teorema lui Pitagora
În mod similar, triunghiul CBH este similar cu ABC. Introducerea notației 
1. Aranjați patru triunghiuri dreptunghice egale așa cum se arată în figură. 
Ideea demonstrației lui Euclid este următoarea: să încercăm să demonstrăm că jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe catete, iar apoi ariile de pătratele mari și cele două pătrate mici sunt egale. Luați în considerare desenul din stânga. Am construit pe el pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic și am desenat o rază s din vârful unghiului drept C perpendicular pe ipotenuza AB, ea taie pătratul ABIK, construit pe ipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și HAKJ , respectiv. Se pare că ariile acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu ariile pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare. Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK Pentru a face acest lucru, folosim o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca și cea dată. dreptunghiul este egal cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțimii. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (neprezentată), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK. Să demonstrăm acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să dovediți egalitatea triunghiurilor ACK și BDA (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din aria pătratului de proprietatea de mai sus). Această egalitate este evidentă, triunghiurile sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele. Și anume - AB=AK,AD=AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: să rotim triunghiul CAK cu 90° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri considerate vor coincide (datorită faptului că unghiul la vârful pătratului este de 90°). Argumentul despre egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet analog. Astfel, am demonstrat că aria pătratului construit pe ipotenuză este suma ariilor pătratelor construite pe catete. 
Luați în considerare desenul, după cum se poate vedea din simetrie, segmentul CI taie pătratul ABHJ în două părți identice (deoarece triunghiurile ABC și JHI sunt egale în construcție). Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic, vedem egalitatea cifrelor umbrite CAJI și GDAB. Acum este clar că aria figurii umbrite de noi este egală cu suma jumătate din suprafețele pătratelor construite pe picioare și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din aria pătratului construit pe ipotenuză, plus aria triunghiului original. Ultimul pas în demonstrație este lăsat cititorului.Potențialul de creativitate este de obicei atribuit științelor umaniste, lăsând analiza științifică naturală, abordarea practică și limbajul sec al formulelor și numerelor. Matematica nu poate fi clasificată ca materie umaniste. Dar fără creativitate în „regina tuturor științelor” nu vei ajunge departe - oamenii știu despre asta de mult timp. De pe vremea lui Pitagora, de exemplu.
Manualele școlare, din păcate, de obicei nu explică faptul că în matematică este important nu numai să înghesuim teoreme, axiome și formule. Este important să înțelegeți și să simțiți principiile sale fundamentale. Și, în același timp, încearcă să-ți eliberezi mintea de clișee și adevăruri elementare - doar în astfel de condiții se nasc toate marile descoperiri.
Astfel de descoperiri o includ pe cea pe care astăzi o cunoaștem ca teorema lui Pitagora. Cu ajutorul ei, vom încerca să arătăm că matematica nu numai că poate, dar ar trebui să fie distractivă. Și că această aventură este potrivită nu numai pentru tocilari cu pahare groase, ci pentru toți cei care sunt puternici la minte și puternici la spirit.
Din istoria problemei
Strict vorbind, deși teorema este numită „teorema lui Pitagora”, Pitagora însuși nu a descoperit-o. Triunghiul dreptunghic și proprietățile sale speciale au fost studiate cu mult înaintea lui. Există două puncte de vedere polare asupra acestei probleme. Potrivit unei versiuni, Pitagora a fost primul care a găsit o demonstrație completă a teoremei. Potrivit altuia, dovada nu ține de paternitatea lui Pitagora.
Astăzi nu mai poți verifica cine are dreptate și cine greșește. Se știe doar că dovada lui Pitagora, dacă a existat vreodată, nu a supraviețuit. Cu toate acestea, există sugestii că faimoasa dovadă din Elementele lui Euclid ar putea aparține lui Pitagora, iar Euclid a înregistrat-o doar.
De asemenea, se știe astăzi că probleme legate de un triunghi dreptunghic se găsesc în sursele egiptene din vremea faraonului Amenemhet I, pe tăblițele de lut babiloniene din timpul domniei regelui Hammurabi, în vechiul tratat indian Sulva Sutra și în lucrarea antică chineză Zhou. -bi suan jin.
După cum puteți vedea, teorema lui Pitagora a ocupat mințile matematicienilor din cele mai vechi timpuri. Aproximativ 367 de dovezi diferite care există astăzi servesc drept confirmare. Nicio altă teoremă nu poate concura cu ea în acest sens. Printre autori de dovezi se numără Leonardo da Vinci și al 20-lea președinte al Statelor Unite, James Garfield. Toate acestea vorbesc despre importanța extremă a acestei teoreme pentru matematică: majoritatea teoremelor de geometrie sunt derivate din ea sau, într-un fel sau altul, sunt legate de ea.
Demonstrații ale teoremei lui Pitagora
Manualele școlare oferă în mare parte dovezi algebrice. Dar esența teoremei este în geometrie, așa că să luăm în considerare în primul rând acele dovezi ale celebrei teoreme care se bazează pe această știință.
Dovada 1
Pentru cea mai simplă demonstrație a teoremei lui Pitagora pentru un triunghi dreptunghic, trebuie să stabiliți condiții ideale: triunghiul să fie nu numai dreptunghic, ci și isoscel. Există motive să credem că a fost un astfel de triunghi care a fost considerat inițial de matematicienii antici.
Afirmație „un pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor construite pe catetele sale” poate fi ilustrat cu următorul desen:
Priviți triunghiul dreptunghic isoscel ABC: pe ipotenuza AC, puteți construi un pătrat format din patru triunghiuri egale cu ABC original. Și pe picioarele AB și BC construite pe un pătrat, fiecare dintre ele conține două triunghiuri similare.
Apropo, acest desen a stat la baza a numeroase anecdote și desene animate dedicate teoremei lui Pitagora. Poate cel mai faimos este „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”:
Dovada 2
Această metodă combină algebra și geometria și poate fi văzută ca o variantă a vechii dovezi indiene a matematicianului Bhaskari.
Construiți un triunghi dreptunghic cu laturile a, b și c(Fig. 1). Apoi construiți două pătrate cu laturile egale cu suma lungimilor celor două picioare - (a+b). În fiecare dintre pătrate, faceți construcții, ca în figurile 2 și 3.
În primul pătrat, construiți patru din aceleași triunghiuri ca în figura 1. Ca rezultat, se obțin două pătrate: unul cu latura a, al doilea cu latura b.
În al doilea pătrat, patru triunghiuri similare construite formează un pătrat cu latura egală cu ipotenuza c.
Suma ariilor pătratelor construite din Fig. 2 este egală cu aria pătratului pe care l-am construit cu latura c în Fig. 3. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin calcularea ariilor pătratelor din Fig. 2 conform formulei. Și aria pătratului înscris în figura 3. scăzând ariile a patru triunghiuri dreptunghiulare egale înscrise în pătrat din aria unui pătrat mare cu o latură (a+b).
Punând toate acestea jos, avem: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Extindeți parantezele, faceți toate calculele algebrice necesare și obțineți asta a 2 + b 2 = a 2 + b 2. În același timp, aria celor înscrise în Fig.3. pătratul poate fi calculat și folosind formula tradițională S=c2. Acestea. a2+b2=c2 Ai demonstrat teorema lui Pitagora.
Dovada 3
Aceeași dovadă indiană veche este descrisă în secolul al XII-lea în tratatul „Coroana Cunoașterii” („Siddhanta Shiromani”), iar ca argument principal autorul folosește un apel adresat talentelor matematice și puterilor de observație ale studenților și urmași: „Uite!”.
Dar vom analiza această dovadă mai detaliat:
În interiorul pătratului, construiți patru triunghiuri dreptunghiulare așa cum este indicat în desen. Se notează latura pătratului mare, care este și ipotenuza Cu. Să numim catetele triunghiului Ași b. Conform desenului, latura pătratului interior este (a-b).
Utilizați formula ariei pătrate S=c2 pentru a calcula aria pătratului exterior. Și, în același timp, calculați aceeași valoare adunând aria pătratului interior și aria a patru triunghiuri dreptunghiulare: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Puteți folosi ambele opțiuni pentru a calcula aria unui pătrat pentru a vă asigura că dau același rezultat. Și asta îți dă dreptul să scrii asta c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Ca rezultat al soluției, veți obține formula teoremei lui Pitagora c2=a2+b2. Teorema a fost demonstrată.
Dovada 4
Această curioasă dovadă chineză antică a fost numită „Scaunul miresei” - din cauza figurii asemănătoare unui scaun care rezultă din toate construcțiile:
Folosește desenul pe care l-am văzut deja în Figura 3 în a doua demonstrație. Și pătratul interior cu latura c este construit în același mod ca în vechea demonstrație indiană dată mai sus.
Dacă tăiați mental două triunghiuri dreptunghiulare verzi din desenul din fig. 1, transferați-le în laturile opuse ale pătratului cu latura c și atașați ipotenuzele la ipotenuzele triunghiurilor liliac, veți obține o figură numită „mireasa”. scaun” (Fig. 2). Pentru claritate, puteți face același lucru cu pătratele și triunghiurile din hârtie. Vei vedea că „scaunul miresei” este format din două pătrate: mici cu o latură bși mare cu o latură A.
Aceste construcţii le-au permis matematicienilor chinezi antici şi nouă, care le urmăm, să ajungem la concluzia că c2=a2+b2.
Dovada 5
Aceasta este o altă modalitate de a găsi o soluție la teorema lui Pitagora bazată pe geometrie. Se numește Metoda Garfield.
Construiți un triunghi dreptunghic ABC. Trebuie să dovedim asta BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Pentru a face acest lucru, continuați piciorul ACși construiți un segment CD, care este egal cu piciorul AB. Perpendiculară inferioară ANUNȚ segment de linie ED. Segmente EDși AC sunt egale. uneste punctele Eși LA, precum și Eși DINși obțineți un desen ca în imaginea de mai jos:
Pentru a demonstra turnul, recurgem din nou la metoda pe care am testat-o deja: găsim aria figurii rezultate în două moduri și echivalăm expresiile una cu cealaltă.
Găsiți aria unui poligon UN PAT se poate realiza prin adăugarea ariilor celor trei triunghiuri care o formează. Și unul dintre ei ERU, nu este doar dreptunghiular, ci și isoscel. Să nu uităm nici asta AB=CD, AC=EDși BC=CE- acest lucru ne va permite să simplificăm înregistrarea și să nu o supraîncărcăm. Asa de, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
În același timp, este evident că UN PAT este un trapez. Prin urmare, calculăm aria sa folosind formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Pentru calculele noastre, este mai convenabil și mai clar să reprezentăm segmentul ANUNȚ ca suma segmentelor ACși CD.
Să scriem ambele moduri de a calcula aria unei figuri punând un semn egal între ele: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Folosim egalitatea segmentelor deja cunoscută nouă și descrisă mai sus pentru a simplifica partea dreaptă a notației: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Și acum deschidem parantezele și transformăm egalitatea: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. După ce am terminat toate transformările, obținem exact ceea ce ne trebuie: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Am demonstrat teorema.
Desigur, această listă de dovezi este departe de a fi completă. Teorema lui Pitagora poate fi demonstrată și folosind vectori, numere complexe, ecuații diferențiale, stereometrie etc. Și chiar și fizicienii: dacă, de exemplu, lichidul este turnat în volume pătrate și triunghiulare similare cu cele prezentate în desene. Prin turnarea lichidului, este posibil să se demonstreze egalitatea ariilor și ca rezultat teorema în sine.
Câteva cuvinte despre tripleții pitagoreici
Această problemă este puțin sau nu studiată în programa școlară. Între timp, este foarte interesant și are o mare importanță în geometrie. Triplele pitagoreene sunt folosite pentru a rezolva multe probleme matematice. Ideea acestora vă poate fi utilă în educația ulterioară.
Deci, ce sunt tripleții pitagoreici? Așa-numitele numere naturale, adunate în trei, suma pătratelor a două dintre ele este egală cu al treilea număr la pătrat.
Triplele pitagorice pot fi:
- primitive (toate cele trei numere sunt relativ prime);
- non-primitiv (dacă fiecare număr al unui triplu este înmulțit cu același număr, obțineți un nou triplu care nu este primitiv).
Chiar înainte de epoca noastră, egiptenii antici erau fascinați de mania pentru numerele de tripleți pitagoreici: în sarcini considerau un triunghi dreptunghic cu laturile de 3,4 și 5 unități. Apropo, orice triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele din triplul lui Pitagora este implicit dreptunghiular.
Exemple de triple pitagorice: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) etc.
Aplicarea practică a teoremei
Teorema lui Pitagora își găsește aplicație nu numai în matematică, ci și în arhitectură și construcții, astronomie și chiar literatură.
În primul rând, despre construcție: teorema lui Pitagora își găsește o aplicare largă în probleme de diferite niveluri de complexitate. De exemplu, uitați-vă la fereastra romanică:
Să notăm lățimea ferestrei ca b, atunci raza semicercului mare poate fi notată ca Rși exprimați prin b: R=b/2. Raza semicercurilor mai mici poate fi exprimată și în termeni de b: r=b/4. În această problemă, ne interesează raza cercului interior al ferestrei (să-i spunem p).
Teorema lui Pitagora este utilă de calculat R. Pentru a face acest lucru, folosim un triunghi dreptunghic, care este indicat de o linie punctată în figură. Ipotenuza unui triunghi este formată din două raze: b/4+p. Un picior este o rază b/4, o alta b/2-p. Folosind teorema lui Pitagora, scriem: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Apoi, deschidem parantezele și obținem b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Să transformăm această expresie în bp/2=b2/4-bp. Și apoi împărțim toți termenii în b, le dăm similare pentru a obține 3/2*p=b/4. Și până la urmă găsim asta p=b/6- care este ceea ce aveam nevoie.
Folosind teorema, puteți calcula lungimea căpriorii pentru un acoperiș cu două versale. Determinați cât de înalt este necesar un turn mobil pentru ca semnalul să ajungă la o anumită așezare. Și chiar și instalați în mod constant un brad de Crăciun în piața orașului. După cum puteți vedea, această teoremă trăiește nu numai pe paginile manualelor, ci este adesea utilă în viața reală.
În ceea ce privește literatura, teorema lui Pitagora a inspirat scriitori încă din antichitate și continuă să o facă și astăzi. De exemplu, scriitorul german din secolul al XIX-lea Adelbert von Chamisso a fost inspirat de ea să scrie un sonet:
Lumina adevărului nu se va risipi curând,
Dar, după ce a strălucit, este puțin probabil să se risipească
Și, ca acum mii de ani,
Nu va provoca îndoieli și dispute.
Cel mai înțelept când atinge ochiul
Lumină a adevărului, mulțumesc zeilor;
Și o sută de tauri, înjunghiați, mint -
Darul de întoarcere al norocosului Pitagora.
De atunci, taurii urlă disperați:
A trezit pentru totdeauna tribul taurului
eveniment menționat aici.
Ei cred că e timpul
Și din nou vor fi sacrificați
O teoremă grozavă.
(traducere de Viktor Toporov)
Și în secolul al XX-lea, scriitorul sovietic Evgheni Veltistov în cartea sa „Aventurile electronice” a dedicat un întreg capitol dovezilor teoremei lui Pitagora. Și o jumătate de capitol din povestea despre lumea bidimensională care ar putea exista dacă teorema lui Pitagora ar deveni legea fundamentală și chiar religia pentru o singură lume. Ar fi mult mai ușor să trăiești în el, dar și mult mai plictisitor: de exemplu, nimeni acolo nu înțelege sensul cuvintelor „rotund” și „pufos”.
Iar în cartea „Aventurile electronicii”, autorul, prin gura profesorului de matematică Taratara, spune: „Principalul lucru în matematică este mișcarea gândirii, ideile noi”. Acest zbor creativ al gândirii este cel care generează teorema lui Pitagora - nu degeaba are atât de multe dovezi diverse. Ajută să depășești ceea ce este obișnuit și să privești lucrurile familiare într-un mod nou.
Concluzie
Acest articol a fost creat astfel încât să puteți privi dincolo de programa școlară în matematică și să învățați nu numai acele dovezi ale teoremei lui Pitagora care sunt date în manualele „Geometrie 7-9” (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) și „Geometrie 7 -11”. ” (A.V. Pogorelov), dar și alte modalități curioase de a demonstra celebra teoremă. Și vezi, de asemenea, exemple despre cum teorema lui Pitagora poate fi aplicată în viața de zi cu zi.
În primul rând, aceste informații vă vor permite să obțineți scoruri mai mari la cursurile de matematică - informațiile despre subiect din surse suplimentare sunt întotdeauna foarte apreciate.
În al doilea rând, am vrut să vă ajutăm să vă simțiți cât de interesantă este matematica. Să te convingi prin exemple concrete că există întotdeauna un loc pentru creativitate în ea. Sperăm că teorema lui Pitagora și acest articol vă vor inspira să faceți propriile cercetări și descoperiri interesante în matematică și alte științe.
Spune-ne în comentarii dacă ai găsit interesante dovezile prezentate în articol. Ți s-au părut utile aceste informații în studiile tale? Spune-ne ce părere ai despre teorema lui Pitagora și despre acest articol - vom fi bucuroși să discutăm despre toate acestea cu tine.
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.
Diverse moduri de a demonstra teorema lui Pitagora
elev din clasa a 9-a „A”.
MOU scoala gimnaziala №8
Consilier stiintific:
profesor de matematică,
MOU scoala gimnaziala №8
Artă. Crăciun nou
Teritoriul Krasnodar.
Artă. Crăciun nou
ADNOTARE.
Teorema lui Pitagora este considerată pe bună dreptate cea mai importantă în cursul geometriei și merită o atenție deosebită. Este baza pentru rezolvarea multor probleme geometrice, baza pentru studierea cursului teoretic și practic de geometrie în viitor. Teorema este înconjurată de cel mai bogat material istoric legat de aspectul său și metodele de demonstrare. Studiul istoriei dezvoltării geometriei insuflă dragostea pentru acest subiect, contribuie la dezvoltarea interesului cognitiv, a culturii generale și a creativității și, de asemenea, dezvoltă abilitățile de cercetare.
În urma activității de căutare a fost atins scopul lucrării, care este completarea și generalizarea cunoștințelor privind demonstrarea teoremei lui Pitagora. A reușit să găsească și să revizuiască diferite căi dovezi și aprofundarea cunoștințelor pe această temă, trecând dincolo de paginile unui manual școlar.
Materialul adunat convinge și mai mult că teorema lui Pitagora este marea teoremă a geometriei și are o mare importanță teoretică și practică.
Introducere. Context istoric 5 Corpul principal 8
3. Concluzie 19
4. Literatura utilizată 20
1. INTRODUCERE. REFERINȚĂ DE ISTORIE.
Esența adevărului este că este pentru noi pentru totdeauna,
Când cel puțin o dată în percepția ei vedem lumina,
Și teorema lui Pitagora după atâția ani
Pentru noi, ca și pentru el, este incontestabil, impecabil.
Pentru a sărbători, zeilor li s-a dat un jurământ de către Pitagora:
Pentru atingerea înțelepciunii infinite,
A înjunghiat o sută de tauri, datorită celor veșnici;
El a oferit rugăciuni și laude victimei după.
De atunci, taurii, când miros, împingând,
Ce îi conduce pe oameni la noul adevăr din nou,
Ei răcnesc furios, așa că nu există urină de ascultat,
Un astfel de Pitagora le-a insuflat teroare pentru totdeauna.
Taurii, neputincioși să reziste noului adevăr,
Ce ramane? - Doar închide ochii, răcnește, tremură.
Nu se știe cum și-a demonstrat Pitagora teorema. Cert este că a descoperit-o sub influența puternică a științei egiptene. Un caz special al teoremei lui Pitagora - proprietățile unui triunghi cu laturile 3, 4 și 5 - era cunoscut de constructorii piramidelor cu mult înainte de nașterea lui Pitagora, în timp ce el însuși a studiat cu preoții egipteni mai bine de 20 de ani. Există o legendă care spune că, după ce și-a dovedit celebra teoremă, Pitagora a sacrificat zeilor un taur și, conform altor surse, chiar și 100 de tauri. Acest lucru, însă, contrazice informațiile despre părerile morale și religioase ale lui Pitagora. În sursele literare, se poate citi că „a interzis chiar uciderea animalelor și cu atât mai mult hrănirea lor, pentru că animalele au suflet, ca și noi”. Pitagora a mâncat doar miere, pâine, legume și ocazional pește. În legătură cu toate acestea, poate fi considerată mai plauzibilă următoarea intrare: „... și chiar și când a descoperit că într-un triunghi dreptunghic ipotenuza corespunde picioarelor, a sacrificat un taur din aluat de grâu”.
Popularitatea teoremei lui Pitagora este atât de mare încât dovezile ei se găsesc chiar și în ficțiune, de exemplu, în povestea celebrului scriitor englez Huxley „Tânărul Arhimede”. Aceeași Dovadă, dar pentru cazul particular al unui triunghi dreptunghic isoscel, este dată în dialogul lui Platon Meno.
Casa de basm.
„Departe, departe, unde nici măcar avioanele nu zboară, este țara Geometriei. În această țară neobișnuită a existat un oraș uimitor - orașul Teorem. Într-o zi, o fată frumoasă pe nume Hypotenuse a venit în acest oraș. A încercat să obțină o cameră, dar oriunde a aplicat, a fost refuzată peste tot. În cele din urmă, ea s-a apropiat de casa slăbită și a bătut. Ea a fost deschisă de un bărbat care s-a numit Unghiul Drept și a invitat-o pe Hipotenuza să locuiască cu el. Ipotenuza a rămas în casa în care locuiau Right Angle și cei doi fii ai săi mici, pe nume Katet. De atunci, viața în Casa cu unghiul drept s-a schimbat într-un mod nou. Ipotenuza a plantat flori în fereastră și a răspândit trandafiri roșii în grădina din față. Casa a luat forma unui triunghi dreptunghic. Ambelor picioare le plăcea foarte mult Hipotenuza și i-au cerut să rămână pentru totdeauna în casa lor. Seara, această familie prietenoasă se adună la masa familiei. Uneori, Right Angle se joacă de-a v-ați ascunselea cu copiii săi. Cel mai adesea el trebuie să caute, iar Hipotenuza se ascunde atât de priceput încât poate fi foarte greu să o găsești. Odată în timpul unui joc, Right Angle a observat o proprietate interesantă: dacă reușește să găsească picioarele, atunci găsirea ipotenuzei nu este dificilă. Deci Right Angle folosește acest model, trebuie să spun, cu foarte mult succes. Teorema lui Pitagora se bazează pe proprietatea acestui triunghi dreptunghic.
(Din cartea lui A. Okunev „Vă mulțumesc pentru lecție, copii”).
O formulare jucăușă a teoremei:
Dacă ni se dă un triunghi
Și, în plus, cu unghi drept,
Acesta este pătratul ipotenuzei
Întotdeauna putem găsi cu ușurință:
Construim picioarele într-un pătrat,
Găsim suma gradelor -
Și într-un mod atât de simplu
Vom ajunge la rezultat.
Studiind algebra și începuturile analizei și geometriei în clasa a X-a, am fost convins că, pe lângă metoda de demonstrare a teoremei lui Pitagora avută în vedere în clasa a VIII-a, există și alte modalități de demonstrare a acesteia. Le prezint spre considerație.
2. PARTEA PRINCIPALA.
Teorema. Pătrat într-un triunghi dreptunghic
Ipotenuza este egală cu suma pătratelor catetelor.
1 CARE.
Folosind proprietățile ariilor poligoanelor, stabilim o relație remarcabilă între ipotenuză și catetele unui triunghi dreptunghic.
Dovada.
a, în si ipotenuza Cu(Fig. 1, a).
Să demonstrăm asta c²=a²+b².
Dovada.
Terminăm triunghiul până la un pătrat cu o latură a + b după cum se arată în fig. 1b. Aria S a acestui pătrat este (a + b)². Pe de altă parte, acest pătrat este format din patru triunghiuri dreptunghiulare egale, aria fiecăruia fiind ½ av, și un pătrat cu o latură Cu, deci S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².
În acest fel,
(a + b)² = 2 av + s²,
c²=a²+b².
Teorema a fost demonstrată.
2 CĂI.
După ce am studiat subiectul „Triunghiuri similare”, am aflat că puteți aplica asemănarea triunghiurilor la demonstrarea teoremei lui Pitagora. Și anume, am folosit afirmația că catetul unui triunghi dreptunghic este media proporțională pentru ipotenuză și segmentul ipotenuzei cuprins între catetul și înălțimea trasă din vârful unghiului drept.
Considerăm un triunghi dreptunghic cu un unghi drept C, CD este înălțimea (Fig. 2). Să demonstrăm asta AC² + SW² = AB²
.
Dovada.
Pe baza afirmației despre catetul unui triunghi dreptunghic:
AC = , CB = .
Pătratăm și adunăm egalitățile rezultate:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), unde AD + DB = AB, atunci
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Dovada este completă.
3 CĂI.
Definiția cosinusului unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic poate fi aplicată la demonstrația teoremei lui Pitagora. Luați în considerare fig. 3.
Dovada:
Fie ABC un triunghi dreptunghic dat cu unghi drept C. Desenați o înălțime CD din vârful unghiului drept C.
Prin definiția cosinusului unghiului:
cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Prin urmare AB * AD = AC²
De asemenea,
cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.
Prin urmare, AB * BD \u003d BC².
Adunând egalitățile rezultate termen cu termen și observând că AD + DВ = AB, obținem:
AC² + Soare² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²
Dovada este completă.
4 CĂI.
După ce am studiat subiectul „Raporturile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic”, cred că teorema lui Pitagora poate fi demonstrată în alt mod.
Luați în considerare un triunghi dreptunghic cu catete a, în si ipotenuza Cu. (Fig. 4).
Să demonstrăm asta c²=a²+b².
Dovada.
păcat B= a/c ; cos B= la fel de , apoi, punând la pătrat egalitățile rezultate, obținem:
păcat² B=în²/s²; cos² LA\u003d a²/s².
Adunându-le, obținem:
păcat² LA+ cos² B= v² / s² + a² / s², unde sin² LA+ cos² B=1,
1 \u003d (v² + a²) / s², prin urmare,
c² = a² + b².
Dovada este completă.
5 WAY.
Această demonstrație se bazează pe tăierea pătratelor construite pe picioare (Fig. 5) și stivuirea părților rezultate pe pătratul construit pe ipotenuză.
6 WAY.
Pentru dovada pe catet Soare clădire BCD ABC(Fig. 6). Știm că ariile figurilor similare sunt legate ca pătratele dimensiunilor lor liniare similare:
Scăzând a doua din prima egalitate, obținem
c2 = a2 + b2.
Dovada este completă.
7 WAY.
Dat(Fig. 7):
ABS,= 90° , soare= a, AC=b, AB = c.
Dovedi:c2 = a2 +b2.
Dovada.
Lasă piciorul b A. Să continuăm segmentul SW pe punct LAși construiește un triunghi bmd astfel încât punctele Mși DAR așezați pe o parte a unei linii drepte CD si pe langa, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, atunci bmd= ABC pe două laturi și unghiul dintre ele. Punctele A și M conectați pe segmente A.M. Avem MD CDși AC CD,înseamnă drept AC paralel cu o linie dreaptă MD. pentru că MD< АС, apoi drept CDși A.M nu sunt paralele. Prin urmare, AMDC- trapez dreptunghiular.
În triunghiuri dreptunghiulare ABC și bmd 1 + 2 = 90° și 3 + 4 = 90°, dar deoarece = =, atunci 3 + 2 = 90°; apoi AVM=180° - 90° = 90°. S-a dovedit că trapezul AMDCîmpărțit în trei triunghiuri dreptunghice care nu se suprapun, apoi după axiomele ariei
(a+b)(a+b)
Împărțind toți termenii inegalității la , obținem
Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Dovada este completă.
8 CĂI.
Această metodă se bazează pe ipotenuza și catetele unui triunghi dreptunghic ABC. El construiește pătratele corespunzătoare și demonstrează că pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete (Fig. 8).
Dovada.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ abc, mijloace, FBC= DBA.
În acest fel, FBC=ABD(pe două laturi și unghiul dintre ele).
2) 
,
unde AL DE, deoarece BD este o bază comună, DL- inălțime totală.
3) 
, deoarece FB este o bază, AB- inaltimea totala.
4) 
5) În mod similar, se poate dovedi că 
6) Adăugând termen cu termen, obținem:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Dovada este completă.
9 WAY.
Dovada.
1) Lasă ABDE- un pătrat (Fig. 9), a cărui latură este egală cu ipotenuza unui triunghi dreptunghic ABC (AB= c, BC = a, AC =b).
2) Lasă DK î.Hrși DK = soare, deoarece 1 + 2 = 90° (ca unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic), 3 + 2 = 90° (ca unghiul unui pătrat), AB= BD(laturile pătratului).
Mijloace, ABC= BDK(prin ipotenuză și unghi ascuțit).
3) Lasă EL DC, AM EL. Se poate dovedi cu ușurință că ABC = BDK = DEL = EAM (cu picioare Ași b). Apoi KS= CM= ML= LK= A -b.
4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Cu2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Dovada este completă.
10 CĂI.
Dovada poate fi efectuată pe o figură, numită în glumă „pantaloni pitagoreici” (Fig. 10). Ideea sa este de a transforma pătratele construite pe catete în triunghiuri egale, care împreună alcătuiesc pătratul ipotenuzei.
ABC shift, așa cum este indicat de săgeată, și ia poziția KDN. Restul figurii AKDCB egală cu aria unui pătrat AKDC- este un paralelogram AKNB.
Realizat un model cu paralelogram AKNB. Deplasăm paralelogramul așa cum este schițat în conținutul lucrării. Pentru a arăta transformarea unui paralelogram într-un triunghi egal, în fața elevilor, tăiem un triunghi pe model și îl deplasăm în jos. Deci aria pătratului AKDC este egală cu aria dreptunghiului. În mod similar, convertim aria unui pătrat în aria unui dreptunghi.
Să facem o transformare pentru un pătrat construit pe un picior A(Fig. 11, a):
a) pătratul se transformă într-un paralelogram de dimensiuni egale (Fig. 11.6):
b) paralelogramul se rotește un sfert de tură (Fig. 12):
c) paralelogramul se transformă într-un dreptunghi de dimensiuni egale (Fig. 13): 11 WAY.
Dovada:
PCL- drept (Fig. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Dovada terminată .
12 WAY.
Orez. 15 ilustrează o altă demonstrație originală a teoremei lui Pitagora.
Aici: triunghiul ABC cu unghi drept C; segment de linie bf perpendicular SWși egal cu acesta, segmentul FI perpendicular ABși egal cu acesta, segmentul ANUNȚ perpendicular ACși egal cu el; puncte F, C,D aparțin unei singure linii drepte; patrulatere ADFBși ACBE sunt egali deoarece ABF = BCE; triunghiuri ADFși AS sunt egale; scădem din ambele patrulatere egale un triunghi comun pentru ele abc, primim
, c2 = a2 +
b2.
Dovada este completă.
13 WAY.
Aria acestui triunghi dreptunghic, pe de o parte, este egală cu ,
cu altul, ,
3. CONCLUZIE
În urma activității de căutare a fost atins scopul lucrării, care este completarea și generalizarea cunoștințelor privind demonstrarea teoremei lui Pitagora. A fost posibil să se găsească și să se ia în considerare diverse modalități de a-l dovedi și de a aprofunda cunoștințele pe această temă, trecând dincolo de paginile unui manual școlar.
Materialul pe care l-am adunat este și mai convingător că teorema lui Pitagora este marea teoremă a geometriei și are o mare importanță teoretică și practică. În concluzie, aș dori să spun: motivul pentru popularitatea teoremei lui Pitagora a triunei este frumusețea, simplitatea și semnificația!
4. LITERATURA UTILIZĂ.
1. Algebră distractivă. . Moscova „Nauka”, 1978.
2. Supliment săptămânal educațional și metodologic la ziarul „Primul septembrie”, 24/2001.
3. Geometrie 7-9. si etc.
4. Geometrie 7-9. si etc.
Teorema lui Pitagora este o teoremă fundamentală a geometriei euclidiene, care postulează raportul catetelor și ipotenuzei unui triunghi dreptunghic. Aceasta este poate cea mai populară teoremă din lume, cunoscută de toată lumea de la școală.
Istoria teoremei
De fapt, teoria raportului laturilor unui triunghi dreptunghic era cunoscută cu mult înaintea lui Pitagora din insula Samos. Astfel, problemele privind raportul laturilor se găsesc în textele antice din perioada domniei regelui babilonian Hammurabi, adică cu 1500 de ani înainte de nașterea matematicianului Samian. Notele de pe părțile laterale ale triunghiului sunt înregistrate nu numai în Babilon, ci și în Egiptul Antic și China. Unul dintre cele mai faimoase rapoarte întregi ale catetelor și ipotenuzei arată ca 3, 4 și 5. Aceste numere au fost folosite de geoderii și arhitecții antici pentru a construi unghiuri drepte.
Deci, Pitagora nu a inventat teorema despre raportul dintre catete și ipotenuză. A fost primul din istorie care a dovedit asta. Cu toate acestea, există îndoieli cu privire la acest lucru, deoarece dovada matematicianului samien, dacă a fost înregistrată, s-a pierdut de secole. Există o părere că demonstrația teoremei date în Elementele lui Euclid îi aparține tocmai lui Pitagora. Cu toate acestea, istoricii matematicii au serioase îndoieli cu privire la acest lucru.
Pitagora a fost primul, dar după el teorema laturilor unui triunghi dreptunghic a fost demonstrată de aproximativ 400 de ori, folosind o varietate de metode: de la geometria clasică la calculul diferențial. Teorema lui Pitagora a ocupat mereu minți curios, așa că printre autorii dovezilor ne putem aminti de președintele american James Garfield.
Dovada de
Cel puțin patru sute de dovezi ale teoremei lui Pitagora au fost înregistrate în literatura matematică. Un astfel de număr uluitor se explică prin semnificația fundamentală a teoremei pentru știință și prin natura elementară a rezultatului. Practic, teorema lui Pitagora este dovedită prin metode geometrice, dintre care cele mai populare sunt metoda zonelor și metoda asemănărilor.
Cea mai simplă metodă de demonstrare a unei teoreme, care nu necesită construcții geometrice obligatorii, este metoda ariei. Pitagora a afirmat că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:
Să încercăm să demonstrăm această afirmație îndrăzneață. Știm că aria oricărei figuri este determinată prin pătrarea unui segment de dreaptă. Segmentul de linie poate fi orice, dar cel mai adesea este latura formei sau raza acesteia. În funcție de alegerea segmentului și de tipul figurii geometrice, pătratul va avea diferiți coeficienți:
- unitate în cazul unui pătrat - S \u003d a 2;
- aproximativ 0,43 în cazul unui triunghi echilateral - S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
- Pi în cazul unui cerc - S \u003d pi × R 2.
Astfel, putem exprima aria oricărui triunghi ca S = F × a 2 , unde F este un coeficient.
Un triunghi dreptunghic este o figură uimitoare care poate fi împărțită cu ușurință în două triunghiuri dreptunghiulare asemănătoare prin simpla aruncare a unei perpendiculare de la orice vârf. Această împărțire transformă un triunghi dreptunghic în suma a două triunghiuri dreptunghiulare mai mici. Deoarece triunghiurile sunt similare, ariile lor sunt calculate folosind aceeași formulă, care arată astfel:
S = F × ipotenuză 2
Ca urmare a împărțirii unui triunghi mare cu laturile a, b și c (ipotenuză), s-au obținut trei triunghiuri, iar pentru figurile mai mici, laturile triunghiului inițial a și b s-au dovedit a fi ipotenuze. Astfel, ariile triunghiurilor similare se calculează astfel:
- S1 = F × c 2 este triunghiul original;
- S2 = F × a 2 este primul triunghi similar;
- S3 = F × b 2 este al doilea triunghi similar.
Evident, aria unui triunghi mare este egală cu suma ariilor celor similare:
F × c 2 = F × a2 + F × b 2
Factorul F este ușor de redus. Ca rezultat, obținem:
c 2 \u003d a 2 + b 2,
Q.E.D.
tripleți pitagoreici
Raportul popular al catetelor și ipotenuselor ca 3, 4 și 5 a fost deja menționat mai sus. Triplele pitagoreene sunt un set de trei numere prime relativ care îndeplinesc condiția a 2 + b 2 \u003d c 2. Există un număr infinit de astfel de combinații, iar primele dintre ele erau folosite în antichitate pentru a construi unghiuri drepte. Legând un anumit număr de noduri pe o sfoară la intervale regulate și pliându-l sub formă de triunghi, oamenii de știință antici au primit un unghi drept. Pentru a face acest lucru, pe fiecare parte a triunghiului a fost necesar să se facă noduri, într-o cantitate corespunzătoare tripleților pitagoreici:
- 3, 4 și 5;
- 5, 12 și 13;
- 7, 24 și 25;
- 8, 15 și 17.
Mai mult, orice triplă lui Pitagora poate fi mărită de un număr întreg de ori și se poate obține o relație proporțională corespunzătoare condiției teoremei lui Pitagora. De exemplu, din triplul 5, 12, 13, puteți obține valorile laturilor 10, 24, 26 prin simpla înmulțire cu 2. Astăzi, triplele pitagorice sunt folosite pentru a rezolva rapid probleme geometrice.
Aplicarea teoremei lui Pitagora
Teorema matematicianului Samian este folosită nu numai în geometria școlii. Teorema lui Pitagora își găsește aplicație în arhitectură, astronomie, fizică, literatură, tehnologia informației și chiar în evaluarea eficienței rețelelor sociale. Teorema se aplică și în viața reală.
selecție de pizza
În pizzerii, clienții se confruntă adesea cu întrebarea: ar trebui să iau o pizza mare sau două mai mici? Să presupunem că poți cumpăra o pizza cu diametrul de 50 cm sau două pizza mai mici cu diametrul de 30 cm. La prima vedere, două pizza mai mici sunt mai mari și mai profitabile, dar nu a fost așa. Cum să compari rapid zona pizza care îți plac?
Ne amintim de teorema matematicianului samien și a triplelor pitagoreice. Aria unui cerc este pătratul diametrului cu un factor F = pi/4. Și primul triplu pitagoreic este 3, 4 și 5, pe care îl putem transforma cu ușurință într-un triplu 30, 40, 50. Prin urmare, 50 2 = 30 2 + 40 2. Evident, aria unei pizza cu diametrul de 50 cm va fi mai mare decât suma pizza cu diametre de 30 cm. S-ar părea că teorema este aplicabilă numai în geometrie și numai pentru triunghiuri, dar acest exemplu arată că relaţia c 2 = a 2 + b 2 poate fi folosită şi pentru a compara alte figuri şi caracteristicile acestora.
Calculatorul nostru online vă permite să calculați orice valoare care satisface ecuația fundamentală a sumei pătratelor. Pentru a calcula, este suficient să introduceți 2 orice valori, după care programul va calcula coeficientul lipsă. Calculatorul funcționează nu numai cu numere întregi, ci și cu valori fracționale, prin urmare, este permisă utilizarea oricăror numere pentru calcule și nu doar triple pitagoreene.
Concluzie
Teorema lui Pitagora este un lucru fundamental care este utilizat pe scară largă în multe aplicații științifice. Utilizați calculatorul nostru online pentru a calcula mărimea valorilor care sunt legate de expresia c 2 = a 2 + b 2 .
Teorema lui Pitagora este cea mai importantă afirmație a geometriei. Teorema se formulează astfel: aria unui pătrat construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catetele sale.
De obicei, descoperirea acestei afirmații este atribuită filozofului și matematicianului grec antic Pitagora (sec. VI î.Hr.). Dar un studiu al tăblițelor cuneiforme babiloniene și al manuscriselor chinezești antice (copii chiar și ale manuscriselor mai vechi) a arătat că această afirmație era cunoscută cu mult înaintea lui Pitagora, poate cu un mileniu înaintea lui. Meritul lui Pitagora a fost că a descoperit demonstrația acestei teoreme.
Probabil, faptul enunțat în teorema lui Pitagora a fost stabilit pentru prima dată pentru triunghiuri dreptunghiulare isoscele. Este suficient să privim mozaicul de triunghiuri negre și ușoare prezentat în fig. 1 pentru a verifica validitatea teoremei triunghiului: un pătrat construit pe ipotenuză conține 4 triunghiuri, iar pe fiecare catete este construit un pătrat care conține 2 triunghiuri. Pentru a demonstra cazul general din India antică, au avut două metode: patru triunghiuri dreptunghiulare cu catete de lungimi și au fost reprezentate într-un pătrat cu o latură (Fig. 2, a și 2, b), după care au scris un cuvânt "Uite!". Într-adevăr, privind aceste figuri, vedem că în stânga este o figură fără triunghiuri, formată din două pătrate cu laturi și, respectiv, aria sa este egală cu, iar în dreapta - un pătrat cu o latură - aria sa este egal. Prin urmare, , care este afirmația teoremei lui Pitagora.
Totuși, timp de două milenii, nu a fost folosită această dovadă vizuală, ci o dovadă mai complexă inventată de Euclid, care este plasată în celebra sa carte „Începuturi” (vezi Euclid și „Începuturile sale”), Euclid a coborât înălțimea de la vârful unghiului drept față de ipotenuză și a demonstrat că continuarea acestuia împarte pătratul construit pe ipotenuză în două dreptunghiuri, ale căror arii sunt egale cu ariile pătratelor corespunzătoare construite pe catete (Fig. 3). Desenul folosit în demonstrarea acestei teoreme este numit în glumă „pantaloni pitagoreici”. Multă vreme a fost considerat unul dintre simbolurile științei matematice.
Astăzi, sunt cunoscute câteva zeci de dovezi diferite ale teoremei lui Pitagora. Unele dintre ele se bazează pe o despărțire de pătrate, în care pătratul construit pe ipotenuză este format din părți incluse în compartimentele de pătrate construite pe picioare; altele - pe complement la cifre egale; al treilea - pe faptul că înălțimea, coborâtă de la vârful unghiului drept la ipotenuză, împarte triunghiul dreptunghic în două triunghiuri asemănătoare acestuia.
Teorema lui Pitagora stă la baza majorității calculelor geometrice. Chiar și în Babilonul Antic, a fost folosit pentru a calcula lungimea înălțimii unui triunghi isoscel după lungimile bazei și laturii, săgeata segmentului după diametrul cercului și lungimea coardei și pentru a stabili relația. între elementele unor poligoane regulate. Cu ajutorul teoremei lui Pitagora se demonstrează generalizarea acesteia, ceea ce face posibilă calcularea lungimii laturii opuse unui unghi ascuțit sau obtuz:
Din această generalizare rezultă că prezența unui unghi drept în este nu numai suficientă, ci și o condiție necesară pentru îndeplinirea egalității. Formula (1) implică relația 
între lungimile diagonalelor și laturilor unui paralelogram, cu care este ușor de găsit lungimea medianei unui triunghi din lungimile laturilor sale.
Pe baza teoremei lui Pitagora, se derivă și o formulă care exprimă aria oricărui triunghi în funcție de lungimile laturilor sale (vezi formula lui Heron). Desigur, teorema lui Pitagora a fost folosită și pentru a rezolva diverse probleme practice.
În loc de pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic, puteți construi orice formă asemănătoare între ele (triunghiuri echilaterale, semicercuri etc.). În acest caz, aria figurii construite pe ipotenuză este egală cu suma ariilor figurilor construite pe picioare. O altă generalizare este legată de trecerea de la plan la spațiu. Se formulează astfel: pătratul lungimii diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor dimensiunilor acestuia (lungime, lățime și înălțime). O teoremă similară este valabilă și în cazurile multidimensionale și chiar infinit-dimensionale.
Teorema lui Pitagora există doar în geometria euclidiană. Nu are loc nici în geometria lui Lobaciovski, nici în alte geometrii non-euclidiene. Nici pe sferă nu există un analog al teoremei lui Pitagora. Două meridiane formând un unghi de 90° și ecuatorul delimitează un triunghi sferic echilateral pe sferă, toate trei fiind unghiuri drepte. Pentru el, nu ca în avion.
Folosind teorema lui Pitagora, distanța dintre puncte și planul de coordonate este calculată prin formula
.
După ce a fost descoperită teorema lui Pitagora, a apărut întrebarea cum să găsim toate triplele numerelor naturale care pot fi laturile triunghiurilor dreptunghic (vezi marea teoremă a lui Fermat). Ele au fost descoperite de pitagoreeni, dar unele metode generale pentru găsirea unor astfel de triple de numere erau cunoscute chiar și de babilonieni. Una dintre tăblițele cuneiforme conține 15 tripleți. Printre acestea se numără triple, constând din numere atât de mari încât nu se poate pune problema de a le găsi prin selecție.
IADURI DE HIPOCRATE
Găurile hipocratice sunt figuri delimitate de arcele a două cercuri și, în plus, astfel încât, folosind razele și lungimea coardei comune a acestor cercuri, folosind o busolă și o riglă, puteți construi pătrate de dimensiuni egale cu acestea.
Din generalizarea teoremei lui Pitagora la semicercuri, rezultă că suma ariilor găurilor roz prezentate în figura din stânga este egală cu aria triunghiului albastru. Prin urmare, dacă luăm un triunghi dreptunghic isoscel, atunci obținem două găuri, a căror aria plajei va fi egală cu jumătate din aria triunghiului. Încercând să rezolve problema pătrarii unui cerc (vezi Problemele clasice ale antichității), matematicianul grec antic Hipocrate (secolul al V-lea î.Hr.) a mai găsit câteva găuri, ale căror zone sunt exprimate în termeni de zone ale figurilor rectilinii.
O listă completă a găurilor hipomarginale a fost obținută abia în secolele XIX-XX. prin utilizarea metodelor teoriei Galois.
