Tema numerelor raționale este destul de extinsă. Puteți vorbi despre asta la nesfârșit și scrie lucrări întregi, de fiecare dată surprins de noi jetoane.

Pentru a evita greșelile în viitor, în această lecție vom aprofunda puțin în subiectul numerelor raționale, vom extrage informațiile necesare din acesta și vom merge mai departe.

Conținutul lecției

Ce este un număr rațional

Un număr rațional este un număr care poate fi reprezentat ca o fracție, unde A - este numărătorul unei fracții b este numitorul fracției. Și b nu trebuie să fie zero, deoarece împărțirea la zero nu este permisă.

Numerele raționale includ următoarele categorii de numere:

• numere întregi (de exemplu -2, -1, 0 1, 2 etc.)

• fracții zecimale (de exemplu 0,2 etc.)

• fracții periodice infinite (de exemplu, 0, (3), etc.)

Fiecare număr din această categorie poate fi reprezentat ca o fracție.

Exemplul 1 Numărul întreg 2 poate fi reprezentat ca o fracție. Deci numărul 2 se aplică nu numai numerelor întregi, ci și celor raționale.

Exemplul 2 Un număr mixt poate fi reprezentat ca o fracție. Această fracție se obține prin conversia numărului mixt într-o fracție improprie.

Deci un număr mixt este un număr rațional.

Exemplul 3 Decimalul 0,2 poate fi reprezentat ca o fracție. Această fracție a fost obținută prin conversia fracției zecimale 0,2 într-o fracție obișnuită. Dacă întâmpinați dificultăți în acest moment, repetați subiectul.

Deoarece fracția zecimală 0,2 poate fi reprezentată ca o fracție, înseamnă că se aplică și numerelor raționale.

Exemplul 4 Fracția periodică infinită 0, (3) poate fi reprezentată ca o fracție . Această fracție se obține prin conversia unei fracții periodice pure într-o fracție obișnuită. Dacă întâmpinați dificultăți în acest moment, repetați subiectul.

Deoarece fracția periodică infinită 0, (3) poate fi reprezentată ca o fracție, înseamnă că aparține și numerelor raționale.

În viitor, toate numerele care pot fi reprezentate ca o fracție, vom numi din ce în ce mai mult o singură frază - numere rationale.

Numere raționale pe linia de coordonate

Am luat în considerare linia de coordonate când am studiat numerele negative. Amintiți-vă că aceasta este o dreaptă pe care se află multe puncte. După cum urmează:

Această figură arată un mic fragment al liniei de coordonate de la -5 la 5.

Nu este dificil să marchezi numere întregi de forma 2, 0, −3 pe linia de coordonate.

Lucrurile sunt mult mai interesante cu restul numerelor: cu fracții obișnuite, numere mixte, fracții zecimale etc. Aceste numere se află între numere întregi și există o infinitate de aceste numere.

De exemplu, să marchem un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr este exact între zero și unu.

Să încercăm să înțelegem de ce fracția este situată brusc între zero și unu.

După cum am menționat mai sus, între numere întregi se află alte numere - fracții ordinare, fracții zecimale, numere mixte etc. De exemplu, dacă măriți secțiunea liniei de coordonate de la 0 la 1, puteți vedea următoarea imagine

Se poate observa că între numerele întregi 0 și 1 există deja alte numere raționale, care ne sunt fracții zecimale familiare. Fracția noastră este, de asemenea, vizibilă aici, care este situată în același loc cu fracția zecimală 0,5. O examinare atentă a acestei figuri oferă un răspuns la întrebarea de ce fracția este situată exact acolo.

O fracție înseamnă să împărțim 1 la 2. Și dacă împărțim 1 la 2, atunci obținem 0,5

Fracția zecimală 0,5 poate fi deghizată ca alte fracții. Din proprietatea de bază a unei fracții, știm că dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci valoarea fracției nu se va modifica.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu orice număr, de exemplu cu numărul 4, atunci vom obține o nouă fracție, iar această fracție este, de asemenea, egală cu 0,5.

Aceasta înseamnă că pe linia de coordonate, fracția poate fi plasată în același loc în care a fost localizată fracția

Exemplul 2 Să încercăm să marchem un număr rațional pe coordonată. Acest număr este situat exact între numerele 1 și 2

Valoarea fracției este 1,5

Dacă creștem secțiunea liniei de coordonate de la 1 la 2, atunci vom vedea următoarea imagine:

Se poate observa că între numerele întregi 1 și 2 există deja alte numere raționale, care ne sunt fracții zecimale familiare. Fracția noastră este, de asemenea, vizibilă aici, care se află în același loc cu fracția zecimală 1,5.

Am mărit anumite segmente pe linia de coordonate pentru a vedea restul numerelor aflate pe acest segment. Ca rezultat, am găsit fracții zecimale care aveau o cifră după virgulă.

Dar acestea nu au fost singurele numere aflate pe aceste segmente. Există infinit de multe numere care se află pe linia de coordonate.

Este ușor de ghicit că între fracțiile zecimale care au o cifră după virgulă, există deja alte fracții zecimale care au două cifre după virgulă. Cu alte cuvinte, sutimi de segment.

De exemplu, să încercăm să vedem numerele care se află între fracțiile zecimale 0,1 și 0,2

Alt exemplu. Fracțiile zecimale care au două cifre după virgulă și se află între zero și numărul rațional 0,1 arată astfel:

Exemplul 3 Marcam un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr rațional va fi foarte aproape de zero.

Valoarea fracției este 0,02

Dacă creștem segmentul de la 0 la 0,1, vom vedea unde se află exact numărul rațional

Se poate observa că numărul nostru rațional se află în același loc cu fracția zecimală 0,02.

Exemplul 4 Să marchem un număr rațional 0 pe linia de coordonate, (3)

Numărul rațional 0, (3) este o fracție periodică infinită. Partea sa fracționată nu se termină niciodată, este infinită

Și deoarece numărul 0, (3) are o parte fracțională infinită, aceasta înseamnă că nu vom putea găsi locul exact pe linia de coordonate în care se află acest număr. Putem indica acest loc doar aproximativ.

Numărul rațional 0,33333... va fi foarte aproape de zecimalul obișnuit 0,3

Această cifră nu arată locația exactă a numărului 0,(3). Aceasta este doar o ilustrare care arată cât de apropiată poate fi fracția periodică 0.(3) de zecimala obișnuită 0.3.

Exemplul 5 Marcam un număr rațional pe linia de coordonate. Acest număr rațional va fi situat la mijloc între numerele 2 și 3

Acesta este 2 (două numere întregi) și (o secundă). O fracție se mai numește și „jumătate”. Prin urmare, am marcat două segmente întregi și o altă jumătate de segment pe linia de coordonate.

Dacă traducem un număr mixt într-o fracție improprie, obținem o fracție obișnuită. Această fracție de pe linia de coordonate va fi situată în același loc cu fracția

Valoarea fracției este 2,5

Dacă creștem secțiunea liniei de coordonate de la 2 la 3, atunci vom vedea următoarea imagine:

Se poate observa că numărul nostru rațional se află în același loc cu fracția zecimală 2,5

Minus înaintea unui număr rațional

În lecția anterioară, care a fost numită, am învățat cum să împărțim numerele întregi. Dividendele și divizorul pot fi atât numere pozitive, cât și numere negative.

Luați în considerare cea mai simplă expresie

(−6) : 2 = −3

În această expresie, dividendul (−6) este un număr negativ.

Acum luați în considerare a doua expresie

6: (−2) = −3

Aici, divizorul (−2) este deja un număr negativ. Dar în ambele cazuri obținem același răspuns -3.

Având în vedere că orice diviziune poate fi scrisă ca fracție, putem scrie și exemplele discutate mai sus ca fracție:

Și întrucât în ​​ambele cazuri valoarea fracției este aceeași, minusul aflat fie la numărător, fie la numitor poate fi făcut comun punându-l în fața fracției.

Prin urmare, între expresiile și și puteți pune un semn egal, pentru că au aceeași valoare

Pe viitor, lucrând cu fracții, dacă întâlnim un minus la numărător sau la numitor, vom face acest minus comun, punându-l în fața fracției.

Numerele raționale opuse

Ca un număr întreg, un număr rațional are numărul său opus.

De exemplu, pentru un număr rațional, numărul opus este . Este situat pe linia de coordonate simetric față de locația relativ la origine. Cu alte cuvinte, ambele numere sunt echidistante de origine

Convertiți numere mixte în fracții improprii

Știm că pentru a transforma un număr mixt într-o fracție improprie, trebuie să înmulțiți partea întreagă cu numitorul părții fracționale și să adăugați la numărătorul părții fracționale. Numărul rezultat va fi numărătorul noii fracții, în timp ce numitorul rămâne același.

De exemplu, să convertim un număr mixt într-o fracție improprie

Înmulțiți partea întreagă cu numitorul părții fracționale și adăugați numărătorul părții fracționale:

Să calculăm această expresie:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Numărul rezultat 5 va fi numărătorul noii fracții, iar numitorul va rămâne același:

Întregul proces este scris după cum urmează:

Pentru a returna numărul mixt original, este suficient să selectați partea întreagă din fracție

Dar acest mod de a converti un număr mixt într-o fracție improprie este aplicabil numai dacă numărul mixt este pozitiv. Pentru un număr negativ, această metodă nu va funcționa.

Să luăm în considerare o fracție. Să luăm partea întreagă a acestei fracții. obține

Pentru a returna fracția inițială, trebuie să convertiți numărul mixt într-o fracție necorespunzătoare. Dar dacă folosim vechea regulă, și anume, înmulțim partea întreagă cu numitorul părții fracționale și adăugăm numărătorul părții fracționale la numărul rezultat, atunci obținem următoarea contradicție:

Avem o fracție, dar ar fi trebuit să primim o fracție.

Concluzionăm că numărul mixt a fost tradus incorect într-o fracție improprie

Pentru a traduce corect un număr mixt negativ într-o fracție improprie, trebuie să înmulțiți partea întreagă cu numitorul părții fracționale și din numărul rezultat scădea numărător fracționar. În acest caz, totul va cădea la loc

Un număr mixt negativ este opusul unui număr mixt. Dacă numărul mixt pozitiv este situat în partea dreaptă și arată astfel

După cum am văzut, mulțimea numerelor naturale

este închis la adunare și înmulțire și mulțimea numerelor întregi

închis la adunare, înmulțire și scădere. Cu toate acestea, niciuna dintre aceste mulțimi nu este închisă sub diviziune, deoarece împărțirea numerelor întregi poate duce la fracții, ca în cazurile 4/3, 7/6, -2/5 și așa mai departe. Mulțimea tuturor acestor fracții formează mulțimea numerelor raționale. Astfel, un număr rațional (fracție rațională) este un număr care poate fi reprezentat ca , unde a și d sunt numere întregi, iar d nu este egal cu zero. Să facem câteva observații despre această definiție.

1) Am cerut ca d să fie diferit de zero. Această cerință (scrisă matematic ca inegalitatea ) este necesară deoarece aici d este un divizor. Luați în considerare următoarele exemple:

Cazul 1. .

Cazul 2. .

În cazul 1, d este un divizor în sensul capitolului anterior, adică 7 este un divizor exact al lui 21. În cazul 2, d este încă un divizor, dar într-un sens diferit, deoarece 7 nu este un divizor exact al lui. 25.

Dacă 25 este numit divizibil și 7 divizor, atunci obținem câtul 3 și restul 4. Deci, cuvântul divizor este folosit aici într-un sens mai general și se aplică mai multor cazuri decât în ​​cap. I. Cu toate acestea, în cazuri precum Cazul 1, conceptul de divizor introdus în cap. eu; de aceea este necesar, ca la cap. I, excludeți posibilitatea d = 0.

2) Rețineți că, în timp ce expresiile număr rațional și fracție rațională sunt sinonime, cuvântul fracție în sine este folosit pentru a se referi la orice expresie algebrică constând dintr-un numărător și un numitor, cum ar fi, de exemplu,

3) Definiția unui număr rațional include expresia „un număr care poate fi reprezentat ca , unde a și d sunt numere întregi și . De ce nu poate fi înlocuit cu expresia „un număr de forma în care a și d sunt numere întregi și Motivul pentru aceasta este faptul că există infinite moduri de a exprima aceeași fracție (de exemplu, 2/3 poate, de asemenea, fie scris ca 4/6, 6/9 sau sau 213/33, sau etc.) și este de dorit pentru noi ca definiția noastră a unui număr rațional să nu depindă de un anumit mod de a-l exprima.

O fracție este definită în așa fel încât valoarea ei să nu se schimbe atunci când numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu același număr. Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să spunem doar privind o anumită fracție dacă este rațională sau nu. Luați în considerare, de exemplu, numerele

Niciuna dintre ele din notația pe care am ales-o nu are forma , unde a și d sunt numere întregi.

Putem, totuși, să efectuăm o serie de transformări aritmetice asupra primei fracții și să obținem

Astfel, ajungem la o fracție egală cu fracția inițială pentru care . Numărul este așadar rațional, dar nu ar fi rațional dacă definiția unui număr rațional ar presupune ca numărul să fie de forma a/b, unde a și b sunt numere întregi. În cazul unei fracții de conversie

duce la un număr. În capitolele ulterioare, vom afla că un număr nu poate fi reprezentat ca un raport de două numere întregi și, prin urmare, nu este rațional sau se spune că este irațional.

4) Rețineți că fiecare număr întreg este rațional. După cum tocmai am văzut, acest lucru este adevărat în cazul numărului 2. În cazul general al numerelor întregi arbitrare, se poate atribui, în mod similar, un numitor egal cu 1 fiecăruia dintre ele și se poate obține reprezentarea lor ca fracții raționale.

Elevii de liceu și studenții specialităților matematice sunt probabil să răspundă cu ușurință la această întrebare. Dar pentru cei care sunt departe de asta de profesie, va fi mai dificil. Ce este de fapt?

Esența și denumirea

Numerele raționale sunt cele care pot fi reprezentate ca o fracție. Pozitiv, negativ, precum și zero sunt de asemenea incluse în acest set. Numătorul unei fracții trebuie să fie un întreg, iar numitorul trebuie să fie

Această mulțime este notată în matematică cu Q și este numită „câmpul numerelor raționale”. Include toate numerele întregi și naturale, notate respectiv Z și N. Mulțimea Q însăși este inclusă în mulțimea R. Această literă este cea care denotă așa-numitul real sau

Performanţă

După cum sa menționat deja, numerele raționale sunt o mulțime care include toate valorile întregi și fracționale. Ele pot fi prezentate sub diferite forme. În primul rând, sub forma unei fracții obișnuite: 5/7, 1/5, 11/15 etc. Desigur, numerele întregi pot fi scrise și într-o formă similară: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 etc. În al doilea rând, un alt tip de reprezentare este o fracție zecimală cu o parte fracțională finală: 0,01, -15,001006, etc. Aceasta este poate una dintre cele mai comune forme.

Dar există și o a treia - o fracție periodică. Acest tip nu este foarte comun, dar încă folosit. De exemplu, fracția 10/3 poate fi scrisă ca 3,33333... sau 3,(3). În acest caz, reprezentări diferite vor fi considerate numere similare. Fracțiile egale vor mai fi numite, de exemplu, 3/5 și 6/10. Se pare că a devenit clar ce sunt numerele raționale. Dar de ce este folosit acest termen pentru a se referi la ei?

originea numelui

Cuvântul „rațional” în limba rusă modernă are în general un înțeles ușor diferit. Este mai degrabă „rezonabilă”, „considerată”. Dar termenii matematici se apropie de sensul direct al acestuia.În latină, „raport” este „raport”, „fracție” sau „diviziune”. Astfel, numele reflectă esența a ceea ce sunt numerele raționale. Cu toate acestea, al doilea sens

nu departe de adevar.

Acțiuni cu ei

Când rezolvăm probleme matematice, întâlnim în mod constant numere raționale fără să le știm noi înșine. Și au o serie de proprietăți interesante. Toate rezultă fie din definirea unui set, fie din acțiuni.

În primul rând, numerele raționale au proprietatea relației de ordine. Aceasta înseamnă că poate exista un singur raport între două numere - fie sunt egale între ele, fie unul este mai mare sau mai mic decât celălalt. adică:

sau a = b sau a > b sau A< b.

Mai mult, această proprietate implică și tranzitivitatea relației. Adică dacă A Mai mult b, b Mai mult c, apoi A Mai mult c. În limbajul matematicii, arată astfel:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

În al doilea rând, există operații aritmetice cu numere raționale, adică adunarea, scăderea, împărțirea și, bineînțeles, înmulțirea. În același timp, în procesul transformărilor pot fi distinse și o serie de proprietăți.

• a + b = b + a (înlocuirea termenilor, comutativitatea);
• 0 + a = a + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);
• a + (-a) = 0;
• ab=ba;
• (ab)c = a(bc) (distributivitate);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (în acest caz, a nu este egal cu 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Când vine vorba de numere obișnuite, și nu sau întregi, operațiunile cu acestea pot provoca anumite dificultăți. Deci, adunarea și scăderea sunt posibile numai dacă numitorii sunt egali. Dacă inițial sunt diferite, ar trebui să găsiți unul comun, folosind înmulțirea întregii fracții cu anumite numere. Comparația este, de asemenea, cel mai adesea posibilă numai dacă această condiție este îndeplinită.

Împărțirea și înmulțirea fracțiilor obișnuite se efectuează în conformitate cu reguli destul de simple. Reducerea la un numitor comun nu este necesară. Număratorii și numitorii se înmulțesc separat, în timp ce în procesul de efectuare a acțiunii, dacă este posibil, fracția ar trebui redusă și simplificată pe cât posibil.

În ceea ce privește împărțirea, această acțiune este similară cu prima cu o ușoară diferență. Pentru a doua fracție, ar trebui să găsiți reciproca, adică

"întoarce-l. Astfel, numărătorul primei fracții va trebui înmulțit cu numitorul celei de-a doua și invers.

În sfârșit, o altă proprietate inerentă numerelor raționale se numește axioma lui Arhimede. Termenul „principiu” se găsește adesea în literatură. Este valabil pentru întregul set de numere reale, dar nu peste tot. Astfel, acest principiu nu funcționează pentru unele colecții de funcții raționale. În esență, această axiomă înseamnă că, având în vedere existența a două mărimi a și b, puteți lua întotdeauna suficient a pentru a depăși b.

Zona de aplicare

Deci, pentru cei care au învățat sau și-au amintit ce sunt numerele raționale, devine clar că ele sunt folosite peste tot: în contabilitate, economie, statistică, fizică, chimie și alte științe. Desigur, au un loc și în matematică. Neștiind întotdeauna că avem de-a face cu ele, folosim constant numere raționale. Chiar și copiii mici, care învață să numere obiecte, tăind un măr în bucăți sau efectuând alte acțiuni simple, le întâlnesc. Ne înconjoară literalmente. Și totuși, ele nu sunt suficiente pentru a rezolva unele probleme, în special, folosind teorema lui Pitagora ca exemplu, se poate înțelege necesitatea introducerii conceptului

Definiţia numerelor raţionale

Numerele raționale sunt:

• Numere naturale care pot fi reprezentate ca o fracție. De exemplu, $7=\frac(7)(1)$.
• Numerele întregi, inclusiv numărul zero, care pot fi exprimate ca fracții pozitive sau negative sau ca zero. De exemplu, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Fracții obișnuite (pozitive sau negative).
• Numere mixte care pot fi reprezentate ca o fracție comună improprie. De exemplu, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ și $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• O zecimală finită și o fracție periodică infinită, care pot fi reprezentate ca o fracție comună. De exemplu, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Observație 1

Rețineți că o fracție zecimală neperiodică infinită nu se aplică numerelor raționale, deoarece nu poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită.

Exemplul 1

Numerele naturale $7, 670, 21 \ 456$ sunt raționale.

Numerele întregi $76, -76, 0, -555 \ 666$ sunt raționale.

Fracțiile obișnuite $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ sunt numere raționale .

Astfel, numerele raționale sunt împărțite în pozitive și negative. Zero este un număr rațional, dar nu este un număr rațional pozitiv sau negativ.

Să formulăm o definiție mai scurtă a numerelor raționale.

Definiția 3

Raţional numere de apel care pot fi reprezentate ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Se pot trage următoarele concluzii:

• numerele întregi pozitive și negative și numerele fracționale aparțin mulțimii numerelor raționale;
• numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție care are un numărător întreg și un numitor natural și este un număr rațional;
• numerele raționale pot fi reprezentate ca orice zecimală periodică care este un număr rațional.

Cum să determinați dacă un număr este rațional

1. Numărul este dat ca expresie numerică, care constă numai din numere raționale și semne ale operațiilor aritmetice. În acest caz, valoarea expresiei va fi un număr rațional.
2. Rădăcina pătrată a unui număr natural este un număr rațional numai dacă rădăcina este un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, $\sqrt(9)$ și $\sqrt(121)$ sunt numere raționale deoarece $9=3^2$ și $121=11^2$.
3. Rădăcina $n$ a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea $n$ a unui număr întreg. De exemplu, $\sqrt(8)$ este un număr rațional, deoarece 8$=2^3$.

Numerele raționale sunt dense peste tot pe axa numerelor: între fiecare două numere raționale care nu sunt egale între ele, poate fi localizat cel puțin un număr rațional (deci, un număr infinit de numere raționale). În același timp, mulțimea numerelor raționale este caracterizată de o cardinalitate numărabilă (adică toate elementele mulțimii pot fi numerotate). Grecii antici au demonstrat că există numere care nu pot fi scrise ca fracție. Ei au arătat că nu există un număr rațional al cărui pătrat este egal cu $2$. Atunci numerele raționale nu au fost suficiente pentru a exprima toate mărimile, ceea ce a dus mai târziu la apariția numerelor reale. Mulțimea numerelor raționale, spre deosebire de numerele reale, este zero-dimensională.

Numere rationale

sferturi

1. Ordine. Ași b există o regulă care vă permite să identificați în mod unic între ele una și doar una dintre cele trei relații: „< », « >' sau ' = '. Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive Ași b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ și b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   însumarea fracțiilor

2. operatie de adaugare. Pentru orice numere raționale Ași b există un așa-zis regula de însumare c. Cu toate acestea, numărul în sine c numit sumă numerele Ași bși se notează , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula de însumare are următoarea formă: .
3. operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale Ași b există un așa-zis regula înmulțirii, care le pune în corespondență cu un număr rațional c. Cu toate acestea, numărul în sine c numit muncă numerele Ași bși se notează , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii este următoarea: .
4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bși c dacă A mai mici bși b mai mici c, apoi A mai mici c, si daca A egală bși b egală c, apoi A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Suma nu se schimbă din schimbarea locurilor termenilor raționali.
5. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
6. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este însumat.
7. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care, însumat, dă 0.
8. Comutativitatea înmulțirii. Prin schimbarea locurilor factorilor raționali, produsul nu se schimbă.
9. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
10. Prezența unei unități. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
11. Prezența reciprocelor. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care, înmulțit, dă 1.
12. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este în concordanță cu operația de adunare prin legea distribuției:
13. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor va depăși A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu sunt evidențiate ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi demonstrate pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția lui. vreun obiect matematic. Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să cităm doar câteva dintre ele.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Setați numărătoarea

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să se dea un algoritm care să enumere numerele raționale, adică să stabilească o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi este următorul. Se întocmește un tabel infinit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a cărei coloană este o fracțiune. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate de la unu. Celulele din tabel sunt notate , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este gestionat de un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată de primul meci.

În procesul unei astfel de ocolire, fiecare număr rațional nou este atribuit următorului număr natural. Adică, fracțiilor 1 / 1 li se atribuie numărul 1, fracțiilor 2 / 1 - numărul 2 etc. Trebuie remarcat că numai fracțiile ireductibile sunt numerotate. Semnul formal al ireductibilității este egalitatea la unitate a celui mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției.

Urmând acest algoritm, se pot enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor de stabilit o bijecție între mulțimile numerelor raționale pozitive și negative, pur și simplu atribuind fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare nedumerire, deoarece la prima vedere se are impresia că este mult mai mare decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, acesta nu este cazul și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Insuficiența numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu este exprimată prin niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n se pot măsura cantităţi arbitrar mici. Acest fapt creează o impresie înșelătoare că numerele raționale pot măsura orice distanțe geometrice în general. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Note

Literatură

• I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M.: cap. ed. Fiz.-Matematică. aprins. ed. „Știință”, 1977
• I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

Legături

Fundația Wikimedia. 2010 .