Matematicianul italian Leonardo Fibonacci a trăit în secolul al XIII-lea și a fost unul dintre primii din Europa care a folosit cifre arabe (indiene). A venit cu o problemă oarecum artificială despre iepurii care sunt crescuți la o fermă, toți fiind considerați femele, masculii sunt ignorați. Iepurii încep să se înmulțească după vârsta de două luni și apoi dau naștere unui iepure în fiecare lună. Iepurii nu mor niciodată.

Este necesar să se determine câți iepuri vor fi în fermă n luni, dacă la momentul inițial de timp exista un singur iepure nou-născut.

Evident, fermierul are un iepure în prima lună și un iepure în luna a doua. În luna a treia vor fi doi iepuri, în luna a patra vor fi trei și așa mai departe. Să notăm numărul de iepuri în n luna ca . Prin urmare,
,
,
,
,
, …

Putem construi un algoritm pentru a găsi pentru orice n.

În funcție de starea problemei, numărul total de iepuri
în n+1 lună este descompusă în trei componente:

iepuri de o luna, incapabili de reproducere, in cantitate

;

Astfel, primim

. (8.1)

Formula (8.1) vă permite să calculați o serie de numere: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Numerele din această secvență sunt numite numerele Fibonacci .

Dacă acceptă
și
, apoi cu ajutorul formulei (8.1) se pot determina toate celelalte numere Fibonacci. Formula (8.1) se numește recurent formulă ( recidiva - „întoarcerea” în latină).

Exemplul 8.1. Să presupunem că există o scară înăuntru n trepte. Îl putem urca cu o treaptă de o treaptă, sau cu o treaptă de două trepte. Câte combinații de metode diferite de ridicare există?

În cazul în care un n= 1, există o singură soluție la problemă. Pentru n= 2 există 2 opțiuni: doi pași simpli sau un pas dublu. Pentru n= 3 există 3 opțiuni: trei trepte simple, sau una simplă și una dublă, sau una dublă și una simplă.

În cazul următor n= 4, avem 5 posibilități (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Pentru a răspunde la o întrebare dată cu un arbitrar n, notați numărul de opțiuni ca și încercați să determinați
potrivit celebrului și
. Dacă începem de la un singur pas, atunci avem combinatii pentru restul n trepte. Dacă începem cu un pas dublu, atunci avem
combinatii pentru restul n-1 pași. Numărul total de opțiuni pentru n+1 pași este egal

. (8.2)

Formula rezultată, ca un geamăn, seamănă cu formula (8.1). Cu toate acestea, acest lucru nu permite identificarea numărului de combinații cu numerele Fibonacci . Vedem, de exemplu, că
, dar
. Cu toate acestea, există următoarea relație:

.

Acest lucru este adevărat pentru n= 1, 2 și este valabil și pentru fiecare n. Numerele Fibonacci și numărul de combinații sunt calculate folosind aceeași formulă, dar valorile inițiale
,
și
,
ele diferă.

Exemplul 8.2. Acest exemplu este de importanță practică pentru problemele de codare de corectare a erorilor. Aflați numărul tuturor cuvintelor binare de lungime n, care nu conține mai multe zerouri pe rând. Să notăm acest număr prin . Evident,
, iar cuvintele de lungime 2 care ne satisfac constrângerea sunt: ​​10, 01, 11, i.e.
. Lasa
- un cuvânt de la n personaje. Dacă simbolul
, apoi
poate fi arbitrar (
)-cuvânt literal care nu conține mai multe zerouri pe rând. Deci numărul de cuvinte cu o unitate la sfârșit este
.

Dacă simbolul
, atunci neapărat
, iar primul
simbol
poate fi arbitrară, ținând cont de restricțiile avute în vedere. Prin urmare, există
lungimea cuvântului n cu zero la sfârșit. Astfel, numărul total de cuvinte care ne interesează este

.

Ținând cont de faptul că
și
, succesiunea de numere rezultată este numerele Fibonacci.

Exemplul 8.3.În Exemplul 7.6 am constatat că numărul de cuvinte binare cu greutate constantă t(și lungimea k) egal . Acum să găsim numărul de cuvinte binare cu greutate constantă t, care nu conține mai multe zerouri pe rând.

Poți să raționezi așa. Lasa
numărul de zerouri din cuvintele luate în considerare. Fiecare cuvânt are
goluri dintre cele mai apropiate zerouri, fiecare dintre acestea conținând unul sau mai multe. Se presupune că
. În caz contrar, nu există un singur cuvânt fără zerouri adiacente.

Dacă eliminăm exact o unitate din fiecare interval, atunci obținem un cuvânt de lungime
conținând zerouri. Orice astfel de cuvânt poate fi obținut în modul specificat de la unii (și doar unul) k-cuvânt literal care conține zerouri, dintre care două nu sunt adiacente. Prin urmare, numărul necesar coincide cu numărul tuturor cuvintelor de lungime
conţinând exact zerouri, adică egală
.

Exemplul 8.4. Să demonstrăm că suma
este egal cu numerele Fibonacci pentru orice număr întreg . Simbol
reprezintă cel mai mic număr întreg mai mare sau egal cu . De exemplu, dacă
, apoi
; si daca
, apoi
plafon("tavan"). Există și un simbol
, care înseamnă cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu . În engleză, această operație se numește podea ("podea").

În cazul în care un
, apoi
. În cazul în care un
, apoi
. În cazul în care un
, apoi
.

Astfel, pentru cazurile luate în considerare, suma este într-adevăr egală cu numerele Fibonacci. Oferim acum o dovadă pentru cazul general. Deoarece numerele Fibonacci pot fi obținute folosind ecuația recursivă (8.1), egalitatea trebuie să fie valabilă:

.

Și de fapt face:

Aici am folosit formula obținută anterior (4.4):
.

Suma numerelor Fibonacci

Să stabilim suma primului n numerele Fibonacci.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Este ușor de observat că, adăugând unul în partea dreaptă a fiecărei ecuații, obținem din nou numărul Fibonacci. Formula generală pentru determinarea sumei primelor n Numerele Fibonacci au forma:

Vom demonstra acest lucru folosind metoda inducției matematice. Pentru a face acest lucru, scriem:

Această sumă trebuie să fie egală cu
.

Reducand laturile stanga si dreapta ale ecuatiei cu –1, obtinem ecuatia (6.1).

Formula pentru numerele Fibonacci

Teorema 8.1. Numerele Fibonacci pot fi calculate folosind formula

.

Dovada. Să verificăm validitatea acestei formule pentru n= 0, 1, și apoi demonstrăm validitatea acestei formule pentru un arbitrar n prin inducție. Să calculăm raportul dintre cele mai apropiate două numere Fibonacci:

Vedem că raportul acestor numere fluctuează în jurul valorii de 1,618 (dacă ignorăm primele câteva valori). Această proprietate a numerelor Fibonacci seamănă cu membrii unei progresii geometrice. Accept
, (
). Apoi expresia

convertit la

care după simplificare arată astfel

.

Am obținut o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt egale cu:

Acum putem scrie:

(Unde c este o constantă). Ambii membri și nu da numere Fibonacci, de exemplu
, in timp ce
. Cu toate acestea, diferența
satisface ecuația recursivă:

Pentru n=0 această diferență dă , adică:
. Cu toate acestea, când n=1 avem
. A obtine
trebuie acceptat:
.

Acum avem două secvențe: și
, care încep cu aceleași două numere și satisfac aceeași formulă recursivă. Ele trebuie să fie egale:
. Teorema a fost demonstrată.

Odata cu cresterea n membru devine foarte mare în timp ce
, și rolul membrului este redusă în diferență. Prin urmare, în mare n putem scrie aproximativ

.

Ignorăm 1/2 (deoarece numerele Fibonacci cresc la infinit pe măsură ce n catre infinit).

Atitudine
numit ratia de aur, este folosit în afara matematicii (de exemplu, în sculptură și arhitectură). Raportul de aur este raportul dintre diagonală și laterală pentagon obișnuit(Fig. 8.1).

Orez. 8.1. Pentagonul obișnuit și diagonalele sale

Pentru a desemna secțiunea de aur, se obișnuiește să se folosească litera
în cinstea celebrului sculptor atenian Fidias.

numere prime

Toate numerele naturale, cele mari, se împart în două clase. Primul include numere care au exact doi divizori naturali, unul și el însuși, al doilea îi include pe restul. Se numesc numerele din prima clasă simplu, iar al doilea constitutiv. Numerele prime din primele trei zeci: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Proprietățile numerelor prime și legătura lor cu toate numerele naturale au fost studiate de Euclid (secolul al III-lea î.Hr.). Dacă scrieți numere prime pe rând, puteți vedea că densitatea lor relativă scade. Primele zece dintre ele reprezintă 4, adică 40%, pentru o sută - 25, adică 25%, la mie - 168, i.e. mai puțin de 17%, la un milion - 78498, i.e. mai puțin de 8% etc. Cu toate acestea, numărul lor total este infinit.

Printre numere prime, există perechi de astfel de numere, a căror diferență este egală cu doi (așa-numitele gemeni simpli), dar caracterul finit sau infinit al unor astfel de perechi nu a fost dovedit.

Euclid a considerat evident că prin înmulțirea numai a numerelor prime se pot obține toate numerele naturale, iar fiecare număr natural poate fi reprezentat ca produs de numere prime într-un mod unic (până la ordinea factorilor). Astfel, numerele prime formează o bază multiplicativă a seriei naturale.

Studiul distribuției primelor a condus la crearea unui algoritm care permite obținerea de tabele cu numere prime. Un astfel de algoritm este sita lui Eratosthenes(secolul al III-lea î.Hr.). Această metodă constă în cernerea (de exemplu, prin tăierea) a acelor numere întregi dintr-o anumită secvență
, care sunt divizibile cu cel puțin unul dintre numerele prime mai mici decât
.

Teorema 8 . 2 . (teorema lui Euclid). Numărul numerelor prime este infinit.

Dovada. Teorema lui Euclid asupra infinitului numărului primelor va fi demonstrată prin metoda propusă de Leonhard Euler (1707–1783). Euler a considerat produsul peste toate numerele prime p:

la
. Acest produs converge, iar dacă este extins, atunci, din cauza unicității descompunerii numerelor naturale în factori primi, se dovedește că este egal cu suma seriei , de unde urmează identitatea lui Euler:

.

De la ora
seria din dreapta diverge (seria armonică), atunci identitatea lui Euler implică teorema lui Euclid.

Matematicianul rus P.L. Cebyshev (1821–1894) a derivat o formulă care determină limitele în care este conținut numărul de numere prime
, fara sa depaseasca X:

,

Unde
,
.

Dacă te uiți la plantele și copacii din jurul nostru, poți vedea câte frunze are fiecare dintre ei. De departe, se pare că ramurile și frunzele de pe plante sunt aranjate aleatoriu, într-o ordine arbitrară. Cu toate acestea, la toate plantele este planificat în mod miraculos, matematic precis, ce ramură va crește de unde, cum vor fi amplasate ramurile și frunzele lângă tulpină sau trunchi. Din prima zi de apariție, planta urmează întocmai aceste legi în dezvoltarea sa, adică nici o frunză, nici o floare nu apare întâmplător. Chiar înainte ca aspectul plantei să fie deja programat cu precizie. Câte ramuri vor fi pe viitorul copac, unde vor crește ramurile, câte frunze vor fi pe fiecare ramură și cum, în ce ordine vor fi aranjate frunzele. Munca comună a botaniştilor şi matematicienilor a aruncat lumină asupra acestor fenomene naturale uimitoare. S-a dovedit că în aranjarea frunzelor pe o ramură (filotaxie), în numărul de spire pe tulpină, în numărul de frunze din ciclu, se manifestă seria Fibonacci și, prin urmare, legea secțiunii de aur, de asemenea se manifestă.

Dacă vă propuneți să găsiți modele numerice în fauna sălbatică, veți observa că aceste numere se găsesc adesea în diferite forme spiralate, în care lumea vegetală este atât de bogată. De exemplu, butașii de frunze se învecinează cu tulpina într-o spirală care se desfășoară între două frunze adiacente: o întoarcere completă - în alun, - în stejar, - în plop și par, - în salcie.

Semințele de floarea soarelui, Echinacea purpurea și multe alte plante sunt dispuse în spirale, iar numărul de spirale în fiecare direcție este numărul Fibonacci.

Floarea soarelui, 21 și 34 spirale. Echinacea, spirale 34 și 55.

O formă clară, simetrică de flori este, de asemenea, supusă unei legi stricte.

Multe flori au numărul de petale - exact numerele din seria Fibonacci. De exemplu:

iris, 3 lep. ranuncul, 5 lep. floare de aur, 8 lep. delphinium,

cicoare, 21 lep. aster, 34 lep. margarete, 55 lep.

Seria Fibonacci caracterizează organizarea structurală a multor sisteme vii.

Am spus deja că raportul numerelor vecine din seria Fibonacci este numărul φ = 1,618. Se pare că omul însuși este doar un depozit al numărului phi.

Proporțiile diferitelor părți ale corpului nostru formează un număr foarte apropiat de raportul de aur. Dacă aceste proporții coincid cu formula raportului de aur, atunci aspectul sau corpul unei persoane este considerat a fi construit în mod ideal. Principiul calculării măsurii de aur pe corpul uman poate fi descris sub forma unei diagrame.

M/m=1,618

Primul exemplu de secțiune de aur în structura corpului uman:

Dacă luăm punctul buricului ca centru al corpului uman și distanța dintre piciorul uman și punctul buricului ca unitate de măsură, atunci înălțimea unei persoane este echivalentă cu numărul 1.618.

Mâna omului

Este suficient doar să aduci palma mai aproape de tine acum și să te uiți cu atenție la degetul arătător și vei găsi imediat formula secțiunii de aur în ea. Fiecare deget al mâinii noastre este format din trei falange.
Suma primelor două falange ale degetului în raport cu întreaga lungime a degetului dă proporția de aur (cu excepția degetului mare).

În plus, raportul dintre degetul mijlociu și degetul mic este, de asemenea, egal cu raportul de aur.

O persoană are 2 mâini, degetele de pe fiecare mână sunt formate din 3 falange (cu excepția degetului mare). Pe fiecare mână sunt 5 degete, adică un total de 10, dar cu excepția a două degete mari cu două falange, doar 8 degete sunt create conform principiului secțiunii de aur. În timp ce toate aceste numere 2, 3, 5 și 8 sunt numerele șirului Fibonacci.

Raportul de aur în structura plămânilor umani

Fizicianul american B.D. West și Dr. A.L. Goldberger în timpul studiilor fizice și anatomice a constatat că în structura plămânilor umani există și un raport de aur.

Particularitatea bronhiilor care alcătuiesc plămânii unei persoane constă în asimetria lor. Bronhiile sunt formate din două căi respiratorii principale, una (stânga) este mai lungă și cealaltă (dreapta) este mai scurtă.

S-a constatat că această asimetrie continuă în ramurile bronhiilor, în toate căile respiratorii mai mici. Mai mult, raportul dintre lungimea bronhiilor scurte și lungi este, de asemenea, raportul de aur și este egal cu 1:1,618.

Artiștii, oamenii de știință, creatorii de modă, designerii își fac calculele, desenele sau schițele pe baza raportului de aur. Ei folosesc măsurători din corpul uman, de asemenea create după principiul secțiunii de aur. Leonardo Da Vinci și Le Corbusier, înainte de a-și crea capodoperele, au preluat parametrii corpului uman, creați conform legii Raportului de Aur.
Există o altă aplicare, mai prozaică, a proporțiilor corpului uman. De exemplu, folosind aceste rapoarte, analiștii criminali și arheologii restabilesc aspectul întregului din fragmente de părți ale corpului uman.

Secvența Fibonacci, făcută celebră prin filmul și cartea Codul lui Da Vinci, este o serie de numere deduse de matematicianul italian Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub pseudonimul său Fibonacci, în secolul al XIII-lea. Adepții savantului au observat că formula la care este supusă această serie de numere își găsește reflectarea în lumea din jurul nostru și face ecoul altor descoperiri matematice, deschizându-ne astfel ușa către secretele universului. În acest articol, vom explica ce este șirul Fibonacci, vom lua în considerare exemple despre modul în care acest model este afișat în natură și, de asemenea, o vom compara cu alte teorii matematice.

Formularea și definirea conceptului

Seria Fibonacci este o succesiune matematică, fiecare element al căruia este egal cu suma celor două anterioare. Să notăm un anumit membru al șirului ca x n. Astfel, obținem o formulă valabilă pentru întreaga serie: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. În acest caz, ordinea secvenței va arăta astfel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Următorul număr va fi 55, deoarece suma lui 21 și 34 este 55. Și așa mai departe dupa acelasi principiu.

Exemple în mediu

Dacă ne uităm la plantă, în special, la coroana frunzelor, vom observa că acestea înfloresc în spirală. Se formează unghiuri între frunzele adiacente, care, la rândul lor, formează succesiunea matematică corectă a lui Fibonacci. Datorită acestei caracteristici, fiecare frunză individuală care crește pe un copac primește cantitatea maximă de lumină solară și căldură.

Puzzle matematic Fibonacci

Un matematician celebru și-a prezentat teoria sub forma unei ghicitori. Sună așa. Puteți pune o pereche de iepuri într-un spațiu închis pentru a afla câte perechi de iepuri se vor naște într-un an. Având în vedere natura acestor animale, faptul că în fiecare lună o pereche este capabilă să producă o nouă pereche și devin gata de reproducere când ajung la două luni, ca urmare, el a primit celebra sa serie de numere: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - care arată numărul de perechi noi de iepuri în fiecare lună.

Secvența Fibonacci și raportul proporțional

Această serie are mai multe nuanțe matematice care trebuie luate în considerare. El, apropiindu-se mai incet si mai incet (asimptotic), tinde catre o anumita relatie proportionala. Dar este irațional. Cu alte cuvinte, este un număr cu o succesiune imprevizibilă și infinită de numere zecimale în partea fracționară. De exemplu, raportul oricărui element al seriei variază în jurul cifrei 1.618, uneori depășindu-l, alteori atingându-l. Următorul prin analogie se apropie de 0,618. Care este invers proporțional cu numărul 1,618. Dacă împărțim elementele într-unul, obținem 2,618 și 0,382. După cum ați înțeles deja, ele sunt, de asemenea, invers proporționale. Numerele rezultate se numesc rapoarte Fibonacci. Acum să explicăm de ce am efectuat aceste calcule.

ratia de aur

Deosebim toate obiectele din jurul nostru după anumite criterii. Una dintre ele este forma. Unii ne atrag mai mult, alții mai puțin, iar altora nu le place deloc. S-a observat că un obiect simetric și proporțional este mult mai ușor de perceput pentru o persoană și evocă un sentiment de armonie și frumusețe. O imagine întreagă include întotdeauna părți de dimensiuni diferite, care sunt într-un anumit raport între ele. De aici rezultă răspunsul la întrebarea despre ceea ce se numește Raportul de Aur. Acest concept înseamnă perfecțiunea raportului dintre întreg și părți în natură, știință, artă etc. Din punct de vedere matematic, luați în considerare următorul exemplu. Luați un segment de orice lungime și împărțiți-l în două părți în așa fel încât partea mai mică să fie legată de cea mai mare, precum suma (lungimea întregului segment) cu cea mai mare. Deci hai să facem o tăietură cu pentru dimensiunea unuia. o parte din ea A va fi egal cu 0,618, partea a doua b, se pare, este egal cu 0,382. Astfel, observăm starea Raportului de Aur. Raportul segmentelor c la A este egal cu 1,618. Și relația părților cși b- 2.618. Obținem coeficienții Fibonacci deja cunoscuți. Triunghiul de aur, dreptunghiul de aur și cuboidul de aur sunt construite după același principiu. De asemenea, merită remarcat faptul că raportul proporțional al părților corpului uman este aproape de raportul de aur.

Este șirul lui Fibonacci baza tuturor?

Să încercăm să combinăm teoria Secțiunii de Aur și cunoscuta serie a matematicianului italian. Să începem cu două pătrate de prima dimensiune. Apoi adăugați un alt pătrat de a doua dimensiune deasupra. Să desenăm lângă aceeași figură cu lungimea laturii egală cu suma celor două laturi anterioare. În mod similar, desenăm un pătrat de dimensiunea a cincea. Și așa poți continua la nesfârșit, până te plictisești. Principalul lucru este că dimensiunea laturii fiecărui pătrat următor este egală cu suma laturilor celor două anterioare. Obținem o serie de poligoane ale căror laturi sunt numere Fibonacci. Aceste cifre se numesc dreptunghiuri Fibonacci. Să tragem o linie netedă prin colțurile poligoanelor noastre și să obținem... spirala lui Arhimede! Creșterea treptei acestei cifre, după cum știți, este întotdeauna uniformă. Dacă activați fantezia, atunci modelul rezultat poate fi asociat cu o coajă de scoică. De aici putem concluziona că șirul Fibonacci stă la baza rapoartelor proporționale, armonioase ale elementelor din lumea înconjurătoare.

Secvența matematică și universul

Dacă te uiți cu atenție, atunci spirala lui Arhimede (undeva în mod explicit, dar undeva voalat) și, prin urmare, principiul Fibonacci pot fi urmărite în multe elemente naturale familiare care înconjoară o persoană. De exemplu, aceeași coajă a unei scoici, inflorescențe de broccoli obișnuit, o floare de floarea soarelui, un con al unei plante de conifere și altele asemenea. Dacă ne uităm mai departe, vom vedea șirul Fibonacci în galaxii infinite. Chiar și o persoană, inspirată din natură și adoptând formele acesteia, creează obiecte în care pot fi urmărite seria sus-menționată. Este timpul să ne amintim de Secțiunea de Aur. Alături de modelul Fibonacci, sunt urmărite principiile acestei teorii. Există o versiune conform căreia succesiunea Fibonacci este un fel de test al naturii pentru a se adapta la secvența logaritmică mai perfectă și mai fundamentală a raportului de aur, care este aproape identică, dar nu are început și este infinită. Tiparul naturii este de așa natură încât trebuie să aibă propriul punct de plecare, de la care să construiască pentru a crea ceva nou. Raportul dintre primele elemente ale seriei Fibonacci este departe de principiile raportului de aur. Cu toate acestea, cu cât o continuăm mai departe, cu atât această discrepanță este netezită. Pentru a determina o secvență, trebuie să cunoașteți cele trei elemente ale acesteia care se succed. Pentru secvența de aur, două sunt suficiente. Deoarece este atât o progresie aritmetică, cât și o progresie geometrică.

Concluzie

Totuși, pe baza celor de mai sus, se pot pune întrebări destul de logice: "De unde au venit aceste numere? Cine este acest autor al dispozitivului întregii lumi care a încercat să-l facă ideal? Totul a fost întotdeauna așa cum și-a dorit el? Dacă da , de ce a avut loc eșecul? Ce se va întâmpla în continuare?" Găsind răspunsul la o întrebare, obțineți următoarea. Rezolvați - mai apar două. Dacă le rezolvi, primești încă trei. După ce te-ai ocupat de ele, vei primi cinci nerezolvate. Apoi opt, apoi treisprezece, douăzeci și unu, treizeci și patru, cincizeci și cinci...

Numerele Fibonacci sunt elemente ale unei secvențe numerice.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, în care fiecare număr următor este egal cu suma celor două numere anterioare. Numele este numit după matematicianul medieval Leonardo din Pisa (sau Fibonacci), care a trăit și a lucrat ca comerciant și matematician în orașul italian Pisa. Este unul dintre cei mai celebri oameni de știință europeni ai timpului său. Printre cele mai mari realizări ale sale este introducerea cifrelor arabe pentru a înlocui cifrele romane. Fn=Fn-1+Fn-2

Seria matematică asimptotic (adică se apropie din ce în ce mai încet) tinde spre un raport constant. Cu toate acestea, această atitudine este irațională; are o secvență nesfârșită, imprevizibilă de valori zecimale aliniate după ea. Nu poate fi niciodată exprimat exact. Dacă fiecare număr care face parte din serie este împărțit la valoarea anterioară (de exemplu, 13-^8 sau 21-FROM), rezultatul acțiunii este exprimat într-un raport care fluctuează în jurul numărului irațional 1,61803398875, puțin mai mult sau ceva mai mici decât rapoartele învecinate ale seriei. Raportul nu va fi niciodată, la infinit, exact până la ultima cifră (chiar și cu cele mai puternice computere construite în timpul nostru). De dragul conciziei, vom folosi numărul 1,618 ca raport Fibonacci și vom cere cititorilor să nu uite de această eroare.

Numerele Fibonacci sunt de asemenea importante atunci când se efectuează analize.Algoritmul lui Euclid pentru determinarea celui mai mare divizor comun a două numere. Numerele Fibonacci provin din formula diagonală a triunghiului lui Pascal (coeficienți binomiali).

Numerele Fibonacci au fost legate de raportul de aur.

Raportul de aur era cunoscut în Egiptul antic și Babilon, în India și China. Ce este „secțiunea de aur”? Răspunsul este încă necunoscut. Numerele Fibonacci sunt cu adevărat relevante pentru teoria practicii din timpul nostru. Creșterea în importanță a avut loc în secolul al XX-lea și continuă până în zilele noastre. Utilizarea numerelor Fibonacci în economie și informatică a atras mase de oameni la studiul lor.

Metodologia cercetării mele a constat în studierea literaturii de specialitate și rezumarea informațiilor primite, precum și în efectuarea propriei cercetări și identificarea proprietăților numerelor și a domeniului de utilizare a acestora.

În cursul cercetărilor științifice, ea a determinat însuși conceptul numerelor Fibonacci, proprietățile lor. Am aflat și modele interesante în fauna sălbatică, direct în structura semințelor de floarea soarelui.

Pe o floarea soarelui, semințele se aliniază în spirale, iar numărul de spirale care merg în cealaltă direcție este diferit - sunt numere Fibonacci consecutive.

Această floarea-soarelui are 34 și 55.

Același lucru se observă și pe fructele de ananas, unde există spirale 8 și 14. Frunzele de porumb sunt asociate cu proprietatea unică a numerelor Fibonacci.

Fracțiile de forma a/b, corespunzătoare aranjamentului elicoidal al frunzelor picioarelor tulpinii unei plante, sunt adesea rapoarte ale numerelor Fibonacci succesive. Pentru alun acest raport este de 2/3, pentru stejar 3/5, pentru plop 5/8, pentru salcie 8/13 etc.

Având în vedere dispunerea frunzelor pe tulpina plantelor, se poate observa că între fiecare pereche de frunze (A și C) a treia este situată în locul secțiunii de aur (B)

O altă proprietate interesantă a numărului Fibonacci este că produsul și coeficientul oricăror două numere Fibonacci diferite, altele decât unul, nu este niciodată un număr Fibonacci.

În urma cercetărilor, am ajuns la următoarele concluzii: numerele Fibonacci sunt o progresie aritmetică unică care a apărut în secolul al XIII-lea d.Hr. Această progresie nu își pierde relevanța, ceea ce a fost confirmat în cursul cercetării mele. Numărul Fibonacci se găsește și în programare și previziuni economice, în pictură, arhitectură și muzică. Picturile unor artiști celebri precum Leonardo da Vinci, Michelangelo, Rafael și Botticelli ascund magia raportului de aur. Chiar și I. I. Shishkin a folosit proporția de aur în pictura sa „Pine Grove”.

E greu de crezut, dar raportul de aur se regăsește și în lucrările muzicale ale unor compozitori atât de mari precum Mozart, Beethoven, Chopin etc.

Numerele Fibonacci se găsesc și în arhitectură. De exemplu, raportul de aur a fost folosit la construcția Parthenonului și a Catedralei Notre Dame.

Am descoperit că numerele Fibonacci sunt folosite și în zona noastră. De exemplu, platforme de case, frontoane.

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

Introducere

SCOPUL CEL MAI ÎNALT AL MATEMATICII ESTE GĂSIREA ORDINEI ASCUNSĂ ÎN HAOSUL CARE NE ÎNCONJEURE.

Viner N.

O persoană se străduiește pentru cunoaștere toată viața, încearcă să studieze lumea din jurul său. Și în procesul de observație, el are întrebări la care trebuie să li se răspundă. Se găsesc răspunsuri, dar apar întrebări noi. În descoperirile arheologice, în urmele civilizației, îndepărtate unele de altele în timp și spațiu, se găsește unul și același element - un model sub formă de spirală. Unii îl consideră un simbol al soarelui și îl asociază cu legendara Atlantida, dar adevăratul său sens este necunoscut. Ce au în comun formele unei galaxii și ale unui ciclon atmosferic, dispunerea frunzelor pe o tulpină și a semințelor dintr-o floarea soarelui? Aceste modele se reduc la așa-numita spirală „de aur”, uimitoarea secvență Fibonacci, descoperită de marele matematician italian al secolului al XIII-lea.

Istoria numerelor Fibonacci

Pentru prima dată despre ce sunt numerele Fibonacci, am auzit de la un profesor de matematică. Dar, în plus, cum se formează șirul acestor numere, nu știam. Acesta este motivul pentru care această secvență este de fapt faimoasă, cum afectează o persoană și vreau să vă spun. Se știu puține lucruri despre Leonardo Fibonacci. Nu există nici măcar o dată exactă a nașterii sale. Se știe că s-a născut în 1170 în familia unui negustor, în orașul Pisa din Italia. Tatăl lui Fibonacci era adesea în Alger pentru afaceri, iar Leonardo a studiat acolo matematica cu profesori arabi. Ulterior, a scris mai multe lucrări de matematică, dintre care cea mai cunoscută este „Cartea abacului”, care conține aproape toate informațiile aritmetice și algebrice ale vremii. 2

Numerele Fibonacci sunt o secvență de numere care are o serie de proprietăți. Fibonacci a descoperit această secvență numerică întâmplător când încerca să rezolve o problemă practică despre iepuri în 1202. „Cineva a așezat o pereche de iepuri într-un anumit loc, închis pe toate părțile de un perete, pentru a afla câte perechi de iepuri se vor naște în cursul anului, dacă natura iepurilor este de așa natură încât într-o lună o pereche. de iepuri naste o alta pereche, iar iepurii nasc din a doua luni dupa nastere. La rezolvarea problemei, a ținut cont de faptul că fiecare pereche de iepuri mai dă naștere a încă două perechi în timpul vieții, iar apoi moare. Așa a apărut șirul numerelor: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... În această succesiune, fiecare număr următor este egal cu suma celor două anterioare. Se numește șirul lui Fibonacci. Proprietățile matematice ale unei secvențe

Am vrut să explorez această secvență și am identificat câteva dintre proprietățile ei. Această regulă este de mare importanță. Secvența se apropie încet de un raport constant de aproximativ 1,618, iar raportul oricărui număr la următorul este de aproximativ 0,618.

Se pot observa o serie de proprietăți curioase ale numerelor Fibonacci: două numere învecinate sunt coprime; fiecare al treilea număr este par; fiecare cincisprezece se termină cu zero; fiecare al patrulea este multiplu de trei. Dacă alegeți oricare 10 numere învecinate din șirul lui Fibonacci și le adunați împreună, veți obține întotdeauna un număr care este un multiplu al lui 11. Dar asta nu este tot. Fiecare sumă este egală cu numărul 11 ​​înmulțit cu al șaptelea membru al secvenței date. Și iată o altă caracteristică interesantă. Pentru orice n, suma primilor n membri ai secvenței va fi întotdeauna egală cu diferența dintre (n + 2) --lea și primul membru al șirului. Acest fapt poate fi exprimat prin formula: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Acum avem următorul truc: să găsim suma tuturor termenilor

succesiune între doi membri dați, este suficient să găsiți diferența dintre membrii (n+2)-x corespondente. De exemplu, un 26 + ... + un 40 \u003d un 42 - un 27. Acum să căutăm o legătură între Fibonacci, Pitagora și „secțiunea de aur”. Cea mai faimoasă dovadă a geniului matematic al omenirii este teorema lui Pitagora: în orice triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor sale: c 2 \u003d b 2 + a 2. Din punct de vedere geometric, putem considera toate laturile unui triunghi dreptunghic ca laturile a trei pătrate construite pe ele. Teorema lui Pitagora spune că aria totală a pătratelor construite pe catetele unui triunghi dreptunghic este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză. Dacă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt numere întregi, atunci ele formează un grup de trei numere numite triple pitagoreene. Folosind șirul lui Fibonacci, puteți găsi astfel de triple. Luați oricare patru numere consecutive din șir, de exemplu, 2, 3, 5 și 8 și construiți încă trei numere după cum urmează: 1) produsul celor două numere extreme: 2*8=16; 2) produsul dublu al cele două numere din mijloc: 2* (3 * 5) \u003d 30; 3) suma pătratelor a două numere medii: 3 2 +5 2 \u003d 34; 34 2 =30 2 +16 2 . Această metodă funcționează pentru oricare patru numere Fibonacci consecutive. În mod previzibil, oricare trei numere consecutive din seria Fibonacci se comportă într-un mod previzibil. Dacă înmulțiți cele două extreme ale acestora și comparați rezultatul cu pătratul numărului mediu, atunci rezultatul va diferi întotdeauna cu unu. De exemplu, pentru numerele 5, 8 și 13 obținem: 5*13=8 2 +1. Dacă luăm în considerare această proprietate din punct de vedere al geometriei, putem observa ceva ciudat. Împărțiți pătratul

dimensiunea 8x8 (în total 64 de pătrate mici) în patru părți, ale căror laturi sunt egale cu numerele Fibonacci. Acum din aceste părți vom construi un dreptunghi care măsoară 5x13. Suprafața sa este de 65 de pătrate mici. De unde vine pătratul în plus? Chestia este că nu se formează un dreptunghi perfect, dar rămân mici goluri, care dau în total această unitate suplimentară de suprafață. Triunghiul lui Pascal are și o legătură cu șirul lui Fibonacci. Trebuie doar să scrieți liniile triunghiului lui Pascal una sub alta și apoi să adăugați elementele în diagonală. Obțineți șirul lui Fibonacci.

Acum luați în considerare un dreptunghi „de aur”, a cărui latură este de 1,618 ori mai lungă decât cealaltă. La prima vedere, ni se poate părea un dreptunghi obișnuit. Totuși, să facem un experiment simplu cu două carduri bancare obișnuite. Să punem unul dintre ele orizontal și celălalt vertical, astfel încât părțile lor inferioare să fie pe aceeași linie. Dacă trasăm o linie diagonală într-o hartă orizontală și o extindem, vom vedea că va trece exact prin colțul din dreapta sus al hărții verticale – o surpriză plăcută. Poate că acesta este un accident, sau poate astfel de dreptunghiuri și alte forme geometrice care folosesc „raportul de aur” sunt deosebit de plăcute ochiului. S-a gândit Leonardo da Vinci la proporția de aur în timp ce lucra la capodopera sa? Acest lucru pare puțin probabil. Cu toate acestea, se poate argumenta că el a acordat o mare importanță conexiunii dintre estetică și matematică.

Numerele Fibonacci în natură

Legătura secțiunii de aur cu frumusețea nu este doar o chestiune de percepție umană. Se pare că natura însăși i-a alocat un rol special lui F. Dacă pătratele sunt introduse succesiv în dreptunghiul „aur”, atunci se trasează un arc în fiecare pătrat, apoi se obține o curbă elegantă, care se numește spirală logaritmică. Nu este deloc o curiozitate matematică. 5

Dimpotrivă, această linie minunată se găsește adesea în lumea fizică: de la coaja unui nautilus până la brațele galaxiilor și în spirala elegantă a petalelor unui trandafir în plină floare. Legăturile dintre raportul de aur și numerele Fibonacci sunt numeroase și neașteptate. Luați în considerare o floare care arată foarte diferit de un trandafir - o floarea soarelui cu semințe. Primul lucru pe care îl vedem este că semințele sunt aranjate în două feluri de spirale: în sensul acelor de ceasornic și în sens invers acelor de ceasornic. Dacă numărăm spiralele în sensul acelor de ceasornic, obținem două numere aparent obișnuite: 21 și 34. Acesta nu este singurul exemplu în care puteți găsi numere Fibonacci în structura plantelor.

Natura ne oferă numeroase exemple de aranjare a obiectelor omogene descrise de numerele Fibonacci. În diferitele aranjamente spiralate ale părților mici ale plantelor, de obicei pot fi văzute două familii de spirale. Într-una dintre aceste familii, spiralele se îndoaie în sensul acelor de ceasornic, iar în cealaltă - în sens invers acelor de ceasornic. Numerele spirale de un tip și altul se dovedesc adesea a fi numere Fibonacci vecine. Deci, luând o crenguță tânără de pin, este ușor de observat că acele formează două spirale, mergând de la stânga jos la dreapta în sus. Pe multe conuri, semințele sunt aranjate în trei spirale, înfășurându-se ușor în jurul tulpinii conului. Ele sunt aranjate în cinci spirale, întorcându-se abrupt în direcția opusă. În conurile mari, se pot observa spiralele 5 și 8 și chiar 8 și 13. Spiralele Fibonacci sunt, de asemenea, clar vizibile pe ananas: de obicei sunt 8 și 13 dintre ele.

Lăstarul de cicoare face o ejecție puternică în spațiu, se oprește, eliberează o frunză, dar deja mai scurtă decât prima, face din nou o ejectare în spațiu, dar cu o forță mai mică, eliberează o frunză și mai mică și ejectează din nou. Impulsurile sale de creștere scad treptat proporțional cu secțiunea „de aur”. Pentru a aprecia rolul imens al numerelor Fibonacci, trebuie doar să priviți frumusețea naturii din jurul nostru. Numerele Fibonacci pot fi găsite în cantitate

ramuri pe tulpina fiecărei plante în creștere și în numărul de petale.

Să numărăm petalele unor flori - irisul cu cele 3 petale ale sale, primula cu 5 petale, ambrozia cu 13 petale, margareta cu 34 petale, asterul cu 55 petale și așa mai departe. Este aceasta o coincidență sau este legea naturii? Uită-te la tulpinile și florile șoricelului. Astfel, secvența totală a lui Fibonacci poate interpreta cu ușurință tiparul de manifestări al numerelor „de aur” găsite în natură. Aceste legi operează indiferent de conștiința noastră și de dorința de a le accepta sau nu. Modelele de simetrie „de aur” se manifestă în tranzițiile energetice ale particulelor elementare, în structura unor compuși chimici, în sistemele planetare și spațiale, în structurile genice ale organismelor vii, în structura organelor umane individuale și a corpului ca un întreg și, de asemenea, se manifestă în bioritmuri și funcționarea creierului și percepția vizuală.

Numerele Fibonacci în arhitectură

Raportul de Aur se manifestă și în multe creații arhitecturale remarcabile de-a lungul istoriei omenirii. Se pare că până și matematicienii antici greci și egipteni cunoșteau acești coeficienți cu mult înainte de Fibonacci și i-au numit „secțiunea de aur”. Principiul „secțiunii de aur” a fost folosit de greci în construcția Partenonului, egiptenii - Marea Piramidă din Giza. Progresele în tehnologia construcțiilor și dezvoltarea de noi materiale au deschis noi posibilități pentru arhitecții secolului al XX-lea. Americanul Frank Lloyd Wright a fost unul dintre principalii susținători ai arhitecturii organice. Cu puțin timp înainte de moartea sa, el a proiectat Muzeul Solomon Guggenheim din New York, care este o spirală inversată, iar interiorul muzeului seamănă cu o coajă de nautilus. Arhitectul polonez-israelian Zvi Hecker a folosit și structuri spiralate în proiectarea școlii Heinz Galinski din Berlin, finalizată în 1995. Hecker a început cu ideea unei floarea soarelui cu un cerc central, de unde

toate elementele arhitecturale diverg. Clădirea este o combinație

spirale ortogonale și concentrice, simbolizând interacțiunea cunoștințelor umane limitate și haosul controlat al naturii. Arhitectura sa imită o plantă care urmărește mișcarea soarelui, astfel încât sălile de clasă sunt iluminate pe tot parcursul zilei.

În Quincy Park, situat în Cambridge, Massachusetts (SUA), spirala „de aur” poate fi găsită adesea. Parcul a fost proiectat în 1997 de artistul David Phillips și este situat lângă Institutul de Matematică Clay. Această instituție este un centru bine-cunoscut de cercetare matematică. În parcul Quincy, te poți plimba printre spiralele „de aur” și curbele metalice, reliefuri a două scoici și o stâncă cu simbolul rădăcinii pătrate. Pe farfurie sunt scrise informații despre proporția „de aur”. Chiar și parcarea pentru biciclete folosește simbolul F.

Numerele Fibonacci în psihologie

În psihologie, există momente de cotitură, crize, răsturnări de situație care marchează transformarea structurii și funcțiilor sufletului pe calea vieții unei persoane. Dacă o persoană a depășit cu succes aceste crize, atunci el devine capabil să rezolve problemele unei noi clase, la care nici măcar nu se gândise înainte.

Prezența schimbărilor fundamentale dă motive să considerăm timpul vieții ca un factor decisiv în dezvoltarea calităților spirituale. La urma urmei, natura măsoară timpul pentru noi nu cu generozitate, „oricât va fi, atât va fi”, ci doar suficient pentru ca procesul de dezvoltare să se materializeze:

în structurile corpului;

în sentimente, gândire și psihomotorie – până când acestea dobândesc armonie necesare apariţiei şi lansării mecanismului

creativitate;

în structura potenţialului energetic uman.

Dezvoltarea corpului nu poate fi oprită: copilul devine adult. Cu mecanismul creativității, totul nu este atât de simplu. Dezvoltarea sa poate fi oprită și direcția sa schimbată.

Există vreo șansă de a ajunge din urmă cu timpul? Fara indoiala. Dar pentru asta trebuie să lucrezi mult pe tine. Ceea ce se dezvoltă liber, în mod natural, nu necesită eforturi deosebite: copilul se dezvoltă liber și nu observă această muncă enormă, deoarece procesul de dezvoltare liberă este creat fără violență împotriva sa.

Cum este înțeles sensul căii vieții în conștiința de zi cu zi? Locuitorul o vede așa: la picioare - nașterea, în vârf - floarea vieții și apoi - totul coboară.

Înțeleptul va spune: totul este mult mai complicat. El împarte ascensiunea în etape: copilărie, adolescență, tinerețe... De ce? Puțini oameni sunt capabili să răspundă, deși toată lumea este sigură că acestea sunt etape închise, integrale ale vieții.

Pentru a afla cum se dezvoltă mecanismul creativității, V.V. Klimenko a folosit matematica, și anume legile numerelor Fibonacci și proporția „secțiunii de aur” - legile naturii și ale vieții umane.

Numerele Fibonacci ne împart viața în etape în funcție de numărul de ani trăiți: 0 - începutul numărătorii inverse - copilul s-a născut. Încă îi lipsesc nu doar psihomotricitatea, gândirea, sentimentele, imaginația, ci și potențialul energetic operațional. El este începutul unei noi vieți, al unei noi armonii;

1 - copilul a stăpânit mersul și stăpânește mediul imediat;

2 - înțelege vorbirea și acționează folosind instrucțiuni verbale;

3 - acţionează prin cuvânt, pune întrebări;

5 - „vârsta grației” - armonia psihomotoriei, memoriei, imaginației și sentimentelor, care permit deja copilului să îmbrățișeze lumea în toată integritatea ei;

8 - sentimentele vin în prim-plan. Imaginația le servește, iar gândirea, prin forțele criticității sale, are drept scop susținerea armoniei interioare și externe a vieții;

13 - începe să funcționeze mecanismul talentului, care urmărește transformarea materialului dobândit în procesul de moștenire, dezvoltarea talentului propriu;

21 - mecanismul creativității s-a apropiat de o stare de armonie și se încearcă realizarea unei munci talentate;

34 - armonie de gândire, sentimente, imaginație și psihomotorie: se naște capacitatea de a lucra strălucit;

55 - la această vârstă, supusă armoniei păstrate a sufletului și a trupului, o persoană este gata să devină un creator. etc…

Ce sunt serif-urile Fibonacci? Ele pot fi comparate cu baraje pe calea vieții. Aceste baraje ne așteaptă pe fiecare dintre noi. În primul rând, este necesar să depășești fiecare dintre ele, iar apoi să-ți ridici cu răbdare nivelul de dezvoltare, până când într-o zi se destramă, deschizând calea către următorul flux liber.

Acum că înțelegem semnificația acestor puncte nodale ale dezvoltării vârstei, să încercăm să descifrăm cum se întâmplă totul.

La 1 an copilul învață să meargă. Înainte de asta, cunoștea lumea din față. Acum cunoaște lumea cu mâinile sale - privilegiul exclusiv al omului. Animalul se mișcă în spațiu, iar el, cunoscând, stăpânește spațiul și stăpânește teritoriul pe care trăiește.

2 aniînțelege cuvântul și acționează în conformitate cu el. Înseamnă că:

copilul învață numărul minim de cuvinte - semnificații și modele de acțiune;

totuși nu se separă de mediu și se contopește în integritate cu mediul,

Prin urmare, el acționează după instrucțiunile altcuiva. La această vârstă, el este cel mai ascultător și mai plăcut pentru părinți. Dintr-un om al simțurilor, copilul se transformă într-un om al cunoașterii.

3 ani- acţiune cu ajutorul propriului cuvânt. Separarea acestei persoane de mediu a avut deja loc - și el învață să fie o persoană care acționează independent. Prin urmare el:

se opune în mod conștient mediului și părinților, profesorilor de grădiniță etc.;

este conștient de suveranitatea sa și luptă pentru independență;

încearcă să subjugă voinței sale persoane apropiate și cunoscute.

Acum, pentru un copil, un cuvânt este o acțiune. Aici începe persoana care acționează.

5 ani- Age of Grace. El este personificarea armoniei. Jocuri, dansuri, mișcări dibace - totul este saturat de armonie, pe care o persoană încearcă să o stăpânească cu propriile forțe. Psihomotorie armonioasă contribuie la aducerea la o stare nouă. Prin urmare, copilul este îndreptat către activitatea psihomotorie și se străduiește pentru cele mai active acțiuni.

Materializarea produselor muncii de sensibilitate se realizează prin:

capacitatea de a arăta mediul și pe noi înșine ca parte a acestei lumi (auzim, vedem, atingem, mirosim etc. - toate organele de simț lucrează pentru acest proces);

capacitatea de a proiecta lumea exterioară, inclusiv pe tine însuți

(crearea unei a doua naturi, ipoteze - a face amândouă mâine, a construi o nouă mașină, a rezolva o problemă), prin forțele gândirii critice, ale sentimentelor și ale imaginației;

capacitatea de a crea o a doua natură, creată de om, produse ale activității (implementarea planului, acțiuni mentale sau psihomotorii specifice cu obiecte și procese specifice).

După 5 ani, mecanismul imaginației iese în față și începe să domine pe restul. Copilul face o treabă gigantică, creând imagini fantastice și trăiește în lumea basmelor și a miturilor. Hipertrofia imaginației copilului provoacă surprindere la adulți, deoarece imaginația nu corespunde în niciun fel realității.

8 ani- sentimentele ies în prim-plan și propriile măsurători ale sentimentelor (cognitive, morale, estetice) apar atunci când copilul în mod inconfundabil:

evaluează cunoscutul și necunoscutul;

distinge moralul de imoral, moralul de imoral;

frumusețea din ceea ce amenință viața, armonia din haos.

13 ani- mecanismul creativității începe să funcționeze. Dar asta nu înseamnă că funcționează la capacitate maximă. Unul dintre elementele mecanismului iese în prim-plan, iar toate celelalte contribuie la funcționarea acestuia. Dacă chiar și în această perioadă de dezvoltare se păstrează armonia, care aproape tot timpul își reconstruiește structura, atunci copilul va ajunge fără durere la următorul baraj, îl va depăși imperceptibil și va trăi la vârsta unui revoluționar. La vârsta unui revoluționar, tineretul trebuie să facă un nou pas înainte: să se separe de societatea cea mai apropiată și să trăiască în ea o viață și o activitate armonioasă. Nu toată lumea poate rezolva această problemă care se pune în fața fiecăruia dintre noi.

în vârstă de 21 de ani Dacă un revoluționar a depășit cu succes primul vârf armonios al vieții, atunci mecanismul său de talent este capabil să împlinească un talentat.

muncă. Sentimentele (cognitive, morale sau estetice) eclipsează uneori gândirea, dar, în general, toate elementele lucrează în armonie: sentimentele sunt deschise către lume, iar gândirea logică este capabilă să numească și să găsească măsuri ale lucrurilor din acest vârf.

Mecanismul creativității, dezvoltându-se normal, ajunge într-o stare care îi permite să primească anumite fructe. El începe să lucreze. La această vârstă, mecanismul sentimentelor apare. Pe măsură ce imaginația și produsele sale sunt evaluate de sentimente și gândire, între ele apare antagonismul. Sentimentele înving. Această abilitate capătă treptat putere, iar băiatul începe să o folosească.

34 de ani- echilibru si armonie, eficienta productiva a talentului. Armonie de gândire, sentimente și imaginație, abilități psihomotorii, care este completată cu potențial energetic optim și mecanismul în ansamblu - se naște o oportunitate de a efectua o muncă genială.

55 de ani- o persoană poate deveni un creator. Al treilea vârf armonios al vieții: gândirea supune puterea sentimentelor.

Numerele Fibonacci numesc etapele dezvoltării umane. Dacă o persoană trece pe această cale fără oprire, depinde de părinți și profesori, de sistemul educațional și apoi de el însuși și de modul în care o persoană va învăța și se va depăși.

Pe calea vieții, o persoană descoperă 7 obiecte ale relațiilor:

De la ziua de nastere la 2 ani - descoperirea lumii fizice si obiective a mediului imediat.

De la 2 la 3 ani - descoperirea de sine: „Eu sunt Eu Însumi”.

De la 3 la 5 ani - vorbire, lumea eficientă a cuvintelor, armonie și sistemul „Eu – Tu”.

De la 5 la 8 ani - descoperirea lumii a gândurilor, sentimentelor și imaginilor altora - sistemul „Eu – Noi”.

De la 8 la 13 ani - descoperirea lumii sarcinilor și problemelor rezolvate de geniile și talentele omenirii - sistemul „Eu – Spiritualitate”.

De la 13 la 21 de ani - descoperirea capacității de a rezolva în mod independent sarcini binecunoscute, atunci când gândurile, sentimentele și imaginația încep să funcționeze activ, apare sistemul „I - Noosferă”.

De la 21 la 34 de ani - descoperirea capacității de a crea o lume nouă sau fragmentele ei - realizarea conceptului de sine „Eu sunt Creatorul”.

Calea vieții are o structură spațiu-timp. Constă din vârstă și faze individuale, determinate de mulți parametri ai vieții. O persoană stăpânește într-o anumită măsură circumstanțele vieții sale, devine creatorul istoriei sale și creatorul istoriei societății. O atitudine cu adevărat creativă față de viață, însă, nu apare imediat și nici măcar în fiecare persoană. Există legături genetice între fazele căii vieții, iar acest lucru determină caracterul său natural. Rezultă că, în principiu, este posibil să se prezică dezvoltarea viitoare pe baza cunoașterii fazelor sale incipiente.

Numerele Fibonacci în astronomie

Din istoria astronomiei se știe că I. Titius, un astronom german al secolului al XVIII-lea, folosind seria Fibonacci, a găsit regularitate și ordine în distanțele dintre planetele sistemului solar. Dar un caz părea să fie împotriva legii: nu exista nicio planetă între Marte și Jupiter. Dar după moartea lui Titius la începutul secolului al XIX-lea. observarea concentrată a acestei părți a cerului a dus la descoperirea centurii de asteroizi.

Concluzie

În procesul de cercetare, am aflat că numerele Fibonacci sunt utilizate pe scară largă în analiza tehnică a prețurilor acțiunilor. Una dintre cele mai simple moduri de a folosi numerele Fibonacci în practică este de a determina durata de timp după care va avea loc un eveniment, de exemplu, o schimbare a prețului. Analistul numără un anumit număr de zile sau săptămâni Fibonacci (13,21,34,55 etc.) de la evenimentul similar anterior și face o prognoză. Dar asta îmi este prea greu să-mi dau seama. Deși Fibonacci a fost cel mai mare matematician al Evului Mediu, singurele monumente ale lui Fibonacci sunt statuia din fața Turnului Înclinat din Pisa și două străzi care îi poartă numele, una din Pisa și cealaltă din Florența. Și totuși, în legătură cu tot ce am văzut și citit, apar întrebări destul de firești. De unde au venit aceste cifre? Cine este acest arhitect al universului care a încercat să-l facă perfect? Ce va urma? Găsind răspunsul la o întrebare, obțineți următoarea. Dacă o rezolvi, primești două noi. Tratează-te cu ei, vor apărea încă trei. După ce le-ai rezolvat, vei dobândi cinci nerezolvate. Apoi opt, treisprezece și așa mai departe. Nu uitați că există cinci degete pe două mâini, dintre care două constau din două falange și opt din care trei constau în trei.

Literatură:

Voloshinov A.V. „Matematică și artă”, M., Iluminismul, 1992

Vorobyov N.N. „Numerele Fibonacci”, M., Nauka, 1984

Stahov A.P. „Codul lui Da Vinci și seria Fibonacci”, Peter Format, 2006

F. Corvalan „Rația de aur. Limbajul matematic al frumosului”, M., De Agostini, 2014

Maksimenko S.D. „Perioadele sensibile ale vieții și codurile lor”.

„Numerele Fibonacci”. Wikipedia