Curs: Proprietăți speciale ale funcției gamma Euler. Radiația gamma și proprietățile sale

Razele gamma sunt oscilații electromagnetice de o frecvență foarte mare, care se propagă în spațiu cu viteza luminii. Aceste radiații sunt emise de nucleu sub formă de porțiuni separate, numite cuante gamma sau fotoni.

Energia cuantelor gamma se află în intervalul de la 0,05 la 5 MeV. Radiația gamma cu o energie mai mică de 1 MeV este numită condiționat radiație moale, iar cu o energie mai mare de 1 MeV - radiație dură.

Radiația gamma nu este un tip independent de radiație. De obicei radiațiile gamma însoțesc degradarea beta, mai rar dezintegrarea alfa. Prin ejectarea particulelor alfa sau beta, nucleul este eliberat de excesul de energie, dar poate rămâne în continuare într-o stare excitată. Trecerea de la starea excitată la starea fundamentală este însoțită de emisia de raze gamma, în timp ce compoziția nucleului nu se modifică.

În aer, razele gamma se propagă pe distanțe lungi, măsurate în zeci și sute de metri.

Puterea de penetrare a razelor gamma este de 50-100 de ori mai mare decât puterea de penetrare a particulelor beta și de mii de ori mai mare decât puterea de penetrare a particulelor alfa.

Ionizați mediul în timpul trecerii razelor gamma prin el: numai cu electroni secundari care apar ca urmare a interacțiunii razelor gamma cu atomii de materie. Capacitatea de ionizare a cuantelor gamma este determinată de energia lor. În general, un quantum gamma dă atâtea perechi de ioni câte particule beta sau alfa de aceeași energie. Cu toate acestea, datorită absorbției mai scăzute a razelor gamma, ionii pe care îi formează sunt distribuiți pe o distanță mai mare. Prin urmare, puterea de ionizare specifică a razelor gamma este de sute de ori mai mică decât puterea de ionizare specifică a particulelor beta, de mii de ori mai mică decât puterea de ionizare specifică a particulelor alfa și se ridică la câteva perechi de ioni în aer la 1 cm de cale.

Concluzie. Radiația gamma are cea mai mare putere de penetrare în comparație cu puterea de penetrare a altor tipuri de radiații radioactive. În același timp, radiația gamma are o capacitate ionizantă specifică foarte scăzută, ridicându-se la mai multe perechi de ioni în aer la 1 cm din calea razelor gamma.

Radiația neutronică și principalele sale proprietăți

Radiația neutronică este o radiație corpusculară care apare în procesul de fisiune sau fuziune a nucleelor.

Neutronii au un efect dăunător puternic, deoarece ei, neavând sarcină electrică, pătrund cu ușurință în nucleele atomilor care alcătuiesc țesuturile vii și sunt capturați de ei.

Mai mult de 99% din numărul total de neutroni dintr-o explozie nucleară este eliberat în 10 -14 s. Acești neutroni se numesc prompt. Restul (aproximativ 1%) neutroni sunt emiși mai târziu de unele fragmente de fisiune în timpul dezintegrarii lor beta. Acești neutroni se numesc întârziați.

Viteza de propagare a neutronilor atinge 20.000 km/h. Timpul necesar tuturor neutronilor pentru a parcurge distanța de la punctul de explozie până la locul în care reprezintă o amenințare de distrugere este de aproximativ o secundă după momentul exploziei.

În funcție de energie, neutronii sunt clasificați după cum urmează:

neutroni lenți 0-0,1 keV;

neutroni de energie intermediară 0,1-20 keV;

neutroni rapizi 20 keV-10 MeV;

neutroni de mare energie peste 10 MeV.

Neutroni termici - neutronii care se află în echilibru termic cu mediul (cu o energie care nu depășește 1 eV), sunt incluși în regiunea neutronilor lenți.

Trecerea neutronilor prin materie este însoțită de o slăbire a intensității acestora. Această slăbire se datorează interacțiunii neutronilor cu nucleele atomilor materiei.

radiații cu raze X

Razele X sunt produse atunci când electronii rapizi bombardează ținte solide. Tubul cu raze X este un balon evacuat cu mai mulți electrozi (Fig. 1.2). Catodul K încălzit cu curent servește ca sursă de electroni liberi emiși datorită emisiei termoionice. Electrodul cilindric Z este proiectat pentru focalizarea fasciculului de electroni.

Ținta este anodul A, numit și anticatod. Este realizat din metale grele (W, C. Pt etc.). Electronii sunt accelerați de o tensiune ridicată generată între catod și anticatod. Aproape toată energia electronilor este eliberată la anticatod sub formă de căldură (doar 1-3% din energie este transformată în radiație).

Odată ajunși în substanța anticatodului, electronii experimentează o decelerare puternică și devin o sursă de unde electromagnetice.

La o viteză suficient de mare a electronilor, pe lângă bremsstrahlung (adică, radiația cauzată de decelerația electronilor), radiația caracteristică este, de asemenea, excitată (cauzată de excitarea învelișurilor electronice interioare ale atomilor anticatozi).

Intensitatea radiației cu raze X poate fi măsurată atât prin gradul de acțiune fotografică, cât și prin ionizarea produsă de aceasta în medii gazoase, în special în aer. * Cu cât radiația este mai intensă, cu atât produce mai multă ionizare. Conform mecanismului de interacțiune cu materia, razele X sunt similare cu radiația y. Lungimea de undă a radiației X este de 10 -10 -10 -6 cm, radiația gamma -10-9 cm și mai jos.

În prezent, razele X sunt folosite ca instrument de control. Cu ajutorul razelor X, acestea controlează calitatea sudurii, uniformitatea produselor corespunzătoare etc. În medicină, razele X sunt utilizate pe scară largă pentru diagnosticare și, în unele cazuri, ca mijloc de influențare a celulelor canceroase.

Prelegerea nr. 11 (se pot face 2 prelegeri)

FUNCȚIA GAMMA, funcția G, este o funcție transcendentală T(z) care propagă valorile factorialului z! pentru cazul oricărui complex z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. introdus de L. Euler [(L. Euler), 1729, scrisoare către Ch. Goldbach] folosind produsul infinit

din care L. Euler a obținut o reprezentare integrală (o integrală Euler de al doilea fel)

adevărat pentru Re z > 0. Polisemia funcţiei x z-1 se elimină prin formula x z-1 = e (z-1)ln x cu ln x real. Denumirea Г(z) și nume. G.-f. au fost propuse de A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

Pe întregul plan z cu puncte ejectate z = 0, -1, -2, ... pentru G.-f. reprezentarea integrală Hankel este valabilă:

unde s z-1 = e (z-1)ln s , iar ln s este o ramură a logaritmului, pentru care 0

Relații de bază și proprietăți ale lui G.-f.

1) Ecuația funcțională a lui Euler:

zГ(z) = Г(z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, dacă n > 0 este un număr întreg, în timp ce se numără 0! = Г(1) = 1.

2) Formula complementului lui Euler:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

În special,

dacă n > 0 este un număr întreg, atunci

y este real.

3) Formula de multiplicare Gauss:

Pentru m = 2, aceasta este formula de dublare Legendre.

4) Când Re z ≥ δ > 0 sau |Im z| ≥ δ > 0, asimptoticul extinderea lui ln Г(z) într-o serie Stirling:

unde B 2n sunt numere Bernoulli. Ce presupune egalitatea?

În special,

Mai precisă este formula lui Sonin:

5) În aria reală G(x) > 0 pentru x > 0 și ia semnul (-1) k + 1 în secțiunile -k - 1

ГГ "" > Г" 2 ≥ 0,

adică toate ramurile atât |Г(x)| cât și ln |Г(х)| sunt funcții convexe. Proprietatea este logaritmică. convexitatea determină G.-f. dintre toate soluțiile ecuației funcționale

G(1 + x) = xG(x)

până la un factor constant.

Orez. 2. Graficul funcției y \u003d G (x).

Pentru x H.-f pozitiv. are un singur minim la x = 1,4616321... egal cu 0,885603... . Minimele locale ale funcției |Г(х)| ca x → -∞ formează o succesiune care tinde spre zero.

Orez. 3. Graficul funcției 1/Г(x).

6) În domeniul complex, pentru Re z > 0, G.-f. scade rapid pe măsură ce |Im z| → -∞

7) Funcția 1/Г(z) (vezi Fig. 3) este o funcție întreagă de ordinul 1 de tip maxim și asimptotic ca Г → ∞

log М(r) ~ r log r,

Poate fi reprezentat printr-un produs Weierstrass infinit:

convergent absolut și uniform pe orice mulțime compactă a planului complex (aici constanta C-Euler). Reprezentarea integrală Hankel este valabilă:

unde circuitul C * este prezentat în fig. patru.

Reprezentări integrale pentru grade de G.-f. au fost obținute de G. F. Vorony.

În aplicații, așa-numitul funcții poligam care sunt derivate k-a ale lui ln Г(z). Funcție (funcția ψ-Gauss)

este meromorfă, are poli simpli în punctele z = 0,-1,_-2, ... și satisface ecuația funcțională

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Din reprezentarea ψ(z) pentru |z|

această formulă este utilă pentru calcularea Г(z) în vecinătatea punctului z = 1.

Pentru alte funcții poligam, vezi . Funcția gamma incompletă este definită de egalitate

Funcțiile Г(z), ψ(z) sunt funcții transcendentale care nu satisfac nicio ecuație diferențială liniară cu coeficienți raționali (teorema lui Hölder).

Rolul exclusiv al lui G.-f. In matematică. analiza este determinată de faptul că cu ajutorul lui G.-f. sunt exprimate un număr mare de integrale definite, produse infinite și sume de serii (vezi, de exemplu, funcția Beta). De altfel, G.-f. găsește aplicații largi în teoria funcțiilor speciale (funcții hipergeometrice, pentru care G.-f. este cazul limitativ, funcții cilindrice etc.), în analitică. teoria numerelor etc.

Lit.: Whittaker E. T., Watson J. N., A course in modern analysis, trad. din engleză, vol. 2, ed. a II-a, M., 1963; Bateman G., Erdeyi A., Funcții transcendentale superioare Funcție hipergeometrică. Legendre functions, trans. din engleză, M., 1965; Bourbaki N., Funcţiile unei variabile reale. Teoria elementară, trad. din franceză, Moscova, 1965; Analiza matematică. Funcții, limite, serie, fracții continuate, (Biblioteca matematică de referință), M., 1961; Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Studii privind funcțiile cilindrice și polinoamele speciale, Moscova, 1954; Voronoi G.F., Sobr. soch., vol. 2, K., 1952, p. 53-62; Janke E., Emde F., Lesh F., Funcții speciale. Formule, grafice, tabele, trans. din germană, ed. a II-a, M., 1968; Ango A., Matematică pentru ingineri electrici și radio, trad. din franceză, ed. a II-a, M., 1967.

L. P. Kuptsov.

Surse:

Enciclopedie matematică. T. 1 (A - D). Ed. colegiu: I. M. Vinogradov (editor șef) [și alții] - M., „Enciclopedia Sovietică”, 1977, 1152 stb. de la bolnav.

Nota explicativă a lucrării de curs se realizează în cantitate de 36 de file. Conține un tabel cu valorile funcției gamma pentru unele valori ale variabilelor și textele programului pentru calcularea valorilor funcției gamma și pentru trasare, precum și 2 cifre.

Pentru a scrie termenul de hârtie au fost folosite 7 surse.

Introducere

Alocați o clasă specială de funcții, reprezentabile sub formă de integrală proprie sau improprie, care depinde nu numai de variabila formală, ci și de parametru.

Astfel de funcții sunt numite integrale dependente de parametri. Acestea includ funcțiile Euler gamma și beta.

Funcțiile beta sunt reprezentate de integrala Euler de primul fel:

Funcția gamma este reprezentată de integrala Euler de al doilea fel:

Funcția gamma este una dintre cele mai simple și mai semnificative funcții speciale, a cărei cunoaștere a proprietăților este necesară pentru studiul multor alte funcții speciale, de exemplu, cilindrice, hipergeometrice și altele.

Datorită introducerii sale, capacitățile noastre în calculul integralelor sunt extinse semnificativ. Chiar și în cazurile în care formula finală nu conține alte funcții decât cele elementare, obținerea acesteia ușurează totuși utilizarea funcției Г, cel puțin în calculele intermediare.

Integralele Euler sunt funcții non-elementare bine studiate. Problema este considerată rezolvată dacă se reduce la calculul integralelor Euler.

1. Funcții beta eu euler

Funcțiile beta sunt determinate de integrala Euler de primul fel:

=(1.1)

Reprezintă o funcție a doi parametri variabili

şi : funcţia B. Dacă acești parametri îndeplinesc condițiile și , atunci integrala (1.1) va fi o integrală improprie în funcție de parametrii și , iar punctele singulare ale acestei integrale vor fi punctele și

Integrale (1.1) converge pentru

.Presupunând că obținem: = -

adică argument

si intra simetric. Tinand cont de identitate

prin formula de integrare pe care o avem

Unde ajungem

Pentru întregul b = n, aplicând succesiv (1.2)

pentru număr întreg

= m,= n, avem

dar B(1,1) = 1, deci:

Am introdus (1.1)

.Deoarece graficul funcţiei

atunci simetric fata de o dreapta

iar ca urmare a substituirii

, primim

setarea în (1.1)

, de unde , obținem

împărțind integrala la două de la 0 la 1 și de la 1 la

și aplicând substituția la a doua integrală, obținem

2. Funcția Gamma

2.1 Definiție

Un semn de exclamare în lucrările de matematică înseamnă, de obicei, să luăm factorialul unui număr întreg nenegativ:

n! = 1 2 3 ... n.

Funcția factorială poate fi scrisă și ca o relație de recursivitate:

(n+1)! = (n+1) n!.

Această relație poate fi luată în considerare nu numai pentru valorile întregi ale lui n.

Luați în considerare ecuația diferenței

În ciuda notării simple, această ecuație nu poate fi rezolvată în funcții elementare. Soluția sa se numește funcție gamma. Funcția gamma poate fi scrisă ca o serie sau ca o integrală. Pentru a studia proprietățile globale ale funcției gamma, se folosește de obicei reprezentarea integrală.

2.2 reprezentare integrală

Să trecem la rezolvarea acestei ecuații. Vom căuta o soluție sub forma integralei Laplace:

În acest caz, partea dreaptă a ecuației (2.1) poate fi scrisă ca:

Această formulă este valabilă dacă există limite pentru termenul neintegral. Nu cunoaștem dinainte comportamentul imaginii [(G)\tilde](p) ca p®±¥. Să presupunem că imaginea funcției gamma este astfel încât termenul din afara integralei este egal cu zero. După ce se găsește soluția, va fi necesar să verificăm dacă ipoteza despre termenul neintegral este adevărată, altfel va trebui să căutăm G(z) într-un alt mod.

abstract

Scopul acestui curs este de a studia proprietățile speciale ale funcției Euler Gamma. În cursul lucrării, au fost studiate funcția Gamma, principalele sale proprietăți și a fost compilat un algoritm de calcul cu diferite grade de precizie. Algoritmul a fost scris într-un limbaj de nivel înalt - C. Rezultatul programului este comparat cu tabelul. Nu au fost găsite discrepanțe în valori.

Pentru a scrie termenul de hârtie au fost folosite 7 surse.

Introducere

Alocați o clasă specială de funcții, reprezentabile sub formă de integrală proprie sau improprie, care depinde nu numai de variabila formală, ci și de parametru.

Astfel de funcții sunt numite integrale dependente de parametri. Acestea includ funcțiile Euler gamma și beta.

Funcțiile beta sunt reprezentate de integrala Euler de primul fel:

Funcția gamma este reprezentată de integrala Euler de al doilea fel:

Integralele Euler sunt funcții non-elementare bine studiate. Problema este considerată rezolvată dacă se reduce la calculul integralelor Euler.

1. Funcții beta eu euler

Funcțiile beta sunt determinate de integrala Euler de primul fel:

Reprezintă o funcție a doi parametri variabili și: o funcție B. Dacă acești parametri îndeplinesc condițiile și , atunci integrala (1.1) va fi o integrală improprie în funcție de parametrii și , iar punctele singulare ale acestei integrale vor fi punctele și

Integrala (1.1) converge la . Presupunând că obținem:

= - =

adică argumentați și introduceți simetric. Tinand cont de identitate

prin formula de integrare pe care o avem

Unde ajungem

Pentru întregul b = n, aplicând succesiv (1.2)

pentru numere întregi = m,= n, avem

dar B(1,1) = 1, deci:

Punem in (1.1) .Intrucat graficul functiei atunci simetric fata de o dreapta

și ca urmare a substituției, obținem

presupunând în (1.1) , de unde , obținem

împărțind integrala la doi în intervalul de la 0 la 1 și de la 1 la și aplicând integrala de substituție la a doua integrală, obținem

2. Funcția Gamma

2.1 Definiție

Un semn de exclamare în lucrările de matematică înseamnă, de obicei, să luăm factorialul unui număr întreg nenegativ:

n! = 1 2 3 ... n.

Funcția factorială poate fi scrisă și ca o relație de recursivitate:

(n+1)! = (n+1) n!.

Această relație poate fi luată în considerare nu numai pentru valorile întregi ale lui n.

Luați în considerare ecuația diferenței

2.2 reprezentare integrală

Să trecem la rezolvarea acestei ecuații. Vom căuta o soluție sub forma integralei Laplace:

În acest caz, partea dreaptă a ecuației (2.1) poate fi scrisă ca:

Partea stângă a egalității (2.1) se scrie după cum urmează:

Atunci ecuația (2.1) pentru imaginea funcției gamma are forma:

Această ecuație este ușor de rezolvat:

Este ușor de observat că funcția găsită [(Γ)\tilde](p) este de fapt astfel încât termenul neintegral din formula (2.2) este egal cu zero.

Cunoscând imaginea funcției gamma, este ușor să obțineți o expresie pentru preimagine:

Aceasta este o formulă necanonică, pentru a o aduce la forma obținută de Euler, este necesară modificarea variabilei de integrare: t = exp(-p), atunci integrala va lua forma:

Constanta C este aleasă astfel încât pentru valori întregi ale lui z funcția gamma să coincidă cu funcția factorială: Г(n+1) = n!, atunci:

deci C = 1. În cele din urmă, obținem formula lui Euler pentru funcția gamma:

Această funcție este foarte comună în textele matematice. Când lucrați cu funcții speciale, poate chiar mai des decât un semn de exclamare.

Puteți verifica dacă funcția definită de formula (2.3) într-adevăr satisface ecuația (2.1) integrând integrala din partea dreaptă a acestei formule pe părți:

2.3 Domeniu și poli

În integrantul integralei (2.3) la , exponentul exp( -tz) pentru R( z) > 0 scade mult mai repede decât crește funcția algebrică t(z-1). Singularitatea la zero este integrabilă, deci integrala improprie din (2.3) converge absolut și uniform pentru R (z) > 0. Mai mult, prin diferențiere succesivă față de parametru z este ușor de verificat că G( z) este o funcție holomorfă pentru R ( z) > 0. Totuși, neadecvarea reprezentării integrale (2.3) pentru R ( z) 0 nu înseamnă că funcția gamma în sine nu este definită acolo - soluția ecuației (2.1).

Să considerăm comportamentul lui Г(z) într-o vecinătate de zero. Pentru a face acest lucru, să ne imaginăm:

unde este o funcție holomorfă în vecinătate z = 0. Din formula (2.1) rezultă:

adică Г(z) are un pol de ordinul întâi la z = 0.

De asemenea, este ușor să obțineți:

adică într-o vecinătate a punctului, funcția Г( z) are și un stâlp de ordinul întâi.

În același mod, puteți obține formula:

Din această formulă rezultă că punctele z = 0,-1,-2,... sunt poli simpli ai funcției gamma și această funcție nu are alți poli pe axa reală. Este ușor de calculat reziduul în punctul z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Reprezentarea Hankel prin integrală de buclă

Aflați dacă funcția gamma are zerouri. Pentru a face acest lucru, luați în considerare funcția

Polii acestei funcții sunt zerourile funcției Г(z).

Ecuația diferențelor pentru I( z) este ușor de obținut folosind expresia pentru Г( z):

Expresia pentru rezolvarea acestei ecuații sub formă de integrală poate fi obținută în același mod în care s-a obținut expresia integrală pentru funcția gamma - prin transformarea Laplace. Mai jos sunt calculele.Nici nu sunt la fel ca la paragraful 1).Iar  integrala va fi puncte ____________________________________________________________________________

După separarea variabilelor, obținem:

După integrare obținem:

Trecerea la preimaginea Laplace dă:

În integrala rezultată, facem o modificare a variabilei de integrare:

Apoi

Este important de remarcat aici că integrantul pentru valori non-intreger z are un punct de ramificație t= 0. Pe planul complex al variabilei t Să desenăm o tăietură de-a lungul semiaxei reale negative. Reprezentăm integrala de-a lungul acestei semiaxe ca suma integralei de-a lungul părții superioare a acestei secțiuni de la 0 și a integralei de la 0 la de-a lungul părții inferioare a secțiunii. Pentru ca integrala să nu treacă prin punctul de ramificare, aranjam o buclă în jurul ei.

Fig1: Bucla în reprezentarea Hankel integrală.

Ca rezultat, obținem:

Pentru a afla valoarea constantei, amintiți-vă că I(1) = 1, pe de altă parte:

reprezentare integrală

se numește reprezentarea Hankel în raport cu bucla.

Este ușor de observat că funcția 1/Γ( z) nu are poli în planul complex, prin urmare funcția gamma nu are zerouri.

Folosind această reprezentare integrală, se poate obține o formulă pentru produsul funcțiilor gamma. Pentru a face acest lucru, în integrală vom face o schimbare a variabilei , apoi:

2.5 Forma limită Euler

Funcția gamma poate fi reprezentată ca un produs infinit. Acest lucru se vede dacă în integrala (2.3) reprezentăm

Atunci reprezentarea integrală a funcției gamma este:

În această formulă, putem modifica limitele - limita de integrare în integrala improprie și limita pentru interiorul integralei. Iată rezultatul:

Să luăm această integrală pe părți:

Dacă efectuăm această procedură de n ori, obținem:

Trecând la limită, obținem forma limită Euler pentru funcția gamma:

2.6 Formula pentru produs

Mai jos avem nevoie de o formulă în care produsul a două funcții gamma este reprezentat printr-o funcție gamma. Deducem această formulă folosind reprezentarea integrală a funcțiilor gamma.

Reprezentăm integrala iterată ca o integrală dublă improprie. Acest lucru se poate face folosind teorema lui Fubini. Ca rezultat, obținem:

Integrala improprie converge uniform. Poate fi considerată, de exemplu, ca o integrală peste un triunghi mărginit de axele de coordonate și o dreaptă x + y = R la R. În integrala dublă, facem o schimbare de variabile:

Jacobian al acestui înlocuitor

Limite de integrare: u se schimbă de la 0 la ∞, vîn timp ce trecem de la 0 la 1. Ca rezultat, obținem:

Rescriem această integrală din nou ca una repetată, ca rezultat obținem:

unde R p> 0, R v > 0.

2. Derivată a funcției gamma

Integral

converge pentru fiecare , deoarece , iar integrala la converge.

În regiunea în care este un număr pozitiv arbitrar, această integrală converge uniform, deoarece și putem aplica testul Weirstrass. Întreaga integrală este, de asemenea, convergentă pentru toate valorile deoarece al doilea termen din partea dreaptă este o integrală care cu siguranță converge pentru orice. Este ușor de observat că integrala converge peste orice domeniu unde arbitrar. Valabil pentru toate valorile specificate și pentru toate și de atunci converge, atunci sunt îndeplinite condițiile criteriului Weierstrass. Astfel, în zonă integrală converge uniform.

Aceasta implică continuitatea funcției gamma la. Să demonstrăm diferențiabilitatea acestei funcții la . Rețineți că funcția este continuă pentru și și arătăm că integrala:

converge uniform pe fiecare segment, . Să alegem un număr astfel încât ; atunci pentru . Prin urmare, există un număr astfel încât și pentru. Dar atunci inegalitatea este valabilă pentru

iar din moment ce integrala converge, integrala converge uniform în raport cu . În mod similar, căci există un număr astfel încât pentru toată inegalitatea . Cu așa și tot ce primim , de unde, în virtutea criteriului de comparație, rezultă că integrala converge uniform în raport cu . În sfârșit, integrala

în care integrandul este continuu în domeniu

Evident, converge uniform în raport cu . Astfel, pentru integrală

converge uniform și, în consecință, funcția gamma este infinit diferențiabilă pentru orice și egalitatea

În ceea ce privește integrala, putem repeta același raționament și concluziona că

Se demonstrează prin inducție că funcția Γ este infinit diferențiabilă și derivata sa i satisface egalitatea

Să studiem acum comportamentul - funcții și să construim o schiță a graficului său. (Vezi Anexa 1)

Se poate observa din expresia pentru derivata a doua a funcției - că pentru toate . Prin urmare, crește. Deoarece , atunci, după teorema rolului pe segment, derivata pentru și pentru , adică scade monoton pe și crește monoton pe . Mai departe, din moment ce , apoi la . Pentru , din formula rezultă că pentru .

Egalitate , valabil pentru , poate fi folosit la extinderea funcției - la o valoare negativă.

Să punem pentru asta . Partea dreaptă a acestei egalități este definită pentru de la (-1,0) . Obținem că funcția continuată în acest fel ia (-1,0) valori negative și la , precum și la funcția .

După ce am definit în acest fel pe , îl putem continua până la intervalul (-2,-1) folosind aceeași formulă. În acest interval, continuarea va fi o funcție care ia valori pozitive și astfel încât pentru și . Continuând acest proces, definim o funcție care are discontinuități în puncte întregi (Vezi Anexa 1.)

Rețineți din nou că integrala

definește funcția Γ numai pentru valorile pozitive ale , continuarea la valorile negative este efectuată de noi în mod formal folosind formula de reducere .

4. Calculul unor integrale.

Formula Stirling

Să aplicăm funcția gamma la calculul integralei:

unde m > -1,n > -1. Presupunând că , avem

iar pe baza (2.8) avem

În integrală

Unde k > -1,n > 0, este suficient să punem

Integral

Unde s > 0, se extinde în serie

unde este funcția Riemann zetta

Luați în considerare funcțiile gamma incomplete (funcții Prim)

legat de inegalitate

Extindere, la rând avem

Revenind la derivarea formulei Stirling, care dă, în special, o valoare aproximativă a lui n! pentru valori mari ale lui n, luați în considerare mai întâi funcția auxiliară

(4.2)

Continuu pe intervalul (-1,) crește monoton de la la la schimbarea de la la și se transformă în 0 la u = 0. Deoarece

Și astfel derivata este continuă și pozitivă în întreg intervalul, satisface condiția

Din cele de mai sus rezultă că există o funcție inversă definită pe un interval care este continuu și monoton crescător în acest interval,

Trecând la 0 la v=0 și îndeplinind condiția

Deducem formula Stirling din egalitate

presupunând că avem

presupunând că la final, obținem

în limita la i.e. la (vezi 4.3)

de unde vine formula lui Stirling

care poate fi luată sub formă

unde, la

pentru suficient de mari presupunem

calculul se face folosind logaritmi

dacă un număr întreg pozitiv, atunci (4.5) se transformă și într-o formulă aproximativă pentru calcularea factorilor pentru valori mari ale lui n

dăm fără derivare o formulă mai precisă

unde între paranteze este o serie neconvergentă.

5. Exemple de calcul a integralelor

Sunt necesare formule pentru a calcula:

G()

Calculați integralele

PARTEA PRACTICĂ

Pentru a calcula funcția gamma, se folosește o aproximare a logaritmului acesteia. Pentru a aproxima funcția gamma pe intervalul x>0, se folosește următoarea formulă (pentru complexul z):

Г(z+1)=(z+g+0,5) z+0,5 exp(-(z+g+0,5))

Această formulă este similară cu aproximarea lui Stirling, dar are o serie de corecție. Pentru valorile g=5 și n=6, se verifică dacă eroarea ε nu depaseste 2*10 -10 . Mai mult, eroarea nu depășește această valoare pe toată jumătatea dreaptă a planului complex: z > 0.

Pentru a obține funcția gamma (reala) pe intervalul x>0, se utilizează formula recursivă Г(z+1)=zГ(z) și aproximarea de mai sus Г(z+1). În plus, se poate observa că este mai convenabil să se aproximeze logaritmul funcției gamma decât funcția gamma în sine. În primul rând, aceasta va necesita apelarea unei singure funcții matematice - logaritmul, și nu două - exponentul și gradul (cel din urmă încă folosește apelul logaritmului), iar în al doilea rând, funcția gamma crește rapid pentru x mare și aproximarea prin logaritm elimină problemele de depășire.

Pentru a aproxima Ln(Г(х) - logaritmul funcției gamma - se obține formula:

log(G(x))=(x+0,5)log(x+5,5)-(x+5,5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Valorile coeficientului C k- date tabelare (vezi în program).

Funcția gamma în sine se obține din logaritmul său luând exponentul.

Concluzie

Funcțiile gamma sunt un instrument convenabil pentru calcularea unor integrale, în special multe dintre acele integrale care nu sunt reprezentabile în funcțiile elementare.

Din acest motiv, ele sunt utilizate pe scară largă în matematică și aplicațiile sale, în mecanică, termodinamică și în alte ramuri ale științei moderne.

Bibliografie

1. Funcții speciale și aplicațiile acestora:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Analiza matematică partea 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M.,”Universitatea din Moscova”, 1987

3. Culegere de probleme în analiza matematică:

Demidovich B.P., M., Nauka, 1966

4. Integrale și serii de funcții speciale:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Caracteristici speciale:

Kuznetsov, M., „Liceu”, 1965

6. Asimptotice și funcții speciale

F. Olver, M., Nauka, 1990.

7.Monster Zoo sau introducere în caracteristici speciale

O.M. Kiselev,

APLICAȚII

Anexa 1 - Graficul funcției gamma a unei variabile reale

Anexa 2 - Graficul Funcției Gamma

Tabel - un tabel cu valorile funcției gamma pentru unele valori ale argumentului.

Anexa 3 este o listă de programe care desenează un tabel cu valorile funcției gamma pentru unele valori ale argumentelor.

Anexa 4 - listarea unui program care desenează un grafic al funcției gamma

Abstract................................................. ...........................................................3

Introducere ................................................ . ........................................................patru

Partea teoretică…………………………………………………….5

Funcția Euler Beta………………………………………………………….5

Funcția Gamma................................................... ... .................................opt

2.1. Definiție…………………………………………………...8

2.2. Reprezentarea integrală………………………………………8

2.3. Domeniul definiției și polii…………………………..10

2.4. Reprezentarea Hankel în termeni de integrală a buclei………..10

2.5. Forma limită Euler…………………………………12

2.6. Formula pentru produs………………………………………..13

Derivată a funcției gamma ............................................. ............. ...........cincisprezece

Calculul integralelor. Formula Stirling.................................18

Exemple de calcul al integralelor ................................................. .............. ......23

Partea practică…………………………………………………….24

Concluzie................................................. ...... .................................25

Referințe……………………………………………………………..26

Aplicații……………………………………………………………..27

ATASAMENTUL 1

Graficul funcției gamma a unei variabile reale

ANEXA 2

Graficul funcției gamma

MASA

X	g(x)

ANEXA 3

#include

static dublu cof=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0,1208650973866179e-2,

0,5395239384953e-5,

GammLn dublu(x dublu) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0,5)*log(x+5,5)-(x+5,5)+lg1;

Gamma dubla (x dublu) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_____________________________________________");

pentru(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0,5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_____________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programu najmite lybyiy klavishy");

ANEXA 4

#include

joc dublu (x dublu, eps dublu)

Int I, j, n, nb;

Dze dublu=(1,6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Dublu a=x, y, fc=1,0, s, s1, b;

Printf("Ați introdus date incorecte, vă rugăm să încercați din nou\n"); întoarcere -1,0;

Dacă(a==0) returnează fc;

Pentru(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2,0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

Pentru(n=1;n<=nb;n++)

Pentru(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1,0);

S=s+si-log(1,0+a/n);

Dublu dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, „ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Linie(30, getmaxy()-10,30,30);

Linia(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)în timp ce (Y>30);

)în timp ce (X<700);

)în timp ce (X<=620);

)în timp ce (y>=30);

X=30+150,0*0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

Daca eu<30) continue;

X=30+150,0*308523;

linie (30,30,30,10);

Linie(620.450.640.450);

Linie(30,10,25,15);

Linie(640,450,635,445);

Linie(640.450.635.455);

Linie (170,445,170,455);

Linie (320,445,320,455);

Linie(470,445,470,455);

Linie(620.445.620.455);

Linie(25,366,35,366);

Linie(25,282,35,282);

Linie(25,114,35,114);

Linia (25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465, „1”;

Outtexty(315,465, „2”;

Outtexty(465,465, „3”;

Outtexty(615,465, „4”;

Outtexty(630.465, „x”;

Outtexty(15.364, „1”;

Outtexty(15.280, „2”;

Outtexty(15,196, „3”;

Outtexty(15,112, „4”;

Outtexty(15,30, „5”;

S-a stabilit experimental că radiația g (vezi § 255) nu este o formă independentă de radioactivitate, ci doar însoțește descompunerea a- și b și apare și în timpul reacțiilor nucleare, în timpul decelerarii particulelor încărcate, a dezintegrarii acestora etc. spectrul g este căptușit. Spectrul g este distribuția de energie a numărului de cuante g (aceeași interpretare a spectrului b este dată în §258). Discretitatea spectrului g este de o importanță fundamentală, deoarece este dovada caracterului discret al stărilor energetice ale nucleelor atomice.

Acum este ferm stabilit că radiația g este emisă de nucleul fiică (mai degrabă decât de mamă). Nucleul fiică în momentul formării sale, fiind excitat, trece în starea fundamentală cu emisia de radiație g într-un timp de aproximativ 10 -13 - 10 -14 s, care este mult mai scurt decât durata de viață a unui atom excitat. (aproximativ 10 -8 s). Revenind la starea fundamentală, nucleul excitat poate trece printr-un număr de stări intermediare, astfel încât radiația g a aceluiași izotop radioactiv poate conține mai multe grupuri de g-quanta, care diferă unele de altele prin energia lor.

Cu radiații g DARși Z al nucleului nu se modifică, deci nu este descris de nicio regulă de deplasare. Radiația g a majorității nucleelor are o lungime de undă atât de scurtă încât proprietățile sale de undă sunt foarte slab manifestate. Aici, proprietățile corpusculare vin în prim-plan, astfel încât radiația g este considerată un flux de particule - g-quanta. În timpul descompunerilor radioactive ale diferitelor nuclee, g-quanta au energii de la 10 keV la 5 MeV.

Nucleul, care se află într-o stare excitată, poate intra în starea fundamentală nu numai prin emiterea unui cuantic g, ci și prin transferarea directă a energiei de excitație (fără emisia prealabilă a unui cuantum g) către unul dintre electronii același atom. În acest caz, este emis așa-numitul electron de conversie. Fenomenul în sine se numește conversie internă. Conversia internă este un proces care concurează cu radiația g.

Electronii de conversie corespund unor valori discrete ale energiei, în funcție de funcția de lucru a electronului din învelișul din care iese electronul și de energia E , dat de nucleu în timpul trecerii de la starea excitată la starea fundamentală. Dacă toată energia E este eliberată sub forma unui cuantic y, atunci frecvența radiației v este determinată din relația cunoscută E=hv . Dacă emit L electroni de conversie internă, atunci energiile lor sunt egale cu E-A K, E-A L, ..., unde A k, A L, ... este funcția de lucru a unui electron din K - și L-shells. Natura monoenergetică a electronilor de conversie face posibilă deosebirea acestora de electronii b, al căror spectru este continuu (vezi § 258). Locul liber de pe învelișul interior al atomului care a apărut ca urmare a scăpării unui electron va fi umplut cu electroni din învelișurile de deasupra. Prin urmare, conversia internă este întotdeauna însoțită de emisia caracteristică de raze X.

G-quanta, având masa de repaus zero, nu poate încetini într-un mediu, prin urmare, atunci când radiația g trece prin materie, acestea sunt fie absorbite, fie împrăștiate de aceasta. g-quanta nu poartă o sarcină electrică și, prin urmare, nu experimentează influența forțelor Coulomb. Când un fascicul de y-quanta trece printr-o substanță, energia lor nu se modifică, dar ca urmare a ciocnirilor, intensitatea este slăbită, a cărei modificare este descrisă de legea exponențială x, m - coeficientul de absorbție). Deoarece radiația g este cea mai penetrantă radiație, m pentru multe substanțe este o valoare foarte mică; m depinde de proprietățile materiei și de energia cuantei g.

g-quanta, care trece prin substanță, poate interacționa atât cu învelișul de electroni a atomilor substanței, cât și cu nucleele acestora. În electrodinamica cuantică, se dovedește că principalele procese care însoțesc trecerea radiației g prin materie sunt efectul fotoelectric, efectul Compton (împrăștierea Compton) și formarea perechilor electron-pozitron.

Efectul fotoelectric, sau absorbția fotoelectrică a razelor G, este un proces în care un atom absoarbe un cuantic g și emite un electron. Deoarece electronul este scos dintr-una dintre învelișurile interioare ale atomului, spațiul eliberat este umplut cu electroni din învelișurile de deasupra, iar efectul fotoelectric este însoțit de radiația caracteristică de raze X. Efectul fotoelectric este mecanismul de absorbție predominant în regiunea energiilor joase ale g-quantelor (E g< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

Pe măsură ce energia g-quanta crește (E g » 0,5 MeV), probabilitatea efectului fotoelectric este foarte mică, iar mecanismul principal pentru interacțiunea g-quanta cu materia este împrăștierea Compton (vezi § 206).

Când E g >1,02 MeV = 2m e c 2 (m e este masa în repaus a unui electron), procesul de formare a perechilor electron-pozitron în câmpurile electrice ale nucleelor devine posibil. Probabilitatea acestui proces este proporțională cu Z 2 și crește cu E g. Prin urmare, la E g » 10 MeV, principalul proces de interacțiune a radiațiilor g în orice substanță este formarea perechilor electric-pozitroni.

Dacă energia unui cuantum g depășește energia de legare a nucleonilor din nucleu (7-8 MeV), atunci, ca urmare a absorbției unui cuantic g, se poate observa un efect fotoelectric nuclear - emisia unuia dintre nucleonii din nucleu, cel mai adesea un neutron.

Puterea mare de penetrare a radiației g este utilizată în detectarea defectelor gamma - o metodă de detectare a defectelor bazată pe absorbția diferită a radiației g atunci când se propagă pe aceeași distanță în medii diferite. Localizarea și dimensiunea defectelor (cavități, fisuri etc.) sunt determinate de diferența de intensități ale radiației care a trecut prin diferite părți ale produsului translucid.

Impactul radiațiilor g (precum și al altor tipuri de radiații ionizante) asupra unei substanțe este caracterizat de o doză de radiații ionizante. Diferă:

Doza de radiație absorbită este o mărime fizică egală cu raportul dintre energia radiației și masa substanței iradiate.

Unitatea de măsură a dozei de radiație absorbită este gri (Gy) *: 1 Gy \u003d 1 J / kg - doza de radiație la care energia oricărei radiații ionizante de 1 J este transferată unei substanțe iradiate cu o greutate de 1 kg.

Doza de expunere a radiațiilor este o mărime fizică egală cu raportul sumei sarcinilor electrice ale tuturor ionilor de același semn, create de electroni eliberați în aerul iradiat (în condiția utilizării depline a capacității de ionizare a electronilor), pentru a masa acestui aer.

Unitatea de măsură a dozei de expunere la radiații este un pandantiv pe kilogram (C/kg); unitatea întunecată este roentgenul (R): 1 R=2,58×10 -4 C/kg.

Doza biologică - o valoare care determină efectul radiațiilor asupra organismului.

Unitatea de doză biologică este echivalentul biologic al unui roentgen (rem): 1 rem este o doză de orice tip de radiație ionizantă care produce același efect biologic ca o doză de raze X sau radiații g în 1 R (1 rem = 10 -2 J/kg).

Portal pentru student. Autoinstruire

Introducere

Introducere

2. Derivată a funcției gamma

Să aplicăm funcția gamma la calculul integralei:

Concluzie

Bibliografie

1. Funcții speciale și aplicațiile acestora:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

ARTICOLE SIMILARE