Citirea graficului derivatei unei funcții. Citirea graficelor

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției:

Educațional: pentru a consolida abilitățile studenților care lucrează cu grafice de funcție în pregătirea pentru examen.

Dezvoltarea: pentru a dezvolta interesul cognitiv al studenților pentru disciplinele academice, capacitatea de a-și aplica cunoștințele în practică.

Educativ: pentru a cultiva atenția, acuratețea, pentru a extinde orizonturile elevilor.

Echipamente și materiale: calculator, ecran, proiector, prezentare „Lectură grafice. UTILIZARE"

În timpul orelor

1. Sondaj frontal.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Ce se numește graficul unei funcții, domeniul de definiție și domeniul unei funcții? Determinați domeniul de definiție și domeniul de funcții.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Ce funcție se numește proprietăți par, impare ale graficelor acestor funcții?

2. Rezolvarea exercițiilor

1) <Презентация. Слайд 7>.

Funcția periodică. Definiție.

Rezolvați sarcina: dat un grafic al unei funcții periodice, x aparține intervalului [-2;1]. Calculați f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Rezolvarea inegalităților folosind grafice de funcții.

a) Rezolvați inegalitatea f(x) 0 dacă în figură este prezentat graficul funcției y=f(x) dată pe intervalul [-7;6]. Opțiuni de răspuns: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

b) Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x), dat pe segmentul [-4; 7]. Indicați toate valorile lui X pentru care inegalitatea f (x) -1 este satisfăcută.

[-0,5;3], 2) [-0,5;3] U, 3) [-4; 0,5] U+, 4) [-4;0,5]

c) În figura sunt prezentate graficele funcțiilor y=f(x),și y=g(x), date pe intervalul [-3;6]. Indicați toate valorile lui X pentru care inegalitatea f(x) g(x) este satisfăcută

[-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U +, 4) [-3;-1] U

3) <Презентация. Слайд 11>.

Funcții de creștere și scădere

Una dintre figuri prezintă un grafic al unei funcții care crește pe segmentul , cealaltă prezintă o funcție care descrește pe segmentul [-2; 0]. Enumerați aceste imagini.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Funcții exponențiale și logaritmice

a) Care este condiția pentru creșterea și scăderea funcțiilor exponențiale și logaritmice. Prin ce punct trec graficele funcțiilor exponențiale și logaritmice, ce proprietate au graficele acestor funcții?

b) Una dintre figuri arată un grafic al funcției y \u003d 2 -x. Indicați această figură .

Graficul funcției exponențiale trece prin punctul (0, 1) Deoarece baza gradului este mai mică decât 1, această funcție trebuie să fie descrescătoare. (Numărul 3)

c) Una dintre figuri prezintă un grafic al funcției y=log 5 (x-4). Specificați numărul acestei diagrame.

Graficul funcției logaritmice y=log 5 x trece prin punctul (1;0) , atunci dacă x -4 = 1, atunci y=0, x=1+4, x=5. (5;0) – punctul de intersecție a graficului cu axa OX. Dacă x -4 = 5 , atunci y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Aflarea numărului de tangente la graficul unei funcții din graficul derivatei acesteia

a) Funcția y=f(x) este definită pe intervalul (-6;7). Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Toate tangentele paralele cu dreapta y=5-2x (sau care coincid cu aceasta) sunt trasate pe graficul funcției. Specificați numărul de puncte din graficul funcției în care sunt desenate aceste tangente.

K = tga = f'(x o). Prin condiție, k \u003d -2. Prin urmare, f '(x o) \u003d -2. Desenăm o linie dreaptă y \u003d -2. Intersectează graficul în două puncte, ceea ce înseamnă că tangentele la funcție sunt desenate în două puncte.

b) Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-7;3]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Aflați numărul de puncte din graficul funcției y=f(x) unde tangentele la grafic sunt paralele cu axa x sau coincid cu aceasta.

Coeficientul unghiular al liniilor drepte paralele cu axa x sau care coincid cu aceasta este egal cu zero. Prin urmare, K=tg a = f `(x o)=0. Axa OX intersectează acest grafic în patru puncte.

c) Funcția y=f(x) definit pe intervalul (-6;6). Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Aflați numărul de puncte de pe graficul funcției y=f(x), în care tangentele la grafic sunt înclinate la un unghi de 135 o față de direcția pozitivă a axei x.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Aflarea pantei tangentei din graficul derivatei unei funcții

a) Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-2;6]. Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Precizați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mică pantă.

k=tga=f'(x o). Derivata funcției ia cea mai mică valoare y \u003d -3 în punctul x \u003d 2. Prin urmare, tangenta la grafic are cea mai mică pantă în punctul x=2

b) Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-7;3]. Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Precizați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mare coeficient unghiular.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Aflarea valorii derivatei din graficul unei funcții

Figura prezintă un grafic al funcției y \u003d f (x) și o tangentă la aceasta într-un punct cu abscisa x o. Aflați valoarea derivatei f `(x) în punctul x o

f'(xo)=tga. Deoarece în figura a este un unghi obtuz, atunci tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Aflarea minimului (maximului) unei funcții din graficul derivatei sale

La x=4, derivata își schimbă semnul din minus în plus. Deci x=4 este punctul minim al funcției y=f(x)

În punctul x \u003d 1, derivata își schimbă semnul cu plus și minus . Deci x=1 este un punct maxim funcții y=f(x))

3. Munca independentă

<Презентация. Слайд 22>.

1 opțiune

1) Găsiți domeniul de aplicare al funcției.

2) Rezolvați inegalitatea f(x) 0

3) Determinați intervalele funcției descrescătoare.

4) Aflați punctele minime ale funcției.

5) Indicați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mare pantă.

Opțiunea 2

1) Găsiți intervalul funcției.

2) Rezolvați inegalitatea f(x) 0

3) Determinați intervalele funcției crescătoare.

Graficul derivatei funcției y=f(x)

4) Aflați punctele maxime ale funcției.

5) Precizați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mică pantă.

4. Rezumând lecția

Lecție generală pe tema: „Folosirea derivatei și a graficului acesteia pentru a citi proprietățile funcțiilor” Obiectivele lecției: Să dezvolte abilități și abilități specifice de lucru cu graficul derivatei unei funcții pentru utilizarea lor la promovarea examenului; Pentru a forma capacitatea de a citi proprietățile unei funcții în funcție de graficul derivatei sale Pregătiți pentru test

Actualizarea cunoștințelor de referință 3. Relația dintre valorile derivatei, panta tangentei, unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a abscisei axei OX. Dacă derivata este pozitivă, atunci panta este -pozitivă, atunci unghiul de înclinare al tangentei la axa OX este acut. Dacă derivata este negativă, atunci panta este -negativă, atunci unghiul de înclinare al tangentei la axa OX este obtuz. Dacă derivata este zero, atunci panta este zero, atunci tangenta este paralelă cu axa OX

0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește pe acest interval. Dacă f (x) 7 Actualizarea cunoștințelor de bază Semne suficiente ale monotonității funcției. Dacă f (x) > 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește pe acest interval. Dacă f (x) title="(!LANG: Actualizarea cunoștințelor de referință Semne suficiente de monotonitate ale funcției. Dacă f (x) > 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește pe acest interval.Dacă f(x)

Actualizarea cunoștințelor de referință Punctele interne ale domeniului de definire a unei funcții, în care derivata este egală cu zero sau nu există, se numesc puncte critice ale acestei funcții. Numai în aceste puncte funcția poate avea un extremum (minim sau maxim, Fig. 5a, b). În punctele x 1, x 2 (Fig. 5a) și x 3 (Fig. 5b), derivata este 0; în punctele x 1, x 2 (Fig. 5b) derivata nu există. Dar toate sunt puncte extreme. 5. Aplicarea derivatei pentru determinarea punctelor critice, punctelor extreme

Actualizarea cunoștințelor de bază O condiție necesară pentru un extremum. Dacă x 0 este punctul extrem al funcției f(x) și derivata f există în acest punct, atunci f(x 0)=0. Această teoremă este o condiție necesară pentru un extremum. Dacă derivata unei funcții la un moment dat este egală cu 0, atunci aceasta nu înseamnă că funcția are un extremum în acest punct. De exemplu, derivata funcției f (x) = x 3 este egală cu 0 la x = 0, dar această funcție nu are un extrem în acest punct. Pe de altă parte, funcția y = | x | are un minim la x = 0, dar derivata nu există în acel punct. Condiții suficiente pentru un extremum. Dacă derivata, la trecerea prin punctul x 0, își schimbă semnul din plus în minus, atunci x 0 este punctul maxim. Dacă derivata, la trecerea prin punctul x 0, își schimbă semnul din minus în plus, atunci x 0 este punctul minim. 6. Condiții necesare și suficiente pentru un extremum

Actualizarea cunoștințelor de referință Cele mai mici și mai mari valori ale funcției continue f(x) pot fi realizate atât la punctele interne ale segmentului [a; c] și la capetele sale. Dacă aceste valori sunt atinse în punctele interioare ale segmentului, atunci aceste puncte sunt puncte extreme. Prin urmare, este necesar să se găsească valorile funcției la punctele extreme din segmentul [a; c], la capetele segmentului și comparați-le. 7. Folosirea derivatei pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

1. Dezvoltarea cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema Folosind următoarele date date în tabel, caracterizați comportamentul funcției. Cheat sheet pentru lucrări practice х(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Caracteristici de comportare a functiei 1.ODZ: x apartine intervalului de la -3 la +; 2. Crește la intervale (-3; 0) și (8; +); 3. Scade la intervale (0; 8); 4.Х=0 – punct maxim; 5.Х=4 – punct de inflexiune; 6.Х=8 – punct minim; 7.f(0) =-3; f(0)=-5; f(0) = 8;

5. Dezvoltarea cunoștințelor, deprinderilor și abilităților pe tema Funcția y = f(x) este definită și continuă pe segmentul [–6; 6]. Formulați 10 întrebări pentru a determina proprietățile unei funcții conform graficului derivatei y \u003d f "(x) Sarcina dvs. nu este doar să oferiți răspunsul corect, ci să îl argumentați (demonstrați) cu pricepere, folosind definițiile adecvate, proprietăți, reguli.

Lista de întrebări (corectată) 1) numărul de intervale ale funcției crescătoare y = f(x); 2) lungimea intervalului funcției descrescătoare y = f(x); 3) numărul de puncte extreme ale funcției y = f(x); 4) punctul maxim al funcției y = f(x); 5) punctul critic (staționar) al funcției y = f(x), care nu este un punct extremum; 6) abscisa punctului grafic la care funcţia y = f(x) ia cea mai mare valoare pe segment ; 7) abscisa punctului grafic la care funcția y = f(x) ia cea mai mică valoare pe segmentul [–2; 2]; 8) numărul de puncte ale graficului funcției y = f(x), în care tangenta este perpendiculară pe axa OY; 9) numărul de puncte ale graficului funcției y = f(x), în care tangenta formează un unghi de 60° cu direcția pozitivă a axei OX; 10) abscisa punctului graficului funcției y = f(x), în care coeficientul unghiular Răspuns: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) -3; 5) -5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) -2.

Testare (B8 de la examen) 1. Sarcinile de testare sunt prezentate pe diapozitive. 2. Introduceți răspunsurile în tabel. 3. După finalizarea testului, schimbați foile de răspuns, verificați munca vecinului în funcție de rezultatele finale; a evalua. 4. Sarcinile problematice sunt luate în considerare și discutate împreună.

Pe graficul funcției y \u003d f (x) în punctul său cu abscisa x 0 \u003d 2, este trasată o tangentă. Determinați panta tangentei dacă figura prezintă un grafic al derivatei unei funcții date. Funcția y=f(x) este definită pe intervalul (-5;5). Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Găsiți numărul de puncte din graficul funcției unde tangentele sunt paralele cu axa x. unu

Funcția este definită pe intervalul (-5;6). Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Specificați numărul de puncte în care tangentele sunt înclinate la un unghi de 135° față de direcția pozitivă a axei x. Funcția este definită pe intervalul (-6;6). Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Specificați numărul de puncte ale căror tangente sunt înclinate la un unghi de 45° față de direcția pozitivă a axei x.

Funcția y \u003d f (x) este definită pe segmentul [-6; 6]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Specificați numărul de intervale ale funcției crescătoare y = f(x) pe intervalul [-6;6]. Funcția y \u003d f (x) este definită pe segmentul [-5; 5]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Precizați numărul de puncte maxime ale funcției y = f(x) pe intervalul [-5;5].

Funcția y \u003d f (x) este definită pe segment. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Specificați numărul de puncte minime ale funcției y \u003d f (x) pe segment. Funcția y \u003d f (x) este definită pe intervalul [-6; 6]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Specificați numărul de intervale ale funcției descrescătoare y=f(x) pe segmentul [-6;6]. ab

Funcția y \u003d f (x) este definită pe intervalul [-6; 6]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Găsiți intervalele funcției crescătoare y \u003d f (x) pe segmentul [-6; 6]. În răspunsul dvs., indicați cea mai mică dintre lungimile acestor intervale. Funcția y \u003d f (x) este definită pe segmentul [-5; 5]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Găsiți intervalele funcției descrescătoare y \u003d f (x) pe segmentul [-5; 5]. În răspunsul dvs., indicați cea mai mare dintre lungimile acestor intervale.

Funcția y \u003d f (x) este definită pe segmentul [-5; 4]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Determinați cea mai mică dintre acele valori ale lui X în care funcția are un maxim. Funcția y \u003d f (x) este definită pe segmentul [-5; 5]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Determinați cea mai mică dintre acele valori ale lui X în care funcția are un minim.

Funcția y \u003d f (x) este definită pe intervalul (-6,6).Figura arată derivata acestei funcții. Găsiți punctul minim al funcției. Funcția y \u003d f (x) este definită pe intervalul (-6,7).Figura arată derivata acestei funcții. Găsiți punctul maxim al funcției.

Soluția sarcinii 19 Folosind graficul derivatei funcției y = f (x), găsiți valoarea funcției în punctul x = 5, dacă f (6) = 8 =3x+b. Valoarea funcției în punctul de contact este aceeași cu valoarea tangentei. După condiția f(6) = 8 8=3 6 + b b = -10 f(5) =3 5 -10 = 5 Răspuns: 5

Rezumarea lecției Am luat în considerare relația dintre monotonitatea unei funcții și semnul derivatei sale și condiții suficiente pentru existența unui extremum. Am avut în vedere diverse sarcini de citire a graficului derivatei unei funcții care se regăsesc în textele examenului de stat unificat. Toate sarcinile pe care le-am luat în considerare sunt bune în sensul că nu necesită mult timp pentru a le îndeplini. În timpul examenului de stat unificat, este foarte important să notezi răspunsul rapid și corect.

Temă pentru acasă: o sarcină legată de citirea aceluiași grafic, dar într-un caz este un grafic al unei funcții, iar în celălalt este un grafic al derivatei sale. Funcția y = f(x) este definită și continuă pe intervalul [–6; 5]. În figura se prezintă: a) graficul funcţiei y = f(x); b) graficul derivatei y \u003d f "(x). Din grafic, determinați: 1) punctele minime ale funcției y \u003d f (x); 2) numărul de intervale ale funcției descrescătoare y \u003d f (x); 3) abscisa punctului graficului funcției y \u003d f (x), în care ia cea mai mare valoare pe segment; 4) numărul de puncte ale graficului funcției y = f(x), în care tangenta este paralelă cu axa OX (sau coincide cu aceasta).

Literatură 1. Manual algebră și începutul analizei Clasa a 11-a. CM. Nikolsky, M.K. Potapov şi alţii.Moscova. „Iluminismul” UTILIZAȚI Matematica. Sarcini de testare tipice. 3.Posobie pentru pregătirea intensivă pentru examenul la matematică. Absolvire, introducere, USE la +5. M. Resurse de internet „WAKO”.

Lecție generală pe tema:

„Folosirea derivatei și a graficului acesteia pentru a citi proprietățile unei funcții”

Tip de lecție: o lecție de generalizare folosind TIC sub formă de prezentare.

Obiectivele lecției:

Educational:

Să promoveze asimilarea de către studenți a utilizării derivatului în sarcini practice;

Să-i învețe pe elevi să folosească în mod clar proprietățile unei funcții și ale unei derivate.

În curs de dezvoltare:

Dezvoltați capacitatea de a analiza problema sarcinii și de a trage concluzii;

Dezvoltați abilitățile de a aplica cunoștințele existente în sarcini practice.

Educational:

Creșterea interesului pentru subiect;

Necesitatea acestor abilități teoretice și practice pentru a vă continua studiile.

Obiectivele lecției:

Dezvoltați abilități și abilități specifice de lucru cu un grafic al derivatei unei funcții pentru utilizarea lor la promovarea examenului;

Pregătiți-vă pentru test.

Planul lecției.

1. Actualizarea cunoștințelor de bază (AKB).

2. Dezvoltarea cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema.

3. Testare (B8 de la examen).

4. Verificare reciprocă, notarea „vecinului”.

5. Rezumarea lecțiilor lecției.

Aparatură: clasă computer, tablă, marker, teste (2 opțiuni).

În timpul orelor.

Moment organizatoric.

Profesor . Bună, ia loc.

În cursul studierii temei „Investigarea funcțiilor folosind derivata”, s-au format abilitățile de a găsi punctele critice ale unei funcții, o derivată, de a determina proprietățile unei funcții cu ajutorul acesteia și de a construi graficul acesteia. Astăzi vom analiza acest subiect dintr-un unghi diferit: cum să determinăm proprietățile funcției în sine prin graficul derivatei unei funcții. Sarcina noastră: să învățăm să navigăm într-o varietate de sarcini legate de graficele funcțiilor și derivatele acestora.

În pregătirea examenului de matematică în KIM-uri, au fost date sarcini pentru utilizarea graficului derivat pentru studiul funcțiilor. Prin urmare, în această lecție, trebuie să ne sistematizăm cunoștințele pe această temă și să învățăm cum să găsim rapid răspunsuri la întrebările sarcinilor B8.

Slide numărul 1.

Subiect: „Aplicarea derivatei și a graficului său pentru a citi proprietățile funcțiilor”

Obiectivele lecției:

Dezvoltarea ZUN a utilizării derivatei, a semnificației sale geometrice și a graficului derivatei pentru a determina proprietățile funcțiilor.

Dezvoltarea eficienței în efectuarea testelor USE.

Educarea unor trăsături de personalitate precum atenția, capacitatea de a lucra cu text, capacitatea de a lucra cu un grafic al derivatului

2. Actualizarea cunoștințelor de bază (AKB). Slide-urile de la #4 la #10.

Întrebările vor apărea acum pe ecran pentru repetare. Sarcina ta: să dai un răspuns clar și concis la fiecare articol. Corectitudinea răspunsului dumneavoastră poate fi verificată pe ecran.

( Întrebarea apare mai întâi pe ecran, după răspunsurile elevilor, răspunsul corect apare pentru verificare.)

Lista de întrebări pentru AOP.

Definiția unui derivat.

Sensul geometric al derivatului.

Relația dintre valorile derivatei, panta tangentei, unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei OX.

Aplicarea derivatei pentru a găsi intervale de monotonitate ale unei funcții.

Aplicarea derivatei pentru determinarea punctelor critice, punctelor extreme

6 .Condiții necesare și suficiente pentru un extremum

7 . Aplicarea unei derivate pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

(Elevii răspund la fiecare item, însoțindu-și răspunsurile cu note și desene pe tablă. Cu răspunsuri eronate și incomplete, colegii le corectează și le completează. După ce elevii răspund, pe ecran apare răspunsul corect. Astfel, elevii pot determina imediat corectitudinea a răspunsului lor.)

3. Dezvoltarea cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema. Slide-urile de la #11 la #15.

Studenților li se oferă teme de la KIM-urile Examenului de stat unificat la matematică din anii trecuți, de pe site-uri de pe Internet despre utilizarea derivatei și a graficului acestuia pentru a studia proprietățile funcțiilor. Sarcinile apar secvenţial. Elevii își scriu soluțiile pe tablă sau verbal. Apoi soluția corectă apare pe diapozitiv și este verificată cu soluția elevilor. Dacă se face o greșeală în decizie, atunci aceasta este analizată de întreaga clasă.

Slide #16 și #17.

Mai departe în clasă, este recomandabil să luați în considerare sarcina cheie: conform graficului derivatului, elevii trebuie să vină cu (desigur, cu ajutorul profesorului) diverse întrebări legate de proprietățile funcției în sine. Desigur, aceste probleme sunt discutate, dacă este necesar, corectate, rezumate, înregistrate într-un caiet, după care începe etapa de rezolvare a acestor sarcini. Aici este necesar să ne asigurăm că elevii nu numai că dau răspunsul corect, ci sunt capabili să-l argumenteze (demonstreze), folosind definițiile, proprietățile, regulile adecvate.

Testare (B8 de la examen). Slides de la numărul 18 la numărul 29. Slide numărul 30 - cheile testului.

Profesor : Așadar, v-am rezumat cunoștințele pe această temă: am repetat proprietățile de bază ale derivatei, am rezolvat probleme legate de graficul derivatelor, am analizat aspectele complexe și problematice ale utilizării derivatei și graficului derivatei pentru a studia proprietățile funcțiilor.

Acum vom testa în 2 opțiuni. Sarcinile vor apărea pe ecran ambele opțiuni, simultan. Studiezi întrebarea, găsești răspunsul, îl introduci în foaia de răspuns. După finalizarea testului, faceți schimb de formulare și verificați munca unui vecin în funcție de răspunsuri gata făcute. Evaluare(până la 10 puncte - "2", de la 11 la 15 puncte - "3", de la 16 la 19 puncte - "4", mai mult de 19 puncte - "5".).

Rezumând lecția

Am luat în considerare relația dintre monotonitatea unei funcții și semnul derivatei acesteia și condiții suficiente pentru existența unui extremum. Am avut în vedere diverse sarcini de citire a graficului derivatei unei funcții care se regăsesc în textele examenului de stat unificat. Toate sarcinile pe care le-am luat în considerare sunt bune în sensul că nu necesită mult timp pentru a le îndeplini.

În timpul examenului de stat unificat, este foarte important să notezi răspunsul rapid și corect.

Trimiteți foile de răspuns. Nota la lecție vă este deja cunoscută și va fi trecută în jurnal.

Cred că clasa este pregătită pentru test.

Temele vor fi creative . diapozitivul numărul 33 .

Tema: Repetarea generală a cursului de matematică. Pregătirea examenului

Lecția: Citirea unui grafic de funcții. Rezolvarea problemelor B2

1. Explicarea conceptului de grafic, tehnica citirii

În viața noastră, graficele sunt destul de comune, luăm, de exemplu, o prognoză meteo, care este prezentată ca un grafic al modificărilor oricăror indicatori, de exemplu, temperatura sau puterea vântului în timp. Nu ne gândim de două ori când citim acest grafic, chiar dacă poate fi prima lectură a unui grafic din viața noastră. De asemenea, puteți oferi un exemplu de grafic al modificărilor cursurilor de schimb în timp și multe alte exemple.

Deci, primul grafic pe care îl vom lua în considerare.

Orez. 1. Ilustrația grafică 1

După cum puteți vedea, graficul are 2 axe. Axa orientată spre dreapta (orizontală) se numește axă . Axa care se uită în sus (verticală) se numește axă .

Mai întâi, să aruncăm o privire asupra axei. Pe acest grafic, de-a lungul acestei axe, este reprezentat numărul de rotații pe minut pentru un anumit motor de automobile. Poate fi egal etc. Există și diviziuni pe această axă, unele dintre ele sunt indicate prin numere, altele sunt intermediare și nemarcate. Este ușor de ghicit că prima diviziune de la zero este, a treia este etc.

Acum să aruncăm o privire asupra axei. Pe acest grafic, de-a lungul acestei axe, sunt reprezentate valorile numerice ale valorii Newton pe metru (), valorile cuplului egale etc.. În acest caz, valoarea diviziunii este .

Acum să ne întoarcem la funcția în sine (la linia care este prezentată pe diagramă). După cum puteți vedea, această linie reflectă câți Newtoni pe metru, adică ce cuplu, vor fi la o anumită valoare a rotațiilor motorului pe minut. Dacă luăm valoarea de 1000 rpm. iar din acest punct din grafic vom merge spre stânga, apoi vom vedea că linia trece prin punctul 20, adică valoarea cuplului la 1000 rpm va fi egală cu (Figura 2.2).

Dacă luăm valoarea de 2000 rpm, atunci linia va trece deja în punctul (Figura 2.2).

Orez. 2. Determinarea cuplului prin numărul de rotații pe minut

2. Conceptul de valori maxime și minime, metoda de găsire a valorilor maxime și minime ale funcției conform programului

Acum imaginați-vă că sarcina noastră este să găsim cea mai mare valoare din acest grafic. Căutăm cel mai înalt punct (), respectiv, cea mai mică valoare a cuplului din acest grafic va fi considerată 0. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției pe grafic, trebuie să luați în considerare cea mai mare valoare pe care o atinge funcția. axa verticală. Ne uităm la care valoare este cea mai mare și ne uităm pe axa verticală la care va fi cel mai mare număr obținut. Dacă vorbim despre cea mai mică valoare, atunci luăm, dimpotrivă, punctul cel mai de jos și ne uităm la valoarea sa de-a lungul axei verticale.

Orez. 3. Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției conform graficului

Cea mai mare valoare în acest caz este , iar cea mai mică valoare, respectiv, este 0. Este important să nu confundați și să indicați corect valoarea maximă, unii indică valoarea maximă de 4000 rpm, aceasta nu este cea mai mare valoare, ci punctul la care se ia cea mai mare valoare (punct maxim), cea mai mare valoare este exact .

De asemenea, ar trebui să acordați atenție axei verticale, unităților sale de măsură, adică, de exemplu, dacă în loc de Newtoni pe metru () ar fi indicați sute de Newtoni pe metru (), valoarea maximă ar trebui înmulțită cu unu o sută etc.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții sunt foarte strâns legate de derivata funcției.

3. Informații suplimentare despre derivata unei funcții

Dacă funcția crește pe segmentul luat în considerare, atunci derivata funcției pe acest segment este pozitivă sau egală cu zero la un număr finit de puncte, cel mai adesea pur și simplu pozitivă. În mod similar, dacă funcția scade pe segmentul luat în considerare, atunci derivata funcției pe acest segment este negativă sau egală cu zero la un număr finit de puncte. Afirmația inversă este adevărată în ambele cazuri.

4. Rezolvarea exemplelor cu o constrângere de-a lungul axei OX

Următorul exemplu are unele dificultăți cu constrângerea pe axa orizontală. Este necesar să găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare pe segmentul specificat.

Graficul arată modificarea temperaturii în timp. Pe axa orizontală vedem timpul și zilele, iar pe axa verticală vedem temperatura. Este necesar să se determine cea mai mare temperatură a aerului pe 22 ianuarie, adică trebuie să luăm în considerare nu întregul grafic, ci partea referitoare la 22 ianuarie, adică de la 00:00 la 22 ianuarie până la 00:00 la 23 ianuarie.

Orez. 4. Graficul schimbării temperaturii

Prin limitarea graficului, devine evident pentru noi că temperatura maximă corespunde punctului .

5. Un exemplu suplimentar, o sarcină de la examen

Este stabilit un program de schimbări de temperatură pentru trei zile. Pe axa bou - ora zilei și ziua lunii, pe axa oy - valoarea temperaturii aerului în grade Celsius.

Trebuie să luăm în considerare nu întregul program, ci partea referitoare la 13 iulie, adică de la 00:00 la 13 iulie până la 00:00 la 14 iulie.

Orez. 5. Ilustrație pentru un exemplu suplimentar

Dacă nu introduceți restricțiile descrise mai sus, puteți obține un răspuns incorect, dar pe un interval dat, valoarea maximă este evidentă: , și este atinsă la ora 12:00 pe 13 iulie.

6. Rezolvarea altor exemple de citire a graficului unei funcții

Exemplul 3: determinați la ce dată au căzut pentru prima dată cinci milimetri de precipitații:

Graficul arată cantitatea zilnică de precipitații în Kazan în perioada 3 februarie - 15 februarie 1909. Zilele lunii sunt reprezentate orizontal, iar cantitatea de precipitații în milimetri este reprezentată vertical.

Orez. 6. Precipitații zilnice

Să începem în ordine. Pe 3, vedem că a căzut puțin mai mult de 0, dar mai puțin de 1 mm. precipitații, 4 mm de precipitații au căzut în a 4-a etc. Pentru prima dată, numărul 5 apare în a 11-a zi. Pentru comoditate, a fost posibil să se tragă practic o linie dreaptă opusă celor cinci, pentru prima dată va trece graficul exact pe 11 februarie, acesta este răspunsul corect.

Exemplul 4: Stabiliți în ce zi prețul unei uncie de aur a fost cel mai mic

Graficul arată prețul aurului la închiderea tranzacționării pentru fiecare zi din 5 martie până în 28 martie 1996. Zilele lunii sunt reprezentate orizontal, iar zilele lunii sunt reprezentate vertical.

respectiv, prețul unei uncie de aur în dolari SUA.

Liniile dintre puncte sunt trasate doar pentru claritate, informațiile sunt purtate exclusiv de punctele în sine.

Orez. 7. Graficul modificărilor prețului aurului la bursă

7. Rezolvarea unui exemplu suplimentar

Exemplu suplimentar: determinați în ce punct al segmentului funcția ia cea mai mare valoare:

Derivata unei functii este data pe grafic.

Orez. 8. Ilustrație pentru un exemplu suplimentar

Derivata este definită pe segment

După cum puteți vedea, derivata funcției pe un interval dat este negativă și este egală cu zero în punctul limită din stânga. După cum știm, dacă derivata funcției este negativă, atunci funcția scade pe intervalul luat în considerare, prin urmare, funcția noastră scade pe întregul segment luat în considerare, în acest caz, ea ia cea mai mare valoare în limita din stânga. Răspuns: punct.

Deci, am examinat conceptul de grafic al funcției, am studiat care sunt axele unui grafic, cum să găsim valoarea unei funcții dintr-un grafic, cum să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare.

Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Gutarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. și colab. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Iluminismul.

UTILIZARE. Festivalul ideilor pedagogice. Studiul este ușor. RF.

Diagrama (Figura 9) arată temperatura medie lunară a aerului în Ekaterinburg (Sverdlovsk) pentru fiecare lună din 1973. Lunile sunt indicate pe orizontală, temperaturile în grade Celsius sunt indicate pe verticală. Determinați din diagramă cea mai scăzută temperatură medie lunară în perioada mai-decembrie 1973 inclusiv. Dați răspunsul în grade Celsius.

Orez. 9. Graficul schimbării temperaturii

Folosind același grafic (Figura 9), determinați diferența dintre temperaturile medii lunare cele mai ridicate și cele mai scăzute din 1973. Dați răspunsul în grade Celsius. Graficul (Figura 10) arată procesul de încălzire a unui motor cu ardere internă la o temperatură ambientală de 15 grade. Abscisa arată timpul în minute scurs de la pornirea motorului, ordonata arată temperatura motorului în grade Celsius. O sarcină poate fi conectată la motor atunci când temperatura motorului atinge 45 de grade. Care este cel mai mic număr de minute pe care trebuie să îl așteptați înainte de a conecta sarcina la motor?

Orez. 10. Programul de încălzire a motorului

Tema: Repetarea generală a cursului de matematică. Pregătirea examenului

Lecția: Citirea unui grafic de funcții. Rezolvarea problemelor B2

Deci, primul grafic pe care îl vom lua în considerare.

Orez. 1. Ilustrația grafică 1

După cum puteți vedea, graficul are 2 axe. Axa orientată spre dreapta (orizontală) se numește axă . Axa care se uită în sus (verticală) se numește axă .

Dacă luăm valoarea de 2000 rpm, atunci linia va trece deja în punctul (Figura 2.2).

Orez. 2. Determinarea cuplului prin numărul de rotații pe minut

Orez. 3. Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției conform graficului

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții sunt foarte strâns legate de derivata funcției.

Următorul exemplu are unele dificultăți cu constrângerea pe axa orizontală. Este necesar să găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare pe segmentul specificat.

Orez. 4. Graficul schimbării temperaturii

Prin limitarea graficului, devine evident pentru noi că temperatura maximă corespunde punctului .

Este stabilit un program de schimbări de temperatură pentru trei zile. Pe axa bou - ora zilei și ziua lunii, pe axa oy - valoarea temperaturii aerului în grade Celsius.

Trebuie să luăm în considerare nu întregul program, ci partea referitoare la 13 iulie, adică de la 00:00 la 13 iulie până la 00:00 la 14 iulie.

Orez. 5. Ilustrație pentru un exemplu suplimentar

Dacă nu introduceți restricțiile descrise mai sus, puteți obține un răspuns incorect, dar pe un interval dat, valoarea maximă este evidentă: , și este atinsă la ora 12:00 pe 13 iulie.

Exemplul 3: determinați la ce dată au căzut pentru prima dată cinci milimetri de precipitații:

Orez. 6. Precipitații zilnice

Exemplul 4: Stabiliți în ce zi prețul unei uncie de aur a fost cel mai mic

respectiv, prețul unei uncie de aur în dolari SUA.

Liniile dintre puncte sunt trasate doar pentru claritate, informațiile sunt purtate exclusiv de punctele în sine.

Orez. 7. Graficul modificărilor prețului aurului la bursă

Exemplu suplimentar: determinați în ce punct al segmentului funcția ia cea mai mare valoare:

Derivata unei functii este data pe grafic.

Orez. 8. Ilustrație pentru un exemplu suplimentar

Derivata este definită pe segment

Mordkovich A.G. Algebra și începutul analizei matematice. - M.: Mnemosyne.
Muravin G.K., Muravina O.V. Algebra și începutul analizei matematice. - M.: Gutarda.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra și începutul analizei matematice. - M.: Iluminismul.

UTILIZARE ().
Festivalul de Idei Pedagogice ().
Studiul este ușor. RF ().

Diagrama (Figura 9) arată temperatura medie lunară a aerului în Ekaterinburg (Sverdlovsk) pentru fiecare lună din 1973. Lunile sunt indicate pe orizontală, temperaturile în grade Celsius sunt indicate pe verticală. Determinați din diagramă cea mai scăzută temperatură medie lunară în perioada mai-decembrie 1973 inclusiv. Dați răspunsul în grade Celsius.

Orez. 9. Graficul schimbării temperaturii

Folosind același grafic (Figura 9), determinați diferența dintre temperaturile medii lunare cele mai ridicate și cele mai scăzute din 1973. Dați răspunsul în grade Celsius.
Graficul (Figura 10) arată procesul de încălzire a unui motor cu ardere internă la o temperatură ambientală de 15 grade. Abscisa arată timpul în minute scurs de la pornirea motorului, ordonata arată temperatura motorului în grade Celsius. O sarcină poate fi conectată la motor atunci când temperatura motorului atinge 45 de grade. Care este cel mai mic număr de minute pe care trebuie să îl așteptați înainte de a conecta sarcina la motor?

Orez. 10. Programul de încălzire a motorului

Portal pentru student. Autoinstruire

1. Explicarea conceptului de grafic, tehnica citirii

2. Conceptul de valori maxime și minime, metoda de găsire a valorilor maxime și minime ale funcției conform programului

3. Informații suplimentare despre derivata unei funcții

4. Rezolvarea exemplelor cu o constrângere de-a lungul axei OX

5. Un exemplu suplimentar, o sarcină de la examen

6. Rezolvarea altor exemple de citire a graficului unei funcții

7. Rezolvarea unui exemplu suplimentar

ARTICOLE SIMILARE