O condiție suficientă pentru un extremum al unei funcții a două variabile
1. Fie ca funcția să fie diferențiabilă continuu într-o vecinătate a punctului și să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi (pure și mixte).
2. Notează cu determinantul de ordinul doi
funcția de curs variabilă extremum
Teorema
Dacă punctul cu coordonate este un punct staționar pentru funcție, atunci:
A) Când este un punct de extremum local și, la un maxim local, - un minim local;
C) când punctul nu este un punct extremum local;
C) dacă, poate ambele.
Dovada
Scriem formula Taylor pentru funcție, limitându-ne la doi membri:
Deoarece, conform condiției teoremei, punctul este staționar, derivatele parțiale de ordinul doi sunt egale cu zero, i.e. și. Apoi
Denota
Apoi, creșterea funcției va lua forma:
Datorită continuității derivatelor parțiale de ordinul doi (pure și mixte), după condiția teoremei la un punct, putem scrie:
Unde sau; ,
1. Lasă și, adică sau.
2. Înmulțim incrementul funcției și împărțim cu, obținem:
3. Completați expresia dintre paranteze la pătratul complet al sumei:
4. Expresia dintre paranteze este nenegativă, deoarece
5. Prin urmare, dacă și prin urmare, și, atunci și, prin urmare, conform definiției, punctul este un punct de minim local.
6. Dacă și înseamnă, și, atunci, conform definiției, un punct cu coordonate este un punct maxim local.
2. Considerăm un trinom pătrat, discriminantul său, .
3. Dacă, atunci există puncte astfel încât polinomul
4. Creșterea totală a funcției într-un punct în conformitate cu expresia obținută în I, scriem sub forma:
5. Datorită continuității derivatelor parțiale de ordinul doi, prin condiția teoremei la un punct, putem scrie că
prin urmare, există o vecinătate a unui punct astfel încât, pentru orice punct, trinomul pătrat este mai mare decât zero:
6. Luați în considerare - vecinătatea punctului.
Să alegem orice valoare, așa că acesta este ideea. Presupunând că în formula pentru creșterea funcției
Ce primim:
7. De atunci.
8. Argumentând în mod similar pentru rădăcină, obținem că în orice vecinătate a punctului există un punct pentru care, prin urmare, în vecinătatea punctului nu păstrează semn, deci nu există extremum la punct.
Extremul condiționat al unei funcții a două variabile
Când se caută extreme ale unei funcții a două variabile, apar adesea probleme legate de așa-numitul extremum condiționat. Acest concept poate fi explicat prin exemplul unei funcții a două variabile.
Să fie date o funcție și o dreaptă L pe planul 0xy. Sarcina este de a găsi un astfel de punct P (x, y) pe linia L, la care valoarea funcției este cea mai mare sau cea mai mică în comparație cu valorile acestei funcții în punctele dreptei L, situate lângă punctul P. Astfel de puncte P se numesc funcții de puncte extreme condiționale pe linia L. Spre deosebire de punctul extremum obișnuit, valoarea funcției la punctul extremum condiționat este comparată cu valorile funcției deloc puncte a unora din cartierul său, dar numai la cele care se află pe linia L.
Este destul de clar că punctul extremului obișnuit (se spun și extremul necondiționat) este și punctul extremului condiționat pentru orice dreaptă care trece prin acest punct. Reversul, desigur, nu este adevărat: un punct extremum condiționat poate să nu fie un punct extremum convențional. Să ilustrăm ceea ce s-a spus cu un exemplu.
Exemplul #1. Graficul funcției este emisfera superioară (Fig. 2).
Orez. 2.
Această funcție are un maxim la origine; corespunde vârfului M al emisferei. Dacă linia L este o dreaptă care trece prin punctele A și B (ecuația sa), atunci este clar din punct de vedere geometric că pentru punctele acestei drepte valoarea maximă a funcției este atinsă în punctul situat la mijloc între punctele A și B. Acestea sunt funcțiile de punct extreme condiționale (maximum) pe această linie; corespunde punctului M 1 de pe emisferă și se vede din figură că aici nu poate fi vorba de vreun extremum obișnuit.
Rețineți că în partea finală a problemei de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă, trebuie să găsiți valorile extreme ale funcției la limita acestei regiuni, adică. pe o anumită linie și, prin urmare, rezolvați problema pentru un extremum condiționat.
Definiția 1. Ei spun că unde are un maxim condiționat sau relativ (minim) într-un punct care satisface ecuația: dacă pentru oricare care satisface ecuația, inegalitatea
Definiția 2. O ecuație de formă se numește ecuație de constrângere.
Teorema
Dacă funcțiile și sunt diferențiabile continuu într-o vecinătate a unui punct, iar derivata parțială și punctul sunt punctul extremului condiționat al funcției în raport cu ecuația constrângerii, atunci determinantul de ordinul doi este egal cu zero:
Dovada
1. Deoarece, în funcție de condiția teoremei, derivata parțială și valoarea funcției, atunci într-un dreptunghi
funcția implicită definită
O funcție complexă a două variabile într-un punct va avea un extremum local, prin urmare, sau.
2. Într-adevăr, conform proprietății de invarianță a formulei diferențiale de ordinul întâi
3. Ecuația conexiunii poate fi reprezentată în această formă, ceea ce înseamnă
4. Înmulțiți ecuația (2) cu și (3) cu și adăugați-le
Prin urmare, la
arbitrar. h.t.d.
Consecinţă
Căutarea punctelor extreme condiționale ale unei funcții a două variabile în practică se realizează prin rezolvarea unui sistem de ecuații
Deci, în exemplul de mai sus nr. 1 din ecuația de comunicare pe care o avem. De aici este ușor să verifici ce ajunge la maxim la . Dar apoi din ecuația comunicării. Obținem punctul P, găsit geometric.
Exemplul #2. Găsiți punctele extreme condiționate ale funcției în raport cu ecuația constrângerii.
Să găsim derivatele parțiale ale funcției date și ecuația de conexiune:
Să facem un determinant de ordinul doi:
Să scriem sistemul de ecuații pentru găsirea punctelor extreme condiționate:
prin urmare, există patru puncte extreme condiționate ale funcției cu coordonate: .
Exemplul #3. Găsiți punctele extreme ale funcției.
Echivalând derivatele parțiale cu zero: , găsim un punct staționar - originea. Aici,. Prin urmare, nici punctul (0, 0) nu este un punct extremum. Ecuația este ecuația unui paraboloid hiperbolic (Fig. 3), figura arată că punctul (0, 0) nu este un punct extremum.
Orez. 3.
Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții într-o zonă închisă
1. Fie ca funcția să fie definită și continuă într-un domeniu închis mărginit D.
2. Fie ca funcția să aibă derivate parțiale finite în această regiune, cu excepția punctelor individuale ale regiunii.
3. În conformitate cu teorema Weierstrass, în această zonă există un punct în care funcția ia cele mai mari și cele mai mici valori.
4. Dacă aceste puncte sunt puncte interioare ale regiunii D, atunci este evident că vor avea un maxim sau un minim.
5. În acest caz, punctele de interes pentru noi se numără printre punctele suspecte de pe extremum.
6. Cu toate acestea, funcția poate lua și valoarea maximă sau minimă la limita regiunii D.
7. Pentru a găsi cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției în zona D, trebuie să găsiți toate punctele interne suspecte pentru un extrem, să calculați valoarea funcției din ele, apoi să comparați cu valoarea funcției la punctele de limită ale zonei, iar cea mai mare dintre toate valorile găsite va fi cea mai mare din regiunea închisă D.
8. Metoda de a găsi un maxim sau un minim local a fost luată în considerare mai devreme în Secțiunea 1.2. și 1.3.
9. Rămâne de luat în considerare metoda de găsire a valorilor maxime și minime ale funcției la limita regiunii.
10. În cazul unei funcții de două variabile, aria se dovedește de obicei mărginită de o curbă sau mai multe curbe.
11. De-a lungul unei astfel de curbe (sau mai multor curbe), variabilele și fie depind una de alta, fie ambele depind de un parametru.
12. Astfel, la graniță, funcția se dovedește a fi dependentă de o variabilă.
13. Metoda de a găsi cea mai mare valoare a unei funcții a unei variabile a fost discutată mai devreme.
14. Fie granița regiunii D dată de ecuațiile parametrice:
Atunci pe această curbă funcția a două variabile va fi o funcție complexă a parametrului: . Pentru o astfel de funcție, valoarea cea mai mare și cea mai mică este determinată prin metoda de determinare a valorilor mai mari și cele mai mici pentru o funcție a unei variabile.
Condiții necesare și suficiente pentru extremul de funcții a două variabile. Un punct se numește punct minim (maximum) al unei funcții dacă într-o vecinătate a punctului funcția este definită și satisface inegalitatea (respectiv, punctele maxime și minime sunt numite punctele extreme ale funcției.
O condiție necesară pentru un extremum. Dacă în punctul extremum funcția are derivate parțiale primare, atunci ele dispar în acest punct. Rezultă că pentru a găsi punctele extreme ale unei astfel de funcții, ar trebui să se rezolve sistemul de ecuații.Punctele ale căror coordonate satisfac acest sistem se numesc puncte critice ale funcției. Printre acestea pot fi puncte maxime, puncte minime, precum și puncte care nu sunt puncte extreme.
Condițiile extreme suficiente sunt utilizate pentru a selecta punctele extreme din setul de puncte critice și sunt enumerate mai jos.
Fie ca funcția să aibă derivate parțiale secunde continue în punctul critic. Dacă în acest moment,
condiție, atunci este un punct minim la și un punct maxim la. Dacă la un punct critic, atunci nu este un punct extremum. În acest caz, este necesar un studiu mai subtil al naturii punctului critic, care în acest caz poate fi sau nu un punct extremum.
Extreme ale funcțiilor a trei variabile.În cazul unei funcții a trei variabile, definițiile punctelor extremum repetă textul definițiile corespunzătoare pentru o funcție a două variabile. Ne limităm la prezentarea procedurii de studiere a unei funcții pentru un extremum. Rezolvând sistemul de ecuații, ar trebui să găsiți punctele critice ale funcției, apoi la fiecare dintre punctele critice să calculați cantitățile
Dacă toate cele trei mărimi sunt pozitive, atunci punctul critic luat în considerare este un punct minim; dacă atunci punctul critic dat este un punct maxim.
Extremul condiționat al unei funcții a două variabile. Punctul se numește punctul minim (maxim) condiționat al funcției, cu condiția să existe o vecinătate a punctului în care este definită funcția și în care (respectiv) pentru toate punctele ale căror coordonate satisfac ecuația
Pentru a găsi puncte extreme condiționate, utilizați funcția Lagrange
unde numărul se numește multiplicator Lagrange. Rezolvarea sistemului de trei ecuații
găsiți punctele critice ale funcției Lagrange (precum și valoarea factorului auxiliar A). În aceste puncte critice, poate exista un extremum condiționat. Sistemul de mai sus oferă doar condiții necesare pentru un extrem, dar nu și suficiente: poate fi îndeplinit de coordonatele punctelor care nu sunt puncte ale unui extremum condiționat. Totuși, pornind de la esența problemei, este adesea posibil să se stabilească natura punctului critic.
Extremul condiționat al unei funcții a mai multor variabile. Se consideră o funcție de variabile cu condiția ca acestea să fie legate prin ecuații
CONDIȚIONAL EXTREM
Valoarea minimă sau maximă atinsă de o anumită funcție (sau funcțională) cu condiția ca unele alte funcții (funcționale) să ia valori dintr-un anumit set admisibil. Dacă nu există condiții care să limiteze modificări ale variabilelor (funcțiilor) independente în sensul indicat, atunci se vorbește de un extremum necondiționat.
Clasic sarcina pentru W. e. este problema determinării minimului unei funcţii a mai multor variabile
Cu condiția ca alte funcții să ia valorile date:
În această problemă G, la care funcţionează valorile vectorului g=(g 1, ...,g m),
inclus în condiții suplimentare (2) este un punct fix c=(c 1 , ..., cu T) în spațiul euclidian m-dimensional
Dacă în (2) împreună cu semnul egal, sunt permise semnele de inegalitate
Aceasta duce la problema programare neliniară(treisprezece). În problema (1), (3), mulțimea G de valori admisibile ale funcției vectoriale g este o anumită curbilinie , aparținând hipersuprafeței (n-m 1)-dimensionale definită de m 1 , m 1
Un caz special de problemă (1), (3) pe un U.v. este sarcina programare liniară,în care toate funcţiile considerate f şi gi sunt liniare în x l , ... , x p.Într-o problemă de programare liniară, mulțimea G de valori posibile ale unei funcții vectoriale g, incluse în condițiile care limitează domeniul de variabile x 1 , .....x n , is , care aparține hiperplanului (n-t 1)-dimensional definit de m 1 condiții de tip egalitate în (3).
În mod similar, majoritatea problemelor de optimizare pentru funcționale care reprezintă practici interes, se reduce la sarcini pe U. e. (cm. Problemă izoperimetrică, Problemă inel, Problemă Lagrange, Problemă Manner).
Exact ca la matematică. programarea, principalele probleme ale calculului variațiilor și teoria controlului optim sunt probleme pe e convex.
La rezolvarea problemelor în U. e., mai ales când se ia în considerare cele teoretice. întrebări legate de probleme pe C. e., se dovedește a fi foarte util să folosești nedefinit multiplicatori lagrangieni, permiţând reducerea problemei la U. e. la problema pe neconditionat si simplifica conditiile de optimitate necesare. Utilizarea multiplicatorilor Lagrange stă la baza majorității celor clasice metode de rezolvare a problemelor în U. e.
Lit.: Hadley J., Nonlinear și , trad. din engleză, M., 1967; Bliss G.A., Prelegeri despre calculul variațiilor, trad. din engleză, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, a 2-a ed., M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.
Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Vezi ce este „CONDITIONAL EXTREME” în alte dicționare:
Extremum relativ, extremul funcției f (x1,..., xn + m) a n + m variabile, presupunând că aceste variabile sunt supuse la m mai multe ecuații de cuplare (condiții): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (vezi Extremum).… …
Lăsați un set deschis și activat să primească funcții. Lasa. Aceste ecuații sunt numite ecuații de constrângere (terminologia este împrumutată de la mecanică). Fie definită o funcție pe G ... Wikipedia
- (din latină extremum extreme) valoarea unei funcții continue f (x), care este fie un maxim, fie un minim. Mai precis: o funcție f (x) continuă în punctul x0 are un maxim (minim) la x0 dacă există o vecinătate (x0 + δ, x0 δ) a acestui punct, ... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Acest termen are alte semnificații, vezi Extrem (sensuri). Extremum (latina extremum extreme) în matematică este valoarea maximă sau minimă a unei funcții dintr-o mulțime dată. Punctul în care se atinge extremul este ...... Wikipedia
O funcție utilizată în rezolvarea problemelor pentru un extremum condiționat de funcții ale mai multor variabile și funcționale. Cu ajutorul lui L. f. condiţiile de optimitate necesare se notează în probleme pentru un extremum condiţionat. Nu este nevoie să exprimați doar variabile... Enciclopedie matematică
O disciplină matematică dedicată găsirii valorilor extreme (maxime și minime) ale funcționalelor variabilelor în funcție de alegerea uneia sau mai multor funcții. In si. este o dezvoltare firească a acelui capitol…… Marea Enciclopedie Sovietică
Variabile, cu ajutorul cărora se construiește funcția Lagrange în studiul problemelor pentru un extremum condiționat. Utilizarea lui L. m. și a funcției Lagrange face posibilă obținerea condițiilor de optimitate necesare într-un mod uniform în probleme pentru un extremum condiționat ... Enciclopedie matematică
Calculul variațiilor este o ramură a analizei funcționale care studiază variațiile funcționalelor. Cea mai tipică sarcină a calculului variațiilor este de a găsi o funcție pe care o anumită funcțională ajunge la ...... Wikipedia
O secțiune de matematică dedicată studiului metodelor de găsire a extremelor funcționalelor care depind de alegerea uneia sau mai multor funcții sub diferite tipuri de restricții (fază, diferențială, integrală etc.) impuse acestor ... ... Enciclopedie matematică
Calculul variațiilor este o ramură a matematicii care studiază variațiile funcționalelor. Cea mai tipică sarcină a calculului variațiilor este de a găsi o funcție pe care funcționalul atinge o valoare extremă. Metode ... ... Wikipedia
Cărți
- Prelegeri despre teoria controlului. Volumul 2. Control optim, V. Boss. Sunt luate în considerare problemele clasice ale teoriei controlului optim. Prezentarea începe cu conceptele de bază ale optimizării în spații finite-dimensionale: extremum condiționat și necondiționat, ...
Definiție1: Se spune că o funcție are un maxim local într-un punct dacă există o vecinătate a punctului astfel încât pentru orice punct M cu coordonate (X y) inegalitatea este îndeplinită: . În acest caz, și anume, creșterea funcției< 0.
Definiție2: Se spune că o funcție are un minim local într-un punct dacă există o vecinătate a punctului astfel încât pentru orice punct M cu coordonate (X y) inegalitatea este îndeplinită: . În acest caz, adică, incrementul funcției > 0.
Definiția 3: Punctele minime și maxime locale sunt numite puncte extremum.
Extreme condiționale
Când se caută extreme ale unei funcții a mai multor variabile, apar adesea probleme legate de așa-numitele extremă condiționată. Acest concept poate fi explicat prin exemplul unei funcții a două variabile.
Să fie date o funcție și o linie L la suprafata 0xy. Sarcina este alinierea L găsi un astfel de punct P(x, y),în care valoarea funcției este cea mai mare sau cea mai mică în comparație cu valorile acestei funcție în punctele dreptei L situat în apropierea punctului P. Asemenea puncte P numit puncte extreme condiționale funcții de linie L. Spre deosebire de punctul extremum obișnuit, valoarea funcției la punctul extremum condiționat este comparată cu valorile funcției nu în toate punctele din vecinătatea sa, ci numai la cele care se află pe linie. L.
Este destul de clar că punctul de extremum obișnuit (de asemenea, spun extremum necondiționat) este, de asemenea, un punct extremum condiționat pentru orice dreaptă care trece prin acest punct. Reversul, desigur, nu este adevărat: un punct extremum condiționat poate să nu fie un punct extremum convențional. Permiteți-mi să explic acest lucru cu un exemplu simplu. Graficul funcției este emisfera superioară (Anexa 3 (Fig. 3)).
Această funcție are un maxim la origine; corespunde vârfului M emisfere. Dacă linia L există o linie care trece prin puncte DARși LA(ecuația ei x+y-1=0), atunci este clar din punct de vedere geometric că pentru punctele acestei linii valoarea maximă a funcției este atinsă în punctul situat la mijloc între puncte DARși LA. Acesta este punctul extremului (maximului) condiționat al funcției pe linia dată; corespunde punctului M 1 de pe emisferă și se vede din figură că aici nu poate fi vorba de vreun extremum obișnuit.
Rețineți că în partea finală a problemei de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții într-o regiune închisă, trebuie să găsim valorile extreme ale funcției la limita acestei regiuni, adică. pe o anumită linie și, prin urmare, rezolvați problema pentru un extremum condiționat.
Să trecem acum la căutarea practică a punctelor extremului condiționat al funcției Z= f(x, y) cu condiția ca variabilele x și y să fie legate prin ecuația (x, y) = 0. Această relație va fi numită ecuația constrângerii. Dacă din ecuația de conexiune y poate fi exprimată explicit în termeni de x: y \u003d (x), obținem o funcție a unei variabile Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).
După ce am găsit valoarea lui x la care această funcție atinge un extrem, și apoi determinând valorile corespunzătoare ale lui y din ecuația de conexiune, vom obține punctele dorite ale extremului condiționat.
Deci, în exemplul de mai sus, din ecuația de comunicare x+y-1=0 avem y=1-x. De aici
Este ușor de verificat că z atinge maximul la x = 0,5; dar apoi din ecuația de conexiune y = 0,5 și obținem exact punctul P, găsit din considerații geometrice.
Problema extremului condiționat este rezolvată foarte simplu chiar și atunci când ecuația constrângerii poate fi reprezentată prin ecuații parametrice x=x(t), y=y(t). Înlocuind expresiile pentru x și y în această funcție, ajungem din nou la problema găsirii extremului unei funcții a unei variabile.
Dacă ecuația constrângerii are o formă mai complexă și nu putem nici exprima explicit o variabilă în termenii alteia, nici înlocui cu ecuații parametrice, atunci problema găsirii unui extremum condiționat devine mai dificilă. Vom continua să presupunem că în expresia funcției z= f(x, y) variabila (x, y) = 0. Derivata totală a funcției z= f(x, y) este egală cu:
Unde este derivata y`, găsită de regula de diferențiere a funcției implicite. În punctele extremului condiționat, derivata totală găsită trebuie să fie egală cu zero; aceasta dă o ecuație care raportează x și y. Deoarece trebuie să satisfacă și ecuația constrângerii, obținem un sistem de două ecuații cu două necunoscute
Să transformăm acest sistem într-unul mult mai convenabil scriind prima ecuație ca proporție și introducând o nouă necunoscută auxiliară:
(un semn minus este plasat în față pentru comoditate). Este ușor să treceți de la aceste egalități la următorul sistem:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
care, împreună cu ecuația de constrângere (x, y) = 0, formează un sistem de trei ecuații cu necunoscute x, y și.
Aceste ecuații (*) sunt cel mai ușor de reținut folosind următoarea regulă: pentru a găsi puncte care pot fi puncte ale extremului condiționat al funcției
Z= f(x, y) cu ecuația de constrângere (x, y) = 0, trebuie să formați o funcție auxiliară
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
Unde este o constantă și scrieți ecuații pentru a găsi punctele extreme ale acestei funcții.
Sistemul de ecuații specificat oferă, de regulă, numai condițiile necesare, adică. nu fiecare pereche de valori x și y care satisface acest sistem este în mod necesar un punct extremum condiționat. Nu voi da condiții suficiente pentru punctele extremum condiționate; de foarte multe ori conținutul specific al problemei în sine sugerează care este punctul găsit. Tehnica descrisă pentru rezolvarea problemelor pentru un extremum condiționat se numește metoda multiplicatorilor Lagrange.
Extremă condiționată.
Extreme ale unei funcții de mai multe variabile
Metoda celor mai mici pătrate.
Extremul local al FNP
Lasă funcția și= f(P), RÎDÌR nși fie punctul Р 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –intern punctul setului D.
Definiție 9.4.
1) Se numește punctul P 0 punct maxim funcții și= f(P) dacă există o vecinătate a acestui punct U(P 0) Ì D astfel încât pentru orice punct P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , condiția f(P) £ f(P0). Sens f(P 0) funcțiile în punctul maxim este numită functia maxima și notat f(P 0) = max f(P).
2) Se numește punctul P 0 punct minim funcții și= f(P) dacă există o vecinătate a acestui punct U(P 0)Ì D astfel încât pentru orice punct P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , condiția f(P)³ f(P0). Sens f(P 0) funcțiile la punctul minim este numită funcția minimă și notat f(P 0) = min f(P).
Se numesc punctele minime și maxime ale unei funcții puncte extreme, se numesc valorile funcției la punctele extreme funcția extremă.
După cum rezultă din definiție, inegalitățile f(P) £ f(P0), f(P)³ f(P 0) trebuie efectuată numai într-o anumită vecinătate a punctului P 0 , și nu în întregul domeniu al funcției, ceea ce înseamnă că funcția poate avea mai multe extreme de același tip (mai multe minime, mai multe maxime). Prin urmare, extremele definite mai sus sunt numite local extreme (locale).
Teorema 9.1 (condiția necesară pentru extremul FNP)
Dacă funcţia și= f(X 1 , X 2 , ..., x n) are un extremum în punctul P 0 , atunci derivatele sale parțiale de ordinul întâi în acest punct sunt fie egale cu zero, fie nu există.
Dovada. Fie în punctul Р 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funcție și= f(P) are o extremă, cum ar fi un maxim. Să reparăm argumentele X 2 , ..., x n, punând X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Apoi și= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) este o funcție a unei variabile X unu . Întrucât această funcţie are X 1 = A 1 extremum (maxim), apoi f 1 ¢=0 sau nu există când X 1 =A 1 (o condiție necesară pentru existența unui extremum al unei funcții a unei variabile). Dar , atunci sau nu există în punctul P 0 - punctul de extremum. În mod similar, putem considera derivate parțiale în raport cu alte variabile. CHTD.
Punctele domeniului unei funcții la care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero sau nu există se numesc puncte critice această funcție.
După cum rezultă din teorema 9.1, punctele extreme ale FNP ar trebui căutate printre punctele critice ale funcției. Dar, în ceea ce privește o funcție a unei variabile, nu orice punct critic este un punct extremum.
Teorema 9.2
Fie Р 0 un punct critic al funcției și= f(P) și 
este diferenţiala de ordinul doi a acestei funcţii. Apoi
si daca d 2 u(P 0) > 0 pentru , atunci Р 0 este un punct minim funcții și= f(P);
b) dacă d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maxim funcții și= f(P);
c) dacă d 2 u(P 0) nu este definit prin semn, atunci P 0 nu este un punct extremum;
Considerăm această teoremă fără dovezi.
Rețineți că teorema nu ia în considerare cazul când d 2 u(P 0) = 0 sau nu există. Aceasta înseamnă că problema prezenței unui extremum în punctul P 0 în astfel de condiții rămâne deschisă - sunt necesare studii suplimentare, de exemplu, studiul creșterii funcției în acest punct.
În cursurile de matematică mai detaliate, se demonstrează că, în special, pentru funcția z = f(X,y) a două variabile a căror diferenţială de ordinul doi este o sumă a formei
studiul prezenței unui extremum în punctul critic Р 0 poate fi simplificat.
Indicați , , . Compuneți determinantul
.
Rezultă:
d 2 z> 0 în punctul P 0 , adică. P 0 - punct minim, dacă A(P 0) > 0 și D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
dacă D(P 0)< 0, то d 2 zîn vecinătatea punctului Р 0 își schimbă semnul și nu există un extremum în punctul Р 0;
dacă D(Р 0) = 0, atunci sunt necesare și studii suplimentare ale funcției în vecinătatea punctului critic Р 0.
Astfel, pentru funcția z = f(X,y) două variabile, avem următorul algoritm (să-l numim „algoritm D”) pentru găsirea extremului:
1) Găsiți domeniul definiției D( f) funcții.
2) Găsiți punctele critice, de ex. puncte din D( f) pentru care și sunt egale cu zero sau nu există.
3) La fiecare punct critic Р 0 verificați condițiile suficiente pentru extremum. Pentru a face acest lucru, găsiți , unde , , și se calculează D(Р 0) și DAR(P 0). Atunci:
dacă D(Р 0) >0, atunci există un extrem în punctul Р 0, în plus, dacă DAR(P 0) > 0 - atunci acesta este un minim și dacă DAR(P 0)< 0 – максимум;
dacă D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Dacă D(Р 0) = 0, atunci sunt necesare studii suplimentare.
4) Calculați valoarea funcției la punctele extreme găsite.
Exemplul 1.
Aflați extremul unei funcții z = X 3 + 8y 3 – 3X y .
Decizie. Domeniul acestei funcții este întregul plan de coordonate. Să găsim punctele critice.
, 
, 
Þ Р 0 (0,0) , .
Să verificăm îndeplinirea unor condiții extreme suficiente. Sa gasim
6X, = -3, = 48lași 
= 288hu – 9.
Apoi D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - există un extremum în punctul Р 1, și deoarece DAR(P 1) = 3 >0, atunci acest extrem este un minim. Deci min z=z(P1) = 
.
Exemplul 2
Aflați extremul unei funcții 
.
Soluție: D( f) = R2. Puncte critice: 
; nu există la la= 0, deci P 0 (0,0) este punctul critic al acestei funcții.
2, = 0, = , = , dar D(Р 0) nu este definit, deci este imposibil să-i studiem semnul.
Din același motiv, este imposibil să se aplice direct Teorema 9.2 − d 2 z nu există în acest moment.
Luați în considerare creșterea funcției f(X, y) în punctul Р 0 . Daca D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, atunci P 0 este punctul minim, dacă D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Avem în cazul nostru
D f = f(X, y) – f(0, 0) = f(0+D X,0+D y) – f(0, 0) = .
La D X= 0,1 și D y= -0,008 obținem D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 și D y= 0,001D f= 0,01 + 0,1 > 0, adică în vecinătatea punctului Р 0 nici condiția D f <0 (т.е. f(X, y) < f(0, 0) și, prin urmare, P 0 nu este un punct maxim), nici condiția D f>0 (adică f(X, y) > f(0, 0) și atunci Р 0 nu este un punct minim). Prin urmare, prin definiția unui extremum, această funcție nu are extreme.
Extremă condiționată.
Extremul considerat al funcției se numește necondiţionat, deoarece nu sunt impuse restricții (condiții) argumentelor funcției.
Definiție 9.2. Funcția extremum și = f(X 1 , X 2 , ... , x n), constatat cu condiția ca argumentele sale X 1 , X 2 , ... , x n satisface ecuațiile j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, unde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), se numește extremul condiționat .
Ecuații j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, sunt numite ecuații de conexiune.
Luați în considerare funcțiile z = f(X,y) din două variabile. Dacă există o singură ecuație de constrângere, adică , atunci găsirea unui extremum condiționat înseamnă că extremul nu este căutat în întregul domeniu al funcției, ci pe o curbă situată în D( f) (adică nu sunt căutate punctele cele mai înalte sau cele mai joase ale suprafeței z = f(X,y), și punctele cele mai înalte sau cele mai joase dintre punctele de intersecție ale acestei suprafețe cu cilindrul , Fig. 5).
Extremul condiționat al funcției z = f(X,y) din două variabile poate fi găsită în felul următor( metoda de eliminare). Din ecuație, exprimați una dintre variabile în funcție de cealaltă (de exemplu, scrieți ) și, substituind această valoare a variabilei în funcția , scrieți pe aceasta din urmă în funcție de o variabilă (în cazul considerat 
). Aflați extremul funcției rezultate a unei variabile.
