Un scurt curs de geometrie descriptivă

Prelegerile sunt destinate studenților specialităților de inginerie și tehnică

Metoda Monge

Dacă informațiile despre distanța unui punct față de planul de proiecție sunt date nu cu ajutorul unui semn numeric, ci cu ajutorul celei de-a doua proiecții a punctului, construită pe al doilea plan de proiecție, atunci desenul se numește două- imagine sau complex. Principiile de bază pentru construirea unor astfel de desene sunt expuse de G. Monge.
Metoda prezentată de Monge - metoda proiecției ortogonale și două proiecții sunt luate pe două planuri de proiecție reciproc perpendiculare - oferind expresivitate, acuratețe și lizibilitate imaginilor obiectelor pe un plan, a fost și rămâne principala metodă de întocmire a desenelor tehnice.

Figura 1.1 Punct în sistemul de trei planuri de proiecție

Modelul a trei planuri de proiecție este prezentat în Figura 1.1. Al treilea plan, perpendicular atât pe P1 cât și pe P2, este notat cu litera P3 și se numește planul profilului. Proiecțiile punctelor de pe acest plan se notează cu majuscule sau cifre cu indicele 3. Planurile de proiecție, intersectându-se în perechi, definesc trei axe 0x, 0y și 0z, care pot fi considerate ca un sistem de coordonate carteziene în spațiu cu originea. la punctul 0. Trei planuri de proiecție împart spațiul în opt unghiuri triedrice – octanți. Ca și înainte, vom presupune că privitorul care vizualizează obiectul se află în primul octant. Pentru a obține o diagramă, punctele din sistemul de trei plane de proiecție ale planurilor P1 și P3 sunt rotite până când coincid cu planul P2. La desemnarea axelor pe o diagramă, semiaxele negative nu sunt de obicei indicate. Dacă doar imaginea obiectului în sine este semnificativă și nu poziția sa față de planurile de proiecție, atunci axele de pe diagramă nu sunt afișate. Coordonatele sunt numere care corespund unui punct pentru a determina poziția acestuia în spațiu sau pe o suprafață. În spațiul tridimensional, poziția unui punct este stabilită folosind coordonatele carteziene dreptunghiulare x, y și z (abscisă, ordonată și aplicată).

Pentru a determina poziția unei drepte în spațiu, există următoarele metode: 1. Două puncte (A și B). Luați în considerare două puncte din spațiul A și B (Fig. 2.1). Prin aceste puncte putem trage o linie dreaptă, obținem un segment. Pentru a găsi proiecțiile acestui segment pe planul de proiecție, este necesar să găsiți proiecțiile punctelor A și B și să le conectați cu o dreaptă. Fiecare dintre proiecțiile segmentului de pe planul de proiecție este mai mică decât segmentul însuși:<; <; <.

Figura 2.1 Determinarea poziției unei drepte din două puncte

2. Două planuri (a; b). Această metodă de setare este determinată de faptul că două plane neparalele se intersectează în spațiu într-o linie dreaptă (această metodă este discutată în detaliu în cursul geometriei elementare).

3. Punctul și unghiurile de înclinare față de planurile de proiecție. Cunoscând coordonatele unui punct aparținând dreptei și unghiul său de înclinare față de planurile de proiecție, puteți afla poziția dreptei în spațiu.

În funcție de poziția dreptei în raport cu planurile de proiecție, aceasta poate ocupa atât poziții generale, cât și poziții particulare. 1. O linie dreaptă care nu este paralelă cu niciun plan de proiecție se numește dreptă în poziție generală (Fig. 3.1).

2. Liniile drepte paralele cu planurile de proiecție ocupă o anumită poziție în spațiu și se numesc linii de nivel. În funcție de planul de proiecție cu care este paralelă linia dată, există:

2.1. Proiecțiile directe paralele cu planul orizontal se numesc linii orizontale sau linii de contur (fig. 3.2).

Figura 3.2 Linie dreaptă orizontală

2.2. Proiectiile directe paralele cu planul frontal se numesc frontale sau frontale (Fig. 3.3).

Figura 3.3 Dreaptă frontală

2.3. Proiecțiile directe paralele cu planul profilului se numesc proiecții de profil (Fig. 3.4).

Figura 3.4 Profil drept

3. Dreptele perpendiculare pe planurile de proiecție se numesc proiectare. O linie perpendiculară pe un plan de proiecție este paralelă cu celelalte două. În funcție de planul de proiecție pe care linia investigată este perpendiculară, există:

3.1. Linie dreaptă proiectată frontal - AB (Fig. 3.5).

Figura 3.5 Linia de proiecție frontală

3.2. Linie dreaptă proeminentă a profilului - AB (Fig. 3.6).

Figura 3.6 Linia de proiectare a profilului

3.3. Linie dreaptă proiectată orizontal - AB (Fig. 3.7).

Figura 3.7 Linie proiectată orizontal

Planul este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o expunere sistematică a geometriei, conceptul de plan este de obicei luat ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinat doar indirect de axiomele geometriei. Câteva proprietăți caracteristice ale unui plan: 1. Un plan este o suprafață care conține complet fiecare linie care leagă oricare dintre punctele sale; 2. Un plan este o mulțime de puncte echidistante de două puncte date.

Modalități de definire grafică a planurilor Poziția unui plan în spațiu poate fi determinată:

1. Trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă (Fig. 4.1).

Figura 4.1 Plan definit de trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă

2. O dreaptă și un punct care nu aparțin acestei drepte (Fig. 4.2).

Figura 4.2 Plan definit printr-o dreaptă și un punct care nu aparține acestei drepte

3. Două linii drepte care se intersectează (Fig. 4.3).

Figura 4.3 Plan definit de două drepte care se intersectează

4. Două linii paralele (Fig. 4.4).

Figura 4.4 Plan definit de două drepte paralele

Poziție diferită a planului față de planurile de proiecție

În funcție de poziția planului în raport cu planurile de proiecție, acesta poate ocupa atât poziții generale, cât și poziții particulare.

1. Un plan care nu este perpendicular pe niciun plan de proiecție se numește plan în poziție generală. Un astfel de plan intersectează toate planurile de proiecție (are trei urme: - orizontală S 1; - frontală S 2; - profil S 3). Urmele planului generic se intersectează în perechi pe axele la punctele ax,ay,az. Aceste puncte se numesc puncte de fugă, ele pot fi considerate ca vârfurile unghiurilor triedrice formate de planul dat cu două din cele trei plane de proiecție. Fiecare dintre urmele planului coincide cu proiecția sa cu același nume, iar celelalte două proiecții de nume opuse se află pe axe (Fig. 5.1).

2. Planuri perpendiculare pe planurile proiecțiilor - ocupă o anumită poziție în spațiu și se numesc proiectare. În funcție de planul de proiecție pe care planul dat este perpendicular, există:

2.1. Planul perpendicular pe planul de proiecție orizontal (S ^ П1) se numește plan de proiectare orizontală. Proiecția orizontală a unui astfel de plan este o linie dreaptă, care este și calea sa orizontală. Proiecțiile orizontale ale tuturor punctelor oricărei figuri din acest plan coincid cu traseul orizontal (Fig. 5.2).

Figura 5.2 Plan de proiecție orizontal

2.2. Planul perpendicular pe planul frontal al proiecțiilor (S ^ P2) este planul care se proiectează în față. Proiecția frontală a planului S este o linie dreaptă care coincide cu urma S 2 (Fig. 5.3).

Figura 5.3 Planul de proiecție frontală

2.3. Planul perpendicular pe planul profilului (S ^ П3) este planul de proiectare a profilului. Un caz special al unui astfel de plan este planul bisectoare (Fig. 5.4).

Figura 5.4 Profil-plan de proiectare

3. Planuri paralele cu planurile proiecțiilor - ocupă o anumită poziție în spațiu și se numesc planuri de nivel. În funcție de planul cu care planul studiat este paralel, există:

3.1. Plan orizontal - un plan paralel cu planul orizontal de proiecție (S //P1) - (S ^P2, S ^P3). Orice figură din acest plan este proiectată pe planul P1 fără distorsiuni, iar pe planul P2 și P3 în linii drepte - urme ale planului S 2 și S 3 (Fig. 5.5).

Figura 5.5 Plan orizontal

3.2. Plan frontal - un plan paralel cu planul de proiecție frontală (S //P2), (S ^P1, S ^P3). Orice figură din acest plan este proiectată pe planul P2 fără distorsiuni, iar pe planul P1 și P3 în linii drepte - urme ale planului S 1 și S 3 (Fig. 5.6).

Figura 5.6 Plan frontal

3.3. Plan de profil - un plan paralel cu planul de profil al proiecțiilor (S //P3), (S ^P1, S ^P2). Orice figură din acest plan este proiectată pe planul P3 fără distorsiuni, iar pe planul P1 și P2 în linii drepte - urme ale planului S 1 și S 2 (Fig. 5.7).

Figura 5.7 Planul profilului

Urme de avion

Urma planului este linia de intersecție a planului cu planurile de proiecție. În funcție de care dintre planurile de proiecție se intersectează cel dat, ele disting: urme orizontale, frontale și de profil ale planului.

Fiecare urmă a planului este o dreaptă, pentru construcția căreia este necesar să se cunoască două puncte, sau un punct și direcția dreptei (ca și la construcția oricărei drepte). Figura 5.8 arată găsirea urmelor planului S (ABC). Urma frontală a planului S2 este construită ca o linie care leagă două puncte 12 și 22, care sunt urme frontale ale liniilor corespunzătoare aparținând planului S . Urma orizontală S 1 este o linie dreaptă care trece prin urma orizontală a dreptei AB și S x. Urma profilului S 3 - o linie dreaptă care leagă punctele (S y și S z) de intersecție a urmelor orizontale și frontale cu axele.

Figura 5.8 Construcția urmelor plane

Determinarea poziției relative a unei drepte și a unui plan este o problemă de poziție, pentru a cărei rezolvare se utilizează metoda planurilor auxiliare de tăiere. Esența metodei este următoarea: trageți un plan secant auxiliar Q prin linie și stabiliți poziția relativă a două drepte a și b, ultima dintre acestea fiind linia de intersecție a planului secant auxiliar Q și acest plan T ( Fig. 6.1).

Figura 6.1 Metoda planului de tăiere auxiliar

Fiecare dintre cele trei cazuri posibile de poziție relativă a acestor drepte corespunde unui caz similar de poziție reciprocă a dreptei și a planului. Deci, dacă ambele drepte coincid, atunci linia a se află în planul T, paralelismul dreptelor indică paralelismul dreptei și al planului și, în final, intersecția dreptelor corespunde cazului în care dreapta a se intersectează. planul T. Astfel, există trei cazuri de poziție relativă a dreptei și a planului: aparține planului; Linia este paralelă cu planul; O linie dreaptă intersectează un plan, un caz special - o dreaptă este perpendiculară pe plan. Să luăm în considerare fiecare caz.

Linie dreaptă aparținând planului

Axioma 1. O dreaptă aparține unui plan dacă două dintre punctele sale aparțin aceluiași plan (fig.6.2).

Sarcină. Având în vedere un plan (n,k) și o proiecție a dreptei m2. Este necesar să se găsească proiecțiile lipsă ale dreptei m dacă se știe că aceasta aparține planului dat de dreptele care se intersectează n și k. Proiecția dreptei m2 intersectează dreptele n și k în punctele B2 și C2, pentru a găsi proiecțiile lipsă ale dreptei, este necesar să găsim proiecțiile lipsă ale punctelor B și C ca puncte situate pe liniile n și k , respectiv. Astfel, punctele B și C aparțin planului dat de dreptele care se intersectează n și k, iar dreapta m trece prin aceste puncte, ceea ce înseamnă că, conform axiomei, dreapta aparține acestui plan.

Axioma 2. O dreaptă aparține unui plan dacă are un punct comun cu planul și este paralelă cu orice dreaptă situată în acest plan (Fig. 6.3).

Sarcină. Desenați o dreaptă m prin punctul B dacă se știe că aparține planului dat prin intersectarea dreptelor n și k. Fie B să aparțină dreptei n situată în planul dat de dreptele care se intersectează n și k. Prin proiecția B2 desenăm proiecția dreptei m2 paralelă cu dreapta k2, pentru a găsi proiecțiile lipsă ale dreptei, este necesar să construim proiecția punctului B1 ca punct situat pe proiecția dreptei n1 și trageți proiecția dreptei m1 prin ea paralelă cu proiecția k1. Astfel, punctele B aparțin planului dat de dreptele care se intersectează n și k, iar dreapta m trece prin acest punct și este paralelă cu dreapta k, ceea ce înseamnă că, conform axiomei, dreapta aparține acestui plan.

Figura 6.3 O dreaptă are un punct comun cu un plan și este paralelă cu o dreaptă situată în acest plan

Liniile principale din avion

Printre liniile drepte aparținând planului, un loc special este ocupat de liniile drepte care ocupă o anumită poziție în spațiu:

1. Orizontale h - drepte situate într-un plan dat și paralele cu planul orizontal al proiecțiilor (h / / P1) (Fig. 6.4).

Figura 6.4 Orizontală

2. Frontale f - linii drepte situate în plan și paralele cu planul frontal al proiecțiilor (f / / P2) (Fig. 6.5).

Figura 6.5 Frontal

3. Drepte de profil p - drepte care se află într-un plan dat și paralele cu planul de profil al proiecțiilor (p / / P3) (Fig. 6.6). Trebuie menționat că urmele avionului pot fi atribuite și liniilor principale. Urma orizontala este orizontala planului, frontala este fata si profilul este linia de profil a planului.

Figura 6.6 Profil drept

4. Linia celei mai mari pante și proiecția ei orizontală formează un unghi liniar j, care măsoară unghiul diedru format de acest plan și planul orizontal al proiecțiilor (Fig. 6.7). Evident, dacă o dreaptă nu are două puncte comune cu un plan, atunci ea fie este paralelă cu planul, fie îl intersectează.

Figura 6.7 Linia celei mai mari pante

Poziția reciprocă a unui punct și a unui plan

Există două opțiuni pentru aranjarea reciprocă a unui punct și a unui plan: fie punctul aparține planului, fie nu. Dacă punctul aparține planului, atunci doar una dintre cele trei proiecții care determină poziția punctului în spațiu poate fi stabilită în mod arbitrar. Să considerăm un exemplu (fig.6.8): Construcția unei proiecții a unui punct A aparținând unui plan de poziție generală dat de două drepte paralele a(a//b).

Sarcină. Date: planul T(a,b) și proiecția punctului A2. Este necesar să se construiască proiecția A1 dacă se știe că punctul A se află în planul c,a. Prin punctul A2 trasăm proiecția dreptei m2, care intersectează proiecțiile dreptelor a2 și b2 în punctele C2 și B2. După ce am construit proiecțiile punctelor C1 și B1, care determină poziția lui m1, găsim proiecția orizontală a punctului A.

Figura 6.8. Punct aparținând avionului

Două planuri din spațiu pot fi fie reciproc paralele, într-un caz particular coincid unul cu celălalt, fie se pot intersecta. Planurile reciproc perpendiculare sunt un caz special de planuri care se intersectează.

1. Planuri paralele. Planurile sunt paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan. Această definiție este bine ilustrată de sarcina, prin punctul B, de a trasa un plan paralel cu planul dat de două drepte care se intersectează ab (Fig. 7.1). Sarcină. Dat: un plan în poziție generală dat de două drepte care se intersectează ab și punctul B. Se cere să se tragă un plan prin punctul B paralel cu planul ab și să-l definească prin două drepte care se intersectează c și d. Conform definiției, dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele între ele. Pentru a desena linii paralele pe diagramă este necesar să folosim proprietatea proiecției paralele - proiecțiile dreptelor paralele sunt paralele între ele d||a, c||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Figura 7.1. Planuri paralele

2. Planuri care se intersectează, un caz special - planuri reciproc perpendiculare. Linia de intersecție a două plane este o dreaptă, pentru construcția căreia este suficient să se determine cele două puncte ale sale comune ambelor plane, sau un punct și direcția dreptei de intersecție a planelor. Luați în considerare construcția dreptei de intersecție a două plane, atunci când unul dintre ele este proiectat (Fig. 7.2).

Sarcină. Având în vedere: un plan în poziție generală este dat de un triunghi ABC, iar al doilea plan este un T care se proiectează orizontal. Este necesară construirea unei linii de intersecție a planurilor. Rezolvarea problemei constă în găsirea a două puncte comune acestor planuri prin care se poate trasa o dreaptă. Planul definit de triunghiul ABC poate fi reprezentat ca drepte (AB), (AC), (BC). Punctul de intersecție al dreptei (AB) cu planul T - punctul D, dreapta (AC) -F. Segmentul definește linia de intersecție a planurilor. Deoarece T este un plan care se proiectează orizontal, proiecția D1F1 coincide cu urma planului T1, deci rămâne doar să construim proiecțiile lipsă pe P2 și P3.

Figura 7.2. Intersecția unui plan generic cu un plan proiectat orizontal

Să trecem la cazul general. Să fie date două plane generice a(m,n) și b (ABC) în spațiu (Fig. 7.3).

Figura 7.3. Intersecția planelor în poziție generală

Se consideră șirul de construire a dreptei de intersecție a planurilor a(m//n) și b(ABC). Prin analogie cu problema anterioară, pentru a găsi dreapta de intersecție a acestor plane, desenăm plane secante auxiliare g și d. Să găsim liniile de intersecție ale acestor planuri cu planurile luate în considerare. Planul g intersectează planul a de-a lungul unei linii drepte (12), iar planul b - de-a lungul unei linii drepte (34). Punctul K - punctul de intersecție al acestor drepte aparține simultan la trei plane a, b și g, fiind astfel un punct aparținând dreptei de intersecție a planurilor a și b. Planul d intersectează planele a și b de-a lungul liniilor (56) și respectiv (7C), punctul lor de intersecție M este situat simultan în trei plane a, b, d și aparține dreptei de intersecție a planelor a și b. Astfel, se găsesc două puncte aparținând dreptei de intersecție a planelor a și b - o dreaptă (KM).

O oarecare simplificare în construirea liniei de intersecție a planurilor poate fi realizată dacă planurile secante auxiliare sunt trasate prin liniile drepte care definesc planul.

Planuri reciproc perpendiculare. Din stereometrie se știe că două plane sunt reciproc perpendiculare dacă unul dintre ele trece printr-o perpendiculară pe celălalt. Prin punctul A, puteți desena o mulțime de plane perpendiculare pe planul dat a (f, h). Aceste plane formează un mănunchi de planuri în spațiu, a cărui axă este perpendiculara coborâtă din punctul A spre planul a. Pentru a desena un plan perpendicular pe planul dat de două drepte care se intersectează hf din punctul A, este necesar să se traseze o dreaptă n perpendiculară pe planul hf din punctul A (proiecția orizontală n este perpendiculară pe proiecția orizontală a orizontală h, proiecţia frontală n este perpendiculară pe proiecţia frontală a frontalului f). Orice plan care trece prin dreapta n va fi perpendicular pe planul hf, prin urmare, pentru a seta planul prin punctele A, trasăm o dreaptă m arbitrară. Planul dat de două drepte care se intersectează mn va fi perpendicular pe planul hf (Fig. 7.4).

Figura 7.4. Planuri reciproc perpendiculare

Metoda deplasării plan-paralel

Modificarea poziției relative a obiectului proiectat și a planurilor de proiecție prin metoda mișcării plan-paralel se realizează prin schimbarea poziției obiectului geometric astfel încât traiectoria punctelor sale să fie în planuri paralele. Planurile purtătoare ale traiectoriilor punctelor în mișcare sunt paralele cu orice plan de proiecție (Fig. 8.1). Traiectoria este o linie arbitrară. Cu un transfer paralel al unui obiect geometric în raport cu planurile de proiecție, proiecția figurii, deși își schimbă poziția, rămâne congruentă cu proiecția figurii în poziția inițială.

Figura 8.1 Determinarea mărimii naturale a segmentului prin metoda mișcării plan-paralel

Proprietățile mișcării plan-paralel:

1. Cu orice mișcare a punctelor într-un plan paralel cu planul P1, proiecția sa frontală se deplasează de-a lungul unei drepte paralele cu axa x.

2. În cazul unei mișcări arbitrare a unui punct într-un plan paralel cu P2, proiecția sa orizontală se deplasează de-a lungul unei drepte paralele cu axa x.

Metoda de rotație în jurul unei axe perpendiculare pe planul de proiecție

Planurile purtătoare ale traiectoriilor de mișcare a punctelor sunt paralele cu planul de proiecție. Traiectorie - un arc de cerc, al cărui centru este situat pe axa perpendiculară pe planul proiecțiilor. Pentru a determina dimensiunea naturală a unui segment de dreaptă în poziţia generală AB (Fig. 8.2), alegem axa de rotaţie (i) perpendiculară pe planul orizontal de proiecţie şi care trece prin B1. Să rotim segmentul astfel încât să devină paralel cu planul de proiecție frontală (proiecția orizontală a segmentului este paralelă cu axa x). În acest caz, punctul A1 se va deplasa la A "1, iar punctul B nu își va schimba poziția. Poziția punctului A" 2 se află la intersecția proiecției frontale a traiectoriei de mișcare a punctului A (o linie dreaptă paralelă la axa x) și linia de comunicație trasată din A "1. Proiecția rezultată B2 A "2 determină dimensiunea reală a segmentului însuși.

Figura 8.2 Determinarea dimensiunii naturale a unui segment prin rotirea în jurul unei axe perpendiculare pe planul orizontal al proiecțiilor

Metoda de rotație în jurul unei axe paralele cu planul de proiecție

Luați în considerare această metodă folosind exemplul de determinare a unghiului dintre liniile care se intersectează (Fig. 8.3). Se consideră două proiecții ale dreptelor care se intersectează a și în care se intersectează în punctul K. Pentru a determina valoarea naturală a unghiului dintre aceste drepte este necesară transformarea proiecțiilor ortogonale astfel încât liniile să devină paralele cu planul de proiecție. Să folosim metoda de rotație în jurul liniei de nivel - orizontală. Să desenăm o proiecție frontală arbitrară a orizontalei h2 paralelă cu axa Ox, care intersectează liniile în punctele 12 și 22. După ce am definit proiecțiile 11 și 11, construim o proiecție orizontală a orizontalei h1 . Traiectoria de mișcare a tuturor punctelor în timpul rotației în jurul orizontalei este un cerc care este proiectat pe planul P1 sub forma unei drepte perpendiculare pe proiecția orizontală a orizontalei.

Figura 8.3 Determinarea unghiului dintre liniile care se intersectează, rotație în jurul unei axe paralele cu planul orizontal de proiecție

Astfel, traiectoria punctului K1 este determinată de dreapta K1O1, punctul O este centrul cercului - traiectoriile punctului K. Pentru a afla raza acestui cerc, găsim valoarea naturală a segmentului KO. prin metoda triunghiului Punctul K „1 corespunde punctului K, când dreptele a și b se află într-un plan paralel cu P1 și trasate prin orizontală - axa de rotație. Având în vedere acest lucru, prin punctul K „1 și punctele 11 și 21 trasăm drepte care acum se află într-un plan paralel cu P1 și, prin urmare, unghiul phi este valoarea naturală a unghiului dintre liniile a și b.

Metodă de înlocuire a planurilor de proiecție

Modificarea poziţiei relative a figurii proiectate şi a planurilor de proiecţie prin schimbarea planurilor de proiecţie se realizează prin înlocuirea planurilor P1 şi P2 cu noi planuri P4 (Fig. 8.4). Planurile noi sunt selectate perpendicular pe cele vechi. Unele transformări de proiecție necesită o dublă înlocuire a planurilor de proiecție (Figura 8.5). O tranziție succesivă de la un sistem de planuri de proiecție la altul trebuie efectuată urmând următoarea regulă: distanța de la proiecția punctului nou la noua axă trebuie să fie egală cu distanța de la proiecția punctului înlocuită la axa înlocuită.

Sarcina 1: Determinați dimensiunea reală a segmentului AB al unei linii drepte în poziție generală (Fig. 8.4). Din proprietatea proiecției paralele, se știe că un segment este proiectat pe un plan la dimensiune completă dacă este paralel cu acest plan. Alegem un nou plan de proiecție P4, paralel cu segmentul AB și perpendicular pe planul P1. Prin introducerea unui nou plan se trece de la sistemul de planuri P1P2 la sistemul P1P4, iar în noul sistem de planuri proiecția segmentului A4B4 va fi valoarea naturală a segmentului AB.

Figura 8.4. Determinarea dimensiunii naturale a unui segment de dreaptă prin înlocuirea planurilor de proiecție

Sarcina 2: Determinați distanța de la punctul C la o dreaptă în poziție generală dată de segmentul AB (Fig. 8.5).

Figura 8.5. Determinarea dimensiunii naturale a unui segment de dreaptă prin înlocuirea planurilor de proiecție

Forma cuvantului	Forma grafică
1. Lăsați deoparte pe axele X, Y, Ζ coordonatele corespunzătoare ale punctului A. Obținem punctele A x , A y , A z
2. Proiecția orizontală A 1 este situată la intersecția liniilor de comunicație din punctele A x și A y trasate paralel cu axele X și Y
3. Proiecția frontală A 2 este situată la intersecția liniilor de comunicație din punctele A x și A z, trasate paralel cu axele X și z
4. Proiecția profilului A 3 este situată la intersecția liniilor de comunicație din punctele A z și A y trasate paralel cu axele Ζ și Y

3.2. Poziția punctului în raport cu planurile de proiecție

Poziția unui punct în spațiu față de planurile de proiecție este determinată de coordonatele sale. Coordonata X determină distanța punctului față de planul P 3 (proiecție la P 2 sau P 1), coordonata Y - distanța de la planul P 2 (proiecție la P 3 sau P 1), coordonata Z - distanta fata de planul P 1 (proiectie la P 3 sau P 2). În funcție de valoarea acestor coordonate, un punct poate ocupa atât o poziție generală, cât și una particulară în spațiu față de planurile de proiecție (Fig. 3.1).

Orez. 3.1. Clasificarea punctelor

Tpunctegeneralprevederi. Coordonatele unui punct în poziție generală nu sunt egale cu zero ( X≠0, y≠0, z≠0 ), iar în funcție de semnul coordonatei, punctul poate fi situat într-unul dintre cei opt octanți (Tabelul 2.1).

Pe fig. 3.2 sunt date desene ale punctelor în poziție generală. O analiză a imaginilor lor ne permite să concluzionăm că ele sunt localizate în următorii octanți ai spațiului: A(+X;+Y; +Z(  Ioctant;B(+X;+Y;-Z(  IVoctant;C(-X;+Y; +Z(  Voctant;D(+X;+Y; +Z(  IIoctant.

Puncte de poziție privată. Una dintre coordonatele unui anumit punct de poziție este egală cu zero, deci proiecția punctului se află pe câmpul de proiecție corespunzător, celelalte două se află pe axele de proiecție. Pe fig. 3.3 astfel de puncte sunt punctele A, B, C, D, G.A  P 3, apoi punctul X A \u003d 0; LA  P 3, apoi punctul X B \u003d 0; Cu  P 2, apoi punctul Y C \u003d 0; D  P 1, apoi punctul Z D \u003d 0.

Un punct poate aparține la două plane de proiecție simultan, dacă se află pe linia de intersecție a acestor plane - axa de proiecție. Pentru astfel de puncte, numai coordonatele acestei axe nu sunt egale cu zero. Pe fig. 3.3, un astfel de punct este punctul G(G  OZ, apoi punctul X G =0, Y G =0).

3.3. Poziția reciprocă a punctelor în spațiu

Să luăm în considerare trei opțiuni pentru aranjarea reciprocă a punctelor în funcție de raportul coordonatelor care determină poziția lor în spațiu.

Pe fig. 3,4 punctele A și B au coordonate diferite.

Poziția lor relativă poate fi estimată prin distanța față de planurile de proiecție: Y A >Y B, atunci punctul A este situat mai departe de planul P 2 și mai aproape de observator decât punctul B; Z A >Z B, atunci punctul A este situat mai departe de planul P 1 și mai aproape de observator decât punctul B; X A

Pe fig. 3.5 arată punctele A, B, C, D, în care una dintre coordonate este aceeași, iar celelalte două sunt diferite.

Poziția lor relativă poate fi estimată prin distanța lor față de planurile de proiecție, după cum urmează:

Y A \u003d Y B \u003d Y D, atunci punctele A, B și D sunt echidistante de planul P 2, iar proiecțiile lor orizontale și de profil sunt situate, respectiv, pe liniile [A 1 B 1 ]llOX și [A 3 B 3 ]llOZ . Locul acestor puncte este un plan paralel cu П 2 ;

Z A \u003d Z B \u003d Z C, atunci punctele A, B și C sunt echidistante de planul P 1, iar proiecțiile lor frontale și de profil sunt situate, respectiv, pe liniile [A 2 B 2 ]llOX și [A 3 C 3 ]llOY . Locul acestor puncte este un plan paralel cu П 1 ;

X A \u003d X C \u003d X D, atunci punctele A, C și D sunt echidistante de planul P 3 și proiecțiile lor orizontale și frontale sunt situate, respectiv, pe liniile [A 1 C 1 ]llOY și [A 2 D 2 ]llOZ . Locul acestor puncte este un plan paralel cu П 3 .

3. Dacă punctele au două coordonate cu același nume, atunci ele sunt numite concurând. Punctele concurente sunt situate pe aceeași linie de proiectare. Pe fig. 3.3 sunt date trei perechi de astfel de puncte, în care: X A \u003d X D; Y A = Y D; Z D > Z A; X A = X C ; Z A = Z C ; Y C > Y A ; Y A = Y B ; Z A = Z B ; X B > X A .

Există puncte concurente pe orizontală A și D situate pe linia proeminentă orizontală AD, punctele concurente frontal A și C situate pe linia proeminentă frontală AC, punctele concurente de profil A și B situate pe linia proeminentă a profilului AB.

Concluzii asupra subiectului

1. Un punct este o imagine geometrică liniară, unul dintre conceptele de bază ale geometriei descriptive. Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată de coordonatele sale. Fiecare dintre cele trei proiecții ale unui punct este caracterizată de două coordonate, numele lor corespunde denumirilor axelor care formează planul de proiecție corespunzător: orizontală - A 1 (XA; YA); frontală - A 2 (XA; ZA); profil - A 3 (YA; ZA). Translația coordonatelor între proiecții se realizează folosind linii de comunicare. Din două proiecții, puteți construi proiecții ale unui punct fie folosind coordonatele, fie grafic.

3. Un punct în raport cu planurile de proiecție poate ocupa atât o poziție generală, cât și una particulară în spațiu.

4. Un punct în poziție generală este un punct care nu aparține niciunui plan de proiecție, adică se află în spațiul dintre planurile de proiecție. Coordonatele unui punct în poziție generală nu sunt egale cu zero (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Un punct de poziție privată este un punct aparținând unuia sau două planuri de proiecție. Una dintre coordonatele unui punct de o anumită poziție este egală cu zero, astfel încât proiecția punctului se află pe câmpul corespunzător al planului de proiecție, celelalte două - pe axele proiecțiilor.

6. Punctele concurente sunt puncte ale căror coordonate cu același nume sunt aceleași. Există puncte care concurează orizontal, puncte concurente frontal și puncte concurente de profil.

Cuvinte cheie

Coordonatele punctului

Punct general

Punct de poziție privat

Puncte concurente

Metode de activitate necesare pentru rezolvarea problemelor

– construirea unui punct după coordonatele date în sistemul de trei planuri de proiecție în spațiu;

– construirea unui punct după coordonatele date în sistemul de trei planuri de proiecţie pe desenul complex.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Cum se stabilește legătura locației coordonatelor pe desenul complex în sistemul de trei planuri de proiecție P 1 P 2 P 3 cu coordonatele proiecțiilor punctelor?

2. Ce coordonate determină distanța punctelor față de planurile orizontale, frontale, de proiecție de profil?

3. Ce coordonate și proiecții ale punctului se vor schimba dacă punctul se mișcă în direcția perpendiculară pe planul de profil al proiecțiilor П 3 ?

4. Ce coordonate și proiecții ale unui punct se vor schimba dacă punctul se mișcă într-o direcție paralelă cu axa OZ?

5. Ce coordonate determină proiecția orizontală (frontală, de profil) a unui punct?

7. În ce caz proiecția unui punct coincide cu punctul însuși din spațiu și unde sunt situate celelalte două proiecții ale acestui punct?

8. Poate un punct să aparțină a trei planuri de proiecție în același timp și în ce caz?

9. Care sunt denumirile punctelor ale căror proiecții cu același nume coincid?

10. Cum puteți determina care dintre cele două puncte este mai aproape de observator dacă proiecțiile lor frontale coincid?

Sarcini pentru soluție independentă

1. Oferiți o imagine vizuală a punctelor A, B, C, D în raport cu planurile de proiecție P 1, P 2. Punctele sunt date de proiecțiile lor (Fig. 3.6).

2. Construiți proiecțiile punctelor A și B după coordonatele lor pe o imagine vizuală și un desen complex: A (13,5; 20), B (6,5; -20). Construiți o proiecție a punctului C, situată simetric față de punctul A față de planul frontal al proiecțiilor П 2 .

3. Construiți proiecțiile punctelor A, B, C după coordonatele lor pe o imagine vizuală și un desen complex: A (-20; 0; 0), B (-30; -20; 10), C (-10, -15, 0). Construiți punctul D, situat simetric față de punctul C față de axa OX.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme tipice

Sarcina 1. Având în vedere coordonatele X, Y, Z ale punctelor A, B, C, D, E, F (Tabelul 3.3)

Pentru a construi imagini ale unui număr de detalii, este necesar să puteți găsi proiecțiile punctelor individuale. De exemplu, este dificil să se deseneze o vedere de sus a piesei prezentate în Fig. 139 fără a construi proiecții orizontale ale punctelor A, B, C, D, E, F etc.

Problema găsirii proiecțiilor punctelor de către unul dat pe suprafața obiectului se rezolvă astfel. În primul rând, se găsesc proiecțiile suprafeței pe care se află punctul. Apoi, trasând o linie de legătură la proiecție, unde suprafața este reprezentată printr-o linie, se găsește a doua proiecție a punctului. A treia proiecție se află la intersecția liniilor de comunicație.

Luați în considerare un exemplu.

Sunt date trei proiecții ale piesei (Fig. 140, a). Este dată proiecția orizontală a a punctului A aflat pe suprafața vizibilă. Trebuie să găsim celelalte proiecții ale acestui punct.

În primul rând, trebuie să desenați o linie auxiliară. Dacă sunt date două vederi, atunci locul liniei auxiliare în desen este ales în mod arbitrar, în dreapta vederii de sus, astfel încât vederea din stânga să fie la distanța necesară față de vederea principală (Fig. 141).

Dacă au fost deja construite trei vederi (Fig. 142, a), atunci locul liniei auxiliare nu poate fi ales în mod arbitrar; trebuie să găsiți punctul prin care va trece. Pentru a face acest lucru, este suficient să continuați până la intersecția reciprocă a proiecțiilor orizontale și de profil ale axei de simetrie și prin punctul rezultat k (Fig. 142, b) trageți un segment de linie dreaptă la un unghi de 45 °, care va fi o linie dreaptă auxiliară.

Dacă nu există axe de simetrie, se continuă până la intersecția în punctul k 1 orizontal și proiecțiile de profil ale oricărei fețe proiectate sub formă de segmente de linie dreaptă (Fig. 142, b).

După ce au tras o linie dreaptă auxiliară, încep să construiască proiecțiile punctului (vezi Fig. 140, b).

Proiecțiile frontale a" și de profil a" ale punctului A trebuie să fie situate pe proiecțiile corespunzătoare ale suprafeței căreia îi aparține punctul A. Aceste proiecții se găsesc. Pe fig. 140, b sunt evidențiate color. Desenați linii de comunicare așa cum este indicat de săgeți. La intersecțiile liniilor de comunicație cu proiecțiile suprafeței se găsesc proiecțiile dorite a" și a".

Construcția proiecțiilor punctelor B, C, D este prezentată în fig. 140, în linii de comunicație cu săgeți. Proiectiile date ale punctelor sunt colorate. Liniile de comunicare sunt trasate la proiecția pe care suprafața este reprezentată ca o linie, și nu ca o figură. Prin urmare, se găsește mai întâi proiecția frontală din punctul C. Proiecția profilului din punctul C este determinată de intersecția liniilor de comunicație.

Dacă suprafața nu este reprezentată de o linie pe nicio proiecție, atunci trebuie utilizat un plan auxiliar pentru a construi proiecțiile punctelor. De exemplu, este dată o proiecție frontală d a punctului A, situată pe suprafața unui con (Fig. 143, a). Se trasează un plan auxiliar printr-un punct paralel cu baza, care va intersecta conul într-un cerc; proiecția sa frontală este un segment de linie dreaptă, iar proiecția sa orizontală este un cerc cu diametrul egal cu lungimea acestui segment (Fig. 143, b). Prin trasarea unei linii de comunicație către acest cerc din punctul a, se obține o proiecție orizontală a punctului A.

Proiecția de profil a" a punctului A se găsește în mod obișnuit la intersecția liniilor de comunicație.

În același mod, se pot găsi proiecțiile unui punct situat, de exemplu, pe suprafața unei piramide sau a unei bile. Când o piramidă este intersectată de un plan paralel cu baza și care trece printr-un punct dat, se formează o figură asemănătoare bazei. Proiecțiile punctului dat se află pe proiecțiile acestei figuri.

Răspunde la întrebările

1. În ce unghi este trasată linia auxiliară?

2. Unde este trasată linia auxiliară dacă se oferă vederi frontale și de sus, dar trebuie să construiți o vedere din stânga?

3. Cum se determină locul liniei auxiliare în prezența a trei tipuri?

4. Care este metoda de construire a proiecțiilor unui punct după unul dat, dacă una dintre suprafețele obiectului este reprezentată printr-o dreaptă?

5. Pentru ce corpuri geometrice și în ce cazuri se găsesc proiecțiile unui punct date pe suprafața lor folosind un plan auxiliar?

Atribuții la § 20

Exercițiul 68

Notați în caietul de lucru care proiecții ale punctelor indicate prin cifre pe vederi corespund punctelor indicate cu litere din imaginea vizuală din exemplul indicat de profesor (Fig. 144, a-d).

Exercițiul 69

Pe fig. 145, literele a-b indică o singură proiecție a unora dintre vârfuri. Găsiți în exemplul dat de profesor, proiecțiile rămase ale acestor vârfuri și desemnați-le cu litere. Construiți într-unul dintre exemple proiecțiile lipsă ale punctelor date pe marginile obiectului (Fig. 145, d și e). Evidențiați cu culoare proiecțiile marginilor pe care sunt situate punctele Finalizați sarcina pe hârtie transparentă, suprapunând-o pe pagina manualului.Nu este nevoie să redesenați Fig. 145.

Exercițiul 70

Găsiți proiecțiile lipsă ale punctelor date de o proiecție pe suprafețele vizibile ale obiectului (Fig. 146). Etichetați-le cu litere. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor cu culoare. O imagine vizuală vă va ajuta să rezolvați problema. Sarcina poate fi finalizată atât într-un caiet de lucru, cât și pe hârtie transparentă, suprapunând-o pe pagina manualului. În acest din urmă caz, redesenați Fig. 146 nu este necesar.

Exercițiul 71

În exemplul dat de profesor, desenați trei tipuri (Fig. 147). Construiți proiecțiile lipsă ale punctelor date pe suprafețele vizibile ale obiectului. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor cu culoare. Etichetați toate proiecțiile punctuale. Pentru a construi proiecții de puncte, utilizați o linie dreaptă auxiliară. Faceți un desen tehnic și marcați pe el punctele date.

PROIECȚIA UNUI PUNCT PE DOUĂ PLANURI DE PROIECȚII

Formarea unui segment de dreaptă AA 1 poate fi reprezentată ca urmare a deplasării punctului A în orice plan H (Fig. 84, a), iar formarea unui plan poate fi reprezentată ca o deplasare a unui segment de dreaptă AB ( Fig. 84, b).

Un punct este elementul geometric principal al unei linii și al unei suprafețe, deci studiul proiecției dreptunghiulare a unui obiect începe cu construirea proiecțiilor dreptunghiulare ale unui punct.

În spațiul unghiului diedric format din două plane perpendiculare - planul frontal (vertical) al proiecțiilor V și planul orizontal al proiecțiilor H, plasăm punctul A (Fig. 85, a).

Linia de intersecție a planurilor de proiecție este o linie dreaptă, care se numește axa de proiecție și se notează cu litera x.

Planul V este prezentat aici ca dreptunghi, iar planul H ca paralelogram. Partea înclinată a acestui paralelogram este de obicei desenată la un unghi de 45° față de latura sa orizontală. Lungimea laturii înclinate este considerată egală cu 0,5 din lungimea sa reală.

Din punctul A se coboară perpendiculare pe planele V și H. Punctele a „și a ale intersecției perpendicularelor cu planele de proiecție V și H sunt proiecții dreptunghiulare ale punctului A. Figura Aaa x a” din spațiu este un dreptunghi. Axa laterală a acestui dreptunghi din imaginea vizuală este redusă de 2 ori.

Să aliniem planul H cu planul V rotind V în jurul liniei de intersecție a planurilor x. Rezultatul este un desen complex al punctului A (Fig. 85, b)

Pentru a simplifica desenul complex, limitele planurilor de proiecție V și H nu sunt indicate (Fig. 85, c).

Perpendicularele desenate din punctul A pe planurile de proiecție se numesc drepte de proiectare, iar bazele acestor drepte de proiectare - punctele a și a „se numesc proiecții ale punctului A: a” este proiecția frontală a punctului A, a este proiecția orizontală a punctul A.

Linia a „a se numește linia verticală a conexiunii de proiecție.

Locația proiecției unui punct pe un desen complex depinde de poziția acestui punct în spațiu.

Dacă punctul A se află pe planul de proiecție orizontal H (Fig. 86, a), atunci proiecția sa orizontală a coincide cu punctul dat, iar proiecția frontală a " este situată pe axă. Când punctul B este situat pe proiecția frontală planul V, proiecția sa frontală coincide cu acest punct, iar proiecția orizontală se află pe axa x. Proiecțiile orizontale și frontale ale unui punct dat C, situat pe axa x, coincid cu acest punct. Un desen complex de puncte A, B și C sunt prezentate în Fig. 86, b.

PROIECȚIA UNUI PUNCT PE TREI PLANURI DE PROIECȚII

În cazurile în care este imposibil să ne imaginăm forma unui obiect din două proiecții, acesta este proiectat pe trei planuri de proiecție. În acest caz, se introduce planul de profil al proiecțiilor W, care este perpendicular pe planurile V și H. O reprezentare vizuală a sistemului de trei plane de proiecție este dată în fig. 87 a.

Muchiile unui unghi triedric (intersecția planurilor de proiecție) se numesc axe de proiecție și sunt notate cu x, y și z. Intersecția axelor de proiecție se numește începutul axelor de proiecție și se notează cu litera O. Să coborâm perpendiculara din punctul A la planul de proiecție W și, marcând baza perpendicularei cu litera a, vom obțineți proiecția de profil a punctului A.

Pentru a obține un desen complex, punctele A ale planurilor H și W sunt aliniate cu planul V, rotindu-le în jurul axelor Ox și Oz. Un desen complex al punctului A este prezentat în fig. 87b și c.

Segmentele dreptelor de proiectare de la punctul A la planurile de proiecție se numesc coordonatele punctului A și se notează: x A, y A și z A.

De exemplu, coordonata z A a punctului A, egală cu segmentul a "a x (Fig. 88, a și b), este distanța de la punctul A la planul orizontal de proiecție H. Coordonata din punctul A, egală cu segmentul aa x, este distanța de la punctul A la planul frontal al proiecțiilor V. Coordonata x A egală cu segmentul aa y este distanța de la punctul A la planul de profil al proiecțiilor W.

Astfel, distanța dintre proiecția unui punct și axa de proiecție determină coordonatele punctului și este cheia citirii desenului său complex. Prin două proiecții ale unui punct, toate cele trei coordonate ale unui punct pot fi determinate.

Dacă sunt date coordonatele punctului A (de exemplu, x A \u003d 20 mm, y A \u003d 22 mm și z A \u003d 25 mm), atunci pot fi construite trei proiecții ale acestui punct.

Pentru a face acest lucru, de la originea coordonatelor O în direcția axei Oz, se așează coordonata z A și se așează coordonata y A. segmente egale cu coordonata x A. Punctele rezultate a „și a sunt proiecțiile frontale și orizontale ale punctului A.

Conform a două proiecții a „și a unui punct A, proiecția sa de profil poate fi construită în trei moduri:

1) de la originea O se trasează un arc auxiliar cu raza Oa y egală cu coordonatele (Fig. 87, b și c), din punctul obținut a y1 se trasează o dreaptă paralelă cu axa Oz și se așează a segment egal cu z A;

2) din punctul a y se trasează o dreaptă auxiliară la un unghi de 45 ° față de axa Oy (Fig. 88, a), se obține un punct a y1 etc.;

3) de la originea O, trageți o dreaptă auxiliară la un unghi de 45 ° față de axa Oy (Fig. 88, b), obțineți un punct a y1 etc.

PROIECȚII PUNCTE.

SISTEM ORTOGONAL DIN DOUĂ PLANURI DE PROIECȚII.

Esența metodei proiecției ortogonale constă în faptul că obiectul este proiectat pe două plane reciproc perpendiculare prin raze ortogonale (perpendiculare) pe aceste planuri.

Unul dintre planurile de proiecție H este plasat orizontal, iar celălalt V este plasat vertical. Planul H se numește planul orizontal al proiecțiilor, V - frontal. Planurile H și V sunt infinite și opace. Linia de intersecție a planurilor de proiecție se numește axa de coordonate și se notează BOU. Planurile de proiecție împart spațiul în patru unghiuri diedrice - sferturi.

Luând în considerare proiecțiile ortogonale, se presupune că observatorul se află în primul trimestru la o distanță infinit de mare de planurile de proiecție. Deoarece aceste planuri sunt opace, doar acele puncte, linii și figuri care sunt situate în același prim sfert vor fi vizibile pentru observator.

Când construiți proiecții, este necesar să rețineți că proiecție ortogonală punctualăpe un plan se numește baza perpendicularei căzute dintr-un punct datla acest avion.

Figura arată punctul DARși proiecțiile sale ortogonale a 1și a 2 .

punct a 1 numit vedere în plan puncte DAR, punct a 2- a ei proiecție frontală. Fiecare dintre ele este baza perpendicularei coborâte din punct DAR respectiv în avion Hși V.

Se poate dovedi că proiecția punctuluimereu situate pe linii drepte, perpendiculareaxa cularăOH și traversând această axăin acelasi punct.Într-adevăr, proiectând raze DARa 1și DARa 2 definiți un plan perpendicular pe planurile proiecțiilor și pe liniile de intersecție a acestora - axele OH. Acest plan se intersectează Hși Vîn linii drepte a 1 aXși a 1 aX, care se formează cu axa BOU iar unul cu celălalt unghiuri drepte cu vârf într-un punct AX.

Este adevărat și contrariul, adică. dacă sunt date puncte pe planurile de proiecţieA 1 și A 2 , situate pe linii drepte care se intersectează axă BOUîn acest punct într-un unghi drept,atunci sunt proiecții ale unorapunctele A. Acest punct este determinat de intersecția perpendicularelor construite din puncte A 1 și A 2 la avioane Hși V.

Rețineți că poziția planurilor de proiecție în spațiu poate fi diferită. De exemplu, ambele plane, fiind reciproc perpendiculare, pot fi verticale.Dar în acest caz, ipoteza de mai sus despre orientarea proiecțiilor opuse ale punctelor față de axă rămâne valabilă.

Pentru a obține un desen plat format din proiecțiile de mai sus, planul H aliniat prin rotație în jurul unei axe BOU cu avionul V după cum arată săgețile din figură. Ca rezultat, semiplanul din față H va fi aliniat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V.

Un desen de proiecție, în care planurile de proiecție cu tot ceea ce este reprezentat pe ele, sunt combinate într-un anumit fel între ele, se numește diagramă(din franceza epure - desen). Figura prezintă o diagramă a unui punct DAR.

Cu această metodă de combinare a avioanelor Hși V proiecții A 1 și A 2 vor fi situate pe aceeași perpendiculară pe axă BOU. În același timp, distanța A 1 un x — de la proiecția orizontală a punctului spre axă BOU DAR până la avion V, și distanța A 2 un x — de la proiecția frontală a punctului spre axă BOU egală cu distanța de la punct DAR până la avion H.

Linii drepte care conectează proiecțiile opuse ale unui punct de pe diagramă, suntem de acord să apelăm linii de comunicare de proiecție.

Poziția proiecțiilor punctelor pe diagramă depinde de trimestrul în care se află punctul dat. Deci, dacă ideea LA este situat în al doilea trimestru, apoi după alinierea planurilor, ambele proiecții se vor afla deasupra axei BOU.

Dacă punct Cu este în al treilea trimestru, apoi proiecția sa orizontală, după combinarea planurilor, va fi deasupra axei, iar proiecția frontală va fi sub axa BOU. În cele din urmă, dacă punctul D situat în al patrulea trimestru, atunci ambele proiecții ale acesteia vor fi sub axă BOU. Figura arată punctele Mși N culcat pe planurile de proiecție. În această poziție, punctul coincide cu una dintre proiecțiile sale, în timp ce cealaltă proiecție se dovedește a fi situată pe axă. BOU. Această caracteristică se reflectă și în denumire: lângă proiecția cu care punctul însuși coincide, este scrisă o majusculă fără index.

De asemenea, trebuie remarcat faptul că cazul în care ambele proiecții ale punctului coincid. Acest lucru se va întâmpla dacă punctul se află în al doilea sau al patrulea trimestru la aceeași distanță de planurile de proiecție. Ambele proiecții sunt combinate cu punctul însuși, dacă acesta din urmă este situat pe axă BOU.

SISTEM ORTOGONAL DIN TREI PLANURI DE PROIECȚII.

S-a arătat mai sus că două proiecții ale unui punct determină poziția acestuia în spațiu. Deoarece fiecare figură sau corp este o colecție de puncte, se poate argumenta că două proiecții ortogonale ale unui obiect (în prezența desemnărilor de litere) determină complet forma acestuia.

Cu toate acestea, în practica descrierii structurilor de clădiri, mașinilor și diferitelor structuri de inginerie, devine necesar să se creeze proiecții suplimentare. Ei fac acest lucru doar cu scopul de a face desenul de proiecție mai clar, mai lizibil.

Modelul a trei planuri de proiecție este prezentat în figură. Al treilea plan, perpendicular și Hși V, notat cu litera Wși a sunat profil.

Proiecțiile punctelor din acest plan vor fi numite și profil și sunt notate cu majuscule sau cifre cu indicele 3 (Ah,bh,ch,...1h, 2h, 3 3 ...).

Planurile de proiecție, care se intersectează în perechi, definesc trei axe: OX, OYși OZ, care poate fi considerat ca un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu cu originea în punctul O. Sistemul de semne indicat în figură corespunde „sistemului drept” de coordonate.

Trei planuri de proiecție împart spațiul în opt unghiuri triedrice - acestea sunt așa-numitele octanți. Numerotarea octanților este dată în figură.

Pentru a obține o parcelă a unui avion Hși W rotiți așa cum se arată în figură până când este aliniat cu planul V. Ca rezultat al rotației, semiplanul frontal H se dovedește a fi aliniat cu semiplanul inferior V, și semiplanul din spate H- cu semiplan superior V. Când este rotit cu 90° în jurul axei OZ semiplan frontal W coincide cu semiplanul drept V, și semiplanul din spate W- cu semiplanul stâng V.

Vederea finală a tuturor planurilor de proiecție combinate este dată în figură. În acest desen, axele OXși OZ, culcat într-un plan fix V, sunt afișate o singură dată, iar axa OY arătat de două ori. Acest lucru se explică prin faptul că, rotindu-se cu avionul H, axa OY pe diagramă este aliniată cu axa OZ, în timp ce se rotește cu avionul W, aceeași axă este aliniată cu axa OX.

În viitor, la desemnarea axelor pe diagramă, semiaxele negative (- OX, — OY, — OZ) nu va fi indicat.

TREI COORDONATE ȘI TREI PROIECȚII ALE UNUI PUNCT ȘI RAZUL-VECTOR AL SĂU.

Coordonatele sunt numere carepus în corespondență cu un punct de determinatniya a poziției sale în spațiu sau pesuprafete.

În spațiul tridimensional, poziția unui punct este stabilită folosind coordonate carteziene dreptunghiulare X yși z.

Coordona X numit abscisă, la— ordonatăși z — aplicatie. Abscisă X definește distanța de la un punct dat la un plan W, ordonata y - până la avion Vși aplicație z - până la avion H. După ce am adoptat sistemul prezentat în figură pentru numărarea coordonatelor unui punct, vom alcătui un tabel cu semne de coordonate în toți cei opt octanți. Orice punct din spațiu DAR, dat prin coordonate, se va nota astfel: A(X y,z).

Dacă x = 5, y = 4 și z = 6, atunci intrarea va lua următoarea formă DAR(5, 4, 6). Acest punct DAR, ale căror coordonate sunt pozitive, este în primul octant

Coordonatele punctului DAR sunt, în același timp, coordonatele raze-vectorului său

OA cu privire la originea coordonatelor. În cazul în care un i, j, k sunt vectori unitari dirijati respectiv de-a lungul axelor de coordonate X y,z(poza), atunci

OA =OA x i+OAyj + OAzk , Unde OA X, OA U, OA g - coordonate vectoriale OA

Se recomandă construirea unei imagini a punctului în sine și a proiecțiilor acestuia pe un model spațial (figură) folosind un paralelipiped dreptunghiular de coordonate. În primul rând, pe axele de coordonate din punct O segmente amânate, respectiv egale 5, 4 și 6 unități de lungime. Pe aceste segmente (Oun x , OAy , Oa z ), ca pe margini, construiți un paralelipiped dreptunghiular. Vârful acestuia, opus originii, va determina punctul dat DAR. Este ușor de văzut asta pentru a determina punctul DAR este suficient să construiești doar trei margini ale paralelipipedului, de exemplu Oun x , a x a 1 și A 1 DAR sau OAy , a y a 1 și A 1 Ași așa mai departe Aceste muchii formează o polilinie de coordonate, a cărei lungime a fiecărei legături este determinată de coordonata corespunzătoare a punctului.

Cu toate acestea, construcția unui paralelipiped ne permite să determinăm nu numai punctul DAR, dar și toate cele trei proiecții ortogonale ale sale.

Raze care proiectează un punct pe un plan H, V, W sunt cele trei margini ale paralelipipedului care se intersectează în punct DAR.

Fiecare dintre proiecțiile ortogonale ale punctului DAR, fiind situat pe un plan, este determinat doar de două coordonate.

Da, proiecția orizontală A 1 determinate de coordonate Xși y, proiecție frontală A 2 - coordonatele x șiz, proiecția profilului A 3 — coordonate lași z. Dar oricare două proiecții sunt determinate de trei coordonate. De aceea, specificarea unui punct cu două proiecții este echivalentă cu specificarea unui punct cu trei coordonate.

Pe diagramă (figura), unde sunt combinate toate planurile de proiecție, proiecțiile A 1 și A 2 va fi pe aceeași perpendiculară pe axă OX, și proiecții A 2 și A 3 — unul perpendicular pe ax oz.

Cât despre proiecții A 1 și A 3 , apoi sunt conectate prin linii drepte A 1 Ayși A 3 Ay , perpendicular pe ax OY. Dar din moment ce această axă ocupă două poziții pe diagramă, segmentul A 1 Ay nu poate fi o continuare a unui segment A 3 Ay .

Construirea proiecțiilor punctuale A (5, 4, 6) pe diagramă la coordonatele date, acestea se execută în următoarea succesiune: în primul rând, pe axa absciselor de la origine, se așează un segment Oun x = x(în cazul nostru x =5), apoi prin punct un x trageți perpendicular pe axă OX, pe care, ținând cont de semne, amânăm segmentele a x a 1 = y(primim A 1 ) și a x a 2 = z(primim A 2 ). Rămâne să construim proiecția de profil a punctului A 3 . Deoarece profilul și proiecțiile frontale ale punctului trebuie să fie situate pe aceeași perpendiculară pe axă oz , apoi prin A 3 direct A 2 a z ^ oz.

În cele din urmă, apare ultima întrebare: la ce distanță de axă OZ ar trebui sa fie un 3?

Luând în considerare caseta de coordonate (vezi figura), ale cărei margini a z a 3 =O Ay = a x a 1 = y concluzionăm că distanţa dorită a z a 3 egală y. Segment de linie a z a 3 puneți deoparte la dreapta axei OZ dacă y>0 și la stânga dacă y

Să vedem ce schimbări vor avea loc pe diagramă atunci când punctul începe să-și schimbe poziția în spațiu.

Să fie, de exemplu, un punct A (5, 4, 6) se va deplasa în linie dreaptă perpendiculară pe plan V. Cu o astfel de mișcare, doar o coordonată se va schimba y, arătând distanța de la un punct la un plan V. Coordonatele vor rămâne constante. x șiz , și proiecția punctului definit de aceste coordonate, i.e. A 2 nu își va schimba poziția.

Cât despre proiecții A 1 și A 3 , atunci primul va începe să se apropie de axă OX, al doilea - la axă OZ. În figuri, noua poziție a punctului corespunde denumirilor A 1 (A 1 1 A 2 1 A 3 1 ). Când punctul este în avion V(y = 0), două dintre cele trei proiecții ( A 1 2 și A 3 2 ) se va întinde pe topoare.

Fiind mutat din eu octant în II, punctul va începe să se îndepărteze de avion V, coordonate la devine negativă, valoarea sa absolută va crește. Proiecția orizontală a acestui punct, fiind situată pe semiplanul posterior H, pe parcela va fi deasupra axei OX, iar proiecția profilului, fiind pe semiplanul din spate W, pe diagramă va fi în stânga axei OZ. Ca întotdeauna, tăiați a zA 3 3 = y.

În diagramele ulterioare, nu vom desemna cu litere punctele de intersecție a axelor de coordonate cu liniile conexiunii de proiecție. Acest lucru va simplifica într-o oarecare măsură desenul.

În viitor, vor exista diagrame fără axe de coordonate. Acest lucru se face în practică atunci când înfățișați obiecte, când doar imaginea în sine este esențialăobiect, nu poziția sa relativ laplanuri de proiectie.

Planurile de proiecție în acest caz sunt determinate cu o precizie doar până la translația paralelă (figura). Ele sunt de obicei mutate paralel cu ei înșiși, astfel încât toate punctele obiectului să fie deasupra planului. H iar în fața avionului V. Deoarece poziția axei X 12 se dovedește a fi nedefinită, formarea unei diagrame în acest caz nu trebuie să fie asociată cu rotația planurilor în jurul axei de coordonate. Când treceți la un complot plan Hși V sunt combinate astfel încât proiecțiile opuse ale punctelor să fie situate pe linii verticale.

Graficul fără axe a punctelor A și B(imagine) nudetermină poziția lor în spațiu,dar ne permite să judecăm orientarea lor relativă. Deci, segmentul △x caracterizează deplasarea punctului DARîn raport cu punctul LAîntr-o direcție paralelă cu planurile H și V. Cu alte cuvinte, △x indică cât de mult este punctul DAR situat în stânga punctului LA. Decalajul relativ al punctului pe direcția perpendiculară pe planul V este determinat de segmentul △y, adică punctul Si inîn exemplul nostru, mai aproape de observator decât de punct LA, o distanță egală cu △y.

În cele din urmă, segmentul △z arată excesul punctului DAR peste punct LA.

Susținătorii studiului fără axe al cursului de geometrie descriptivă subliniază pe bună dreptate că în rezolvarea multor probleme este posibil să se facă fără axe de coordonate. Cu toate acestea, o respingere completă a acestora nu poate fi considerată oportună. Geometria descriptivă este concepută pentru a pregăti viitorul inginer nu numai pentru execuția competentă a desenelor, ci și pentru rezolvarea diferitelor probleme tehnice, printre care problemele de statică și mecanică spațială ocupă nu ultimul loc. Și pentru aceasta este necesar să se cultive capacitatea de a orienta cutare sau acel obiect în raport cu axele de coordonate carteziene. Aceste abilități vor fi, de asemenea, necesare atunci când se studiază astfel de secțiuni ale geometriei descriptive precum perspectiva și axonometria. Prin urmare, pe o serie de diagrame din această carte, salvăm imagini ale axelor de coordonate. Astfel de desene determină nu numai forma obiectului, ci și locația acestuia în raport cu planurile de proiecție.