Aplicarea derivatei și integralelor în viață. Ce este o integrală? Sarcini de la examen

Definiție Integrala unei funcții este analogă cu suma unui număr infinit de termeni infinit de mici. În cel mai simplu caz, înțelegem împărțirea regiunii de integrare, care este un segment, în segmente infinit de mici, și suma produselor valorii funcției argument aparținând fiecărui segment și lungimea segmentului infinitezimal corespunzător al regiunea de integrare, în limită, cu o partiție infinit de mică:

Integrarea în Antichitate poate fi urmărită până în Egiptul antic, în jurul anului 1800 î.Hr. e. Papirusul matematic din Moscova demonstrează cunoașterea formulei pentru volumul unei piramide trunchiate. Prima metodă cunoscută de calculare a integralelor este metoda epuizării de către Eudoxus (c. 370 î.Hr.), care a încercat să găsească arii și volume, împărțindu-le într-un număr infinit de părți pentru care aria sau volumul este deja cunoscută. Această metodă a fost preluată și dezvoltată de Arhimede și a fost folosită pentru a calcula ariile parabolelor și pentru calcularea aproximativă a ariei unui cerc. Tehnici similare au fost dezvoltate independent în China în secolul al III-lea e.n. e. Liu Hui, care le-a folosit pentru a găsi aria unui cerc. Această metodă a fost folosită ulterior de Zu Chongzhi și Zu Geng pentru a găsi volumul unei sfere. Următorul pas major în calculul integralelor a fost făcut în Irak, în secolul al XI-lea, de către matematicianul Ibn al-Haytham (cunoscut sub numele de Alhazen în Europa), în lucrarea sa „On the Measurement of a Parabolic Body” ajunge la un ecuația de gradul al patrulea. Rezolvând această problemă, el efectuează calcule echivalente cu calculul unei integrale definite pentru a găsi volumul unui paraboloid. Folosind inducția matematică, el a reușit să-și generalizeze rezultatele pentru integralele polinoamelor până la gradul al patrulea. Astfel, a fost aproape de a găsi o formulă generală pentru integralele polinoamelor, dar nu s-a ocupat de niciun polinoame de peste gradul al patrulea. Următorul progres semnificativ în calculul integralelor va apărea abia în secolul al XVI-lea. În lucrările lui Cavalieri cu metoda sa a indivizibililor, precum și în lucrările lui Fermat, s-au pus bazele calculului integral modern. Alți pași au fost făcuți la începutul secolului al XVII-lea de către Barrow și Torricelli, care au subliniat legătura dintre integrare și diferențiere.

De ce sunt necesare integralele? Oamenii de știință încearcă să exprime toate fenomenele fizice sub forma unei formule matematice. Odată ce avem o formulă, o putem folosi pentru a calcula orice. Iar integrala este unul dintre instrumentele principale pentru lucrul cu funcții. De exemplu, dacă avem formula pentru un cerc, putem folosi integrala pentru a-i calcula aria. Dacă avem formula pentru o sferă, atunci putem calcula volumul acesteia. Cu ajutorul integrării se găsesc energie, muncă, presiune, masă, sarcină electrică și multe alte cantități.

Aplicație în știință Toate procesele din natură, în care unii parametri se schimbă constant, cum ar fi timpul, temperatura, presiunea, coordonatele, sunt studiate și calculate numai folosind calcul diferențial și integral. Integralele sunt doar elementele de bază. Fără ele, nici măcar nu puteți calcula aria oricărei suprafețe curbe. Matematica dezvoltă în general gândirea logică, care este utilă tuturor. Desigur, ei sunt uitați dacă aceste cunoștințe nu sunt solicitate în viață. Dar asta nu înseamnă că nu ar trebui studiate deloc.

Când învățați, este important să înțelegeți semnificația covorașului. aparat în ansamblu și învățați cum să îl aplicați pentru rezolvarea problemelor de zi cu zi, dezvoltați un anumit stil de gândire în care nu vă veți baza pe intuiție atunci când luați decizii, ci veți putea evalua cu exactitate rezultatul și consecințele acțiunilor. Majoritatea integralelor sunt obținute ca mat. modele ale oricăror procese naturale în cadrul medicinei, biologiei, chimiei, economiei etc. Mai exact, analiza matematică, în cadrul căreia sunt derivate metode de rezolvare a integralelor, ajută la înțelegerea de unde provine.

Aplicare în tehnologie Integralele sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în tehnologie. De exemplu, într-un controler PID folosind componenta sa integrală. Este folosit pentru a elimina o eroare statică. Permite controlerului să ia în considerare eroarea statică în timp.

Iată un principiu aproximativ de funcționare al componentei integrale. Componenta integratoare este proporțională cu integrala de timp a abaterii de control. Este folosit pentru a elimina o eroare statică. Permite controlerului să ia în considerare eroarea statică în timp. Dacă sistemul nu suferă perturbări externe, atunci după un timp variabila controlată se va stabiliza la valoarea setată, semnalul proporțional va fi egal cu zero, iar semnalul de ieșire va fi furnizat complet de componenta integratoare. Totuși, componenta integratoare poate duce și la auto-oscilații dacă coeficientul său este ales incorect.

Lista surselor utilizate

Motto-ul lecției: „Matematica este limba pe care o vorbesc toate științele exacte” N.I. Lobaciovski

Scopul lecției: generalizarea cunoștințelor elevilor pe tema „Integral”, „Aplicarea integralei”;să lărgească orizonturile, cunoștințe despre posibila aplicare a integralei la calculul diverselor mărimi; consolidarea abilităților de utilizare a integralei pentru a rezolva probleme aplicate; insufla un interes cognitiv pentru matematică, dezvoltă o cultură a comunicării și o cultură a vorbirii matematice; să poată învăța să vorbească elevilor și profesorilor.

Tip de lecție: iterativ-generalizant.

Tip de lecție: lecție - susținerea proiectului „Aplicarea integralei”.

Echipament: tablă magnetică, afișe „Aplicarea integralei”, cartonașe cu formule și sarcini pentru lucru independent.

Planul lecției:

1. Protecția proiectului:

din istoria calculului integral;
proprietăți integrale;
aplicarea integralei în matematică;
aplicarea integralei în fizică;

2. Rezolvarea exercițiilor.

În timpul orelor

Profesor: Un instrument puternic de cercetare în matematică, fizică, mecanică și alte discipline este o integrală definitivă - unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice. Sensul geometric al integralei este aria unui trapez curbiliniu. Sensul fizic al integralei este 1) masa unei tije neomogene cu densitate, 2) deplasarea unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză pe o perioadă de timp.

Profesor: Băieții din clasa noastră au făcut o treabă grozavă, au preluat sarcini în care se aplică o anumită integrală. Au un cuvânt.

2 elev: Proprietăţile integralei

3 elev: Aplicarea integralei (tabel pe tabla magnetică).

Student 4: Luăm în considerare utilizarea integralei în matematică pentru a calcula aria figurilor.

Aria oricărei figuri plane, considerată într-un sistem de coordonate dreptunghiular, poate fi compusă din zonele de trapeze curbilinii adiacente axei Ohși topoare OU. Aria unui trapez curbiliniu delimitată de o curbă y = f(x), axă Ohși două drepte x=ași x=b, Unde a x b, f(x) 0 calculate prin formula cm. orez. Dacă trapezul curbiliniu este adiacent axei OU, atunci aria sa este calculată prin formula , cm. orez. La calcularea ariilor figurilor, pot apărea următoarele cazuri: a) Figura este situată deasupra axei Ox și este limitată de axa Ox, curba y \u003d f (x) și două linii drepte x \u003d a și x \u003d b. (Vezi. orez.) Aria acestei figuri se găsește prin formula 1 sau 2. b) Figura este situată sub axa Ox și este limitată de axa Ox, curba y \u003d f (x) și două linii drepte x \u003d a și x \u003d b (vezi. orez.). Zona se găsește după formula . c) Figura este situată deasupra și sub axa Ox și este limitată de axa Ox, curba y \u003d f (x) și două linii drepte x \u003d a și x \u003d b ( orez.). d) Aria este delimitată de două curbe care se intersectează y \u003d f (x) și y \u003d (x) ( orez.)

5 elev: Rezolvați problema

x-2y+4=0 și x+y-5+0 și y=0

7 student: O integrală utilizată pe scară largă în fizică. Un cuvânt către fizicieni.

1. CALCULUL CALCULUI PARCURS DE UN PUNCT

Calea parcursă de un punct în timpul mișcării neuniforme într-o linie dreaptă cu o viteză variabilă pentru un interval de timp de la până la este calculată prin formula.

Exemple:

1. Viteza de deplasare a punctului Domnișoară. Găsiți calea parcursă de punct în 4 secunde.

Soluție: conform condiției, . Prin urmare,

2. Două corpuri au început să se miște simultan din același punct în aceeași direcție într-o linie dreaptă. Primul corp se mișcă cu o viteză m / s, al doilea - cu o viteză v = (4t+5) Domnișoară. Cât de departe vor fi după 5 secunde?

Soluție: este evident că valoarea dorită este diferența dintre distanțele parcurse de primul și al doilea corp în 5 s:

3. Un corp este aruncat vertical în sus de la suprafața pământului cu viteza u = (39,2-9,8^) m/s. Găsiți înălțimea maximă a corpului.

Rezolvare: corpul va atinge cea mai mare înălțime de ridicare la un moment t când v = 0, adică. 39,2- 9,8t = 0, de unde I= 4 s. Prin formula (1), găsim

2. CALCULUL FORȚEI DE MUNCĂ

Lucrul efectuat de forța variabilă f(x) atunci când se deplasează de-a lungul axei Oh punct material din x = A inainte de x=b, se gaseste dupa formula La rezolvarea problemelor pentru calcularea muncii unei forțe, se folosește adesea legea G y k a: F=kx, (3) unde F - forta N; X-alungirea absoluta a arcului, m, cauzata de forta F, A k- coeficient de proporţionalitate, N/m.

Exemplu:

1. Un arc în repaus are lungimea de 0,2 m. O forță de 50 N întinde arcul cu 0,01 m. Ce lucru trebuie făcut pentru a-l întinde de la 0,22 la 0,32 m?

Rezolvare: folosind egalitatea (3), avem 50=0,01k, adică kK = 5000 N/m. Găsim limitele integrării: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b = 0,32- 0,2 = 0,12(m). Acum, conform formulei (2), obținem

3. CALCULUL LUCRĂRII EFECTUATE LA RIDICAREA ÎNCĂRCĂRII

O sarcină. Un rezervor cilindric cu o rază de bază de 0,5 m și o înălțime de 2 m este umplut cu apă. Calculați munca care trebuie făcută pentru a pompa apa din rezervor.

Soluție: selectați un strat orizontal la adâncimea x cu înălțimea dx ( orez.). Lucrul A care trebuie făcut pentru a ridica un strat de apă cu greutatea P la o înălțime x este egală cu Px.

O modificare a adâncimii x cu o cantitate mică dx va determina o modificare a volumului V cu dV = pr 2 dx și modificarea greutății Р cu * dР = 9807 r 2 dх; în acest caz, munca efectuată A se va modifica cu valoarea dА=9807пr 2 xdх. Integrând această egalitate pe măsură ce x se schimbă de la 0 la H, obținem

4. CALCULUL FORȚEI DE PRESIUNE A LICHIDULUI

Sensul puterii R presiunea lichidului pe o platformă orizontală depinde de adâncimea de scufundare X acest loc, adică de la distanța locului până la suprafața lichidului.

Forța de presiune (N) pe o platformă orizontală se calculează prin formula P = 9807S x,

Unde - densitatea lichidului, kg/m 3 ; S - suprafata amplasamentului, m 2; X - adâncimea de scufundare a platformei, m

Dacă zona sub presiunea fluidului nu este orizontală, atunci presiunea asupra acesteia este diferită la adâncimi diferite, prin urmare, forța de presiune asupra zonei este o funcție de adâncimea imersiei sale. P(x).

5. Lungimea arcului

Lasă o curbă plată AB(orez.) dat de ecuaţie y \u003d f (x) (aXb)și f(x)și f ?(x) sunt funcții continue în intervalul [а,b]. Apoi diferenţialul dl lungimea arcului AB este exprimat prin formula sau , și lungimea arcului AB calculat prin formula (4)

unde a și b sunt valorile variabilei independente Xîn punctele A şi B. Dacă curba este dată de ecuaţie x =(y)(cu yd) atunci lungimea arcului AB se calculează prin formula (5) unde cuși d valori ale variabilelor independente la la puncte DARși V.

6. CENTRU DE MASĂ

La găsirea centrului de masă, se folosesc următoarele reguli:

1) coordonata x ? centrul de masă al sistemului de puncte materiale А 1 , А 2 ,..., А n cu mase m 1 , m 2 , ..., m n situat pe o dreaptă în puncte cu coordonatele x 1 , x 2 , ..., x n , se găsesc prin formula

(*); 2) La calcularea coordonatei centrului de masă, orice parte a figurii poate fi înlocuită cu un punct material, plasându-l în centrul de masă al acestei piese și atribuindu-i o masă egală cu masa piesei luate în considerare a figurii. Exemplu. Fie de-a lungul tijei-segment [a;b] al axei Ox - masa este distribuită cu densitatea (x), unde (x) este o funcție continuă. Să arătăm asta a) masa totală M a tijei este egală cu; b) coordonata centrului de masă x " este egal cu .

Să împărțim segmentul [a; b] în n părți egale cu punctele a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (orez.). Pe fiecare dintre aceste n segmente, densitatea poate fi considerată constantă pentru n mare și aproximativ egală cu (x k - 1) pe al-lea segment (datorită continuității lui (x). Apoi masa k-lea segment este aproximativ egal cu iar masa intregii tije este

INTEGRAL. APLICAREA INTEGRALLOR.

Cursuri de matematică

Introducere

Simbolul integralei a fost introdus din 1675, iar problemele calculului integral au fost tratate din 1696. Deși integrala este studiată în principal de matematicieni, fizicienii au contribuit și ei la această știință. Aproape nicio formulă a fizicii nu este completă fără calcul diferențial și integral. Prin urmare, am decis să explorez integrala și aplicarea acesteia.

§unu. Istoria calculului integral

Istoria conceptului de integrală este strâns legată de problemele de găsire a pătrarilor. Matematicienii Greciei Antice și Romei au numit sarcinile de cuadrare a uneia sau a altei figuri plate drept sarcini pentru calcularea suprafețelor. Cuvântul latin quadratura se traduce prin „pătrat”. Necesitatea unui termen special se explică prin faptul că în cele mai vechi timpuri (și mai târziu, până în secolul al XVIII-lea), ideile despre numerele reale nu erau încă suficient de dezvoltate. Matematicienii au operat cu omologii lor geometrici, sau scalari care nu pot fi înmulțiți. Prin urmare, sarcinile pentru găsirea zonelor trebuiau formulate, de exemplu, astfel: „Construiți un pătrat care este egal ca mărime cu un cerc dat”. (Această problemă clasică de „pătratare a cercului”.
cerc" nu poate fi rezolvată, după cum știm, cu o busolă și o linie dreaptă.)
Simbolul o a fost introdus de Leibniz (1675). Acest semn este o variație a literei latine S (prima literă a cuvântului summa). Însuși cuvântul integral a fost inventat de J. Bernulli (1690). Probabil că provine din latinescul integro, care se traduce prin aducerea înapoi la starea anterioară, restaurarea. (Într-adevăr, operația de integrare „restaurează” funcția prin diferențiere a căreia se obține integrandul.) Poate că originea termenului de integrală este diferită: cuvântul întreg înseamnă întreg.
În timpul corespondenței, I. Bernoulli și G. Leibniz au fost de acord cu propunerea lui J. Bernoulli. Apoi, în 1696, a apărut numele unei noi ramuri a matematicii - calculul integral (calculus integralis), care a fost introdus de I. Bernoulli.
Alți termeni cunoscuți legați de calculul integral au apărut mult mai târziu. Numele de funcție antiderivată utilizat acum a înlocuit „funcția primitivă” anterioară introdusă de Lagrange (1797). Cuvântul latin primitivus este tradus ca „inițial”: F(x) = o f(x)dx - inițială (sau inițială, sau antiderivată) pentru f(x), care se obține din F(x) prin diferențiere.
În literatura modernă, mulțimea tuturor antiderivatelor pentru funcția f(x) este numită și integrală nedefinită. Acest concept a fost distins de Leibniz, care a remarcat că toate funcțiile antiderivate diferă printr-o constantă arbitrară.
b
Ao f(x)dx
A
se numește integrală definită (denumirea a fost introdusă de K. Fourier (1768-1830), dar Euler a indicat deja limitele integrării).
Multe realizări semnificative ale matematicienilor din Grecia antică în rezolvarea problemelor de găsire a pătrarilor (adică, calcularea suprafețelor) de cifre plate, precum și a cubaturii (calcularea volumelor) a corpurilor, sunt asociate cu utilizarea metodei de epuizare propusă de Eudoxus din Cnidus. (c. 408 - c. 355 î.Hr.). .e.). Folosind această metodă, Eudoxus a demonstrat, de exemplu, că ariile a două cercuri sunt legate ca pătratele diametrelor lor și că volumul unui con este egal cu 1/3 din volumul unui cilindru având aceeași bază și înălțime. .
Metoda lui Eudoxus a fost îmbunătățită de Arhimede. Principalele etape care caracterizează metoda lui Arhimede: 1) se demonstrează că aria unui cerc este mai mică decât aria oricărui poligon regulat descris în jurul acestuia, dar mai mare decât aria oricărui poligon înscris; 2) se demonstrează că la o dublare nelimitată a numărului de laturi, diferența dintre ariile acestor poligoane tinde spre zero; 3) pentru a calcula aria unui cerc, rămâne să găsiți valoarea la care tinde raportul ariei unui poligon regulat cu o dublare nelimitată a numărului de laturi.
Cu ajutorul metodei epuizării și a unui număr de alte considerații pline de spirit (inclusiv care implică modele de mecanică), Arhimede a rezolvat multe probleme. El a dat o estimare pentru p (3,10/71 Arhimede a anticipat multe idei de calcul integral. (Să adăugăm că în practică și primele teoreme limită au fost demonstrate de el.) Dar a durat mai mult de o mie și jumătate de ani până când aceste idei au găsit o expresie clară și au fost aduse la nivelul calculului.
Matematicienii secolului al XVII-lea, care au obținut multe rezultate noi, au învățat din lucrările lui Arhimede. O altă metodă a fost, de asemenea, utilizată în mod activ - metoda indivizibililor, care și-a dat originea și în Grecia Antică (este asociată în primul rând cu opiniile atomiste ale lui Democrit). De exemplu, ei și-au imaginat un trapez curbiliniu (Fig. 1, a) compus din segmente verticale de lungime f (x), căruia i-au atribuit totuși o suprafață egală cu o valoare infinit de mică f (x) dx. În conformitate cu această înțelegere, suprafața necesară a fost considerată egală cu suma
S = a f(x)dx
A un număr infinit de zone infinit de mici. Uneori s-a subliniat chiar că termenii individuali din această sumă sunt zerouri, dar zerouri de un fel special, care, adunate într-un număr infinit, dau o sumă pozitivă bine definită.
Pe o astfel de bază acum care pare cel puțin dubioasă I. Kepler (1571-1630) în scrierile sale „Noua astronomie”.

(1609) și „Stereometria butoaielor de vin” (1615) au calculat corect un număr de zone (de exemplu, aria unei figuri delimitate de o elipsă) și volume (corpul a fost tăiat în plăci de 6c finit subțiri) . Aceste studii au fost continuate de matematicienii italieni B. Cavalieri (1598-1647) si E. Torricelli (1608-1647). Principiul formulat de B. Cavalieri, introdus de acesta sub niște presupuneri suplimentare, își păstrează semnificația în epoca noastră.
Să fie necesar să se găsească aria figurii prezentate în figura 1,b, unde curbele care delimitează figura de sus și de jos au ecuațiile y = f(x) și y=f(x)+c.
Reprezentând o figură compusă din „indivizibile”, în terminologia lui Cavalieri, coloane infinit de subțiri, observăm că toate au o lungime comună c. Deplasându-le în direcție verticală, putem face din ele un dreptunghi cu baza b-a și înălțimea c. Prin urmare, aria necesară este egală cu aria dreptunghiului rezultat, adică.
S \u003d S 1 \u003d c (b - a).
Principiul general Cavalieri pentru ariile figurilor plane este formulat astfel: Fie ca liniile unui anumit mănunchi de paralele să intersecteze figurile Ф 1 și Ф 2 de-a lungul segmentelor de lungime egală (Fig. 1, c). Atunci ariile figurilor Ф 1 și Ф 2 sunt egale.
Un principiu similar funcționează în stereometrie și este util în găsirea volumelor.
În secolul al XVII-lea s-au făcut multe descoperiri legate de calculul integral. Deci, P. Fermat deja în 1629 problema punerii la pătrat a oricărei curbe y \u003d x n, unde n este un număr întreg (adică a derivat în esență formula o x n dx \u003d (1 / n + 1) x n + 1) și pe această bază, a rezolvat o serie de probleme privind găsirea centrelor de greutate. I. Kepler, în derivarea celebrelor sale legi ale mișcării planetare, sa bazat de fapt pe ideea de integrare aproximativă. I. Barrow (1630-1677), profesorul lui Newton, a ajuns aproape să înțeleagă legătura dintre integrare și diferențiere. Lucrările privind reprezentarea funcțiilor sub formă de serii de puteri au avut o mare importanță.
Cu toate acestea, cu toată semnificația rezultatelor obținute de mulți matematicieni extrem de inventivi ai secolului al XVII-lea, calculul nu exista încă. A fost necesar să se evidențieze ideile generale care stau la baza soluționării multor probleme particulare, precum și să se stabilească o legătură între operațiile de diferențiere și integrare, care dă un algoritm destul de general. Acest lucru a fost făcut de Newton și Leibniz, care au descoperit în mod independent un fapt cunoscut sub numele de formula Newton-Leibniz. Astfel, metoda generală a prins în sfârșit contur. Era încă necesar să înveți cum să găsești antiderivatele multor funcții, să dai un calcul logic nou etc. Dar principalul lucru fusese deja făcut: fusese creat calculul diferențial și integral.
Metodele de analiză matematică au fost dezvoltate activ în secolul următor (în primul rând, trebuie menționate numele lui L. Euler, care a finalizat studiul sistematic al integrării funcțiilor elementare, și I. Bernoulli). La dezvoltarea calculului integral au luat parte matematicienii ruși M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Cebyshev (1821-1894). De o importanță fundamentală au fost, în special, rezultatele lui Cebyshev, care a demonstrat că există integrale care nu pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.
O expunere riguroasă a teoriei integralei a apărut abia în secolul trecut. Soluția acestei probleme este asociată cu numele lui O. Cauchy, unul dintre cei mai mari matematicieni, savantul german B. Riemann (1826-1866), matematicianul francez G. Darboux (1842-1917).
Răspunsurile la multe întrebări legate de existența suprafețelor și volumelor de cifre au fost obținute odată cu crearea teoriei măsurii de către K. Jordan (1838-1922).
Diverse generalizări ale conceptului de integrală au fost deja la începutul secolului nostru propuse de matematicienii francezi A. Lebesgue (1875-1941) și A. Denjoy (1884-1974), matematicianul sovietic A. Ya. Khinchinchin (1894-1974). 1959).

§2. Definiția și proprietățile integralei

Dacă F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x) pe intervalul J, atunci antiderivata pe acest interval are forma F(x)+C, unde CIR.
Definiție. Mulțimea tuturor antiderivatelor funcției f(x) pe intervalul J se numește integrală definită a funcției f(x) pe acest interval și se notează cu o f(x)dx.
o f(x)dx = F(x)+C, unde F(x) este o antiderivată pe J.
f este integrandul, f(x) este integrandul, x este variabila de integrare, C este constanta de integrare.

Proprietățile integralei nedefinite

o f(x)dx = F(x)+C, unde F ?(x) = f(x)
(o f(x)dx) ?= (F(x)+C) ?= f(x)

dacă k este o constantă și F ?(x)=f(x),
o k f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C 1)= k o f?(x)dx

o (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = o dx =
= o ?dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=
= o f(x)dx + o g(x)dx +...+ o h(x)dx, unde C=C 1 +C 2 +C 3 +...+C n .

Integrare

Dacă integrandul nu este o integrală de tabel, atunci este posibil (nu întotdeauna) să se aplice această metodă. Pentru asta ai nevoie de:

Notă: pentru noua variabilă, este mai bine să desemnați funcția care este asociată cu expresia rămasă.

Exemple:
1.
Fie 3x 2 –1=t (t?0), luăm derivata ambelor părți:
6xdx=dt
xdx=dt/6

2.
o sin x cos 3 x dx = o - t 3 dt = + C
Fie cos x = t
-sin x dx = dt

Exemple:

o x 4 +3x 2 +1 o 1 1
o---- dx \u003d o (x 2 +2 - ---) dx \u003d - x 2 + 2x - arctg x + C
o x 2 +1 o x 2 +1 3

Notă: atunci când rezolvați acest exemplu, este bine să faceți polinoame „unghi”.

Dacă este imposibil să luați integrala într-o formă dată și, în același timp, este foarte ușor să găsiți antiderivata unui factor și derivata altuia, atunci puteți utiliza formula.
(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x)
u'(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v'(x)
Integram ambele parti
o u’(x)v(x)dx=o (u(x)v(x))’dx – o u(x)v’(x)dx
o u’(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – o u(x)v’(x)dx

Exemplu:

x = u(x) cos x = v'(x)

§3. Trapez curbiliniu

Definiție. Figura mărginită de graficul unei funcții continue, de semn constant f(x), axa absciselor și dreptele x=a, x=b, se numește trapez curbiliniu.

Modalități de a găsi aria unui trapez curbiliniu

Dat: f(x) este un indef continuu. funcția, xI.
Demonstrați: S = F(b) – F(a), unde F(x) este antiderivată a lui f(x).
Dovada:

D x ® 0 cu laturile Dx și f(x 0)
S’(x 0) = lim(Dx f(x 0) /Dx) = lim f(x 0)=f(x 0): x0 este un punct, atunci S(x) este
D x ® 0 D x ® 0 antiderivată f(x).
Prin urmare, prin teorema asupra formei generale a antiderivatei, S(x)=F(x)+C.

C=-Fa

II.

Limita acestei sume se numește integrală definită.
b
S tr \u003d o f (x) dx
A
Suma sub limită se numește sumă integrală.
Integrala definită este limita sumei integrale pe intervalul de la n®?. Suma integrală se obține ca limită a sumei produselor lungimii segmentului obținute prin împărțirea domeniului funcției în orice punct al acestui interval.
a - limita inferioară de integrare;
b - sus.

formula Newton-Leibniz

Comparând formulele pentru aria unui trapez curbiliniu, concluzionăm:
dacă F este antiderivată a lui b pe , atunci
b
o f(x)dx = F(b)–F(a)
A
bb
o f(x)dx = F(x) o = F(b) – F(a)
a a

§4. Set de poze standard

bb
S=o f(x)dx + o g(x)dx
a a

§5. Aplicarea integralei

I. În fizică

Forța de lucru (A=FScosa, cosa ? 1)

Dacă asupra unei particule acţionează o forţă F, energia cinetică nu rămâne constantă. În acest caz, conform
d(mu2/2) = Fds
creșterea energiei cinetice a particulei în timpul dt este egală cu produsul scalar Fds, unde ds este deplasarea particulei în timpul dt. Valoare
dA=Fds
se numește lucrul efectuat de forța F.

Fie ca un punct să se miște de-a lungul axei OX sub acțiunea unei forțe a cărei proiecție pe axa OX este o funcție f(x) (f este o funcție continuă). Sub acțiunea unei forțe, punctul s-a deplasat de la punctul S 1 (a) la S 2 (b). Să împărțim segmentul în n segmente de aceeași lungime Dx = (b - a)/n. Lucrul forței va fi egal cu suma muncii forței pe segmentele rezultate. pentru că f(x) este continuă, atunci pentru o forță de muncă mică pe acest segment este egală cu f(a)(x 1 –a). În mod similar, pe al doilea segment f (x 1) (x 2 –x 1), pe al n-lea segment - f (x n–1) (b–x n–1). Prin urmare, lucrul la este egal cu:

А » A n = f(a)Dx +f(x 1)Dx+...+f(x n–1)Dx=
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x 1)+...+f(x n– 1))
Egalitatea aproximativă devine exactă ca n®?
b
А = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(x n–1))= o f(x)dx (prin definiție)
n®? A

Exemplul 1:
Fie ca un arc de rigiditate C și lungime l să fie comprimat la jumătate din lungime. Determinați valoarea energiei potențiale Ep este egală cu munca A efectuată de forța –F (s) elasticitatea arcului când este comprimat, apoi
l/2
E p \u003d A \u003d - o (-F (s)) dx
0
Din cursul mecanicii se știe că F(s)= –Cs.
De aici găsim
l/2 l/2
E p \u003d - o (-Cs) ds \u003d CS 2 / 2 | = C/2 l 2 /4
0 0
Răspuns: Cl2/8.

Exemplul 2:
Ce lucru trebuie făcut pentru a întinde arcul cu 4 cm, dacă se știe că de la o sarcină de 1 N se întinde cu 1 cm.
Decizie:
Conform legii lui Hooke, forța X N, care întinde arcul cu x, este egală cu X=kx. Găsim coeficientul de proporționalitate k din condiția: dacă x=0,01 m, atunci X=1 N, deci, k=1/0,01=100 și X=100x. Apoi
(J)
Răspuns: A=0,08 J

Exemplul 3:
Cu ajutorul unei macarale se scoate de pe fundul râului o gușă de beton armat cu o adâncime de 5 m. Ce lucrare se va face dacă gușa are forma unui tetraedru regulat cu marginea de 1 m? Densitatea betonului armat este de 2500 kg/m 3 , densitatea apei este de 1000 kg/m 3 .
Decizie:
y
0

Înălțimea tetraedrului este m, volumul tetraedrului este m 3 . Greutatea gujei în apă, ținând cont de acțiunea forței arhimedice, este egală cu
(J).
Acum să găsim lucrarea A i la extragerea gujului din apă. Lasă vârful tetraedrului să iasă la o înălțime de 5+y, apoi volumul tetraedrului mic care a ieșit din apă este egal, iar greutatea tetraedrului este:
.
Prin urmare,

(J).
Prin urmare, A \u003d A 0 + A 1 \u003d 7227,5 J + 2082,5 J \u003d 9310 J \u003d 9,31 kJ
Răspuns: A=9,31 (J).

Exemplul 4:
Ce forță de presiune experimentează o placă dreptunghiulară de lungimea a și lățimea b (a>b) dacă este înclinată într-un unghi față de suprafața orizontală a lichidului? iar partea sa cea mai lungă se află la adâncimea h?

Răspuns: P= .

Coordonatele centrului de masă

Centrul de masă este punctul prin care trece rezultanta gravitației pentru orice aranjare spațială a corpului.
Fie placa omogenă materială o are forma unui trapez curbiliniu (x;y |a?x?b; 0?y?f(x)) și funcția y=f(x) este continuă pe , iar aria lui acest trapez curbiliniu este egal cu S, apoi coordonatele centrului Masa plăcii o se găsește prin formulele:
bb
x 0 \u003d (1 / S) o x f (x) dx; y 0 \u003d (1 / 2S) din 2 (x) dx;
a a

Exemplul 1:
Aflați centrul de masă al unui semicerc omogen cu raza R.
Desenați un semicerc în sistemul de coordonate OXY.

R R
y \u003d (1 / 2S) oO (R 2 -x 2)dx \u003d (1 / pR 2) oO (R 2 -x 2) dx \u003d
-R -R
R
= (1/pR 2)(R 2 x–x 3 /3)|= 4R/3p
- R
Răspuns: M(0; 4R/3p).

Exemplul 2:
Aflați coordonatele centrului de greutate al figurii delimitate de arcul elipsei x=acost, y=bsint, situat în primul cadran, și axele de coordonate.
Decizie:
În primul trimestru, pe măsură ce x crește de la 0 la a, valoarea lui t scade de la?/2 la 0, deci

Folosind formula pentru aria elipsei S=?ab, obținem

Drumul parcurs de un punct material
Dacă un punct material se deplasează în linie dreaptă cu o viteză u=u(t) și în timp T= t 2 –t 1 (t 2 >t 1) a depășit calea S, atunci
t2
S = o u(t)dt.
t1

Volumul este o caracteristică cantitativă a unui corp spațial. Un cub cu muchia de 1 mm (1dm, 1m etc.) este luat ca unitate de volum.
Numărul de cuburi ale unei unități de volum plasate într-un corp dat este volumul corpului.

Axiomele volumului:

Să găsim formula pentru calcularea volumului:

V=V 1 +V 2 +...+V n =lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx
n®?
Dx®0 și Sk®S k+1, iar volumul piesei cuprinse între două plane adiacente este egal cu volumul cilindrului V c =S H principal.
Avem suma produselor valorilor funcției la punctele de partiție prin pasul de partiție, adică. suma integrală. Prin definiția unei integrale definite, limita acestei sume la n®? se numeste integrala

A
V = o S(x)dx, unde S(x) este secțiunea planului care trece prin
b punctul selectat perpendicular pe axa OX.

Pentru a găsi volumul de care aveți nevoie:
1) Alegeți axa OX într-un mod convenabil.
2) Determinați limitele locației acestui corp în raport cu axa.
3) Construiți o secțiune a unui corp dat printr-un plan perpendicular pe axa OX și care trece prin punctul corespunzător.
4) Exprimați în termeni de mărimi cunoscute o funcție care exprimă aria unei secțiuni date.
5) Faceți o integrală.
6) După ce ați calculat integrala, găsiți volumul.

Exemplul 1:
Aflați volumul unei elipse triaxiale.

Decizie:
Secțiunile plane ale unui elipsoid paralele cu planul xOz și distanțate de acesta la o distanță y=h reprezintă o elipsă

Cu jumătăți de arbori și
Găsiți zona acestei secțiuni
.
Aflați volumul elipsei:

Exemplul 2:
Aflați volumul unui corp a cărui bază este un triunghi isoscel cu înălțimea h și baza a. Secțiunea transversală a corpului este un segment al unei parabole cu o coardă egală cu înălțimea segmentului.

Decizie:
Avem, Exprimăm aria secțiunii transversale în funcție de z, pentru care găsim mai întâi ecuația parabolei. Lungimea coardei DE poate fi găsită din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare, și anume:
acestea. . Să presupunem că ecuația parabolei din sistemul de coordonate uKv ia forma. De aici găsim aria secțiunii transversale a corpului dat:
sau.
Prin urmare, .
Răspuns:
Volumul figurilor de rotație

Corpul obtinut ca urmare a rotatiei unei figuri plate in jurul unei axe se numeste figura de rotatie.
Funcția S(x) a figurii de rotație are un cerc.
S sec \u003d pr 2
S sec (x) \u003d p f 2 (x)

Lungimea arcului unei curbe plate

Fie funcția y = f(x) să aibă o derivată continuă y’ = f’(x) pe segment. În acest caz, lungimea arcului l al „piesei” graficului funcției y = f(x), xI poate fi găsită prin formula:

Exemplul 1:
Aflați lungimea arcului unei curbe de la x=0 la x=1 (y?0)
Decizie:
Diferențiând ecuația curbei, găsim. Prin urmare,
.
Răspuns: .

Concluzie
Integrala este folosită în științe precum fizica, geometria, matematica și alte științe. Cu ajutorul integralei se calculează munca forței, se găsesc coordonatele centrului de masă, drumul parcurs de punctul material. În geometrie, este folosit pentru a calcula volumul unui corp, a găsi lungimea unui arc de curbă etc.
Literatură

Vladimir 2002

Universitatea de Stat Vladimir, Departamentul de Fizică Generală și Aplicată

Introducere

Istoria calculului integral

Simbolul ò a fost introdus de Leibniz (1675). Acest semn este o prin schimbarea literei latine S (prima literă a cuvântului sum A). Cuvântul integrală a fost inventat de Ya. B e r u l l i (1690) Probabil oh, vine din latină integro, care tradus cum să readuceți la starea anterioară, să restaurați. (Într-adevăr, se restabileşte operaţiunea de integrare funcţie, prin diferenţierea cărora se obţine integrandul funcţie.) Poate că originea termenului integrală este diferită: cuvântul întregînseamnă întreg.

În literatura contemporană, multe antiderivate pentru funcția f (X) numită și integrală nedefinită. Acest concept a fost identificat de Leibniz, care a observat că în e mai întâi figurativ funcțiile diferă printr-o constantă arbitrară. b

se numește integrală definită (denumirea a fost introdusă de K. Fourier(1768-1830), dar a indicat deja limitele integrării Hei ler).

Multe realizări semnificative ale matematicienilor greci antici în rezolvarea problemelor în cuadratura (adică, e. calculul suprafețelor) figurilor plate, precum și cubatura (calculul volumelor) corpurilor sunt asociate cu utilizarea metodei de epuizare propusă de Eudoxus din Cnidus (c. 408 - c. 355 î.Hr.). Folosind această metodă, Eudoxus a demonstrat, de exemplu, că ariile a două cercuri sunt legate ca pătratele diametrelor lor și că volumul unui con este egal cu 1/3 din volumul unui cilindru având aceeași bază și înălțime. .

Metoda lui Eudoxus a fost îmbunătățită de Arhimede. Principalele etape care caracterizează metoda Arhimede: 1) se dovedește că aria unui cerc este mai mică decât aria oricărui poligon regulat circumscris în jurul acestuia, dar mai mare decât aria oricărui poligon înscris; 2) se dovedește că, cu o dublare nelimitată a numărului de laturi, diferența în zonele acestor multe cărbune ikov tinde spre zero; 3) pentru a calcula aria unui cerc, rămâne să găsiți valoarea la care tinde raportul ariei unui poligon regulat cu o dublare nelimitată a numărului de laturi.

Cu ajutorul metodei epuizării și a unui număr de alte considerații pline de spirit (inclusiv care implică modele de mecanică), Arhimede a rezolvat multe probleme. El a dat o estimare pentru p (3,10/71

Arhimede a anticipat multe idei de calcul integral. (Să adăugăm că în practică și primele teoreme limită au fost demonstrate de el.) Dar a durat mai mult de o mie și jumătate de ani până când aceste idei au găsit o expresie clară și au fost aduse la nivelul calculului.

Matematicienii secolului al XVII-lea, care au obținut multe rezultate noi, au învățat din lucrările lui Arhimede. O altă metodă a fost, de asemenea, utilizată în mod activ - metoda indivizibililor, care și-a dat originea și în Grecia Antică (este asociată în primul rând cu opiniile atomiste ale lui Democrit). De exemplu, curbilinii trapez(Fig. 1, a) s-au imaginat a fi compuse din segmente verticale de lungime f (x), cărora, totuși, atribuindu-se dacă o zonă egală cu o valoare infinitezimală f (x) . În conformitate cu această înțelegere, suprafața necesară a fost considerată egală cu suma

un număr infinit de zone infinit de mici. Uneori s-a subliniat chiar că termenii individuali din această sumă sunt zerouri, dar zerouri de un fel special, care, adunate într-un număr infinit, dau o sumă pozitivă bine definită.

Pe o astfel de aparență acum cel puțin dubios pe baza lui I. Kepler (1571-1630) în scrierile sale „Noua astronomie”.

Să fie necesar să se găsească aria figurii prezentate în figura 1,b, unde curbele care delimitează figura de sus și de jos au ecuațiile y = f(x) și y=f(x)+c.

Reprezentând o figură compusă din „indivizibile”, în terminologia lui Cavalieri, coloane infinit de subțiri, observăm că toate au o lungime comună c. Deplasându-le în direcție verticală, putem face din ele un dreptunghi cu baza b-a și înălțimea c. Prin urmare, aria necesară este egală cu aria dreptunghiului rezultat, adică.

S \u003d S1 \u003d c (b - a).

Principiul general Cavalieri pentru ariile figurilor plane este formulat astfel: Fie ca liniile unui anumit mănunchi de paralele să intersecteze figurile F1 și F2 de-a lungul segmentelor de lungime egală (Fig. 1, c). Atunci ariile figurilor Ф1 și Ф2 sunt egale.

Un principiu similar funcționează în stereometrie și este util în găsirea volumelor.

În secolul al XVII-lea s-au făcut multe descoperiri legate de calculul integral. Deci, deja în 1629, P. Fermat, problema punerii la pătrat a oricărei curbe y \u003d xn, unde n este un număr întreg (adică a derivat în esență formula ò xndx \u003d (1 / n + 1) xn + 1) , și pe această bază a decis o serie de sarcini pentru a găsi centrele de greutate. I. Kepler, în derivarea celebrelor sale legi ale mișcării planetare, sa bazat de fapt pe ideea de integrare aproximativă. I. Barrow (1630-1677), profesorul lui Newton, a ajuns aproape să înțeleagă legătura dintre integrare și diferențiere. Lucrările privind reprezentarea funcțiilor sub formă de serii de puteri au avut o mare importanță.

Cu toate acestea, cu toată semnificația rezultatelor obținute de mulți matematicieni extrem de inventivi ai secolului al XVII-lea, calculul nu exista încă. A fost necesar să se evidențieze ideile generale care stau la baza soluționării multor probleme particulare, precum și să se stabilească o legătură între operațiile de diferențiere și integrare, care dă un algoritm destul de general. Acest lucru a fost făcut de Newton și Leibniz, care au descoperit în mod independent un fapt cunoscut sub numele de formula Newton-Leibniz. Astfel, metoda generală a prins în sfârșit contur. Era încă necesar să înveți cum să găsești antiderivatele multor funcții, să dai un calcul logic nou etc. Dar principalul lucru fusese deja făcut: fusese creat calculul diferențial și integral.

Metodele de analiză matematică au fost dezvoltate activ în secolul următor (în primul rând, trebuie menționate numele lui L. Euler, care a finalizat studiul sistematic al integrării funcțiilor elementare, și I. Bernoulli). Matematicienii ruși M.V.Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya.Bunyakovsky (1804-1889), P.L. De o importanță fundamentală au fost, în special, rezultatele lui Cebyshev, care a demonstrat că există integrale care nu pot fi exprimate în termeni de funcții elementare.

O expunere riguroasă a teoriei integralei a apărut abia în secolul trecut. Soluția acestei probleme este asociată cu numele lui O. Cauchy, unul dintre cei mai mari matematicieni, savantul german B. Riemann (1826-1866), matematicianul francez G. Darboux (1842-1917).

Răspunsurile la multe întrebări legate de existența suprafețelor și volumelor de cifre au fost obținute odată cu crearea teoriei măsurii de către K. Jordan (1838-1922).

Pentru a vizualiza o prezentare cu imagini, design și diapozitive, descărcați fișierul și deschideți-l în PowerPoint pe calculatorul tau.
Conținutul text al slide-urilor prezentării: Integrala și aplicarea ei în viața umană.
Scop: studiul și utilizarea integralei în activitatea umană. Sarcini: afla ce este o integrală; identificați toate domeniile activității umane în care se aplică integrala; aflați ce valoare ia integrala în viața umană. Omul de știință care a creat integrala.Eudoxus din Cnidus. A dat o demonstrație completă a teoremei volumului piramidei; teoreme conform cărora ariile a două cercuri sunt legate ca pătratele razelor lor. Când a demonstrat, a folosit așa-numita metodă de „epuizare” a razelor lor. După două mii de ani, metoda „epuizării” s-a transformat în metoda integrării. Ce este o integrală? Integrală (din lat.Integer - întreg) - integrala este reciproca diferenţialului funcţiei. Multe probleme fizice și de altă natură se reduc la rezolvarea ecuațiilor diferențiale sau integrale complexe. Pentru a face acest lucru, trebuie să știți ce sunt calculul diferențial și integral.𝑓𝑥𝑑𝑥 Simbolul  a fost introdus de Gottfried Leibniz (1675). Acest semn este o variație a literei latine S (prima literă a cuvântului summa). Cuvântul integral a fost inventat de Jacob Bernoulli (1690). Provine din latinescul integro, care înseamnă a restaura. I. BernoulliG. Leibniz Aplicarea integralei. În geometrie. Aria unei figuri plate. Definiție: O figură mărginită de un grafic al unei funcții continue, de semn constant 𝑓(𝑥), axa absciselor și drepte 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏, se numește trapez curbiliniu.Teorema. Dacă 𝑓(𝑥) este o funcție continuă și nenegativă pe segmentul [𝑎;𝑏], atunci aria trapezului curbiliniu corespunzător este egală cu o anumită integrală pe acest segment. Rezultatul rotației unui plat figura, în jurul unei axe, se numește figura de rotație.Funcția 𝑆(𝑥)𝑓(𝑥) a figurii de rotație este un cerc.În fizică.Coordonatele centrului de masă.Centrul de masă este punctul care trece prin pe care rezultanta gravitaţiei o trece pentru orice aranjare spaţială a corpului. Fie ca o placă omogenă de material să aibă forma unui trapez curbiliniu 𝑥;𝑦 𝑎≤𝑥≤𝑏; 0≤𝑦≤𝑓(𝑥)) și funcția 𝑦=𝑓(𝑥) este continuă pe [𝑎;𝑏], iar aria acestui trapez curbiliniu este egală cu 𝑆, apoi coordonatele centrului de masă al placa o se găsesc prin formulele: 𝑥0 = 1𝑆 𝑎𝑏𝑥 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥; 𝑦0 = 12𝑆 𝑎𝑏𝑓 2(𝑥) 𝑑𝑥; Munca forței 𝐴=𝐹𝑆𝑐𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑠 1. Dacă o forță 𝐹 acționează asupra unei particule, energia cinetică nu rămâne constantă. În acest caz, conform 𝑑(𝑚2/2) = 𝐹𝑑𝑠, creșterea energiei cinetice a particulei în timp dt este egală cu produsul scalar 𝐹𝑑𝑠, unde 𝑑𝑠 este mișcarea particulei în timp 𝑡. Valoarea 𝑑𝐴=𝐹𝑑𝑠 se numește lucrul efectuat de forța F.А = 𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥 Calea parcursă de punctul material. =𝑡1𝑡2𝑣(𝑡)𝑡. În economie În cursul microeconomiei, sunt adesea luate în considerare așa-numitele valori marginale, adică. pentru o cantitate dată reprezentată de o funcție 𝑦 =𝑓(𝑥), considerați derivata ei 𝑓′(𝑥). De exemplu, dacă funcția de cost С este dată în funcție de volumul q al mărfurilor produse 𝐶= 𝐶(𝑞), atunci costul marginal va fi dat de derivata acestei funcții MC=С′(q). Sensul său economic este costul producerii unei unități suplimentare de producție. Prin urmare, este adesea necesar să se găsească funcția de cost dintr-o funcție de cost marginal dată. În biologie, lungimea medie a intervalului.Ne interesează lungimea medie a intervalului. Deoarece cercul este simetric în raport cu oricare dintre diametrele sale, trebuie doar să ne limităm la acele păsări care zboară în orice direcție paralelă cu axa y. Atunci lungimea medie a deschiderii este distanța medie dintre arcele ASV și 𝐴𝐶1𝐵. Cu alte cuvinte, este valoarea medie a funcției 𝑓1𝑥-𝑓2𝑥, unde 𝑦 = 𝑓1𝑥 este ecuația arcului superior și 𝑦 = 𝑓2𝑥 ecuația arcului inferior, deci e. 𝑎𝑏𝑓1𝑥𝑑𝑥 este egală cu aria ariei curbilinii AASVB a trapezului curbiliniu aA𝐶1Вb, atunci diferența lor este egală cu aria cercului, adică 𝜋𝑅2. Diferența 𝑏−а este egală cu 2R. Înlocuind aceasta în 𝐿=𝑎𝑏𝑓1𝑥−𝑓2𝑥𝑑𝑥𝑏−𝑎 , obținem: 𝐿=𝜋𝑅22𝑅=𝜋2𝑅

Portal pentru student. Autoinstruire