu) . Astfel, formula (6) este valabilă pentru oricare n.

Să luăm un număr rațional , Unde q număr natural și R este un număr întreg.

Apoi sub grad c r hai sa intelegem numarul
.

Înțelegem asta ,

(k = 0, 1, …, q-1). Aceste valori q bucăți, dacă fracția nu este redusă.

Cursul №3 Limita unei succesiuni de numere complexe

Se numește o funcție cu valori complexe a unui argument natural succesiune de numere complexeși notat (cu n ) sau cu 1 , cu 2 , ..., cu n . cu n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) numere complexe.

cu 1 , cu 2 , … - membrii secvenței; cu n - membru comun

Număr complex cu = A+ b· i numit limita unei secvențe de numere complexe (c n ) , Unde cu n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , unde pentru orice

, asta pentru toti n > N inegalitatea
. Se numește o secvență care are o limită finită convergente secvenţă.

Teorema.

Pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) (cu n = a n + b n · i) converg către un număr cu = A+ b· i, este necesar și suficient pentru egalitatelim A n = A, lim b n = b.

Dovada.

Vom demonstra teorema pe baza următoarei inegalități duble evidente

, Unde Z = X + y· i (2)

Nevoie. Lasa lim(cu n ) = cu. Să arătăm că egalitățile lim A n = Ași lim b n = b (3).

evident (4)

La fel de
, când n → ∞ , atunci rezultă din partea stângă a inegalității (4) că
și
, când n → ∞ . prin urmare, egalitățile (3) sunt valabile. Necesitatea a fost dovedită.

Adecvarea. Acum să fie valabile egalitățile (3). Din egalitate (3) rezultă că
și
, când n → ∞ , prin urmare, din cauza părții drepte a inegalității (4), va fi
, când n→∞ , mijloace lim(cu n )=s. Suficiența a fost dovedită.

Deci, problema convergenței unei secvențe de numere complexe este echivalentă cu convergența a două secvențe de numere reale, prin urmare, toate proprietățile de bază ale limitelor secvențelor de numere reale se aplică șirurilor de numere complexe.

De exemplu, pentru secvențe de numere complexe, criteriul Cauchy este valabil: pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) convergentă, este necesar și suficient ca pentru orice

, asta pentru oricen, m > Ninegalitatea
.

Teorema.

Fie o succesiune de numere complexe (cu n ) și (z n ) converg, respectiv cu şiz, apoi egalitatealim(cu n z n ) = c z, lim(cu n · z n ) = c· z. Dacă se ştie cu certitudine căznu este egal cu 0, atunci egalitatea
.

Felicitări: astăzi vom analiza rădăcinile - unul dintre cele mai uluitoare subiecte ale clasei a VIII-a. :)

Mulți oameni se încurcă în legătură cu rădăcinile nu pentru că sunt complexe (ceea ce este complicat - câteva definiții și alte câteva proprietăți), ci pentru că în majoritatea manualelor școlare rădăcinile sunt definite prin astfel de sălbăticii încât doar autorii manualelor înșiși pot. înțelegi această mâzgălire. Și chiar și atunci doar cu o sticlă de whisky bun. :)

Prin urmare, acum voi da cea mai corectă și mai competentă definiție a rădăcinii - singura pe care trebuie să o amintiți cu adevărat. Și numai atunci voi explica: de ce toate acestea sunt necesare și cum să le aplici în practică.

Dar mai întâi, amintiți-vă un punct important, despre care, dintr-un anumit motiv, mulți compilatori de manuale „uită”:

Rădăcinile pot fi de grad par (preferatul nostru $\sqrt(a)$, precum și orice $\sqrt(a)$ și $\sqrt(a)$) și grad impar (orice $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ etc.). Și definiția rădăcinii unui grad impar este oarecum diferită de cea pară.

Aici, în acest nenorocit de „oarecum diferit” este ascuns, probabil, 95% din toate erorile și neînțelegerile asociate cu rădăcinile. Deci, să clarificăm terminologia odată pentru totdeauna:

Definiție. Chiar și rădăcină n din numărul $a$ este oricare nenegativ un număr $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Și rădăcina unui grad impar din același număr $a$ este în general orice număr $b$ pentru care aceeași egalitate este valabilă: $((b)^(n))=a$.

În orice caz, rădăcina se notează astfel:

\(A)\]

Numărul $n$ într-o astfel de notație se numește exponent rădăcină, iar numărul $a$ se numește expresie radicală. În special, pentru $n=2$ obținem rădăcina noastră pătrată „favorită” (apropo, aceasta este rădăcina unui grad par), iar pentru $n=3$ obținem o rădăcină cubică (grad impar), care se găsește adesea și în probleme și ecuații.

Exemple. Exemple clasice de rădăcini pătrate:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Apropo, $\sqrt(0)=0$ și $\sqrt(1)=1$. Acest lucru este destul de logic deoarece $((0)^(2))=0$ și $((1)^(2))=1$.

Rădăcinile cubice sunt, de asemenea, comune - nu vă fie frică de ele:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Ei bine, câteva „exemple exotice”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Dacă nu înțelegeți care este diferența dintre un grad par și unul impar, recitiți din nou definiția. Este foarte important!

Între timp, vom lua în considerare o caracteristică neplăcută a rădăcinilor, din cauza căreia a trebuit să introducem o definiție separată pentru exponenții pari și impari.

De ce avem nevoie de rădăcini?

După ce au citit definiția, mulți studenți vor întreba: „Ce au fumat matematicienii când au venit cu asta?” Și într-adevăr: de ce avem nevoie de toate aceste rădăcini?

Pentru a răspunde la această întrebare, să ne întoarcem pentru un moment la școala elementară. Amintiți-vă: în acele vremuri îndepărtate, când copacii erau mai verzi și găluștele mai gustoase, principala noastră preocupare era să înmulțim corect cifrele. Ei bine, ceva în spiritul „cinci pe cinci – douăzeci și cinci”, asta-i tot. Dar, la urma urmei, puteți înmulți numerele nu în perechi, ci în tripleți, patru și, în general, seturi întregi:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Cu toate acestea, nu acesta este ideea. Trucul este diferit: matematicienii sunt leneși, așa că au fost nevoiți să noteze înmulțirea a zece cinci astfel:

Așa că au venit cu diplome. De ce să nu scrieți numărul de factori ca un superscript în loc de un șir lung? Ca acesta:

Este foarte convenabil! Toate calculele sunt reduse de câteva ori și nu puteți cheltui o grămadă de foi de pergament de caiete pentru a nota niște 5 183 . O astfel de intrare a fost numită gradul unui număr, s-au găsit o grămadă de proprietăți în ea, dar fericirea s-a dovedit a fi de scurtă durată.

După o băutură grandioasă, care a fost organizată doar despre „descoperirea” gradelor, un matematician deosebit de împietrit a întrebat brusc: „Dacă știm gradul unui număr, dar nu știm numărul în sine?” Într-adevăr, dacă știm că un anumit număr $b$, de exemplu, dă 243 puterii a 5-a, atunci cum putem ghici cu ce este egal însuși numărul $b$?

Această problemă s-a dovedit a fi mult mai globală decât ar părea la prima vedere. Pentru că s-a dovedit că pentru majoritatea diplomelor „gata făcute” nu există astfel de numere „inițiale”. Judecă singur:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(align)\]

Ce se întâmplă dacă $((b)^(3))=50$? Se pare că trebuie să găsiți un anumit număr, care, atunci când este înmulțit cu el însuși de trei ori, ne va da 50. Dar care este acest număr? Este clar mai mare decât 3 deoarece 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. adică acest număr se află undeva între trei și patru, dar cu ce este egal - FIG veți înțelege.

Acesta este motivul pentru care matematicienii au venit cu $n$-a rădăcini. De aceea a fost introdusă pictograma radical $\sqrt(*)$. Pentru a desemna același număr $b$, care, la puterea specificată, ne va da o valoare cunoscută anterior

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Nu argumentez: adesea aceste rădăcini sunt ușor de luat în considerare - am văzut mai sus mai multe astfel de exemple. Dar totuși, în cele mai multe cazuri, dacă te gândești la un număr arbitrar și apoi încerci să extragi rădăcina unui grad arbitrar din acesta, te afli într-o dezamăgire crudă.

Ce este acolo! Chiar și cel mai simplu și mai familiar $\sqrt(2)$ nu poate fi reprezentat în forma noastră obișnuită - ca un întreg sau o fracție. Și dacă introduceți acest număr într-un calculator, veți vedea asta:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

După cum puteți vedea, după virgulă zecimală există o succesiune nesfârșită de numere care nu respectă nicio logică. Puteți, desigur, să rotunjiți acest număr pentru a compara rapid cu alte numere. De exemplu:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aproximativ 1,4 \lt 1,5\]

Sau iată un alt exemplu:

\[\sqrt(3)=1,73205...\aproximativ 1,7 \gt 1,5\]

Dar toate aceste rotunjiri sunt, în primul rând, destul de aspre; și în al doilea rând, trebuie să poți lucra și cu valori aproximative, altfel poți prinde o grămadă de erori neevidente (apropo, priceperea de comparare și rotunjire este neapărat verificată la examenul de profil).

Prin urmare, în matematica serioasă nu se poate face fără rădăcini - ele sunt aceiași reprezentanți egali ai mulțimii tuturor numerelor reale $\mathbb(R)$, precum și fracții și numere întregi familiare nouă de mult timp.

Imposibilitatea reprezentării rădăcinii ca o fracție de forma $\frac(p)(q)$ înseamnă că această rădăcină nu este un număr rațional. Astfel de numere se numesc iraționale și nu pot fi reprezentate cu acuratețe decât cu ajutorul unui radical, sau a altor construcții special concepute pentru aceasta (logaritmi, grade, limite etc.). Dar mai multe despre asta altă dată.

Luați în considerare câteva exemple în care, după toate calculele, numerele iraționale vor rămâne în continuare în răspuns.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\aproximativ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1,2599... \\ \end(align)\]

Desigur, după apariția rădăcinii, este aproape imposibil de ghicit ce numere vor veni după virgulă zecimală. Cu toate acestea, este posibil să se calculeze pe un calculator, dar chiar și cel mai avansat calculator de dată ne oferă doar primele câteva cifre ale unui număr irațional. Prin urmare, este mult mai corect să scrieți răspunsurile ca $\sqrt(5)$ și $\sqrt(-2)$.

Pentru asta au fost inventate. Pentru a fi ușor de scris răspunsurile.

De ce sunt necesare două definiții?

Cititorul atent a observat probabil deja că toate rădăcinile pătrate date în exemple sunt luate din numere pozitive. Ei bine, cel puțin de la zero. Dar rădăcinile cubice sunt extrase cu calm din absolut orice număr - chiar pozitiv, chiar negativ.

De ce se întâmplă asta? Aruncă o privire la graficul funcției $y=((x)^(2))$:

Graficul unei funcții pătratice dă două rădăcini: pozitivă și negativă

Să încercăm să calculăm $\sqrt(4)$ folosind acest grafic. Pentru a face acest lucru, pe grafic este trasată o linie orizontală $y=4$ (marcată cu roșu), care intersectează parabola în două puncte: $((x)_(1))=2$ și $((x) _(2)) =-2$. Acest lucru este destul de logic, deoarece

Totul este clar cu primul număr - este pozitiv, prin urmare este rădăcina:

Dar atunci ce să faci cu al doilea punct? Cele 4 au două rădăcini deodată? La urma urmei, dacă pătratăm numărul −2, obținem și 4. De ce să nu scriem $\sqrt(4)=-2$ atunci? Și de ce se uită profesorii la astfel de înregistrări de parcă ar vrea să te mănânce? :)

Problema este că, dacă nu sunt impuse condiții suplimentare, atunci cei patru vor avea două rădăcini pătrate - pozitive și negative. Și orice număr pozitiv va avea și două dintre ele. Dar numerele negative nu vor avea deloc rădăcini - acest lucru poate fi văzut din același grafic, deoarece parabola nu cade niciodată sub axă y, adică nu ia valori negative.

O problemă similară apare pentru toate rădăcinile cu exponent par:

1. Strict vorbind, fiecare număr pozitiv va avea două rădăcini cu exponent par $n$;
2. Din numere negative, rădăcina cu $n$ chiar nu este extrasă deloc.

De aceea, definiția unei rădăcini pare $n$ prevede în mod specific că răspunsul trebuie să fie un număr nenegativ. Așa scăpăm de ambiguitate.

Dar pentru $n$ impar nu există o astfel de problemă. Pentru a vedea asta, să aruncăm o privire la graficul funcției $y=((x)^(3))$:

Parabola cubică ia orice valoare, astfel încât rădăcina cubică poate fi luată din orice număr

Din acest grafic se pot trage două concluzii:

1. Ramurile unei parabole cubice, spre deosebire de cea obișnuită, merg la infinit în ambele direcții - atât în ​​sus, cât și în jos. Prin urmare, la orice înălțime tragem o linie orizontală, această linie se va intersecta cu siguranță cu graficul nostru. Prin urmare, rădăcina cubă poate fi luată întotdeauna, absolut din orice număr;
2. În plus, o astfel de intersecție va fi întotdeauna unică, așa că nu trebuie să vă gândiți ce număr să luați în considerare rădăcina „corectă” și care să punctați. De aceea, definirea rădăcinilor pentru un grad impar este mai simplă decât pentru unul par (nu există o cerință de non-negativitate).

Păcat că aceste lucruri simple nu sunt explicate în majoritatea manualelor. În schimb, creierul nostru începe să se înalțe cu tot felul de rădăcini aritmetice și proprietățile lor.

Da, nu argumentez: ce este o rădăcină aritmetică - trebuie să știi și tu. Și voi vorbi despre asta în detaliu într-o lecție separată. Astăzi vom vorbi și despre asta, pentru că fără ea, toate reflecțiile asupra rădăcinilor multiplicității $n$-a ar fi incomplete.

Dar mai întâi trebuie să înțelegeți clar definiția pe care am dat-o mai sus. În caz contrar, din cauza abundenței de termeni, în capul tău va începe o astfel de mizerie încât până la urmă nu vei înțelege absolut nimic.

Și tot ce trebuie să înțelegeți este diferența dintre numerele pare și impare. Prin urmare, vom colecta încă o dată tot ce trebuie să știți despre rădăcini:

1. O rădăcină pară există numai dintr-un număr nenegativ și este ea însăși întotdeauna un număr nenegativ. Pentru numerele negative, o astfel de rădăcină este nedefinită.
2. Dar rădăcina unui grad impar există din orice număr și poate fi ea însăși orice număr: pentru numerele pozitive este pozitivă, iar pentru numerele negative, după cum indică capacul, este negativă.

Este dificil? Nu, nu este greu. Lesne de înțeles? Da, este evident! Prin urmare, acum vom exersa puțin cu calculele.

Proprietăți de bază și limitări

Rădăcinile au o mulțime de proprietăți și restricții ciudate - aceasta va fi o lecție separată. Prin urmare, acum vom lua în considerare doar cel mai important „cip”, care se aplică numai rădăcinilor cu un exponent uniform. Scriem această proprietate sub forma unei formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\dreapta|\]

Cu alte cuvinte, dacă ridicăm un număr la o putere pară și apoi extragem din aceasta rădăcina de același grad, vom obține nu numărul original, ci modulul său. Aceasta este o teoremă simplă care este ușor de demonstrat (este suficient să luăm în considerare separat $x$ nenegativi și apoi să le luăm separat pe cele negative). Profesorii vorbesc constant despre asta, este dat în fiecare manual școlar. Dar de îndată ce este vorba de rezolvarea ecuațiilor iraționale (adică ecuații care conțin semnul radicalului), elevii uită împreună această formulă.

Pentru a înțelege problema în detaliu, să uităm toate formulele pentru un minut și să încercăm să numărăm două numere înainte:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Acestea sunt exemple foarte simple. Primul exemplu va fi rezolvat de majoritatea oamenilor, dar pe al doilea, mulți se lipesc. Pentru a rezolva orice astfel de prostie fără probleme, luați în considerare întotdeauna procedura:

1. În primul rând, numărul este ridicat la a patra putere. Ei bine, e cam ușor. Se va obține un nou număr, care poate fi găsit chiar și în tabelul înmulțirii;
2. Și acum din acest număr nou este necesar să extragem rădăcina gradului al patrulea. Acestea. nu există o „reducere” a rădăcinilor și gradelor - acestea sunt acțiuni secvențiale.

Să ne ocupăm de prima expresie: $\sqrt(((3)^(4)))$. Evident, mai întâi trebuie să calculați expresia sub rădăcină:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Apoi extragem a patra rădăcină a numărului 81:

Acum să facem același lucru cu a doua expresie. În primul rând, ridicăm numărul -3 la a patra putere, pentru care trebuie să-l înmulțim cu el însuși de 4 ori:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ stânga(-3 \dreapta)=81\]

Am primit un număr pozitiv, deoarece numărul total de minusuri din produs este de 4 bucăți și toate se vor anula reciproc (la urma urmei, un minus cu un minus dă un plus). Apoi, extrageți din nou rădăcina:

În principiu, această linie nu a putut fi scrisă, deoarece este o idee deloc că răspunsul va fi același. Acestea. o rădăcină uniformă a aceleiași puteri uniforme „arde” minusurile și, în acest sens, rezultatul nu se distinge de modulul obișnuit:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Aceste calcule sunt în acord cu definiția rădăcinii unui grad par: rezultatul este întotdeauna nenegativ, iar semnul radical este întotdeauna un număr nenegativ. În caz contrar, rădăcina nu este definită.

Notă privind ordinea operațiunilor

1. Notația $\sqrt(((a)^(2)))$ înseamnă că mai întâi pătratăm numărul $a$ și apoi luăm rădăcina pătrată a valorii rezultate. Prin urmare, putem fi siguri că un număr nenegativ se află întotdeauna sub semnul rădăcinii, deoarece $((a)^(2))\ge 0$ oricum;
2. Dar notația $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, dimpotrivă, înseamnă că mai întâi extragem rădăcina dintr-un anumit număr $a$ și abia apoi pătratăm rezultatul. Prin urmare, numărul $a$ în ​​niciun caz nu poate fi negativ - aceasta este o cerință obligatorie încorporată în definiție.

Astfel, în niciun caz nu ar trebui să reducă neatenționat rădăcinile și gradele, presupunând astfel „simplificând” expresia originală. Pentru că dacă există un număr negativ sub rădăcină, iar exponentul său este par, vom avea o mulțime de probleme.

Cu toate acestea, toate aceste probleme sunt relevante doar pentru indicatori egali.

Eliminarea semnului minus de sub semnul rădăcină

Desigur, rădăcinile cu exponenți impari au și propria lor trăsătură, care, în principiu, nu există pentru cei pare. Și anume:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Pe scurt, puteți scoate un minus de sub semnul rădăcinilor unui grad impar. Aceasta este o proprietate foarte utilă care vă permite să „aruncați” toate minusurile:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Această proprietate simplă simplifică foarte mult multe calcule. Acum nu trebuie să vă faceți griji: ce se întâmplă dacă o expresie negativă a intrat sub rădăcină și gradul de la rădăcină s-a dovedit a fi egal? Este suficient doar să „aruncăm” toate minusurile din afara rădăcinilor, după care pot fi înmulțite între ele, împărțite și, în general, facem multe lucruri suspecte, care în cazul rădăcinilor „clasice” sunt garantate să ne conducă la un eroare.

Și aici intră în scenă o altă definiție - tocmai cea cu care majoritatea școlilor încep studiul expresiilor iraționale. Și fără de care raționamentul nostru ar fi incomplet. Întâlni!

rădăcină aritmetică

Să presupunem pentru o clipă că numai numerele pozitive sau, în cazuri extreme, zero pot fi sub semnul rădăcinii. Să punctăm pe indicatorii par / impar, să punctăm pe toate definițiile date mai sus - vom lucra numai cu numere nenegative. Ce atunci?

Și apoi obținem rădăcina aritmetică - se intersectează parțial cu definițiile noastre „standard”, dar tot diferă de ele.

Definiție. O rădăcină aritmetică a gradului $n$ al unui număr nenegativ $a$ este un număr nenegativ $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$.

După cum puteți vedea, nu ne mai interesează paritatea. În schimb, a apărut o nouă restricție: expresia radicală este acum întotdeauna nenegativă, iar rădăcina însăși este, de asemenea, nenegativă.

Pentru a înțelege mai bine cum diferă rădăcina aritmetică de cea obișnuită, aruncați o privire la graficele parabolei pătrate și cubice deja familiare nouă:

Zona de căutare rădăcină - numere nenegative

După cum puteți vedea, de acum înainte, ne interesează doar acele bucăți de grafice care sunt situate în primul trimestru de coordonate - unde coordonatele $x$ și $y$ sunt pozitive (sau cel puțin zero). Nu mai trebuie să te uiți la indicator pentru a înțelege dacă avem dreptul de a înrădăcina un număr negativ sau nu. Pentru că numerele negative nu mai sunt luate în considerare în principiu.

Puteți întreba: „Ei bine, de ce avem nevoie de o definiție atât de castrată?” Sau: „De ce nu ne putem descurca cu definiția standard dată mai sus?”

Ei bine, voi da o singură proprietate, din cauza căreia noua definiție devine adecvată. De exemplu, regula exponentiatiei:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Vă rugăm să rețineți: putem ridica expresia radicală la orice putere și, în același timp, înmulțim exponentul rădăcină cu aceeași putere - și rezultatul va fi același număr! Aici sunt cateva exemple:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Ei bine, ce e în neregulă cu asta? De ce nu am putut să o facem înainte? Iata de ce. Luați în considerare o expresie simplă: $\sqrt(-2)$ este un număr destul de normal în sensul nostru clasic, dar absolut inacceptabil din punctul de vedere al rădăcinii aritmetice. Să încercăm să-l convertim:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

După cum puteți vedea, în primul caz, am scos minusul de sub radical (avem tot dreptul, deoarece indicatorul este impar), iar în al doilea, am folosit formula de mai sus. Acestea. din punct de vedere al matematicii totul se face dupa reguli.

WTF?! Cum poate același număr să fie atât pozitiv, cât și negativ? În nici un caz. Doar că formula de exponențiere, care funcționează excelent pentru numerele pozitive și zero, începe să dea o erezie completă în cazul numerelor negative.

Aici, pentru a scăpa de o asemenea ambiguitate, au venit cu rădăcini aritmetice. Le este dedicată o lecție mare separată, unde luăm în considerare în detaliu toate proprietățile lor. Așa că acum nu ne vom opri asupra lor - oricum lecția s-a dovedit a fi prea lungă.

Rădăcina algebrică: pentru cei care vor să afle mai multe

M-am gândit multă vreme: să fac acest subiect într-un paragraf separat sau nu. Până la urmă, am decis să plec de aici. Acest material este destinat celor care doresc să înțeleagă și mai bine rădăcinile - nu la nivelul mediu „școlar”, ci la nivelul apropiat de Olimpiada.

Deci: pe lângă definiția „clasică” a rădăcinii gradului $n$-lea dintr-un număr și împărțirea asociată în indicatori pari și impari, există o definiție mai „adultă”, care nu depinde de paritate și alte subtilități. Aceasta se numește rădăcină algebrică.

Definiție. O rădăcină $n$-a algebrică a oricărui $a$ este mulțimea tuturor numerelor $b$ astfel încât $((b)^(n))=a$. Nu există o denumire bine stabilită pentru astfel de rădăcini, așa că puneți o liniuță deasupra:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Diferența fundamentală față de definiția standard dată la începutul lecției este că rădăcina algebrică nu este un număr specific, ci o mulțime. Și deoarece lucrăm cu numere reale, acest set este de doar trei tipuri:

1. Set gol. Apare atunci când este necesară găsirea unei rădăcini algebrice de grad par dintr-un număr negativ;
2. Un set format dintr-un singur element. Toate rădăcinile puterilor impare, precum și rădăcinile puterilor pare de la zero, se încadrează în această categorie;
3. În cele din urmă, mulțimea poate include două numere - aceleași $((x)_(1))$ și $((x)_(2))=-((x)_(1))$ pe care le-am văzut pe funcția pătratică grafică. În consecință, o astfel de aliniere este posibilă numai atunci când se extrage rădăcina unui grad par dintr-un număr pozitiv.

Ultimul caz merită o analiză mai detaliată. Să numărăm câteva exemple pentru a înțelege diferența.

Exemplu. Calculați expresii:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Decizie. Prima expresie este simplă:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sunt două numere care fac parte din set. Pentru că fiecare dintre ele la pătrat dă un patru.

\[\overline(\sqrt(-27))=\stanga\( -3 \dreapta\)\]

Aici vedem un set format dintr-un singur număr. Acest lucru este destul de logic, deoarece exponentul rădăcinii este impar.

În sfârșit, ultima expresie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing\]

Avem un set gol. Pentru că nu există un singur număr real care, atunci când este ridicat la a patra (adică, chiar!) Putere, să ne dea un număr negativ -16.

Notă finală. Vă rugăm să rețineți: nu întâmplător am observat peste tot că lucrăm cu numere reale. Pentru că există și numere complexe - este foarte posibil să calculezi $\sqrt(-16)$ și multe alte lucruri ciudate acolo.

Cu toate acestea, în cursul școlar modern de matematică, numerele complexe nu se găsesc aproape niciodată. Acestea au fost omise din majoritatea manualelor, deoarece oficialii noștri consideră subiectul „prea greu de înțeles”.

În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom acţiona secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de la ea se trece la descrierea rădăcinii cubice, după care vom generaliza conceptul de rădăcină prin definirea rădăcinii de gradul al n-lea. În același timp, vom introduce definiții, notație, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.

Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr, și în special a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment, vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.

Sa incepem cu definiții de rădăcină pătrată.

Definiție

Rădăcina pătrată a lui a este numărul al cărui pătrat este un .

Pentru a aduce exemple de rădăcini pătrate, luați mai multe numere, de exemplu, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , și pătrați-le, obținem numerele 25 , 0.09 , 0.09 și respectiv 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3 0,3=0,09 şi 02 =00=0). Apoi, după definiția de mai sus, 5 este rădăcina pătrată a lui 25, -0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate a lui 0,09 și 0 este rădăcina pătrată a lui zero.

Trebuie remarcat faptul că nu pentru niciun număr există a , al cărui pătrat este egal cu a . Și anume, pentru orice număr negativ a, nu există un număr real b al cărui pătrat să fie egal cu a. Într-adevăr, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b . Prin urmare, pe mulțimea numerelor reale nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.

Aceasta duce la o întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Raspunsul este da. Rațiunea acestui fapt poate fi considerată o metodă constructivă folosită pentru a găsi valoarea rădăcinii pătrate.

Atunci apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul la acesta: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate din numărul a este egal cu doi, iar rădăcinile sunt . Să argumentăm acest lucru.

Să începem cu cazul a=0 . Să arătăm mai întâi că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.

Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.

Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Mai sus am spus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie b rădăcina pătrată a lui a. Să presupunem că există un număr c , care este și rădăcina pătrată a lui a . Atunci, prin definiția rădăcinii pătrate, sunt valabile egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0 , dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , atunci (b−c) (b+c)=0 . Egalitatea rezultată în vigoare proprietățile acțiunilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel numerele b și c sunt egale sau opuse.

Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.

Pentru confortul lucrului cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „separată” de cea pozitivă. În acest scop, introduce definiția rădăcinii pătrate aritmetice.

Definiție

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a .

Pentru rădăcina pătrată aritmetică a numărului a se acceptă notația. Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radicalului. Prin urmare, puteți auzi parțial atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.

Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește numărul rădăcinii, și expresia de sub semnul rădăcinii - expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație, numărul 151 este un număr radical, iar în notație, expresia a este o expresie radicală.

Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcină pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă sutimi”. Cuvântul „aritmetică” se pronunță doar atunci când vor să sublinieze că vorbim despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.

În lumina notației introduse, din definiția rădăcinii pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .

Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a se scriu folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atașa semnificații intrărilor până când nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.

Pe baza definiției rădăcinii pătrate, sunt dovedite proprietățile rădăcinilor pătrate, care sunt adesea folosite în practică.

Pentru a încheia această subsecțiune, observăm că rădăcinile pătrate ale unui număr sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x .

rădăcină cub de

Definiția rădăcinii cubice al numărului a este dat în mod similar cu definiția rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.

Definiție

Rădăcina cubă a lui a se numește un număr al cărui cub este egal cu a.

Să aducem exemple de rădăcini cubice. Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7 , 0 , −2/3 , și cubează-le: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Apoi, pe baza definiției rădăcinii cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.

Se poate demonstra că rădăcina cubă a numărului a, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna și nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcina pătrată.

Mai mult, există o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.

Este ușor de arătat că pentru a pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici negativă, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a , atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a . Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.

Acum să presupunem că în plus față de numărul b mai există o rădăcină cubică din numărul a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0 , dar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b c+c 2 =0 . Din prima egalitate avem b=c , iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2 , b c și c 2 . Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.

Pentru a=0, singura rădăcină cubă a lui a este zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b , care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil numai când b=0 .

Pentru negativ a , se poate argumenta similar cu cazul pentru pozitiv a . În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.

Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și numai unul.

Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.

Definiție

Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.

Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este numărul rădăcinii, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.

Deși rădăcina cubului aritmetic este definită numai pentru numere nenegative a, este, de asemenea, convenabil să folosiți intrări în care numerele negative sunt sub semnul rădăcinii cubice aritmetice. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, .

Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.

Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice, această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.

Pentru a încheia această subsecțiune, spunem că rădăcina cubă a lui a este o soluție de forma x 3 =a.

Rădăcina a N-a, rădăcina aritmetică a lui n

Generalizăm conceptul de rădăcină dintr-un număr - introducem determinarea rădăcinii a n-a pentru n.

Definiție

a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.

Din această definiție este clar că rădăcina primului grad din numărul a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu un indicator natural, am luat a 1 = a.

Mai sus, am luat în considerare cazuri speciale ale rădăcinii de gradul al n-lea pentru n=2 și n=3 - rădăcina pătrată și rădăcina cubă. Adică rădăcina pătrată este rădăcina gradului al doilea, iar rădăcina cubă este rădăcina gradului al treilea. Pentru a studia rădăcinile gradului al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcinile de grade pare (adică pentru n=4, 6 , 8, ...), al doilea grup - rădăcinile grade impare (adică pentru n=5, 7, 9, ... ). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile de grade pare sunt similare cu rădăcina pătrată, iar rădăcinile de grade impare sunt similare cu rădăcina cubică. Să ne ocupăm de ei pe rând.

Să începem cu rădăcinile, ale căror puteri sunt numerele pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt similare cu rădăcina pătrată a numărului a. Adică, rădăcina oricărui grad par din numărul a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par din numărul a și sunt numere opuse.

Să justificăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină de grad par (o notăm ca 2·m, unde m este un număr natural) din a. Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de 2 m a lui a . Atunci b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Dar știm de forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0 , sau b+c=0 , sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Și ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0, deoarece partea stângă conține o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.

În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar din numărul a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.

Unicitatea rădăcinii de grad impar 2·m+1 din numărul a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice din a . Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, pentru m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b·c , care se află în parantezele celui mai înalt grad de imbricare, este pozitivă ca sumă pozitivă. numerele. Acum, trecând succesiv la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de imbricare, ne asigurăm că acestea sunt și pozitive ca sume de numere pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 posibil numai când b−c=0 , adică atunci când numărul b este egal cu numărul c .

Este timpul să ne ocupăm de notarea rădăcinilor gradului al n-lea. Pentru aceasta, este dat determinarea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea.

Definiție

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu a.