Identități trigonometrice sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .

La conversia expresiilor trigonometrice, se folosește foarte des această identitate, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu unul și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă.

Găsirea tangentei și cotangentei prin sinus și cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți, atunci, prin definiție, ordonata lui y este sinusul, iar abscisa lui x este cosinusul. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă.

Adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha pentru care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile vor avea loc , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z , z este un număr întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.

Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg\alpha=\frac(x)(y). De aici rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta unui unghi la care au sens sunt numere reciproc reciproce.

Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha , este egal cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha, altul decât \pi z .

Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice

Exemplul 1

Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Afișează soluția

Decizie

Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, primim:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Această ecuație are 2 soluții:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru, sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Pentru a găsi tg \alpha , folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemplul 2

Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Afișează soluția

Decizie

Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr condiționat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru, cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

În acest articol, vom arunca o privire cuprinzătoare asupra . Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre aceste funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut.

Enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Le notăm într-un tabel, iar mai jos dăm derivarea acestor formule și dăm explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Relația dintre sinus și cosinus unui unghi

Uneori vorbesc nu despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț . Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică de bază după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și egalitățile și rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom discuta acest lucru mai detaliat în paragrafele următoare.

Adică, egalitatea prezintă un interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale.

Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică de bază, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm.

Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită în transformarea expresiilor trigonometrice. Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este utilizată în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi.

Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus

Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonata și abscisa, adică , iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică .

Datorită acestei evidenţe a identităţilor şi adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.

Pentru a încheia această secțiune, trebuie remarcat faptul că identitățile și este valabil pentru toate astfel de unghiuri pentru care funcțiile trigonometrice conținute în ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice altceva decât (în caz contrar, numitorul va fi zero și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .

Relația dintre tangentă și cotangentă

O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei . Este clar că are loc pentru orice alt unghi decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.

Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și de unde . Dovada ar fi putut fi realizată într-un mod ușor diferit. Din moment ce și , apoi .

Deci, tangenta și cotangenta unui unghi, la care au sens, este.

În acest articol, vom vorbi despre substituție trigonometrică universală. Implica expresia sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei oricărui unghi prin tangenta unui semiunghi. Mai mult, o astfel de înlocuire se realizează rațional, adică fără rădăcini.

În primul rând, scriem formule care exprimă sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta în termenii tangentei unui jumătate de unghi. În continuare, arătăm derivarea acestor formule. Și în concluzie, să ne uităm la câteva exemple de utilizare a substituției trigonometrice universale.

Navigare în pagină.

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă prin tangenta unui jumătate de unghi

Mai întâi, să scriem patru formule care exprimă sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi în termeni de tangente a unui jumătate de unghi.

Aceste formule sunt valabile pentru toate unghiurile la care sunt definite tangentele și cotangentele incluse în ele:

Derivarea formulelor

Să analizăm derivarea formulelor care exprimă sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi prin tangenta unui semiunghi. Să începem cu formulele pentru sinus și cosinus.

Reprezentăm sinusul și cosinusul folosind formulele unghiului dublu ca și respectiv. Acum expresii și scrieți ca fracții cu numitorul 1 ca și . În plus, pe baza identității trigonometrice principale, înlocuim unitățile din numitor cu suma pătratelor sinusului și cosinusului, după care obținem și . În cele din urmă, împărțim numărătorul și numitorul fracțiilor rezultate la (valoarea sa este diferită de zero, cu condiția ). Ca rezultat, întregul lanț de acțiuni arată astfel:


și

Aceasta completează derivarea formulelor care exprimă sinusul și cosinusul prin tangenta unui jumătate de unghi.

Rămâne să derivăm formulele pentru tangentă și cotangentă. Acum, ținând cont de formulele obținute mai sus, și de formulele și , obținem imediat formule care exprimă tangenta și cotangenta prin tangenta unui semiunghi:

Deci, am derivat toate formulele pentru substituția trigonometrică universală.

Exemple de utilizare a substituției trigonometrice universale

Mai întâi, să luăm în considerare un exemplu de utilizare a substituției trigonometrice universale la conversia expresiilor.

Exemplu.

Dați o expresie la o expresie care conține o singură funcție trigonometrică.

Decizie.

Răspuns:

.

Bibliografie.

• Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Instruire

Folosiți-vă cunoștințele de planimetrie pentru a exprima sinusului prin co sinusului. Prin definitie, sinusului ohm al unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic de lungime opus și lui sinusului om - catetul adiacent ipotenuzei. Chiar și cunoașterea teoremei lui Pitagora vă va permite să găsiți rapid transformarea dorită în unele cazuri.

expres sinusului prin co sinusului, folosind cea mai simplă identitate trigonometrică, conform căreia suma pătratelor acestor mărimi dă unitate. Vă rugăm să rețineți că puteți finaliza corect sarcina numai dacă știți că unghiul dorit este în sfert, altfel veți obține două rezultate posibile - cu un pozitiv și un semn.

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Există un triunghi cu laturile a, b, c egale cu 3, 4, 5 mm, respectiv.

A găsi cosinus unghiul cuprins între laturile mari.

Să notăm unghiul opus laturii a prin?, apoi, conform formulei derivate mai sus, avem:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Răspuns: 0,8.

Dacă triunghiul este un triunghi dreptunghic, atunci pentru a găsi cosinusși este suficient să cunoașteți lungimile oricăror două laturi ale unghiului ( cosinus unghiul drept este 0).

Să fie un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, c, unde c este ipotenuza.

Luați în considerare toate opțiunile:

Aflați cos? dacă sunt cunoscute lungimile laturilor a și b (ale unui triunghi).

Să folosim suplimentar teorema lui Pitagora:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Pentru corectitudinea formulei rezultate, o substituim din exemplul 1, i.e.

După ce am făcut calcule elementare, obținem:

În mod similar, există cosinusîntr-un dreptunghiular triunghi in alte cazuri:

Cunoscuți a și c (ipotenuza și catetul opus), găsiți cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Înlocuind valorile a=3 și c=5 din exemplu, obținem:

b și c sunt cunoscute (ipotenuza și catetul adiacent).

Găsiți sos?

După ce am efectuat transformări similare (prezentate în exemplele 2 și 3), obținem că în acest caz cosinusîn triunghi calculat folosind o formulă foarte simplă:

Simplitatea formulei derivate este explicată într-un mod elementar: de fapt, adiacent colțului? catetul este o proiecție a ipotenuzei, lungimea sa este egală cu lungimea ipotenuzei înmulțită cu cos?.

Înlocuind valorile b=4 și c=5 din primul exemplu, obținem:

Deci toate formulele noastre sunt corecte.

Pentru a obţine o formulă referitoare la sinusuluiși co sinusului unghi, este necesar să se dea sau să se reamintească unele definiții. Asa de, sinusului unghiul este raportul (coeficientul de diviziune) dintre catetul opus al unui triunghi dreptunghic față de ipotenuză. Co. sinusului unghiul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Instruire

Sfaturi utile

Valoarea sinusului și cosinusului oricărui unghi nu poate fi mai mare de 1.

Sinusulși cosinus- sunt funcții trigonometrice directe pentru care există mai multe definiții - printr-un cerc într-un sistem de coordonate carteziene, prin soluții ale unei ecuații diferențiale, prin unghiuri ascuțite într-un triunghi dreptunghic. Fiecare dintre aceste definiții vă permite să deduceți relația dintre aceste două funcții. Următorul este poate cel mai simplu mod de exprimare cosinus prin sinus - prin definițiile lor pentru unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic.

Instruire

Exprimați sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic în funcție de lungimile laturilor acestei figuri. Conform definiției, sinusul unghiului (α) trebuie să fie raportul dintre lungimea laturii (a) opusă acesteia - catetul - și lungimea laturii (c) opusă unghiului drept - ipotenuza: sin (α) = a/c.

Găsiți o formulă similară pentru cosinus dar același unghi. Prin definiție, această valoare ar trebui exprimată ca raportul dintre lungimea laturii (b) adiacentă acestui colț (al doilea picior) și lungimea laturii (c) situată opus unghiului drept: cos (a) \u003d a/c.

Rescrieți ecuația care urmează din teorema lui Pitagora în așa fel încât să folosească relațiile dintre catete și ipotenuza derivate în cei doi pași anteriori. Pentru a face acest lucru, mai întâi împărțiți ambele originalul acestei teoreme (a² + b² = c²) la pătratul ipotenuzei (a² / c² + b² / c² = 1), apoi rescrieți egalitatea rezultată în această formă: (a / c)² + (b / c )² = 1.

Înlocuiți în expresia rezultată raportul dintre lungimile catetelor și ipotenuzei cu funcții trigonometrice, pe baza formulelor primului și celui de-al doilea pas: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Exprimați cosinus din egalitatea rezultată: cos(a) = √(1 - sin²(a)). Această problemă poate fi rezolvată într-un mod general.

Dacă, în plus față de general, trebuie să obțineți un rezultat numeric, utilizați, de exemplu, calculatorul încorporat în sistemul de operare Windows. Un link către lansarea acestuia în subsecțiunea „Standard” a secțiunii „Toate programele” din meniul OS. Această legătură este formulată concis - „Calculator”. Pentru a putea calcula funcții trigonometrice din acest program, porniți interfața sa de „inginerie” - apăsați combinația de taste Alt + 2.

Introduceți valoarea sinusului unghiului în condiții și faceți clic pe butonul de interfață cu denumirea x² - aceasta va pătra valoarea inițială. Apoi tastați *-1 pe tastatură, apăsați Enter, introduceți +1 și apăsați din nou Enter - în acest fel veți scădea pătratul sinusului din unitate. Faceți clic pe tasta pictogramă radicală pentru a extrage pătratul și a obține rezultatul final.

Unul dintre fundamentele fundamentale ale științelor exacte este conceptul de funcții trigonometrice. Ele definesc relații simple între laturile unui triunghi dreptunghic. Sinusul aparține familiei acestor funcții. Găsirea acestuia, cunoașterea unghiului, se poate face într-un număr mare de moduri, inclusiv prin metode experimentale, de calcul, precum și prin utilizarea informațiilor de referință.

Vei avea nevoie

• - calculator;
• - un calculator;
• - foi de calcul;
• - mese bradys;
• - hartie;
• - creion.

Instruire

Utilizați cu funcția sinus pentru a obține valorile dorite pe baza cunoașterii unghiului. Chiar și cele mai simple au funcționalități similare astăzi. În acest caz, calculele se fac cu un grad foarte mare de precizie (de obicei până la opt sau mai multe zecimale).

aplica software, care este un mediu de foi de calcul care rulează calculator personal. Exemple de astfel de aplicații sunt Microsoft Office Excel și OpenOffice.org Calc. Introduceți în orice celulă o formulă constând în apelarea funcției sinus cu argumentul dorit. Apasa Enter. Valoarea dorită va fi afișată în celulă. Avantajul foilor de calcul este capacitatea de a calcula rapid valorile funcției pentru un set mare de argumente.

Aflați valoarea aproximativă a sinusului unghiului din tabelele Bradys, dacă sunt disponibile. Dezavantajul lor este acuratețea valorilor, care este limitată la patru zecimale.

Aflați valoarea aproximativă a sinusului unghiului făcând construcții geometrice. Desenați o linie pe o bucată de hârtie. Folosind un raportor, lăsați deoparte unghiul al cărui sinus doriți să-l găsiți. Desenați o altă linie care o intersectează pe prima la un moment dat. Perpendicular pe primul segment, trageți o linie dreaptă care intersectează două segmente existente. Obțineți un triunghi dreptunghic. Măsurați lungimea ipotenuzei sale și a catetului opus unghiului construit cu raportorul. Împărțiți a doua valoare la prima. Aceasta va fi valoarea dorită.

Calculați sinusul unui unghi folosind expansiunea seriei Taylor. Dacă valoarea unghiului este în grade, convertiți-o în radiani. Utilizați o formulă ca aceasta: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... Pentru a crește viteza de calcul, notați valoarea curentă a numărătorului și numitorului ultimului membru al seriei, calculând următoarea valoare pe baza celei precedente. Măriți lungimea rândului pentru o valoare mai precisă.

Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, iar cosinusul este raportul catetului adiacent și ipotenuză.

Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor

Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusului și sinusului.

Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele”.

Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit micului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.

Derivate

O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt utilizate în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.

Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabulare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar derivata cosinusului este sinusul, dar cu semnul minus.

Aplicație în matematică

Mai ales des, sinusurile și cosinusurile sunt folosite în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor legate de acestea.

Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, împărțind forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii și, adesea ocupându-se de calculele raporturilor de aspect și măsurilor de grade, au petrecut mult timp și efort calculând cosinus și sinusuri ale unghiurilor care nu sunt de tip tabel.

Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. În vremea sovietică, unii profesori își obligau pupiile să memoreze paginile tabelelor Bradis.

Radian - valoarea unghiulară a arcului, pe lungimea egală cu raza sau 57,295779513 ° grade.

Gradul (în geometrie) - 1/360 dintr-un cerc sau 1/90 dintr-un unghi drept.

π = 3,141592653589793238462… (valoarea aproximativă a lui pi).

Tabel cosinus pentru unghiuri: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Unghiul x (în grade)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Unghiul x (în radiani)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Nu te voi convinge să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și cum sunt utile foile de înșelăciune. Și aici - informații despre cum să nu învățați, ci să vă amintiți câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat! Folosim asocieri pentru memorare.

1. Formule de adunare:

cosinus întotdeauna „merg în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. Ei „totul este greșit”, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.

Sinusuri - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formule de sumă și diferență:

cosinus întotdeauna „merg în perechi”. După ce adăugați două cosinus - „chile”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom primi koloboks. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.

Sinusuri - "mix" :

3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și o diferență.

Când primim o pereche de cosinus? La adăugarea cosinusurilor. Asa de

Când primim o pereche de sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:

„Amestecarea” se obține atât prin adăugarea, cât și prin scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa este, pliază. Și pentru formulă luați adunarea:

În prima și a treia formulă între paranteze - suma. Din rearanjarea locurilor termenilor, suma nu se modifică. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența

iar în al doilea rând, suma

Cearșafurile pentru pătuț în buzunar oferă liniște sufletească: dacă uiți formula, o poți șterge. Și dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, formulele pot fi reținute cu ușurință.