Sarcina 3.2.1

Determinați rezultanta a două forțe F 1 \u003d 50N și F 2 \u003d 30N, formând un unghi de 30 ° între ele (Fig. 3.2a).

Figura 3.2

Transferăm vectorii forță F 1 și F 2 în punctul de intersecție al dreptelor de acțiune și îi adunăm conform regulii paralelogramului (Fig. 2.2b). Punctul de aplicare și direcția rezultantei sunt prezentate în figură. Modulul rezultatului rezultat este determinat de formula:

Răspuns: R=77,44N

Sarcina 3.2.2

Să se determine rezultanta sistemului de forțe convergente F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, dacă se cunosc unghiurile formate de vectorii acestor forțe cu axa Ox: α 1 =30 °, α 2 = 45 ° și α 3 =60 ° ( fig.3.3a)

Figura 3.3

Proiectăm forțele pe axele Ox și Oy:

Modulul rezultat

Pe baza proiecțiilor obținute, determinăm direcția rezultantei (Fig. 3.3b)

Răspuns: R=44,04N

Sarcina 3.2.3

În punctul de legătură a două filete se aplică o forță verticală P = 100N (Fig. 3.4a). Determinați forțele în filete, dacă în echilibru unghiurile formate de filete cu axa OY sunt egale cu α=30°, β=75°.

Figura 3.4

Forțele de întindere ale filetelor vor fi direcționate de-a lungul filetelor din nodul de legătură (Fig. 3.4b). Sistemul de forţe T 1 , T 2 , P este un sistem de forţe convergente, deoarece liniile de acţiune ale forţelor se intersectează la joncţiunea firelor. Condiția de echilibru pentru acest sistem:

Compunem ecuații analitice pentru echilibrul unui sistem de forțe convergente, proiectând o ecuație vectorială pe axă.

Rezolvam sistemul de ecuatii obtinut. Din primul exprimăm T 2 .

Înlocuiți expresia rezultată în a doua și determinați T 1 și T 2 .

H,

Să verificăm soluția din condiția ca modulul P' al sumei forțelor T 1 și T 2 să fie egal cu P (Fig. 3.4c).

Răspuns: T 1 \u003d 100N, T 2 \u003d 51,76N.

Sarcina 3.2.4

Determinați rezultanta sistemului de forțe convergente dacă sunt date modulele lor F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N și unghiul α=60 ° (Fig. 3.5a).

Figura 3.5

Determinăm proiecțiile rezultantei

Modulul rezultat:

Pe baza proiecțiilor obținute, determinăm direcția rezultantei (Fig. 3.5b)

Răspuns: R=27,17N

Sarcina 3.2.6

Trei tije AC, BC, DC sunt conectate pivotant în punctul C. Determinați forțele din tije dacă sunt date forța F=50N, unghiul α=60° și unghiul β=75°. Forța F este în planul Oyz. (fig.3.6)

Figura 3.6

Inițial, presupunem că toate tijele sunt întinse, respectiv, direcționăm reacțiile în tijele din nodul C. Sistemul rezultat N 1 , N 2 , N 3 , F este un sistem de forțe convergente. Condiția de echilibru pentru acest sistem.

Pentru a răspunde la această întrebare, este necesar să tragem câteva concluzii din starea problemei:

1. Direcția acestor forțe;
2. Valoarea modulară a forțelor F1 și F2;
3. Aceste forțe pot crea o astfel de forță rezultantă pentru a muta căruciorul de la locul său?

Direcția forțelor

Pentru a determina principalele caracteristici ale mișcării unui cărucior sub influența a două forțe, este necesar să se cunoască direcția acestora. De exemplu, dacă un cărucior este tras la dreapta de o forță egală cu 5 N și aceeași forță trage căruciorul spre stânga, atunci este logic să presupunem că căruciorul va sta nemișcat. Dacă forțele sunt co-dirijate, pentru a găsi forța rezultantă, este necesar doar să găsim suma lor. Dacă orice forță este îndreptată într-un unghi față de planul de mișcare al căruciorului, atunci valoarea acestei forțe trebuie înmulțită cu cosinusul unghiului dintre direcția forței și plan. Din punct de vedere matematic, va arăta astfel:

F = F1 * cosa; Unde

F este forța îndreptată paralel cu suprafața de mișcare.

Teorema cosinusului pentru găsirea vectorului forță rezultat

Dacă două forțe își au originea într-un punct și există un anumit unghi între direcția lor, atunci este necesar să se completeze triunghiul cu vectorul rezultat (adică cel care leagă capetele vectorilor F1 și F2). Găsim forța rezultată folosind teorema cosinusului, care afirmă că pătratul oricărei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale triunghiului minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului. între ele. Să scriem asta în formă matematică:

F \u003d F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.

Înlocuind toate valorile cunoscute, puteți determina mărimea forței rezultate.

Conținutul articolului

STATICĂ, ramură a mecanicii, al cărei subiect sunt corpuri materiale care se află în repaus sub acțiunea forțelor externe asupra lor. În sensul larg al cuvântului, statica este teoria echilibrului oricăror corpuri - solide, lichide sau gazoase. Într-un sens mai restrâns, acest termen se referă la studiul echilibrului corpurilor rigide, precum și al corpurilor flexibile care nu se întind - cabluri, curele și lanțuri. Echilibrul solidelor deformabile este considerat în teoria elasticității, iar echilibrul lichidelor și gazelor - în hidroaeromecanică.
Cm. HIDROAEROMECANICA.

Referință istorică.

Statica este cea mai veche ramură a mecanicii; unele dintre principiile sale erau deja cunoscute de vechii egipteni și babilonieni, așa cum o dovedesc piramidele și templele pe care le-au construit. Printre primii creatori ai staticii teoretice a fost Arhimede (c. 287–212 î.Hr.), care a dezvoltat teoria efectului de pârghie și a formulat legea de bază a hidrostaticii. Strămoșul staticii moderne a fost olandezul S. Stevin (1548–1620), care în 1586 a formulat legea adunării forțelor sau regula paralelogramului și a aplicat-o în rezolvarea unei serii de probleme.

Legile fundamentale.

Legile staticii decurg din legile generale ale dinamicii ca un caz special când vitezele corpurilor rigide tind spre zero, dar din motive istorice și considerații pedagogice, statica este adesea prezentată independent de dinamică, bazându-se pe următoarele legi și principii postulate. : a) legea adunării forţelor, b) principiul echilibrului şi c) principiul acţiunii şi reacţiei. În cazul corpurilor rigide (mai precis, în mod ideal corpuri rigide care nu se deformează sub acţiunea forţelor), se introduce un alt principiu bazat pe definirea unui corp rigid. Acesta este principiul transferabilității forței: starea unui corp rigid nu se schimbă atunci când punctul de aplicare al forței se mișcă de-a lungul liniei de acțiune a acestuia.

Forța ca vector.

În statică, o forță poate fi considerată ca o forță de tragere sau de împingere care are o anumită direcție, magnitudine și punct de aplicare. Din punct de vedere matematic, acesta este un vector și, prin urmare, poate fi reprezentat ca un segment de linie dreaptă direcționată, a cărui lungime este proporțională cu mărimea forței. (Mărimile vectoriale, spre deosebire de alte cantități care nu au direcție, sunt notate cu litere aldine.)

Paralelogram de forțe.

Luați în considerare corpul (Fig. 1, A) asupra carora actioneaza fortele F 1 și F 2 aplicat în punctul O și reprezentat în figură prin segmente dirijate OAși OB. După cum arată experiența, acțiunea forțelor F 1 și F 2 este echivalent cu o putere R, reprezentat printr-un segment OC. Mărimea forței R este egală cu lungimea diagonalei paralelogramului construit pe vectori OAși OB cum părțile sale; direcția sa este prezentată în fig. unu, A. Forta R numită forță rezultantă F 1 și F 2. Matematic, aceasta este scrisă ca R = F 1 + F 2, unde adăugarea este înțeleasă în sensul geometric al cuvântului indicat mai sus. Aceasta este prima lege a staticii, numită regula paralelogramului de forțe.

Forță echilibrată.

În loc să construiți un paralelogram OACB, pentru a determina direcția și magnitudinea rezultantei R se poate construi triunghiul OAC prin translația vectorului F 2 paralel cu sine până când punctul său de început (fostul punct O) coincide cu punctul final (punctul A) al vectorului OA. Latura finală a triunghiului OAC va avea în mod evident aceeași mărime și aceeași direcție ca vectorul R(Fig. 1, b). Această metodă de găsire a rezultantei poate fi generalizată la un sistem de multe forțe F 1 , F 2 ,..., F n aplicat în acelaşi punct O al corpului considerat. Deci, dacă sistemul este format din patru forțe (Fig. 1, în), atunci puteți găsi rezultanta forțelor F 1 și F 2, pliați-l cu forță F 3, apoi adăugați noua rezultată cu forța F 4 și, ca urmare, obțineți rezultatul total R. Rezultat R, găsit printr-o astfel de construcție grafică, este reprezentat de latura de închidere a poligonului de forță OABCD (Fig. 1, G).

Definiția rezultantei dată mai sus poate fi generalizată la sistemul de forțe F 1 , F 2 ,..., F n aplicat în punctele O 1 , O 2 ,..., O n ale corpului rigid. Se alege un punct O, numit punct de reducere, și în el este construit un sistem de forțe transferate paralel, egale ca mărime și direcție cu forțele. F 1 , F 2 ,..., F n. Rezultat R acești vectori transferați paralel, adică vectorul reprezentat de latura de închidere a poligonului de forţe se numeşte rezultanta forţelor care acţionează asupra corpului (fig. 2). Este clar că vectorul R nu depinde de punctul de reducere ales. Dacă mărimea vectorului R(segmentul ON) nu este egal cu zero, atunci corpul nu poate fi în repaus: în conformitate cu legea lui Newton, orice corp asupra căruia acționează o forță trebuie să se miște cu accelerație. Astfel, un corp poate fi în echilibru numai dacă rezultanta tuturor forțelor aplicate lui este zero. Cu toate acestea, această condiție necesară nu poate fi considerată suficientă - un corp se poate mișca atunci când rezultanta tuturor forțelor aplicate acestuia este egală cu zero.

Ca exemplu simplu, dar important pentru a clarifica ceea ce s-a spus, luați în considerare o tijă rigidă subțire de lungime l, a cărui greutate este neglijabilă în comparație cu mărimea forțelor aplicate acestuia. Lasă două forțe să acționeze asupra tijei Fși -F aplicată la capete, egală ca mărime, dar direcționată opus, așa cum se arată în Fig. 3, A. În acest caz, rezultatul R este egal cu F – F= 0, dar tija nu va fi în echilibru; evident, se va roti în jurul punctului său mijlociu O. Sistemul a două forțe egale, dar direcționate opus, care nu acționează într-o singură linie dreaptă, este o „pereche de forțe”, care poate fi caracterizată prin produsul mărimii forței. F pe umăr" l. Semnificația unui astfel de produs poate fi arătată de următorul raționament, care ilustrează regula pârghiei derivată de Arhimede și duce la concluzia despre starea echilibrului rotațional. Luați în considerare o tijă rigidă omogenă ușoară care se poate roti în jurul unei axe în punctul O, asupra căreia acționează forța F 1 aplicat la distanta l 1 din axă, așa cum se arată în fig. 3, b. Sub forță F 1 tija se va roti în jurul punctului O. După cum puteți vedea cu ușurință din experiență, rotația unei astfel de tije poate fi împiedicată prin aplicarea unei anumite forțe. F 2 la acea distanta l 2 pentru a satisface egalitatea F 2 l 2 = F 1 l 1 .

Astfel, rotația poate fi prevenită în nenumărate moduri. Este important doar să alegeți forța și punctul de aplicare a acesteia, astfel încât produsul forței pe umăr să fie egal cu F 1 l unu . Aceasta este regula efectului de pârghie.

Nu este dificil să se obțină condițiile de echilibru pentru sistem. Acțiunea forțelor F 1 și F 2 pe axă provoacă o reacție sub forma unei forțe de reacție R, aplicat în punctul O și direcționat opus forțelor F 1 și F 2. Conform legii mecanicii despre acțiune și reacție, amploarea reacției R egală cu suma forțelor F 1 + F 2. Prin urmare, rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra sistemului este egală cu F 1 + F 2 + R= 0, astfel încât condiția de echilibru necesară de mai sus este îndeplinită. Forta F 1 creează un cuplu în sensul acelor de ceasornic, adică moment de putere F 1 l 1 despre punctul O, care este echilibrat de un moment în sens invers acelor de ceasornic F 2 l 2 puterea F 2. Evident, condiția de echilibru a corpului este egalitatea cu zero a sumei algebrice a momentelor, ceea ce exclude posibilitatea de rotație. Dacă puterea F acţionează asupra tijei în unghi q, după cum se arată în fig. 4, A, atunci această forță poate fi reprezentată ca suma a două componente, dintre care una ( F p), valoare F cos q, actioneaza paralel cu tija si este echilibrata de reactia suportului - F p, iar celălalt ( F n) F păcat qîndreptată în unghi drept față de pârghie. În acest caz, cuplul este Fl păcat q; poate fi echilibrat de orice forță care creează un moment egal care acționează în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a ușura luarea în considerare a semnelor momentelor în cazurile în care asupra corpului acționează foarte multe forțe, momentul forței F relativ la orice punct O al corpului (Fig. 4, b) poate fi considerat ca un vector L egal cu produsul vectorial r ґ F vector de poziție r pentru putere F. Prin urmare, L = rґ F. Este ușor de arătat că dacă un sistem de forțe aplicat în punctele O 1 , O 2 ,..., O n (Fig. 5) acţionează asupra unui corp rigid, atunci acest sistem poate fi înlocuit cu rezultanta R forte F 1 , F 2 ,..., F n aplicat în orice punct Oў al corpului și o pereche de forțe L, al cărui moment este egal cu suma [ r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n ґ F n]. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să aplicați mental în punctul Oў un sistem de perechi de forțe egale, dar direcționate în mod opus. F 1 și - F 1 ; F 2 și - F 2 ;...; F n și - F n , care evident nu schimbă starea corpului rigid.

Purtat F 1 aplicat în punctul O 1 , iar forța - F 1 , aplicate în punctul Oў, formează o pereche de forțe, al căror moment relativ la punctul Oў este egal cu r 1 ґ F unu . Tocmai aceeași putere F 2 și - F 2 aplicat în punctele O 2 și, respectiv, Oў, formează o pereche cu moment r 2 ґ F 2, etc. Moment total L a tuturor acestor perechi în raport cu punctul Oў este dată de egalitatea vectorială L = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r n ґ F n]. Forțele rămase F 1 , F 2 ,..., F n , aplicat în punctul Oў, în total dăm rezultanta R. Dar sistemul nu poate fi în echilibru dacă cantitățile Rși L sunt diferite de zero. În consecință, condiția de egalitate la zero în același timp a cantităților Rși L este o condiție necesară pentru echilibru. Se poate arăta că este suficient și dacă organismul este inițial în repaus. Astfel, problema echilibrului se reduce la două condiții analitice: R= 0 și L= 0. Aceste două ecuații reprezintă notația matematică a principiului echilibrului.

Prevederile teoretice ale staticii sunt utilizate pe scară largă în analiza forțelor care acționează asupra structurilor și structurilor. În cazul unei distribuții continue a forțelor, sumele care dau momentul rezultat L si rezultanta R, sunt înlocuite cu integrale și în conformitate cu metodele uzuale de calcul integral.

Adesea, nu una, ci mai multe forțe acționează simultan asupra corpului. Luați în considerare cazul când două forțe ( și ) acţionează asupra corpului. De exemplu, un corp care se sprijină pe o suprafață orizontală este afectat de gravitație () și de reacția de susținere a suprafeței () (Fig. 1).

Aceste două forțe pot fi înlocuite cu una, care se numește forță rezultantă (). Găsiți-l ca sumă vectorială a forțelor și:

Determinarea rezultantei a două forțe

DEFINIȚIE

Rezultanta a doua forte numită forță care produce asupra unui corp un efect similar cu acțiunea a două forțe separate.

Rețineți că acțiunea fiecărei forțe nu depinde de faptul dacă există sau nu alte forțe.

A doua lege a lui Newton pentru rezultanta a doua forte

Dacă două forțe acționează asupra corpului, atunci scriem a doua lege a lui Newton ca:

Direcția rezultantei coincide întotdeauna în direcția cu direcția de accelerație a corpului.

Aceasta înseamnă că dacă două forțe () acționează asupra unui corp în același timp, atunci accelerația () a acestui corp va fi direct proporțională cu suma vectorială a acestor forțe (sau proporțională cu forțele rezultante):

M este masa corpului considerat. Esența celei de-a doua legi a lui Newton este că forțele care acționează asupra corpului determină modul în care se modifică viteza corpului, și nu doar mărimea vitezei corpului. Rețineți că a doua lege a lui Newton este valabilă exclusiv în cadrele de referință inerțiale.

Rezultanta a două forțe poate fi egală cu zero dacă forțele care acționează asupra corpului sunt direcționate în direcții diferite și sunt egale în valoare absolută.

Aflarea valorii rezultantei a două forțe

Pentru a găsi rezultatul, este necesar să se înfățișeze pe desen toate forțele care trebuie luate în considerare în problema care acționează asupra corpului. Forțele trebuie adăugate conform regulilor de adunare vectorială.

Să presupunem că asupra corpului acționează două forțe, care sunt direcționate de-a lungul unei linii drepte (Fig. 1). Din figură se poate observa că acestea sunt direcționate în direcții diferite.

Rezultanta forțelor () aplicate corpului va fi egală cu:

Pentru a găsi modulul forțelor rezultante, alegem o axă, o notăm X, o direcționăm de-a lungul direcției forțelor. Apoi, proiectând expresia (4) pe axa X, obținem că valoarea (modulul) rezultantei (F) este egală cu:

unde sunt modulele forţelor corespunzătoare.

Imaginează-ți că două forțe acționează asupra corpului și sunt îndreptate sub un anumit unghi una față de cealaltă (Fig. 2). Rezultanta acestor forțe se găsește prin regula paralelogramului. Valoarea rezultantei va fi egală cu lungimea diagonalei acestui paralelogram.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Exercițiu	Un corp cu masa de 2 kg este deplasat vertical în sus de un fir, în timp ce accelerația lui este de 1. Care este mărimea și direcția forței rezultante? Ce forțe sunt aplicate corpului?
Decizie	Forța gravitației () și forța de reacție a firului () sunt aplicate corpului (Fig. 3). Rezultanta forțelor de mai sus poate fi găsită folosind a doua lege a lui Newton: În proiecție pe axa X, ecuația (1.1) ia forma: Să calculăm mărimea forței rezultante:
Răspuns	H, forța rezultantă este direcționată în același mod ca și accelerația mișcării corpului, adică vertical în sus. Există două forțe care acționează asupra corpului.

Rezultat.Știți deja că două forțe se echilibrează reciproc atunci când sunt egale ca mărime și sunt direcționate opus. Astfel, de exemplu, forța gravitației și forța de reacție normală care acționează asupra unei cărți întinse pe masă. În acest caz, rezultanta celor două forțe se spune că este zero. În cazul general, rezultanta a două sau mai multe forțe este forța care produce același efect asupra corpului ca acțiunea simultană a acestor forțe.

Luați în considerare prin experiență cum să găsiți rezultanta a două forțe direcționate de-a lungul unei linii drepte.

Să punem experiență

Să punem un bloc ușor pe o suprafață netedă orizontală a mesei (astfel încât frecarea dintre bloc și suprafața mesei să poată fi neglijată). Vom trage bara spre dreapta folosind un dinamometru și spre stânga - folosind două dinamometre, așa cum se arată în Fig. 16.3. Vă rugăm să rețineți că dinamometrele din stânga sunt atașate la bară, astfel încât forțele de întindere ale arcurilor acestor dinamometre să fie diferite.

Orez. 16.3. Cum puteți găsi rezultanta a două forțe

Vom vedea că un bloc este în repaus dacă modulul forței care îl trage spre dreapta este egal cu suma modulelor forțelor care trag blocul spre stânga. Schema acestui experiment este prezentată în Fig. 16.4.

Orez. 16.4. Reprezentarea schematică a forțelor care acționează asupra barei

Forța F 3 echilibrează rezultanta forțelor F 1 și F 2, adică este egală ca valoare absolută și opusă ca direcție. Aceasta înseamnă că rezultanta forțelor F 1 și F 2 este îndreptată spre stânga (ca și aceste forțe), iar modulul său este egal cu F 1 + F 2. Astfel, dacă două forțe sunt direcționate în același mod, rezultanta lor este direcționată în același mod ca aceste forțe, iar modulul rezultantei este egal cu suma modulelor termenilor de forță.

Se consideră forța F 1 . Echilibrează rezultanta forțelor F 2 și F 3 , direcționate opus. Aceasta înseamnă că rezultanta forțelor F 2 și F 3 este îndreptată spre dreapta (adică spre cea mai mare dintre aceste forțe), iar modulul său este egal cu F 3 - F 2. Astfel, dacă două forțe care nu sunt egale în valoare absolută sunt direcționate opus, rezultanta lor este direcționată ca cea mai mare dintre aceste forțe, iar modulul rezultantei este egal cu diferența dintre modulele forțelor mai mari și mai mici.

Găsirea rezultantei mai multor forțe se numește adunarea acestor forțe.

Două forțe sunt direcționate de-a lungul aceleiași linii drepte. Modulul unei forțe este egal cu 1 N, iar modulul altei forțe este egal cu 2 N. Modulul rezultantei acestor forțe poate fi egal cu: a) zero; b) 1 N; c) 2 N; d) 3 N?