Rezolvarea problemelor aplicate se reduce la calculul integralei, dar nu este întotdeauna posibil să se facă acest lucru cu precizie. Uneori este necesar să se cunoască valoarea unei integrale definite cu un anumit grad de precizie, de exemplu, la o miime.

Există sarcini când ar fi necesar să se găsească valoarea aproximativă a unei anumite integrale cu precizia necesară, apoi se utilizează integrarea numerică precum metoda Simposin, trapeze, dreptunghiuri. Nu toate cazurile ne permit să o calculăm cu o anumită precizie.

Acest articol are în vedere aplicarea formulei Newton-Leibniz. Acest lucru este necesar pentru calculul exact al integralei definite. Se vor da exemple detaliate, se va lua în considerare modificarea variabilei în integrala definită și vom găsi valorile integralei determinate la integrarea pe părți.

formula Newton-Leibniz

Definiția 1

Când funcţia y = y (x) este continuă din segmentul [ a ; b ], iar F (x) este una dintre antiderivatele funcției acestui segment, atunci formula Newton-Leibniz considerat corect. Să o scriem astfel ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Această formulă este luată în considerare formula de bază a calculului integral.

Pentru a demonstra această formulă, este necesar să folosim conceptul de integrală cu limita superioară variabilă disponibilă.

Când funcţia y = f (x) este continuă din segmentul [ a ; b ] , atunci valoarea argumentului x ∈ a ; b , iar integrala are forma ∫ a x f (t) d t și este considerată o funcție a limitei superioare. Este necesar să se accepte notația funcției va lua forma ∫ axf (t) dt = Φ (x) , este continuă, iar inegalitatea formei ∫ axf (t) dt " = Φ " (x) = f (x) este valabil pentru aceasta.

Fixăm că incrementul funcției Φ (x) corespunde cu incrementul argumentului ∆ x , este necesar să folosim a cincea proprietate principală a unei integrale definite și să obținem

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

unde valoarea c ∈ x ; x + ∆x .

Fixăm egalitatea sub forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Prin definiția derivatei unei funcții, este necesar să trecem la limită ca ∆ x → 0, atunci obținem o formulă de forma situată pe [ a ; b ] În caz contrar, expresia se poate scrie

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , unde valoarea lui C este constantă.

Să calculăm F (a) folosind prima proprietate a integralei definite. Atunci obținem asta

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , deci C = F (a) . Rezultatul este aplicabil la calcularea F (b) și obținem:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a) , cu alte cuvinte, F (b) = ∫ abf (t) dt + F (a). Egalitatea demonstrează formula Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Creșterea funcției este luată ca F x a b = F (b) - F (a) . Cu ajutorul notației, formula Newton-Leibniz devine ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Pentru aplicarea formulei este necesar să se cunoască una dintre antiderivatele y = F (x) ale integrandului y = f (x) din segmentul [ a ; b ] , se calculează incrementul antiderivatei din acest segment. Luați în considerare câteva exemple de calcule folosind formula Newton-Leibniz.

Exemplul 1

Calculați integrala definită ∫ 1 3 x 2 d x folosind formula Newton-Leibniz.

Soluţie

Se consideră că integrandul de forma y = x 2 este continuu din intervalul [ 1 ; 3 ] , atunci și este integrabil pe acest interval. Conform tabelului de integrale nedefinite, vedem că funcția y \u003d x 2 are un set de antiderivate pentru toate valorile reale ale x, ceea ce înseamnă că x ∈ 1; 3 se va scrie ca F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Este necesar să luăm antiderivată cu C \u003d 0, apoi obținem că F (x) \u003d x 3 3.

Să folosim formula Newton-Leibniz și să obținem că calculul integralei definite va lua forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Răspuns:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Exemplul 2

Calculați integrala definită ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x folosind formula Newton-Leibniz.

Soluţie

Funcția dată este continuă din segmentul [-1; 2 ], ceea ce înseamnă că este integrabil pe ea. Este necesar să găsim valoarea integralei nedefinite ∫ x ex 2 + 1 dx folosind metoda însumării sub semnul diferențial, atunci obținem ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 ex 2+1+C.

Avem deci o mulţime de antiderivate ale funcţiei y = x · e x 2 + 1 , care sunt valabile pentru toate x , x ∈ - 1 ; 2.

Este necesar să se ia antiderivată la C = 0 și să se aplice formula Newton-Leibniz. Apoi obținem o expresie a formei

∫ - 1 2 x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Răspuns:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Exemplul 3

Calculați integralele ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x și ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Soluţie

Segment - 4; - 1 2 spune că funcția sub semnul integral este continuă, ceea ce înseamnă că este integrabilă. De aici găsim mulțimea de antiderivate ale funcției y = 4 x 3 + 2 x 2 . Înțelegem asta

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Este necesar să luăm antiderivată F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, apoi, aplicând formula Newton-Leibniz, obținem integrala, pe care o calculăm:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Facem trecerea la calculul integralei a doua.

Din segmentul [ - 1 ; 1 ] avem că integrandul este considerat nemărginit, deoarece lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , de aici rezultă că o condiție necesară pentru integrabilitatea din segment. Atunci F (x) = 2 x 2 - 2 x nu este o antiderivată pentru y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1 ] , întrucât punctul O aparține segmentului, dar nu este inclus în domeniul definiției. Aceasta înseamnă că există o integrală definită a lui Riemann și Newton-Leibniz pentru funcția y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; unu ] .

Răspuns: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, există o integrală definită a lui Riemann şi Newton-Leibniz pentru funcţia y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; unu ] .

Înainte de a utiliza formula Newton-Leibniz, trebuie să știți exact despre existența unei integrale definite.

Modificarea variabilei într-o integrală definită

Când funcţia y = f (x) este definită şi continuă din segmentul [ a ; b ] , apoi multimea existenta [ a ; b ] este considerat a fi intervalul funcției x = g (z) definit pe intervalul α ; β cu derivata continuă existentă, unde g (α) = a și g β = b , deci obținem că ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Această formulă este folosită atunci când este necesar să se calculeze integrala ∫ a b f (x) d x , unde integrala nedefinită are forma ∫ f (x) d x , se calculează folosind metoda substituției.

Exemplul 4

Calculați o integrală definită de forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Integrandul este considerat continuu pe intervalul de integrare, ceea ce înseamnă că integrala definită există. Să dăm notația că 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Valoarea x \u003d 9 înseamnă că z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, iar pentru x \u003d 18 obținem z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 \α, apoi g 3 \α u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Înlocuind valorile obținute în formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, obținem că

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 z 3 2 2 + 9 dz

Conform tabelului de integrale nedefinite, avem că una dintre antiderivatele funcției 2 z 2 + 9 ia valoarea 2 3 a r c t g z 3 . Apoi, aplicând formula Newton-Leibniz, obținem că

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 π 1 = - 2 π 1 π 1 = - 2 π 1 π1 = - 2 π 1 π 1

Constatarea ar putea fi făcută fără a folosi formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Dacă metoda înlocuirii folosește o integrală de forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x , atunci putem ajunge la rezultatul ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

De aici vom efectua calcule folosind formula Newton-Leibniz și vom calcula integrala definită. Înțelegem asta

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctg 2 18 - 9 3 - arctg 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctg 3 - arctg 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Rezultatele s-au potrivit.

Răspuns: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrarea pe părți în calculul unei integrale definite

Dacă pe segmentul [ a ; b ] funcțiile u (x) și v (x) sunt definite și continue, atunci derivatele lor de ordinul întâi v " (x) u (x) sunt integrabile, deci din acest interval pentru funcția integrabilă u " (x) v ( x) egalitatea ∫ abv " (x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu " (x) v (x) dx este adevărată.

Formula poate fi folosită atunci, este necesar să se calculeze integrala ∫ a b f (x) d x , iar ∫ f (x) d x a fost necesar să o găsim folosind integrarea pe părți.

Exemplul 5

Calculați integrala definită ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Soluţie

Funcția x sin x 3 + π 6 este integrabilă pe segmentul - π 2; 3 π 2 , deci este continuă.

Fie u (x) \u003d x, apoi d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx și d (u (x)) \u003d u "(x) dx \u003d dx și v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Din formula ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x obținem că

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Rezolvarea exemplului se poate face în alt mod.

Găsiți setul de antiderivate ale funcției x sin x 3 + π 6 folosind integrarea prin părți folosind formula Newton-Leibniz:

∫ x sin xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = sin x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Răspuns: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Textul lucrării este plasat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de locuri de muncă” în format PDF

"Și eu, binomul lui Newton!»

de la Maestrul si Margareta

„Triunghiul lui Pascal este atât de simplu încât chiar și un copil de zece ani îl poate scrie. În același timp, ascunde comori inepuizabile și leagă între ele diverse aspecte ale matematicii care la prima vedere nu au nimic în comun între ele. Astfel de proprietăți neobișnuite ne permit să considerăm triunghiul lui Pascal una dintre cele mai elegante scheme din întreaga matematică.

Martin Gardner.

Obiectiv: generalizează formulele de înmulțire prescurtată, arată aplicarea lor la rezolvarea problemelor.

Sarcini:

1) studiază și sistematizează informațiile despre această problemă;

2) analizați exemple de probleme pentru utilizarea binomului lui Newton și a formulelor pentru suma și diferența de grade.

Obiecte de cercetare: Binomul lui Newton, formule pentru suma și diferența de grade.

Metode de cercetare:

Lucrul cu literatură educațională și populară, resurse de pe Internet.

Calcule, comparație, analiză, analogie.

Relevanţă. O persoană trebuie adesea să se confrunte cu probleme în care este necesar să se numere numărul tuturor modalităților posibile de aranjare a unor obiecte sau numărul tuturor modalităților posibile de a efectua o acțiune. Diferite căi sau opțiuni pe care o persoană trebuie să le aleagă se adaugă la o mare varietate de combinații. Și o întreagă ramură a matematicii, numită combinatorică, este ocupată să caute răspunsuri la întrebările: câte combinații există într-unul sau altul.

Reprezentanții multor specialități au de-a face cu cantități combinatorii: om de știință-chimist, biolog, designer, dispecer etc. Interesul tot mai mare pentru combinatorică în ultimii ani se datorează dezvoltării rapide a ciberneticii și tehnologiei informatice.

Introducere

Când vor să sublinieze că interlocutorul exagerează complexitatea sarcinilor cu care s-a confruntat, ei spun: „Am nevoie și de binomul lui Newton!” Spune, iată binomul lui Newton, e greu, dar ce probleme ai! Chiar și acei oameni ale căror interese nu au nimic de-a face cu matematica au auzit despre binomul lui Newton.

Cuvântul „binom” înseamnă un binom, adică. suma a doi termeni. Din cursul școlar se cunosc așa-numitele formule de înmulțire prescurtate:

( dar+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

O generalizare a acestor formule este o formulă numită formulă binomială a lui Newton. Formulele de factorizare a diferenței de pătrate, suma și diferența de cuburi sunt și ele folosite la școală. Au o generalizare pentru alte grade? Da, există astfel de formule, ele sunt adesea folosite în rezolvarea diferitelor probleme: dovedirea divizibilității, reducerea fracțiilor, calcule aproximative.

Studiul formulelor de generalizare dezvoltă gândirea deductiv-matematică și abilitățile mentale generale.

SECȚIUNEA 1. FORMULA BINOMIALĂ A LUI NEWTON

Combinații și proprietățile lor

Fie X o mulțime formată din n elemente. Orice submulțime Y a mulțimii X care conține k elemente se numește o combinație de k elemente din n , și k ≤ n .

Numărul de combinații diferite de k elemente din n se notează C n k . Una dintre cele mai importante formule ale combinatoriei este următoarea formulă pentru numărul C n k:

Poate fi scris după abrevieri evidente, după cum urmează:

În special,

Acest lucru este destul de în concordanță cu faptul că în mulțimea X există doar un submult de 0 elemente - submulțimea goală.

Numerele C n k au o serie de proprietăți remarcabile.

Formula С n k = С n - k n este valabilă, (3)

Semnificația formulei (3) este că există o corespondență unu-la-unu între mulțimea tuturor submulților k-membri din X și mulțimea tuturor submulților (n - k)-membri din X: pentru a stabili această corespondență, este suficient ca fiecare submulțime k-membri a lui Y să se potrivească cu complementul său din mulțimea X.

Formula С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n este valabilă (4)

Suma din partea stângă exprimă numărul tuturor submulților ale mulțimii X (C 0 n este numărul de submulțimi cu 0 membri, C 1 n este numărul de submulțimi cu un singur membru etc.).

Pentru orice k, 1≤ k≤ n , egalitatea

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Această egalitate este ușor de obținut folosind formula (1). Într-adevăr,

1.2. Derivarea formulei binomiale a lui Newton

Luați în considerare puterile binomului un +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(a +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(a +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(a +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n=5(a +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Rețineți următoarele regularități:

Numărul de termeni ai polinomului rezultat este cu unul mai mare decât exponentul binomului;

Exponentul primului termen scade de la n la 0, exponentul celui de-al doilea termen crește de la 0 la n;

Gradele tuturor monomiilor sunt egale cu gradele binomului din condiție;

Fiecare monom este produsul primei și celei de-a doua expresii în diferite puteri și un anumit număr - coeficientul binom;

Coeficienții binomi echidistanți de la începutul și sfârșitul expansiunii sunt egali.

O generalizare a acestor formule este următoarea formulă, numită formulă binomială a lui Newton:

(A + b ) n = C 0 n A n b 0 + C 1 n A n -1 b + C 2 n A n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n A 0 b n . (6)

În această formulă n poate fi orice număr natural.

Obținem formula (6). În primul rând, să scriem:

(A + b ) n = (A + b )(A + b ) ... (A + b ), (7)

unde numărul de paranteze care trebuie înmulțit este n. Din regula uzuală de înmulțire a unei sume cu o sumă, rezultă că expresia (7) este egală cu suma tuturor produselor posibile, care poate fi compusă astfel: orice termen din prima dintre sume a + bînmulțit cu orice termen al celei de-a doua sume a+b, pe orice termen al sumei a treia etc.

Din cele spuse, reiese clar că termenul din expresia pentru (A + b ) n potrivește (unu-la-unu) șiruri de lungime n, compuse din litere a și b. Printre termeni vor exista termeni similari; este evident că astfel de membri corespund șirurilor care conțin același număr de litere dar. Dar numărul de linii care conțin exact k ori litera dar, este egal cu C n k . Prin urmare, suma tuturor termenilor care conțin litera a cu un factor exact de k ori este egală cu С n k A n - k b k . Deoarece k poate lua valorile 0, 1, 2, ..., n-1, n, formula (6) rezultă din raționamentul nostru. Rețineți că (6) poate fi scris mai scurt: (8)

Deși formula (6) este numită numele lui Newton, în realitate a fost descoperită chiar înainte de Newton (de exemplu, Pascal o știa). Meritul lui Newton constă în faptul că a găsit o generalizare a acestei formule pentru cazul exponenților neîntregi. Era I. Newton în 1664-1665. a derivat o formulă care exprimă gradul binomului pentru exponenți fracționali și negativi arbitrari.

Numerele C 0 n , C 1 n , ..., C n n , incluse în formula (6), se numesc de obicei coeficienți binomiali, care sunt definiți după cum urmează:

Din formula (6) se pot obține o serie de proprietăți ale acestor coeficienți. De exemplu, presupunând dar=1, b = 1, obținem:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

acestea. formula (4). Dacă punem dar= 1, b = -1, atunci vom avea:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

sau С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Aceasta înseamnă că suma coeficienților termenilor pari ai expansiunii este egală cu suma coeficienților termenilor impari ai expansiunii; fiecare dintre ele este egal cu 2 n -1 .

Coeficienții termenilor echidistanți de capetele expansiunii sunt egali. Această proprietate rezultă din relația: С n k = С n n - k

Un caz special interesant

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

sau mai scurt (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Teorema polinomiei

Teorema.

Dovada.

Pentru a obține un monom după deschiderea parantezelor, trebuie să alegeți acele paranteze din care este luat, acele paranteze din care este luat etc. si acele paranteze din care este luata. Coeficientul acestui monom după reducerea termenilor similari este egal cu numărul de moduri în care se poate face o astfel de alegere. Primul pas al secvenței de alegeri se poate face în moduri, al doilea pas - , al treilea - etc., al --lea pas - în moduri. Coeficientul dorit este egal cu produsul

SECȚIUNEA 2. Derivate de ordin superior.

Conceptul de derivate de ordin superior.

Fie ca funcția să fie diferențiabilă într-un anumit interval. Apoi, derivatul său, în general vorbind, depinde de X, adică este o funcție a X. Prin urmare, în ceea ce privește acesta, putem ridica din nou problema existenței unei derivate.

Definiție . Derivata primei derivate se numeste derivată de ordinul doi sau derivată a doua și se notează prin simbolul sau, i.e.

Definiție . Derivata derivatei a doua se numeste derivata de ordinul trei sau derivata a treia si este notata prin simbolul sau.

Definiție . derivatn comanda funcții se numește prima derivată a derivatei (n -1)-al-lea al acestei funcții și este notat cu simbolul sau:

Definiție . Se numesc derivate de ordin mai mare decât prima derivate superioare.

cometariu. În mod similar, se poate obține formula n--a derivata a functiei:

A doua derivată a unei funcții definite parametric

Dacă o funcție este dată parametric prin ecuații, atunci pentru a găsi derivata de ordinul doi, este necesar să se diferențieze expresia derivatei sale ca o funcție complexă a unei variabile independente.

De atunci

si avand in vedere ca,

Înțelegem, adică.

În mod similar, putem găsi derivata a treia.

Diferenţial de sumă, produs şi coeficient.

Întrucât diferența se obține din derivată prin înmulțirea acesteia cu diferența unei variabile independente, atunci, cunoscând derivatele funcțiilor elementare de bază, precum și regulile de găsire a derivatelor, se poate ajunge la reguli similare pentru găsirea diferențialelor.

1 0 . Diferenţialul unei constante este zero.

2 0 . Diferenţialul sumei algebrice a unui număr finit de funcţii diferenţiabile este egală cu suma algebrică a diferenţialelor acestor funcţii .

3 0 . Diferenţialul produsului a două funcţii diferenţiabile este egal cu suma produselor primei funcţii şi diferenţialul celei de-a doua şi celei de-a doua funcţii şi diferenţialul primei funcţii. .

Consecinţă. Factorul constant poate fi scos din semnul diferenţialului.

2.3. Funcții date parametric, diferențierea lor.

Definiție . Se spune că o funcție este definită parametric dacă ambele variabile X Și y sunt definite fiecare separat ca funcții cu o singură valoare ale aceleiași variabile auxiliare - parametrult :

Undet schimbări în interior.

cometariu . Prezentăm ecuațiile parametrice ale unui cerc și ale unei elipse.

a) Cerc centrat la origine și rază r are ecuații parametrice:

b) Să scriem ecuațiile parametrice pentru elipsă:

Prin excluderea parametrului t Din ecuațiile parametrice ale dreptelor luate în considerare, se poate ajunge la ecuațiile lor canonice.

Teorema . Dacă funcţia y din argument x este dat parametric de ecuații, unde și sunt diferențiabile în raport cut funcții și apoi.

2.4. formula Leibniz

Pentru a găsi derivata n De ordinul al treilea al produsului a două funcții, formula Leibniz are o mare importanță practică.

Lasa uȘi v- unele funcţii dintr-o variabilă X având derivate de orice ordin şi y = UV. Expres n-derivata prin derivate de functii uȘi v .

Avem în mod constant

Este ușor de observat analogia dintre expresiile pentru derivatele a doua și a treia și extinderea binomului lui Newton în a doua și, respectiv, a treia putere, dar în locul exponenților există numere care determină ordinea derivatei, precum și funcțiile. ele însele pot fi considerate „derivate de ordin zero”. Având în vedere acest lucru, obținem formula Leibniz:

Această formulă poate fi demonstrată prin inducție matematică.

SECȚIUNEA 3. APLICAREA FORMULEI LEIBNIZ.

Pentru a calcula derivata oricărui ordin din produsul a două funcții, ocolind aplicarea secvențială a formulei de calcul a derivatei produsului a două funcții, folosim formula Leibniz.

Folosind această formulă, luați în considerare exemple de calcul a derivatei a n-a a produsului a două funcții.

Exemplul 1

Găsiți derivata a doua a unei funcții

Prin definiție, a doua derivată este prima derivată a primei derivate, adică.

Prin urmare, găsim mai întâi derivata de ordinul întâi a funcției date conform reguli de diferențiere si folosind tabel de derivate:

Acum găsim derivata derivatei de ordinul întâi. Aceasta va fi derivata de ordinul doi dorită:

Răspuns:

Exemplul 2

Aflați derivata de ordinul al treilea a unei funcții

Soluţie.

Vom găsi secvenţial derivatele primei, a doua, a treia şi aşa mai departe ordine ale funcţiei date pentru a stabili un model care poate fi generalizat la derivata --a.

Găsim derivata de ordinul întâi ca derivată a coeficientului:

Aici expresia se numește factorial unui număr. Factorialul unui număr este egal cu produsul numerelor de la unu la, adică

A doua derivată este prima derivată a primei derivate, adică

Derivată de ordinul trei:

Derivata a patra:

Rețineți regularitatea: numărătorul conține factorialul unui număr care este egal cu ordinul derivatei, iar numitorul conține o expresie în putere cu unu mai mare decât ordinul derivatei, adică

Răspuns.

Exemplul 3

Aflați valoarea derivatei a treia a unei funcții într-un punct.

Soluţie.

Conform tabelul derivatelor de ordin superior, avem:

În acest exemplu, adică obținem

Rețineți că un rezultat similar ar putea fi obținut și prin găsirea succesivă a derivatelor.

La un moment dat, derivata a treia este:

Răspuns:

Exemplul 4

Găsiți derivata a doua a unei funcții

Soluţie. Mai întâi, să găsim prima derivată:

Pentru a găsi derivata a doua, diferențiam din nou expresia pentru derivata întâi:

Răspuns:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Deoarece funcția dată este un produs al două funcții, ar fi recomandabil să aplicați formula Leibniz pentru a găsi derivata de ordinul al patrulea:

Găsim toate derivatele și calculăm coeficienții termenilor.

1) Calculați coeficienții pentru termenii:

2) Aflați derivatele funcției:

3) Aflați derivatele funcției:

Răspuns:

Exemplul 6

Este dată funcția y=x 2 cos3x. Găsiți derivata de ordinul trei.

Fie u=cos3x , v=x 2 . Apoi, conform formulei Leibniz, găsim:

Derivatele din această expresie sunt:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Prin urmare, derivata a treia a funcției date este

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Exemplul 7

Găsiți derivată n -funcția de ordine y=x 2 cosx.

Folosim formula Leibniz, setareu=cosx, v=x 2 . Apoi

Termenii rămași ai seriei sunt egali cu zero, deoarece(x2)(i)=0 pentru i>2.

Derivat n Funcția cosinus de ordinul al-lea:

Prin urmare, derivata funcției noastre este

CONCLUZIE

Școala studiază și folosește așa-numitele formule de înmulțire prescurtate: pătrate și cuburi ale sumei și diferenței a două expresii și formule de factorizare a diferenței de pătrate, suma și diferența de cuburi a două expresii. O generalizare a acestor formule este o formulă numită formula binomială Newton și formulele de factorizare a sumei și diferenței de puteri. Aceste formule sunt adesea folosite în rezolvarea diferitelor probleme: demonstrarea divizibilității, reducerea fracțiilor, calcule aproximative. Sunt luate în considerare proprietățile interesante ale triunghiului lui Pascal, care sunt strâns legate de binomul lui Newton.

Lucrarea sistematizează informațiile pe această temă, oferă exemple de sarcini pentru utilizarea binomului lui Newton și formule pentru suma și diferența de grade. Lucrarea poate fi folosită în munca unui cerc matematic, precum și pentru studiu independent de către cei pasionați de matematică.

LISTA SURSELOR UTILIZATE

1. Vilenkin N. Ya. Combinatorică.- ed. "Știința". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general organizații niveluri de bază și avansate - M.: Educație, 2014. - 431 p.

3. Rezolvarea problemelor de statistică, combinatorică și teoria probabilităților. 7-9 celule / autor - compilator V.N. Studenetskaya. - ed. 2, corectat, - Volgograd: Profesor, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Ecuații algebrice ale gradelor superioare / Ghid metodologic pentru studenții Departamentului pregătitor interuniversitar. - Sankt Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Curs opțional de matematică: Rezolvarea problemelor. Manual pentru 10 celule. școală gimnazială. - M.: Iluminismul, 1989.

6.Știință și viață, binomul lui Newton și triunghiul lui Pascal[Resursă electronică]. - Mod de acces: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Derivate de ordin superior

În această lecție, vom învăța cum să găsim derivate de ordin superior, precum și să scriem formula generală pentru derivata „a n-a”. În plus, se va lua în considerare formula Leibniz pentru un astfel de derivat și, la cererea populară, derivatele de ordin superior ale funcţie implicită. Vă sugerez să faceți imediat un mini-test:

Iată funcția: și iată prima sa derivată:

În cazul în care aveți dificultăți/neînțelegeri cu privire la acest exemplu, vă rugăm să începeți cu două articole de bază ale cursului meu: Cum să găsesc derivatul?Și Derivată a unei funcții complexe. După stăpânirea derivatelor elementare, vă recomand să citiți lecția Cele mai simple probleme cu o derivată, despre care ne-am ocupat, în special derivata a doua.

Nu este greu nici măcar să ghicim că a doua derivată este derivata primei derivate:

În principiu, a doua derivată este deja considerată o derivată de ordin superior.

În mod similar: a treia derivată este derivata a doua a:

A patra derivată este derivata a treia:

Derivata a cincea: , și este evident că toate derivatele de ordin superior vor fi, de asemenea, egale cu zero:

În plus față de numerația romană, următoarele denumiri sunt adesea folosite în practică:
, în timp ce derivata de ordinul „n-lea” se notează cu . În acest caz, indexul superscript trebuie să fie cuprins între paranteze.- a distinge derivata de „y” în grad.

Uneori există o intrare ca aceasta: - a treia, a patra, a cincea, ..., respectiv derivate „a n-a”.

Înainte fără teamă și îndoială:

Exemplul 1

Dată o funcție. A găsi .

Soluţie: ce poți să spui... - înainte pentru a patra derivată :)

Nu se mai obișnuiește să se pună patru linii, așa că trecem la indici numerici:

Răspuns:

Bine, acum să ne gândim la această întrebare: ce să faceți dacă, conform condiției, este necesar să găsiți nu a 4-a, ci, de exemplu, a 20-a derivată? Dacă pentru derivata lui 3-4-5 (maxim, 6-7) ordine, soluția este întocmită destul de repede, apoi vom „ajunge” la derivatele de ordine superioare, oh, cum nu curând. Nu nota, de fapt, 20 de rânduri! Într-o astfel de situație, trebuie să analizați mai multe derivate găsite, să vedeți modelul și să elaborați o formulă pentru „n-a” derivată. Deci, în exemplul nr. 1, este ușor de înțeles că, cu fiecare diferențiere ulterioară, un „triplu” suplimentar va „sări” înaintea exponentului și, în orice pas, gradul „triplu” este egal cu numărul de derivata, prin urmare:

Unde este un număr natural arbitrar.

Și într-adevăr, dacă , atunci se obține exact derivata 1: , dacă - atunci 2: etc. Astfel, derivata a douăzecea se determină instantaneu: - și fără „coli de kilometri”!

Încălzirea pe cont propriu:

Exemplul 2

Găsiți caracteristici. Scrieți derivata de ordine

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

După o încălzire revigorantă, vom lua în considerare exemple mai complexe în care vom elabora algoritmul de soluție de mai sus. Pentru cei care au citit lecția Limită de secvență, va fi puțin mai ușor:

Exemplul 3

Găsiți pentru funcție.

Soluţie: pentru a clarifica situația, găsim mai multe derivate:

Nu ne grăbim să înmulțim cifrele rezultate! ;-)


Poate suficient. ... chiar am exagerat puțin.

În pasul următor, cel mai bine este să scrieți formula pentru „n-a” derivată (de îndată ce starea nu necesită acest lucru, atunci vă puteți descurca cu un draft). Pentru a face acest lucru, ne uităm la rezultatele obținute și identificăm modelele cu care se obține fiecare derivată următoare.

În primul rând, ei semnează. Intercalarea oferă "intermitent", și deoarece derivata 1 este pozitivă, următorul factor va intra în formula generală: . O opțiune echivalentă va face, dar personal, ca optimist, îmi place semnul plus =)

În al doilea rând, la numărător „vânturi” factorial, și „rămîne în urmă” cu o unitate numărul derivatului:

Și în al treilea rând, puterea lui „doi” crește în numărător, care este egal cu numărul derivatului. Același lucru se poate spune despre gradul numitorului. In cele din urma:

În scopuri de verificare, să înlocuim câteva valori \u200b\u200b"ro", de exemplu, și:

Grozav, acum să faci o greșeală este doar un păcat:

Răspuns:

O funcție mai simplă pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Exemplul 4

Găsiți caracteristici.

Și o problemă mai complicată:

Exemplul 5

Găsiți caracteristici.

Să repetăm ​​procedura încă o dată:

1) Mai întâi găsim mai multe derivate. Trei sau patru sunt de obicei suficiente pentru a prinde tipare.

2) Atunci recomand cu tărie compilarea (cel putin la draft) derivată „a n-a” - este garantată să protejeze împotriva erorilor. Dar poți să faci fără, adică. estimați mental și notați imediat, de exemplu, derivata a douăzecea sau a opta. În plus, unii oameni sunt în general capabili să rezolve problemele luate în considerare oral. Cu toate acestea, trebuie amintit că metodele „rapide” sunt grele și este mai bine să jucați în siguranță.

3) În etapa finală, verificăm derivata „a n-a” - luăm o pereche de valori „en” (mai bune decât cele vecine) și efectuăm o înlocuire. Și și mai de încredere este să verificați toate derivatele găsite mai devreme. Apoi înlocuim valoarea dorită, de exemplu, sau și pieptănăm cu atenție rezultatul.

Rezolvarea pe scurt a exemplelor al 4-lea și al 5-lea la sfârșitul lecției.

În unele sarcini, pentru a evita problemele, trebuie să faceți puțină magie asupra funcției:

Exemplul 6

Soluţie: Nu vreau să diferențiez deloc funcția propusă, deoarece se va dovedi a fi o fracție „rea”, ceea ce va face foarte dificilă găsirea derivatelor ulterioare.

În acest sens, este indicat să se efectueze transformări preliminare: folosim formula diferenței de pătrateȘi proprietatea logaritmului :

Cu totul alta chestiune:

Și vechi prieteni:

Cred că totul este privit. Rețineți că a doua fracție este semnată, dar prima nu este semnată. Construim derivata de ordin:

Control:

Ei bine, pentru frumusețe, scoatem factorialul dintre paranteze:

Răspuns:

O sarcină interesantă pentru o soluție independentă:

Exemplul 7

Scrieți formula derivată de ordine pentru funcție

Și acum despre responsabilitatea reciprocă de neclintit, pe care chiar și mafia italiană o va invidia:

Exemplul 8

Dată o funcție. A găsi

Derivata a optsprezecea la punctul . Doar.

Soluţie: mai întâi, evident, trebuie să găsiți . Merge:

Au început de la sinus, și au ajuns la sinus. Este clar că, cu o diferențiere suplimentară, acest ciclu va continua până la infinit și apare următoarea întrebare: cum să „ajungi” cel mai bine la derivata a optsprezecea?

Metoda „amator”: notăm rapid numărul de derivate ulterioare din dreapta în coloană:

În acest fel:

Dar funcționează dacă ordinea derivatei nu este prea mare. Dacă trebuie să găsiți, de exemplu, derivata a sutei, atunci ar trebui să utilizați divizibilitatea cu 4. O sută este divizibil cu 4 fără rest și este ușor de observat că astfel de numere sunt situate pe linia de jos, deci: .

Apropo, derivata a 18-a poate fi determinată și din considerente similare:
A doua linie conține numere care sunt divizibile cu 4 cu restul de 2.

Pe o altă metodă, mai academică se bazează periodicitatea sinusuluiȘi formule de reducere. Folosim formula gata făcută „n-a” derivată a sinusului , în care numărul dorit este pur și simplu înlocuit. De exemplu:
(formula de reducere ) ;
(formula de reducere )

În cazul nostru:

(1) Deoarece sinusul este o funcție periodică cu o perioadă, atunci argumentul poate fi „deșurubat” fără durere 4 perioade (adică).

Derivata de ordine a produsului a doua functii poate fi gasita prin formula:

În special:

Nu trebuie să vă amintiți nimic special, pentru că cu cât cunoașteți mai multe formule, cu atât înțelegeți mai puțin. Mult mai bine de știut Binomul lui Newton, întrucât formula lui Leibniz este foarte, foarte asemănătoare cu el. Ei bine, acei norocoși care obțin derivatul de la ordinele 7 sau mai mari (ceea ce este cu adevărat puțin probabil) va fi obligat să facă acest lucru. Cu toate acestea, când va veni momentul combinatorică- mai trebuie =)

Să găsim derivata a treia a funcției. Folosim formula Leibniz:

În acest caz: . Derivatele sunt ușor de făcut clic verbal:

Acum efectuăm cu atenție și ATENȚIE înlocuirea și simplificăm rezultatul:

Răspuns:

O sarcină similară pentru o soluție independentă:

Exemplul 11

Găsiți caracteristici

Dacă în exemplul precedent soluția „pe frunte” a concurat în continuare cu formula Leibniz, atunci aici va fi deja cu adevărat neplăcută. Și chiar mai neplăcut - în cazul unui ordin superior al derivatului:

Exemplul 12

Găsiți derivata ordinului specificat

Soluţie: prima și esențială remarcă - să decideți așa, probabil, nu este necesar =) =)

Să notăm funcțiile și să găsim derivatele lor până la ordinul 5 inclusiv. Presupun că derivatele coloanei din dreapta au devenit orale pentru tine:

În coloana din stânga, derivatele „vii” s-au „încheiat” rapid și acest lucru este foarte bine - în formula Leibniz, trei termeni vor fi zero:

Mă voi opri din nou asupra dilemei apărute în articolul despre derivate complexe: pentru a simplifica rezultatul? În principiu, o puteți lăsa așa - va fi și mai ușor pentru profesor să verifice. Dar poate cere să-și aducă în minte decizia. Pe de altă parte, simplificarea din proprie inițiativă este plină de erori algebrice. Totuși, avem un răspuns obținut într-un mod „primar” =) (vezi linkul de la inceput) si sper sa fie corect:

Grozav, totul a mers.

Răspuns:

Sarcină fericită pentru auto-rezolvare:

Exemplul 13

Pentru functie:
a) afla prin diferentiere directa;
b) găsiţi prin formula Leibniz;
c) calculează.

Nu, nu sunt deloc un sadic - punctul „a” de aici este destul de simplu =)

Dar serios, soluția „directă” prin diferențiere succesivă are și „dreptul la viață” - în unele cazuri complexitatea ei este comparabilă cu complexitatea aplicării formulei Leibniz. Folosiți așa cum credeți de cuviință - este puțin probabil ca acesta să fie un motiv pentru necontorizarea misiunii.

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

Pentru a ridica ultimul paragraf trebuie să fii capabil diferențierea funcțiilor implicite:

Derivate de ordin superior ale funcțiilor implicite

Mulți dintre noi am petrecut ore lungi, zile și săptămâni din viața noastră studiind cercuri, parabolă, hiperbolă– și uneori chiar părea o adevărată pedeapsă. Așa că haideți să ne răzbunăm și să le diferențiem în mod corespunzător!

Să începem cu parabola „școală” în ea poziție canonică:

Exemplul 14

Se dă o ecuație. A găsi .

Soluţie: primul pas este familiar:

Faptul că funcția și derivata ei sunt exprimate implicit nu schimbă esența materiei, a doua derivată este derivata primei derivate:

Cu toate acestea, există reguli ale jocului: derivatele de ordinul 2 și superior sunt de obicei exprimate numai prin „x” și „y”. Prin urmare, substituim în derivata a 2-a rezultată:

A treia derivată este derivata a 2-a:

În mod similar, să înlocuim:

Răspuns:

Hiperbola „Școală” în poziție canonică- pentru munca independenta:

Exemplul 15

Se dă o ecuație. A găsi .

Repet că derivata a 2-a și rezultatul ar trebui exprimate doar prin „x” / „y”!

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

După farsele copiilor, să ne uităm la pornografia germană @ fia, să ne uităm la mai multe exemple pentru adulți, din care aflăm o altă soluție importantă:

Exemplul 16

Elipsă se.

Soluţie: găsiți derivata 1:

Și acum să ne oprim și să analizăm momentul următor: acum trebuie să diferențiem fracția, ceea ce nu este deloc încurajator. În acest caz, desigur, este simplu, dar în problemele din viața reală există doar câteva astfel de cadouri. Există vreo modalitate de a evita găsirea derivatului greoi? Există! Luăm ecuația și folosim aceeași tehnică ca atunci când găsim derivata 1 - „atârnăm” lovituri pe ambele părți:

A doua derivată trebuie exprimată numai prin și , deci acum (chiar acum) este convenabil să scapi de derivata I. Pentru a face acest lucru, înlocuim în ecuația rezultată:

Pentru a evita dificultățile tehnice inutile, înmulțim ambele părți prin:

Și numai în etapa finală întocmim o fracție:

Acum ne uităm la ecuația inițială și observăm că rezultatul obținut poate fi simplificat:

Răspuns:

Cum să găsiți valoarea derivatei a 2-a la un moment dat (care, desigur, aparține elipsei), de exemplu, la punct ? Foarte usor! Acest motiv a fost deja întâlnit în lecția despre ecuația normală: în expresia derivatei a 2-a trebuie să înlocuiți :

Desigur, în toate cele trei cazuri, puteți obține funcții date explicit și le puteți diferenția, dar apoi vă pregătiți mental să lucrați cu două funcții care conțin rădăcini. După părerea mea, soluția este mai convenabilă de realizat „implicit”.

Exemplu final de autosoluție:

Exemplul 17

Găsiți funcția implicită

Este dată formula Leibniz pentru calcularea derivatei a n-a a produsului a două funcții. Dovada sa este dată în două moduri. Este considerat un exemplu de calcul al derivatei de ordinul al n-lea.

Conţinut

Vezi si: Derivată a produsului a două funcții

formula Leibniz

Folosind formula Leibniz, puteți calcula derivata a n-a a produsului a două funcții. Arata cam asa:
(1) ,
Unde
sunt coeficienți binomiali.

Coeficienții binomi sunt coeficienții expansiunii binomului în puteri ale și:
.
De asemenea, numărul este numărul de combinații de la n la k .

Dovada formulei Leibniz

Aplicabil formula pentru derivata produsului a două funcții :
(2) .
Să rescriem formula (2) în următoarea formă:
.
Adică considerăm că o funcție depinde de variabila x, iar cealaltă depinde de variabila y. La sfârșitul calculului, presupunem . Apoi formula anterioară poate fi scrisă astfel:
(3) .
Deoarece derivata este egală cu suma termenilor și fiecare termen este produsul a două funcții, atunci pentru a calcula derivatele de ordine superioară, puteți aplica în mod consecvent regula (3).

Atunci pentru derivata de ordinul n-a avem:

.
Având în vedere că și , obținem formula Leibniz:
(1) .

Dovada prin inducție

Prezentăm demonstrația formulei Leibniz prin metoda inducției matematice.

Să rescriem formula Leibniz:
(4) .
Pentru n = 1 avem:
.
Aceasta este formula pentru derivata produsului a două funcții. Ea este corectă.

Să presupunem că formula (4) este valabilă pentru derivata de ordinul n-lea. Să demonstrăm că este valabil pentru derivata n + 1 -a comanda.

Diferențierea (4):
;



.
Deci am gasit:
(5) .

Înlocuiți la (5) și luați în considerare că:

.
Aceasta arată că formula (4) are aceeași formă pentru derivata n + 1 -a comanda.

Deci, formula (4) este valabilă pentru n = 1 . Din ipoteza că este adevărat pentru un număr n = m, rezultă că este adevărat pentru n = m + 1 .
Formula Leibniz a fost dovedită.

Exemplu

Calculați derivata a n-a a unei funcții
.

Aplicam formula Leibniz
(2) .
În cazul nostru
;
.

De tabel de derivate avem:
.
aplica proprietățile funcțiilor trigonometrice :
.
Apoi
.
Aceasta arată că diferențierea funcției sinus duce la deplasarea acesteia cu . Apoi
.

Găsim derivate ale funcției .
;
;
;
, .

Deoarece pentru , numai primii trei termeni din formula Leibniz sunt nenule. Găsirea coeficienților binomi.
;
.

Conform formulei Leibniz, avem:

.

Vezi si: