Fie punctul să participe simultan la două oscilații armonice din aceeași perioadă, îndreptate de-a lungul unei linii drepte.

Adunarea oscilațiilor se va realiza prin metoda diagramelor vectoriale (Fig. 2.2). Fie oscilațiile să fie date de ecuații

și

(2.2.1)

Lăsați deoparte de punct O un vector la un unghi φ 1 față de linia de referință și un vector la un unghi φ 2 . Ambii vectori se rotesc în sens invers acelor de ceasornic cu aceeași viteză unghiulară ω, deci diferența lor de fază nu depinde de timp (). Astfel de vibrații se numesc coerente.

Știm că proiecția totală a unui vector este egală cu suma proiecțiilor pe aceeași axă. Prin urmare, oscilația rezultată poate fi reprezentată printr-un vector de amplitudine care se rotește în jurul punctului O cu aceeași viteză unghiulară ω ca și . Oscilația rezultată trebuie să fie, de asemenea, armonică cu frecvența ω:

.

După regula adunării vectoriale, găsim amplitudinea totală:

Amplitudinea rezultată este găsită prin formula

Astfel, corpul, participând la două oscilații armonice de aceeași direcție și de aceeași frecvență, efectuează și o oscilație armonică în aceeași direcție și cu aceeași frecvență cu oscilațiile însumate.

Din (2.2.2) rezultă că amplitudinea DAR oscilatia rezultata depinde de diferenta fazelor initiale . Valori posibile DAR se află în interval (amplitudinea nu poate fi negativă).

Să luăm în considerare câteva cazuri simple.

1. Diferența de fază este zero sau număr parπ, adică unde . Apoi și

,

(2.2.4)

din moment ce , i.e. amplitudinea oscilației rezultată DAR este egală cu suma amplitudinilor oscilațiilor adăugate (oscilații în fază) (Fig. 2.3).

2. Diferența de fază este un număr imparπ , adică , Unde . Apoi . De aici

.

(2.2.5)

Pe fig. 2.4 arată amplitudinea oscilației rezultate DAR, egală cu diferența de amplitudini ale oscilațiilor adăugate (oscilații în defazat).

3. Diferența de fază se modifică în timp într-un mod arbitrar:

(2.2.6)

Din ecuația (2.2.6) rezultă că și se va modifica în funcție de valoarea lui . Prin urmare, atunci când se adaugă oscilații incoerente, nu are sens să vorbim despre adăugarea de amplitudini, dar în unele cazuri se observă modele destul de definite. Pentru practică, de interes deosebit este cazul când două oscilații adăugate de aceeași direcție diferă puțin ca frecvență. Ca urmare a adunării acestor oscilații se obțin oscilații cu o amplitudine care se schimbă periodic.

Modificări periodice ale amplitudinii oscilației care decurg din adăugarea a două oscilații armonice cu frecvențe apropiate, sunt numite bate . Strict vorbind, acestea nu mai sunt oscilații armonice.

Fie amplitudinile oscilațiilor adăugate să fie egale cu DAR, iar frecvențele sunt egale cu ω și , și . Alegem punctul de referință astfel încât fazele inițiale ale ambelor oscilații să fie egale cu zero:

Adăugăm aceste expresii, neglijând , întrucât .

Natura dependenței (2.2.8) este prezentată în Fig. 2.5, unde liniile groase și solide dau un grafic al oscilației rezultate, iar plicurile lor - un grafic cu amplitudine care se schimbă lent conform ecuației (2.2.7).

Determinarea frecvenței tonului (sunetul de o anumită înălțime) a bătăilor dintre vibrațiile de referință și cele măsurate este metoda cea mai utilizată în practică pentru compararea valorii măsurate cu cea de referință. Metoda beat este folosită pentru acordarea instrumentelor muzicale, analiza auzului etc.

În general, se numesc oscilații ale unei specii modulată . Cazuri speciale: modulația de amplitudine și modulația de fază sau frecvență. bate este cea mai simplă formă de oscilații modulate.

Orice oscilații periodice complexe pot fi reprezentate ca o suprapunere a oscilațiilor armonice care apar simultan cu diferite amplitudini, faze inițiale și, de asemenea, frecvențe care sunt multiple ai frecvenței ciclice ω:

.

Reprezentarea unei funcții periodice în această formă este asociată conceptului analiza armonică a unei oscilații periodice complexe sau expansiunea Fourier(adică reprezentarea oscilațiilor modulate complexe ca o serie (sumă) de oscilații armonice simple). Termenii seriei Fourier, care determină oscilații armonice cu frecvențele ω, 2ω, 3ω, ..., se numesc primul(sau principal), al doilea, al treilea etc. armonici oscilație periodică complexă.

Alături de mișcările de translație și rotație ale corpurilor în mecanică, mișcările oscilatorii prezintă, de asemenea, un interes considerabil. Vibrații mecanice numite mișcări ale corpurilor care se repetă exact (sau aproximativ) la intervale regulate. Legea mișcării unui corp oscilant este dată de o funcție periodică a timpului X = f (t). Reprezentarea grafică a acestei funcții oferă o reprezentare vizuală a cursului procesului oscilator în timp.

Exemple de sisteme oscilatorii simple sunt o sarcină pe un arc sau un pendul matematic (Fig. 2.1.1).

Oscilațiile mecanice, ca și procesele oscilatorii de orice altă natură fizică, pot fi liberși forţat. Vibrații libere sunt realizate sub influenta forțe interne după ce sistemul a fost scos din echilibru. Oscilațiile unei greutăți pe un arc sau oscilațiile unui pendul sunt oscilații libere. vibrații sub acțiune extern se numesc forţe în schimbare periodică forţat .

Cel mai simplu tip de proces oscilator sunt simple vibratii armonice , care sunt descrise de ecuație

X = X m cos (ω t + φ 0).

Aici X- deplasarea corpului din pozitia de echilibru, X m - amplitudinea oscilației, adică deplasarea maximă de la poziția de echilibru, ω - frecventa ciclica sau circulara ezitare, t- timp. Valoarea sub semnul cosinus φ = ω t+ φ 0 se numește fază proces armonic. La t= 0 φ = φ 0 , deci se numește φ 0 faza initiala. Se numește intervalul minim de timp după care se repetă mișcarea corpului perioada de oscilatie T. Se numește mărimea fizică reciprocă cu perioada de oscilație frecvența de oscilație:

Frecvența de oscilație f arată câte vibrații se fac în 1 s. unitate de frecventa - hertz(Hz). Frecvența de oscilație f este legată de frecvența ciclică ω și de perioada de oscilație T rapoarte:

Pe fig. 2.1.2 arată pozițiile corpului la intervale regulate cu vibrații armonice. O astfel de imagine poate fi obținută experimental prin iluminarea unui corp oscilant cu străfulgerări periodice scurte de lumină ( iluminare stroboscopică). Săgețile reprezintă vectorii viteză ai corpului în diferite momente în timp.

Orez. 2.1.3 ilustrează modificările care apar pe graficul unui proces armonic dacă se modifică fie amplitudinea oscilațiilor X m, sau punct T(sau frecventa f), sau faza inițială φ 0 .

Când corpul oscilează de-a lungul unei linii drepte (axa BOU) vectorul viteză este întotdeauna direcționat de-a lungul acestei drepte. Viteza υ = υ X mișcarea corpului este determinată de expresie

În matematică, procedura de găsire a limitei raportului la Δ t→ 0 se numește calculul derivatei funcției X (t) cu timpul tși notat ca sau ca X"(t) sau în final ca . Pentru legea armonică a mișcării Calcularea derivatei conduce la următorul rezultat:

Apariția termenului + π / 2 în argumentul cosinus înseamnă o schimbare în faza inițială. Valorile modulo maxime ale vitezei υ = ω X m se realizează în acele momente de timp în care corpul trece prin pozițiile de echilibru ( X= 0). Accelerația este definită într-un mod similar A = AX corpuri cu vibrații armonice:

de aici si acceleratia A este egală cu derivata funcției υ ( t) cu timpul t, sau derivata a doua a funcției X (t). Calculele dau:

Semnul minus din această expresie înseamnă că accelerația A (t) are întotdeauna semnul opus decalajului X (t), și, prin urmare, conform celei de-a doua legi a lui Newton, forța care determină corpul să efectueze oscilații armonice este întotdeauna îndreptată către poziția de echilibru ( X = 0).

A) Corpul participă la două oscilații armonice cu aceleași frecvențe circularew , dar cu amplitudini și faze inițiale diferite.

Ecuația acestor oscilații se va scrie după cum urmează:

x 1 \u003d a 1 cos (greutate + j 1)

x 2 \u003d a 2 cos (greutate + j 2),

Unde x 1și x 2- decalaje; a 1și a 2- amplitudini; w- frecventa circulara a ambelor oscilatii; j1și j2- fazele iniţiale ale oscilaţiilor.

Să adăugăm aceste fluctuații folosind o diagramă vectorială. Să reprezentăm ambele oscilații ca vectori de amplitudine. Pentru a face acest lucru, dintr-un punct arbitrar O situat pe axă X, lăsăm deoparte doi vectori 1 și, respectiv, 2 la unghiuri j1și j2 la această axă (Fig. 2).

Proiectiile acestor vectori pe axa X vor fi egale cu deplasările x 1și x 2 conform expresiei (2). Când ambii vectori se rotesc în sens invers acelor de ceasornic cu viteza unghiulară w proiecțiile capetelor lor pe axă X va produce vibratii armonice. Deoarece ambii vectori se rotesc cu aceeași viteză unghiulară w, apoi unghiul dintre ele j=j 1 -j 2 ramane constant. Adăugând ambii vectori 1 și 2 conform regulii paralelogramului, obținem vectorul rezultat . După cum se poate observa din Fig. 2, proiecția acestui vector pe axă X este egală cu suma proiecțiilor termenilor vectorilor x \u003d x 1 + x 2. Pe de alta parte: x \u003d a cos (wt + j o).

În consecință, vectorul se rotește cu aceeași viteză unghiulară ca vectorii 1 și 2 și efectuează o oscilație armonică care are loc de-a lungul aceleiași linii drepte ca termenii oscilațiilor și cu o frecvență egală cu frecvența oscilațiilor inițiale. Aici j o - faza iniţială a oscilaţiei rezultate.

După cum se poate observa din Fig. 2, pentru a determina amplitudinea oscilației rezultate, puteți utiliza teorema cosinusului, conform căreia avem:

a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 - 2a 1 a 2 cos

a \u003d a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cos (j 2 - j 1)(3)

Din expresia (3) se poate observa că amplitudinea oscilației rezultate depinde de diferența dintre fazele inițiale ( j 2 - j 1) termenii oscilaţiilor. Dacă fazele inițiale sunt egale ( j 2 =j 1), atunci formula (3) arată că amplitudinea A este egală cu suma a 1și a 2. Dacă diferența de fază ( j 2 - j 1) este egală cu ±180 o (adică ambele oscilații sunt în antifază), atunci amplitudinea oscilației rezultate este egală cu valoarea absolută a diferenței de amplitudine a termenilor de oscilație : a = |a 1 - a 2 |.

b) Corpul participă la două oscilații cu aceleași amplitudini, faze inițiale egale cu zero și frecvențe diferite..

Ecuațiile pentru aceste oscilații vor arăta astfel:

x 1 \u003d a sinw 1 t,

x 2 \u003d a sinw 2 t.

Procedând astfel, se presupune că w 1 puțin diferit ca mărime de w 2. Adăugând aceste expresii, obținem:

x \u003d x 1 + x 2 \u003d 2a cos[(w1-w2)/2]t+sin[(w1 +w2)/2]t=

=2а cos[(w1-w2)/2]t sin wt (4)

Mișcarea rezultată este o oscilație complexă numită bate(Fig. 3) Deoarece valoarea w1-w2 mic comparativ cu dimensiunea w1+w2, atunci această mișcare poate fi considerată ca o oscilație armonică cu o frecvență egală cu jumătate din suma frecvențelor oscilațiilor adăugate w=(w1+w2)/2, și amplitudine variabilă.

Din (4) rezultă că amplitudinea oscilației rezultate se modifică conform legii cosinusului periodic. Un ciclu complet de modificare a valorilor funcției cosinus are loc atunci când argumentul se schimbă cu 360 0 , în timp ce funcția trece valori de la +1 la -1. Starea sistemului care bate în momentele de timp corespunzătoare valorilor specificate ale funcției cosinus în formula (4) nu diferă în niciun fel. Cu alte cuvinte, ciclurile de bătăi apar cu o frecvență corespunzătoare unei modificări a argumentului cosinus din formula (4) cu 180 0 . Deci perioada T a modificările de amplitudine în timpul bătăilor (perioada de bătăi) sunt determinate din condiția:

T a \u003d 2p / (w 1 - w 2).

Dat fiind w=2pn, primim:

T a \u003d 2 p / 2 p (n 1 - n 2) \u003d 1 / (n 1 - n 2). (5)

Frecvența modificării amplitudinii oscilației rezultate este egală cu diferența de frecvențe ale oscilațiilor adăugate:

n=1/Ta =n1-n2.

Adăugarea oscilațiilor armonice dintr-o direcție.

bate

Luați în considerare un sistem oscilator cu un grad de libertate, a cărui stare este determinată de dependența unei cantități de timp. Fie ca oscilația din acest sistem să fie suma a două oscilații armonice cu aceeași frecvență, dar cu amplitudini și faze inițiale diferite, i.e.

Deoarece „deplasarea” sistemului oscilator din poziția de echilibru are loc pe o singură „direcție”, în acest caz se vorbește despre adăugarea oscilațiilor armonice dintr-o direcție. Pe diagrama vectorială, oscilațiile adăugate vor fi afișate ca doi vectori și , rotite unul față de celălalt cu un unghi (Fig. 6.1). Deoarece frecvențele oscilațiilor adăugate sunt aceleași, poziția lor reciprocă va rămâne neschimbată în orice moment, iar oscilația rezultată va fi reprezentată de un vector egal cu suma vectorilor și . Adunând vectorii conform regulii paralelogramului și folosind teorema cosinusului, obținem

. (6.3)

Prin urmare, la adăugarea a două oscilații armonice de aceeași direcție cu aceleași frecvențe se obține o oscilație armonică de aceeași frecvență, a cărei amplitudine și faza inițială sunt determinate de expresiile(6.2), (6.3).

Se numesc două oscilații armonice care apar la aceeași frecvență și au o diferență de fază constantă coerent. În consecință, la adăugarea de oscilații coerente se obține o oscilație armonică de aceeași frecvență, a cărei amplitudine și faza inițială sunt determinate de amplitudinile și fazele inițiale ale oscilațiilor adăugate.

Dacă oscilațiile adăugate au frecvențe diferite și , dar aceleași amplitudini , apoi, folosind expresia cunoscută din trigonometrie pentru suma cosinusurilor a două unghiuri, obținem

Din expresia rezultată se poate observa că oscilația rezultată nu este armonică.

Fie ca frecvențele oscilațiilor adăugate să fie apropiate unele de altele astfel încât și . Acest caz se numește batand doua frecvente.

Denotand , și , poate fi scris

. (6.5)

Din expresia (6.5) rezultă că oscilația rezultată poate fi reprezentată ca o oscilație armonică cu o anumită frecvență medie, a cărei amplitudine se modifică lent (cu o frecvență) în timp. Timp numit perioada de bataie, A – frecvența bătăilor. Graficul ritmului este prezentat în Figura 6.2. Bătăile apar atunci când sunetul simultan a două diapazon ale aceleiași chei. Ele pot fi observate folosind un osciloscop atunci când se adaugă oscilațiile armonice a două generatoare reglate la aceeași frecvență. În ambele cazuri, frecvențele surselor de oscilație vor diferi ușor, rezultând bătăi.

Deoarece oscilațiile au loc la frecvențe diferite, diferența de fază a oscilațiilor adăugate se modifică în timp, prin urmare, oscilațiile nu sunt coerente. Modificarea în timp a amplitudinii oscilațiilor rezultate este o consecință caracteristică a incoerenței oscilațiilor adăugate..

Adăugarea de oscilații este foarte des observată în circuitele electrice și, în special, în dispozitivele de comunicație radio. În unele cazuri, acest lucru se face intenționat pentru a obține un semnal cu parametri specificați. Deci, de exemplu, într-un receptor heterodin, semnalul recepționat este adăugat (amestecat) cu semnalul oscilatorului local pentru a obține o oscilație de frecvență intermediară ca urmare a prelucrării ulterioare. În alte cazuri, adăugarea de oscilații are loc spontan atunci când se primește un fel de interferență la intrarea dispozitivului, în plus față de semnalul util. De fapt, întreaga varietate a formei semnalelor electrice este rezultatul adunării a două sau mai multe oscilații armonice.

Același corp poate participa simultan la două sau mai multe mișcări. Un exemplu simplu este mișcarea unei mingi aruncată într-un unghi față de orizont. Putem presupune că mingea participă la două mișcări independente reciproc perpendiculare: uniformă pe orizontală și egal variabilă pe verticală. Unul și același corp (punct material) poate participa la două (sau mai multe) mișcări de tip oscilator.

Sub adăugarea de vibrațiiînțelegeți definiția legii oscilației rezultate, dacă sistemul oscilator participă simultan la mai multe procese oscilatorii. Există două cazuri limitative - adăugarea de oscilații dintr-o direcție și adăugarea de oscilații reciproc perpendiculare.

2.1. Adăugarea oscilațiilor armonice dintr-o direcție

1. Adunarea a două oscilații de aceeași direcție(oscilatii codirectionale)

se poate face folosind metoda diagramei vectoriale (Figura 9) în loc de a adăuga cele două ecuații.

Figura 2.1 prezintă vectorii de amplitudine DAR 1(t) și DAR 2 (t) oscilații însumate la un timp arbitrar t, când fazele acestor oscilații sunt, respectiv, egale și . Adăugarea de oscilații se reduce la definiție . Să folosim faptul că în diagrama vectorială suma proiecțiilor vectorilor adăugați este egală cu proiecția sumei vectoriale a acestor vectori.

Oscilația rezultată corespunde pe diagrama vectorială vectorului de amplitudine și fazei .

Figura 2.1 - Adăugarea oscilațiilor co-direcționale.

Mărimea vectorului DAR(t) poate fi găsit folosind teorema cosinusului:

Faza oscilației rezultate este dată de formula:

.

Dacă frecvențele oscilațiilor adăugate ω 1 și ω 2 nu sunt egale, atunci atât faza φ(t), cât și amplitudinea DAR(t) Fluctuația rezultată se va modifica în timp. Se numesc vibrații adăugate incoerentîn acest caz.

2. Se numesc două oscilații armonice x 1 și x 2 coerent, dacă diferența lor de fază nu depinde de timp:

Dar din moment ce , atunci pentru a îndeplini condiția de coerență a acestor două oscilații, frecvențele lor ciclice trebuie să fie egale.

Amplitudinea oscilației rezultate obținute prin adăugarea de oscilații codirecționale cu frecvențe egale (oscilații coerente) este egală cu:

Faza inițială a oscilației rezultate poate fi găsită cu ușurință prin proiectarea vectorilor DAR 1 și DAR 2 pe axele de coordonate OX și OY (vezi Figura 9):

.

Asa de, oscilația rezultată obținută prin adăugarea a două oscilații codirecționale armonice cu frecvențe egale este de asemenea o oscilație armonică.

3. Investigăm dependența amplitudinii oscilației rezultate de diferența dintre fazele inițiale ale oscilațiilor adăugate.

Dacă , unde n este orice număr întreg nenegativ

(n = 0, 1, 2…), atunci minim. Vibrațiile adăugate în momentul adăugării au fost în defazat. La , amplitudinea rezultată este zero.

În cazul în care un , apoi , adică amplitudinea rezultată va fi maxim. În momentul adăugării, oscilațiile adăugate au fost într-o singură fază, adică erau în fază. Dacă amplitudinile oscilațiilor adăugate sunt aceleași , apoi .

4. Adăugarea de vibrații codirecționale cu frecvențe inegale, dar apropiate.

Frecvențele oscilațiilor adăugate nu sunt egale, ci diferența de frecvență atât ω 1 cât și ω 2 sunt mult mai mici. Condiţia pentru apropierea frecvenţelor adăugate este scrisă de relaţiile .

Un exemplu de adăugare de oscilații co-direcționale cu frecvențe apropiate este mișcarea unui pendul orizontal cu arc, a cărui rigiditate a arcului este ușor diferită k 1 și k 2 .

Fie ca amplitudinile oscilațiilor adăugate să fie aceleași , iar fazele inițiale sunt egale cu zero. Atunci ecuațiile oscilațiilor adăugate au forma:

, .

Oscilația rezultată este descrisă de ecuația:

Ecuația de oscilație rezultată depinde de produsul a două funcții armonice: una cu o frecvență , celălalt - cu o frecvență , unde ω este aproape de frecvențele oscilațiilor adăugate (ω 1 sau ω 2). Oscilația rezultată poate fi privită ca oscilație armonică cu o amplitudine schimbătoare de armonici. Acest proces oscilator se numește bate. Strict vorbind, oscilația rezultată nu este în general o oscilație armonică.

Se ia valoarea absolută a cosinusului deoarece amplitudinea este o valoare pozitivă. Natura dependenței x res. pentru bătăi este prezentat în Figura 2.2.

Figura 2.2 - Dependența deplasării de timp în timpul bătăilor.

Amplitudinea bătăii se modifică lent cu frecvența. Valoarea absolută a cosinusului se repetă, dacă argumentul său se modifică cu π, atunci valoarea amplitudinii rezultate se va repeta după o perioadă de timp τ b, numită perioada de bataie(Vezi Figura 12). Valoarea perioadei de bătaie poate fi determinată din următoarea relație:

Valoarea este perioada de bătaie.

Valoare este perioada oscilației rezultate (Figura 2.4).

2.2. Adăugarea de vibrații reciproc perpendiculare

1. Un model care poate demonstra adăugarea vibrațiilor reciproc perpendiculare este prezentat în Figura 2.3. Un pendul (punct material de masă m) poate oscila de-a lungul axelor OX și OY sub acțiunea a două forțe elastice direcționate reciproc perpendicular.

Figura 2.3

Oscilațiile însumate au forma:

Frecvențele de oscilație sunt definite ca , , unde , sunt coeficienți de rigiditate a arcului.

2. Luați în considerare cazul adunării a două vibraţii reciproc perpendiculare cu aceleaşi frecvenţe , care corespunde condiției (aceleași arcuri). Atunci ecuațiile oscilațiilor adăugate vor lua forma:

Când un punct participă la două mișcări simultan, traiectoria lui poate fi diferită și destul de complexă. Ecuația pentru traiectoria oscilațiilor rezultate pe planul OXY atunci când se adună două perpendiculare reciproc cu frecvențe egale poate fi determinată prin excluderea timpului t din ecuațiile inițiale pentru x și y:

Tipul traiectoriei este determinat de diferența dintre fazele inițiale ale oscilațiilor adăugate, care depind de condițiile inițiale (vezi § 1.1.2). Luați în considerare opțiunile posibile.

si daca , unde n = 0, 1, 2…, adică oscilațiile însumate sunt în fază, atunci ecuația traiectoriei va lua forma:

(Figura 2.3 a).

Figura 2.3.a	Figura 2.3 b

b) Dacă (n = 0, 1, 2…), adică oscilațiile însumate sunt în antifază, atunci ecuația traiectoriei se scrie astfel:

(Figura 2.3b).

În ambele cazuri (a, b), mișcarea rezultată a punctului va oscila de-a lungul unei drepte care trece prin punctul O. Frecvența oscilației rezultate este egală cu frecvența oscilațiilor adăugate ω 0 , amplitudinea este determinată de raportul.