piramida patruunghiulara Un poliedru se numește poliedru a cărui bază este un pătrat, iar toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele identice.

Acest poliedru are multe proprietăți diferite:

• Nerbele sale laterale și unghiurile diedrice adiacente sunt egale între ele;
• Zonele fețelor laterale sunt aceleași;
• La baza unei piramide patruunghiulare regulate se află un pătrat;
• Înălțimea scăzută din vârful piramidei se intersectează cu punctul de intersecție al diagonalelor bazei.

Toate aceste proprietăți îl fac ușor de găsit. Cu toate acestea, destul de des, pe lângă acesta, este necesar să se calculeze volumul poliedrului. Pentru a face acest lucru, aplicați formula pentru volumul unei piramide patrulatere:

Adică, volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre înălțimea piramidei și aria bazei. Deoarece este egal cu produsul laturilor sale egale, introducem imediat formula ariei pătrate în expresia volumului.
Luați în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide patruunghiulare.

Să se dea o piramidă patruunghiulară, la baza căreia se află un pătrat cu latura a = 6 cm.Fața laterală a piramidei este b = 8 cm.Aflați volumul piramidei.

Pentru a găsi volumul unui poliedru dat, avem nevoie de lungimea înălțimii acestuia. Prin urmare, îl vom găsi prin aplicarea teoremei lui Pitagora. Mai întâi, să calculăm lungimea diagonalei. În triunghiul albastru, va fi ipotenuza. De asemenea, merită să ne amintim că diagonalele pătratului sunt egale între ele și sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție:


Acum din triunghiul roșu găsim înălțimea de care avem nevoie h. Acesta va fi egal cu:

Înlocuiți valorile necesare și găsiți înălțimea piramidei:

Acum, cunoscând înălțimea, putem înlocui toate valorile din formula pentru volumul piramidei și calculam valoarea necesară:

Așa, cunoscând câteva formule simple, am putut calcula volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite. Nu uitați că această valoare se măsoară în unități cubice.

Definiția 1. O piramidă se numește regulată dacă baza sa este un poligon regulat, iar vârful unei astfel de piramide este proiectat în centrul bazei sale.

Definiția 2. O piramidă se numește regulată dacă baza ei este un poligon regulat și înălțimea ei trece prin centrul bazei.

Elemente ale unei piramide regulate

• Înălțimea unei fețe laterale desenată din vârful ei se numește apotema. În figură este desemnat ca segment ON
• Se numește punctul care leagă marginile laterale și care nu se află în planul bazei vârful piramidei(O)
• Se numesc triunghiuri care au o latură comună cu baza și unul dintre vârfurile care coincide cu vârful fetele laterale(AOD, DOC, COB, AOB)
• Segmentul perpendicularei trasat prin vârful piramidei până la planul bazei sale se numește înălțimea piramidei(BINE)
• Secțiunea diagonală a unei piramide- aceasta este secțiunea care trece prin partea superioară și diagonala bazei (AOC, BOD)
• Un poligon care nu are un vârf de piramidă se numește baza piramidei(ABCD)

Dacă la bază piramida corecta se află un triunghi, patrulater etc. atunci se numeste triunghiular regulat , patruunghiular etc.

O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru.

Proprietățile unei piramide obișnuite

Pentru a rezolva probleme, este necesar să cunoașteți proprietățile elementelor individuale, care sunt de obicei omise în stare, deoarece se crede că elevul ar trebui să știe acest lucru de la bun început.

• coastele laterale sunt egaleîntre ei
• apotemele sunt egale
• fețele laterale sunt egale unul cu celălalt (în același timp, respectiv, ariile, laturile și bazele lor sunt egale), adică sunt triunghiuri egale
• toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente
• în orice piramidă obișnuită, puteți înscrie și descrie o sferă în jurul acesteia
• dacă centrele sferelor înscrise și circumscrise coincid, atunci suma unghiurilor plane din vârful piramidei este π și, respectiv, fiecare dintre ele este π/n, unde n este numărul de laturi ale poligonului de bază.
• aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema
• un cerc poate fi circumscris lângă baza unei piramide regulate (vezi și raza cercului circumscris unui triunghi)
• toate fețele laterale formează unghiuri egale cu planul de bază al unei piramide regulate
• toate înălțimile fețelor laterale sunt egale între ele

Instructiuni pentru rezolvarea problemelor. Proprietățile enumerate mai sus ar trebui să ajute într-o soluție practică. Dacă doriți să găsiți unghiurile de înclinare ale fețelor, suprafața acestora etc., atunci tehnica generală este de a împărți întreaga figură tridimensională în figuri plate separate și de a folosi proprietățile acestora pentru a găsi elemente individuale ale piramidei, deoarece multe elementele sunt comune mai multor figuri.

Este necesar să spargeți întreaga figură tridimensională în elemente separate - triunghiuri, pătrate, segmente. În plus, să aplici cunoștințele de la cursul de planimetrie elementelor individuale, ceea ce simplifică foarte mult găsirea răspunsului.

Formule pentru piramida corectă

Formule pentru găsirea volumului și a suprafeței laterale:

Notaţie:
V - volumul piramidei
S - zona de bază
h - înălțimea piramidei
Sb - suprafata laterala
a - apotema (a nu se confunda cu α)
P - perimetrul bazei
n - numărul de laturi de bază
b - lungimea coastei laterale
α - unghi plat în vârful piramidei

Această formulă pentru găsirea volumului poate fi utilizată numai pentru piramida corecta:

, Unde

V - volumul unei piramide regulate
h - înălțimea piramidei regulate
n este numărul de laturi ale poligonului regulat care stă la baza piramidei regulate
a - lungimea laturii unui poligon regulat

Piramida trunchiată corectă

Dacă trasăm o secțiune paralelă cu baza piramidei, atunci corpul închis între aceste planuri și suprafața laterală se numește trunchi de piramidă. Această secțiune pentru o piramidă trunchiată este una dintre bazele sale.

Înălțimea feței laterale (care este un trapez isoscel) se numește - apotema unei piramide trunchiate obișnuite.

O piramidă trunchiată se numește corectă dacă piramida din care a fost obținută este corectă.

• Distanța dintre bazele unei piramide trunchiate se numește înălțimea piramidei trunchiate
• Toate fețele unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele (isoscele).

Note

Vezi si: cazuri speciale (formule) pentru o piramidă obișnuită:

Cum să utilizați materialele teoretice prezentate aici pentru a vă rezolva problema:

• apotema- înălțimea feței laterale a unei piramide regulate, care este desenată din vârful acesteia (în plus, apotema este lungimea perpendicularei, care este coborâtă de la mijlocul unui poligon regulat la 1 din laturile sale);
• fetele laterale (ASB, BSC, CSD, DSA) - triunghiuri care converg în vârf;
• coaste laterale ( LA FEL DE , BS , CS , D.S. ) - laturile comune ale fetelor laterale;
• vârful piramidei (v. S) - un punct care leagă marginile laterale și care nu se află în planul bazei;
• înălţime ( ASA DE ) - un segment al perpendicularei, care este tras prin vârful piramidei până în planul bazei acesteia (capetele unui astfel de segment vor fi vârful piramidei și baza perpendicularei);
• secțiunea diagonală a unei piramide- sectiune a piramidei, care trece prin varful si diagonala bazei;
• baza (ABCD) este un poligon căruia nu îi aparține vârful piramidei.

proprietățile piramidei.

1. Când toate marginile laterale au aceeași dimensiune, atunci:

• lângă baza piramidei este ușor să descrii un cerc, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• nervurile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază;
• în plus, este adevărat și invers, adică. când marginile laterale formează unghiuri egale cu planul de bază sau când un cerc poate fi descris lângă baza piramidei și vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc, atunci toate marginile laterale ale piramidei au aceeasi dimensiune.

2. Când fețele laterale au un unghi de înclinare față de planul bazei de aceeași valoare, atunci:

• lângă baza piramidei, este ușor să descrii un cerc, în timp ce vârful piramidei va fi proiectat în centrul acestui cerc;
• înălțimile fețelor laterale sunt de lungime egală;
• aria suprafeței laterale este ½ produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea feței laterale.

3. O sferă poate fi descrisă în apropierea piramidei dacă baza piramidei este un poligon în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec prin punctele medii ale muchiilor piramidei perpendicular pe acestea. Din această teoremă concluzionăm că o sferă poate fi descrisă atât în ​​jurul oricărei piramide triunghiulare, cât și în jurul oricărei piramide regulate.

4. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează în punctul 1 (condiție necesară și suficientă). Acest punct va deveni centrul sferei.

Cea mai simplă piramidă.

În funcție de numărul de colțuri ale bazei piramidei, acestea sunt împărțite în triunghiulare, patruunghiulare și așa mai departe.

Piramida va triunghiular, patruunghiular, și așa mai departe, când baza piramidei este un triunghi, un patrulater și așa mai departe. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentaedru și așa mai departe.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.