Cercul este înscris într-un triunghi. În acest articol, am adunat pentru tine sarcini în care este dat un triunghi cu un cerc înscris în el sau descris în jurul lui. Condiția ridică problema găsirii razei unui cerc sau a unei laturi a unui triunghi.

Este convenabil să rezolvați aceste sarcini folosind formulele prezentate. Recomand să le înveți, sunt foarte utile nu doar în rezolvarea acestui tip de sarcini. O formulă exprimă relația dintre raza unui cerc înscris într-un triunghi cu laturile și aria lui, cealaltă este raza unui cerc circumscris unui triunghi și cu laturile și aria lui:

S este aria triunghiului

Luați în considerare sarcinile:

27900. Latura laterală a unui triunghi isoscel este 1, unghiul la vârful opus bazei este 120 0 . Aflați diametrul cercului circumscris acestui triunghi.

Aici cercul este circumscris lângă triunghi.

Prima cale:

Putem găsi diametrul dacă raza este cunoscută. Folosim formula pentru raza unui cerc circumscris unui triunghi:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului

S este aria triunghiului

Cunoaștem două laturi (laturile laterale ale unui triunghi isoscel), o putem calcula pe a treia folosind teorema cosinusului:

Acum calculăm aria triunghiului:

*Am folosit formula (2) de la .

Calculați raza:

Deci diametrul va fi 2.

A doua cale:

Acestea sunt calcule verbale. Pentru cei care au priceperea de a rezolva sarcini cu un hexagon înscris într-un cerc, vor stabili imediat că laturile triunghiului AC și BC „coincid” cu laturile hexagonului înscris în cerc (unghiul hexagonului este exact 120 0, ca în starea problemei). Și apoi, pe baza faptului că latura unui hexagon înscris într-un cerc este egală cu raza acestui cerc, nu este greu de concluzionat că diametrul va fi egal cu 2AC, adică doi.

Pentru mai multe informații despre hexagon, consultați informațiile din (articolul 5).

Raspuns: 2

27931. Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic isoscel este 2. Aflați ipotenuza din acest triunghi. Vă rugăm să indicați în răspunsul dvs.

unde a, b, c sunt laturile triunghiului

S este aria triunghiului

Nu știm nici laturile triunghiului, nici aria lui. Să notăm catetele ca x, atunci ipotenuza va fi egală cu:

Și aria triunghiului va fi egală cu 0,5x2.

Mijloace

Deci ipotenuza va fi:

Raspunsul trebuie scris:

Raspuns: 4

27933. Într-un triunghi ABC AC=4, BC=3, unghi C este egal cu 90 0 . Aflați raza cercului înscris.

Să folosim formula pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului

S este aria triunghiului

Se cunosc două laturi (acestea sunt catete), putem calcula a treia (ipotenuza), putem calcula și aria.

Conform teoremei lui Pitagora:

Să găsim zona:

În acest fel:

Raspunsul 1

27934. Laturile unui triunghi isoscel sunt 5, baza este 6. Aflați raza cercului înscris.

Să folosim formula pentru raza unui cerc înscris într-un triunghi:

unde a, b, c sunt laturile triunghiului

S este aria triunghiului

Toate laturile sunt cunoscute, iar aria este calculată. Îl putem găsi folosind formula lui Heron:

Apoi

În acest fel:

Răspuns: 1.5

27624. Perimetrul unui triunghi este 12, iar raza cercului înscris este 1. Aflați aria acestui triunghi. Vizualizați soluția

27932. Catele unui triunghi dreptunghic isoscel sunt egale. Aflați raza cercului înscris în acest triunghi.

Un mic rezumat.

Dacă condiția conține un triunghi și un cerc înscris sau circumscris și vorbim despre laturi, arie, rază, atunci amintiți-vă imediat formulele indicate și încercați să le folosiți atunci când rezolvați. Dacă nu funcționează, atunci căutați alte modalități de a o rezolva.

Asta e tot. Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

O rază este un segment de linie care leagă de centrul său orice punct dintr-un cerc. Aceasta este una dintre cele mai importante caracteristici ale acestei figuri, deoarece toți ceilalți parametri pot fi calculați din ea. Dacă știți cum să găsiți raza unui cerc, puteți calcula diametrul, lungimea și aria acestuia. În cazul în care această cifră este înscrisă sau descrisă în jurul altuia, atunci o serie de alte probleme pot fi rezolvate. Astăzi vom analiza formulele de bază și caracteristicile aplicării lor.

Cantitati cunoscute

Dacă știți cum să găsiți raza unui cerc, care este de obicei notat cu litera R, atunci poate fi calculată dintr-o caracteristică. Aceste cantități includ:

• circumferinta (C);
• diametru (D) - un segment (sau mai bine zis, o coardă) care trece printr-un punct central;
• aria (S) - spațiul care este delimitat de o cifră dată.

De-a lungul circumferinței

Dacă valoarea C este cunoscută în problemă, atunci R = C / (2 * P). Această formulă este un derivat. Dacă știm care este circumferința, atunci nu mai trebuie memorată. Să presupunem că în problema C = 20 m. Cum se află raza cercului în acest caz? Pur și simplu înlocuiți valoarea cunoscută în formula de mai sus. Rețineți că, în astfel de probleme, este întotdeauna implicită cunoașterea numărului P. Pentru comoditatea calculelor, vom lua valoarea acestuia ca fiind 3,14. Soluția în acest caz este următoarea: notăm ce cantități sunt date, derivăm formula și efectuăm calcule. În răspuns, scriem că raza este 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m. Este important să nu uităm ce am considerat și să menționăm numele unităților de măsură.

După diametru

Subliniem imediat că acesta este cel mai simplu tip de problemă care întreabă cum se află raza unui cerc. Dacă un astfel de exemplu ți-a venit pe control, atunci poți fi calm. Nici măcar nu ai nevoie de calculator! După cum am spus deja, diametrul este un segment sau, mai corect, o coardă care trece prin centru. În acest caz, toate punctele cercului sunt echidistante. Prin urmare, acest acord este format din două jumătăți. Fiecare dintre ele este o rază, care rezultă din definiția sa ca un segment care leagă un punct dintr-un cerc și centrul acestuia. Dacă diametrul este cunoscut în problemă, atunci pentru a găsi raza, trebuie doar să împărțiți această valoare la două. Formula arată astfel: R = D / 2. De exemplu, dacă diametrul în problemă este de 10 m, atunci raza este de 5 metri.

După aria cercului

Acest tip de sarcină este de obicei numit cel mai dificil. Acest lucru se datorează în primul rând necunoașterii formulei. Dacă știți cum să găsiți raza unui cerc în acest caz, atunci restul este o chestiune de tehnică. În calculator, trebuie doar să găsiți pictograma rădăcină pătrată în avans. Aria unui cerc este produsul lui pi și raza înmulțită cu ea însăși. Formula arată astfel: S \u003d P * R 2. Izolând raza pe una dintre laturile ecuației, puteți rezolva cu ușurință problema. Va fi egal cu rădăcina pătrată a coeficientului de împărțire a ariei la numărul P. Dacă S \u003d 10 m, atunci R \u003d 1,78 metri. Ca și în sarcinile anterioare, este important să nu uităm de unitățile folosite.

Cum să găsiți raza cercului circumscris

Să presupunem că a, b, c sunt laturile unui triunghi. Dacă le cunoașteți magnitudinea, atunci puteți găsi raza cercului descris în jurul acestuia. Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să găsiți semiperimetrul triunghiului. Pentru a fi mai ușor de citit, să o notăm cu o literă mică p. Va fi egal cu jumătate din suma laturilor. Formula sa este: p = (a + b + c) / 2.

De asemenea, calculăm produsul lungimilor laturilor. Pentru comoditate, să o notăm cu litera S. Formula pentru raza cercului circumscris va arăta astfel: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * ( p - c)).

Luați în considerare un exemplu de sarcină. Avem un cerc circumscris unui triunghi. Lungimile laturilor sale sunt de 5, 6 și 7 cm. În primul rând, calculăm semiperimetrul. În problema noastră, va fi egal cu 9 centimetri. Acum calculăm produsul lungimilor laturilor - 210. Înlocuim rezultatele calculelor intermediare în formulă și aflăm rezultatul. Raza cercului circumscris este de 3,57 centimetri. Notăm răspunsul, fără a uita de unitățile de măsură.

Cum să găsiți raza unui cerc înscris

Să presupunem că a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi. Dacă le cunoașteți magnitudinea, atunci puteți găsi raza cercului înscris în el. Mai întâi trebuie să-i găsiți semi-perimetrul. Pentru ușurință de înțelegere, să o notăm cu o literă mică p. Formula de calcul este următoarea: p = (a + b + c) / 2. Acest tip de problemă este oarecum mai simplă decât precedenta, deci nu mai sunt necesare calcule intermediare.

Raza cercului înscris se calculează folosind următoarea formulă: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Să ne uităm la asta cu un exemplu concret. Să presupunem că problema descrie un triunghi cu laturile de 5, 7 și 10 cm, în care este înscris un cerc, a cărui rază trebuie găsită. Mai întâi, găsiți semi-perimetrul. În sarcina noastră, va fi egal cu 11 cm. Acum îl înlocuim în formula principală. Raza va fi egală cu 1,65 centimetri. Notăm răspunsul și nu uităm de unitățile de măsură corecte.

Cercul și proprietățile sale

Fiecare figură geometrică are propriile sale caracteristici. Corectitudinea rezolvării problemelor depinde de înțelegerea acestora. Există și cercuri. Adesea sunt folosite atunci când se rezolvă exemple cu figuri descrise sau înscrise, deoarece oferă o idee clară despre o astfel de situație. Printre ei:

• O linie dreaptă poate avea zero, unul sau două puncte de intersecție cu un cerc. În primul caz, nu se intersectează cu ea, în al doilea este o tangentă, în al treilea - o secantă.
• Dacă luați trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă, atunci numai un cerc poate fi trasat prin ele.
• O linie dreaptă poate fi tangentă la două cifre simultan. În acest caz, va trece printr-un punct care se află pe segmentul care leagă centrele cercurilor. Lungimea sa este egală cu suma razelor acestor forme.
• Un număr infinit de cercuri poate fi trasat printr-unul sau două puncte.

Un cerc este considerat a fi înscris în limitele unui poligon regulat dacă se află în interiorul acestuia, în timp ce atinge liniile care trec prin toate laturile. Luați în considerare cum să găsiți centrul și raza unui cerc. Centrul cercului va fi punctul în care bisectoarele colțurilor poligonului se intersectează. Se calculează raza: R=S/P; S este aria poligonului, P este semiperimetrul cercului.

Într-un triunghi

Într-un triunghi regulat este înscris un singur cerc, al cărui centru se numește incentru; este aceeași distanță din toate părțile și este intersecția bisectoarelor.

Într-un patrulater

Adesea trebuie să decideți cum să găsiți raza cercului înscris în această figură geometrică. Trebuie să fie convex (dacă nu există auto-intersecții). Un cerc poate fi înscris în el numai dacă sumele laturilor opuse sunt egale: AB+CD=BC+AD.

În acest caz, centrul cercului înscris, punctele medii ale diagonalelor, sunt situate pe o singură dreaptă (conform teoremei lui Newton). Segmentul ale cărui capete sunt situate acolo unde laturile opuse ale unui patrulater regulat se intersectează se află pe aceeași linie, numită linie Gauss. Centrul cercului va fi punctul în care înălțimile triunghiului se intersectează cu vârfurile, diagonalele (conform teoremei lui Brocard).

Într-un romb

Este considerat un paralelogram cu aceeași lungime a laturii. Raza unui cerc înscris în el poate fi calculată în mai multe moduri.

1. Pentru a face acest lucru corect, găsiți raza cercului înscris al rombului, dacă aria rombului este cunoscută, lungimea laturii sale. Se aplică formula r=S/(2Xa). De exemplu, dacă aria unui romb este de 200 mm pătrat, lungimea laturii este de 20 mm, atunci R = 200 / (2X20), adică 5 mm.
2. Este cunoscut un unghi ascuțit al unuia dintre vârfuri. Atunci este necesar să se folosească formula r=v(S*sin(α)/4). De exemplu, cu o suprafață de 150 mm și un unghi cunoscut de 25 de grade, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 mm.
3. Toate unghiurile dintr-un romb sunt egale. În această situație, raza unui cerc înscris într-un romb va fi egală cu jumătate din lungimea unei laturi a acestei figuri. Dacă argumentăm conform lui Euclid, care susține că suma unghiurilor oricărui patrulater este de 360 ​​de grade, atunci un unghi va fi egal cu 90 de grade; acestea. obține un pătrat.

Să înțelegem mai întâi diferența dintre un cerc și un cerc. Pentru a vedea această diferență, este suficient să luăm în considerare care sunt ambele cifre. Acesta este un număr infinit de puncte din plan, situate la o distanță egală de un singur punct central. Dar, dacă cercul este format și din spațiu interior, atunci nu aparține cercului. Se pare că un cerc este atât un cerc care îl delimitează (o-cerc (g)ness), cât și un număr nenumărat de puncte care se află în interiorul cercului.

Pentru orice punct L situat pe cerc, se aplică egalitatea OL=R. (Lungimea segmentului OL este egală cu raza cercului).

Un segment de dreaptă care leagă două puncte dintr-un cerc este coardă.

O coardă care trece direct prin centrul unui cerc este diametru acest cerc (D) . Diametrul poate fi calculat folosind formula: D=2R

Circumferinţă calculat prin formula: C=2\pi R

Aria unui cerc: S=\pi R^(2)

arc de cerc numită acea parte a acesteia, care este situată între două dintre punctele sale. Aceste două puncte definesc două arce de cerc. CD-ul de acorduri subtinde două arce: CMD și CLD. Aceleași acorduri subtind aceleași arce.

Colț central este unghiul dintre două raze.

lungimea arcului poate fi găsit folosind formula:

1. Folosind grade: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Folosind o măsură în radian: CD = \alpha R

Diametrul care este perpendicular pe coardă traversează coarda și arcurile pe care le întinde.

Dacă acordurile AB și CD ale cercului se intersectează în punctul N, atunci produsele segmentelor coardelor separate de punctul N sunt egale între ele.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangenta la cerc

Tangent la un cerc Se obișnuiește să se numească o dreaptă care are un punct comun cu un cerc.

Dacă o dreaptă are două puncte în comun, se numește secantă.

Dacă desenați o rază în punctul de contact, aceasta va fi perpendiculară pe tangenta la cerc.

Să desenăm două tangente din acest punct la cercul nostru. Se pare că segmentele tangentelor vor fi egale între ele, iar centrul cercului va fi situat pe bisectoarea unghiului cu vârful în acest punct.

AC=CB

Acum desenăm o tangentă și o secantă la cerc din punctul nostru. Obținem că pătratul lungimii segmentului tangent va fi egal cu produsul întregului segment secant cu partea sa exterioară.

AC^(2) = CD \cdot BC

Putem concluziona: produsul unui segment întreg al primei secante cu partea sa exterioară este egal cu produsul unui segment întreg al celei de-a doua secante cu partea sa exterioară.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Unghiuri într-un cerc

Măsurile gradelor unghiului central și arcului pe care se sprijină sunt egale.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Unghi înscris este un unghi al cărui vârf este pe un cerc și ale cărui laturi conțin coarde.

Îl puteți calcula știind dimensiunea arcului, deoarece este egal cu jumătate din acest arc.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Bazat pe diametru, unghi înscris, drept.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Unghiurile înscrise care se sprijină pe același arc sunt identice.

Unghiurile înscrise pe baza aceleiași coarde sunt identice sau suma lor este egală cu 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Pe același cerc sunt vârfurile triunghiurilor cu unghiuri identice și cu o bază dată.

Un unghi cu un vârf în interiorul cercului și situat între două coarde este identic cu jumătate din suma valorilor unghiulare ale arcelor de cerc care se află în interiorul unghiurilor date și verticale.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un unghi cu un vârf în afara cercului și situat între două secante este identic cu jumătate din diferența dintre mărimile unghiulare ale arcelor unui cerc care se află în interiorul unghiului.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Cerc înscris

Cerc înscris este un cerc tangent la laturile poligonului.

În punctul în care bisectoarele unghiurilor poligonului se intersectează, se află centrul acestuia.

Este posibil ca un cerc să nu fie înscris în fiecare poligon.

Aria unui poligon cu un cerc înscris se găsește prin formula:

S=pr,

p este semiperimetrul poligonului,

r este raza cercului înscris.

Rezultă că raza cercului înscris este:

r = \frac(S)(p)

Sumele lungimilor laturilor opuse vor fi identice dacă cercul este înscris într-un patrulater convex. Și invers: un cerc este înscris într-un patrulater convex dacă sumele lungimilor laturilor opuse din el sunt identice.

AB+DC=AD+BC

Este posibil să se înscrie un cerc în oricare dintre triunghiuri. Doar unul singur. În punctul în care bisectoarele unghiurilor interioare ale figurii se intersectează, centrul acestui cerc înscris se va afla.

Raza cercului înscris se calculează cu formula:

r = \frac(S)(p),

unde p = \frac(a + b + c)(2)

Cerc circumscris

Dacă un cerc trece prin fiecare vârf al unui poligon, atunci se numește un astfel de cerc circumscris unui poligon.

Centrul cercului circumscris va fi în punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale laturilor acestei figuri.

Raza poate fi găsită calculând-o ca raza unui cerc care este circumscris unui triunghi definit de oricare 3 vârfuri ale poligonului.

Există următoarea condiție: un cerc poate fi circumscris în jurul unui patrulater numai dacă suma unghiurilor sale opuse este egală cu 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

În apropierea oricărui triunghi este posibil să descrii un cerc și unul și numai unul. Centrul unui astfel de cerc va fi situat în punctul în care bisectoarele perpendiculare ale laturilor triunghiului se intersectează.

Raza cercului circumscris poate fi calculată prin formulele:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului,

S este aria triunghiului.

teorema lui Ptolemeu

În cele din urmă, luați în considerare teorema lui Ptolemeu.

Teorema lui Ptolemeu afirmă că produsul diagonalelor este identic cu suma produselor laturilor opuse ale unui patrulater înscris.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Considerăm un cerc înscris într-un triunghi (Fig. 302). Amintiți-vă că centrul său O este plasat la intersecția bisectoarelor unghiurilor interioare ale triunghiului. Segmentele OA, OB, OS, care leagă O cu vârfurile triunghiului ABC, vor împărți triunghiul în trei triunghiuri:

AOB, BOS, SOA. Înălțimea fiecăruia dintre aceste triunghiuri este egală cu raza și, prin urmare, ariile lor sunt exprimate ca

Aria întregului triunghi S este egală cu suma acestor trei zone:

unde este semiperimetrul triunghiului. De aici

Raza cercului înscris este egală cu raportul dintre aria triunghiului și jumătatea perimetrului său.

Pentru a obține o formulă pentru raza cercului circumscris unui triunghi, demonstrăm următoarea propoziție.

Teorema a: În orice triunghi, latura este egală cu diametrul cercului circumscris înmulțit cu sinusul unghiului opus.

Dovada. Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC și un cerc circumscris în jurul lui, a cărui rază va fi notată cu R (Fig. 303). Fie A unghiul ascuțit al triunghiului. Să desenăm razele OB, OS ale cercului și să aruncăm perpendiculara OK din centrul său O spre latura BC a triunghiului. Rețineți că unghiul a al unui triunghi este măsurat cu jumătate din arcul BC, pentru care unghiul BOC este unghiul central. De aici este clar că . Prin urmare, dintr-un triunghi dreptunghic SOK găsim , sau , care trebuia să fie demonstrat.

Fig. dat. 303 iar argumentul se referă la cazul unui unghi ascuțit al unui triunghi; nu ar fi dificil de realizat o demonstrație pentru cazurile unghiurilor drepte și obtuze (cititorul va face acest lucru singur), dar se poate folosi teorema sinusului (218.3). Din moment ce trebuie să fie unde

Teorema sinusului este de asemenea scrisă în. formă

iar compararea cu notaţia (218.3) dă pt

Raza cercului circumscris este egală cu raportul dintre produsul celor trei laturi ale triunghiului și aria sa cvadrupla.

O sarcină. Aflați laturile unui triunghi isoscel dacă cercurile lui înscrise și, respectiv, circumscrise au raze

Soluţie. Să scriem formulele care exprimă razele cercurilor înscrise și circumscrise ale triunghiului:

Pentru un triunghi isoscel cu o latură și o bază, aria este exprimată prin formula

sau, reducând fracția cu un factor diferit de zero, avem

ceea ce conduce la o ecuaţie pătratică pentru

Are doua solutii:

Înlocuind în loc de expresia sa în oricare dintre ecuațiile pentru sau R, găsim în sfârșit două răspunsuri la problema noastră:

Exerciții

1. Înălțimea unui triunghi dreptunghic, trasă din vârful unghiului drept, împarte ipotenuza în raport cu Aflați raportul fiecărui catete la ipotenuză.

2. Bazele unui trapez isoscel înscris în jurul unui cerc sunt egale cu a și b. Aflați raza cercului.

3. Două cercuri se ating în exterior. Tangentele lor comune sunt înclinate față de linia centrelor la un unghi de 30°. Lungimea segmentului tangent dintre punctele de contact este de 108 cm.Aflați razele cercurilor.

4. Catele unui triunghi dreptunghic sunt egale cu a și b. Găsiți aria unui triunghi ale cărui laturi sunt înălțimea și mediana triunghiului dat, desenată din vârful unghiului drept, și segmentul ipotenuzei dintre punctele de intersecție a acestora cu ipotenuza.

5. Laturile triunghiului sunt 13, 14, 15. Aflați proiecția fiecăruia dintre ele pe celelalte două.

6. Într-un triunghi se cunosc latura și înălțimile Aflați laturile b și c.

7. Se cunosc două laturi ale triunghiului și mediana.Aflați a treia latură a triunghiului.

8. Având în vedere două laturi ale unui triunghi și un unghi a între ele: Aflați razele cercurilor înscrise și circumscrise.

9. Laturile triunghiului a, b, c sunt cunoscute. Care sunt segmentele în care sunt împărțite prin punctele de contact ale cercului înscris cu laturile triunghiului?