Functie exponentiala este o generalizare a produsului a n numere egal cu a :
y (n) = a n = a a a a,
la multimea numerelor reale x :
y (x) = x.
Aici a este un număr real fix, care este numit baza functiei exponentiale.
Se mai numește și o funcție exponențială cu baza a exponent la baza a.

Generalizarea se realizează după cum urmează.
Pentru natural x = 1, 2, 3,... , funcția exponențială este produsul x factori:
.
Mai mult, are proprietățile (1,5-8) (), care decurg din regulile de înmulțire a numerelor. La valorile zero și negative ale numerelor întregi, funcția exponențială este determinată de formulele (1.9-10). Pentru valorile fracționale x = m/n ale numerelor raționale, , se determină prin formula (1.11). Pentru real, funcția exponențială este definită ca limita a secvenței:
,
unde este o succesiune arbitrară de numere raționale care converg către x : .
Cu această definiție, funcția exponențială este definită pentru toate , și satisface proprietățile (1.5-8), precum și pentru x natural.

O formulare matematică riguroasă a definiției unei funcții exponențiale și o demonstrație a proprietăților acesteia este dată la pagina „Definiția și demonstrarea proprietăților unei funcții exponențiale”.

Proprietățile funcției exponențiale

Funcția exponențială y = a x are următoarele proprietăți pe mulțimea numerelor reale () :
(1.1) este definită și continuă, pentru , pentru toți ;
(1.2) când a ≠ 1 are multe semnificații;
(1.3) crește strict la , scade strict la ,
este constantă la ;
(1.4) la ;
la ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Alte formule utile
.
Formula pentru conversia într-o funcție exponențială cu o bază de putere diferită:

Pentru b = e , obținem expresia funcției exponențiale în termeni de exponent:

Valori private

, , , , .

Figura prezintă grafice ale funcției exponențiale
y (x) = x
pentru patru valori baze de grad:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 și a = 1/8 . Se vede că pentru un > 1 funcția exponențială crește monoton. Cu cât baza gradului a este mai mare, cu atât creșterea este mai puternică. La 0 < a < 1 funcția exponențială este monoton în scădere. Cu cât exponentul a este mai mic, cu atât scăderea este mai puternică.

Urcând, coborând

Funcția exponențială la este strict monotonă, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
Domeniu	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Gama de valori	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y= 0	Nu	Nu
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Funcție inversă

Reciproca unei funcții exponențiale cu o bază de gradul a este logaritmul cu baza a.

Daca atunci
.
Daca atunci
.

Diferențierea funcției exponențiale

Pentru a diferenția o funcție exponențială, baza acesteia trebuie redusă la numărul e, aplicați tabelul derivatelor și regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați proprietatea logaritmilor
și formula din tabelul derivatelor:
.

Să fie dată o funcție exponențială:
.
O aducem la baza e:

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe. Pentru a face acest lucru, introducem o variabilă

Apoi

Din tabelul derivatelor avem (înlocuiește variabila x cu z ):
.
Deoarece este o constantă, derivata lui z față de x este
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Derivată a funcției exponențiale

.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Un exemplu de diferențiere a unei funcții exponențiale

Aflați derivata unei funcții
y= 35 x

Soluţie

Exprimăm baza funcției exponențiale în termeni de număr e.
3 = e log 3
Apoi
.
Introducem o variabilă
.
Apoi

Din tabelul derivatelor găsim:
.
Pentru că 5ln 3 este o constantă, atunci derivata lui z față de x este:
.
Conform regulii de diferențiere a unei funcții complexe, avem:
.

Răspuns

Integral

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
f (z) = az
unde z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Exprimăm constanta complexă a în termeni de modul r și argumentul φ :
a = r e i φ
Apoi


.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. În general
φ = φ 0 + 2 pn,
unde n este un număr întreg. Prin urmare, funcția f (z) este, de asemenea, ambiguu. Adesea considerată importanța sa principală
.

Extindere în serie

.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Ipoteza: Daca studiezi miscarea graficului in timpul formarii ecuatiei functiilor, vei observa ca toate graficele se supun unor legi comune, prin urmare, poti formula legi generale indiferent de functii, care nu numai ca vor facilita construirea graficelor. a diverselor funcții, dar și să le folosească în rezolvarea problemelor.

Scop: Studierea mișcării graficelor funcțiilor:

1) Sarcina studierii literaturii

2) Învață să construiești grafice ale diferitelor funcții

3) Învățați să convertiți grafice ale funcțiilor liniare

4) Luați în considerare utilizarea graficelor în rezolvarea problemelor

Obiect de studiu: Grafice de funcții

Obiectul cercetării: Mișcări ale graficelor de funcții

Relevanță: Construcția graficelor de funcții, de regulă, necesită mult timp și necesită atenție din partea elevului, dar cunoscând regulile de transformare a graficelor de funcții și grafice ale funcțiilor de bază, puteți construi rapid și ușor grafice de funcții, ceea ce va permite nu numai pentru a finaliza sarcinile pentru trasarea graficelor de funcții, dar și pentru a rezolva probleme aferente (pentru a găsi maximul (înălțimea minimă a timpului și punctul de întâlnire))

Acest proiect este util tuturor elevilor școlii.

Revizuire de literatura:

Literatura de specialitate discută modalități de a construi un grafic al diferitelor funcții, precum și exemple de transformare a graficelor acestor funcții. Graficele cu aproape toate funcțiile principale sunt utilizate în diferite procese tehnice, ceea ce face posibilă prezentarea mai clară a cursului procesului și programarea rezultatului

Funcție permanentă. Această funcție este dată de formula y = b, unde b este un număr. Graficul unei funcții constante este o dreaptă paralelă cu axa x și care trece prin punctul (0; b) de pe axa y. Graficul funcției y \u003d 0 este axa absciselor.

Tipuri de funcții 1Proporționalitate directă. Această funcție este dată de formula y \u003d kx, unde coeficientul de proporționalitate k ≠ 0. Graficul de proporționalitate directă este o linie dreaptă care trece prin origine.

Funcție liniară. O astfel de funcție este dată de formula y = kx + b, unde k și b sunt numere reale. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

Graficele cu funcții liniare se pot intersecta sau pot fi paralele.

Deci, liniile graficelor funcțiilor liniare y \u003d k 1 x + b 1 și y \u003d k 2 x + b 2 se intersectează dacă k 1 ≠ k 2; dacă k 1 = k 2 , atunci dreptele sunt paralele.

2 Proporționalitatea inversă este o funcție dată de formula y \u003d k / x, unde k ≠ 0. K se numește coeficient de proporționalitate inversă. Graficul de proporționalitate inversă este o hiperbolă.

Funcția y \u003d x 2 este reprezentată printr-un grafic numit parabolă: pe intervalul [-~; 0] funcția este în scădere, pe interval funcția este în creștere.

Funcția y \u003d x 3 crește de-a lungul întregii drepte numerice și este reprezentată grafic printr-o parabolă cubică.

Funcție de putere cu exponent natural. Această funcție este dată de formula y \u003d x n, unde n este un număr natural. Graficele unei funcții de putere cu exponent natural depind de n. De exemplu, dacă n = 1, atunci graficul va fi o linie dreaptă (y = x), dacă n = 2, atunci graficul va fi o parabolă etc.

O funcție de putere cu un exponent întreg negativ este reprezentată de formula y \u003d x -n, unde n este un număr natural. Această funcție este definită pentru toate x ≠ 0. Graficul funcției depinde și de exponentul n.

Funcția de putere cu un exponent fracțional pozitiv. Această funcție este reprezentată de formula y \u003d x r, unde r este o fracție ireductibilă pozitivă. Această funcție nu este nici pară, nici impară.

Linie grafică care afișează relația dintre variabilele dependente și independente pe planul de coordonate. Graficul servește la afișarea vizuală a acestor elemente.

O variabilă independentă este o variabilă care poate lua orice valoare în domeniul de aplicare al funcțiilor (unde funcția dată are sens (nu poate fi împărțită la zero))

Pentru a reprezenta graficul unei funcții,

1) Găsiți ODZ (gamă de valori acceptabile)

2) luați niște valori arbitrare pentru variabila independentă

3) Aflați valoarea variabilei dependente

4) Construiți un plan de coordonate, marcați aceste puncte pe el

5) Conectați liniile acestora dacă este necesar, investigați graficul rezultat.Transformarea graficelor funcțiilor elementare.

Conversie grafică

În forma lor pură, funcțiile elementare de bază nu sunt, din păcate, atât de comune. Mult mai des trebuie să se ocupe de funcții elementare obținute din funcții elementare de bază prin adăugarea de constante și coeficienți. Graficele unor astfel de funcții pot fi construite prin aplicarea transformărilor geometrice la graficele funcțiilor elementare de bază corespunzătoare (sau prin trecerea la un nou sistem de coordonate). De exemplu, o formulă de funcție pătratică este o formulă de parabolă pătratică, comprimată de trei ori în raport cu axa ordonatelor, afișată simetric față de axa absciselor, deplasată împotriva direcției acestei axe cu 2/3 unități și deplasată de-a lungul direcției ordonatei axa cu 2 unitati.

Să înțelegem pas cu pas aceste transformări geometrice ale unui grafic de funcție folosind exemple specifice.

Cu ajutorul transformărilor geometrice ale graficului funcției f (x), se poate construi un grafic al oricărei funcție a formulei formei, unde formula reprezintă coeficienții de compresie sau de dilatare de-a lungul axelor oy și respectiv ox, minus semnele din fața formulei și formulei coeficienților indică o afișare simetrică a graficului în raport cu axele de coordonate, a și b definesc deplasarea față de axele absciselor și, respectiv, ordonatelor.

Astfel, există trei tipuri de transformări geometrice ale graficului funcției:

Primul tip este scalarea (compresie sau expansiune) de-a lungul axelor de abscisă și ordonate.

Necesitatea de scalare este indicată de coeficienți de formulă alții decât unul, dacă numărul este mai mic decât 1, atunci graficul este comprimat față de oy și întins față de ox, dacă numărul este mai mare decât 1, atunci ne întindem de-a lungul axei ordonatelor și se micșorează de-a lungul axei absciselor.

Al doilea tip este un afișaj simetric (oglindă) în raport cu axele de coordonate.

Necesitatea acestei transformări este indicată de semnele minus în fața coeficienților formulei (în acest caz, afișăm graficul simetric față de axa boi) și de formulă (în acest caz, afișăm graficul simetric cu faţă de axa y). Dacă nu există semne minus, atunci acest pas este omis.

Transformare grafică a funcției

În acest articol, vă voi prezenta transformările liniare ale graficelor de funcții și vă voi arăta cum să utilizați aceste transformări dintr-un grafic de funcție pentru a obține un grafic de funcție.

O transformare liniară a unei funcții este o transformare a funcției în sine și/sau a argumentului acesteia la formă , precum și o transformare care conține modulul argumentului și/sau funcții.

Următoarele acțiuni cauzează cele mai mari dificultăți în trasarea graficelor folosind transformări liniare:

1. Izolarea funcției de bază, de fapt, graficul căruia îl transformăm.
2. Definiții ale ordinii transformărilor.

Și Tocmai asupra acestor puncte ne vom opri mai detaliat.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra funcției

Se bazează pe o funcție. Să o sunăm functie de bază.

La trasarea unei funcții facem transformări ale graficului funcției de bază .

Dacă ar fi să transformăm funcția în aceeași ordine în care s-a găsit valoarea lui pentru o anumită valoare a argumentului, atunci

Să luăm în considerare ce tipuri de transformări liniare de argument și funcții există și cum să le efectuăm.

Transformări de argument.

1. f(x) f(x+b)

1. Construim un grafic al unei funcții

2. Deplasăm graficul funcției de-a lungul axei OX cu |b| unitati

• stânga dacă b>0
• corect dacă b<0

Să diagramăm funcția

1. Graficăm funcția

2. Deplasați-l cu 2 unități la dreapta:

2. f(x) f(kx)

1. Construim un grafic al unei funcții

2. Împărțiți abscisele punctelor din grafic cu k, lăsați ordonatele punctelor neschimbate.

Să diagramăm funcția.

1. Graficăm funcția

2. Împărțiți toate abscisele punctelor graficului cu 2, lăsați ordonatele neschimbate:

3. f(x) f(-x)

1. Construim un grafic al unei funcții

2. Îl afișăm simetric față de axa OY.

Să diagramăm funcția.

1. Graficăm funcția

2. Îl afișăm simetric față de axa OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Graficăm funcția

2. Stergem partea de grafic situata in stanga axei OY, partea de grafic situata in dreapta axei OY O completam simetric fata de axa OY:

Graficul funcției arată astfel:

Să diagramăm funcția

1. Construim un grafic de funcții (acesta este un grafic de funcție deplasat de-a lungul axei OX cu 2 unități la stânga):

2. O parte a graficului situată în stânga OY (x<0) стираем:

3. Partea graficului situată în dreapta axei OY (x>0) se completează simetric față de axa OY:

Important! Cele două reguli principale pentru conversia argumentelor.

1. Toate transformările argumentelor sunt efectuate de-a lungul axei OX

2. Toate transformările argumentului sunt efectuate „invers” și „în ordine inversă”.

De exemplu, într-o funcție, succesiunea transformărilor argumentelor este următoarea:

1. Luăm modulul din x.

2. Adăugați numărul 2 la modulo x.

Dar am făcut graficul în ordine inversă:

Mai întâi, am efectuat transformarea 2. - am deplasat graficul cu 2 unități la stânga (adică abscisele punctelor au fost reduse cu 2, ca și cum „invers”)

Apoi am efectuat transformarea f(x) f(|x|).

Pe scurt, succesiunea transformărilor este scrisă după cum urmează:

Acum să vorbim despre transformarea funcției . Se fac transformări

1. De-a lungul axei OY.

2. În aceeași succesiune în care sunt efectuate acțiunile.

Acestea sunt transformarile:

1. f(x)f(x)+D

2. Deplasați-l de-a lungul axei OY cu |D| unitati

• sus dacă D>0
• jos dacă D<0

Să diagramăm funcția

1. Graficăm funcția

2. Deplasați-l de-a lungul axei OY cu 2 unități în sus:

2. f(x)Af(x)

1. Reprezentăm grafic funcția y=f(x)

2. Înmulțim ordonatele tuturor punctelor graficului cu A, lăsăm abscisele neschimbate.

Să diagramăm funcția

1. Reprezentați grafic funcția

2. Înmulțim ordonatele tuturor punctelor graficului cu 2:

3.f(x)-f(x)

1. Reprezentăm grafic funcția y=f(x)

Să diagramăm funcția.

1. Construim un grafic al funcției.

2. Îl afișăm simetric față de axa OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Reprezentăm grafic funcția y=f(x)

2. Partea graficului situată deasupra axei OX este lăsată neschimbată, partea din grafic situată sub axa OX este afișată simetric față de această axă.

Să diagramăm funcția

1. Construim un grafic al funcției. Se obține prin deplasarea graficului funcției de-a lungul axei OY cu 2 unități în jos:

2. Acum partea din grafic situată sub axa OX va fi afișată simetric față de această axă:

Și ultima transformare, care, strict vorbind, nu poate fi numită transformare de funcție, deoarece rezultatul acestei transformări nu mai este o funcție:

|y|=f(x)

1. Reprezentăm grafic funcția y=f(x)

2. Stergem partea de grafic situata sub axa OX, apoi completam partea de grafic situata deasupra axei OX simetric fata de aceasta axa.

Să construim un grafic al ecuației

1. Construim un grafic al funcției:

2. Ștergem partea din grafic situată sub axa OX:

3. Partea graficului situată deasupra axei OX se completează simetric față de această axă.

Și, în final, vă sugerez să urmăriți LECȚIA VIDEO în care vă arăt un algoritm pas cu pas pentru trasarea unui grafic al funcției

Graficul acestei funcții arată astfel:

Care dintre aceste funcții au inversă? Pentru astfel de funcții găsiți funcții inverse:

4.12. A)	y=x;					b) y = 6 −3x;
d) y =						e) y \u003d 2 x 3 +5;
4.13. A)	y = 4x − 5 ;						y \u003d 9 - 2 x - x 2;
	y = semnul x ;						y=1 + lg(x + 2) ;

	y = 2 x 2 +1 ;
			x − 2
						la x< 0
c) y =		−x
						pentru x ≥ 0

Aflați care dintre aceste funcții sunt monotone, care sunt strict monotone și care sunt mărginite:

4.14. A)

f (x) = c, c R ;

b) f (x) \u003d cos 2 x;

c) f (x) \u003d arctg x;

d) f (x) \u003d e 2 x;

e) f (x) \u003d -x 2 + 2 x;

e) f(x) =

2x+5

y = ctg7 x .

4.15. A)

f(x) = 3−x

b) f(x) =

f(x)=

x + 3

x+6

X< 0,

3x+5

d) f (x) \u003d 3 x 3 - x;

− 10 la

f(x)=

e) f(x) =

x 2 la

x ≥ 0;

x+1

f(x) = tg(sinx).

4.2. functii elementare. Transformare grafică a funcției

Reamintim că graficul funcției f (x) din sistemul de coordonate cartezian dreptunghiular Oxy este mulțimea tuturor punctelor din planul cu coordonatele (x, f (x)).

Adesea, graficul funcției y \u003d f (x) poate fi construit folosind transformări (deplasare, întindere) ale graficului unei funcții deja cunoscute.

În special, din graficul funcției y \u003d f (x), se obține graficul funcției:

1) y \u003d f (x) + a - deplasare de-a lungul axei Oy cu o unitate (sus dacă a > 0 și în jos dacă a< 0 ;

2) y \u003d f (x - b) - deplasare de-a lungul axei Ox cu b unități (la dreapta, dacă b > 0,

iar la stânga dacă b< 0 ;

3) y \u003d kf (x) - prin întinderea de-a lungul axei Oy de k ori;

4) y \u003d f (mx) - compresie de-a lungul axei Ox de m ori;

5) y \u003d - f (x) - reflexie simetrică în jurul axei Ox;

6) y \u003d f (−x) - reflexie simetrică în jurul axei Oy;

7) y \u003d f (x), după cum urmează: partea din grafic situată nu

sub axa Ox, rămâne neschimbată, iar partea „inferioară” a graficului este reflectată simetric față de axa Ox;

8) y = f (x ) , după cum urmează: partea dreaptă a graficului (pentru x ≥ 0 )

rămâne neschimbat, iar în loc de „stânga” se construiește o reflectare simetrică a „dreapta” în jurul axei Oy.

Principalele funcții elementare se numesc:

1) funcția constantă y = c;

2) funcția de putere y = x α , α R ;

3) funcția exponențială y \u003d a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) logaritmică funcția y = log a x , a > 0, a ≠ 1 ;

5) trigonometric funcții y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (unde sec x = cos 1 x ), y = cosec x (unde cosec x = sin 1 x );

6) funcții trigonometrice inverse y \u003d arcsin x, y \u003d arccos x, y \u003d arctg x, y \u003d arcctg x.

functii elementare numite funcții obținute din funcțiile elementare de bază cu ajutorul unui număr finit de operații aritmetice (+, − , ÷) și compoziții (adică, formarea funcțiilor complexe f g ).

Exemplul 4.6. Trasează o funcție

1) y \u003d x 2 + 6 x + 7; 2) y = −2sin 4 x .

Rezolvare: 1) prin evidențierea pătratului complet, funcția se transformă în forma y = (x +3) 2 − 2, deci graficul acestei funcții poate fi obținut din graficul funcției y = x 2 . Este suficient să mutați mai întâi parabola y \u003d x 2 cu trei unități la stânga (obținem graficul funcției y \u003d (x +3) 2), apoi două unități în jos (Fig. 4.1);

	standard	sinusoid						y = sin x	de patru ori de-a lungul axei		Bou,
obținem graficul funcției y \u003d sin 4 x (Fig. 4.2).
										y=sin4x
										y=sin x

Întinzând graficul rezultat de două ori de-a lungul axei Oy, obținem graficul funcției y \u003d 2sin 4 x (Fig. 4.3). Rămâne să reflectăm ultimul grafic relativ la axa Ox. Rezultatul va fi graficul dorit (vezi Fig. 4.3).

						y=2sin4x

y=–2sin4x

Sarcini pentru soluție independentă

Construiți grafice ale următoarelor funcții, pe baza graficelor principalelor funcții elementare:

4.16. a) y \u003d x 2 -6 x +11;

4.17. a) y = −2sin(x −π ) ;

4.18. a) y = − 4 x −1 ;

4.19. a) y = log 2 (−x ) ;

4.20. a) y = x +5 ;

4.21. a) y \u003d tg x;

4.22. a) y = semnul x ;

4.23. a) y = x x + + 4 2 ;

y = 3 - 2 x - x 2 .

y = 2 cos 2 x .

În funcție de condițiile desfășurării proceselor fizice, unele mărimi iau valori constante și se numesc constante, altele se modifică în anumite condiții și se numesc variabile.

Un studiu atent al mediului arată că cantitățile fizice sunt dependente una de cealaltă, adică o modificare a unor cantități atrage după sine o schimbare a altora.

Analiza matematică studiază relațiile cantitative ale cantităților care se schimbă reciproc, făcând abstracție de sensul fizic specific. Unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice este conceptul de funcție.

Luați în considerare elementele mulțimii și elementele mulțimii
(Fig. 3.1).

Dacă între elementele mulţimilor se stabileşte o oarecare corespondenţă
și ca o regula , apoi observăm că funcția este definită
.

Definiție 3.1. Conformitate , care este asociat cu fiecare element nu un set gol
un element bine definit nu un set gol , se numește funcție sau mapare
în .

Afișare simbolică
în se scrie astfel:

.

În același timp, mulți
se numește domeniul funcției și se notează
.

La rândul lor, mulți se numește intervalul funcției și se notează
.

În plus, trebuie remarcat faptul că elementele setului
se numesc variabile independente, elementele multimii se numesc variabile dependente.

Modalități de a seta o funcție

Funcția poate fi definită în următoarele moduri principale: tabelar, grafic, analitic.

Dacă, pe baza datelor experimentale, sunt compilate tabele care conțin valorile funcției și valorile corespunzătoare ale argumentului, atunci această metodă de specificare a funcției se numește tabulară.

În același timp, dacă unele studii ale rezultatului experimentului sunt transmise registratorului (osciloscop, înregistrator etc.), atunci se observă că funcția este setată grafic.

Cel mai comun este modul analitic de definire a unei funcții, adică. o metodă în care se utilizează o formulă pentru a lega variabilele independente și dependente. În acest caz, domeniul de definire a funcției joacă un rol important:

diferite, deși sunt date de aceleași relații analitice.

Dacă este dată doar formula funcției
, atunci considerăm că domeniul de definire al acestei funcții coincide cu mulțimea acelor valori ale variabilei , pentru care expresia
are sensul. În acest sens, problema găsirii domeniului unei funcții joacă un rol deosebit.

O sarcină 3.1. Găsiți domeniul de aplicare al unei funcții

Soluţie

Primul termen ia valori reale la
, iar al doilea la. Astfel, pentru a găsi domeniul de definiție al unei funcții date, este necesar să se rezolve sistemul de inegalități:

Ca rezultat al soluționării unui astfel de sistem, obținem . Prin urmare, domeniul funcției este segmentul
.

Cele mai simple transformări ale graficelor de funcții

Construcția graficelor de funcții poate fi mult simplificată dacă folosim graficele cunoscute ale principalelor funcții elementare. Următoarele funcții sunt numite funcții elementare de bază:

1) funcția de putere
Unde
;

2) funcția exponențială
Unde
și
;

3) funcția logaritmică
, Unde - orice număr pozitiv, altul decât unul:
și
;

4) funcții trigonometrice




;
.

5) funcții trigonometrice inverse
;
;
;
.

Funcțiile elementare sunt numite funcții care sunt obținute din funcții elementare de bază folosind patru operații aritmetice și suprapoziții aplicate de un număr finit de ori.

Transformările geometrice simple simplifică, de asemenea, procesul de reprezentare a funcțiilor. Aceste transformări se bazează pe următoarele afirmații:

Graficul funcției y=f(x+a) este graficul y=f(x), deplasat (pentru a >0 la stânga, pentru a< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Graficul funcției y=f(x) +b are grafice y=f(x), deplasat (dacă b>0 în sus, dacă b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Graficul funcției y = mf(x) (m0) este graficul y = f(x), întins (pentru m>1) de m ori sau comprimat (pentru 0

Graficul funcției y = f(kx) este graficul y = f(x), comprimat (pentru k > 1) de k ori sau întins (pentru 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.