Trigonometric funcții periodic, adică se repetă după o anumită perioadă. Ca urmare, este suficient să studiem funcția pe acest interval și să extindem proprietățile descoperite la toate celelalte perioade.

Instruire

1. Dacă vi se oferă o expresie primitivă în care există o singură funcție trigonometrică (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), iar unghiul din interiorul funcției nu este înmulțit cu niciun număr și nu este însuși ridicat la niciun număr. putere - folosiți definiția. Pentru expresiile care conțin sin, cos, sec, cosec, setați cu îndrăzneală perioada la 2P, iar dacă există tg, ctg în ecuație, atunci P. Să spunem, pentru funcția y \u003d 2 sinx + 5, perioada va fi 2P .

2. Dacă unghiul x sub semnul unei funcții trigonometrice este înmulțit cu un număr, atunci pentru a afla perioada acestei funcții, împărțiți perioada tipică la acest număr. Să presupunem că vi se oferă o funcție y = sin 5x. Perioada tipică pentru un sinus este 2P, împărțind-o la 5, obțineți 2P / 5 - aceasta este perioada dorită a acestei expresii.

3. Pentru a afla perioada unei funcții trigonometrice ridicată la o putere, evaluați uniformitatea puterii. Pentru un grad egal, înjumătățiți perioada de eșantionare. Să spunem, dacă vi se oferă o funcție y \u003d 3 cos ^ 2x, atunci perioada tipică 2P va scădea de 2 ori, deci perioada va fi egală cu P. Vă rugăm să rețineți că funcțiile tg, ctg sunt periodice în orice măsură P .

4. Dacă vi se oferă o ecuație care conține produsul sau câtul a 2 funcții trigonometrice, mai întâi găsiți separat perioada pentru toate. După aceea, găsiți numărul minim care s-ar potrivi întregului număr al ambelor perioade. Să presupunem că este dată funcția y=tgx*cos5x. Pentru tangentă, perioada este P, pentru cosinus 5x, perioada este 2P/5. Numărul minim care este permis să se potrivească ambelor perioade este 2P, deci perioada dorită este 2P.

5. Dacă ți se pare dificil să faci modul propus sau te îndoiești de rezultat, încearcă să faci prin definiție. Luați T ca perioadă a funcției, este mai mare decât zero. Înlocuiți expresia (x + T) în ecuație în loc de x și rezolvați egalitatea rezultată ca și cum T ar fi un parametru sau un număr. Ca urmare, veți găsi valoarea funcției trigonometrice și veți putea alege cea mai mică perioadă. Să presupunem că, ca urmare a facilitării, obțineți păcatul de identitate (T / 2) \u003d 0. Valoarea minimă a lui T la care se realizează este 2P, iar acesta va fi rezultatul sarcinii.

O funcție periodică este o funcție care își repetă valorile după o perioadă diferită de zero. Perioada unei funcții este un număr a cărui adăugare la argumentul funcției nu modifică valoarea funcției.

Vei avea nevoie

• Cunoștințe de matematică elementară și începuturile anchetei.

Instruire

1. Să notăm perioada funcției f(x) cu numărul K. Sarcina noastră este să găsim această valoare a lui K. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă că funcția f(x), folosind definiția unei funcții periodice, echivalează f (x+K)=f(x).

2. Rezolvăm ecuația rezultată pentru necunoscutul K, ca și cum x ar fi o constantă. În funcție de valoarea lui K, vor exista mai multe opțiuni.

3. Dacă K>0, atunci aceasta este perioada funcției dvs. Dacă K=0, atunci funcția f(x) nu este periodică. Dacă soluția ecuației f(x+K)=f(x) nu există pentru orice K nu este egal cu zero, atunci o astfel de funcție se numește aperiodă și, de asemenea, nu are perioadă.

Videoclipuri asemănătoare

Notă!
Toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, iar toate funcțiile polinomiale cu grad mai mare de 2 sunt aperiodice.

Sfaturi utile
Perioada unei funcții formată din 2 funcții periodice este cel mai mic multiplu comun al perioadelor acestor funcții.

Ecuațiile trigonometrice sunt ecuații care conțin funcții trigonometrice ale unui argument necunoscut (de exemplu: 5sinx-3cosx =7). Pentru a învăța cum să le rezolvi, trebuie să cunoști câteva metode pentru aceasta.

Instruire

1. Rezolvarea unor astfel de ecuații constă din 2 etape.Prima este reformarea ecuației pentru a dobândi forma sa cea mai simplă. Cele mai simple ecuații trigonometrice se numesc următoarele: Sinx=a; cosx=a etc.

2. A doua este soluția celei mai simple ecuații trigonometrice obținute. Există modalități de bază de a rezolva ecuații de acest fel: Rezolvarea într-un mod algebric. Această metodă este faimoasă de la școală, de la cursul de algebră. Altfel se numește metoda înlocuirii unei variabile și substituirii. Aplicând formulele de reducere, transformăm, facem o înlocuire, după care găsim rădăcinile.

3. Descompunerea ecuației în factori. În primul rând, transferăm toți termenii la stânga și descompunem în factori.

4. Aducerea ecuației la una omogenă. Ecuațiile omogene se numesc ecuații dacă toți membrii sunt de același grad și sinus, cosinus de același unghi.Pentru a o rezolva, trebuie să: mai întâi transferați toți membrii săi din partea dreaptă în partea stângă; mutați toți factorii comuni din paranteze; egalează factorii și parantezele cu zero; parantezele egalate dau o ecuație omogenă de un grad mai mic, care ar trebui împărțită la cos (sau sin) la un grad mai mare; rezolvați ecuația algebrică rezultată pentru tan.

5. Următoarea cale este să mergi la jumătatea colțului. Să spunem, rezolvați ecuația: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Să trecem la jumătatea unghiului: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 sin? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , după care reducem toți termenii la o singură parte (altfel la dreapta) și rezolvăm ecuația.

6. Intrare auxiliară la colț. Când înlocuim valoarea întreagă cos(a) sau sin(a). Semnul „a” este un unghi auxiliar.

7. O modalitate de a reformata un produs într-o sumă. Aici trebuie să aplicați formulele adecvate. Să zicem dat: 2 sin x sin 3x = cos 4x. O rezolvăm transformând partea stângă într-o sumă, adică: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. Calea finală, numită substituție multifuncțională. Transformăm expresia și facem o substituție, să spunem Cos(x/2)=u, după care rezolvăm ecuația cu parametrul u. Când obținem totalul, traducem valoarea în invers.

Videoclipuri asemănătoare

Dacă luăm în considerare punctele dintr-un cerc, atunci punctele x, x + 2π, x + 4π etc. se potrivesc între ele. Deci trigonometric funcții pe o linie dreaptă periodic repetă sensul lor. Dacă perioada este celebră funcții, este permis să construiți o funcție pe această perioadă și să o repetați pe altele.

Instruire

1. Perioada este un număr T astfel încât f(x) = f(x+T). Pentru a găsi perioada, rezolvați ecuația corespunzătoare, înlocuind x și x + T ca argument. În acest caz, se folosesc perioadele binecunoscute pentru funcții. Pentru funcțiile sinus și cosinus, perioada este 2π, iar pentru tangentă și cotangentă, este π.

2. Fie dată funcția f(x) = sin^2(10x). Se consideră expresia sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Utilizați formula pentru a reduce gradul: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Apoi obțineți 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) sau cos 20x = cos (20x+20T). Știind că perioada cosinusului este 2π, 20T = 2π. Prin urmare, T = π/10. T este perioada minimă corectă, iar funcția se va repeta după 2T, și după 3T, iar în cealaltă direcție de-a lungul axei: -T, -2T etc.

Sfaturi utile
Folosiți formule pentru a reduce gradul unei funcții. Dacă sunteți mai familiarizat cu perioadele unor funcții, încercați să reduceți funcția existentă la cele cunoscute.

Găsirea unei funcții pentru par și impar ajută la construirea unui grafic al funcției și la înțelegerea naturii comportamentului acesteia. Pentru această cercetare, trebuie să comparați funcția dată scrisă pentru argumentul „x” și pentru argumentul „-x”.

Instruire

1. Scrieți funcția pe care doriți să o explorați ca y=y(x).

2. Înlocuiți argumentul funcției cu „-x”. Înlocuiți acest argument într-o expresie funcțională.

3. Simplificați expresia.

4. Astfel, aveți aceeași funcție scrisă pentru argumentele „x” și „-x”. Priviți aceste două intrări. Dacă y(-x)=y(x), atunci aceasta este o funcție pară. Dacă y(-x)=-y(x), atunci aceasta este o funcție impară. Dacă este imposibil să spunem despre funcția că y (-x)=y(x) sau y(-x)=-y(x), atunci, prin proprietatea parității, aceasta este o funcție de formă universală. Adică nu este nici par, nici impar.

5. Notează-ți rezultatele. Acum le puteți folosi în trasarea unui grafic al unei funcții sau într-o viitoare căutare analitică pentru proprietățile unei funcții.

6. De asemenea, se poate vorbi despre funcții pare și impare în cazul în care graficul funcției este mai bine definit. Să presupunem că graficul a fost rezultatul unui experiment fizic. Dacă graficul unei funcții este simetric față de axa y, atunci y(x) este o funcție pară. Dacă graficul funcției este simetric față de axa x, atunci x(y) este o funcție pară. x(y) este funcția inversă a lui y(x).Dacă graficul funcției este simetric față de originea (0,0), atunci y(x) este o funcție impară. Funcția inversă x(y) va fi de asemenea impară.

7. Este semnificativ de reținut că conceptul de funcții pare și impare are o relație directă cu domeniul funcției. Dacă, să zicem, o funcție pară sau impară nu există pentru x=5, atunci nu există pentru x=-5, ceea ce este imposibil de spus despre o funcție de formă generală. Când stabiliți par și impar, acordați atenție domeniului funcției.

8. Căutarea funcțiilor pare și impare se corelează cu găsirea setului de valori ale funcției. Pentru a găsi setul de valori ale unei funcții pare, este suficient să vedeți jumătate din funcție, la dreapta sau la stânga lui zero. Dacă pentru x>0 o funcție pară y(x) ia valori de la A la B, atunci va lua aceleași valori pentru x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 funcția impară y(x) ia un interval de valori de la A la B, apoi pentru x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

„Trigonometric” a început odată să fie numite funcții care sunt determinate de dependența unghiurilor acute dintr-un triunghi dreptunghic de lungimile laturilor sale. Aceste funcții includ, în primul rând, sinusul și cosinusul, iar în al doilea rând, secantele și cosecantele, care sunt inverse acestor funcții, derivatele tangente și cotangente ale acestora, precum și funcțiile inverse arcsinus, arccosinus etc. Este mai pozitiv să vorbim nu despre „soluția” unor astfel de funcții, ci despre „calculul” acestora, adică despre găsirea unei valori numerice.

Instruire

1. Dacă argumentul funcției trigonometrice este necunoscut, atunci este permisă calcularea valorii acesteia printr-o metodă indirectă pe baza definițiilor acestor funcții. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți lungimile laturilor triunghiului, funcția trigonometrică pentru unul dintre unghiurile pe care doriți să le calculați. Să spunem, prin definiție, sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opusă acestui unghi și lungimea ipotenuzei. De aici rezultă că pentru a găsi sinusul unui unghi este suficient să cunoaștem lungimile acestor 2 laturi. O definiție similară spune că sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei adiacent acestui unghi și lungimea ipotenuzei. Tangenta unui unghi ascuțit poate fi calculată prin împărțirea lungimii catetei opuse la lungimea celui adiacent, iar cotangenta necesită împărțirea lungimii catetei adiacente la lungimea celui opus. Pentru a calcula secantei unui unghi ascuțit, trebuie să găsiți raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei adiacent unghiului necesar, iar cosecanta este determinată de raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea. a piciorului opus.

2. Dacă argumentul funcției trigonometrice este efectuat, atunci nu este necesar să cunoașteți lungimile laturilor triunghiului - este permisă utilizarea tabelelor de valori sau calculatoarelor de funcții trigonometrice. Un astfel de calculator se numără printre programele standard ale sistemului de operare Windows. Pentru a-l rula, puteți apăsa combinația de taste Win + R, introduceți comanda calc și faceți clic pe butonul OK. În interfața programului, deschideți secțiunea „Vizualizare” și selectați elementul „Inginerie” sau „Scientist”. Ulterior, se permite introducerea argumentului funcției trigonometrice. Pentru a calcula funcțiile sinus, cosinus și tangentă, mai degrabă după introducerea valorii, faceți clic pe butonul de interfață corespunzător (sin, cos, tg) și pentru a găsi reciprocele lor ale arcsinus, arccosinus și arctangent, bifați în avans caseta de selectare Inv.

3. Există și metode alternative. Una dintre ele este să accesați site-ul motorului de căutare Nigma sau Google și să introduceți funcția dorită și argumentul acesteia (să zicem, sin 0.47) ca interogare de căutare. Aceste motoare de căutare au calculatoare încorporate, prin urmare, după trimiterea unei astfel de solicitări, veți primi valoarea funcției trigonometrice pe care ați introdus-o.

Videoclipuri asemănătoare

Sfat 7: Cum să detectați valoarea funcțiilor trigonometrice

Funcțiile trigonometrice au apărut pentru prima dată ca instrumente pentru calculele matematice abstracte ale dependențelor mărimilor unghiurilor acute dintr-un triunghi dreptunghic de lungimile laturilor sale. Acum sunt utilizate pe scară largă atât în ​​domeniul științific, cât și în cel tehnic al activității umane. Pentru calculele utilitare ale funcțiilor trigonometrice din argumente date, este permisă utilizarea diferitelor instrumente - câteva dintre ele deosebit de accesibile sunt descrise mai jos.

Instruire

1. Utilizați, de exemplu, un program de calculator instalat implicit cu sistemul de operare. Se deschide selectând elementul „Calculator” din folderul „Utilități” din subsecțiunea „Tipic” aflată în secțiunea „Toate programele”. Această secțiune poate fi găsită prin deschiderea meniului principal al sistemului de operare făcând clic pe butonul „Start”. Dacă utilizați versiunea Windows 7, atunci puteți introduce în mod primitiv cuvântul „Calculator” în câmpul „Detectare programe și fișiere” din meniul principal, apoi faceți clic pe linkul corespunzător din rezultatele căutării.

2. Introduceți valoarea unghiului pentru care doriți să calculați funcția trigonometrică, apoi faceți clic pe butonul corespunzător acestei funcții - sin, cos sau tan. Dacă sunteți îngrijorat de funcțiile trigonometrice inverse (arcsinus, arccosinus sau arctangent), apoi faceți mai întâi clic pe butonul etichetat Inv - acesta inversează funcțiile atribuite butoanelor de control ale calculatorului.

3. În versiunile anterioare ale sistemului de operare (de exemplu, Windows XP), pentru a accesa funcțiile trigonometrice, trebuie să deschideți secțiunea „Vizualizare” din meniul calculatorului și să preferați linia „Inginerie”. În plus, în locul butonului Inv din interfața versiunilor vechi ale programului, există o casetă de selectare cu aceeași inscripție.

4. Te poți descurca fără un calculator dacă ai acces la internet. Există multe servicii pe web care oferă calculatoare cu funcții trigonometrice organizate diferit. O opțiune deosebit de utilă este încorporată în motorul de căutare Nigma. După ce ați accesat pagina principală, introduceți în mod primitiv valoarea care vă entuziasmează în câmpul de căutare - să spuneți „arc tangentă de 30 de grade”. După ce apăsați butonul „Descoperiți!” motorul de căutare va calcula și va afișa rezultatul calculului - 0,482347907101025.

Videoclipuri asemănătoare

Trigonometria este o ramură a matematicii pentru înțelegerea funcțiilor care exprimă diferite dependențe ale laturilor unui triunghi dreptunghic de mărimile unghiurilor ascuțite la ipotenuză. Astfel de funcții sunt numite trigonometrice și, pentru a facilita lucrul cu ele, au fost derivate funcții trigonometrice. identități .

Performanţă identitățiîn matematică denotă o egalitate care este satisfăcută pentru orice valori ale argumentelor funcțiilor incluse în ea. Trigonometric identități- acestea sunt egalitățile funcțiilor trigonometrice, confirmate și acceptate pentru a simplifica lucrul cu formule trigonometrice.Funcția trigonometrică este o funcție elementară a dependenței unuia dintre catetele unui triunghi dreptunghic de mărimea unghiului ascuțit la ipotenuză. De cele mai multe ori, se folosesc șase funcții trigonometrice de bază: sin (sinus), cos (cosinus), tg (tangentă), ctg (cotangentă), sec (secanta) și cosec (cosecantă). Aceste funcții se numesc directe, există și funcții inverse, să zicem, sinus - arcsinus, cosinus - arccosinus etc. Inițial, funcțiile trigonometrice și-au găsit reflectare în geometrie, după care s-au răspândit în alte domenii ale științei: fizică, chimie, geografie, optică. , teoria probabilității, precum și acustică, teoria muzicii, fonetică, grafică pe computer și multe altele. Acum este mai greu de imaginat calcule matematice fără aceste funcții, deși în trecutul îndepărtat ele erau folosite doar în astronomie și arhitectură. identități sunt folosite pentru a simplifica lucrul cu formule trigonometrice lungi și pentru a le aduce la o formă digerabilă. Există șase identități trigonometrice de bază, acestea fiind asociate cu funcții trigonometrice directe: tg ? = sin?/cos?; păcat^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d păcat?. Acestea identități uşor de confirmat din proprietăţile raportului dintre laturile şi unghiurile dintr-un triunghi dreptunghic: sin ? = BC/AC = b/c; ca? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Prima identitate tg ? = sin?/cos? rezultă din raportul laturilor din triunghi și excluderea laturii c (ipotenuză) la împărțirea sin la cos. In acelasi fel se defineste ctg de identitate? = cos ?/sin ?, deoarece ctg ? = 1/tg ?. După teorema lui Pitagora, a^2 + b^2 = c^2. Împărțiți această egalitate la c^2, obținem a doua identitate: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Al treilea și al patrulea identități se obține prin împărțirea la b^2 și respectiv a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? sau 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / sin ^ 2?. Al cincilea și al șaselea principal identități se dovedesc prin determinarea sumei unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic, care este egala cu 90° sau?/ 2. Trigonometric mai dificil identități: formule de adăugare de argumente, unghiuri duble și triple, scăderea gradului, reformarea sumei sau a produsului funcțiilor, precum și formule de substituție trigonometrică, și anume expresiile principalelor funcții trigonometrice în termeni de jumătate de unghi tg: sin ?= (2). * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Necesitatea de a găsi minimul sens matematic funcții prezintă un interes real în rezolvarea problemelor aplicate, să zicem, în economie. Imens sens pentru activitatea antreprenorială are minimizarea pierderilor.

Instruire

1. Pentru a găsi minimul sens funcții, este necesar să se determine la ce valoare a argumentului x0 va fi satisfăcută inegalitatea y(x0)? y(x), unde x? x0. Ca de obicei, această problemă este rezolvată la un anumit interval sau în fiecare interval de valori funcții, dacă nu este setat unul. Un aspect al soluției este găsirea punctelor fixe.

2. Punctul staționar se numește sens argumentul că derivatul funcții merge la zero. Conform teoremei lui Fermat, dacă o funcție derivabilă ia o extremă sens la un moment dat (în acest caz, un minim local), atunci acest punct este staționar.

3. Minim sens funcția ia adesea exact în acest punct, cu toate acestea, poate fi determinată nu invariabil. Mai mult, nu întotdeauna se poate spune exact care este minimul funcții sau acceptă un infinit de mic sens. Apoi, ca de obicei, găsesc limita la care gravitează atunci când scade.

4. Pentru a determina minimul sens funcții, este necesar să se efectueze o succesiune de acțiuni formată din patru etape: găsirea domeniului de definire funcții, achizitionarea punctelor fixe, prezentarea de ansamblu a valorilor funcțiiîn aceste puncte și la capetele golului, detectarea unui minim.

5. Rezultă că o funcție y(x) este dată pe un interval cu granițe în punctele A și B. Aflați domeniul definiției sale și aflați dacă intervalul este submulțimea lui.

6. Calculați derivată funcții. Echivalați expresia rezultată cu zero și găsiți rădăcinile ecuației. Verificați dacă aceste puncte staționare se încadrează în interval. Dacă nu, atunci în etapa următoare nu sunt luate în considerare.

7. Priviți decalajul pentru tipul de granițe: deschise, închise, compuse sau fără dimensiuni. Depinde cum gasesti minimul sens. Să presupunem că segmentul [A, B] este un interval închis. Înlocuiți-le în funcție și calculați valorile. Faceți același lucru cu punctul staționar. Alegeți cel mai mic total.

8. Cu intervale deschise și nemărginite, situația este ceva mai dificilă. Aici trebuie să căutăm limite unilaterale, care nu dau invariabil un rezultat clar. Să spunem, pentru un interval cu o limită închisă și una perforată [A, B), ar trebui să găsim o funcție la x = A și o limită unilaterală y la x? B-0.

Noțiuni de bază

Să începem cu definițiile funcții pare, impare și periodice.

Definiția 2

O funcție pară este o funcție care nu își schimbă valoarea atunci când semnul variabilei independente se modifică:

Definiția 3

O funcție care își repetă valorile la un interval regulat de timp:

T este perioada funcției.

Funcții trigonometrice pare și impare

Luați în considerare următoarea figură (Fig. 1):

Poza 1.

Aici $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ și $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ sunt vectori cu lungimea unitară simetrică față de axa $Ox$.

Evident, coordonatele acestor vectori sunt legate prin următoarele relații:

Deoarece funcțiile trigonometrice ale sinusului și cosinusului pot fi determinate folosind un cerc trigonometric unitar, obținem că funcția sinus va fi impară, iar funcția cosinus va fi o funcție pară, adică:

Periodicitatea funcțiilor trigonometrice

Luați în considerare următoarea figură (Fig. 2).

Figura 2.

Aici $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ este un vector de unitate de lungime.

Să facem o întoarcere completă cu vectorul $\overrightarrow(OA)$. Adică, să rotim vectorul dat cu $2\pi $ radiani. După aceea, vectorul va reveni complet la poziția inițială.

Deoarece funcțiile trigonometrice ale sinusului și cosinusului pot fi definite folosind cercul trigonometric unitar, obținem asta

Adică funcțiile sinus și cosinus sunt funcții periodice cu cea mai mică perioadă $T=2\pi $.

Luați în considerare acum funcțiile tangentei și cotangentei. Deoarece $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, atunci

Deoarece $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, atunci

Exemple de probleme privind utilizarea funcțiilor par, impar și periodicitate a funcțiilor trigonometrice

Exemplul 1

Demonstrați următoarele afirmații:

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

a) $tg(385)^0=tg(25)^0$

Deoarece tangenta este o funcție periodică cu o perioadă minimă de $(360)^0$, obținem

b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$

Deoarece cosinusul este o funcție pară și periodică cu o perioadă minimă de $2\pi $, obținem

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- unu\]

c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

Deoarece sinusul este o funcție impară și periodică cu o perioadă minimă de $(360)^0$, obținem

Dependența variabilei y de variabila x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Notația este y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.

Proprietăți de paritate și periodicitate

Să luăm în considerare mai detaliat proprietățile parității și periodicității, folosind exemplul principalelor funcții trigonometrice: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:

2. Valoarea funcției la punctul x aparținând domeniului funcției trebuie să fie egală cu valoarea funcției la punctul -x. Adică, pentru orice punct x, din domeniul funcției, următoarea egalitate f (x) \u003d f (-x) trebuie să fie adevărată.

Dacă construiți un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa y.

De exemplu, funcția trigonometrică y=cos(x) este pară.

Proprietăți de ciudat și periodicitate

O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Domeniul funcției date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică dacă un punct a aparține domeniului funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului funcției date.

2. Pentru orice punct x, din domeniul funcției, trebuie îndeplinită următoarea egalitate f (x) \u003d -f (x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea.

De exemplu, funcțiile trigonometrice y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) sunt impare.

Periodicitatea funcțiilor trigonometrice

O funcție y=f(x) se numește periodică dacă există un anumit număr T!=0 (numit perioada funcției y=f(x)), astfel încât pentru orice valoare a lui x aparținând domeniului funcției , numerele x+T și x-T aparțin și ele domeniului funcției și egalitatea f(x)=f(x+T)=f(x-T) este satisfăcută.

Trebuie înțeles că dacă T este perioada funcției, atunci numărul k*T, unde k este orice număr întreg diferit de zero, va fi și perioada funcției. Pe baza celor de mai sus, obținem că orice funcție periodică are infinit de perioade. Cel mai adesea, conversația este despre cea mai mică perioadă a funcției.

Funcțiile trigonometrice sin(x) și cos(x) sunt periodice, cu perioada cea mai mică egală cu 2*π.

Scop: generalizarea și sistematizarea cunoștințelor elevilor pe tema „Periodicitatea funcțiilor”; să formeze abilități în aplicarea proprietăților unei funcții periodice, găsirea celei mai mici perioade pozitive a unei funcții, trasarea funcțiilor periodice; promovarea interesului pentru studiul matematicii; cultivați observația, acuratețea.

Echipamente: computer, proiector multimedia, carduri de sarcini, diapozitive, ceasuri, mese ornamentale, elemente de meșteșuguri populare

„Matematica este ceea ce oamenii folosesc pentru a controla natura și pe ei înșiși”
UN. Kolmogorov

În timpul orelor

I. Etapa organizatorică.

Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Prezentarea temei și a obiectivelor lecției.

II. Verificarea temelor.

Verificăm temele în funcție de mostre, discutăm cele mai dificile puncte.

III. Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor.

1. Lucru frontal oral.

Întrebări de teorie.

1) Formați definiția perioadei funcției
2) Care este cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor y=sin(x), y=cos(x)
3). Care este cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor y=tg(x), y=ctg(x)
4) Folosiți cercul pentru a demonstra corectitudinea relațiilor:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Cum se trasează o funcție periodică?

exerciții orale.

1) Demonstrați următoarele relații

A) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Demonstrați că unghiul de 540º este una dintre perioadele funcției y= cos(2x)

3. Demonstrați că unghiul de 360º este una dintre perioadele funcției y=tg(x)

4. Transformați aceste expresii astfel încât unghiurile incluse în ele să nu depășească 90º în valoare absolută.

A) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)

5. Unde te-ai întâlnit cu cuvintele PERIOADĂ, PERIODICITATE?

Răspunsurile elevilor: O perioadă în muzică este o construcție în care este enunțată o gândire muzicală mai mult sau mai puțin completă. Perioada geologică face parte dintr-o eră și este împărțită în epoci cu o perioadă cuprinsă între 35 și 90 de milioane de ani.

Timpul de înjumătățire al unei substanțe radioactive. Fracție periodică. Periodicele sunt publicații tipărite care apar la date strict definite. Sistemul periodic al lui Mendeleev.

6. Figurile prezintă părți din graficele funcțiilor periodice. Definiți perioada funcției. Determinați perioada funcției.

Răspuns: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Unde în viața ta te-ai întâlnit cu construcția de elemente care se repetă?

Elevii răspund: Elemente de ornamente, artă populară.

IV. Rezolvarea colectivă a problemelor.

(Rezolvarea problemelor pe diapozitive.)

Să luăm în considerare una dintre modalitățile de a studia o funcție pentru periodicitate.

Această metodă ocolește dificultățile asociate cu demonstrarea că una sau alta perioadă este cea mai mică și, de asemenea, nu este nevoie să abordăm întrebări despre operațiile aritmetice asupra funcțiilor periodice și despre periodicitatea unei funcții complexe. Raționamentul se bazează doar pe definiția unei funcții periodice și pe următorul fapt: dacă T este perioada funcției, atunci nT(n? 0) este perioada acesteia.

Problema 1. Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcției f(x)=1+3(x+q>5)

Soluție: Să presupunem că perioada T a acestei funcții. Atunci f(x+T)=f(x) pentru toate x ∈ D(f), adică.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Fie x=-0,25 obținem

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Am obținut că toate perioadele funcției considerate (dacă există) sunt între numere întregi. Alegeți dintre aceste numere cel mai mic număr pozitiv. Aceasta este 1 . Să verificăm dacă este de fapt o perioadă 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Deoarece (T+1)=(T) pentru orice T, atunci f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), adică. 1 - perioada f. Deoarece 1 este cel mai mic dintre toate numerele întregi pozitive, atunci T=1.

Sarcina 2. Arătați că funcția f(x)=cos 2 (x) este periodică și găsiți perioada ei principală.

Sarcina 3. Găsiți perioada principală a funcției

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Presupuneți perioada T a funcției, apoi pentru oricare X raportul

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

Dacă x=0 atunci

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Dacă x=-T, atunci

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5

Adăugând, obținem:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Să alegem dintre toate numerele „suspecte” pentru perioada cea mai mică pozitivă și să verificăm dacă este o perioadă pentru f. Acest număr

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Prin urmare, este perioada principală a funcției f.

Sarcina 4. Verificați dacă funcția f(x)=sin(x) este periodică

Fie T perioada funcției f. Apoi pentru orice x

sin|x+T|=sin|x|

Dacă x=0, atunci sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Presupune. Că pentru unele n numărul π n este o perioadă

funcția considerată π n>0. Atunci sin|π n+x|=sin|x|

Aceasta implică faptul că n trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp, ceea ce este imposibil. Prin urmare, această funcție nu este periodică.

Sarcina 5. Verificați dacă funcția este periodică

f(x)=

Fie T perioada f, atunci

, deci sinT=0, T=π n, n € Z. Să presupunem că pentru unele n numărul π n este într-adevăr perioada funcției date. Atunci numărul 2π n va fi și o perioadă

Deoarece numărătorii sunt egali, la fel și numitorii lor, deci

Prin urmare, funcția f nu este periodică.

Lucru de grup.

Sarcini pentru grupa 1.

Sarcini pentru grupa 2.

Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei principală (dacă există).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Sarcini pentru grupa 3.

La finalul lucrării, grupurile își prezintă soluțiile.

VI. Rezumând lecția.

Reflecţie.

Profesorul dă elevilor cartonașe cu desene și se oferă să picteze peste o parte a primului desen în funcție de măsura în care, după cum li se pare, ei au stăpânit metodele de studiere a funcției pentru periodicitate și, în parte, a celui de-al doilea desen. , în conformitate cu contribuția lor la lucrarea din lecție.

VII. Teme pentru acasă

unu). Verificați dacă funcția f este periodică și găsiți perioada ei principală (dacă există)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funcția y=f(x) are o perioadă T=2 și f(x)=x 2 +2x pentru x € [-2; 0]. Aflați valoarea expresiei -2f(-3)-4f(3,5)

Literatură/

1. Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei cu studiu aprofundat.
2. Matematică. Pregătirea pentru examen. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebră și analiză de început pentru clasele 10-11.